等比数列的概念及基本运算
等比数列概念知识点归纳总结
等比数列概念知识点归纳总结等比数列是数学中常见的一个概念，也是数列中的一种特殊类型。
在等比数列中，每一项与前一项的比值都是相等的。
本文将对等比数列的概念、性质和应用进行归纳总结。
一、等比数列的概念等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项相除的商都相等。
通常用字母a表示首项，q表示等比数列的公比。
根据这个概念，我们可以得到等比数列的通项公式：an = a * q^(n-1)其中，an为等比数列的第n项。
二、等比数列的性质1. 公比的取值：公比q可以是任意实数，也可以是0，但不能是1。
当q为正数时，等比数列的项随着n的增大而增大；当q为负数时，等比数列的项随着n的增大而交替增大和减小。
2. 比值关系：等比数列中任意两项的比值都是相等的，即相邻项的比值等于公比q。
3. 对数关系：等比数列的对数数列也是等差数列。
如果取对数后的数列为Ar，则有Ar = loga + (n-1)logq，其中，loga为log以a为底的对数。
三、等比数列的应用等比数列在实际中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 财务领域：等比数列常用于计算复利的问题，例如存款利息计算、债券利息计算等。
2. 自然科学：许多物理、化学等自然科学问题中都可以用等比数列来描述，如放射性元素衰变问题、细胞分裂问题等。
3. 经济学：等比数列常用于描述经济增长、人口增长等问题。
4. 数学应用：等比数列常用于解决等比方程、等比不等式等数学问题。
总结：通过对等比数列的概念、性质和应用的归纳总结，我们了解到等比数列在数学以及实际生活中的重要性。
等比数列是数学中的一种基本概念，在解决实际问题时具有广泛的应用。
熟练掌握等比数列的概念和性质，能够更好地解决与等比数列相关的各种数学问题。
等比数列的概念及通项公式
3、已知三个数成等比数列，它们的和为14，它们的 积为64，求这三个数。 2,4,8 或8,4,2
4、正项等比数列{an},公比q=2，且a1a2a3…a18=230, 则a3a6a9…a18=__________ 。 216
例题分析
例:（2006全国卷I）已知{an}为等比数 列，公比q>1,a2+a4=10, a1.a5=16 求等 比 数列 {an}的通项公式
练
习
Байду номын сангаас
1、已知数列{an}为等比数列，且an＞0，a2a4＋ 2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于（ A ） A.5 B.10 C.15 D.20
log3 (a1a2 a3 a11 )
3
1
3
2
3
3
3
11
11
log a log 3
11 3 6 11 3
∵a1a11 = a62=9且an>0
∴a6=3
形成性训练
1、在等比数列{an}中，已知a2 = 5，a4 = 10，则公比 q的值为________ 2、 2与8的等比中项为G，则G的值为_______ 3、在等比数列{an}中，an＞0, a2a4+2a3a5+a4a6=36, 那么a3+a5=_________ 4、在等比数列中a7=6，a10=9，那么a4=_________.
等比数列中有类似性质吗？？？
想一想
探究一
在等比数列{an}中，a2.a6=a3.a5是否成立？
等比数列知识点概念归纳总结
等比数列知识点概念归纳总结等比数列是数学中的重要概念，它在很多领域中都有广泛的应用。
本文将对等比数列的基本概念、性质和常见问题进行归纳总结。
一、基本概念等比数列是指一个数列中，每一项与它前一项的比值都相等的数列。
这个比值称为等比数列的公比，用字母q表示。
设等比数列的首项为a1，公比为q，则数列的通项公式可以表示为：an = a1 * q^(n-1)二、性质1. 等比数列的公比q必须为非零实数。
如果q大于1，则数列呈递增趋势；如果0<q<1，则数列呈递减趋势。
2. 等比数列的前n项和可以通过以下公式计算：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中n为项数。
3. 当q大于1时，等比数列趋于正无穷；当0<q<1时，等比数列趋于零。
4. 若一个数列既是等差数列又是等比数列，则这个数列必为常数数列，即a1 = an = a。
三、常见问题1. 如何判断一个数列是否是等比数列？若一个数列中，每一项与它前一项的比值都相等，则这个数列为等比数列。
2. 如何确定等比数列的公比？等比数列的公比可以通过任意两项的比值来确定。
选择两项，例如第n项和第n+1项，计算它们的比值，如果得到的结果对于数列中的任意两项都相等，则该结果即为等比数列的公比。
3. 如何求等比数列的第n项？可以通过数列的通项公式an = a1 * q^(n-1)，将首项和公比代入公式，计算得到第n项的值。
4. 如何求等比数列的前n项和？可以利用等比数列的前n项和公式Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)计算前n项和的值。
等比数列在数学中有着广泛的应用，特别是在金融、自然科学和工程领域。
例如在金融领域，等比数列可以用来描述复利计算中的本金增长；在自然科学中，等比数列可以用来描述物种繁衍的规律；在工程领域，等比数列可以用来描述扩大或缩小的比例关系。
