2016届上海杨浦区高三一模数学试卷及答案(理科)
上海市杨浦高级中学2016届高三下学期3月月考数学试卷(理科)Word版含解析
2015-2016学年上海市杨浦高级中学高三（下）3月月考数学试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．抛物线y2=x的焦点F坐标为．2．已知全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合，则∁U A=．3．如果=，那么a的取值范围是．4．关于x的方程：4x•|4x﹣2|=3的解为．5．不等式的解集为．6．向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（λ，μ∈R），则=．7．已知数列{a n}满足（n∈N*），则a2n=．8．在（2x+y+z）10的展开式中，x3y2z5的系数为．9．在极坐标系中，将圆ρ=2沿着极轴正方向平移两个单位后，再绕极点逆时针旋转弧度，则所得的曲线的极坐标方程为．10．5位好朋友相约乘坐迪士尼乐园的环园小火车．小火车的车厢共有4节，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2人）的概率是．11．已知定义在R上的函数y=f（x）对于任意的x都满足f（x+2）=f（x）．当﹣1≤x＜1时，f（x）=x3．若函数g（x）=f（x）﹣log a|x|至少有6个零点，则a的取值范围是．12．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b（a，b≠0），不得分的概率为．若他投篮一次得分ξ的数学期望，则a的取值范围是．13．在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“›”．定义如下：对于任意两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i（a1，b1，a2，b2∈R，i为虚数单位），“z1›z2”当且仅当“a1＞a2”或“a1=a2且b1＞b2”．下面命题：①1›i›0；②若z 1›z 2，z 2›z 3，则z 1›z 3；③若z 1›z 2，则对于任意z ∈C ，z 1+z ›z 2+z ；④对于复数z ›0，若z 1›z 2，则z •z 1›z •z 2．其中真命题是 ．（写出所有真命题的序号）14．符号表示数列{a n }的前n 项和（即）．已知数列{a n }满足a 1=0，a n ≤a n +1≤a n +1（n ∈N *），记，若S 2016=0，则当取最小值时，a 2016= ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填写结果，选对得5分，否则一律得零分．15．在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第1个长方形的面积为0.02，前5个与后5个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数，若样本容量为160，则中间一组（即第5组）的频数为（ ）A ．12B ．24C ．36D ．4816．已知F 为双曲线C ：x 2﹣my 2=3m （m ＞0）的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）A ．B ．3C ． mD ．3m17．将函数的图象向左平移m （m ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．18．在半径为r 的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（ ）A ．2πrB ．C ．D ．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．如图：已知四棱锥P ﹣ABCD ，底面是边长为6的正方形，PA=8，PA ⊥面ABCD ， 点M 是CD 的中点，点N 是PB 的中点，连接AM 、AN 、MN ．（1）求证：AB ⊥MN ；（2）求二面角N ﹣AM ﹣B 的大小．20．已知向量和向量，且．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若有=1，，求△ABC面积的最大值．21．某地拟模仿图（1）建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图（2）所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）曲线BC是抛物线y=﹣ax2+30（a ＞0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圆E的半径．（1）若要求CD=20米，AD=（10+30）米，求t与a值；（2）当0＜t≤10时，若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过45米，求a的取值范围．22．如图数表：，每一行都是首项为1的等差数列，第m行的公差为d m，且每一列也是等差数列，设第m行的第k项为a mk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3，n ∈N*）．（1）证明：d1，d2，d3成等差数列，并用m，d1，d2表示d m（3≤m≤n）；（2）当d1=1，d2=3时，将数列{d m}分组如下：（d1），（d2，d3，d4），（d5，d6，d7，d8，d9），…（每组数的个数构成等差数列）．设前m组中所有数之和为，求数列的前n项和S n；（3）在（2）的条件下，设N是不超过20的正整数，当n＞N时，求使得不等式恒成立的所有N的值．23．如图，圆O与直线x+y+2=0相切于点P，与x正半轴交于点A，与直线y=x在第一象限的交点为B．点C为圆O上任一点，且满足=x+y，以x，y为坐标的动点D （x，y）的轨迹记为曲线Γ．（1）求圆O的方程及曲线Γ的方程；（2）若两条直线l1：y=kx和l2：y=﹣x分别交曲线Γ于点E、F和M、N，求四边形EMFN面积的最大值，并求此时的k的值．（3）根据曲线Γ的方程，研究曲线Γ的对称性，并证明曲线Γ为椭圆．2015-2016学年上海市杨浦高级中学高三（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．抛物线y2=x的焦点F坐标为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】焦点在x轴的正半轴上，且p=，利用焦点为（，0），写出焦点坐标．【解答】解：抛物线y2=x的焦点在x轴的正半轴上，且p=，∴=，故焦点坐标为（，0），故答案为：（，0）．2．已知全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合，则∁U A=．【考点】补集及其运算．【分析】先根据整除性求出集合A，然后根据补集的定义求出C U A即可．【解答】解：∵x∈Z∴能被2整除的数有﹣2，﹣1，1，2则x=﹣2，﹣1，1，2即A={﹣2，﹣1，1，2}而U={﹣2，﹣1，0，1，2}，则C U A={0}故答案为：{0}3．如果=，那么a的取值范围是．【考点】数列的极限．【分析】直接利用数列的极限的运算法则，化简已知条件即可推出a的范围．【解答】解：=，可得=，可得，解得a∈（﹣4，2）．故答案为：（﹣4，2）．4．关于x的方程：4x•|4x﹣2|=3的解为．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】令4x =t ，将方程转化为关于t 的一元二次方程计算．【解答】解：令4x =t ，（t ＞0）．则当t ≥2时，t 2﹣2t ﹣3=0，解得t=3或t=﹣1（舍）．∴x=log 43．当0＜t ＜2时，t （2﹣t ）=3，即t 2﹣2t +3=0，方程无解．故答案为：x=log 43．5．不等式的解集为 ．【考点】其他不等式的解法．【分析】将行列式按第二行展开，求得不等式=+2≥0，注意对数函数的定义域．【解答】解：等价于lgx ++2=+2≥0，即，解得0＜x ≤或x ＞1，故不等式的解集为．故答案为：．6．向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（λ，μ∈R ），则= ．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系，得到向量、、的坐标，结合题中向量等式建立关于λ、μ的方程组，解之得λ=﹣2且μ=﹣，即可得到的值．【解答】解：以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得=（﹣1，1），=（6，2），=（﹣1，﹣3）∵∴，解之得λ=﹣2且μ=﹣因此， ==4故答案为：47．已知数列{a n }满足（n ∈N *），则a 2n = ．【考点】数列递推式．【分析】由已知求出数列的第二项，并得到数列{a n }的偶数项构成以2为首项，以2为公比的等比数列，然后由等比数列的通项公式得答案．【解答】解：由①，得a 2=2，且（n ≥2）②，①÷②得：，∴数列{a n }的偶数项构成以2为首项，以2为公比的等比数列，则．故答案为：2n ．8．在（2x +y +z ）10的展开式中，x 3y 2z 5的系数为 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】根据展开式中项的由来，利用组合解答即可．【解答】解：由题意，在（2x +y +z ）10的展开式中，含有x 3y 2z 5的项为，所以系数为8××=20160．故答案为：20160．9．在极坐标系中，将圆ρ=2沿着极轴正方向平移两个单位后，再绕极点逆时针旋转弧度，则所得的曲线的极坐标方程为 ．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】根据圆ρ=2的圆心与半径，得出平移和旋转后的圆心与半径，由此写出所得曲线的极坐标方程．【解答】解：圆ρ=2的圆心为（0，0），半径为2；沿着极轴正方向平移两个单位后，圆心为（2，0），半径为2；绕极点按逆时针方向旋转，所得圆的圆心为（2，），半径为2；设p为所求圆上任意一点，则OP=ρ=2×2cos（θ﹣）=4cos（θ﹣）．故答案为：ρ=4cos（θ﹣）．10．5位好朋友相约乘坐迪士尼乐园的环园小火车．小火车的车厢共有4节，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2人）的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2人）包含的基本事件个数，由此能求出这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2人）的概率．【解答】解：5位好朋友相约乘坐迪士尼乐园的环园小火车．小火车的车厢共有4节，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则基本事件总数n=45，这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2人）包含的基本事件个数：m=+，∴这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2人）的概率：p===．故答案为：．11．已知定义在R上的函数y=f（x）对于任意的x都满足f（x+2）=f（x）．当﹣1≤x＜1时，f（x）=x3．若函数g（x）=f（x）﹣log a|x|至少有6个零点，则a的取值范围是．【考点】函数的周期性．【分析】函数g（x）=f（x）﹣log a|x|的零点个数，即函数y=f（x）与y=log5|x|的交点的个数，由函数图象的变换，分别做出y=f（x）与y=log a|x|的图象，结合图象可得log a5＜1 或log a5≥﹣1，由此求出a的取值范围．【解答】解：根据题意，函数g（x）=f（x）﹣log a|x|的零点个数，即函数y=f（x）与y=log a|x|的交点的个数；f（x+2）=f（x），函数f（x）是周期为2的周期函数，又由当﹣1＜x≤1时，f（x）=x3，据此可以做出f（x）的图象，y=log a|x|是偶函数，当x＞0时，y=log a x，则当x＜0时，y=log a（﹣x），做出y=log a|x|的图象，结合图象分析可得：要使函数y=f（x）与y=log a|x|至少有6个交点，则log a5＜1 或log a5≥﹣1，解得a＞5，或0＜a≤．所以a的取值范围是（0，]∪（5，+∞）．故答案为：（0，]∪（5，+∞）．12．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b（a，b≠0），不得分的概率为．若他投篮一次得分ξ的数学期望，则a的取值范围是．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】由已知得，0＜a＜1，0＜b＜1，从而3a+2b=3a+2（﹣a）＞，由此能求出a的取值范围．【解答】解：∵一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b（a，b≠0），不得分的概率为．∴a+b+=1，∴，∵0＜a＜1，0＜b＜1，∴0＜a＜，∵投篮一次得分ξ的数学期望，∴3a+2b=3a+2（﹣a）＞，解得a＞，综上，．故答案为：（，）．13．在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“›”．定义如下：对于任意两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i（a1，b1，a2，b2∈R，i为虚数单位），“z1›z2”当且仅当“a1＞a2”或“a1=a2且b1＞b2”．下面命题：①1›i›0；②若z1›z2，z2›z3，则z1›z3；③若z1›z2，则对于任意z∈C，z1+z›z2+z；④对于复数z›0，若z1›z2，则z•z1›z•z2．其中真命题是．（写出所有真命题的序号）【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数的新定义大小关系即可得出．【解答】解：①．∵1=1+0•i，i=0+1•i，∵实部1＞0，∴1›i．又0=0+0•i，∵实部0=0，虚部1＞0，∴i›0，∴1›i›0，所以①正确．②设z k=a k+b k i，k=1，2，3，a k，b k∈R．∵z1›z2，z2›z3，∴a1≥a2，a2≥a3，∴a1≥a3．则当a1＞a3时，可得z1›z3；当a1=a3时，有b1＞b2＞b3，可得z1›z3，∴②正确；③令z=a+bi（a，b∈R），∵z1›z2，∴a1≥a2，∴a1+a≥a2+a，当a1=a2时，b1＞b2，故a1+a=a2+a，b1+b＞b2+b，可得z1+z›z2+z；当a1＞a2时，a1+a＞a2+a，可得z1+z›z2+z；∴③正确；④取z=0+i＞0，z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，（a k，b k∈R，k=1，2），不妨令a1=a2，b1＞b2，则z1›z2，此时z•z1=﹣b1+a1i，z•z2=﹣b2+a2i，不满足z•z1›z•z2．故④不正确．由以上可知：只有①②③正确．故答案为：①②③．14．符号表示数列{a n}的前n项和（即）．已知数列{a n}满足a1=0，a n≤a n≤a n+1（n∈N*），记，若S2016=0，则当+1取最小值时，a2016=．【考点】数列的求和．【分析】S2016=0，=，进一步可知{a n}从第一起k∈{1，2，3，4，…，1008}，当取最小值，a2016=1007．【解答】解：S2016=0，（﹣1）k=0，即=，∵a n≤a n+1，（n∈N*），0＜a＜1，∴≥，∴a2k﹣1=a2k，k∈{1，2，3，4，…，1008}，∵a1=0，a n≤a n+1≤a n+1（n∈N*），∴当取最小值，∴a2016=1007，故答案为：1007．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填写结果，选对得5分，否则一律得零分．15．在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第1个长方形的面积为0.02，前5个与后5个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数，若样本容量为160，则中间一组（即第5组）的频数为（）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】频率分布直方图．【分析】设出公差，利用9个小长方形面积和为1，求出公差，然后求解中间一组的频数．【解答】解：设公差为d，那么9个小长方形的面积分别为0.02，0.02+d，0.02+2d，0.02+3d，0.02+4d，0.02+3d，0.02+2d，0.02+d，0.02，而9个小长方形的面积和为1，可得0.18+16d=1 可以求得d=∴中间一组的频数为：160×（0.02+4d）=36．故选C．16．已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3 C．m D．3m【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．【解答】解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，∴点F到C的一条渐近线的距离为=．故选：A．17．将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值．【解答】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z），则m的最小值为．故选B18．在半径为r的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（）A．2πr B．C．D．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】球面上两点之间最短的路径是大圆（圆心为球心）的劣弧的弧长，因此最短的路径分别是经过的各段弧长的和，利用内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好同在一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，经过的最短路程为：一个半圆一个圆即可解决．