高中数学-1.2《余弦定理》教案-北师大版必修5
北师大版数学高二-必修5教案 2.1.2《余弦定理》
2.1.2《余弦定理》教学设计【学习目标】1.了解向量知识应用；掌握余弦定理推导过程；会利用余弦定理证明简单三角形问题；2.利用余弦定理求解简单斜三角形边角问题，能利用计算器进行运算；3.通过三角函数、余弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.【导入新课】上一节，我们一起研究了正弦定理及其应用，在体会向量应用的同时，解决了在三角形已知两角一边和已知两边和其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决.如图(1)在直角三角形中，根据两直角边及直角可表示斜边，即勾股定理，那么对于任意三角形，能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题.新授课阶段一、引入问题的解决在△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，试根据b，c，A来表示a.分析：由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，边a可利用勾股定理用CD、DB表示，而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示，DB可利用AB—AD转化为AD，进而在Rt△ADC内求解.解：二、余弦定理的内容：余弦定理内容：形式一：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .形式二：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 在余弦定理中，令C ＝90°，这时，cos C ＝0，所以c 2＝a 2＋b 2，由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外，对于余弦定理的证明，我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明，以进一步体会向量知识的工具性作用.三、向量法证明余弦定理如图，在△ABC 中，设AB 、BC 、CA 的长分别是c 、a 、b .由向量法证明：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .四、余弦定理解决的问题类型利用余弦定理，我们可以解决以下两类有关三角形的问题：(1) ；(2) .例1在△ABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C (精确到1°).分析：解：例2 在△ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，C＝82°28′，解这个三角形(边长保留四个有效数字，角度精确到1′) .解：例3在△ABC中：(1)已知b＝8，c＝3，A＝60°，求a；(2)已知a＝20，b＝29，c＝21，求B；(3)已知a＝3 3 ，c＝2，B＝150°，求b；(4)已知a＝2，b＝ 2 ，c＝ 3 ＋1，求A解：例4根据下列条件解三角形(角度精确到1°)(1)a ＝31，b ＝42，c ＝27；(2)a ＝9，b ＝10，c ＝15解：课堂小结1. ；2. ；3. .作业见同步练习部分拓展提升1. 在∆ABC 中，已知7a =，5b =，3c =，则∆ABC 的形状为（ ）A ．锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形2. 在△ABC 中，a ＝1，b ＝7 ，B ＝60°，则边c 的长度为（ ）A. 3B. 2C.D. 53.在△ABC 中，已知：c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，则角C 的大小为4. 在△ABC 中，已知A ＞B ＞C 且A ＝2C ，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，又2b ＝a ＋c 成等差数列，且b ＝4，求a 、c 的长.5.在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝ 2 ，A ＝45°，解此三角形.6.在∆ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A7. 在∆ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形参考答案新授课阶段一、引入问题的解决在△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，试根据b，c，A来表示a.分析：由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，边a可利用勾股定理用CD、DB表示，而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示，DB可利用AB—AD转化为AD，进而在Rt△ADC内求解.解：过C作CD⊥AB，垂足为D，则在Rt△CDB中，根据勾股定理可得：a2＝CD2＋BD2∵在Rt△ADC中，CD2＝b2－AD2又∵BD2＝(c－AD)2＝c2－2c·AD＋AD2∴a2＝b2－AD2＋c2－2c·AD＋AD2＝b2＋c2－2c·AD又∵在Rt△ADC中，AD＝b·cos A∴a2＝b2＋c2－2bc cos A类似地可以证明b2＝a2＋c2－2ac cos Bc2＝a2＋b2－2ab cos C另外，当A为钝角时也可证得上述结论，当A为直角时a2＝b2＋c2也符合上述结论，这也正是我们这一节将要研究的余弦定理.二、余弦定理的内容：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.形式一：a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝c2＋a2－2ca cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C.