高一数学等比数列的概念及通项公式
高中数学第二章数列2.4等比数列第1课时等比数列的概念与通项公式同步aa高一数学
(2)a1＝qan－n 1＝5642－51＝5，故 a1＝5. (3)a3＝a1·q2，即 8＝2q2， 所以 q2＝4，所以 q＝±2. 当 q＝2 时，an＝a1qn－1＝2·2n－1＝2n， 当 q＝－2 时，an＝a1qn－1＝2(－2)n－1＝(－1)n－12n， 所以数列{an}的公比为 2 或－2， 对应的通项公式分别为 an＝2n 或 an＝(－1)n－12n.
所以 a1＝q－42q4＝12－42124＝96. 若 G 是 a5，a7 的等比中项，则应有 G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝a21q10＝962·1210＝9. 所以 G＝±3. 即 a5，a7 的等比中项为±3.
归纳升华 等比中项的三点认识
1．当 a，b 同号时，a，b 的等比中项有两个；当 a， b 异号时，没有等比中项．
2．在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数 列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．
3．“a，G，b 成等比数列”等价于“G2＝ab”(a，b 均不为 0)，要特别注意限定的条件，否则是不等价的．可 以用它来判断或证明三个数成等比数列，同时还要注意到 “a，G，b 成等比数列”与“G＝± ab”是不等价的．
又 an＝1，所以 3212n－1＝1， 即 26－n＝20，所以 n＝6. 法二 因为 a3＋a6＝q(a2＋a5)， 所以 q＝12. 由 a1q＋a1q4＝18，知 a1＝32. 由 an＝a1qn－1＝1，知 n＝6.
归纳升华 1．在已知 a1 和 q 的前提下，利用公式 an＝a1qn－1 可 求出等比数列中任意一项． 2．在通项公式中知道 a1、q、n、an 四个量中的任意 三个，可求得另一个量．
[变式训练] (1)已知－1，x，－4 成等比数列，则 x
高中数学《等比数列的概念和通项公式》教案
一、教学目标1. 让学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式。
2. 培养学生运用等比数列知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数列这一数学思想的认知，培养学生的逻辑思维能力。
二、教学内容1. 等比数列的概念2. 等比数列的通项公式3. 等比数列的性质三、教学重点与难点1. 教学重点：等比数列的概念，等比数列的通项公式。
2. 教学难点：等比数列通项公式的推导和应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索等比数列的概念和性质。
2. 运用案例分析法，让学生通过具体例子理解等比数列的通项公式。
3. 采用小组讨论法，培养学生的合作意识和团队精神。
五、教学过程1. 导入新课：通过回顾数列的概念，引导学生思考等比数列的特点。
2. 讲解等比数列的概念：借助具体例子，讲解等比数列的定义和性质。
3. 推导等比数列的通项公式：引导学生运用已知知识，推导出等比数列的通项公式。
4. 应用等比数列通项公式：通过实例，展示等比数列通项公式的应用。
5. 课堂练习：布置相关练习题，巩固所学知识。
6. 总结与拓展：对本节课内容进行总结，提出拓展问题，激发学生课后思考。
7. 课后作业：布置适量作业，巩固所学知识。
六、教学评价1. 通过课堂表现、作业和练习，评价学生对等比数列概念和通项公式的掌握程度。
2. 结合课后作业和课堂讨论，评估学生运用等比数列知识解决实际问题的能力。
3. 通过小组讨论和课堂提问，了解学生对数列思想的认知和逻辑思维能力的提升。
七、教学资源1. PPT课件：制作包含等比数列概念、性质和通项公式的PPT课件，以便于学生理解和记忆。
2. 练习题库：准备一定数量的等比数列练习题，包括基础题、应用题和拓展题，以供课堂练习和课后作业使用。
3. 教学视频：搜集相关的教学视频，如等比数列的动画演示、讲解等，以辅助教学。
八、教学进度安排1. 第一课时：介绍等比数列的概念和性质。
2. 第二课时：推导等比数列的通项公式，讲解应用实例。
等比数列的概念及通项公式
3、已知三个数成等比数列，它们的和为14，它们的 积为64，求这三个数。 2,4,8 或8,4,2
4、正项等比数列{an},公比q=2，且a1a2a3…a18=230, 则a3a6a9…a18=__________ 。 216
例题分析
例:（2006全国卷I）已知{an}为等比数 列，公比q>1,a2+a4=10, a1.a5=16 求等 比 数列 {an}的通项公式
练
习
Байду номын сангаас
1、已知数列{an}为等比数列，且an＞0，a2a4＋ 2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于（ A ） A.5 B.10 C.15 D.20
log3 (a1a2 a3 a11 )
3
1
3
2
3
3
3
11
11
log a log 3
11 3 6 11 3
∵a1a11 = a62=9且an>0
∴a6=3
形成性训练
1、在等比数列{an}中，已知a2 = 5，a4 = 10，则公比 q的值为________ 2、 2与8的等比中项为G，则G的值为_______ 3、在等比数列{an}中，an＞0, a2a4+2a3a5+a4a6=36, 那么a3+a5=_________ 4、在等比数列中a7=6，a10=9，那么a4=_________.