【解答】解：由题意可知，球面上两点之间最短的路径是大圆（圆心为球心）的劣弧的弧长，内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好同在一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，例如动点从A到S，再到C，到B回到A，∠SOA=∠SOC=90°，∠COB=∠BOA=60°，则经过的最短路程为：一个半圆一个圆，即：=故选B．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．如图：已知四棱锥P﹣ABCD，底面是边长为6的正方形，PA=8，PA⊥面ABCD，点M是CD的中点，点N是PB的中点，连接AM、AN、MN．（1）求证：AB⊥MN；（2）求二面角N﹣AM﹣B的大小．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．（1）分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，只要证明，【分析】即可证明AB⊥MN．（2）利用法向量的夹角公式即可得出．【解答】（1）证明：分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0）、B（0，6，0）、M（6，3，0）、N（0，3，4），得，，∴，∴AB⊥MN．（2）解：取平面AMB的一个法向量为，设平面AMN的法向量，又，，由，取平面AMN的一个法向量，设二面角N﹣AM﹣B为α，则=，∴二面角N﹣AM﹣B的大小为．20．已知向量和向量，且．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若有=1，，求△ABC 面积的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量共线（平行）的坐标表示；正弦定理．【分析】（1）根据向量平行的坐标关系求出f（x）的解析式，化简成为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，结合三角函数的图象和性质求其最大值．（2）利用=1，求出A的角的大小，在结合余弦定理，利用三角函数的图象和性质求其最大值．【解答】解：（1）由题意：可得：⇔f（x）的最小正周期T=sinx的图象和性质可知：sin（x+）的最大值是1，∴的最大值是2．所以：函数f（x）的最小正周期为2π，最大值为2．（2）由（1）可知．∵=1，得：，∵0＜A＜π，∴，∴，解得：．又∵，即，∴b2+c2﹣bc=3，又∵b2+c2≥2bc（当且仅当b=c时取等号），则有：3+bc≥2bc，∴bc≤3，∴，所以：△ABC面积的最大值为：．21．某地拟模仿图（1）建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图（2）所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）曲线BC是抛物线y=﹣ax2+30（a ＞0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圆E的半径．（1）若要求CD=20米，AD=（10+30）米，求t与a值；（2）当0＜t≤10时，若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过45米，求a的取值范围．【考点】直线和圆的方程的应用；直线与圆的位置关系．【分析】（1）根据圆E的半径CD=30﹣t求出t的值，再利用圆E的方程求出点C的坐标，代入抛物线方程求出a的值；（2）根据圆E的半径，利用抛物线求出OD的值，写出DF的表达式，求DF在t∈（0，10]时不等式DF≤45恒成立即可．【解答】解：（1）因为CD=30﹣t=20，解得t=10；…3分此时圆E：x2+（y﹣10）2=202，令y=0，得AO=10，所以OD=AD﹣AO=30，将点C（30，20）代入y=﹣ax2+30（a＞0）中，解得；…7分（2）因为圆E的半径为30﹣t，所以CD=30﹣t，在y=﹣ax2+30中，令y=30﹣t，解得，则由题意知对t∈（0，10]恒成立，…9分所以恒成立，而，当，即t=15∉（0，10]时，由（）递减，可知：当t=10取最小值；…12分故，解得．…14分．22．如图数表：，每一行都是首项为1的等差数列，第m行的公差为d m，且每一列也是等差数列，设第m行的第k项为a mk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3，n ∈N*）．（1）证明：d1，d2，d3成等差数列，并用m，d1，d2表示d m（3≤m≤n）；（2）当d1=1，d2=3时，将数列{d m}分组如下：（d1），（d2，d3，d4），（d5，d6，d7，d8，d9），…（每组数的个数构成等差数列）．设前m组中所有数之和为，求数列的前n项和S n；（3）在（2）的条件下，设N是不超过20的正整数，当n＞N时，求使得不等式恒成立的所有N的值．【考点】数列的应用．【分析】（1）根据第三行成等差数列得出a3n，根据最后一列成等差数列得出a3n，从而得出d1，d2，d3的关系，同理根据a mn的不同算法即可得出d m关于m，d1，d2的式子；（2）根据分组特点计算c m，利用错位相减法计算S n；（3）把S n，d n代入不等式求出使不等式成立的n的最小值即可得出N的最小值．【解答】解：（1）∵每一行都是首项为1的等差数列，∴a1n=1+（n﹣1）d1，a2n=1+（n﹣1）d2，a3n=1+（n﹣1）d3．∵每一列也是等差数列，∴2a2n=a1n+a3n，∴2+2（n﹣1）d2=1+（n﹣1）d1+1+（n﹣1）d3，即2d2=d1+d3∴d1，d2，d3成等差数列．∵a mn=1+（n﹣1）d m，a mn=a1n+（m﹣1）（a2n﹣a1n）=a1n+（m﹣1）（a2n﹣a1n）=1+（n﹣1）d1+（m﹣1）（n﹣1）（d2﹣d1），∴1+（n﹣1）d m=1+（n﹣1）d1+（m﹣1）（n﹣1）（d2﹣d1）化简得d m=（2﹣m）d1+（m﹣1）d2．（2）当d1=1，d2=3时，d m=2m﹣1（m∈N*），按数列{d m}分组规律，第m组中有2m﹣1个数，所以第1组到第m组共有1+3+5+…+（2m﹣1）=m2个数．则前m组的所有数字和为，∴，∵c m＞0，∴c m=m，从而，m∈N*，∴S n=1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）×2n，∴2S n=1×22+3×23+…+（2n﹣1）×2n+1，∴﹣S n=2+23+24+…+2n+1﹣（2n﹣1）×2n+1=2+23（2n﹣1﹣1）﹣（2n﹣1）×2n+1=（3﹣2n）×2n+1﹣6．∴．（3）由得（2n﹣3）•2n+1＞50（2n﹣1）．令a n=（2n﹣3）•2n+1﹣50（2n﹣1）=（2n﹣3）（2n+1﹣50）﹣100．∴当n≤5时，a n＜0，当n≥6时，a n＞0，所以，满足条件的所有正整数N=5，6，7，8， (20)23．如图，圆O与直线x+y+2=0相切于点P，与x正半轴交于点A，与直线y=x在第一象限的交点为B．点C为圆O上任一点，且满足=x+y，以x，y为坐标的动点D （x，y）的轨迹记为曲线Γ．（1）求圆O的方程及曲线Γ的方程；（2）若两条直线l1：y=kx和l2：y=﹣x分别交曲线Γ于点E、F和M、N，求四边形EMFN面积的最大值，并求此时的k的值．（3）根据曲线Γ的方程，研究曲线Γ的对称性，并证明曲线Γ为椭圆．【考点】直线与圆的位置关系；椭圆的简单性质．【分析】（1）圆O与直线x+y+2=0相切于点，利用点到直线的距离，即可求出半径，解得圆的方程．根据=x+y和坐标关系带入圆的方程，即可得到曲线Γ的方程；垂直（2）两条直线l1：y=kx和l2：y=﹣x分别交曲线Γ，解出坐标，由题意l1与l2垂直，利用两点之间的距离求出EF，MN长度，即可得到四边形的面积，利用基本不等式即可得到答案．（3）根据（1）中得到的方程，首先考虑奇偶性和x轴，y=x轴的对称，在考虑非常见对称．利用椭圆的定义证明即可．【解答】解：由题意：圆O与直线x+y+2=0相切于点，利用点到直线的距离，即可求出半径，r=∴圆的方程为：x2+y2=1圆与x轴的交点A（1，0），与直线y=x在第一象限的交点B为（，），由=x+y，可得：，将代入x2+y2=1得到：x2+y2+xy=1，（）即为曲线Γ的方程；（2）∵两条直线l1：y=kx和l2：y=﹣x分别交曲线Γ于点E、F和M、N．∴联立：⇒解得：点E（，），点F（﹣，﹣）那么：|EF|=同理：联立⇒解得：点M（，）点N（﹣，﹣）那么：|MN|=由题意可知：l1⊥l2，所以四边形EMFN面积的为S=|MN|•|EF|=2×=∵．（当且仅k=±1时等号成立）∴⇒故当k=±1时，四边形EMFN的面积最大，其最大值为：．（3）由（1）可知：曲线Γ的方程：x2+y2+xy=1，（）关于直线y=x，也关于原点对称，同时关于直线y=﹣x对称证明：设曲线Γ上任一点的坐标为P（x0，y0），则有点P关于直线y=x的对称点P′（y0，x0），带入方程得：，显然成立．故曲线Γ的方程关于直线y=x对称．同理：曲线Γ的方程关于原点对称，同时关于直线y=﹣x对称．证明曲线Γ为椭圆型曲线．证明：曲线Γ的方程：x2+y2+xy=1和直线x=y的交点坐标为B1（﹣，﹣），B2（，）曲线Γ的方程：x2+y2+xy=1和直线x=﹣y的交点坐标为A1（﹣1，1），A2（1，﹣1）|0A1|=，|0B1|=，那么，在y=﹣x上取F1（﹣，，），F2（，﹣）设P（x，y）在曲线Γ的方程上的任意一点，则|PF1|+|PF2|======因为xy≤，∴=2=|A1A2|即曲线Γ的方程上的任意一点P到两个定点F1（﹣，，），F2（，﹣）的距离之和为定值2．可以反过来证明：若点P到两个定点F1（﹣，，），F2（，﹣）的距离之和为定值2，可以求得P的轨迹方程，得到为：x2+y2+xy=1故曲线Γ的方程是椭圆，其焦点坐标为F1（﹣，，），F2（，﹣）．2016年10月11日。
上海市杨浦区高考数学二模试卷(理科) Word版含解析
2016年上海市杨浦区高考数学二模试卷（理科）一、填空题1．函数的定义域是______．2．已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则实数a=______．3．计算=______．4．若向量，满足且与的夹角为，则=______．5．若复数z1=3+4i，z2=1﹣2i，其中i是虚数单位，则复数的虚部为______．6．在的展开式中，常数项是______．（用数字作答）7．已知△ABC的内角A、B、C所对应边的长度分别为a、b、c，若，则角C的大小是______．8．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且满足：a1a7=4，则数列{log2a n}的前7项之和为______．9．在极坐标系中曲线C：ρ=2cosθ上的点到（1，π）距离的最大值为______．10．袋中有5只大小相同的乒乓球，编号为1至5，从袋中随机抽取3只，若以ξ表示取到球中的最大号码，则ξ的数学期望是______．11．已知双曲线的右焦点为F，过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P，M在直线PF上，且满足，则=______．12．现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有______．（用数字作答）13．若关于x的方程（4x+）﹣|5x﹣|=m在（0，+∞）内恰有三个相异实根，则实数m的取值范围为______．14．课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法．祖暅原理也可用来求旋转体的体积．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于______．二、选择题15．下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，+∞）上递增的是（）A．y=2|x|B．y=lnx C．D．16．已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，则“”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件17．设x，y，z是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．B．C．D．|x﹣y|≤|x﹣z|+|y﹣z|18．已知命题：“若a，b为异面直线，平面α过直线a且与直线b平行，则直线b与平面α的距离等于异面直线a，b之间的距离”为真命题．根据上述命题，若a，b为异面直线，且它们之间的距离为d，则空间中与a，b均异面且距离也均为d的直线c的条数为（）A．0条B．1条C．多于1条，但为有限条 D．无数多条三、解答题19．如图，底面是直角三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，D是棱AA1上的动点．（1）证明：DC1⊥BC；（2）求三棱锥C﹣BDC1的体积．20．某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA及PB，现打算用它们和两面成直角的墙OM、ON围成一个如图所示的四边形菜园OAPB（假设OM、ON这两面墙都足够长）．已知|PA|=|PB|=10（米），，∠OAP=∠OBP．设∠OAP=θ，四边形OAPB的面积为S．（1）将S表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围；（2）求出S的最大值，并指出此时所对应θ的值．21．已知函数，其中a∈R．（1）根据a的不同取值，讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）已知a＞0，函数f（x）的反函数为f﹣1（x），若函数y=f（x）+f﹣1（x）在区间[1，2]上的最小值为1+log23，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值．22．已知椭圆C：的焦距为，且右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形．若直线l与椭圆C交于A（x1，y1）、B（x2，y2），且在椭圆C上存在点M，使得：（其中O为坐标原点），则称直线l具有性质H．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l垂直于x轴，且具有性质H，求直线l的方程；（3）求证：在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP都具有性质H．23．已知数列{a n}和{b n}满足：，且对一切n∈N*，均有．（1）求证：数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若λ=2，求数列{b n}的前n项和S n；（3）设，记数列{c n}的前n项和为T n，问：是否存在正整数λ，对一切n∈N*，均有T4≥T n恒成立．若存在，求出所有正整数λ的值；若不存在，请说明理由．2016年上海市杨浦区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题1．函数的定义域是{x|x≥﹣2且x≠1} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由题意即分母不为零、偶次根号下大于等于零，列出不等式组求解，最后要用集合或区间的形式表示．【解答】解：由题意，要使函数有意义，则，解得，x≠1且x≥﹣2；故函数的定义域为：{x|x≥﹣2且x≠1}，故答案为：{x|x≥﹣2且x≠1}．2．已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则实数a=2．【考点】线性方程组解的存在性，唯一性．【分析】由已知得，把x=﹣1，y=2，能求出a的值．【解答】解：∵线性方程组的增广矩阵为，该线性方程组的解为，∴，把x=﹣1，y=2，代入得﹣a+6=4，解得a=2．故答案为：2．3．计算=．【考点】数列的极限．【分析】将1+2+3+…+n=的形式，在利用洛必达法则，求极限值．【解答】解：原式====故答案为：4．若向量，满足且与的夹角为，则=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据可得答案．【解答】解：∵且与的夹角为∴=7∴则=故答案为：5．若复数z1=3+4i，z2=1﹣2i，其中i是虚数单位，则复数的虚部为﹣3．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z1=3+4i，z2=1﹣2i，∴，，∴==，∴复数的虚部为﹣3．故答案为：﹣3．6．在的展开式中，常数项是15．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．【解答】解：∵在的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•，令r﹣6=0，求得r=4，故的展开式中的常数项是5．故答案为：15．7．已知△ABC的内角A、B、C所对应边的长度分别为a、b、c，若，则角C的大小是．【考点】二阶行列式的定义．【分析】由二阶行列式性质得a2+b2﹣c2=ab，由此利用余弦定理求出cosC=，从而能求出角C的大小．【解答】解：∵△ABC的内角A、B、C所对应边的长度分别为a、b、c，，∴a2﹣c2=﹣b2+ab，即a2+b2﹣c2=ab，∴cosC===，∵C是△ABC的内角，∴C=．故答案为：．8．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且满足：a1a7=4，则数列{log2a n}的前7项之和为7．【考点】等比数列的性质．【分析】由等比数列的性质可得：a1a7=a2a6=a3a5=4，再利用指数与对数的运算性质即可得出．【解答】解：由等比数列的性质可得：a1a7=a2a6=a3a5=4=4，∴数列{log2a n}的前7项和=log2a1+log2a2+…+log2a7=log2（a1a2…a7）=log227=7，故答案为：7．