形式二：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 在余弦定理中，令C ＝90°，这时，cos C ＝0，所以c 2＝a 2＋b 2，由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外，对于余弦定理的证明，我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明，以进一步体会向量知识的工具性作用.三、向量法证明余弦定理如图，在△ABC 中，设AB 、BC 、CA 的长分别是c 、a 、b .由向量加法的三角形法则可得AC →＝AB →＋BC →，∴AC →·AC →＝(AB →＋BC →)·(AB →＋BC →)＝AB →2＋2AB →·BC →＋BC →2＝｜AB →｜2＋2｜AB →｜｜BC →｜cos(180°－B )＋｜BC →｜2＝c 2－2ac cos B ＋a 2即b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B由向量减法的三角形法则可得：BC →＝AC →－AB →∴BC →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →)＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2＝｜AC →｜2－2｜AC →｜｜AB →｜cos A ＋｜AB →｜2＝b 2－2bc cos A ＋c 2即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A由向量加法的三角形法则可得AB →＝AC →＋CB →＝AC →－BC →∴AB →·AB →＝(AC →－BC →)·(AC →－BC →)＝AC →2－2AC →·BC →＋BC →2＝｜AC →｜2－2｜AC →｜｜BC →｜cos C ＋｜BC →｜2＝b 2－2ba cos C ＋a 2即c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C评述：(1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则.(2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定，AC →与AB →属于同起点向量，则夹角为A ；AB →与BC →是首尾相接，则夹角为角B 的补角180°－B ；AC →与BC →是同终点，则夹角仍是角C .四、余弦定理解决的问题类型利用余弦定理，我们可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；这类问题由于三边确定，故三角也确定，解唯一；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.这类问题第三边确定，因而其他两个角唯一，故解唯一，不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题.例1分析：此题属于已知三角形三边求角的问题，可以利用余弦定理，意在使学生熟悉余弦定理的形式二解：∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝102＋62－722×10×6＝0.725，∴A ≈44° ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋102－622×7×10 ＝113140＝0.8071，∴C ≈36° ∴B ＝180°－(A ＋C )≈180°－(44°＋36°)＝100°.例2 在△ABC 中，已知a ＝2.730，b ＝3.696，C ＝82°28′，解这个三角形(边长保留四个有效数字，角度精确到1′)解：由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝2.7302＋3.6962－2×2.730×3.696×cos82°28′得c ＝4.297.∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3.6962＋4.2972－2.73022×3.696×4.297＝0.7767，∴A ＝39°2′ ∴B ＝180°－(A ＋C )＝180°－(39°2′＋82°28′)＝58°30′例3解：(1)由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得a 2＝82＋32－2×8×3cos60°＝49，∴a ＝7(2)由cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca得 cos B ＝202＋212－2922×20×21＝0，∴B ＝90° (3)由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得b 2＝(3 3 )2＋22－2×3 3 ×2cos150°＝49，∴b ＝7(4)由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc得 cos A ＝（ 2 ）2＋（ 3 ＋1）2－222 2 （ 3 ＋1）＝ 2 2 ，∴A ＝45° 例4解：(1)由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc得 cos A ＝422＋272－3122×42×27≈0.6691，∴A ≈48° 由cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca≈0.0523，∴B ≈93° ∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(48°＋93°)≈39°(2)由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc得 cos A ＝102＋152－922×10×15＝0.8090，∴A ≈36° 由cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca得 cos B ＝92＋152－1022×9×15＝0.7660，∴B ≈40° ∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(36°＋40°)≈104°课堂小结1.余弦定理的证明方法；2.余弦定理所能解决的两类有关三角形问题：已知三边求任意角；已知两边一夹角解三角形；3. 