等比数列中有类似性质吗？？？
想一想
探究一
在等比数列{an}中，a2.a6=a3.a5是否成立？
高中数学《等比数列的概念和通项公式》教案
高中数学《等比数列的概念和通项公式》教案一、教学目标1. 让学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的性质。
2. 引导学生掌握等比数列的通项公式，并能运用通项公式解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容1. 等比数列的概念2. 等比数列的性质3. 等比数列的通项公式4. 等比数列的求和公式5. 运用通项公式解决实际问题三、教学重点与难点1. 教学重点：等比数列的概念、性质、通项公式及其应用。
2. 教学难点：等比数列通项公式的推导和运用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究等比数列的性质和通项公式。
2. 利用多媒体课件，生动展示等比数列的图形和性质，提高学生的直观认识。
3. 结合例题，讲解等比数列通项公式的应用，培养学生解决问题的能力。
4. 开展小组讨论，促进学生之间的交流与合作，提高学生的团队意识。
五、教学过程1. 引入新课：通过讲解现实生活中的例子，引出等比数列的概念。
2. 讲解等比数列的性质：引导学生发现等比数列的规律，总结等比数列的性质。
3. 推导等比数列的通项公式：引导学生利用已知的数列性质，推导出通项公式。
4. 讲解等比数列的求和公式：结合通项公式，讲解等比数列的求和公式。
5. 运用通项公式解决实际问题：选取典型例题，讲解等比数列通项公式的应用。
6. 课堂练习：布置适量习题，巩固所学知识。
7. 总结与反思：引导学生总结本节课所学内容，反思自己的学习过程。
8. 课后作业：布置课后作业，巩固所学知识，提高学生的应用能力。
9. 教学评价：对学生的学习情况进行评价，了解学生对等比数列知识的掌握程度。
10. 教学反思：总结本节课的教学效果，针对存在的问题，调整教学策略。
六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体的等比数列案例，让学生深刻理解等比数列的概念和性质。
2. 互动教学：鼓励学生积极参与课堂讨论，提问引导学生思考，增强课堂的互动性。
高中数学等比数列知识点总结
《高中数学等比数列知识点总结》在高中数学的学习中，等比数列是一个重要的知识点。
它不仅在数学学科中有着广泛的应用，还为其他学科的学习提供了重要的数学工具。
本文将对高中数学等比数列的知识点进行全面总结。
一、等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q≠0）。
例如：数列 2，4，8，16，32……就是一个等比数列，公比 q= 2。
二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式为\(a_n = a_1q^{n - 1}\)，其中\(a_n\)表示数列的第 n 项，\(a_1\)表示数列的首项，q 表示公比。
1. 推导过程- 设等比数列\(\{ a_{n}\}\)的首项为\(a_1\)，公比为 q。
- 则\(a_{2}=a_{1}q\)，\(a_{3}=a_{2}q = a_{1}q^{2}\)，\(a_{4}=a_{3}q = a_{1}q^{3}\)……- 由此可归纳出等比数列的通项公式\(a_n = a_1q^{n -1}\)。
2. 通项公式的应用- 已知等比数列的首项和公比，可以求出数列的任意一项。
- 已知等比数列的任意两项，可以求出公比和其他项。
三、等比中项如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。
1. 等比中项的性质- \(G^{2}=ab\)。
- 若\(a\)，\(b\)同号，则等比中项有两个，且互为相反数。
2. 应用举例- 已知两个数的积和其中一个数，可以求出另一个数的等比中项。
四、等比数列的前 n 项和公式等比数列的前 n 项和公式为\(S_{n}=\begin{cases}na_{1},(q = 1)\\\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1- q},(q\neq1)\end{cases}\)。