9．在极坐标系中曲线C：ρ=2cosθ上的点到（1，π）距离的最大值为3．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到点（1，π）的距离，进而得出最大值．【解答】解：曲线C：ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2x，配方为：（x﹣1）2+y2=1，可得圆心C（1，0），半径r=1．点P（1，π）化为直角坐标P（﹣1，0）．∴|CP|=2，∴曲线C：ρ=2cosθ上的点到（1，π）距离的最大值=2+1=3．故答案为：3．10．袋中有5只大小相同的乒乓球，编号为1至5，从袋中随机抽取3只，若以ξ表示取到球中的最大号码，则ξ的数学期望是．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】由已知得ξ的可能取值为3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出E（ξ）．【解答】解：由已知得ξ的可能取值为3，4，5，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，P（ξ=5）==，∴E（ξ）==．故答案为：．11．已知双曲线的右焦点为F，过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P，M在直线PF上，且满足，则=．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的a，b，c，可得F（，0），渐近线方程为y=±2x，设过点F且平行于双曲线的一条渐近线为y=2（x﹣），代入双曲线的方程可得P的坐标，由两直线垂直的条件可得直线OM的方程，联立直线y=2（x﹣），求得M的坐标，由向量共线的坐标表示，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线的a=1，b=2，c==，可得F（，0），渐近线方程为y=±2x，设过点F且平行于双曲线的一条渐近线为y=2（x﹣），代入双曲线的方程，可得x=，可得P（，﹣），由直线OM：y=﹣x和直线y=2（x﹣），可得M（，﹣），即有==．故答案为：．12．现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有54．（用数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，采用分类原理，对甲，乙老师分当甲，乙带不同班和当甲，乙带相同班时分别求解，最后求和即可．【解答】解：当甲，乙带不同班时：×=36种；当甲，乙带相同班时，=18种；故共有54中，故答案为：54．13．若关于x的方程（4x+）﹣|5x﹣|=m在（0，+∞）内恰有三个相异实根，则实数m的取值范围为（6，）．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】分类讨论以去掉绝对值号，从而利用基本不等式确定各自方程的根的个数，从而解得．【解答】解：当x≥时，5x﹣≥0，∵方程（4x+）﹣|5x﹣|=m，∴（4x+）﹣（5x﹣）=m，即﹣x+=m；∴m≤．当0＜x＜时，5x﹣＜0，∵方程（4x+）﹣|5x﹣|=m，∴（4x+）+（5x﹣）=m，即9x+=m；∵9x+≥6；∴当m＜6时，方程9x+=m无解；当m=6时，方程9x+=m有且只有一个解；当6＜m＜10时，方程9x+=m在（0，1）上有两个解；当m=10时，方程9x+=m的解为1，；综上所述，实数m 的取值范围为（6，）．故答案为：（6，）．14．课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法．祖暅原理也可用来求旋转体的体积．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于 ．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，从中挖去一个圆锥，则由祖暅原理可得：椭球的体积为几何体体积的2倍．【解答】解：椭圆的长半轴为5，短半轴为2， 现构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积V=2（V 圆柱﹣V 圆锥）=2（π×22×5﹣）=．故答案为：．二、选择题15．下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，+∞）上递增的是（ ）A ．y=2|x|B ．y=lnxC ．D ．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可． 【解答】解：A ．函数y=2|x|为偶函数，不满足条件． B ．函数的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件． C.是奇函数，在（0，+∞）上递增，满足条件．D.是奇函数，当0＜x ＜1时函数为减函数，当x ＞1时函数为增函数，不满足条件．故选：C16．已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，则“”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“”，可得0≤tanα＜，“”；反之不成立，α可能为钝角．【解答】解：“”⇒0≤tanα＜⇒“”；反之不成立，α可能为钝角．∴“”是“”的充分不必要条件．故选：A．17．设x，y，z是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．B．C．D．|x﹣y|≤|x﹣z|+|y﹣z|【考点】基本不等式．【分析】A．x，y，是互不相等的正数，令t=x+≥2，可得：﹣=t2﹣t﹣2=（t﹣2）（t+1）≥0，即可判断出真假；B.﹣=﹣，即可判断出真假．C．取x=1，y=2，即可判断出真假；D．|x﹣y|=|（x﹣z）+（z﹣y）|≤|x﹣z|+|y﹣z|，即可判断出真假．【解答】解：A．∵x，y，是互不相等的正数，令t=x+≥2，∴﹣=t2﹣t ﹣2=（t﹣2）（t+1）≥0，正确；B．∵＞，∴﹣=﹣≤0，∴≤，正确．C．取x=1，y=2，则|x﹣y|+=1﹣1=0＜2，因此不正确；D．|x﹣y|=|（x﹣z）+（z﹣y）|≤|x﹣z|+|y﹣z|，正确．故选：C．18．已知命题：“若a，b为异面直线，平面α过直线a且与直线b平行，则直线b与平面α的距离等于异面直线a，b之间的距离”为真命题．根据上述命题，若a，b为异面直线，且它们之间的距离为d，则空间中与a，b均异面且距离也均为d的直线c的条数为（）A．0条B．1条C．多于1条，但为有限条 D．无数多条【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】如图所示，给出一个平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1．取AD=a，A1B1=b，假设平行平面ABCD与A1B1C1D1之间的距离为d．若平面BCC1B1∥a，平面CDD1C1∥b，且满足它们之间的距离等于d，其交线CC1满足条件．把满足平面BCC1B1∥a，平面CDD1C1∥b，且它们之间的距离等于d的两个平面旋转，则所有的交线CC1都满足条件，即可判断出结论．【解答】解：如图所示，给出一个平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1．取AD=a，A1B1=b，假设平行平面ABCD与A1B1C1D1之间的距离为d．平面BCC1B1∥a，平面CDD1C1∥b，且满足它们之间的距离等于d，其交线CC1满足与a，b均异面且距离也均为d的直线c．把满足平面BCC1B1∥a，平面CDD1C1∥b，且它们之间的距离等于d的两个平面旋转，则所有的交线CC1都满足与a，b均异面且距离也均为d的直线c．因此满足条件的直线有无数条．故选：D．三、解答题19．如图，底面是直角三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，D是棱AA1上的动点．（1）证明：DC1⊥BC；（2）求三棱锥C﹣BDC1的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）由棱锥是直棱锥可得侧面与底面垂直，由面面垂直的性质可得BC⊥平面ACC1A1，进一步得到BC⊥DC1；（2）利用等积法，把三棱锥C﹣BDC1的体积转化为三棱锥B﹣CDC1的体积求解．【解答】（1）证明：如图，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥底面ABC，又CC1⊂面ACC1A1，∴面ACC1A1⊥底面ABC，而面ACC1A1∩底面ABC=AC，由△ABC为Rt△，且AC=BC，得BC⊥AC，∴BC⊥平面ACC1A1，∴BC⊥DC1；（2）解：由（1）知，BC⊥平面ACC1A1，∵，∴AA1=2，则∴=．20．某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA及PB，现打算用它们和两面成直角的墙OM、ON围成一个如图所示的四边形菜园OAPB（假设OM、ON这两面墙都足够长）．已知|PA|=|PB|=10（米），，∠OAP=∠OBP．设∠OAP=θ，四边形OAPB的面积为S．（1）将S表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围；（2）求出S的最大值，并指出此时所对应θ的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）在三角POB中，由正弦定理，得：，得OB=10（cosθ+sinθ）．再利用三角形面积计算公式即可得出．（2）由（1）利用倍角公式与和差公式、三角函数的单调性最值即可得出．【解答】解：（1）在三角POB中，由正弦定理，得：，得OB=10（cosθ+sinθ）．所以，S==100（sinθcosθ+sin2θ），θ∈∪．（2）S=100（sinθcosθ+sin2θ）=50（2sinθcosθ+2sin2θ）=50（sin2θ﹣cos2θ+1）=，所以S的最大值为：50+50，θ=．21．已知函数，其中a∈R．（1）根据a的不同取值，讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）已知a＞0，函数f（x）的反函数为f﹣1（x），若函数y=f（x）+f﹣1（x）在区间[1，2]上的最小值为1+log23，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义；反函数．【分析】（1）由得f（﹣x）=﹣ax+log2（2x+1）﹣x，从而可得当a=时函数为偶函数；（2）可判断与f﹣1（x）都是增函数，从而可得f（1）+f﹣1（1）=1+log23，从而解出a．【解答】解：（1）∵，∴f（﹣x）=﹣ax+log2（2﹣x+1）=﹣ax+log2（2x+1）﹣log22x=﹣ax+log2（2x+1）﹣x，∴f（﹣x）=f（x），即﹣ax﹣x=ax，故a=；此时函数为偶函数，若a≠﹣，函数为非奇非偶函数；（2）∵a＞0，∴单调递增，又∵函数f（x）的反函数为f﹣1（x），∴f﹣1（x）单调递增；∴f（1）+f﹣1（1）=1+log23，即a+log23+f﹣1（1）=1+log23，故f﹣1（1）=1﹣a，即a（1﹣a）+log2（2a﹣1+1）=1，解得，a=1；故f（2）=2+log25．22．已知椭圆C：的焦距为，且右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形．若直线l与椭圆C交于A（x1，y1）、B（x2，y2），且在椭圆C上存在点M，使得：（其中O为坐标原点），则称直线l具有性质H．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l垂直于x轴，且具有性质H，求直线l的方程；（3）求证：在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP都具有性质H．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆的焦距为，右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）设直线l：x=t，（﹣2＜t＜2），则A（t，y1），B（t，y2），设M（x m，y m），求出，=﹣，由点M在椭圆C上，能求出直线l的方程．（3）假设在椭圆C上存在三个不同的点P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x3，y3），使得直线PQ、QR、RP都具有性质H，利用反证法推导出相互矛盾结论，从而能证明在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP都具有性质H．【解答】解：（1）∵椭圆C：的焦距为，∴c=，∵右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形，∴c=，解得b=1，∴a2=b2+c2=4，∴椭圆C的方程为．（2）设直线l：x=t，（﹣2＜t＜2），则A（t，y1），B（t，y2），其中y1，y2满足：，y1+y2=0，设M（x m，y m），∵（其中O为坐标原点），∴，=﹣，∵点M在椭圆C上，∴，∴49t2+4﹣t2=100，∴t=，∴直线l的方程为x=或x=﹣．证明：（3）假设在椭圆C上存在三个不同的点P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x3，y3），使得直线PQ、QR、RP都具有性质H，∵直线PQ具有性质H，∴在椭圆C上存在点M，使得：，设M（x m，y m），则，y m=，∵点M在椭圆上，∴+（）2=1，又∵，，∴=0，①同理：=0，②，，③1）若x1，x2，x3中至少一个为0，不妨设x1=0，则y1≠0，由①③得y2=y3=0，即Q，R为长轴的两个端点，则②不成立，矛盾．2）若x1，x2，x3均不为0，则由①②③得=﹣＞0，矛盾．∵在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP都具有性质H．23．已知数列{a n}和{b n}满足：，且对一切n∈N*，均有．（1）求证：数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若λ=2，求数列{b n}的前n项和S n；（3）设，记数列{c n}的前n项和为T n，问：是否存在正整数λ，对一切n∈N*，均有T4≥T n恒成立．若存在，求出所有正整数λ的值；若不存在，请说明理由．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）化简可得，从而写出，即；（2）当λ=2时，a n=n2+n，从而求得b n=2n，从而求等比数列前n项和．（3）仿照（2）可得，b n=2n+r﹣2，从而化简c n=2﹣r﹣2n﹣（），从而分类讨论以确定λ的值．【解答】解：（1）证明：∵，两边除以n（n+1）得，，即，故数列为等差数列，故，故；（2）当λ=2时，a n=n2+n，∵，∴b1==2，b n+1===2n+1，综上所述，b n=2n，S n==2n+1﹣2；（3）仿照（2）可得，，b n=2n+r﹣2，c n==﹣=2﹣r﹣2n﹣（），∵对一切n∈N*，均有T4≥T n恒成立，∴当n＞4时，c n≤0；若λ=1，则c n=1﹣2n﹣，c5=﹣＞0，故T5＞T4，故不成立；若λ=2，则c n=﹣2n﹣，故c1=﹣=0，c2=﹣，c3=﹣＞0，c4=﹣＞0，c5=﹣＜0，且当n≥5时，2n＞n2+n，故成立；若λ=3，则c n=﹣，故c1=﹣＞0，c2=﹣＞0，c3=﹣＞0，c4=﹣＞0，故且当n≥5时，•2n＞n2+2n，故成立；若λ≥4，则c n=﹣，c4=﹣，令f（r）=16﹣16﹣4（r﹣1），则f′（r）=16•ln•﹣4=4（ln4•﹣1）＞0，故f（r）在[4，+∞）上是增函数，故f（4）=16×2﹣16﹣4×3＞0，故c4＜0，故T3＞T4，故不成立；综上所述，λ的值为2或3．2016年9月20日。
上海高三数学一模汇总(杨浦、青浦)
杨浦区2016学年度第一学期期末高三年级质量调研数学学科试卷考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。
考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1、 若“a b >”，则“33a b >”是________命题．（填：真、假）2、 已知(0]A =-∞,，()B a =+∞,，若A B =R ，则a 的取值范围是________．3、 294z z i +=+（i 为虚数单位），则||z =________．4、 若ABC △中，4a b +=，30C ∠=︒，则ABC △面积的最大值是_________．5、 若函数2()log 1x af x x -=+的反函数的图像过点(2,3)-，则a =________． 6、 过半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角是60︒，则该截面的面积是__________．7、 抛掷一枚均匀的骰子（刻有1、2、3、4、5、6）三次，得到的数字依次记作a 、b 、c ，则a bi +（i 为虚数单位）是方程220x x c -+=的根的概率是___________．8、 设常数0a >，9(x展开式中6x 的系数为4，则2lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=_______．9、 已知直线l 经过点(0)且方向向量为(21)-,，则原点O 到直线l 的距离为__________．10、 若双曲线的一条渐近线为20x y +=，且双曲线与抛物线2y x =的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程为_________．11、 平面直角坐标系中，给出点(1,0)A ，(4,0)B ，若直线10x my +-=上存在点P ，使得||2||PA PB =，则实数m 的取值范围是___________．12、 函数()y f x =是最小正周期为4的偶函数，且在[]2,0x ∈-时，()21f x x =+，若存在12,,,n x x x 满足120n x x x ≤<<<，且()()()()1223f x f x f x f x -+-+()()12016n n f x f x -+-=，则n n x +最小值为__________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 13、若a 与b c -都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅”是“()a b c ⊥-”的()(A) 充分但非必要条件 (B) 必要但非充分条件 (C) 充要条件(D) 既非充分也非必要条件14、行列式147258369中，元素7的代数余子式的值为()(A) 15-(B) 3-(C) 3(D) 1215、一个公司有8名员工，其中6位员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两位员工数据不清楚。
