浦东新区高三三模(2016.05)

浦东新区高三数学三模试卷
2016.05
一. 填空题
1. 抛物线2
14
y x =-
的准线方程是 2. 计算：2lim
123n
n C n
→∞=+++⋅⋅⋅+ 3. 已知||2a =r ，||3b =r ，且a r 、b r 的夹角为3
π
，则|32|a b -=r r
4. 在复平面内，点(2,1)A -对应的复数为z ，则|1|z +=
5. 关于x 的方程
sin 101
4cos x x
=的解为
6. 设2
{|230}A x x x =--=，{|10}B x ax =-=，B A ⊆，则实数a 取值集合为 7. 已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若
533S S =，则53
a
a = 8. 某校要从2名男生和4名女生中选出4人，担任在迪斯尼举行的某项活动的志愿者工作， 则在选出的志愿者中，男、女都有的概率为 （结果用数值表示）
9.（文）已知5426
2513,x y x y x N y N +≤⎧⎪
+≤⎨⎪∈∈⎩
，则目标函数2010z x y =+的最大值为
（理）圆心是(,0)C a ，半径为a 的圆的极坐标方程为 10. 如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点B 作截面
111A BC D 后形成的，已知1AB =，1111
2
A A C C D D ==
， 1D B 与底面ABCD 所成的角为60︒，则这个多面体的体积
为
11. 直线1y kx =+与抛物线2
2y x =至多有一个公共点，则k 的取值范围是
12.
已知函数[0,2)()(2),[2,)
x f x f x x ∈=-∈+∞⎪⎩，若对于正数n k *
()n N ∈，关于x 的函数
()()n g x f x k x =-的零点个数恰好为21n +个，则2222
123lim()n n k k k k →∞
+++⋅⋅⋅=
13. 函数()3|5|2|2|f x x x =+-+，数列12,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，满足1()n n a f a +=，*
n N ∈，
若要使12,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅成等差数列，则1a 的取值范围为
14.（文）设集合{1,2,,6}P =⋅⋅⋅，A 、B 是P 的两个非空子集，则所有满足A 中的最大数
小于B 中的最小数的集合对(,)A B 的个数为
（理）设整数3n ≥，集合{1,2,,}P n =⋅⋅⋅，A 、B 是P 的两个非空子集，则所有满足A 中 的最大数小于B 中的最小数的集合对(,)A B 的个数为
二. 选择题
15. 若a 、b 为实数，则0a b <<是2
2
a b >的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
16. 设P 为双曲线22
21x y a -=(0)a >上的一点，1F 、2F 是左右焦点，1223
F PF π∠=，则
△12F PF 的面积等于（ ）
A.
2 B.
23a C. 3 D. 3
17. 若圆锥的侧面展开图是半径为2，中心角为53
π
的扇形，则由它的两条母线所确定的截
面面积的最大值为（ ）
A.
18 B. 2 C. 4 D. 9
18. 设{}n a 是公比为q (1)q ≠的无穷等比数列，若{}n a 中任意两项之积仍是该数列中的项， 则称{}n a 为“封闭等比数列”，给出以下命题：① 13a =，2q =，则{}n a 是“封闭等比数
列”；② 11
2
a =
，2q =，则{}n a 是“封闭等比数列”；③ 若{}n a 、{}n b 都是“封闭等比 数列”，则{}n n a b ⋅、{}n n a b +也都是“封闭等比数列”；④ 不存在{}n a ，使{}n a 和2
{}n a 都
是“封闭等比数列”；以上正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
三. 解答题
19.（文）如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，1PA AB ==，2AD =，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动；
（1）当点E 为BC 的中点时，证明：EF ∥平面PAC ；
（2）求三棱锥E PAD -的体积；
（理）如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，1PA AB ==，2AD =，点F 是