余弦定理的灵活运用.拓展提升1. C 【解析】由余弦定理可知222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形∆（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆）222753>+，即222a b c >+，∴ABC 是钝角三角形∆.2.A 【解析】由余弦定理得 (7 )2＝12＋c 2－2c cos60°，∴c 2－c －6＝0，解得c 1＝3，c 2＝－2(舍去).∴c ＝33.60120οο或【解析】∵c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，∴［c 2－(a 2＋b 2)］2－a 2b 2＝0，∴c 2－(a 2＋b 2)＝±ab ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝±12，∴C ＝120°或C ＝60° 4．解：由a sin A ＝c sin C且A ＝2C 得 a 2sin C cos C ＝c sin C ，cos C ＝a 2c又∵2b ＝a ＋c 且b ＝4，∴a ＋c ＝2b ＝8， ① ∴cos C ＝a 2＋42－c 28a ＝a ＋2－c a ＝5a －3c 4a ＝a 2c∴2a ＝3c ②由①②解得a ＝245 ，c ＝1655.解：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A得22＝( 2 )2＋c 2－2 2 c cos45°，c 2－2c －2＝0解得c ＝1＋ 3 或c ＝1－ 3 (舍去)∴c ＝1＋ 3 ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝22＋（1＋ 3 ）2－（ 2 ）22×2×（1＋ 3 ）＝ 3 2 ∴B ＝30°C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(45°＋30°)＝105° 6.解：∵2222cos =+-b a c ac B=222+-⋅cos 045=2121)+-=8∴=b求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：印刷版高中数学 ⑵解法一：∵cos 2221,22+-=b c a A bc ∴060.=A解法二：∵sin 0sin sin45,=a A B b2.4 1.43.8,+=21.8 3.6,⨯=∴a ＜c ，即00＜A ＜090,∴060.=A7.解：由余弦定理的推论得：cos 2222+-=b c a A bc 22287.8161.7134.6287.8161.7+-=⨯⨯0.5543,≈05620'≈A ； cos 2222+-=c a b B ca 222134.6161.787.82134.6161.7+-=⨯⨯0.8398,≈03253'≈B ； 0000180()180(56203253)''=-+≈-+C A B 09047.'=。
高中数学 第2章 解三角形 1.2 余弦定理教案 北师大版必修5-北师大版高二必修5数学教案
1.2 余弦定理学 习 目 标核 心 素 养1.了解用向量数量积证明余弦定理的方法，体会向量工具在解决三角形度量问题时的作用．(难点)2．掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．(重点)1.通过余弦定理的推导提升逻辑推理素养．2．通过余弦定理在解三角形中的应用提升数学运算素养.1．余弦定理阅读教材P 49～P 50例4以上部分，完成下列问题．语言表述三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍符号表示a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab作用实现三角形边与角的互化.思考：(1)余弦定理和勾股定理有什么关系？[提示] 余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例． (2)观察余弦定理的符号表示及推论，你认为余弦定理可用来解哪类三角形？ [提示] ①已知两边及其夹角，解三角形； ②已知三边，解三角形．2．余弦定理的推导如图，设CB →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c 那么c ＝a －b ． |c |2＝c ·c ＝(a －b )·(a －b ) ＝a ·a ＋b ·b －2a ·b＝a 2＋b 2－2ab cos C 所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ． 同理可证：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ，1．在△ABC 中，符合余弦定理的是( ) A ．c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C B ．c 2＝a 2－b 2－2bc cos A C ．b 2＝a 2－c 2－2bc cos A D ．cos C ＝a 2＋b 2＋c 22abA [由余弦定理知选A ．]2．在△ABC 中，若已知a ＝2，b ＝3，c ＝5，则cos A ＝_____________. 53 [cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋5－42×3×5＝53.] 3．在△ABC 中，已知A ＝60°，b ＝2，c ＝1，则a ＝________. 3 [a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a ＝ 3.]已知两边及一角解三角形【例1】 (1)已知△ABC 中，cos A ＝35，a ＝4，b ＝3，则c ＝________.(2)在△ABC 中，已知a ＝33，c ＝2，B ＝150°，则边b 的长为________． (1)5 (2)7 [(1)A 为b ，c 的夹角，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得16＝9＋c 2－6×35c ，整理得5c 2－18c －35＝0. 解得c ＝5或c ＝－75(舍去)．