等比数列的概念及通项公式一.ppt
合集下载
4.3.1等比数列的概念(第1课时等比数列的概念及通项公式)课件高二上学期数学人教A版选择性
(3)若a2+a5=18,a3+a6=9,求a7.
1 = 3,
1 = 6,
解(1)设{an}的公比为 q,则
3 解得
1 所以{an}的通项公式为
4
1 = 8 ,
= 2,
an=6×
1 -1
.
2
(2)由a2=4,q=2,得a1=2,所以2×2n-1=128,解得n=7.
(3)设{an}的公比为 q.
的 公比
,公比通常用字母q表示(显然q≠0).
名师点睛
对等比数列定义的理解
(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.
(2)每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等
比数列的基本特征).
(3)公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比,不要把分子与分母弄颠
倒.
(4)等比数列中的任何一项均不能为零.
a1qn-1
.
名师点睛
已知等比数列的首项和公比,可以求得任意一项.已知a1,n,q,an四个量中的
三个,可以求得第四个量.
思考辨析
已知等比数列{an}的通项公式an=2×3n,那么这个数列的首项和公比分别
为多少?
提示 首项a1=6,公比q=3.
自主诊断
[人教B版教材习题]已知{an}为等比数列,填写下表.
1 + 1 4 = 18,
(方法 1)由已知,得
1 2 + 1 5 = 9,
1 = 32,
1
6
解得
故 a7=a1q =32×
1
2
= ,
6
2
(方法 2)因为 a3+a6=q(a2+a5),所以
1 = 3,
1 = 6,
解(1)设{an}的公比为 q,则
3 解得
1 所以{an}的通项公式为
4
1 = 8 ,
= 2,
an=6×
1 -1
.
2
(2)由a2=4,q=2,得a1=2,所以2×2n-1=128,解得n=7.
(3)设{an}的公比为 q.
的 公比
,公比通常用字母q表示(显然q≠0).
名师点睛
对等比数列定义的理解
(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.
(2)每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等
比数列的基本特征).
(3)公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比,不要把分子与分母弄颠
倒.
(4)等比数列中的任何一项均不能为零.
a1qn-1
.
名师点睛
已知等比数列的首项和公比,可以求得任意一项.已知a1,n,q,an四个量中的
三个,可以求得第四个量.
思考辨析
已知等比数列{an}的通项公式an=2×3n,那么这个数列的首项和公比分别
为多少?
提示 首项a1=6,公比q=3.
自主诊断
[人教B版教材习题]已知{an}为等比数列,填写下表.
1 + 1 4 = 18,
(方法 1)由已知,得
1 2 + 1 5 = 9,
1 = 32,
1
6
解得
故 a7=a1q =32×
1
2
= ,
6
2
(方法 2)因为 a3+a6=q(a2+a5),所以
等比数列课件ppt
02
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式推导
01
02
03
定义等比数列
等比数列是一个序列，其 中任意两个相邻项的比值 都相等。
推导通项公式
假设等比数列的首项为 $a_1$，公比为$r$，则第 $n$项$a_n$的通项公式 为$a_n = a_1 times r^{(n-1)}$。
证明通项公式
通过数学归纳法或迭代法 证明通项公式的正确性。
等比数列课件
• 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
等比数列的定义与性质
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其 中任意两个相邻项之间的比值都 相等。
详细描述
等比数列中，任意两个相邻项的 商是常数，这个常数被称为公比 。在等比数列中，每一项都是前 一项与公比的乘积。
举例说明
通过具体的例子来解释等比数列求和公式的推导过程。
等比数列求和公式的应用
解决实际问题
等比数列求和公式在解决实际问题中有着广泛的应用，如金融、工程、物理等 领域。
举例说明
通过具体的例子来展示等比数列求和公式的应用。
等比数列求和公式的变体
等差数列与等比数列的关系
01
等差数列和等比数列是两种不同的数列，但它们之间存在一定
01
第三组数列是等比数列，因为相 邻两项的比值都是1/2。
02
第四组数列也是等比数列，因为 相邻两项的比值都是1/2。
习题二：等比数列的通项公式
01
题目：已知等比数列的首项为 a，公比为q，求第n项的通项
公式。
02
答案与解析
等比数列公开课课件PPT
等比数列的应用