高中数学《等比数列的概念及通项公式》课件
[跟踪训练]
1．已知 a 是 1,2 的等差中项，b 是－1，－16 的等比中项，
则 ab＝
()
A．6
B．－6
C．±6
D．±12
解析：依题意知，2a＝1＋2，b2＝(－1)×(－16)，
∴a＝32，b＝±4，∴ab＝±6. 答案：C
2．已知等比数列{an}的前三项依次为 a－1，a＋1，a＋4，则 an＝________. 解析：由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，
⑤
将④⑤代入②，得 a23＝a1＋2 a3·a23a＋3·aa55.
a1＋a3a5 ∴a3＝ a3＋a5 ，即 a3(a3＋a5)＝a5(a1＋a3)． 化简，得 a23＝a1·a5.又 a1，a3，a5 均不为 0，所以 a1，a3，a5 成等
比数列．
2．已知数列{an}是首项为 2，公差为－1 的等差数列，令 bn ＝12an，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式． 解：依题意 an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n， 于是 bn＝123－n. 而bbn＋n 1＝121223－ －nn＝12－1＝2，又 b1＝122＝14. ∴数列{bn}是以14为首项，2 为公比的等比数列，通项公式 为 bn＝2n－3.
求等比数列通项公式的常用方法 (1)根据已知条件，建立关于 a1，q 的方程组，求出 a1，q 后再求 an，这是常规方法； (2)充分利用各项之间的关系，直接求出 q 后，再求 a1，最 后求 an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
[跟踪训练] 在等比数列{an}中． (1)a4＝2，a7＝8，求 an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求 n.
又∵an＋1＝2an＋3，
an＋1＋3 2an＋3＋3 2an＋3
高中数学《等比数列的概念和通项公式》教案
高中数学《等比数列的概念和通项公式》教案一、教学目标1. 让学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的定义及其特点。
2. 引导学生推导等比数列的通项公式，并能运用通项公式解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力、运算能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 等比数列的概念：介绍等比数列的定义、性质和判定方法。
2. 等比数列的通项公式：引导学生推导通项公式，并进行证明。
3. 等比数列的求和公式：介绍等比数列前n项和的公式。
三、教学重点与难点1. 教学重点：等比数列的概念、性质、通项公式和求和公式。
2. 教学难点：等比数列通项公式的推导和证明。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析和归纳等比数列的性质。
2. 运用类比法，让学生理解等比数列与等差数列的异同。
3. 利用多媒体辅助教学，展示等比数列的动态变化过程。
4. 开展小组讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过引入日常生活中的实例，如银行存款利息问题，引导学生思考等比数列的概念。
2. 讲解等比数列的定义和性质：让学生通过观察、分析和归纳等比数列的性质，得出等比数列的定义。
3. 推导等比数列的通项公式：引导学生利用已知条件，通过变换和代数运算，推导出等比数列的通项公式。
4. 证明等比数列的通项公式：让学生理解并证明等比数列通项公式的正确性。
5. 介绍等比数列的求和公式：引导学生运用通项公式，推导出等比数列前n项和的公式。
6. 课堂练习：布置一些有关等比数列的题目，让学生巩固所学知识。
7. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，让学生反思自己的学习过程，提高学习效果。