(2)在△ABC 中，由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(33)2＋22－2×33×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝49. 所以b ＝7.](1)已知两边及其中一边的对角解三角形的方法①先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，要注意判断解的情况；②用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长． (2)已知两边及其夹角解三角形的方法方法一：首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角． 方法二：首先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求出其他两角． [提醒] 解三角形时，若已知两边和一边的对角时，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理．一般地，若只求角，则用正弦定理方便，若只求边，用余弦定理方便.1．(1)在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则c ＝________. (2)在△ABC 中，已知A ＝120°，a ＝7，b ＋c ＝8，求b ，c ． (1)19 [由题意，得a ＋b ＝5，ab ＝2.所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19， 所以c ＝19.] (2)[解] 由余弦定理， 得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )，所以49＝64－2bc ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12，即bc ＝15， 由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝8，bc ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝5，c ＝3.已知三边(三边关系)解三角形【例2】 (1)在△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，求A ，B ，C ．(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝C,2b ＝3a ，求cos A ．[解] (1)由于a ∶b ∶c ＝1∶3∶2， 可设a ＝x ，b ＝3x ，c ＝2x .由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝3x 2＋4x 2－x22×3x ×2x＝32， 故A ＝30°.同理可求得cos B ＝12，cos C ＝0，所以B ＝60°，C ＝90°.(2)由B ＝C,2b ＝3a ，可得c ＝b ＝32a ． 所以cos A ＝b 2＋c 2－a22bc＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a＝13.已知三角形的三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．(2)利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角．2．(1)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )，则A ＝( )A ．90°B ．60°C ．120°D ．150°(2)在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长． (1)C [由(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )可得a 2－c 2＝b 2＋bc ，即a 2＝c 2＋b 2＋bc ．根据余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝120°.故选C ．] (2)[解] 由余弦定理的推论得：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49，则x ＝7.所以，所求中线长为7.三角形形状的判断1．在△ABC 中，sin A ＝sin B ，能够判定△ABC 为等腰三角形吗？[提示] 能．由正弦定理和sin A ＝sin B 知a ＝b ，故△ABC 是等腰三角形． 2．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ，能够判定△ABC 为等腰三角形吗？[提示] 不能．由sin 2A ＝sin 2B 得2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，故△ABC 是等腰三角形或直角三角形．3．在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，要判定三角形的形状，是把a cos A ＝b cos B 中的边化为角，还是把角化为边？[提示] 都可以，化角为边：由余弦定理得a ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b ×a 2＋c 2－b 22ac，化简得(a ＋b )(a －b )(c 2－a 2－b 2)＝0，故a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形．化边为角：由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，故2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，则A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形．4．判断三角形形状的基本思路是什么？ [提示] 思路一：从角的关系判定． 思路二：从边的关系判定． 思路三：从边与角的关系判定．【例3】 在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．