在数学中的应用
数学建模
等比数列是数学建模中常用的数 学工具，可以用来描述和解决各 种数学问题，如数列求和、数列
极限等。
金融计算
等比数列在金融领域的应用广泛， 如复利计算、贷款还款等，通过等 比数列的公式可以快速准确地计算 出结果。
统计学
在统计学中，等比数列常被用来描 述和预测数据分布，如人口增长、 股票价格波动等。
使用等比数列求和公式可 以大大简化计算过程，提 高计算效率。
推广到其他数列
等比数列求和公式的应用 不仅限于等比数列，还可 以推广到其他类型的数列。
实例解析
实例一
求1,2,4,8,16,...的前n项和。
实例二
求1,3,9,27,81,...的前n项和。
实例三
求2,4,8,16,...的前n项和。
05
通过观察数列1，4，16，64，...可以发现相邻两项的比值分别
为4，4，4，...，所以公比q = 4。
答案2
03
这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
答案与解析
• 解析2：已知等比数列的公比为2，前四项和为1，设第一项为a， 则第二项为2a，第三项为4a，第四项为8a。根据等比数列前n 项和公式S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1)，代入n=4, q=2, S_4=1，解得a = 1/3。因此这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
等比数列公开课课件
• 引言 • 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
引言
主题简介
定义
等比数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻 项之间的比值是常数。
在数学中的应用
数学建模
等比数列是数学建模中常用的数 学工具，可以用来描述和解决各 种数学问题，如数列求和、数列
极限等。
金融计算
等比数列在金融领域的应用广泛， 如复利计算、贷款还款等，通过等 比数列的公式可以快速准确地计算 出结果。
统计学
在统计学中，等比数列常被用来描 述和预测数据分布，如人口增长、 股票价格波动等。
使用等比数列求和公式可 以大大简化计算过程，提 高计算效率。
推广到其他数列
等比数列求和公式的应用 不仅限于等比数列，还可 以推广到其他类型的数列。
实例解析
实例一
求1,2,4,8,16,...的前n项和。
实例二
求1,3,9,27,81,...的前n项和。
实例三
求2,4,8,16,...的前n项和。
05
通过观察数列1，4，16，64，...可以发现相邻两项的比值分别
为4，4，4，...，所以公比q = 4。
答案2
03
这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
答案与解析
• 解析2：已知等比数列的公比为2，前四项和为1，设第一项为a， 则第二项为2a，第三项为4a，第四项为8a。根据等比数列前n 项和公式S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1)，代入n=4, q=2, S_4=1，解得a = 1/3。因此这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
等比数列公开课课件
• 引言 • 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
引言
主题简介
定义
等比数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻 项之间的比值是常数。
4.3.1等比数列的概念第1课时(等比数列的概念、通项公式)课件(人教版)
,1 8
,1 16
,1 32
,
3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就
通过分裂繁育一代，那么一个这种细菌从第1次
分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是：
复利是指把
2，4，8，16，32，64…
前一期的利息和
4.某人存入银行a元,存期为5年,年利率为r, 本金加在一起算.
那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分 作本金，再计算
a1qn1
a1 q
qn
可知，当q>0且
f(x)
q≠1时,等比数列{an}的第n项an是指数函数 a5
f ( x )
a1 q
qx
(x∈R)当x=n时的函数值，即
a4
f(x)=
a1 q
qx
(5,a5)
(4,a4)
an=f(n)(如右图所示).
a3
反之，任给指数函数f(x)=kax(k,a为常 a2
数,k≠0,a>0,且a≠1),则f(1)=ka,f(2)=ka2, a1
…，f(n)=kan，…构成一个等比数列{kan}，
其首项为ka,公比为a.