2016-2017学年上海市杨浦高中高三(下)开学数学试卷(解析版)
2016-2017学年上海市杨浦高中高三（下）开学数学试卷一、填空题：（本大题共12小题，每小题5分，共70分）1．（5分）复数i（1+i）（i为虚数单位）的实部为．2．（5分）设全集U＝R，集合，则（∁U A）∩B＝．3．（5分）设S n公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于．4．（5分）在（x﹣）6的展开式中，x2的系数为．5．（5分）一个圆柱形容器的轴截面尺寸如右图所示，容器内有一个实心的球，球的直径恰等于圆柱的高．现用水将该容器注满，然后取出该球（假设球的密度大于水且操作过程中水量损失不计），则球取出后，容器中水面的高度为cm．6．（5分）双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝．7．（5分）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．8．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面的面积中最大值是．9．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，则其所有的对称中心的坐标为．10．（5分）实数x、y满足，若z＝ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，则a的取值范围是．11．（5分）已知函数f（x）＝，若对于正数k n（n∈N*），直线y ＝k n•x与函数y＝f（x）的图象恰有2n+1个不同交点，则（k12+k22+…+k n2）＝．12．（5分）若f（x）是定义在R上的函数，对任意的实数x，都有f（x+4）≤f（x）+4和f （x+2）≥f（x）+2且f（1）＝4，则f（2017）的值为．二、选择题：13．（5分）直线l的方程为，则直线l的一个法向量是（）A．（1，2）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（2，﹣1）14．（5分）已知直线l⊥平面α，直线m⊆平面β，给出下列命题，其中正确的是（）①α∥β⇒l⊥m②α⊥β⇒l∥m③l∥m⇒α⊥β④l⊥m⇒α∥βA．②④B．②③④C．①③D．①②③15．（5分）数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝r•a n+r（n∈N*，r∈R且r≠0），则“r＝1”是“数列{a n}成等差数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）如图，正方形ABCD内接于圆O：x2+y2＝2，M，N分别为边AB，BC的中点，已知点P（2，0），当正方形ABCD绕圆心O旋转时，的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．C．[﹣2，2]D．三、解答题：解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1底面ABCD直角梯形，AB∥CD，∠BAD＝90°，P是棱CD上一点，AB＝2，AD＝，AA1＝3，CP＝3，PD＝1．（1）求异面直线A1P与BC1所成的角；（2）求证：PB⊥平面BCC1B1．18．（12分）已知函数．（1）求证：f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数；（2）设函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f（x）是奇函数，若方程f﹣1（x）＝log2（x+t）有实数根，求实数t的取值范围．19．（12分）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与地面垂直，灯杆BC 与灯柱AB所在的平面与道路走向垂，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC＝π，∠ACD＝，路宽AD＝24米．设∠BAC＝θ（1）求灯柱AB的高h（用θ表示）；（2）此公司应该如何设置θ的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到0.01米）20．（12分）已知动点P到直线l1：x＝﹣2的距离与到点F（﹣1，0）的距离之比为．（1）求动点P的轨迹Γ；（2）直线l与曲线Γ交于不同的两点A，B（A，B在x轴的上方）∠OF A+∠OFB＝180°：①当A为椭圆与y轴的正半轴的交点时，求直线l的方程；②对于动直线l，是否存在一个定点，无论∠OF A如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）定义：对于任意n∈N*，满足条件且a n≤M（M是与n无关的常数）的无穷数列{a n}称为M数列．（1）若等差数列{b n}的前n项和为S n，且b2＝﹣3，S5＝﹣25，判断数列{b n}是否是M 数列，并说明理由；（2）若各项为正数的等比数列{c n}的前n项和为T n，且，证明：数列{T n}是M数列，并指出M的取值范围；（3）设数列，问数列{d n}是否是M数列？请说明理由．2016-2017学年上海市杨浦高中高三（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共12小题，每小题5分，共70分）1．【解答】解：i（1+i）＝﹣1+i，则复数i（1+i）的实部为：﹣1．故答案为：﹣1．2．【解答】解：全集U＝R，集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，∴∁U A＝{x|x≤0}，∴（∁U A）∩B＝{x|﹣1＜x≤0}．故答案为：{x|﹣1＜x≤0}．3．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由S1，S2，S4成等比数列，得，即，解得，因为d≠0，所以d＝2a1．所以＝．故答案为3．4．【解答】解：（x﹣）6的展开式的通项公式为T r+1＝•（x）6﹣r•（﹣）r＝（﹣）r ••x6﹣2r，令6﹣2r＝2，解得r＝2，∴展开式中x2的系数为×＝，故答案为：．5．【解答】解：由题意可知球的体积为：＝（cm2）．圆柱的体积为：102π×10＝1000πcm2．所以容器中水的体积为：1000π﹣＝（cm2），所以球取出后，容器中水面的高度为h，，解得h＝cm．故答案为：．6．【解答】解：∵双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，∴渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y＝±x，即a＝b，∵正方形OABC的边长为2，∴OB＝2，即c＝2，则a2+b2＝c2＝8，即2a2＝8，则a2＝4，a＝2．故答案为：2．7．【解答】解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P＝，故答案为：．8．【解答】解：由三视图得几何体是四棱锥P﹣ABCD，如图所示：且PE⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，AB＝4、AD＝2，面PDC是等腰三角形，PD＝PC＝3，则△PDC的高为＝，所以△PDC的面积为：×4×＝2，因为PE⊥平面ABCD，所以PE⊥BC，又CB⊥CD，PE∩CD＝E，所以BC⊥面PDC，即BC⊥PC，同理可证AD⊥PD，则两个侧面△P AD、△PBC的面积都为：×2×3＝3，侧面△P AB的面积为：×4×＝6，所以四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积最大是：6，故答案为6．9．【解答】解：由题意可得T＝x0+﹣x0＝，即T＝π，∴ω＝＝2，∵函数f（x）过点（0，），∴＝2sinφ，即sinφ＝，∵|φ|＜，∴φ＝，∴f（x）＝2sin（2x+），令2x+＝kπ，k∈Z，∴x＝﹣，k∈Z，∴所有的对称中心的坐标为（﹣，0），k∈Z，故答案为：（﹣，0），k∈Z，10．【解答】解：由z＝ax+y得y＝﹣ax+z，直线y＝﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：则A（3，9），B（﹣3，3），C（3，﹣3），∵z＝ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，可知目标函数经过A取得最大值，经过C取得最小值，若a＝0，则y＝z，此时z＝ax+y经过A取得最大值，经过C取得最小值，满足条件，若a＞0，则目标函数斜率k＝﹣a＜0，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，则目标函数的斜率满足﹣a≥k BC＝﹣1，即a≤1，可得a∈（0，1]．若a＜0，则目标函数斜率k＝﹣a＞0，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，可得﹣a≤k BA＝1∴﹣1≤a＜0，综上a∈[﹣1，1]故答案为：[﹣1，1]．11．【解答】解：∵当0≤x＜2时，f（x）＝，当2≤x＜4时，0≤x﹣2＜2，∴f（x﹣2）＝＝，当4≤x＜6时，0≤x﹣4＜6，∴f（x﹣4）＝＝，以此类推…，∴函数f（x）的图象如图所示：当n＝1时，y＝k1x与函数y＝f（x）的图象恰有3个不同交点，此时，y＝k1x与第一个半圆相交与第二个半圆相切，当n＝2时，y＝k2x与函数y＝f（x）的图象恰有5个不同交点，此时，y＝k2x与前两个半圆相交与第三个半圆相切，…，当n＝n时，直线y＝k n•x与函数y＝f（x）的图象恰有2n+1个不同交点，此时，y＝k n x与前n个半圆相交与第n+1个半圆相切，于是有；⇒（+1）﹣2（2n+1）x+（2n+1）2﹣1＝0⇒△＝＝0，解得：＝＝（），∴+++…+＝（1﹣+﹣+…+）＝（1﹣），则（k 12+k22+…+k n2）＝（1﹣）＝．12．【解答】解：∵f（x+2）≥f（x）+2∴f（x+4）≥f（x+2）+2≥f（x）+4而f（x+4）≤f（x）+4∴f（x+4）＝f（x）+4∴f（2017）＝f（2013）+4＝…＝f（1）+4×504而f（1）＝4则f（2009）＝4+4×504＝2020，故答案为2020．二、选择题：13．【解答】解：直线l的方程为，化为：2x+4y﹣7＝0，k＝﹣2．设直线l的一个法向量为＝（m，n），则×（﹣2）＝﹣1，可得：m＝2n．则直线l的一个法向量是（1，2）．故选：A．14．【解答】解：若α∥β，l⊥平面α，可得l⊥β，又由m⊆平面β，故l⊥m，故①正确；若α⊥β，l⊥平面α，可得l∥β或l⊂β，又由m⊆平面β，此时l与m的关系不确定，故②错误；若l∥m，l⊥平面α，可得m⊥平面α，又由m⊆平面β，可得α⊥β，故③正确；若l⊥m，l⊥平面α，则m∥平面α，或m⊂平面α，又由m⊆平面β，此时α与β的关系不确定，故④错误；故四个命题中，①③正确；故选：C．15．【解答】解：当r＝1时，等式a n+1＝r•a n+r化为a n+1＝a n+1，即a n+1﹣a n＝1（n∈N*）．所以，数列{a n}是首项a1＝1，公差为1的等差数列；“r＝1”是“数列{a n}成等差数列”的充分条件；当r不等于1时，由，得：，所以，数列{}是首项为，公比为r的等比数列所以，，．当r＝时，a n＝1．{a n}是首项为1，公差为0的等差数列．因此，“r＝1”不是“数列{a n}成等差数列”的必要条件．综上可知，“r＝1”是“数列{a n}成等差数列”的充分但不必要条件．故选：A．16．【解答】解：圆O的半径r＝，∴正方形的边长为1，∴OM＝ON＝1，设M（cosα，sinα），则N（cos（），sin（）），即N（﹣sinα，cosα），∴＝（cosα﹣2，sinα），＝（﹣sinα，cosα），∴＝2sinα﹣sinαcosα+sinαcosα＝2sinα，∵﹣1≤sinα≤1，∴﹣2≤2sinα≤2，故选：C．三、解答题：解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．【解答】解：（1）以D原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则，P（0，1，0），B，C 1（0，4，3）．＝，，＝＝．∴异面直线A1P与BC1所成的角的大小等于．（2）过B作BM⊥CD交CD于M，在Rt△BMC中，BM＝，MC＝2，则BC＝，∵PC1＝＝3，，PB＝，∵，∴PB⊥BC1．∵B1B⊥平面ABCD，∴B1B⊥PB．又B1B∩BC＝B，∴PB⊥平面BCC1B1．18．【解答】（1）证明：∵f′（x）＝＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数；（2）解：∵f（x）是奇函数，∴f（0）＝a﹣＝0，∴a＝1，由f（x）＝1﹣得f﹣1（x）＝log2（﹣1＜x＜1），∵方程f﹣1（x）＝log2（x+t）有实数根，∴＝x+t（﹣1＜x＜1），∴t＝（1﹣x）+﹣2≥2﹣2，当且仅当x＝1﹣时取等号，∴t的取值范围是[2﹣2，+∞）．19．【解答】解：（1）在△ACD中，，由，得，在△ABC中，，由，得．（2）△ABC中，由，得，∴＝，∵，∴，∴当时，AB+BC取得最小值．故制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小，最小值约为21.86米．20．【解答】解：（1）设P（x，y），则＝，整理得：，∴动点P的轨迹Γ；（2）①A（0，1），F（﹣1，0），则k AF＝1，k BF＝﹣1，直线BF：y＝﹣x﹣1，，整理得：3x2+4x＝0，解得：x＝0，x＝﹣，代入y＝﹣x﹣1，解得：（舍），，则B（﹣，），k AB＝＝，直线AB：y＝x+1，②设方法一：A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB方程：y＝kx+b，则，（k2+）x2+2kbx+b2﹣1＝0，由韦达定理可知：x1+x2＝﹣，x1x2＝，由∠OF A+∠OFB＝180°，则k AF+k BF＝+＝+＝＝0，则2kx1x2+（k+b）（x1+x2）+2b＝2k×﹣（k+b）×+2b＝0，则b﹣2k＝0，∴直线AB方程：y＝k（x+2），直线l总经过点M（﹣2，0）．解法二：由于OF A+∠OFB＝180°，则B关于x轴的对称点B1在直线AF上，设A（x1，y1），B（x2，y2），B1（x2，﹣y2）设直线AF方程：y＝k（x+1），代入；得：（k2+）x2+2kx+k2﹣1＝0，由韦达定理可知：x1+x2＝﹣，x1x2＝，则k AB＝，AB的方程为：y﹣y1＝（x﹣x1），令y＝0，得：x＝x1﹣y1×＝，y1＝k（x1+1），﹣y2＝k（x2+1），x＝＝＝2，∴直线l总经过定点M（﹣2，0）．21．【解答】解：证明：（1）设等差数列{b n}公差为d，由等差数列性质可知：S5＝5b3，则b3＝﹣5．则d＝b3﹣b2＝﹣2，则等差数列{b n}的通项公式b n＝b3+（n﹣3）＝﹣2n+1，由＝＝﹣2n﹣1＝b n+1，且b n≤b1＝﹣1，数列{b n}是否是M数列；证明：（2）由数列{c n}为各项都为正数的等比数列，公式q＞0，将c3＝代入T3＝++c3＝，整理得：6q2﹣q﹣1＝0，解得：q＝，则＝2﹣﹣＝2﹣＜2﹣＝2﹣＝T n+1，且T n＜2，则T n＝2，数列{T n}是M数列，且M≥2．∴M的取值范围[2，+∞）；（3）若数列{d n}是否是M数列，则d n+d n+2﹣2d n+1≤0，n∈N*，成立，即丨﹣1丨+丨﹣1丨﹣2丨﹣1丨≤0，n∈N*，成立，②成立，先考虑n＝1时，由②可知：（p﹣1）+丨﹣1丨﹣2丨﹣1丨≤0，由p＞1，则（p﹣1）+（1﹣）+2（1﹣）≤0成立，解得：1＜p≤，当n≥2时，则丨﹣1丨+丨﹣1丨﹣2丨﹣1丨＝（1﹣）+（1﹣）﹣（1﹣）＝p×＜0，故n∈N*，成立，②恒成立，同时，d n＝丨﹣1丨≤1，则数列{d n}是否是M数列，当2＜p≤3时，（p﹣1）+（1﹣）﹣2（﹣1）≤0，此时p不存在，故n＝1时，②不成立，当p＞3时，则（p﹣1）+（﹣1）﹣2（﹣1）≤0，此时p不存在，故n＝1时，②不成立，综上可知当1＜p≤，数列{d n}是M数列，当p＞，数列{d n}不是M数列．。
上海市杨浦区控江中学2016届高考数学模拟试卷(理科)(5月份) Word版含解析
