2016届上海市徐汇区高三一模数学(理科)试题及答案

2015学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷数学学科（理科）参考答案及评分标准2016.1 一．填空题：(本题满分56分，每小题4分)１．x y 82= ２．2x = 3．12 4．12- 5．()4x y x R -=-∈ 6．04a << 7．16 8．0 9．28 10．23π 11．9 12．1413．2- 145二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．A 16．Ｄ 17．A 18．Ｃ 三． 解答题：（本大题共5题，满分74分） 19．（本题满分12分）解：因为,SA AB SA AC ⊥⊥，AB AC A ⋂=,所以SA ⊥平面ABC ,所以SA BC ⊥.又AC BC ⊥.所以BC ⊥平面SAC .故SC BC ⊥.--------6分在ABC ∆中，090,2,13ACB AC BC ∠===所以17AB =分又在SAB ∆中，,17,29SA AB AB SB ⊥==,所以23SA =.---10分又因为SA ⊥平面ABC ,所以1123921323323S ABC V -⎛=⨯⨯⨯=⎝.----------12分 20．（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）解：（1）设213x u -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则上式化为291010u u -+≤，119u ≤≤，即211193x -⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，24x ≤≤---------------------------------------------------------------------6分（2）因为()()2222()log log 1log 222x xf x x x =⋅=-- 2222231log 3log 2log 24x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，---------------------------10分当23log 2x =，即22x =min 14y =---------------------------------------------------12分 当2log 1x =或2log 2x =，即2x =或4x =时，max 0y =．---------------------------14分 21．（本题满分16分；第（1）小题6分，第（2）小题8分） 解：（1）由已知得1521515tan cos y x x=⨯+-， 即2sin 1515cos x y x -=+⨯（其中04x π≤≤）-----------------------------------------------6分（2）记2sin cos xp x -=，则sin cos 2x p x +=2211p≤+， SABC解得3p ≥或3p ≤分由于0y >，所以，当6x π=，即点O 在CD 中垂线上离点P 距离为15315⎛ ⎝⎭km 处, y 取得最小值1515340.98+≈（km ）．-------------------------------------------------14分22．（本题满分16分；第（1）小题3分，第（2）①小题6分，第（2）②小题7分） 解：（1）1232,3, 6.d d d ===---------------------------------------------------------------3分 （2）①当1n =时，11(1)1,a a λλ-=-+所以11a =---------------------------------4分 当2n ≥时，21(1),33n n S a n λλ-=-++1121(1),33n n S a n λλ---=-+- 两式相减得12,3n n a a λ-=+所以12223(1)33(1)n n n b a a λλλ-=+=++-- 112,3(1)n n a b λλλ--⎡⎤=+=⎢⎥-⎣⎦又1123103(1)3(1)b a λλλ-=+=≠-- 所以，数列{}n b 是以313(1)λλ--为首项、λ为公比的等比数列.--------------------------9分②由①知：13123(1)3(1)n n a λλλλ--=--- ；又{}{}1212max ,,,min ,,,i i i i n d a a a a a a ++=-，{}{}112123max ,,,min ,,,i i i i n d a a a a a a ++++=- 由于{}{}1223min ,,,min ,,,,i i n i i n a a a a a a ++++≤所以由1i i d d +>推得{}{}12121max ,,,max ,,,.i i a a a a a a +<所以{}1211max ,,,i i a a a a ++=对任意的正整数1,2,3,,2i n =-恒成立.-----------13分因为1112,,i i i i i i d a a d a a ++++=-=-所以121212131312(12)(1).3(1)3(1)i i i i i i i d d a a a λλλλλλλλλ--+++---=+-=+-=---------14分由10i i d d +-<，得1231(1)03(1)i λλλλ---<-，但0λ>且1λ≠，所以3103(1)λλ-<-解得113λ<<，所以1(,1)3λ∈--------------------16分23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分）解：（1）由于直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1W x y +=分成长度相等的四段弧，所以2AB CD ==OAB ∆中，圆心()0,0O 到直线1:l y x a =+的距离为2122a d a ===，同理1b =，∴222a b +=------------------------------------4分 （2）由题知，直线12,l l 关于原点对称，因为圆22:4W x y +=的圆心为原点O ，所以AB DC =，故四边形ABCD 为平行四边形.易知，O 点在对角线,AC BD 上.联立224210x y y x +=⎧⎪⎨=-⎪⎩解得2541060x x -+=，由121241065x x x x +==得 (12121212210210OA OB x x y y x x x x ⋅=+=+)121241052101062101005x x x x =-++=-+=，所以OA OB ⊥， 于是AC BD ⊥，因为4AC BD ==，所以四边形ABCD 为正方形.----------------9分（3） 证明：假设椭圆22:12x W y +=存在内接正方形，其四个顶点为,,,A B C D . 当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 、CD 的方程为,x m x n ==，因为,,,A B C D 在椭圆上，所以2222,1,1,,1,,12222m m n n A m B m C n D n ⎛⎛⎛⎛---- ⎝⎝⎝⎝，由四边形ABCD 为正方形，易知，6633m n ==-AB 、CD 的方程为6633x x ==-，正方形ABCD 的面积26268333S =⋅=.---------------------12分 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 、CD 的方程分别为():,:0,0AB CD l y kx m l y kx n k m =+=+≠≠，显然m n ≠.设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，联立2212x y y kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222124220k x kmx m +++-=，所以2121222422,1212km m x x x x k k -+=-=++代人()()222121214AB kx x x x ⎡⎤=++-⎣⎦，得()()222222218112k m AB k k -+=+⋅+，同理可得()()222222218112k n CD k k -+=+⋅+，因为ABCD 为正方形，所以22AB CD =解得22m n =因为m n ≠，所以m n =-，因此，直线AB 和直线CD 关于原点O 对称，所以原点O 为正方形的中心（由m n =-知AB DC =，四边形ABCD 为平行四边形） 由ABCD 为正方形知OA OB ⊥， 即()()221212121210OA OB x x y y kx xkm x x m ⋅=+=++++=代人得222322012m k k--=+，解得()22213k m +=（注：此时四边形ABCD 为菱形） 由ABCD 为正方形知AB AD =，因为直线AB 和直线CD 的距离为21m nAD m n k-==-+，故()22222214483113k m AD k k +⋅===++ 但()()()()()22222222221142188131212k k k m AB kk k ++-+=+⋅=⋅++，由()()()2222114112k k k ++=+得 424224514410k k k k k ++=++∴=即0k =，和0k ≠矛盾.所以22AD AB ≠，这和AD AB =矛盾.即当直线AB 的斜率0k ≠存在时，椭圆内不存在正方形.综上所述，椭圆22:12x W y +=的内接正方形有且只有一个，且其面积为83S =.--18分。