[解] 法一：由正弦定理得sin C sin B ＝c b ，由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b. 又由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a 2＝b 2，所以a ＝b ．又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2，即b 2＝c 2.所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ．所以△ABC 为等边三角形．法二：因为A ＋B ＋C ＝180°，所以sin C ＝sin(A ＋B )，又因为2cos A sin B ＝sin C ， 所以2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以sin(A －B )＝0.又因为A 与B 均为△ABC 的内角，所以A ＝B ． 又由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab 得(a ＋b )2－c 2＝3ab ， 所以a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝3ab ，即a 2＋b 2－c 2＝ab ．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又0°＜C ＜180°，所以C ＝60°.所以△ABC 为等边三角形．1．(变条件)把例3的条件换为：b ＝2c cos A ，c ＝2b cos A ，判断△ABC 的形状． [解] 法一：由条件b ＝2c cos A ，c ＝2b cos A 得cos A ＝b 2c ＝c2b ，即b ＝c ，把b ＝c 代入b ＝2c cos A 得cos A ＝12，所以A ＝60°，所以△ABC 是等边三角形．法二：由正弦定理知sin B ＝2sin C cos A ，sin C ＝ 2sin B cos A ，即sin(A ＋C )＝2sin C cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 即sin C cos A ＝sin A cos C ，所以sin(A －C )＝0，A ＝C ， 同理可得A ＝B ，所以三角形△ABC 为等边三角形．2．(变条件)把例3的条件换为：cos 2A 2＝b ＋c 2c，试判断△ABC 的形状． [解] 法一：∵cos 2A 2＝1＋cos A 2且cos 2A 2＝b ＋c 2c ，∴1＋cos A 2＝b ＋c 2c ，即cos A ＝b c . 由正弦定理，得cos A ＝sin Bsin C ，∴cos A sin C ＝sin(A ＋C )，整理得sin A cos C ＝0.∵sin A ≠0，∴cos C ＝0，∴C ＝π2.故△ABC 为直角三角形．法二：同法一得cos A ＝b c .由余弦定理得b 2＋c 2－a 22bc ＝b c，整理得a 2＋b 2＝c 2，故△ABC 为直角三角形．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要有以下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形．(2)若已知两边和一边的对角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形，但用正弦定理时要注意不要漏解或多解．2．判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系．若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若已知两边和一边所对的角，不能用余弦定理解三角形．( ) (2)在△ABC 中，若b 2＋c 2＞a 2，则△ABC 是锐角三角形．( ) (3)在△ABC 中，若已知a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，可以解三角形．( ) [答案] (1)× (2)× (3)×[提示] (1)错误，如已知a ，b 和A ，可利用公式a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 求c ，进而可求角B 和C ．(2)错误，由b 2＋c 2＞a 2和cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc可得cos A ＞0，则A 是锐角，但角B 或C 可能是钝角，△ABC 未必是锐角三角形．(3)错误，已知△ABC 三边的比值，可求其三角，但不能求出三角形的三边，即不能解三角形．2．若△ABC 的三边满足a ∶b ∶c ＝2∶2∶3，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．等腰三角形A [设a ＝2k ，b ＝2k ，c ＝3k ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2k 2＋3k 2－4k 22×2k ×3k ＝126＞0，故A是锐角，且A ＞B ＞C ，所以△ABC 是锐角三角形．]3．在△ABC 中，b 2＋a 2＝c 2＋ab ，则角C ＝________. π3 [由b 2＋a 2＝c 2＋ab 得b 2＋a 2－c 22ab ＝12， 即cos C ＝12，又C ∈(0，π)，故C ＝π3.]4．已知△ABC 的边长满足等式a 2－(b －c )2bc ＝1时，求A ．[解] 由a 2－(b －c )2bc ＝1，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又0＜A ＜π，所以A ＝π3.。
高中数学第二章余弦定理教案1北师大版必修5
1.2 余弦定理教课目的1．知识与技术: 掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2.过程与方法 : 利用向量的数目积推出余弦定理及其推论，并经过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3．神态与价值：培育学生在方程思想指导下办理解三角形问题的运算能力；经过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的广泛联系与辩证一致。