2016年上海市杨浦区控江中学高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一.填空题（每小题4分，共56分）.1．集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x2＜1}，则A∪B等于．2．函数y=的定义域是．3．已知函数f（x）=，则f﹣1（1）=．4．若复数+b（b∈R）所对应的点在直线x+y=1上，则b的值为．5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．6．已知平面上四点O、A、B、C，若=+，则=．7．若对任意正实数a，不等式x2≤1+a恒成立，则实数x的最小值为．8．对于抛物线C，设直线l过C的焦点F，且l与C的对称轴的夹角为．若l被C所截得的弦长为4，则抛物线C的焦点到顶点的距离为．9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PA⊥平面ABCD．若PA=a，则直线PB与平面PCD所成的角的大小为．10．在极坐标系中，曲线ρ=4cos（θ﹣）与直线ρcosθ=2的两个交点之间的距离为．11．某班级有4名学生被复旦大学自主招生录取后，大学提供了3个专业由这4名学生选择，每名学生只能选择一个专业，假设每名学生选择每个专业都是等可能的，则这3个专业都有学生选择的概率是．12．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足PF2=F1F2，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为．13．函数f（x）=2x+sin2x﹣1图象的对称中心是．14．如图，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l3与l2间的距离是2，正△ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，则△ABC的边长是．二.选择题（每小题5分，共20分）.15．下列函数中，与函数y=x3的值域相同的函数为（）A．y=（）x+1B．y=ln（x+1）C．y=D．y=x+16．一无穷等比数列{a n}各项的和为，第二项为，则该数列的公比为（）A．B．C．D．或17．角α终边上有一点（﹣1，2），则下列各点中在角3α的终边上的点是（）A．（﹣11，2）B．（﹣2，11）C．（11，﹣2）D．（2，﹣11）18．已知矩形ABCD，AB=1，BC=2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中（）A．存在某个位置，使得直线AB和直线CD垂直B．存在某个位置，使得直线AC和直线BD垂直C．存在某个位置，使得直线AD和直线BC垂直D．无论翻折到什么位置，以上三组直线均不垂直三.解答题（五题分别为12，14，14，16，18分，共74分）.19．已知复数﹣1+3i、cosα+isinα（0＜α＜，i是虚数单位）在复平面上对应的点依次为A、B，点O是坐标原点．（1）若OA⊥OB，求tanα的值；（2）若B点的横坐标为，求S△AOB．20．某加油站拟建造如图所示的铁皮储油罐（不计厚度，长度单位为米），其中储油罐的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，l=2r+1（l为圆柱的高，r为球的半径，l≥2）．假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为1千元，半球形部分每平方米建造费用为3千元．设该储油罐的建造费用为y千元．（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）若预算为8万元，求所能建造的储油罐中r的最大值（精确到0.1），并求此时储油罐的体积V（单位：立方米，精确到0.1立方米）．21．已知f （x ）=x n +x n ﹣1+…+x ﹣1，x ∈（0，+∞）．n 是不小于2的固定正整数．（1）当n=2时，若不等式f （x ）≤kx 对一切x ∈（0，1]恒成立，求实数k 的取值范围；（2）试判断函数f （x ）在（，1）内零点的个数，并说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点C （0，c ）任作一直线，与抛物线y=x 2相交于A ，B 两点，一条垂直于x 轴的直线分别与线段AB 和直线l ：y=﹣c 交于点P ，Q ．（1）若•=2，求c 的值；（2）若P 为线段AB 的中点，求证：直线QA 与该抛物线有且仅有一个公共点．（3）若直线QA 的斜率存在，且与该抛物线有且仅有一个公共点，试问P 是否一定为线段AB 的中点？说明理由．23．在数列{a n }中，若a 1，a 2是正整数，且a n =|a n ﹣1﹣a n ﹣2|，n=3，4，5，…，则称{a n }为“D ﹣数列”．（1）举出一个前六项均不为零的“D ﹣数列”（只要求依次写出该数列的前六项）；（2）若“D ﹣数列”{a n }中，a 2015=3，a 2016=0，数列{b n }满足b n =a n +a n+1+a n+2，n=1，2，3，…，分别判断当n →∞时，a n 与b n 的极限是否存在？如果存在，求出其极限值（若不存在不需要交代理由）；（3）证明：任何“D ﹣数列”中总含有无穷多个为零的项．2016年上海市杨浦区控江中学高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一.填空题（每小题4分，共56分）.1．集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x2＜1}，则A∪B等于（﹣1，2）．【考点】并集及其运算．【分析】化简集合A、B，求出A∪B即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}=（0，2）；B={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1）；所以A∪B=（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．2．函数y=的定义域是（﹣∞，0]．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，求解指数不等式得答案．【解答】解：由，得，∴2x≤0，即x≤0．∴函数y=的定义域是：（﹣∞，0]．故答案为：（﹣∞，0]．3．已知函数f（x）=，则f﹣1（1）=1．【考点】反函数；二阶矩阵．【分析】本题由矩阵得到f（x）的表达式，再由反函数的知识算出．【解答】解：由f（x）==2x﹣1，由反函数的性质知2x﹣1=1，解得x=1所以f﹣1（1）=1．故答案为：1．4．若复数+b（b∈R）所对应的点在直线x+y=1上，则b的值为0．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数+b=+b=+b=b+i所对应的点（b，1）在直线x+y=1上，∴b+1=1，解得b=0．故答案为：0．5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为\frac{1}{3}．【考点】等比数列的性质．【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为6．已知平面上四点O、A、B、C，若=+，则=\frac{2}{3}．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】变形已知式子可得，即，问题得以解决．【解答】解：∵=+，∴，∴，∴∴=．故答案为：．7．若对任意正实数a，不等式x2≤1+a恒成立，则实数x的最小值为﹣1．【考点】二次函数的性质．【分析】由恒成立转化为最值问题，由此得到二次函数不等式，结合图象得到x的取值范围．【解答】解：∵对任意正实数a，不等式x2≤1+a恒成立，∴等价于a≥x2﹣1，∴a≥（x2﹣1）max0≥（x2﹣1）max﹣1≤x≤1∴实数x的最小值为﹣1．8．对于抛物线C，设直线l过C的焦点F，且l与C的对称轴的夹角为．若l被C所截得的弦长为4，则抛物线C的焦点到顶点的距离为\frac{1}{2}．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设抛物线方程为y2=2px（p＞0），得出直线l的方程，联立方程组得出根与系数的关系，利用弦长公式列方程解出p．则焦点到顶点的距离为．【解答】解：不妨设抛物线方程为y2=2px（p＞0），则抛物线的焦点F（，0），则直线l的方程为y=x﹣．联立方程组，消元得y2﹣2py﹣p2=0．∴y1+y2=2p，y1y2=﹣p2．∴直线l被抛物线解得弦长为=4．∴=4，解得p=1．∴F（，0）．即抛物线C的焦点到顶点的距离为．故答案为：．9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PA⊥平面ABCD．若PA=a，则直线PB与平面PCD所成的角的大小为\frac{π}{6}．【考点】直线与平面所成的角．【分析】求出B到平面PCD的距离，即可求出直线PB与平面PCD所成的角大小．【解答】解：设B到平面PCD的距离为h，直线PB与平面PCD所成的角为α，由等体积可得••a•a•h=••a•a•a，∴h=a，∵PB=a，∴sinα=，∴α=．故答案为：．10．在极坐标系中，曲线ρ=4cos（θ﹣）与直线ρcosθ=2的两个交点之间的距离为2\sqrt{3}．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】把所给的直线和曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，再把直线方程代入曲线方程，求得交点的坐标，可得弦长【解答】解：曲线ρ=4cos（θ﹣）即ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+=4，表示以（1，）为圆心，半径等于2的圆．直线ρcosθ=2的直角坐标方程为x=2，把x=2代入圆的方程可得y=0，或y=2，故弦长为2，故答案为：．11．某班级有4名学生被复旦大学自主招生录取后，大学提供了3个专业由这4名学生选择，每名学生只能选择一个专业，假设每名学生选择每个专业都是等可能的，则这3个专业都有学生选择的概率是\frac{4}{9}．【考点】等可能事件的概率．【分析】设“这3个专业都有学生选择”为事件A，首先计算4名学生选择3个专业，可能出现的结果数目，注意是分步问题，再由排列、组合计算这3个专业都有学生选择的可能出现的结果数，结合等可能事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：设“这3个专业都有学生选择”为事件A，由题知，4名学生被复旦大学自主招生录取后，大学提供了3个专业由这4名学生选择，可能出现的结果共有34=81种结果，且这些结果出现的可能性相等，3个专业都有学生选择的可能出现的结果数为C42A33=36，则事件A的概率为，故答案为：．12．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足PF2=F1F2，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为4x±3y=0．【考点】双曲线的简单性质．【分析】过F2点作F2Q⊥PF1于Q点，得△PF1F2中，PF2=F1F2=2c，高F2Q=2a，PQ=PF1=c+a，利用勾股定理列式，解之得a与c的比值，从而得到的值，得到该双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵PF2=F1F2=2c，∴根据双曲线的定义，得PF1=PF2+2a=2c+2a过F2点作F2Q⊥PF1于Q点，则F2Q=2a，等腰△PF1F2中，PQ=PF1=c+a，∴=PQ2+，即（2c）2=（c+a）2+（2a）2，解之得a=c，可得b== c∴=，得该双曲线的渐近线方程为y=±x，即4x±3y=0故答案为：4x±3y=013．函数f（x）=2x+sin2x﹣1图象的对称中心是（0，﹣1）．【考点】函数的图象．【分析】先研究函数g（x）=2x+sin2x的对称性，在研究函数f（x）与函数g（x）图象间的关系，最后由g（x）的对称中心推出f（x）的对称中心．【解答】解：设g（x）=2x+sin2x，则g（﹣x）=﹣2x+sin（﹣2x）=﹣2x﹣sin2x=﹣（2x+sin2x）=﹣g（x）∴g（x）为奇函数，其对称中心为（0，0）∵f（x）=g（x）﹣1∴函数f（x）的图象是由函数g（x）的图象再向下平移1个单位得到的，故f（x）的对称中心为（0，﹣1）故答案为：（0，﹣1）．14．如图，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l3与l2间的距离是2，正△ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，则△ABC的边长是\frac{2\sqrt{21}}{3}．【考点】两点间的距离公式．【分析】过A，C作AE，CF垂直于L2，点E，F是垂足，将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L2于点G，由此可得结论．【解答】解：如图，过A，C作AE，CF垂直于L2，点E，F是垂足，将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L2于点G．由作图可知：∠DBG=60°，AD=CF=2．在Rt△BDG中，∠BGD=30°．在Rt△AEG中，∠EAG=60°，AE=1，AG=2，DG=4．∴BD=在Rt△ABD中，AB==故答案为：二.选择题（每小题5分，共20分）.15．下列函数中，与函数y=x3的值域相同的函数为（）A．y=（）x+1B．y=ln（x+1）C．y=D．y=x+【考点】函数的值域．【分析】知道已知函数的值域是R，再观察四个选项的y的取值情况，从而找出正确答案．【解答】解：∵函数y=x3的值域为实数集R，又选项A中y＞0，选项B中y取全体实数，选项C中的y≠1，选项D中y≠0，故选B．16．一无穷等比数列{a n}各项的和为，第二项为，则该数列的公比为（）A．B．C．D．或【考点】等比数列的性质．【分析】设无穷等比数列{a n}的公比为q，由题意可得，联立消去a1解方程可得．【解答】解：设无穷等比数列{a n}的公比为q，则，联立消去a1可得，整理可得9q2﹣9q+2=0，分解因式可得（3q﹣2）（3q﹣1）=0，解得q=或q=故选：D17．角α终边上有一点（﹣1，2），则下列各点中在角3α的终边上的点是（）A．（﹣11，2）B．（﹣2，11）C．（11，﹣2）D．（2，﹣11）【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用任意角的三角函数的定义求得sinα和cosα的值，再利用3倍角公式求得tan3α的值，从而得出结论．【解答】解：∵角α终边上有一点（﹣1，2），由三角函数的定义可知：sinα=，cosα=，∴sin3α=3sinα﹣4sin3α=，cos3α=4cos3α﹣3cosα=，∴tan3α==，故点（11，﹣2）在角3α的终边上，故选：C．18．已知矩形ABCD，AB=1，BC=2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中（）A．存在某个位置，使得直线AB和直线CD垂直B．存在某个位置，使得直线AC和直线BD垂直C．存在某个位置，使得直线AD和直线BC垂直D．无论翻折到什么位置，以上三组直线均不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】假设各选项成立，根据线面位置关系推导结论，若得出矛盾式子，则假设错误，得出正确选项．【解答】解：对于A，若存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直，∵CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCD，过点A作平面BCD的垂线AE，则E在BC上，∴当A在平面BCD上的射影在BC上时，AB⊥CD．故A正确；对于B，若存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直，作AF⊥BD，则BD⊥平面AFC，∴BD⊥EC，显然这是不可能的，故B错误；对于C，若存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，则BC⊥平面ACD，BC⊥AC，∴AB＞BC，即1＞2，显然这是不可能的，故C错误．故选：A．三.解答题（五题分别为12，14，14，16，18分，共74分）.19．已知复数﹣1+3i、cosα+isinα（0＜α＜，i是虚数单位）在复平面上对应的点依次为A、B，点O是坐标原点．（1）若OA⊥OB，求tanα的值；（2）若B点的横坐标为，求S△AOB．【考点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】（1）由已知得到A，B的坐标，进一步求得的坐标，由OA⊥OB得，代入坐标后整理可得tanα的值；（2）由已知求出|OA|，|OB|，由两角差的正弦求得sin∠AOB，代入三角形的面积公式得答案．【解答】解：（1）由题可知：A（﹣1，3），B（cosα，sinα），∴，由OA⊥OB，得，∴﹣cosα+3sinα=0，∴；（2）由（1），记∠AOx=β，，∴，，∵|OB|=1，，得，sin∠AOB=sin（β﹣α）=．∴S△AOB==．20．某加油站拟建造如图所示的铁皮储油罐（不计厚度，长度单位为米），其中储油罐的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，l=2r+1（l为圆柱的高，r为球的半径，l≥2）．假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为1千元，半球形部分每平方米建造费用为3千元．设该储油罐的建造费用为y千元．（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）若预算为8万元，求所能建造的储油罐中r的最大值（精确到0.1），并求此时储油罐的体积V（单位：立方米，精确到0.1立方米）．【考点】组合几何体的面积、体积问题．【分析】（1）求出半球与圆柱的面积，得出y关于r的函数；（2）令y≤80，解出r的最大值，从而得出体积V的最大值．【解答】解：（1）半球的表面积，圆柱的表面积S2=2πr•l．于是．定义域为．（2）16πr2+2πr≤80，即，解得．，经计算得V≈22.7（立方米）．故r的最大值为1.2（米），此时储油罐的体积约为22.7立方米．21．已知f（x）=x n+x n﹣1+…+x﹣1，x∈（0，+∞）．n是不小于2的固定正整数．（1）当n=2时，若不等式f（x）≤kx对一切x∈（0，1]恒成立，求实数k的取值范围；（2）试判断函数f（x）在（，1）内零点的个数，并说明理由．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）代入得表达式．只需求出左式的最大值即可；（2）先求出端点值f（）＜0，f（1）＞0，判断存在零点，根据函数在区间内递增，故仅有一个零点．【解答】解：（1）n=2时，f（x）=x2+x﹣1，﹣﹣f（x）≤kx即．