2015年重点高中自主招生数学模拟试题含答案
2015年湖南省长沙市南雅中学高中自主招生考试数学试卷和解析答案
2015年湖南省长沙市南雅中学高中自主招生考试数学试卷（2）一、选择题（本大题共8题，每小题4分，共32分）1．（4分）计算（a2）3÷（a2）2地结果是（）A．a B．a2C．a3D．a42．（4分）向如图所示地正三角形区域扔沙包（区域中每一个小正三角形除颜色外完全相同），假设沙包击中每一个小三角形是等可能地，扔沙包1次击中阴影区域地概率等于（）A．B．C．D．3．（4分）已知m、n是方程x2+2x+1=0地两根，则代数式地值为（）A．9 B．±3 C．3 D．54．（4分）在如图所示地三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a，b两个情境：情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校；情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快地速度前进．则情境a，b所对应地函数图象分别是（）A．③、②B．②、③C．①、③D．③、①5．（4分）如果，，那么等于（）A．1 B．2 C．3 D．46．（4分）若关于x地方程无解，则a地值为（）A．或﹣2 B．或﹣1 C．或﹣2或﹣1 D．﹣2或﹣17．（4分）已知，，，那么a，b，c地大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b8．（4分）已知，在面积为7地梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=4，P为边AD上不与A、D重合地一动点，Q是边BC上地任意一点，连结AQ、DQ，过P 作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．则△PEF面积地最大值是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）9．（5分）计算：=．10．（5分）规定用符号[m]表示一个实数m地整数部分，例如：[]=0，[3.14]=3．按此规定地值为．11．（5分）定义：在直角三角形ABC中，锐角α地邻边与对边地比叫做角α地余切，记作ctanα，即ctanα=，根据上述角地余切概念，则ctan30°=．12．（5分）如图，一次函数y1=ax+b（a≠0）与反比例函数地图象交于A （1，4）、B（4，1）两点，若使y1＞y2，则x地取值范围是．13．（5分）已知关于x地不等式组地整数解仅为1，2，3，若m，n为整数，则代数式地值是．14．（5分）若一次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应地y值为1≤y≤9，则一次函数地解析式为．15．（5分）如图，平面直角坐标系中有四个点，它们地横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成地四边形是轴对称图形，并且点A地横坐标仍是整数，则移动后点A地坐标为．16．（5分）在正方形ABCD中，N是DC地中点，M是AD上异于D地点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM=．三、解答题（本大题共4道题，共48分）17．（10分）某实验学校为开展研究性学习，准备购买一定数量地两人学习桌和三人学习桌，如果购买3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人学习桌需310元．（1）求两人学习桌和三人学习桌地单价；（2）学校欲投入资金不超过6000元，购买两种学习桌共98张，以至少满足248名学生地需求，设购买两人学习桌x张，购买两人学习桌和三人学习桌地总费用为W 元，求出W与x地函数关系式；求出所有地购买方案．18．（12分）设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b地实数x地所有取值地全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于任何一个二次函数，它在给定地闭区间上都有最小值．（1）函数y=﹣x2+4x﹣2在区间[0，5]上地最小值是（2）求函数在区间上地最小值．（3）求函数y=x2﹣4x﹣4在区间[t﹣2，t﹣1]（t为任意实数）上地最小值y min 地解析式．19．（10分）如图，P为等边△ABC内一点，PA、PB、PC地长为正整数，且PA2+PB2=PC2，设PA=m，n为大于5地实数，满m2n+30m+9n≤5m2+6mn+45，求△ABC地面积．20．（16分）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD 在BC地同侧．（1）当正方形地顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE地长；（2）将（1）问中地正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中地正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移地距离为t，正方形B′EFG地边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样地t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t地值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问地平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分地面积为S，请直接写出S与t之间地函数关系式以及自变量t地取值范围．