教课要点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；教课难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
学法：第一研究把已知两边及其夹角判断三角形全等的方法进行量化，也就是研究怎样从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数目积比较容易地证了然余弦定理。
进而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确立三角形的角教课假想[创建情形 ]C如图 1． 1-4 ，在ABC中，设 BC=a,AC=b,AB=c,已知 a,b 和C，求边 c b aA c B[ 探究研究 ]( 图 1． 1-4)联系已经学过的知识和方法，可用什么门路来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A、 B 均未知，因此较难求边c。
因为波及边长问题，进而能够考虑用向量来研究这个问题。
A如图 1． 1-5 ，设CB a ， CA b ， AB c ，那么 c a b ，则b cC a Bc 2c c a b a ba ab b a b222( 图 1． 1-5)a ba b2进而c2a2b22ab cos C同理可证a2b2c22bc cos A b2a2 c22ac cos B余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其余两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即c2a2b22ab cos Ca2 b2 c22bc cos A b2 a2 c22ac cos B思虑：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知此中三个量，能够求出第四个量，可否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可获得以下推论：cos A b2c2a2a2c2b2b2a2c2cosB2accos C2ba 2bc[ 理解定理 ] 进而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的随意两边及它们的夹角就能够求出第三边；②已知三角形的三条边就能够求出其余角。
高中数学 第二章 余弦定理教案2 北师大版必修5
余弦定理教学目的：要求学生掌握余弦定理及其证明，并能应用余弦定理解斜三角形 教学重点：余弦定理的证明及其基本应用教学难点：理解余弦定理的作用及其适用范围教学过程：问题提出：在三角形中，已知两角及一边，或已知两边和其中一边的对角，可以用利用正弦定理求其他的边和角，那么，已知两边及其夹角，怎么求出此角的对边呢？已知三边，又怎么求出它的三个角呢？分析理解：1．余弦定理的向量证明：设△ABC 三边长分别为a, b, c =+AC •AC =(AB +BC )•(AB +BC )=AB 2+2AB •BC +BC 2=)180cos(||||2||02B BC AB AB -+22cos 2a B ac c +-=即：Bac c a b cos 2222-+= 同理可得：A bc c b a cos 2222-+=C ab b a c cos 2222-+= 2．语言叙述：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
3．强调几个问题：1︒ 熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等2︒ 知三求一3︒ 当夹角为90︒时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）A4︒ 变形：bc a c b A 2cos 222-+= acb c a B 2cos 222-+= acc b a C 2cos 222-+= 余弦定理的应用能解决的问题：1．已知三边求角 2．已知三边和它们的夹角求第三边例1、如图，有两条直线AB 和CD 相交成080，交点是O ，甲、乙两人同时从点O 分别沿OC OA ,方向出发，速度分别是h km h km /5.4,/4，3小时后两人相距多远（结果精确到km 1.0）分析：经过3时后，甲到达点P ，km OP 1234=⨯=，乙到达点Q ，km OQ 5.1335.4=⨯=问题转化为在OPQ ∆中，已知km OP 12=，km OQ 5.13=，080=∠POQ ，求PQ 的长解：经过3时后，甲到达点P ，km OP 1234=⨯=，乙到达点Q ，km OQ 5.1335.4=⨯= 依余弦定理有POQ OQ OP OQ OP PQ ∠⋅-+=cos 222 02280cos 5.131225.1312⨯⨯⨯-+=)(4.16km ≈答：3时后两人相距约为km 4.16例2：如图是公元前约400年古希腊数学家泰特托期用来构造无理数2，3，5，……的图形，试计算图中线段BD 的长度及DAB ∠的大小（长度精确到1.0，角度精确到01）解：在BCD ∆中，0135,1,1=∠==BCD CD BC因为 BCD CD BC CD BC BD ∠⨯-+=cos 2222 22135cos 11211022+=⨯⨯⨯-+=所以 8.1≈BD 800Q P D C B AoD在ABD ∆中，3,22,1=+==AD BD AB因为 1691.0312)22()3(12cos 22222≈⨯⨯+-+=⨯-+=∠AD AB BD AD AB DAB 所以 080≈∠DAB思考交流：你还能用其他方法求线段BD 的长度及DAB ∠的大小吗？（用解直角三角形的方法及三角函数知识加以解决）课堂小结：余弦定理及其应用课堂作业：1、若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC（A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 解析：由sin :sin :sin 5:11:13A B C =及正弦定理得a:b:c=5:11:13 由余弦定理得0115213115cos 222<⨯⨯-+=c ，所以角C 为钝角 2、（2010江西理数）E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ECF ∠=（ D ） A. 2716 B.32 C.33 D.43 【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。