O
(3,a3) (2,a2) (1,a1)
1 2 3 4 5x
五、等比数列的单调性
公比q>0且q≠1的 等比数列{an}的图象有 什么特点?
类比指数函数的性质，说说 公比q>0的等比数列的单调性.
q>1
0<q<1
q=1
a1>0
如果G是a与b的等比中项，则a、b的符号有什么特点？你能用 a、b表示G吗？
a、b同号， G2=ab
Hale Waihona Puke 四、等比数列的通项公式你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗? 定义，可设得一个aan等n1 比 q数即列a{n+a1n=}a的nq首, 项为a1，公比为q.根据等比数列的 所以
等比数列的概念及通项公式_课件
(1)1，-1/3， 1/9 ,-1/27，… (2)1, 2, 4, 8, 12,16,20, … (3) 1，1，1，… ，1 (4)a，a，a，…，a
√ q=-1/3 × √ q=1
不一定，当a≠0时是等比数列,当a=0时非等比数列。
等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等 比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
a=4或a=-4
c b - 4 b 解得 1 2 c c b
b 2 c 1
1 1 训练2：求等比数列1，，， 2 4 …的通项公式 及第6项。
解：
an a1 q
n 1
1 1 2
6 1
n 1
1 2
n 1
a n1 q an
等差数列(A P)
a n1 a n d
d可以是0
等差中项
q不可以是0,
等比中项 G ab
2A a b
a n a 1q
an amq
?
n1
a n a 1 ( n 1 )d a n a m ( n m )d
am an a p aq
复习回顾
1、等数差列的定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项 与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个 数列就叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
2、等差数列的通项公式
an = a1+（n-1）d
观察以下几个数列找出它们的共同的特点
(1)
(2)
1, 2, 22 , 23 ,
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示。
an q （q是常数，n≥2，n∈N*） 数学语言： an1
人教A版选择性必修第二册4.3.1等比数列的概念及通项公式课件
1
又三个数为正数，故 q 3 或 q
3
当 q 3 时，a 1 ，这三个数依次为1，3，9；
1
当 q 时，a 3 ，这三个数依次为9，3，1.
3
9
由①得d 56
80
代入②中得：
q
80 160
60 0
q2
q
即3q 2 8q 4 0
1、有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一
∴数列{an}是以-1为首项，公比为2的等比数列．
反思感悟 巧设等差数列、等比数列的方法
(1)若三个数成等差数列,则常设成a-d,a,a+d.若三个数成等比数列,则常设
成 ,a,aq或a,aq,aq2.
(2)若四个数成等比数列,则可设为 ,a,aq,aq2.若四个正数成等比数列,则可
(2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式．
解析：(1)由等比数列的性质，有 a 2a 10 a 62 ，
所以 a 2a 6a 10 a 63 27，得 a 6 3 ，
则 a 3a 9 a 62 9 .
பைடு நூலகம்
(2)由等比数列的性质，有 a 1a 3 a 22 ，
思考：0 ， 0， 0 ，…是等比数列？ 不是等比数列
思考：2 ， 0， 2，0，…是等比数列？
不是等比数列
结论：1、常数列一定是等差数列
2、 任意项不为零的常数列是等比数列
课堂探究
类比等差数列，在如下的两个数之间,插入一个
什么数后这三个数就会成为一个等比数列：
(1) 2，( 4或-4 )，8
又三个数为正数，故 q 3 或 q
3
当 q 3 时，a 1 ，这三个数依次为1，3，9；
1
当 q 时，a 3 ，这三个数依次为9，3，1.
3
9
由①得d 56
80
代入②中得：
q
80 160
60 0
q2
q
即3q 2 8q 4 0
1、有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一
∴数列{an}是以-1为首项，公比为2的等比数列．
反思感悟 巧设等差数列、等比数列的方法
(1)若三个数成等差数列,则常设成a-d,a,a+d.若三个数成等比数列,则常设
成 ,a,aq或a,aq,aq2.
