等比数列的概念与性质
4.3.1等比数列的判定及性质
102.6
5
107.2
12
100.6
6
107.2
13
98.1
7
106.9
14
95.0
观察发现，数列{ }先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当 ≥ 时，
{ }递减，且 < 即可.
新知探究
由 + +
=
.+ ×[−(+)]
第四章 数列
4.3.1 等比数列的概念
教学目标
1.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.
2.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算；
3.通过利用等比数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数
学运算素养
01
复习导入
复习回顾
1.等比数列的定义是什么？
. ×(−)
< ，
得 > .
所以，当 ≥ 时，{ }递减.
又 ≈ < ，所以，当 ≤ ≤ 时， ≤ < .
所以，生产该产品一年后，月不合格的数量能控制在100个以内.
新知探究
方法总结
1.构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式求解.
（2）如果数列{ }是各项均为正的等比数列，那么数列{ }是等差数列.
04
等比数列的实际应用
新知探究
例1.用 10000元购买某个理财产品一年.
l
(1)若以月利率. %的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
(2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息
高中数学知识点总结等比数列与等比数列的性质
高中数学知识点总结等比数列与等比数列的性质等比数列是数学中常见的一种数列，又被称为等比数列或几何数列。
在高中数学中，等比数列的概念及其性质是学习数列的重要一环。
本文将对等比数列以及等比数列的性质进行总结和讨论。
1. 等比数列的定义等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。
假设数列的首项为a，公比为r，那么等比数列的通项公式可以表示为：an = a * r^(n-1)其中，an为数列的第n项。
2. 等比数列的性质等比数列有许多特殊的性质，下面将逐一介绍。
2.1 等比数列的公比公比r是等比数列中非常重要的一个概念，它决定了数列的增长或衰减趋势。
当|r|>1时，等比数列呈现增长趋势，此时数列的绝对值逐项增大；当|r|<1时，等比数列呈现衰减趋势，此时数列的绝对值逐项减小；当|r|=1时，等比数列的绝对值保持不变。
2.2 等比数列的通项公式的推导等比数列的通项公式an = a * r^(n-1)可以通过递推关系式得出。
首先可以得到数列的第二项：a2 = a * r。
推导出来的通项公示能够方便我们计算等比数列中各项的大小。
同时，通过改变公比，我们可以观察等比数列的特点。
2.3 等比数列前n项和的计算等比数列的前n项和Sn可以通过以下公式进行计算：Sn = a * (r^n - 1) / (r - 1)这个公式也可以通过递推关系式的推导得出。
等比数列前n项和的计算在实际问题中具有重要的应用，可以帮助我们求解等比数列求和问题。
3. 等比数列的应用举例3.1 高度问题假设一个球从一定的高度往下落，每次反弹高度都是之前一次的一半。
如果求第n次反弹的高度，我们可以建立等比数列来描述这个过程。
首项为球的初始高度，公比为1/2，利用等比数列的通项公式即可求解。
3.2 利息问题在金融领域中，利息的计算经常涉及到等比数列。
例如，一笔钱每年按照固定的利率计算利息，那么每年的本金和利息的总额就构成了一个等比数列。
等比数列的概念
等比数列的概念等比数列是数学中常见的一种数列形式，也是数列研究中的基础概念之一。
它具有一定的规律性和特殊的增长方式，其中的每一项都是前一项与公比的乘积。
本文将围绕等比数列的概念展开，探讨其定义、性质以及应用。
一、定义等比数列是指数列中每一项等于其前一项与公比的乘积。
通常用a，ar，ar^2，ar^3，……表示其中的项。
其中，a为首项，r为公比，n为项数。
二、性质1. 比值性质：等比数列中任意两项的比值都相等，即对于任意的正整数i，j，有an/aj = a(i-j)2. 通项公式：对于等比数列中的第n项an，可以利用首项和公比的值来求解通项公式。
通项公式为an = ar^(n-1)3. 等比数列的和：等比数列的前n项和Sn可以通过以下公式求解：Sn = a(1 - r^n)/(1 - r)4. 当公比r在区间(-1,1)之间时，等比数列的项数趋于无穷大时，其和会收敛到一个有限值。
而当公比r大于1或小于-1时，等比数列的和则会趋向于正无穷或负无穷。
这一性质在数学和实际问题中都有重要的应用。
三、应用1. 财务问题：在一些财务问题中，等比数列可以用来描述投资的复利增长情况。
例如，银行中的定期存款，每年的利息都是本金的一定比例。
2. 自然科学：在自然科学中，一些循环性或增长性的现象也可以通过等比数列来描述。
例如，生物中的菌落扩张、细胞分裂等。
3. 几何问题：等比数列在几何问题中也有重要的应用。
例如，在一些几何图形的构造中，通过等比数列可以得到一些特殊的比例关系。
另外，用等比数列可以计算球体的体积、三角形的面积等。
4. 理财规划：在个人理财规划中，等比数列也有一定的应用。
例如，通过等比数列可以计算每年的收入增长情况，以制定更为合理的财务计划。
总结：等比数列是数学中一种常见的数列形式，它具有一定的规律性和特殊的增长方式。
通过等比数列的定义、性质以及应用的讨论，我们可以更加全面地理解和应用等比数列。
无论是在数学学习中还是实践中，掌握好等比数列的概念对于解决问题具有重要的意义。
等比数列概念及性质
an am q
变通公式
nm
( n, m N )
*
性质1：设an , am为等比数列an 中任意两项， 且公比为q，则an am q
证明
nm
.