﹣在（0，1]上递增，﹣﹣故即要求，即k≥1．﹣（2）．﹣f（1）=n﹣1＞0．﹣故f（x）在上有零点．﹣又f（x）在上增，故零点不会超过一个．﹣所以f（x）在上有且仅有一个零点．﹣（722．如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C（0，c）任作一直线，与抛物线y=x2相交于A，B两点，一条垂直于x轴的直线分别与线段AB和直线l：y=﹣c交于点P，Q．（1）若•=2，求c的值；（2）若P为线段AB的中点，求证：直线QA与该抛物线有且仅有一个公共点．（3）若直线QA的斜率存在，且与该抛物线有且仅有一个公共点，试问P是否一定为线段AB 的中点？说明理由．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）设出直线AB：y=kx+c，代入抛物线的方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，解方程可得c的值；（2）运用中点坐标公式可得Q的坐标，运用两点的斜率公式，可得QA的斜率，求得抛物线对应函数的导数，可得切线的斜率，即可得证；（3）设A（t，t2），这里x A=t≠0，由（2）知过A的与y=x2有且仅有一个公共点的斜率存在的直线必为y=2tx﹣t2．求得Q的横坐标，P的横坐标，求得AC的方程，联立抛物线的方程，求得B的横坐标，运用中点坐标公式，即可判断P为线段AB的中点．【解答】解：（1）设直线AB：y=kx+c，与y=x2联立，得x2﹣kx﹣c=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2=﹣c，从而y1y2=x12x22=c2，由•=2，可得c 2﹣c=2得c=2或﹣1（舍去），得c=2；（2）证明：由（1）可得，故直线PQ ：x=，可得．设，k QA ==，由（1）可得x 1x 2=﹣c ，即有x 2=﹣，可得k QA ==2x 1，由y=x 2的导数为y ′=2x ，可得过A 的切线的斜率为2x 1，故直线QA 与该抛物线有且仅有一个公共点；（3）设A （t ，t 2），这里x A =t ≠0，由（2）知过A 的与y=x 2有且仅有一个公共点的斜率存在的直线必为y=2tx ﹣t 2．与y=﹣c 相交，得．故，，所以．与y=x 2联立，得x 2﹣（t ﹣）x ﹣c=0，即，故．这样，即P 是AB 的中点．23．在数列{a n }中，若a 1，a 2是正整数，且a n =|a n ﹣1﹣a n ﹣2|，n=3，4，5，…，则称{a n }为“D ﹣数列”．（1）举出一个前六项均不为零的“D ﹣数列”（只要求依次写出该数列的前六项）； （2）若“D ﹣数列”{a n }中，a 2015=3，a 2016=0，数列{b n }满足b n =a n +a n+1+a n+2，n=1，2，3，…，分别判断当n →∞时，a n 与b n 的极限是否存在？如果存在，求出其极限值（若不存在不需要交代理由）；（3）证明：任何“D ﹣数列”中总含有无穷多个为零的项．【考点】数列的极限．【分析】（1）由新定义，比如如10，9，1，8，7，1；（2）{a n}的极限不存在，{b n}的极限存在．运用分段形式写出a n与b n的通项公式，即可得到结论；（3）运用反证法证明．假设{a n}中只有有限个零，则存在K，使得当n≥K时，a n＞0．运用推理论证得到{b n}单调，即可证明．【解答】解：（1）如10，9，1，8，7，1等等．（2）{a n}的极限不存在，{b n}的极限存在．事实上，因为|3﹣0|=3，|0﹣3|=3，|3﹣3|=0，当n≥2015时，a n=，k∈Z，因此当n≥2015时，b n=6．所以b n=6．（3）证明：假设{a n}中只有有限个零，则存在K，使得当n≥K时，a n＞0．当n≥K时，记b n=max{a n，a n+1}．于是a n+1≤b n，a n+2=|a n﹣a n+1|＜max{a n，a n+1}＜b n，故b n+1≤b n，而a n+3=|a n+2﹣a n+1|＜max{a n+2，a n+1}≤b n+1≤b n，从而b n+2＜b n．这样b K＞b K+2＞b K+4＞…形成了一列严格递减的无穷正整数数列，这不可能，故假设不成立，{a n}中必有无限个0．2016年7月14日。
2016年上海市杨浦区高考数学二模试卷(理科)含详解
2016年上海市杨浦区高考数学二模试卷（理科）一、填空题1．（5分）函数f（x）=的定义域是．2．（5分）已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则实数a=．3．（5分）计算=．4．（5分）若向量，满足且与的夹角为，则=．5．（5分）若复数z1=3+4i，z2=1﹣2i，其中i是虚数单位，则复数的虚部为．6．（5分）在的展开式中，常数项是．（用数字作答）7．（5分）已知△ABC的内角A、B、C所对应边的长度分别为a、b、c，若，则角C的大小是．8．（5分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，且满足：a1a7=4，则数列{log2a n}的前7项之和为．9．（5分）在极坐标系中曲线C：ρ=2cosθ上的点到（1，π）距离的最大值为．10．（5分）袋中有5只大小相同的乒乓球，编号为1至5，从袋中随机抽取3只，若以ξ表示取到球中的最大号码，则ξ的数学期望是．11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P，M在直线PF上，且满足，则=．12．（5分）现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有．（用数字作答）13．（5分）若关于x的方程（4x+）﹣|5x﹣|=m在（0，+∞）内恰有三个相异实根，则实数m的取值范围为．14．（5分）课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法．祖暅原理也可用来求旋转体的体积．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于．二、选择题15．（5分）下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，+∞）上递增的是（）A．y=2|x|B．y=lnx C．D．16．（5分）已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，则“”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件17．（5分）设x，y，z是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．B．C．D．|x﹣y|≤|x﹣z|+|y﹣z|18．（5分）已知命题：“若a，b为异面直线，平面α过直线a且与直线b平行，则直线b与平面α的距离等于异面直线a，b之间的距离”为真命题．根据上述命题，若a，b为异面直线，且它们之间的距离为d，则空间中与a，b均异面且距离也均为d的直线c的条数为（）A．0条B．1条C．多于1条，但为有限条D．无数多条三、解答题19．（12分）如图，底面是直角三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，D是棱AA1上的动点．（1）证明：DC1⊥BC；（2）求三棱锥C﹣BDC1的体积．20．（12分）某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA及PB，现打算用它们和两面成直角的墙OM、ON围成一个如图所示的四边形菜园OAPB（假设OM、ON 这两面墙都足够长）．已知|PA|=|PB|=10（米），∠AOP=∠BOP=，∠OAP=∠OBP．设∠OAP=θ，四边形OAPB的面积为S．（1）将S表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围；（2）求出S的最大值，并指出此时所对应θ的值．21．（12分）已知函数，其中a∈R．（1）根据a的不同取值，讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）已知a＞0，函数f（x）的反函数为f﹣1（x），若函数y=f（x）+f﹣1（x）在区间[1，2]上的最小值为1+log23，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值．22．（12分）已知椭圆C：的焦距为，且右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形．若直线l与椭圆C交于A（x1，y1）、B（x2，y2），且在椭圆C上存在点M，使得：（其中O为坐标原点），则称直线l具有性质H．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l垂直于x轴，且具有性质H，求直线l的方程；（3）求证：在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP 都具有性质H．23．（12分）已知数列{a n}和{b n}满足：，且对一切n∈N*，均有．（1）求证：数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若λ=2，求数列{b n}的前n项和S n；（3）设，记数列{c n}的前n项和为T n，问：是否存在正整数λ，对一切n∈N*，均有T4≥T n恒成立．若存在，求出所有正整数λ的值；若不存在，请说明理由．2016年上海市杨浦区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题1．（5分）函数f（x）=的定义域是{x|x≥﹣2且x≠1} ．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】11：计算题．【分析】由题意即分母不为零、偶次根号下大于等于零，列出不等式组求解，最后要用集合或区间的形式表示．【解答】解：由题意，要使函数有意义，则，解得，x≠1且x≥﹣2；故函数的定义域为：{x|x≥﹣2且x≠1}，故答案为：{x|x≥﹣2且x≠1}．【点评】本题考查了求函数的定义域，最后要用集合或区间的形式表示，这是容易出错的地方．2．（5分）已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则实数a=2．【考点】OR：线性方程组解的存在性，唯一性．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5R：矩阵和变换．【分析】由已知得，把x=﹣1，y=2，能求出a的值．【解答】解：∵线性方程组的增广矩阵为，该线性方程组的解为，∴，把x=﹣1，y=2，代入得﹣a+6=4，解得a=2．故答案为：2．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的性质的合理运用．3．（5分）计算=．【考点】8J：数列的极限．【专题】35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】将1+2+3+…+n=的形式，在利用洛必达法则，求极限值．【解答】解：原式====故答案为：【点评】本题考查等差数列求前n项和的公式，再求数列极限，属于基础题．4．（5分）若向量，满足且与的夹角为，则=．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【分析】根据可得答案．【解答】解：∵且与的夹角为∴=7∴则=故答案为：【点评】本题主要考查向量的数量积运算，属基础题．5．（5分）若复数z1=3+4i，z2=1﹣2i，其中i是虚数单位，则复数的虚部为﹣3．【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；34：方程思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z1=3+4i，z2=1﹣2i，∴，，∴==，∴复数的虚部为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．6．（5分）在的展开式中，常数项是15．（用数字作答）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；5P：二项式定理．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．【解答】解：∵在的展开式的通项公式为T r=•（﹣1）r•，+1令r﹣6=0，求得r=4，故的展开式中的常数项是5．故答案为：15．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．7．（5分）已知△ABC的内角A、B、C所对应边的长度分别为a、b、c，若，则角C的大小是．【考点】OM：二阶行列式的定义．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5R：矩阵和变换．【分析】由二阶行列式性质得a2+b2﹣c2=ab，由此利用余弦定理求出cosC=，从而能求出角C的大小．【解答】解：∵△ABC的内角A、B、C所对应边的长度分别为a、b、c，，∴a2﹣c2=﹣b2+ab，即a2+b2﹣c2=ab，∴cosC===，∵C是△ABC的内角，∴C=．故答案为：．【点评】本题考查角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意行列式性质及余弦定理的合理运用．8．（5分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，且满足：a1a7=4，则数列{log2a n}的前7项之和为7．【考点】87：等比数列的性质．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质可得：a1a7=a2a6=a3a5=4，再利用指数与对数的运算性质即可得出．【解答】解：由等比数列的性质可得：a1a7=a2a6=a3a5=4=4，∴数列{log2a n}的前7项和=log2a1+log2a2+…+log2a7=log2（a1a2…a7）=log227=7，故答案为：7．【点评】本题考查了指数与对数的运算性质、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（5分）在极坐标系中曲线C：ρ=2cosθ上的点到（1，π）距离的最大值为3．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】34：方程思想；35：转化思想；5S：坐标系和参数方程．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到点（1，π）的距离，进而得出最大值．【解答】解：曲线C：ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2x，配方为：（x﹣1）2+y2=1，可得圆心C（1，0），半径r=1．点P（1，π）化为直角坐标P（﹣1，0）．∴|CP|=2，∴曲线C：ρ=2cosθ上的点到（1，π）距离的最大值=2+1=3．故答案为：3．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．（5分）袋中有5只大小相同的乒乓球，编号为1至5，从袋中随机抽取3只，若以ξ表示取到球中的最大号码，则ξ的数学期望是．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】由已知得ξ的可能取值为3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出E（ξ）．【解答】解：由已知得ξ的可能取值为3，4，5，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，P（ξ=5）==，∴E（ξ）==．故答案为：．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P，M在直线PF上，且满足，则=．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】34：方程思想；48：分析法；5A：平面向量及应用；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得双曲线的a，b，c，可得F（，0），渐近线方程为y=±2x，设过点F且平行于双曲线的一条渐近线为y=2（x﹣），代入双曲线的方程可得P的坐标，由两直线垂直的条件可得直线OM的方程，联立直线y=2（x﹣），求得M的坐标，由向量共线的坐标表示，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线的a=1，b=2，c==，可得F（，0），渐近线方程为y=±2x，设过点F且平行于双曲线的一条渐近线为y=2（x﹣），代入双曲线的方程，可得x=，可得P（，﹣），由直线OM：y=﹣x和直线y=2（x﹣），可得M（，﹣），即有==．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和双曲线的方程的运用，考查向量的共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．12．（5分）现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有54．（用数字作答）【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】38：对应思想；4C：分类法；5O：排列组合．【分析】根据题意，采用分类原理，对甲，乙老师分当甲，乙带不同班和当甲，乙带相同班时分别求解，最后求和即可．【解答】解：当甲，乙带不同班时：×=36种；当甲，乙带相同班时，=18种；故共有54中，故答案为：54．【点评】考查了分类原理和排列组合的计算，属于基础题型，应熟练掌握．13．（5分）若关于x的方程（4x+）﹣|5x﹣|=m在（0，+∞）内恰有三个相异实根，则实数m的取值范围为（6，）．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】分类讨论以去掉绝对值号，从而利用基本不等式确定各自方程的根的个数，从而解得．