8. 课后作业：布置一些有关等比数列的练习题，巩固所学知识。
六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体的等比数列案例，让学生更好地理解等比数列的概念和性质。
2. 互动提问：在教学过程中，教师应引导学生积极参与课堂讨论，提问等方式来巩固学生对等比数列的理解。
等比数列的概念和计算
等比数列的概念和计算等比数列是数学中重要的概念之一，它在各种实际问题中都有广泛的应用。
在本文中，我们将介绍等比数列的概念、性质和计算方法，帮助读者更好地理解和运用等比数列。
一、等比数列的概念等比数列是指一系列的数按比例递增或递减的数列。
它的特点是每个数都是前一个数与同一个非零常数的乘积。
设首项为a，公比为r，则等比数列的通项公式为：an = ar^(n-1)其中，an表示第n个数，r表示公比。
二、等比数列的性质等比数列有许多有趣的性质，下面我们来介绍几个常见的性质：1. 公比的性质：对于等比数列，如果公比r>1，那么数列是递增的；如果0<r<1，数列是递减的。
当r=-1时，数列交替增减；当r=1时，数列是等差数列。
2. 等比数列的比与比与项的关系：等比数列中，任意两项的比等于它们的比的m次方，即an/am=a^(n-m)。
3. 等比数列的前n项和：等比数列的前n项和公式为Sn=a(1-r^n)/(1-r)，其中S表示前n项和。
这个公式可以通过数列的递推关系和等差数列的求和公式推导得出。
三、等比数列的计算方法计算等比数列的各项值是数列问题中的重要环节，下面我们将介绍两种常见的计算方法。
1. 递推法：通过已知项计算下一项。
首先确定首项a和公比r，然后根据递推关系an = an-1 * r计算每一项的值。
这种方法适用于已知首项和公比的情况。
2. 公式法：利用等比数列的通项公式，直接计算任意项的值。
首先确定首项a和公比r，然后根据通项公式计算特定项的值。
这种方法适用于已知首项和公比，但需要计算某一特定项的情况。
四、应用举例等比数列在实际问题中有广泛的应用。
例如，金融领域中的复利计算就涉及到等比数列。
假设你存入一笔本金，每年的利率固定为r，那么n年后的本金总额可以表示为Sn=a(1-r^n)/(1-r)。
通过等比数列的计算，可以帮助我们了解到本金随时间的变化情况。
另外，等比数列还可以应用于计算机科学中的数据结构和算法设计中。
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对于通项公式an a1qn1来说，有a1 , q , an , n四个量， 可以知三求一
例2：在等比数列{an}中：
已知 a3 2 , a6 16 , 求an
解： an a1qn1
a6 a3
a1q5 a1q2
16 2
a1 q
1 2
2
an
1 2n1 2
2n2
此题解法是利用数学的函数与方程思想，函数 与方程思想是数学几个重要思想方法之一，也是高 考必考的思想方法，应熟悉并掌握。
注意：
公比q能不能是零？
不能！！
注：(1)等比数列的每一项都不为0，即an≠0。 (2)公比不为0，即q≠0。
名称
等差数列
等比数列
定义
数学式 子表示 通项公式
如果一个数列从第2项 如果一个数列从第2
起，每一项与前一项 项起，每一项与它前
的差等于同一个常数，一项的比都等于同一
那么这个数列叫做等 个 常 数 , 那 么 这 个 数
通项 公式
a3 a2 d
a4 a3 d
……
an an1 d
把这n-1个式子1=a1 上式成立
an a1 (n 1)d , n N*
法2：
法
n 2 , a2 q a1
……
名称
等差数列
an a1 (n 1)d
法2：累加法
a…n … q
an1
把这n-1个式子相乘，得： an a1qn1
当n=1时，上式成立 an a1qn1 , n N*
例1：在等比数列{an}中：
(1)已知a1 2, q 3, an 162, 求n;
(2)已知a1
3,
q
1 2
，求a5；
(3)已知a9
1 9
,q
1 3
, 求a1；
(4)已知a1 2, a5 8,求q
公式
引申 am a1 (m 1)d
an am (n m)d
可得
an am (n m)d
an=a1qn-1
am=a1qm-1
an qnm am
可得
an amqnm n,m N*
例2：在等比数列{an}中：