设等比数列an 的首项为a1 , 公比为q， 则有an a1q , am a1q
n 1 m 1
an nm nm 从而 q , 即an am q . am
例题3：一个等比数列的第3项和第4 项分别是12和18，求它的第1项和第2 项。
1.在等比数列{an}中，已知
a 3 20, a 6 160
求an.
四. 应用示例
例2.根据右图的框图,写出所打印 数列的前5项,并建立数列的递 推公式.这个数列是等比数列吗?
开始
A=1 n=1 输出A n=n+1 A=1/2A 否
例3.已知等比数列an 的首项为a1 , 公比为q，依次取出数列an 中所有奇数项，组成一个新数列，这个数列还是等比数列吗？
变式1：如果依次取出a1 , a4 , a7 , a10 ,构成一个新数列， 该数列是否还是等比数列？
思考：你能得到更一般的结论吗？
① 1，-1，1，…，(-1)n+1 ；√
②1，2，4，6…；× ③a，a，a，…，a； ×
④已知a1=2，an=3an+1 ； √
⑤
m, 2m, 4m ,8m ,... ×
2
3
⑥2a，2a，2a，…，2a. √
2、求出下列等比数列中的未知项： 1 (1)2，a，8；(2)－4，b，c， . 2
思考2：公比q<0时，等比数列呈现怎样的特 点？ 正负交替
第二课时
二、新课
等比数列的概念和计算
等比数列的概念和计算等比数列是数学中重要的概念之一，它在各种实际问题中都有广泛的应用。
在本文中，我们将介绍等比数列的概念、性质和计算方法，帮助读者更好地理解和运用等比数列。
一、等比数列的概念等比数列是指一系列的数按比例递增或递减的数列。
它的特点是每个数都是前一个数与同一个非零常数的乘积。
设首项为a，公比为r，则等比数列的通项公式为：an = ar^(n-1)其中，an表示第n个数，r表示公比。
二、等比数列的性质等比数列有许多有趣的性质，下面我们来介绍几个常见的性质：1. 公比的性质：对于等比数列，如果公比r>1，那么数列是递增的；如果0<r<1，数列是递减的。
当r=-1时，数列交替增减；当r=1时，数列是等差数列。
2. 等比数列的比与比与项的关系：等比数列中，任意两项的比等于它们的比的m次方，即an/am=a^(n-m)。
3. 等比数列的前n项和：等比数列的前n项和公式为Sn=a(1-r^n)/(1-r)，其中S表示前n项和。
这个公式可以通过数列的递推关系和等差数列的求和公式推导得出。
三、等比数列的计算方法计算等比数列的各项值是数列问题中的重要环节，下面我们将介绍两种常见的计算方法。
1. 递推法：通过已知项计算下一项。
首先确定首项a和公比r，然后根据递推关系an = an-1 * r计算每一项的值。
这种方法适用于已知首项和公比的情况。
2. 公式法：利用等比数列的通项公式，直接计算任意项的值。
首先确定首项a和公比r，然后根据通项公式计算特定项的值。
这种方法适用于已知首项和公比，但需要计算某一特定项的情况。
四、应用举例等比数列在实际问题中有广泛的应用。
例如，金融领域中的复利计算就涉及到等比数列。
假设你存入一笔本金，每年的利率固定为r，那么n年后的本金总额可以表示为Sn=a(1-r^n)/(1-r)。
通过等比数列的计算，可以帮助我们了解到本金随时间的变化情况。
另外，等比数列还可以应用于计算机科学中的数据结构和算法设计中。
等比数列知识点归纳总结
等比数列知识点归纳总结等比数列是指一个数列中每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
在等比数列中，我们可以通过一些重要的知识点来解决与数列相关的问题。
本文将对等比数列的概念、性质以及求和公式进行归纳总结。
一、等比数列的概念与性质1. 等比数列的概念：等比数列是指一个数列中，从第2项开始，每一项都是前一项乘以同一个常数的结果。
2. 公比的概念：在等比数列中，这个常数被称为公比，通常用字母q表示。
3. 公比的计算：公比q可以通过相邻两项的比值来计算，即等于后一项除以前一项。
公比q = 第(n+1) 项 / 第n 项4. 等比数列的性质：（1）任意项与它前一项的比值都等于公比q；（2）等比数列中，任意两项的比值都相等。
二、等比数列的求和公式在解决与等比数列相关的问题时，求和是一个重要的方面。
通过求和公式，我们能够快速计算等比数列的前n项的总和。