总结：等比数列是一种重要的数列概念，它具有一些基本概念、性质和常见问题。
等比数列的概念和计算
等比数列的概念和计算等比数列是数学中重要的概念之一，它在各种实际问题中都有广泛的应用。
在本文中，我们将介绍等比数列的概念、性质和计算方法，帮助读者更好地理解和运用等比数列。
一、等比数列的概念等比数列是指一系列的数按比例递增或递减的数列。
它的特点是每个数都是前一个数与同一个非零常数的乘积。
设首项为a，公比为r，则等比数列的通项公式为：an = ar^(n-1)其中，an表示第n个数，r表示公比。
二、等比数列的性质等比数列有许多有趣的性质，下面我们来介绍几个常见的性质：1. 公比的性质：对于等比数列，如果公比r>1，那么数列是递增的；如果0<r<1，数列是递减的。
当r=-1时，数列交替增减；当r=1时，数列是等差数列。
2. 等比数列的比与比与项的关系：等比数列中，任意两项的比等于它们的比的m次方，即an/am=a^(n-m)。
3. 等比数列的前n项和：等比数列的前n项和公式为Sn=a(1-r^n)/(1-r)，其中S表示前n项和。
这个公式可以通过数列的递推关系和等差数列的求和公式推导得出。
三、等比数列的计算方法计算等比数列的各项值是数列问题中的重要环节，下面我们将介绍两种常见的计算方法。
1. 递推法：通过已知项计算下一项。
首先确定首项a和公比r，然后根据递推关系an = an-1 * r计算每一项的值。
这种方法适用于已知首项和公比的情况。
2. 公式法：利用等比数列的通项公式，直接计算任意项的值。
首先确定首项a和公比r，然后根据通项公式计算特定项的值。
这种方法适用于已知首项和公比，但需要计算某一特定项的情况。
四、应用举例等比数列在实际问题中有广泛的应用。
例如，金融领域中的复利计算就涉及到等比数列。
假设你存入一笔本金，每年的利率固定为r，那么n年后的本金总额可以表示为Sn=a(1-r^n)/(1-r)。
通过等比数列的计算，可以帮助我们了解到本金随时间的变化情况。
另外，等比数列还可以应用于计算机科学中的数据结构和算法设计中。
等比数列的概念与计算
等比数列的概念与计算等比数列，是指一个数列中，从第二个数起，每个数都是前一个数乘以一个固定的常数。
这个常数被称为等比数列的公比，通常用字母q 表示。
等比数列的概念和计算是高中数学中的重要基础知识之一，本文将从概念和计算两个方面详细介绍等比数列。
概念等比数列的概念可以通过以下定义来描述：给定一个数列a₁, a₂,a₃, ..., an，如果对于任意的正整数n，都有aₙ₊₁ = aₙ * q成立，其中q是一个非零实数，那么这个数列就是等比数列。
其中a₁是等比数列的首项，比值q是等比数列的公比。
等比数列有一些特征，我们来看看有下面两个定理。
定理1：等比数列的任意一项，等于它前一项乘以公比的(n-1)次方。
证明：假设等比数列的首项是a₁，公比是q，根据等比数列的定义，可以得到a₂ = a₁ * q。
同样根据定义，a₃ = a₂ * q = (a₁ * q) * q = a₁* q²。
以此类推，aₙ = a₁ * q^(n-1)。
定理2：等比数列的n项和公式为Sₙ = a₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)。
证明：我们知道，等比数列的任意一项可以表示为aₙ = a₁ * q^(n-1)。
将等比数列的前n项相加得到Sₙ = a₁ + a₂ + ... + aₙ。
根据定理1可知，aₙ = a₁ * q^(n-1)。
将等比数列每一项都替换成a₁ * q^(n-1)，得到Sₙ = a₁ + a₁ * q + ... + a₁ * q^(n-1)。
两边因式分解得到Sₙ = a₁* (1 + q + q² + ... + q^(n-1))。
我们已经知道等比数列的前n项和可以表示为1 + q + q² + ... + q^(n-1) = (1 - qⁿ) / (1 - q)。
将这个式子带入Sₙ中，就得到了等比数列的n项和公式Sₙ = a₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)。
等比数列的概念与计算
迭代法求解通项公式
方法概述
利用等比数列的性质，通过迭代 的方式求解通项公式。
具体步骤
从第一项开始，每次乘以公比q， 得到下一项；通过不断迭代，可以 得到任意一项的表达式；整理得到 通项公式。
适用范围
适用于已知等比数列的首项和公比 ，求通项公式的情况。
公式特点及应用范围
公式特点
等比数列的通项公式为$a_n=a_1 times q^{(n-1)}$，其中$a_1$为首项，q为 公比，n为项数；公式简洁明了，方便计算。
3
示例2
已知等比数列的首项为3，公比为-2，求该数列 的第5项。
示例演练
解题思路
01
直接代入通项公式进行计算。
解答过程
02 略。
结果
03
该等比数列的第5项为-48。
03
等比数列求和公式与方法
逐项相加法求解和
01
02
03
适用情况
项数较少，且公比不为1 的等比数列。
求解步骤
按照等比数列的顺序，逐 项将各项相加得到和。
03
性质
等比数列中任意两个非相邻项的比值也相等，且等于公比的相应次方；
等比数列中任意一项都不为0，除非首项为0且公比为任意实数。
与等差数列对比
定义区别
等差数列是任意两个相 邻项的差都相等的数列 ，而等比数列是任意两 个相邻项的比值都相等 的数列。