已知 a3 2 , a6 16 , 求an
另解 :
Q an amqnm n, m N *
比一比
(1) 1, 2, 22 , 23 ,…… 263
(2)
1 , 1 , 1 , 1 , …… 2 4 8 16
(3) 9，92，93，94，95，96
（4） 36，36×0.9，36×0.92, 36×0.93,…
共同特点？ 从第2项起，每一项
与前一项的比都等于同一常数。
等比数列定义
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它
……
由此归纳等差数列的通 项公式可得：
an a1 (n 1)d
等比数列
an a1qn1
法1：不完全归纳法
a2 a1
q a2
a1q
a3 a1q2
a4 a1q3
……
由此归纳等差数列的通 项公式可得：
an a1qn-1
名称
等差数列
等比数列
an a1 (n 1)d
法2：累加法
n 2 , a2 a1 d
n 2 , a2 a1 d
通项 公式
a3 a2 d
a4 a3 d
……
an an1 d
把这n-1个式子相加，得：
an a1 (n 1)d
当n=1时，上式成立
an a1 (n 1)d , n N*
等比数列
an a1qn1
法2： 累乘 法
n 2 , a2 q a1
a3 q a2
a6 a3q63 q3 16
2 q 2 an a3 qn3 2 2n3 2n2
例3 :已知等比数列an, a1
a3
10, a4
a6
5 4
,
求a5 a7的值。
接轨生活 世界杂交水稻之父—袁隆平
从1976年至1999年在我国累计推广种植杂交水稻35亿多亩， 增产稻谷3500亿公斤。年增稻谷可养活6000万人口。 西 方世界称他的杂交稻是“东方魔稻” ，并认为是解决下 个世纪世界性饥饿问题的法宝。
④100001.0198 ，100001.01982 ，100001.01983
100001.01984 ，100001.01985 ，……
请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④ 四个数列有什么共同特征？
忆一忆
什么是等差数列？
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一 项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差，用d表示。
(1) １,2, 4, 16, 64, … 不是 (2) 16, 8, 1, 2, 0,… 不是 (3) 2, -2, 2, -2, 2 是 (4) a, a, a, a, a … 不一定
a0
思考：在等比数列中，各项的符号与公比q有什么 关系？
若q>0，则各项的符号与a1相同； 若q<0，则各项的符号正负相间.
的前一项的 比 等于 同一个，常那数么这个数列就叫
做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示。
其数学表达式 (判断一个数列是否为等比
数列的依据)
an q(n 2) 或 an1
an1 q(n N *) an
an 0
练一练
指出下列数列是不是等比数列，若是，说 明公比；若不是，说出理由．
差数列.这个常数叫做 列 叫 做 等 比 数 列 . 这
等差数列的公差，用d 个常数叫做等比数列
表示
的公比，用q表示
an+1-an=d
an1 q an
an = a1 +（n-1）d
?
名称
等差数列
an a1 (n 1)d
法1：不完全归纳法
通项 公式
a2 a1 d a3 a1 2d a4 a1 3d
名称
等差数列
等比数列
an am (n m)d n,m N*
已知等差数列｛an｝中，公 差为d，则an与am（n,m ∈ N*） 有何关系？
an amqnm n, m N*
已知等比数列｛an｝中，公 比为q，则an与am（n,m ∈ N*） 有何关系？
通项 an a1 (n 1)d
讲解新课：
课题导入
课本P48页的4个例子：
(1)细胞分裂问题 ①1，2，4，8，16，…
(2②)“1一，尺之12 棰，，14日，取18其半，，116万，世…不竭”从一第项二与它项前起一，项每
(3)计算机病毒感染问题
③1，20，202，203 ，204 ，…
之比等于同一常 数.
(4)银行复利计算问题