【解答】解：当x≥时，5x﹣≥0，∵方程（4x+）﹣|5x﹣|=m，∴（4x+）﹣（5x﹣）=m，即﹣x+=m；∴m≤．当0＜x＜时，5x﹣＜0，∵方程（4x+）﹣|5x﹣|=m，∴（4x+）+（5x﹣）=m，即9x+=m；∵9x+≥6；∴当m＜6时，方程9x+=m无解；当m=6时，方程9x+=m有且只有一个解；当6＜m＜10时，方程9x+=m在（0，1）上有两个解；当m=10时，方程9x+=m的解为1，；综上所述，实数m的取值范围为（6，）．故答案为：（6，）．【点评】本题考查了绝对值方程的解法与应用，同时考查了基本不等式的应用及转化思想的应用．14．（5分）课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法．祖暅原理也可用来求旋转体的体积．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，从中挖去一个圆锥，则由祖暅原理可得：椭球的体积为几何体体积的2倍．【解答】解：椭圆的长半轴为5，短半轴为2，现构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积V=2（V圆柱﹣V圆锥）=2（π×22×5﹣）=．故答案为：．【点评】本题考查了对祖暅原理的理解，属于中档题．二、选择题15．（5分）下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，+∞）上递增的是（）A．y=2|x|B．y=lnx C．D．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】36：整体思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可．【解答】解：A．函数y=2|x|为偶函数，不满足条件．B．函数的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件．C.是奇函数，在（0，+∞）上递增，满足条件．D.是奇函数，当0＜x＜1时函数为减函数，当x＞1时函数为增函数，不满足条件．故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．16．（5分）已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，则“”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；5B：直线与圆；5L：简易逻辑．【分析】“”，可得0≤tanα＜，“”；反之不成立，α可能为钝角．【解答】解：“”⇒0≤tanα＜⇒“”；反之不成立，α可能为钝角．∴“”是“”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了倾斜角与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（5分）设x，y，z是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．B．C．D．|x﹣y|≤|x﹣z|+|y﹣z|【考点】7F：基本不等式及其应用．【专题】35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．【分析】A．x，y，是互不相等的正数，令t=x+≥2，可得：﹣=t2﹣t﹣2=（t﹣2）（t+1）≥0，即可判断出真假；B.﹣=﹣，即可判断出真假．C．取x=1，y=2，即可判断出真假；D．|x﹣y|=|（x﹣z）+（z﹣y）|≤|x﹣z|+|y﹣z|，即可判断出真假．【解答】解：A．∵x，y，是互不相等的正数，令t=x+≥2，∴﹣=t2﹣t﹣2=（t﹣2）（t+1）≥0，正确；B．∵﹣＞，∴﹣=﹣≤0，∴≤，正确．C．取x=1，y=2，则|x﹣y|+=1﹣1=0＜2，因此不正确；D．|x﹣y|=|（x﹣z）+（z﹣y）|≤|x﹣z|+|y﹣z|，正确．故选：C．【点评】本题考查了基本不等式的性质、分母有理化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（5分）已知命题：“若a，b为异面直线，平面α过直线a且与直线b平行，则直线b与平面α的距离等于异面直线a，b之间的距离”为真命题．根据上述命题，若a，b为异面直线，且它们之间的距离为d，则空间中与a，b均异面且距离也均为d的直线c的条数为（）A．0条B．1条C．多于1条，但为有限条D．无数多条【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【专题】31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】如图所示，给出一个平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1．取AD=a，A1B1=b，假设平行平面ABCD与A1B1C1D1之间的距离为d．若平面BCC1B1∥a，平面CDD1C1∥b，且满足它们之间的距离等于d，其交线CC1满足条件．把满足平面BCC1B1∥a，平面CDD1C1∥b，且它们之间的距离等于d的两个平面旋转，则所有的交线CC1都满足条件，即可判断出结论．【解答】解：如图所示，给出一个平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1．取AD=a，A1B1=b，假设平行平面ABCD与A1B1C1D1之间的距离为d．平面BCC1B1∥a，平面CDD1C1∥b，且满足它们之间的距离等于d，其交线CC1满足与a，b均异面且距离也均为d的直线c．把满足平面BCC1B1∥a，平面CDD1C1∥b，且它们之间的距离等于d的两个平面旋转，则所有的交线CC1都满足与a，b均异面且距离也均为d的直线c．因此满足条件的直线有无数条．故选：D．【点评】本题考查了空间位置关系、线线线面平行的判定与性质定理、旋转法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题19．（12分）如图，底面是直角三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，D是棱AA1上的动点．（1）证明：DC1⊥BC；（2）求三棱锥C﹣BDC1的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．【专题】15：综合题；35：转化思想；45：等体积法；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）由棱锥是直棱锥可得侧面与底面垂直，由面面垂直的性质可得BC ⊥平面ACC1A1，进一步得到BC⊥DC1；（2）利用等积法，把三棱锥C﹣BDC1的体积转化为三棱锥B﹣CDC1的体积求解．【解答】（1）证明：如图，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥底面ABC，又CC1⊂面ACC1A1，∴面ACC1A1⊥底面ABC，而面ACC1A1∩底面ABC=AC，由△ABC为Rt△，且AC=BC，得BC⊥AC，∴BC⊥平面ACC1A1，∴BC⊥DC1；（2）解：由（1）知，BC⊥平面ACC1A1，∵，∴AA1=2，则∴=．【点评】本题考查面面垂直与线面垂直的性质，考查了棱锥体积的求法，训练了等积法，是中档题．20．（12分）某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA及PB，现打算用它们和两面成直角的墙OM、ON围成一个如图所示的四边形菜园OAPB（假设OM、ON 这两面墙都足够长）．已知|PA|=|PB|=10（米），∠AOP=∠BOP=，∠OAP=∠OBP．设∠OAP=θ，四边形OAPB的面积为S．（1）将S表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围；（2）求出S的最大值，并指出此时所对应θ的值．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】31：数形结合；56：三角函数的求值；58：解三角形．【分析】（1）在三角POB中，由正弦定理，得：，得OB=10（cosθ+sinθ）．再利用三角形面积计算公式即可得出．（2）由（1）利用倍角公式与和差公式、三角函数的单调性最值即可得出．【解答】解：（1）在三角POB中，由正弦定理，得：，得OB=10（cosθ+sinθ）．所以，S==100（sinθcosθ+sin2θ），θ∈∪．（2）S=100（sinθcosθ+sin2θ）=50（2sinθcosθ+2sin2θ）=50（sin2θ﹣cos2θ+1）=，所以S的最大值为：50+50，θ=．【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数，其中a∈R．（1）根据a的不同取值，讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）已知a＞0，函数f（x）的反函数为f﹣1（x），若函数y=f（x）+f﹣1（x）在区间[1，2]上的最小值为1+log23，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值．【考点】3H：函数的最值及其几何意义；4R：反函数．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）由得f（﹣x）=﹣ax+log2（2x+1）﹣x，从而可得当a=时函数为偶函数；（2）可判断与f﹣1（x）都是增函数，从而可得f（1）+f﹣1（1）=1+log23，从而解出a．【解答】解：（1）∵，∴f（﹣x）=﹣ax+log2（2﹣x+1）=﹣ax+log2（2x+1）﹣log22x=﹣ax+log2（2x+1）﹣x，∴f（﹣x）=f（x），即﹣ax﹣x=ax，故a=；此时函数为偶函数，若a≠﹣，函数为非奇非偶函数；（2）∵a＞0，∴单调递增，又∵函数f（x）的反函数为f﹣1（x），∴f﹣1（x）单调递增；∴f（1）+f﹣1（1）=1+log23，即a+log23+f﹣1（1）=1+log23，故f﹣1（1）=1﹣a，即a（1﹣a）+log2（2a﹣1+1）=1，解得，a=1；故f（2）=2+log25．【点评】本题考查了函数与反函数，同时考查了函数的性质的判断与化简运算能力．22．（12分）已知椭圆C：的焦距为，且右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形．若直线l与椭圆C交于A（x1，y1）、B（x2，y2），且在椭圆C上存在点M，使得：（其中O为坐标原点），则称直线l具有性质H．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l垂直于x轴，且具有性质H，求直线l的方程；（3）求证：在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP 都具有性质H．【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由椭圆的焦距为，右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）设直线l：x=t，（﹣2＜t＜2），则A（t，y1），B（t，y2），设M（x m，y m），求出，=﹣，由点M在椭圆C上，能求出直线l的方程．（3）假设在椭圆C上存在三个不同的点P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x3，y3），使得直线PQ、QR、RP都具有性质H，利用反证法推导出相互矛盾结论，从而能证明在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP 都具有性质H．【解答】解：（1）∵椭圆C：的焦距为，∴c=，∵右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形，∴c=，解得b=1，∴a2=b2+c2=4，∴椭圆C的方程为．（2）设直线l：x=t，（﹣2＜t＜2），则A（t，y1），B（t，y2），其中y1，y2满足：，y1+y2=0，设M（x m，y m），∵（其中O为坐标原点），∴，=﹣，∵点M在椭圆C上，∴，∴49t2+4﹣t2=100，∴t=，∴直线l的方程为x=或x=﹣．证明：（3）假设在椭圆C上存在三个不同的点P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x3，y3），使得直线PQ、QR、RP都具有性质H，∵直线PQ具有性质H，∴在椭圆C上存在点M，使得：，设M（x m，y m），则，y m=，∵点M在椭圆上，∴+（）2=1，又∵，，∴=0，①同理：=0，②，，③1）若x1，x2，x3中至少一个为0，不妨设x1=0，则y1≠0，由①③得y2=y3=0，即Q，R为长轴的两个端点，则②不成立，矛盾．2）若x1，x2，x3均不为0，则由①②③得=﹣＞0，矛盾．∵在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP都具有性质H．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP都具有性质H的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质和反证法的合理运用．23．（12分）已知数列{a n}和{b n}满足：，且对一切n∈N*，均有．（1）求证：数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若λ=2，求数列{b n}的前n项和S n；（3）设，记数列{c n}的前n项和为T n，问：是否存在正整数λ，对一切n∈N*，均有T4≥T n恒成立．若存在，求出所有正整数λ的值；若不存在，请说明理由．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】11：计算题；14：证明题；32：分类讨论；33：函数思想；34：方程思想；4C：分类法；4M：构造法；53：导数的综合应用；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）化简可得，从而写出，即；（2）当λ=2时，a n=n2+n，从而求得b n=2n，从而求等比数列前n项和．（3）仿照（2）可得，b n=2n+r﹣2，从而化简c n=2﹣r﹣2n﹣（），从而分类讨论以确定λ的值．【解答】解：（1）证明：∵，两边除以n（n+1）得，，即，故数列为等差数列，故，故；（2）当λ=2时，a n=n2+n，∵，∴b1==2，b n+1===2n+1，综上所述，b n=2n，S n==2n+1﹣2；（3）仿照（2）可得，，b n=2n+r﹣2，c n==﹣=2﹣r﹣2n﹣（），∵对一切n∈N*，均有T4≥T n恒成立，∴当n＞4时，c n≤0；若λ=1，则c n=1﹣2n﹣，c5=﹣＞0，故T5＞T4，故不成立；若λ=2，则c n=﹣2n﹣，故c1=﹣=0，c2=﹣，c3=﹣＞0，c4=﹣＞0，c5=﹣＜0，且当n≥5时，2n＞n2+n，故成立；若λ=3，则c n=﹣，故c1=﹣＞0，c2=﹣＞0，c3=﹣＞0，c4=﹣＞0，故且当n≥5时，•2n＞n2+2n，故成立；若λ≥4，则c n=﹣，c4=﹣，令f（r）=16﹣16﹣4（r﹣1），则f′（r）=16•ln•﹣4=4（ln4•﹣1）＞0，故f（r）在[4，+∞）上是增函数，故f（4）=16×2﹣16﹣4×3＞0，故c4＜0，故T3＞T4，故不成立；综上所述，λ的值为2或3．【点评】本题考查了等比经数列与等差数列的性质的判断与应用，同时考查了导数的综合应用及分类讨论的思想与方程思想，函数思想的应用．。
2016杨浦区一模数学试题及答案(Word)
2016杨浦区一模数学试题2016.1 满分150分一、选择题（本题共6个小题，每个小题4分，共24分）1、将抛物线向上平移2个单位后所得到的抛物线的表达式为（）A、B、C、D、2、以下图形中一定属于互相放缩关系的是（）A、斜边长分别是10和5的两直角三角形B、腰长分别是10和5的两等腰三角形C、边长分别是10和5的两个菱形D、边长分别是10和5的两个正方形3、如图，已知在△ABC中，D是边BC的中点，，，那么等于（）A、B、C、D、4、坡比等于的斜坡的坡角等于（）A、30°B、45°C、50°D、60°5、下列各组条件中，一定能推出△ABC与△DEF相似的是（）A、∠A=∠E且∠D=∠FB、∠A=∠B且∠D=∠FC、∠A=∠E且D、∠A=∠E且6、下列图像中，有一个可能是函数的图像，它是（）A、B、C、D、2、填空题（本大题共12个小题，每个小题4分，共48分）7、如果，那么（）8、如图，已知点G为△ABC的重心，DE过点G，且DE和BC平行，EF和AB 平行，那么CF:BF=（）9、已知在△ABC中，点D、E分别在AB和BC上，AD=2，DB=1，BC=6，要使DE和AC平行，那么BE=（）10、如果△ABC与△DEF相似，△ABC的三边之比为3:4:6，△DEF的最长边是10cm，那么△DEF的最短边是（）cm11、如果AB∥CD，2AB=3CD，与的方向相反，那么=（）12、计算：sin60°-cot30°=（）13、在△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，AB=6，那么BC=（）14、如果二次函数配方后为，那么c的值为（）15、抛物线的对称轴是直线（）16、如果是二次函数图像上的两个点，那么（填＜或者＞）17、请写出一个二次函数的解析式，满足：图像的开口向下，对称轴是直线x=-1，且与y轴的交点在x轴的下方，那么这个二次函数的解析式可以为（）18、如图，已知△ABC沿角平分线BE所在的直线翻折，点A恰好落在边BC 的中点M处，且AM=BE，那么∠EBC的正切值是（）3、解答题（共78分）19、（本题满分10分）如图，已知两个不平行的向量.先化简，再求作：.（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）20（本题满分10分，第（1）小问6分，第（2）小问4分）已知二次函数（a≠0）的图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：求： (1)这个二次函数的解析式；(2)这个二次函数图像的顶点坐标及上表中m的值。
杨浦区数学卷定稿(理)：2016.