(2)若四个数成等比数列,则可设为 ,a,aq,aq2.若四个正数成等比数列,则可
(2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式．
解析：(1)由等比数列的性质，有 a 2a 10 a 62 ，
所以 a 2a 6a 10 a 63 27，得 a 6 3 ，
则 a 3a 9 a 62 9 .
பைடு நூலகம்
(2)由等比数列的性质，有 a 1a 3 a 22 ，
思考：0 ， 0， 0 ，…是等比数列？ 不是等比数列
思考：2 ， 0， 2，0，…是等比数列？
不是等比数列
结论：1、常数列一定是等差数列
2、 任意项不为零的常数列是等比数列
课堂探究
类比等差数列，在如下的两个数之间,插入一个
什么数后这三个数就会成为一个等比数列：
(1) 2，( 4或-4 )，8
等比数列的概念及通项公式.ppt
……
a a q n-1
n
1
3.等比数列的通项公式： an a1qn-1
思考：如何用 a1 和 q 表示 an？
❖ 方法：累加法
等 a2 - a1 d
差 数
a3 - a2 d
列
a4 - a3 d
……
+）an - an-1 d
类比
累乘法
等 比 数 列
a2 q a1
a3 q a2
a4 q
①
1，1，1，1，1 ，...... 2 4 8 16
②
1,20,202,203,204,205,...... ③
请问:这三个 数列有什么 共同特点?
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于_12_;
对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的比都等于_2_;
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于2_0_;
是不为
0
的常数)⇔{an}是公比为
q
的等比数列.
(2)等比中项法：a2n＝an－1·an＋1(n≥2，an，an－1，an＋1 均不为 0)⇔{an}是等比
数列.
跟踪训练2 数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…). (1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列； 解 a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
a2 a1 d
a3 a2 d
归 纳
(a1 d ) d
法
a1 2d
a4 a3 d
类比
(a1 2d) d
a…1
3d
…
an a1 (n -1)d
等比数列 an an-1q, n 2
2025届高中数学一轮复习课件《等比数列》ppt
高考一轮总复习•数学
第13页
题型
等比数列基本量的计算
典例 1(1)(2023·全国甲卷，理)已知正项等比数列{an}中，a1＝1，Sn 为{an}的前 n 项和，
S5＝5S3－4，则 S4＝( )
A．7
B．9
C．15
D．30
(2)(2023·全国甲卷，文)记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若 8S6＝7S3，则{an}的公 转化为基本量 a1，q 的方程．高考试题的设计也常以基本量的计算为主．
第26页
对点练 2(1)在等比数列{an}中，a1，a17 是方程 x2－14x＋9＝0 的两根，则a2aa916的值为 ()
A. 14
B．3
C．± 14
D．±3
(2)在各项都为正数的等比数列{an}中，已知 0<a1<1，其前 n 项之积为 Tn，且 T12＝T6， 则 Tn 取得最小值时，n 的值是____9____．
率之比相等，且最后一个音的频率是最初那个音的 2 倍．设第二个音的频率为 f1，第八个
音的频率为 f2，则ff21等于(
)
A.11 26
B.8 2
12 C. 2
D．412 2
答案
高考一轮总复习•数学
第18页
(2)在 1 和 2 之间插入 11 个数使包含 1 和 2 的这 13 个数依次成递增的等比数列，记插 入的 11 个数之和为 M，插入 11 个数后这 13 个数之和为 N，则依此规则，下列说法错误的 是( )
高考一轮总复习•数学
第24页
解析：(1)a11＋a12＋…＋a18＝a1a＋1aa8 8＋aa2＋2a7a7＋a3a＋3aa6 6＋a4a＋4aa5 5. 巧妙应用积的对称性，把两个条件代入求值，此法只适用于偶数项的情形．若奇数项呢？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等 比数列，这个常数叫做公比，记为q(q≠0).