2015年湖南省长沙市南雅中学高中自主招生考试数学试卷（2）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8题，每小题4分，共32分）1．（4分）计算（a2）3÷（a2）2地结果是（）A．a B．a2C．a3D．a4【解答】解：（a2）3÷（a2）2=a6÷a4=a2．故选：B．2．（4分）向如图所示地正三角形区域扔沙包（区域中每一个小正三角形除颜色外完全相同），假设沙包击中每一个小三角形是等可能地，扔沙包1次击中阴影区域地概率等于（）A．B．C．D．【解答】解：因为阴影部分地面积与三角形地面积地比值是=，所以扔沙包1次击中阴影区域地概率等于．故选C．3．（4分）已知m、n是方程x2+2x+1=0地两根，则代数式地值为（）A．9 B．±3 C．3 D．5【解答】解：∵m、n是方程x2+2x+1=0地两根，∴m+n=﹣2，mn=1，∴====3．故选C．4．（4分）在如图所示地三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a，b两个情境：情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校；情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快地速度前进．则情境a，b所对应地函数图象分别是（）A．③、②B．②、③C．①、③D．③、①【解答】解：∵情境a：小芳离开家不久，即离家一段路程，此时①②③都符合，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本，即又返回家，离家地距离是0，此时②③都符合，又去学校，即离家越来越远，此时只有③返回，∴只有③符合情境a；∵情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快地速度前进，即离家越来越远，且没有停留，∴只有①符合，故选D5．（4分）如果，，那么等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由已知得=1﹣a，b=1﹣，两式相乘，得（1﹣a）（1﹣）=1，展开，得1﹣﹣a+=1去分母，得ac+2=2a两边同除以a，得c+=2．故选B．6．（4分）若关于x地方程无解，则a地值为（）A．或﹣2 B．或﹣1 C．或﹣2或﹣1 D．﹣2或﹣1【解答】解：去分母得：x﹣2+a（x﹣1）=2a+2．整理得：（a+1）x=3a+4．当a+1=0时，解得：a=﹣1，此时分式方程无解；当a+1≠0时，x=．当x=1时，=1．解得：a=﹣，此时分式方程无解；当x=2时，=2，解得：a=﹣2，此时分式方程无解．故选：C．7．（4分）已知，，，那么a，b，c地大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵a﹣b=﹣1﹣（2﹣）=﹣（1+）≈2.449﹣2.414＞0，∴a＞b；∵a﹣c=﹣1﹣（﹣2）=+1﹣≈2.414﹣2.449＜0，∴a＜c；于是b＜a＜c，故选B．8．（4分）已知，在面积为7地梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=4，P为边AD上不与A、D重合地一动点，Q是边BC上地任意一点，连结AQ、DQ，过P 作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．则△PEF面积地最大值是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：设PD=x ，S △PEF =y ，S △AQD =z ，梯形ABCD 地高为h ， ∵AD=3，BC=4，梯形ABCD 面积为7，∴，解得：，∵PE ∥DQ ，∴∠PEF=∠QFE ，∠EPF=∠PFD ， 又∵PF ∥AQ ， ∴∠PFD=∠EQF ， ∴∠EPF=∠EQF ， ∵EF=FE ，∴△PEF ≌△QFE （AAS ）， ∵PE ∥DQ ， ∴△AEP ∽△AQD ， 同理，△DPF ∽△DAQ ， ∴=（）2，=（）2，∵S △AQD =3，∴S △DPF =x 2，S △APE =（3﹣x ）2， ∴S △PEF =（S △AQD ﹣S △DPF ﹣S △APE ）÷2， ∴y=[3﹣x 2﹣（3﹣x ）2]×=﹣x 2+x ，∵y 最大值==，即y 最大值=．∴△PEF 面积最大值是， 故选：D ．二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 9．（5分）计算：= 2﹣2 ．【解答】解：原式=2﹣2（+1）=4﹣2﹣2=2﹣2．故答案为．10．（5分）规定用符号[m]表示一个实数m地整数部分，例如：[]=0，[3.14]=3．按此规定地值为3．【解答】解：∵9＜13＜16，∴3．∴﹣3＞﹣4．∴4＞7﹣＞3．故地值为3．故答案为：3．11．（5分）定义：在直角三角形ABC中，锐角α地邻边与对边地比叫做角α地余切，记作ctanα，即ctanα=，根据上述角地余切概念，则ctan30°=．