以下是等比数列的求和公式：Sn = a1*(1-q^n)/(1-q)其中，Sn表示前n项的和，a1表示第一项，q表示公比。
三、等比数列的常见问题解答1. 已知等比数列的首项a1和公比q，求出该数列的通项公式：通项公式可以通过逐项相除来得到。
假设通项公式为an，那么有：a2/a1 = a3/a2 = a4/a3 = ... = q根据这个比值相等的关系，可以得到通项公式：an = a1*(q^(n-1))2. 已知等比数列的部分项求和：有时候我们需要计算等比数列中从第m项到第n项的和，可以利用通项公式将问题转化为前n项和减去前m-1项和的差值。
S(m,n) = Sn - S(m-1)其中，S(m,n)表示从第m项到第n项的和。
3. 已知等比数列的前n项和Sn，求出该数列的通项公式：在这种情况下，可以通过求和公式逆推得到通项公式。
首先将求和公式改写为关于q的方程，然后解方程求得q的值，最后代入通项公式中即可得到结果。
以上是关于等比数列的概念、性质、求和公式以及常见问题的解答。
等比数列的概念解析
等比数列的概念解析数列是数学中重要的概念之一，而等比数列是其中一种常见的数列形式。
在本文中，我将对等比数列进行详细的解析和说明。
一、概念解释等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的比值保持不变。
这个比值称为公比，通常用字母q表示。
对于等比数列，任意两项之间的比值都相等。
二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式可以用来计算数列中任意一项的值。
设等比数列的首项为a₁，公比为q，第n项为an，则等比数列的通项公式为：an = a₁ * q^(n-1)三、等比数列的性质1. 前n项和公式等比数列的前n项和可以通过以下公式计算：Sn = a₁ * (q^n - 1) / (q - 1)其中，Sn表示前n项和。
2. 通项和项数的关系通过等比数列的通项公式，我们可以将通项和项数的关系表示为：an = a₁ * q^(n-1)可以看到，项数越大，每一项与首项的比值的次方指数也会随之增大。
3. 公比的正负性如果公比q大于1，则等比数列是递增的；若q小于1但大于0，则等比数列是递减的；若q小于0，则等比数列的奇数项和偶数项符号交替。
4. 等比数列的性质推导由等比数列的通项公式可知，等比数列的相邻两项的比值为：an / a(n-1) = (a₁ * q^n-1) / (a₁ * q^n-2) = q由此可得到等比数列的性质推导。
四、等比数列的应用举例等比数列广泛应用于各个数学领域和实际问题中。
以下是一些等比数列在实际应用中的举例：1. 财务领域利息、投资回报等财务问题中，往往会涉及到等比数列的计算。
例如，计算利息在多个周期中的增长情况。
2. 计算机科学计算机领域中，等比数列常用于算法设计和数据结构中。
例如，二分查找算法中的数列就是等比数列。
3. 自然科学在自然科学中，等比数列常常用于表达某些自然现象的增长或衰减规律。
例如，放射性元素的衰变过程可以用等比数列来描述。
综上所述，等比数列是数学中常见的数列形式，具有明确的概念和性质。
等比数列的概念与性质
等比数列的概念与性质等比数列是数学中常见且重要的数列之一。
在等比数列中，每一项与它的前一项的比值都相等，这个比值称为公比。
本文将介绍等比数列的概念和性质，以及如何应用等比数列解决实际问题。
一、等比数列的概念等比数列是指数列中的每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
简而言之，等比数列满足以下条件：1. 第一项 a_12. 公比 r根据上述条件，等比数列的通项公式可以表示为 a_n = a_1 * r^(n-1)，其中 n 为项数。
二、等比数列的性质等比数列具有以下性质：1. 公比的符号决定数列的性质- 当公比 r 大于 1 时，数列是递增的。
- 当公比 r 介于 0 和 1 之间时，数列是递减的。
2. 等比数列的前 n 项和- 当公比 r 不等于 1 时，等比数列的前 n 项和可以表示为 S_n =a_1 * (1 - r^n) / (1 - r)。
- 当公比 r 等于 1 时，等比数列的前 n 项和为 n * a_1。
3. 等比数列的无穷项和- 当公比 r 的绝对值小于 1 时，等比数列的无穷项和可以表示为 S = a_1 / (1 - r)。