数学语言：
an q(n 2且n N* ). an 1
或 an1 q an
an1 an q
名
等差数列
称
等比数列
定 义
如果一个数列从第2 项起，每一项与前 一项的差都等于同 一个常数，那么这 个数列叫做等差数 列.这个常数叫做等 差数列的公差，用d 表示
3. 当q>0，各项与首项同号
当q<0，各项符号正负相间
4. 数列 a, a , a , …
a 0 时,既是等差数列 又是等比数列;
a 0 时,只是等差数列
而不是等比数列.
等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等 比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
G2 ab
G ab
思考：1、若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？
将q
1 2
代人（1），得
本例题求解过程
a1 24 所以，数列的通项公式为
中，通过两式相除求 出公比的方法是研究 等比数列问题的常用
an
a13
24 (1)n1 2
a1 q12 24
1 2
方法．
12
28
1． 256
变形１、等比数列{an}中,a1=2,q=-3,求a8与an. 变形2、等比数列{an}中,a1=2, a9=32,求q. 变形３、等比数列{an}中,a1+ a3=10,a4+a6=5/4,
2、等差数列的通项公式：
an=a1+(n-1)d (n∈N*)
an=am+(n-m)d (n,m∈N*) 3、等差数列通项公式的推导方法：
归纳法 累加法
一、引入新课：
1.细胞分裂个数组成数列:
1, 2, 4,8,16,鬃?
2.“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”得到数列:
1, 1 , 1 , 1 , 1 ,鬃? 2 4 8 16
3.病毒感染的计算机数构成的数列:
1, 20, 202 , 203, 204,鬃?
探究：等比数列的定义
观察下列数列的相邻两项，并说出它们的特点.
（1）1，2，22，23，… (2) 1 , 1 , 1 , 1 , ……
2 4 8 16
(3) 1, 20, 202 , 203, 204,鬃?
1、定ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前
变式： 3m1是该数列中的项吗？若是，是第几项?
提示：不一定，若a＝G＝b＝0时，不满足．
所以a，G，b成等比数列⇔G2＝ab(ab≠0)．
2、等比数列{an}中, 相邻三项an1, an , an1(n 2)的关系.
an2 an1 an1(n 2)
等比数列通项公式的推导: 归纳法
an1an d
an1an q
等差数列通项公式的推导(归纳法)
求q的值.
变形４、等比数列{an}中,a3+ a6=36,a4+a7=18,
an =1/2,求n.
012
例2：9是等比数列3 2 ，3 2 ，3 2 ，...的第几项 ?
0
1
n 1
解：a1 32 1，q 32 ， an a1 qn1 3 2 .
9
32
n1
3 2 ，即2
n
1， n
5，
2
即9为该数列的第5项.
如果一个数列从 第2项起，每一项 与它前一项的比 都等于同一个常 数,那么这个数列 叫做等比数列.
这个常数叫做等比 数列的公比，用
q表示.