【解答】解：ctan30°=，故答案为：．12．（5分）如图，一次函数y1=ax+b（a≠0）与反比例函数地图象交于A （1，4）、B（4，1）两点，若使y1＞y2，则x地取值范围是x＜0或1＜x＜4．【解答】解：根据图形，当x＜0或1＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，y1＞y2．故答案为：x＜0或1＜x＜4．13．（5分）已知关于x地不等式组地整数解仅为1，2，3，若m，n为整数，则代数式地值是．【解答】解：不等式整理得：，即n≤x＜m，由不等式组地整数解仅有1，2，3，得到m=4，n=1，则原式=1﹣•=1﹣==，当m=4，n=1时，原式=．故答案为：．14．（5分）若一次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应地y值为1≤y≤9，则一次函数地解析式为y=2x+7或y=﹣2x+3．【解答】解：（Ⅰ）当k＞0时，，解得：，此时y=2x+7，（Ⅱ）当k＜0时，，解得：，此时y=﹣2x+3，综上，所求地函数解析式为：y=2x+7或y=﹣2x+3．15．（5分）如图，平面直角坐标系中有四个点，它们地横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成地四边形是轴对称图形，并且点A地横坐标仍是整数，则移动后点A地坐标为（﹣1，1），（﹣2，﹣2），（0，2），（﹣2，﹣3）．【解答】解：如图所示：A1（﹣1，1），A2（﹣2，﹣2），A3（0，2），A4（﹣2，﹣3），（﹣3，2）（此时不是四边形，舍去），故答案为：（﹣1，1），（﹣2，﹣2），（0，2），（﹣2，﹣3）．16．（5分）在正方形ABCD中，N是DC地中点，M是AD上异于D地点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM=．【解答】解：如图：延长MN交BC地延长线于T，设MB地中点为O，连TO，则OT⊥BM，∵∠ABM+∠MBT=90°，∠OTB+∠MBT=90°，∴∠ABM=∠OTB，则△BAM∽△TOB，∴=，即=，即MB2=2AM•BT ①令DN=1，CT=MD=K，则：AM=2﹣K，BM=，BT=2+K，代入①中得：4+（2﹣K）2=2（2﹣K）（2+K），解方程得：K1=0（舍去），K2=．∴AM=2﹣=．tan∠ABM===．故答案是：．三、解答题（本大题共4道题，共48分）17．（10分）某实验学校为开展研究性学习，准备购买一定数量地两人学习桌和三人学习桌，如果购买3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人学习桌需310元．（1）求两人学习桌和三人学习桌地单价；（2）学校欲投入资金不超过6000元，购买两种学习桌共98张，以至少满足248名学生地需求，设购买两人学习桌x张，购买两人学习桌和三人学习桌地总费用为W 元，求出W与x地函数关系式；求出所有地购买方案．【解答】解：（1）设每张两人学习桌单价为a元和每张三人学习桌单价为b元，根据题意得出：，解得：，答：两人学习桌和三人学习桌地单价分别为50元，70元；（2）设购买两人学习桌x张，则购买3人学习桌（98﹣x）张，购买两人学习桌和三人学习桌地总费用为W 元，则W与x地函数关系式为：W=50x+70（98﹣x）=﹣20x+6860；根据题意得出：，由50x+70（98﹣x）≤6000，解得：x≥43，由2x+3（98﹣x）≥248，解得：x≤46，故不等式组地解集为：43≤x≤46，故所有购买方案为：当购买两人桌43张时，购买三人桌55张，当购买两人桌44张时，购买三人桌54张，当购买两人桌45张时，购买三人桌53张，当购买两人桌46张时，购买三人桌52张．18．（12分）设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b地实数x地所有取值地全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于任何一个二次函数，它在给定地闭区间上都有最小值．（1）函数y=﹣x2+4x﹣2在区间[0，5]上地最小值是﹣7（2）求函数在区间上地最小值．（3）求函数y=x2﹣4x﹣4在区间[t﹣2，t﹣1]（t为任意实数）上地最小值y min 地解析式．【解答】解：（1）y=﹣x2+4x﹣2其对称轴为直线为x=2，顶点坐标为（2，2），函数图象开口向下．函数图大致象如图1所示：当x=5时，函数有最小值，最小值为﹣7．故答案为：﹣7．（2），其对称轴为直线，顶点坐标，且图象开口向上．其顶点横坐标不在区间内，如图2所示．当x=0时，函数y有最小值．（3）将二次函数配方得：y=x2﹣4x﹣4=（x﹣2）2﹣8其对称轴为直线：x=2，顶点坐标为（2，﹣8），图象开口向上若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]左侧，则2＜t﹣2，即t＞4．当x=t﹣2时，函数取得最小值：若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]上，则t﹣2≤2≤t﹣1，即3≤t≤4．当x=2时，函数取得最小值：y min=﹣8若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]右侧，则t﹣1＜2，即t＜3．当x=t﹣1时，函数取得最小值：综上讨论，得．19．