公式区别
等差数列的通项公式为 $a_n=a_1+(n-1)d$， 求和公式为 $S_n=n/2[2a_1+(n1)d]$；而等比数列的通 项公式和求和公式如上 所述。
人口增长模型
通过等比数列模型，描述人口在特定条件下的增 长趋势，为人口预测和规划提供决策支持。
等比数列的概念与性质
等比数列的概念与性质等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项与同一常数的乘积。
等比数列的概念与性质在数学中占有重要地位，对于理解数列的变化规律以及解决实际问题都有着重要的意义。
一、等比数列的概念等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项与同一常数的乘积。
设等比数列的首项为a，公比为r（r≠0），则等比数列的前n项可以用以下公式表示：an = a * r^(n-1)，其中n为项数。
二、等比数列的性质1. 公比的意义：公比决定了等比数列中相邻两项之间的比值关系。
当公比r大于1时，等比数列呈现递增趋势；当公比r小于1但大于0时，等比数列呈现递减趋势；当公比r等于1时，等比数列的各项相等。
2. 通项公式：等比数列的第n项可以使用通项公式an = a * r^(n-1)来表示，其中a 为首项，r为公比。
3. 前n项和的计算：等比数列的前n项和Sn可以使用等比数列求和公式来计算，公式为：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)，其中n为项数，a为首项，r为公比。
4. 无穷项和的计算：当公比的绝对值小于1时，等比数列的无穷项和可以通过求和公式求得：S∞ = a / (1 - r)，其中a为首项，r为公比。
5. 等比数列的性质：等比数列中的任意三项可以构成一个等比比例。
根据这个性质，可以使用等比数列来解决各种实际问题，如利润增长、贷款还款等。
三、等比数列的应用举例1. 财务管理：等比数列的概念和性质在财务管理中有广泛的应用。
例如，某公司的年度利润按等比数列增长，首年利润为10万元，公比为1.2。
我们可以利用等比数列的性质计算出第5年的利润为10万 * 1.2^(5-1) = 18.14万元。
2. 投资与滚动利息：等比数列的应用还可用于计算投资的滚动利息。
假设某人将1000元以5%的年利率存入银行，每年滚动利息再投入银行，求10年后的本息和。
我们可以利用等比数列的性质计算出10年后的本息和为1000 * (1.05^10) = 1628.89元。
等比数列知识点归纳总结
等比数列知识点归纳总结等比数列是指一个数列中每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
在等比数列中，我们可以通过一些重要的知识点来解决与数列相关的问题。
本文将对等比数列的概念、性质以及求和公式进行归纳总结。
一、等比数列的概念与性质1. 等比数列的概念：等比数列是指一个数列中，从第2项开始，每一项都是前一项乘以同一个常数的结果。
2. 公比的概念：在等比数列中，这个常数被称为公比，通常用字母q表示。
3. 公比的计算：公比q可以通过相邻两项的比值来计算，即等于后一项除以前一项。
公比q = 第(n+1) 项 / 第n 项4. 等比数列的性质：（1）任意项与它前一项的比值都等于公比q；（2）等比数列中，任意两项的比值都相等。
二、等比数列的求和公式在解决与等比数列相关的问题时，求和是一个重要的方面。
通过求和公式，我们能够快速计算等比数列的前n项的总和。
以下是等比数列的求和公式：Sn = a1*(1-q^n)/(1-q)其中，Sn表示前n项的和，a1表示第一项，q表示公比。
三、等比数列的常见问题解答1. 已知等比数列的首项a1和公比q，求出该数列的通项公式：通项公式可以通过逐项相除来得到。
假设通项公式为an，那么有：a2/a1 = a3/a2 = a4/a3 = ... = q根据这个比值相等的关系，可以得到通项公式：an = a1*(q^(n-1))2. 已知等比数列的部分项求和：有时候我们需要计算等比数列中从第m项到第n项的和，可以利用通项公式将问题转化为前n项和减去前m-1项和的差值。
S(m,n) = Sn - S(m-1)其中，S(m,n)表示从第m项到第n项的和。
3. 已知等比数列的前n项和Sn，求出该数列的通项公式：在这种情况下，可以通过求和公式逆推得到通项公式。
首先将求和公式改写为关于q的方程，然后解方程求得q的值，最后代入通项公式中即可得到结果。
以上是关于等比数列的概念、性质、求和公式以及常见问题的解答。
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第37讲 等比数列的概念及基本运算
1．(2016·湖北省八校第二次联考)在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝8，a 7＝8，则a 1＝(A)
A ．1
B ．±1
C ．2
D ．±2
因为a 2a 3a 4＝a 33＝8，所以a 3＝2，即a 1q 2＝2，
所以a 1>0，又a 2a 3a 4＝a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 21·a 1q 6＝a 21·
a 7＝8a 21＝8，所以a 1＝1或a 1＝－1(舍去)，故选A.