正弦定理、余弦定理说课稿北师大版(优秀教案)
正、余弦定理（说课稿）一、教材分析正弦定理是使学生在已有知识的基础上，通过对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系。
提出两个实际问题，并指出解决问题的关键在于研究三角形中的边、角关系，从而引导学生产生探索愿望，激发学生学习的兴趣。
在教学过程中，要引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一般三角形进行推导证明,并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题：（）已知两角和一边，解三角形：（）已知两边和其中一边的对角，解三角形。
二、学情分析本节授课对象是高一学生，是在学生学习了必修④基本初等函数Ⅱ和三角恒等变换的基础上，由实际问题出发探索研究三角形边角关系，得出正弦定理。
高一学生对生产生活问题比较感兴趣，由实际问题出发可以激起学生的学习兴趣，使学生产生探索研究的愿望。
根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点。
三、教学目标.知识与技能：()引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法；()简单运用正弦定理解三角形、初步解决某些与测量和几何计算有关的实际问题.过程与方法：通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的思维方法与能力；通过对定理的证明和应用，培养学生独立解决问题的能力和体会分类讨论和数形结合的思想方法..情感、态度与价值观：()通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物规律，培养探索精神和创新意识；()通过本节学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界,进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化修养.四、教学重点、难点教学重点：.正弦定理的推导. .正弦定理的运用教学难点：.正弦定理的推导. .正弦定理的运用.五、学法与教法学法与教学用具学法：开展“动脑想、严格证、多交流、勤设问”的研讨式学习方法，逐渐培养学生“会观察”、“会类比”、“会分析”、“会论证”的能力。
北师大版高中数学必修五余弦定理教案,(1)
【三维目标】：一、知识与技能1.学会利用余弦定理解决有关平几问题及判断三角形的形状，掌握转化与化归的数学思想；2.能熟练地运用余弦定理解斜三角形；二、过程与方法通过对余弦定理的运用，培养学生解三角形的能力及运算的灵活性三、情感、态度与价值观培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；【教学重点与难点】：重点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形；难点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.余弦定理的内容？2.如何利用余弦定理判断锐角、直角、钝角？2.利用余弦定理可解决哪几类斜三角形的问题？ 二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维 例 1 （教材16P 例6）在ABC ∆中，AM 是BC 边上的中线，求证：222)(221BC AC AB AM -+= 例2 （教材15P 例5）在ABC ∆中，已知C B A cos sin 2sin =，试判断三角形的形状例3 在ABC ∆中，证明：C B A cb a sin )sin(222-=-例4 已知三角形一个内角为060，周长为20，面积为310，求三角形的三边长。
例5三角形有一个角是060，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是π12，求这个三角形的面积。
四、巩固深化，反馈矫正1．在ABC ∆中，设=−→−CB a ,=−→−AC b ，且|a |2=,|b |3=,a •b 3-=，则_____=AB 2. 在ABC ∆中，已知060=∠C ，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，则ac b c b a +++的值等于________五、归纳整理，整体认识让学生总结本节课所学的内容及方法（1）知识总结：（2）方法总结：六、承上启下，留下悬念1．书面作业七、板书设计（略）八、课后记：。
高中数学余弦定理教案(优秀5篇)
高中数学余弦定理教案（优秀5篇）高中数学余弦定理教案篇一一、说教材(一)教材地位与作用《余弦定理》是必修5第一章《解三角形》的第一节内容，前面已经学习了正弦定理以及必修4中的任意角、诱导公式以及恒等变换，为后面学习三角函数奠定了基础，因此本节课有承上启下的作用。
本节课是解决有关斜三角形问题以及应用问题的一个重要定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，实现了边与角的互化，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量提供了理论依据，同时也为判断三角形形状，证明三角形中的有关等式提供了重要依据。
(二)教学目标根据上述教材内容分析以及新课程标准，考虑到学生已有的认知结构，心理特征及原有知识水平，我将本课的教学目标定为：⒈知识与技能：掌握余弦定理的内容及公式；能初步运用余弦定理解决一些斜三角形⒈过程与方法：在探究学习的过程中，认识到余弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题，帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力。
⒈情感、态度与价值观：培养学生的探索精神和创新意识；在运用余弦定理的过程中，让学生逐步养成实事求是，扎实严谨的科学态度，学习用数学的思维方式解决问题，认识世界；通过本节的运用实践，体会数学的科学价值，应用价值；(三)本节课的重难点教学重点是：运用余弦定理探求任意三角形的边角关系，解决与之有关的计算问题，运用余弦定理解决一些与测量以及几何计算有关的实际问题。