- 当公比 r 的绝对值大于等于 1 时，等比数列的无穷项和不存在。
4. 等比数列的前 n 项平方和- 当公比 r 不等于 1 时，等比数列的前 n 项平方和可以表示为 S_n' = (a_1^2 * (1 - r^2n)) / (1 - r^2)。
- 当公比 r 等于 1 时，等比数列的前 n 项平方和为 n * a_1^2。
三、等比数列的应用举例等比数列广泛应用于实际问题的求解中。
以下是几个应用等比数列的例子：1. 存款问题假设某人每年将存款的一定比例保留，其余部分用于消费。
如果从第一年开始，每年的存款比上一年减少 20%，那么第 n 年的存款是多少？解：假设第一年的存款为 a_1，公比为 r = 1 - 20% = 0.8。
根据等比数列的通项公式 a_n = a_1 * r^(n-1)，可以得到第 n 年的存款为 a_n = a_1 * 0.8^(n-1)。
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等比数列的概念与性质
一、知识归纳
1. ________________________________________________________________ 等比数列的概念：一般的，____________________________________________________________ ，那么这个数列
叫做等比数列，这个常数叫做，公比通常用字母q表示。
即
a n J
2. 若a,G,b成等比数列，则G叫做a与b的___________ 。
此时G=_____________ .
3. 等比数列的通项公式为： __________________________ 。
4. 首项为正数的等比数列的公比q =1时，数列为 ___________ 数列；当q ：：： 0时，数列为
数列；当0 ：：：q ::: 1时，数列为___ 数列；当q时，数列为_______________ 数列。
5. 等比数列性质：
在等比数列｛a.｝中，若m • n二P q ,则a m a^a p a q
6. 等比数列的前n项和
当q =1 时，S n 二_____________ ；
当q =1 时，S n 二_______________ .
7用函数的观点看等比数列：
（1）等比数列的通项公式是 ____________
二、经典题目
1、判断正误：
① 1，2，4，8，16是等比数列；
1 1 1
②数列1, — ,,，…是公比为2的等比数列;
2 4 8
a b .
③若，则a,b,c成等比数列；
④若= n n • N ，则数列On 成等比数列; a n
⑤0,2,4,8,16 是等比数列；
2.判断下列数列玄［是否为等比数列：
（1）a n =（-1 厂（W N* ；
（3）a n= n 2n,n N*
（）
（）
（）
（）（）.
⑵ a n+2 n：N* ；
（4）a n 二-1,n N*
思考：如何证明（判断）一个数列是等比数列？
3•已知等比数列3°,32,3,||(.
(1)试问：3n 1和9n分别是该数列的第几项？
(2)乘积3n 1 9n是该数列的项吗？如果是，它是该数列的第几项?
4•各项均为正数的等比数列｛a n｝中，a1 = 3,3)+a2+a3 = 21,则a3 + a4+a s= _________.
5.已知\a n为等比数列，且a3 =2,a2• a4 =—，求的通项公式。
3
1
6•在等比数列右n ｝中，已知Q=1,a4= -，则该数列的前10项和等于。
8
7. 已知等比数列a f的前10项和为So =10，前20项和为S20 = 30，求S30
8•等差数列｛a n｝中，q =2,公差不为零，且a1,a3,不恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列的公比等于________
2
9.(2012辽宁)已知等比数列｛a n｝为递增数列，且a s =a10, 2@n • a n .2) = 5a n 1,则数列｛a.｝的
通项公式a n = ________ .
10. (2012浙江)设公比为q(q 0)的等比数列｛a.｝的前n项和为S n ,若
S2=3a2+2,S4 =3a4+2，贝V q =____ .