杨浦区2015学年度第一学期期末高三年级3+1质量调研数学学科试卷（理科） 2016.1.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 已知矩阵1012A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，2413B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则=+B A _____________.2. 已知全集U=R ，集合102x A xx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎭⎩，则集合UA =_____________.3. 已知函数()34log 2f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则方程()14f x -=的解x = _____________. 4. 某洗衣液广告需要用到一个直径为4用白布包裹，则至少需要白布_________平方米. 5. 无穷等比数列{}n a (*n N ∈)的前n 项的和是n S ， 且1lim 2n n S →∞=，则首项1a 的取值范围是_____________. 6. 已知虚数z 满足i 61z z 2+=-，则 =z __________. 7．执行如右图所示的流程图，则输出的S 的值为________.8．学校有两个食堂，现有3名学生前往就餐，则三个人 不在同一个食堂就餐的概率是_____________. 9. (1n-展开式的二项式系数之和为256，则展开式中x 的系数为______________.10. 若数12345,,,,a a a a a 的标准差为2，则数1234532,32,32,32,32a a a a a -----的 方差为____________.11. 如图，在矩形OABC 中，点E 、F 分别在线段AB 、BC 上，且满足AB=3AE ，BC=3CF ，若(,)OB OE OF R λμλμ=+∈,则=μ+λ____________.12. 已知()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨--+>⎪⎩≤，当[]1a ,a x +∈时不等式()()2f x a f a x +-≥恒成立，则实数a 的最大值是____________.13. 抛物线C 的顶点为原点O ，焦点F 在x 轴正半轴，过焦点且倾斜角为4π的直线l 交抛物线于点,A B ，若AB 中点的横坐标为3，则抛物线C 的方程为_______________. 14.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当01x ≤≤时，()2f x x =，当0x >时，()()()11f x f x f +=+，若直线y kx =与函数()y f x =的图象恰有11个不同的公共点，则实数k 的取值范围为____________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15. 下列四个命题中，为真命题的是 （ ）A. 若a b >，则22ac bc > B. 若a b >，c d >则a c b d ->-C. 若a b >，则22a b > D. 若a b >，则11a b< 16. 设,a b 是两个单位向量,其夹角为θ,则“36πθπ<<”是“1||<-”的 （ ） AB FSDCB AA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.对于两个平面,αβ和两条直线,m n , 下列命题中真命题是 ( )A.若m α⊥, m n ⊥, 则n α‖B.若m α‖, αβ⊥, 则m β⊥C. 若m α‖，n β‖，αβ⊥，则m n ⊥D. 若m α⊥，n β⊥，αβ⊥，则m n ⊥18. 下列函数中，既是偶函数，又在()π,0 上递增的函数的个数是 （ ）① x tan y = ② ()x cos y -= ③ ⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=2x sin y ④2x cot y =A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分 ．如图，某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型，先用木料搭边框，再用其他材料填充。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
杨浦区2015学年度第一学期期末高三年级3+1质量调研数学学科试卷（理科） 2016.1.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 已知矩阵1012A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，2413B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则=+B A _____________.2. 已知全集U=R ，集合102x A xx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎭⎩，则集合U A =ð_____________.3. 已知函数()34log 2f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则方程()14f x -=的解x = _____________. 4. 某洗衣液广告需要用到一个直径为4米的球作为道具，该球表面用白布包裹，则至少需要白布_________平方米. 5. 无穷等比数列{}n a (*n N ∈)的前n 项的和是n S ，且1lim 2n n S →∞=，则首项1a 的取值范围是_____________. 6. 已知虚数z 满足i 61z z 2+=-，则 =z __________. 7．执行如右图所示的流程图，则输出的S 的值为________.8．学校有两个食堂，现有3名学生前往就餐，则三个人 不在同一个食堂就餐的概率是_____________. 9. (1n展开式的二项式系数之和为256，则展开式中x 的系数为______________.10. 若数12345,,,,a a a a a 的标准差为2，则数1234532,32,32,32,32a a a a a -----的 方差为____________.11. 如图，在矩形OABC 中，点E 、F 分别在线段AB 、BC 上，且满足AB=3AE ，BC=3CF ，若(,)OB OE OF R λμλμ=+∈,则=μ+λ____________.12. 已知()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨--+>⎪⎩≤，当[]1a ,a x +∈时不等式()()2f x a f a x +-≥恒成立，则实数a 的最大值是____________.13. 抛物线C 的顶点为原点O ，焦点F 在x 轴正半轴，过焦点且倾斜角为4π的直线l 交抛物线于点,A B ，若AB 中点的横坐标为3，则抛物线C 的方程为_______________. 14.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当01x ≤≤时，()2fx x=，当0x >时，()()()11f x f x f +=+，若直线y kx =与函数()y f x =的图象恰有11个不同的公共点，则实数k 的取值范围为____________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15. 下列四个命题中，为真命题的是 （ ）A. 若a b >，则22ac bc > B. 若a b >，c d >则a c b d ->- C. 若a b >，则22a b > D. 若a b >，则11a b< 16. 设,a b 是两个单位向量,其夹角为θ,则“36πθπ<<”是“1||<-b a ”的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.对于两个平面,αβ和两条直线,m n , 下列命题中真命题是 ( )A.若m α⊥, m n ⊥, 则n α‖B.若m α‖, αβ⊥, 则m β⊥C. 若m α‖，n β‖，αβ⊥，则m n ⊥D. 若m α⊥，n β⊥，αβ⊥，则m n ⊥18. 下列函数中，既是偶函数，又在()π,0 上递增的函数的个数是 （ ）SDCB A① x tan y = ② ()x cos y -= ③ ⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=2x sin y ④2x cot y =A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分 ．如图，某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型，先用木料搭边框，再用其他材料填充。
已知金字塔的每一条棱和边都相等 （1） 求证：直线AC 垂直于直线SD .（2） 若搭边框共使用木料24米，则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填满？20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 ．某农场规划将果树种在正方形的场地内。
为了保护果树不被风吹，决定在果树的周围种松树。
在下图里，你可以看到规划种植果树的列数(n)，果树数量及松树数量的规律：= 果树n=4n=3n=2n=1= 松树（1）按此规律，n = 5时果树数量及松树数量分别为多少；并写出果树数量n a ，及松树数量n b 关于n 的表达式.（2）定义：)n (f )1n (f -+ ()*N n ∈为)n (f 增加的速度；现农场想扩大种植面积，问：哪种树增加的速度会更快？并说明理由.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题8分，第2小题6分．如图，在一条景观道的一端有一个半径为50米的圆形摩天轮O ，逆时针15分钟转一圈，从A 处进入摩天轮的座舱，OA 垂直于地面AM ，在距离A 处150米处设置了一个望远镜B（1）同学甲打算独自乘坐摩天轮，但是其母亲不放心，于是约定在登上摩天轮座舱5分钟后，在座舱内向其母亲挥手致意，而其母亲则在望远镜B 中仔细观看。
问望远镜B 的仰角θ 应调整为多少度？（精确到1度）（2）在同学甲向其母亲挥手致意的同时，同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿化带BD ，发现取景的视角α恰为45︒，求绿化带BD 的长度（精确到1米）.x22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分如图，曲线Γ由两个椭圆1T ：()222210x y a b a b +=>>和椭圆2T ：()222210y x b c b c+=>>组成，当,,a bc 成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼曲线”.（1）若猫眼曲线Γ过点(0,M ，且,,a b c 的公比为22，求猫眼曲线Γ的方程； （2） 对于题（1）中的求猫眼曲线Γ，任作斜率为()0k k ≠且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆1T 所得弦的中点为M ，交椭圆2T 所得弦的中点为N ，求证：ONOMk k 为与k 无关的定值；（3） l 为椭圆2T 的切线，且交椭圆1T 于点,A B ，N 为椭圆1T 上的任意一点（点N 与点,A B 不重合），求ABN ∆面积的最大值.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.已知函数()D)(x x f ∈，若存在常数T （T>0），对任意D x ∈都有()() x f T T x f ⋅=+，则称函数() x f 为T 倍周期函数（1）判断()x x h =是否是T 倍周期函数，并说明理由.（2）证明()x41 x g ⎪⎭⎫⎝⎛=是T 倍周期函数，且T 的值是唯一的.（3）若() )N (n n f *∈是2倍周期函数，()11f =，()42f -=，n S 表示()n f 的前n 项和，1n 2n2n S S C -=，若10)1a (log C a n ++<恒成立，求a 的取值范围.理科评分参考一、填空题SDCB A1. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1- 04 3 2． ()[),12,-∞-+∞ 3．1 4． 16π 5. 110,,122⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．7．20171008 8． 349．56- 10． 36 11．3212． 2- 13．x 4y 2= 14．（4，6） 二、选择题15．C 16．A 17．D 18．A 三、解答题19．（本题12分，第1小题6分，第2小题6分） 解：（1）如图，连接,AC BD 交于点O ，则O 为线段BD 中点，在正方形ABCD 中，对角线AC BD ⊥ （2分）在ASC ∆中，SA SC = ，SO AC ∴⊥S O B DO = ，AC ∴⊥平面SBD （2分）A C S D ∴⊥ （2分）（2）边长为3米 （2分）棱锥的高2233221SO 22=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=（2分） 229223331V 2=⋅⋅=∴ 立方米 （2分） 答：需要229立方米填充材料. 20．（本题14分，第1小题6分，第2小题8分）解：（1）n = 5时果树25棵，松树40棵 （2分）2n n a = （2分） n 8b n = （2分） （2）()1n 2n 1n a a 22n 1n +=-+=-+ （2分）()8n 81n 8b b n 1n =-+=-+ （2分）当3n ≤时，2n+1 < 8 松树增加的速度快 （2分） 当4n ≥时，2n+1 > 8 果树增加的速度快 （2分）21．（本题14分，第1小题8分，第2小题6分） （1） 逆时针15分钟转一圈，∴5分钟转过120︒ （2分） 过点C 作CH AB ⊥于点H ，则()5050sin 1209075CH =+⋅︒-︒= （2分） ()15050c o s 12090253BH =-⋅︒-︒=-（2分）tan CH BH θ∴====35θ∴=≈︒（2分） 答：望远镜的仰角θ设置为35︒（2）在BCD ∆中，35,45θα=︒=︒，80CDH ∴∠=︒ （2分）75sin 80sin 80CH CD ∴==︒︒由正弦定理得：sin sin BD CDαθ=（2分） sin 75sin 4594sin sin 80sin 35CD BD αθ⋅⋅︒∴==≈︒⋅︒（2分）答：绿化带的长度为94米.22．（本题16分，第1小题4分，第二小题6分，第三小题6分） （1）b =2,1a c ∴==， （2分）221:142x y T ∴+=，222:12y T x ∴+=； （2分） （2）设斜率为k 的直线交椭圆1T 于点()()1122,,,C x y D x y ，线段CD 中点()00,M x y 121200,22x x y y x y ++∴== 由22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()()()()12121212042x x x x y y y y -+-++= （2分）k 存在且0k ≠，12x x ∴≠，且0x 0≠ ∴01212012y y y x x x -⋅=-- ，即21k k OM -=⋅ （2分）同理，2k k ON -=⋅ 41k k ON OM =∴得证 （2分） （3）设直线l的方程为y m =+22221⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y m y x bc ，()2222222220∴+++-=b c x x m c b c0∆= ，2222∴=+m b c1: =l y （2分）22221⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y mx yab ， ()2222222220∴+++-=b a x x m a b a 0∆= ，2222∴=+m b a2: =l y （1分）两平行线间距离：d =（1分）∴=AB （1分）ABN ∴∆的面积最大值为22122=⋅=+S AB d b a（1分）注：若用第一小题结论，算得：==ABd ==∆ABN的面积最大值为12S ==得3分23．（本题18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） （1） 设：()() x h T T x h ⋅=+则 x T T x ⋅=+ 对任意x 恒成立 （2分）T 无解∴ ()x x h = 不是T 倍周期函数 （2分）（2） 设：()() x g T T x g ⋅=+则 xTx 41T 41⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 对任意x 恒成立 （2分）T 41T=⎪⎭⎫⎝⎛ 21T =（2分） 下证唯一性： 若 21T >， 214141T 21T=⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛= 矛盾 若 21T <， 214141T 21T=⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛= 矛盾 ∴ 21T = 是唯一的 （2分）（3）()()()2 12f 21f 3f ==+=()()()22 32f 23f 5f ==+= ()()()32 52f 25f 7f ==+=()()()1-n 2 3-2n 2f 23-2n f 1n 2f ==+=- ()()()()1222211-2n f 5f 3f 1f n 1n 2-=++++=++++- （2分） 同理： ()()()()()()124222142n f 6f 4f 2f n 1n 2--=++++-=++++- ∴ ()()()()123n 2f 2f 1f S n n 2--=+++=同理：()()()321n 2f 2f 1f S n 1n 2+-=-+++=- ()32123S S C n n 1n 2n 2n --==- （2分） 3C 1-= 9C 2=显然：2n ≥ 0C n > 且 ()()()()()()32522327223212332123C C n 2nn 2n n n 1n 1n n 1n +⋅-+⋅-=----=+++ ()()<+⋅-32722n 2n()()32522n 2n +⋅- ∴ 1C C n1n <+ 即单调递减 ∴ ()9C C 2m a x n == （2分） 10)1a (log C a n ++<恒成立， ∴ >++10)1a (log a ()9C max n = ∴ 1)1a (log a ->+① 1a > 时 a11a >+ 解得 ：1a > ② 1a 0<< 时 a 11a <+ 解得 ：251a 0+-<< ∴ 251a 0+-<< 或 1a > （2分）。