教学难点是：灵活运用余弦定理解决相关的实际问题。
教学关键是：熟练掌握并灵活应用余弦定理解决相关的实际问题。
下面为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈：二、说学情从知识层面上看，高中学生通过前一节课的学习已经掌握了余弦定理及其推导过程；从能力层面上看，学生初步掌握运用余弦定理解决一些简单的斜三角形问题的技能；从情感层面上看，学生对教学新内容的学习有相当的兴趣和积极性，但在探究问题的能力以及合作交流等方面的发展不够均衡。
余弦定理 优秀课件 北师大版
c
b
C
1 因此c 5 4 2 5 4( ) 61 2
2 2
a
图 1
B
例2
在ABC中，已知a 3, b 2, c 19，求此三角形各个角的大小及其面积，
解：由余弦定理得：
（精确到0.1）
cosC
a b c 2ab
2 2
2
3 2 19 2 3 2
（ ）当ABC为直角三角形时； 1
A
C 90 c a b
2 2 2 2 2
又 cosC 0 c a b - 2abcosC
2
C
B
( 2)当ABC为锐角三角形时； c 2 AD 2 BD 2
2 2 bsinC） BD DC） （ （
2 2
2
A
因此C 120
再由正弦定理得
a sin C sin A c 3 3 2 3 3 0.5960 19 2 19
B
图2
C
D
因此，A 36.5或A 143 .4（不合题意，舍去）
因此，B 180 A C 23.4
设BC边上的高为AD，则
既然选择了远方， 就只有风雨兼程 。
人教版必修5
1.1.2余弦定理
温故知新
1、正弦定理的主要内容 是什么？
正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的
a b c 正弦的比相等 sin A sin B sin C
2、正弦定理能解决哪些解三角形问题？
(1)已知两边及一边对角，求另一边的对角。 (2)已知两角和任一边，求其它两边及一角
在一个三角形中，如果知道两边及其夹角的值， 由余弦定理就可以求出第三边
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第二章 解三角形
1.2余弦定理
教学目标
1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，
3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
教学难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。
从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角
教学设想
[创设情景] C
如图1．1-4，在∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b 和∠C ，求边c b a
A c
B [探索研究] (图1．1-4)
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
如图1．1-5，设CB a = ，CA b = ，AB c = ，那么c a b =-
，则
b
c
C a
B
()()
2
22
2
2
c c c a b a b
a a
b b a b
a b a b
=⋅=--
=⋅+⋅-⋅
=+-⋅
(图1．1-5)
从而
2222cos
c a b ab C
=+-
同理可证
2222cos
a b c bc A
=+-2222cos
b a
c ac B
=+-
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即
2222cos
c a b ab C
=+-
2222cos
a b c bc A
=+-2222cos
b a
c ac B
=+-
思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
222
cos
2
+-
=
b c a
A
bc
222
cos
2
+-
=
a c b
B
ac
222
cos
2
+-
=
b a c
C
ba
[理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若∆ABC中，C=0
90，则cos0=
C，这时222
=+
c a b
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
例题:例1．在∆ABC中，已知=
a c0
60
=
B，求b及A
⑴解：∵
2222cos
=+-
b a
c ac B
=
222
+-⋅cos045
A
=2121)+-= 8 ∴=b
求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
⑵解法一：∵cos 2222221,
22+-=b c a A bc ∴060.=A
解法二：∵sin 0sin sin45,
=a A B b 2.4 1.4 3.8,+=
21.8 3.6,⨯=∴a ＜c ， 即00＜A ＜090, ∴060.=A 评述：解法二应注意确定A 的取值范围。
例2．在∆ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形 解：由余弦定理的推论得： cos 2222+-=b c a A bc 22287.8161.7134.6287.8161.7
+-=⨯⨯0.5543,≈ 05620'≈A ； cos 222+-=c a b B 222
134.6161.787.8+-=0.8398,≈ 03253'≈B ； 0000180()180(56203253)
''=-+≈-+C A B 09047.'= [随堂练习]第51页练习第1、2、3题。
[补充练习]在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A （答案：A=1200）
[课堂小结]（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律， 勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；
②．已知两边及它们的夹角，求第三边。
（五）：作业：第52页[习题2.1]A 组第5题。