课堂互动
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) 1，3，9，27，81，…
是,公比 q=3
(2) 1 , 1 , 1 , 1 ,
2 4 8 16
(3) 5，5，5，5，5，5，…
学习目标
1.掌握等比数列的定义，理解等比中项的概念． 2．掌握等比数列的通项公式及推导过程． 3．能应用等比数列的定义及通项公式解决问题．
回顾与复习
1、等差数列定义： 如果一个数列从第二项开始，每一项与 前一项的差等于同一个常数，这个数列 叫做等差数列。
数学表达式：d=an-an-1(n≥2)或d=an+1-an
a2 a1 d
a3 a2 d
(a1 d ) d
a1 2d
a4 a3 d
(a1 2d) d
…a1
3d
…
an a1 (n 1)d
等比数列通项公式的推导（归纳法）
a2 a1q
a3
aa12qq2
(a1q)q
a4 a3q (a1q2 )q
a1q3
…… a n a1q n1
a1 ?qn， q
它的图象是函数y = a1 ?qx的图象上的孤立点. q
6.3 等比数列
例1 在等比数列an 中，a5 1，a8 18，求a13．
解
由
a5
1, a8
1有 8
巩
1 a1 q4， (1)
固 知
1 8
a1
q7，
(2)
（2）除以（1）得
识
1 q3，q 1；
8
2
典 型 例 题
是,公比 q= 1 2
是,公比 q=1
(4) 1，-1，1，-1，1，… (5) 1，0，1，0，1，… (6) 0，0，0，0，0，…
是,公 比q= -1 不是等比数列 不是等比数列
(7) 1, x, x2, x3, x4, L (x 0) 是,公比 q= x
对等比数列的理解
1. 各项不能为零,即 an 0 2. 公比不能为零,即 q 0
等比数列的通项公式： an a1gqn1 （n∈N﹡,q≠0）
在等比数列｛an｝中，若已知某一项为am,公比 为q, 求该数列的任意项an。
等比数列通项公式的推广公式：
（aanm＝≠0a,maqn n≠-m0,m,n∈Z）+
思考：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？
例如：数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是：
等比数列通项公式的推导: 累乘法推导
证明：∵ a2 = q a3 = q ……
a1
a2
将等式左右两边分别相乘可得：
an = q an- 1
a2 a3 …… an
n1
q ……q qn1
a1 a2
an1
化简得：
an qn1 a1
即：
an a1 qn1
此式对n=1也成立 ∴ an a1 qn1 (n N )
＿＿an＿＿2＿n-1＿
an
8
·
上式还可以写成
an
1 2n 2
7 6
可见，这个等比数列
5
的图象都在函数
y
1 2
2x
4 3
·
的图象上，如右图所示。
2
·
1
结论： 等比数列an的图象是其对应的
·
函数的图象上一些孤立的点
0 1234 n
结论:
等比数列的图象与指数函数之间的关系:
等比数列{an}通项公式可整理为：an =
数学语言：
an q(n 2且n N* ). an 1
或 an1 q an
an1 an q
名
等差数列
称
等比数列
定 义
如果一个数列从第2 项起，每一项与前 一项的差都等于同 一个常数，那么这 个数列叫做等差数 列.这个常数叫做等 差数列的公差，用d 表示
3. 当q>0，各项与首项同号
当q<0，各项符号正负相间
4. 数列 a, a , a , …
a 0 时,既是等差数列 又是等比数列;
a 0 时,只是等差数列
而不是等比数列.
等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等 比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
G2 ab
G ab
思考：1、若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？
将q
1 2
代人（1），得
本例题求解过程
a1 24 所以，数列的通项公式为
中，通过两式相除求 出公比的方法是研究 等比数列问题的常用
an
a13
24 (1)n1 2
a1 q12 24
1 2
方法．
12
28
1． 256
变形１、等比数列{an}中,a1=2,q=-3,求a8与an. 变形2、等比数列{an}中,a1=2, a9=32,求q. 变形３、等比数列{an}中,a1+ a3=10,a4+a6=5/4,
2、等差数列的通项公式：
an=a1+(n-1)d (n∈N*)
an=am+(n-m)d (n,m∈N*) 3、等差数列通项公式的推导方法：
归纳法 累加法
一、引入新课：
1.细胞分裂个数组成数列:
1, 2, 4,8,16,鬃?
2.“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”得到数列:
1, 1 , 1 , 1 , 1 ,鬃? 2 4 8 16
3.病毒感染的计算机数构成的数列:
1, 20, 202 , 203, 204,鬃?
探究：等比数列的定义
观察下列数列的相邻两项，并说出它们的特点.
（1）1，2，22，23，… (2) 1 , 1 , 1 , 1 , ……
2 4 8 16
(3) 1, 20, 202 , 203, 204,鬃?
1、定ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前
变式： 3m1是该数列中的项吗？若是，是第几项?
