等比数列的概念及通项公式(一)

等比数列通项公式的推导: 累乘法推导
证明：∵ a 2
a1
q a3 a2
q ……
an
q
an 1
将等式左右两边分别相乘可得：
n 1
a2 a3 …… an q ……q qn1
a1 a2
an1
化简得：
an q n1 a1
即：
an a1qn1
此式对n=1也成立 ∴ ana1qn1(nN )
等比数列的通项公式： an a1 qn1 （n∈N﹡,q≠0）
是,公比
q=
1 2
是,公比 q=1
(4) 1，-1，1，-1，1，… (5) 1，0，1，0，1，… (6) 0，0，0，0，0，…
是,公 比q= -1 不是等比数列 不是等比数列
(7) 1,x,x2,x3,x4, (x0)是,公比 q= x
对等比数列的理解
1. 各项不能为零,即 a n 0
2. 公比不能为零,即 q 0
学习目标
1.掌握等比数列的定义，理解等比中项的概念． 2．掌握等比数列的通项公式及推导过程． 3．能应用等比数列的定义及通项公式解决问题．
回顾与复习
1、等差数列定义： 如果一个数列从第二项开始，每一项与 前一项的差等于同一个常数，这个数列 叫做等差数列。
数学表达式：d=an-an-1(n≥2)或d=an+1-an
即9为该数列的第5项.
变 式 ： 3m 1是 该 数 列 中 的 项 吗 ？ 若 是 ， 是 第 几 项 ?
在等比数列｛an｝中，若已知某一项为am,公比 为q, 求该数列的任意项an。
等比数列通项公式的推广公式：
（aanm＝≠0a,maqn n≠-m0,m,n∈Z）+
思考：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？
例如：数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是：
＿＿an＿＿2＿n-1＿
an
8
2、等差数列的通项公式：
an=a1+(n-1)d (n∈N*)
an=am+(n-m)d (n,m∈N*) 3、等差数列通项公式的推导方法：
归纳法 累加法
ห้องสมุดไป่ตู้、引入新课：
1.细胞分裂个数组成数列:
1,2,4,8,16,
2.“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”得到数列:
1, 1 , 1 , 1 , 1 , 2 4 8 16
an1and
等差数列通项公式的推导(归纳法)
a2 a1d
a3 a2 d
(a1 d ) d
a12d
a4 a3d
(a1 2d ) d
…a1
3d
…
ana1(n1)d
an1anq
等比数列通项公式的推导（归纳法）
a2 a1q
a3
aa12qq2(a1q)q
a4 a3q(a1q2)q
a1q3
…… a n a1q n1
一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等 比数列，这个常数叫做公比，记为q(q≠0).
数学语言：
an q (n 2且 n N * ). a n 1
或 an1 q an
an1 an q
名
等差数列
称
等比数列
定 义
如果一个数列从第2 项起，每一项与前 一项的差都等于同 一个常数，那么这 个数列叫做等差数 列.这个常数叫做等 差数列的公差，用d 表示
a1 qn， q
它的图象是函数y a1 qx的图象上的孤立点. q
6.3 等比数列
例1
在等比数列a n
中，a5
1，a8
1，求a 8
1
3
．
解
由
a5
1,a8
1有 8
巩
1 a1 q4， (1)
固 知
1 8
a1
q 7，
(2)
（2）除以（1）得
识
1 q3，q 1；
8
2
典 型 例 题
将q
1 2
代人（1），得
3.病毒感染的计算机数构成的数列:
1,20,202,203,204,
探究：等比数列的定义
观察下列数列的相邻两项，并说出它们的特点.
（1）1，2，22，23，… ( 2 ) 1 , 1 , 1 , 1 , ……
2 4 8 16
( 3 ) 1,20,202,203,204,
1、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前
如果一个数列从 第2项起，每一项 与它前一项的比 都等于同一个常 数 ,那么这个数列 叫做等比数列.
这个常数叫做等比 数列的公比，用
q表示.
课堂互动
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) 1，3，9，27，81，…
是,公比 q=3
(2) 1, 1, 1, 1 ,
2 4 8 16
(3) 5，5，5，5，5，5，…
本例题求解过程
a1 24 所以，数列的通项公式为
中，通过两式相除求 出公比的方法是研究 等比数列问题的常用
a a1 n3a 214q (1 122) n124 1 2 1 方2 法 ．2821 56．
变形１、等比数列{an}中,a1=2,q=-3,求a8与an. 变形2、等比数列{an}中,a1=2, a9=32,求q. 变形３、等比数列{an}中,a1+ a3=10,a4+a6=5/4,
求q的值.
变形４、等比数列{an}中,a3+ a6=36,a4+a7=18,
an =1/2,求n.
012
例2：9是等比数列32， 32， 32， ...的第几项?
0
1
n 1
解：a 1 3 2 1 ， q 3 2 ， a n a 1 q n 1 3 2.
932 3n21，即2n1， n5， 2
提示：不一定，若a＝G＝b＝0时，不满足．
所以a，G，b成等比数列⇔G2＝ab(ab≠0)．
2 、 等 比 数 列 { a n } 中 , 相 邻 三 项 a n 1 , a n , a n 1 ( n 2 ) 的 关 系 .
a n 2 a n 1a n 1 (n 2 )
等比数列通项公式的推导: 归 纳 法
·
上式还可以写成
an
1 2n 2
7 6
可见，这个等比数列
5
的图象都在函数
y
1 2
2x
4 3
·
的图象上，如右图所示。
2
·
结论 ： 等比数 an列 的图象是其对 1 应 ·的
函数的图象上的 一点 些孤立 0 1 2 3 4 n
结论:
等比数列的图象与指数函数之间的关系:
等比数列{an}通项公式可整理为：an
3. 当q>0，各项与首项同号
当q<0，各项符号正负相间
4. 数列 a, a , a , …
a 0 时,既是等差数列 又是等比数列;
a 0 时,只是等差数列
而不是等比数列.
等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等 比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
G2 ab
G ab
思考：1、若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？