111
11. 已知数列｛a n｝是公比为2的等比数列，若a3- a^ 6,则= ___________ ，-^+=+=+11 +
12.已知等比数列'a的前n项和Si = 2n-1，求数列'a；』的前n项和T n。
13.已知等比数列的前n项和为s n=4n+a，则a的值为等于___________
14.已知数列｛a n｝是各项均为正数的等比数列，且a1 a^2(- —),a3 a^ 32(丄—).
a? a3 a4 (1)求数列｛a n｝的通项公式；
⑵设b n =a；log2a n,求数列｛b n｝的前n项和T n.
15•已知｛a n｝是公比大于1的等比数列，S n为其前n项和，且a^2,S^ =7。
(1)求数列｛a n｝的通项公式a n ；
* 1 、
(2)设b n = log 2 a n s( n • N )，求数列｛｝的前n 项和T n。
b n 6卅
16. 在等比数列〈aj中，已知a n> 0, a2a4 + 2a3a5+ a4a6 = 25，贝U a^ a^ ______ .
17. 各项均为正数的等比数列faj中，若a4、a® a§三项之积为27.
贝V log 3 Q 十log 3 a^ log 3 a$ + log 3 a g =—.
18. ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 已知等比数列、a n f，若a a2• a3 = 7, a-i a2a^= 8，则a n = --------------------------------------------------------
19. 若数列faj是各项都为正数的等比数列，它的前n项和为80,其中数值最大的项为54, 前2n项和为6560,试求数列:a/?的首项与公比。
20. 数列也［的前n 项和为S n，a =1,S n 1 =4a n • 2,n N*.
(1)设0 = a n 1 -2a n ,求证:｛b n｝是等比数列；
a
⑵设C n —,求证:｛C n｝是等比数列.
3n —1
21. (1)求2 1与,2 -1的等比中项是------；
(2)等比数列的前三项和为168, a2-a5=42，求a5、a7的等比中项。
22. 某市共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2007年投入128辆电力型公交车，随后
电力型公交车每年的投入比上一年增加50%试问：
(1)该市在2013年应该投入多少辆电力型公交车？
3
1
(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的
7.已知等比数列｛a *｝的前n 项和为
1
，贝U X 的值
为（
6 1
L
2
512,如果中间一个数加上
n -1
1 2
2,则成等差数列，那么这三个数
A 1
D
1 A -
B
3
3
8. 三个数成等比数列，它们的积为 依次为（ ）。
A 4,8,16
B 16,8,4
C 4,8
9. 一个蜂巢里有一只蜜蜂， 第一天它飞出找回了 5个伙伴，第二天6只蜜蜂飞出去各找回了 5
个伙伴，…，如果这个找伙伴的过程继续下去，第 6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中共有
蜜蜂（）只。
A 55 986 B 46 656 二、填空题
，16 或 16,8,4 D
以上都不对
C 216
D 36
课后作业
2a + a
1.设a i 、a 2、a 3、a 4成等比数列，其公比为
2,则
1
一-的值为（）。
2a 3 a 4
A 1
C
1 A
B
C
1
D 1
4
2
8
9
2.若等比数列的首项为
9
，末项为 1
1
，公比为 2
2
，则这个数列的项数为（ ）。
8 3 3
A 3
B 4
C 5
D 6
3.设｛a n ｝是由正数组成的等比数
列，
公比q 二 2 ,且玄凤玄彳111 a 30 =
30 2 ,则 aaa 9 a 3
=()
A 210
B
220
C
2
15
D
216
A ｛a ；｝ 是等比数列
1
｛—｝是等比数
列
C ｛lg a n ｝是等差数列 ｛lg | a n |｝是等差数列
6.某工厂生产总值连续两年的年增长率依次为 p%、q%，则这两年的平均增长率是（ A P% q%
2
p% q%
C (1 p%)(1 q%)
(1 p%)(1 q%) -1
4. 一直角三角形三边边长成等比数
列，
则（）。
A三边边长之比为3: 4: 5B
三边边长之比为
1：
.3:3
C较少锐角正弦值为5 _1
D较大锐角正弦值为
• 5—1 22
5.在数列｛a n｝中，a n = q,(q = 0)，则下列结论不恒成立的是（）。
10. 已知各项都为正数的等比数列的任何一项都等于它后面相邻两项的和，则该数列的公比
q = __ 。
11. 设等差数列｛a n｝的公差d不为0, a i =9d,若a k是a i与a2k的等比中项，贝U k二_______ 。
12. 满足1 3 3^|l 3n 10000的最小自然数.
13. 已知等比数列｛a n｝中，a n .0®、a99为方程X2_10X T6=：0的两根，则a2°a5°a80的值
为_________ .。