提示：不一定，若a＝G＝b＝0时，不满足．
所以a，G，b成等比数列⇔G2＝ab(ab≠0)．
2、等比数列{an}中, 相邻三项an1, an , an1(n 2)的关系.
an2 an1 an1(n 2)
等比数列通项公式的推导: 归纳法
an1an d
an1an q
等差数列通项公式的推导(归纳法)
求q的值.
变形４、等比数列{an}中,a3+ a6=36,a4+a7=18,
an =1/2,求n.
012
例2：9是等比数列3 2 ，3 2 ，3 2 ，...的第几项 ?
0
1
n 1
解：a1 32 1，q 32 ， an a1 qn1 3 2 .
9
32
n1
3 2 ，即2
n
1， n
5，
2
即9为该数列的第5项.
如果一个数列从 第2项起，每一项 与它前一项的比 都等于同一个常 数,那么这个数列 叫做等比数列.
这个常数叫做等比 数列的公比，用
q表示.
课堂互动
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) 1，3，9，27，81，…
是,公比 q=3
(2) 1 , 1 , 1 , 1 ,
2 4 8 16
(3) 5，5，5，5，5，5，…
学习目标
1.掌握等比数列的定义，理解等比中项的概念． 2．掌握等比数列的通项公式及推导过程． 3．能应用等比数列的定义及通项公式解决问题．
回顾与复习
1、等差数列定义： 如果一个数列从第二项开始，每一项与 前一项的差等于同一个常数，这个数列 叫做等差数列。
数学表达式：d=an-an-1(n≥2)或d=an+1-an
a2 a1 d
a3 a2 d
(a1 d ) d
a1 2d
a4 a3 d
(a1 2d) d
…a1
3d
…
an a1 (n 1)d
等比数列通项公式的推导（归纳法）
a2 a1q
a3
aa12qq2
(a1q)q
a4 a3q (a1q2 )q
a1q3
…… a n a1q n1
a1 ?qn， q
它的图象是函数y = a1 ?qx的图象上的孤立点. q
6.3 等比数列
例1 在等比数列an 中，a5 1，a8 18，求a13．
解
由
a5
1, a8
1有 8
巩
1 a1 q4， (1)
固 知
1 8
a1
q7，
(2)
（2）除以（1）得
识
1 q3，q 1；
8
2
典 型 例 题
是,公比 q= 1 2
是,公比 q=1
(4) 1，-1，1，-1，1，… (5) 1，0，1，0，1，… (6) 0，0，0，0，0，…
是,公 比q= -1 不是等比数列 不是等比数列
(7) 1, x, x2, x3, x4, L (x 0) 是,公比 q= x
对等比数列的理解
1. 各项不能为零,即 an 0 2. 公比不能为零,即 q 0
等比数列的通项公式： an a1gqn1 （n∈N﹡,q≠0）
在等比数列｛an｝中，若已知某一项为am,公比 为q, 求该数列的任意项an。
等比数列通项公式的推广公式：
（aanm＝≠0a,maqn n≠-m0,m,n∈Z）+
思考：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？
例如：数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是：
等比数列通项公式的推导: 累乘法推导
证明：∵ a2 = q a3 = q ……
a1
a2
将等式左右两边分别相乘可得：
an = q an- 1
a2 a3 …… an
n1
q ……q qn1
a1 a2
an1
化简得：
an qn1 a1
即：
an a1 qn1
此式对n=1也成立 ∴ an a1 qn1 (n N )
＿＿an＿＿2＿n-1＿
an
8
·
上式还可以写成
an
1 2n 2
7 6
可见，这个等比数列
5
的图象都在函数
y
1 2
2x
4 3
·
的图象上，如右图所示。
2
·
1
结论： 等比数列an的图象是其对应的
·
函数的图象上一些孤立的点
0 1234 n
结论:
等比数列的图象与指数函数之间的关系:
等比数列{an}通项公式可整理为：an =