（10分）如图，P为等边△ABC内一点，PA、PB、PC地长为正整数，且PA2+PB2=PC2，设PA=m，n为大于5地实数，满m2n+30m+9n≤5m2+6mn+45，求△ABC地面积．【解答】解：m2n+30m+9n≤5m2+6mn+45，∴分解因式得：（n﹣5）（m﹣3）2≤0，∵n为大于5地实数，∴m﹣3=0，∵即：PA=m=3，∵PA2+PB2=PC2，PA、PB、PC地长为正整数，∴PB=4，PC=5，设∠PAB=Q，等边三角形地边长是a，则∠PAC=60°﹣Q，由余弦定理得：cosQ==，（1）cos（60°﹣Q）==，（2）而cos（60°﹣Q）=cos60°cosQ﹣sin60°sinQ，=﹣=，（3）将（1）代入（3）得：﹣=，解得：sinQ=，∵（sinQ）2+（cosQ）2=1，∴+=1，令a2=t，∴+=1，解得：t1=25+12，t2=25﹣12，由（1）知a＞0，cosQ＞0，即＞0，a2＞7，∴t2=25﹣12＜7，不合题意舍去，∴t=25+12，即a2=25﹣12，过A作AD⊥BC于D，∵等边△ABC，∴BD=CD=a，由勾股定理得：AD=，=•a•==9+．∴S△ABC答：△ABC地面积是9+．20．（16分）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD 在BC地同侧．（1）当正方形地顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE地长；（2）将（1）问中地正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中地正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移地距离为t，正方形B′EFG地边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样地t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t地值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问地平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分地面积为S，请直接写出S与t之间地函数关系式以及自变量t地取值范围．【解答】解：（1）如图①，设正方形BEFG地边长为x，则BE=FG=BG=x，∵AB=3，BC=6，∴AG=AB﹣BG=3﹣x，∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC，∴，即，解得：x=2，即BE=2；（2）存在满足条件地t，理由：如图②，过点D作DH⊥BC于H，则BH=AD=2，DH=AB=3，由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t，∴△MEC∽△ABC，∴，即，∴ME=2﹣t，在Rt△B′ME中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2﹣t）2=t2﹣2t+8，在Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t﹣2）2=t2﹣4t+13，过点M作MN⊥DH于N，则MN=HE=t，NH=ME=2﹣t，∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣t）=t+1，在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=t2+t+1，（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，即t2+t+1=（t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13），解得：t=，（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D2=B′M2+DM2，即t2﹣4t+13=（t2﹣2t+8）+（t2+t+1），解得：t1=﹣3+，t2=﹣3﹣（舍去），∴t=﹣3+；（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2，即：t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（t2+t+1），此方程无解，综上所述，当t=或﹣3+时，△B′DM是直角三角形；（3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，即2：3=CE：4，∴CE=，∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣=，∵ME=2﹣t，当0≤t ≤时，S=S △FMN =×t ×t=t 2， ②如图④，当G 在AC 上时，t=2， ∵EK=EC•tan ∠DCB=EC•=（4﹣t ）=3﹣t ，∴FK=2﹣EK=t ﹣1，∵NL=AD=， ∴FL=t ﹣，∴当＜t ≤2时，S=S △FMN ﹣S △FKL =t 2﹣（t ﹣）（t ﹣1）=﹣t 2+t ﹣； ③如图⑤，当G 在CD 上时，B′C ：CH=B′G ：DH ， 即B′C ：4=2：3，解得：B′C=， ∴EC=4﹣t=B′C ﹣2=， ∴t=，∵B′N=B′C=（6﹣t ）=3﹣t ， ∵GN=GB′﹣B ′N=t ﹣1，∴当2＜t ≤时，S=S 梯形GNMF ﹣S △FKL =×2×（t ﹣1+t ）﹣（t ﹣）（t ﹣1）=﹣t 2+2t ﹣， ④如图⑥，当＜t ≤4时，∵B′L=B′C=（6﹣t ），EK=EC=（4﹣t ），B′N=B′C=（6﹣t ），EM=EC=（4﹣t ），S=S 梯形MNLK =S 梯形B′EKL ﹣S 梯形B′EMN =﹣t +． 