PB 的中点，点E 在边BC 上移动；
（1）求三棱锥E PAD -的体积；
（2）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有AF PE ⊥；
20. 如图，上海迪士尼乐园将一三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为游客体验活动区，已知120A ∠=︒，AB 、AC 的长度均大于200米，设AP x =，AQ y =，且AP 、AQ 总长度为200米；
（1）当x 、y 为何值时？游客体验活动区APQ 的面积最大，并求最大面积； （2）当x 、y 为何值时？线段||PQ 最小，并求最小值；
21. 已知函数2
()12a f x ax =-
+，()a g x x x
=+； （1）()0f x >在[1,2)x ∈上恒成立，求a 的取值范围；
（2）当0a >时，对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得12()()f x g x ≥恒成立， 求a 的取值范围；
22.（文）设椭圆1E 的长半轴长为1a ，短半轴长为1b ，椭圆2E 的长半轴长为2a ，短半轴长
为2b ，若
1122a b a b =，则我们称椭圆1E 与椭圆2E 是相似椭圆，已知椭圆2
2:12
x E y +=，其 左顶点为A ，右顶点为B ；
（1）设椭圆E 与椭圆22
:12
x y F s +=是“相似椭圆”，求常数s 的值； （2）设椭圆2
2:2
x G y λ+=（01λ<<），过A 作斜率为1k 的直线1l 与椭圆G 只有一个公 共点，过椭圆的上顶点D 作斜率为2k 的直线2l 与椭圆G 只有一个公共点，求12||k k 的值；
（3）已知椭圆E 与椭圆22
:12x y H t
+=（2t >）是相似椭圆，椭圆H 上异于A 、B 的 任意一点01(,)C x y ，且椭圆E 上的点02(,)M x y （120y y >），求证：AM BC ⊥；
（理）设椭圆1E 的长半轴长为1a ，短半轴长为1b ，椭圆2E 的长半轴长为2a ，短半轴长为2b ，
若
1122a b a b =，则我们称椭圆1E 与椭圆2E 是相似椭圆，已知椭圆2
2:12
x E y +=，其左顶点 为A ，右顶点为B ；
（1）设椭圆E 与椭圆22
:12
x y F s +=是“相似椭圆”，求常数s 的值； （2）设椭圆2
2:2
x G y λ+=（01λ<<），过A 作斜率为1k 的直线1l 与椭圆G 仅有一个公 共点，过椭圆E 的上顶点为D 作斜率为2k 的直线2l 与椭圆G 只有一个公共点，当λ为何值
时，12||||k k +取得最小值，并求其最小值；
（3）已知椭圆E 与椭圆22
:12x y H t
+=（2t >）是相似椭圆，椭圆H 上异于A 、B 的 任意一点00(,)C x y ，求证：ABC ∆的垂心M 在椭圆E 上；
23. 已知无穷数列{}n a 满足1n n n
q a p a a +=⋅+（*
n N ∈），其中p 、q 均为非负实数且不同 时为0； （1）若12p =
，2q =，且34120
a =，求1a 的值； （2）若15a =，0p q ⋅=，求数列{}n a 的前n 项和n S ；
（3）（文）若12a =，1q =，求证：当13
(,)24
p ∈时，数列{}n a 是单调递减数列； （理）若12a =，1q =，且{}n a 是单调递减数列，求实数p 的取值范围；
参考答案
一. 填空题
1. 1y =
2. 1
3. 6
4. 5. (1)212
k
k x ππ
=
+-，k Z ∈ 6. 1
{0,1,}3- 7. 179 8. 1415
9.（文）100（理）2cos a ρθ=
10.
2 11. 1{0}[,)2+∞U 12. 1
4
13. [2,)-+∞ 14.（文）129（理）1
(2)21n n --⋅+
二. 选择题
15. A 16. C 17. B 18. B
三. 解答题
19.（文）（1）证明略；（2）13E PAD S -=
；（理）（1）1
3
E PAD S -=；（2）证明略； 20.（1）100x y ==
时，max ()APQ S ∆=（2）100x y ==
时，min ||PQ =； 21.（1）（1）2
7
a ≥-
；（2）∅； 22.（文）（1）4s =或1s =；（2）121||2
k k =；（3）证明略； （理）（1）4s =或1s =；（2）当1
2
λ=
时，12||||k k +
；（3）证明略； 23.（1）11a =或14a =；（2）5(1)0,11
51
n n p p p S p n p ⎧-≠≠⎪
=-⎨⎪=⎩
；
（3）（理）13
24
p <<，
（文）证明略；。