2．(2015·新课标卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14
，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝(C) A ．2 B ．1
C.12
D.18
由题意可得a 3a 5＝a 24＝4(a 4－1)，
所以a 4＝2，所以q 3＝a 4a 1
＝8，所以q ＝2. 所以a 2＝a 1q ＝12
. 3．(2017·湖南五市十校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的(B)
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
若A ＝B ＝0，则S n ＝0，故数列{a n }不是等比数列；
若数列{a n }是等比数列，当q ＝1时，S n ＝A ＋B ，所以a n ＝0(n ≥2)与数列{a n }是等比数
列矛盾，所以q ≠1，S n ＝a 1(1－q n )1－q
， 所以A ＝－a 11－q ，B ＝a 11－q
，所以A ＝－B ， 因此“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的必要不充分条件．
4．(2018·华大新高考联盟教学质量测评)在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝33，则
a 11＋a 2011a 17＋a 2017
＝(D) A.29 B.49
C.23
D.89
依题意知等比数列{a n }的公比q ＝a 3a 2＝332
， 故a 11＋a 2011a 17＋a 2017＝a 11＋a 2011q 6(a 11＋a 2011)＝1q 6＝89
. 5．已知{a n }为等差数列，公差为1，且a 5是a 3与a 11的等比中项，则a 1＝ －1 .
因为a 5是a 3与a 11的等比中项，所以a 25＝a 3·a 11.
即(a 1＋4d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋10d )，解得a 1＝－1.
6．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝6，S 4＝30，则S 6＝ 126 .
因为{a n }是等比数列，
所以S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列．
所以S 6－S 4S 4－S 2
＝S 4－S 2S 2，故S 6＝126. 7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13
(a n －1)(n ∈N *)． (1)求a 1，a 2；
(2)求证：数列{a n }是等比数列；
(3)求数列{a n }的通项公式．
(1)由S 1＝13
(a 1－1)，得 a 1＝13(a 1－1)，所以a 1＝－12
. 又S 2＝13(a 2－1)，即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14
. (2)证明：当n ≥2时，
a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13
(a n －1－1)， 得a n a n －1
＝－12，所以数列{a n }是等比数列． (3)由(1)、(2)可知{a n }是a 1＝－12，公比为－12
的等比数列， 所以a n ＝a 1·q n －1＝－12×(－12)n －1＝(－12
)n .
8．(2017·湖南三湘名校联盟三模)一个等比数列{a n }的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有(B)
A ．13项
B ．12项
C ．11项
D ．10项
设首项为a 1，公比为q ，共有n 项．
前三项的积为a 31q 3＝2，
最后三项的积为a 31q
3n －6＝4， 两式相乘得a 61q 3(n －1)＝8，即a 21q
n －1＝2， 又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n －1＝64，
所以a n 1q n (n －1)2
＝64.则(a 21q n －1)n ＝642， 所以2n ＝642，所以n ＝12.
9．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ 50 .
因为a 1a 20＝a 10a 11＝a 9a 12＝e 5，
所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1·a 2·…·a 20)
＝ln[(a 1·a 20)·(a 2·a 19)·…·(a 10·a 11)]
＝ln(e 5·e 5·…·e 5)＝ln e 50＝50.
10．(2017·新课标卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.
(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式；
(2)若T 3＝21，求S 3.
设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q (q ≠0)．
(1)由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3，①
由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.②
联立①和②解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝3，q ＝0(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝1，
q ＝2. 因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.
(2)由b 1＝1，T 3＝21得q 2＋q －20＝0. 解得q ＝－5或q ＝4.
当q ＝－5时，由①得d ＝8，则S 3＝21. 当q ＝4时，由①得d ＝－1，则S 3＝－6.。