综上所述：当0≤t ≤时，S=t 2，当＜t ≤2时，S=﹣t 2+t ﹣； 当2＜t ≤时，S=﹣t 2+2t ﹣，当＜t≤4时，S=﹣t+．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：PABl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
2015年全国重点高中阶段自主招生考试数学模拟试题(一)(历年真题汇总)
A
B
C
D
５．已知两圆的半径分别为6和1，当它们外切时，圆心距为 A．5 B．6 C．7 D．8 ６．如果一个定值电阻R两端所加电压为5伏时，通过它的电流为1安培，那么通过这一电阻的 电流I随它的两端电压U变化的图像是
1
2
7．下列事件是必然事件的是 A．直线 y 3 x b 经过第一象限； B．方程
D O B C
A
第９题 11． 2009 的相反数是 12．分解因式:2 m 2 2 = ． ．
第１０题
二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分．请将答案填在答题卡的相应位置上）
2
3 13．生物学家发现目前备受关注的甲H1N1病毒的长度约为0.000056毫米，用科学记数法表 示为 毫米． 14．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB= ． 15．海峡两岸血浓于水，“两岸三通”有了新发展，最近大陆与台湾的包机航班改为定期航班 ，受到两岸人民的欢迎．如图是我国政区图，根据图上信息，台北与北京的实际距离< 直线距离>约是 千米（精确到千米）．
F
H
H(D)
F(C)
H(D)
A
B
C
D
9．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=4 ，BD为⊙O的直径，则BD等于 A.4 B.6 C.8 D.12 10．如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中 心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为 n1 2 n 1 1 A． cm B． cm2 C． cm2 D． ( ) n cm2 4 4 4 4
3
4 （3）若这次竞赛成绩高于80分为优秀，
学生数
已知该校有900名学生参加了这次 竞赛活动，请估计该校获得优秀成 绩的学生人数约为多少名？ A F E C D B
全国重点高中黄冈中学2015年自主招生(理科实验班)预录考试数学模拟试题(7)
12． （本题满分 10 分） 如图，△ABC 是等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M 是 AB 延长线上一点，N 是 CA 延长线上一点，且∠MDN=60°．试探究 BM、MN、CN 之间的数量关系，并给出 证明．
腰 DC 绕点
N
1 a
= 5 ，则 a −
2
1 ＝＿＿＿． a
4．关于 x 满足 （
3x − 1 7 5 + 2x ，且︱x－3︱－︱x＋2︱的最大值为 p，最小值为 q, 则 pq 的值是 − ≥ x− 2 3 3
） A．6 B．5 C．－5 D．－1 5. 如图，直角梯形 ABCD 中，AD//BC，AB ⊥ BC，AD=3，BC=5，将 D 的逆时针方向旋转 90°至 DE， 连结 AE， 则 ∆ ADE 的面积是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二.填空题 （每小题 5 分，共 25 分) 6．已知 a −
14． （本题满分 10 分）如图，PQ=10，以 PQ 为直径的圆与一个以 20 为半径的⊙O 内切于点 P，与正方形 ABCD 切于点 Q，其中 A、B 两点在⊙O 上．若 AB= m + n ，其中 m、n 是整数，求 m + n 的值．
D P
• Q O
C
A
B
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数学试题参考答案和评分标准
9． 如图， “L”形纸片由六个边长为 1 的小正方形组成，过 A 点切一刀，刀痕是线段 EF．若阴影部分面 积是纸片面积的一半，则 EF 的长为＿＿＿． ： 10．规定任意两个实数对（a, b）和（c, d） ：当且仅当 a＝c 且 b＝d 时， （a, b）＝（c, d） ．定义运算“ ⊗ ” （a, b） ⊗ （c, d）＝（ac－bd, ad＋bc） ．若（1, 2） ⊗ （p, q）＝（5, 0） ，则 p+q＝＿＿＿ ． 三.解答题 （共 50 分) 11.（本题满分 8 分） 利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，也可以解释不等式的正确性． （1）根据下列所示图形写出一个代数恒等式； （2）已知正数 a、b、c 和 m、n、 l ，满足 a + m = b + n = c + l = k ．试构造边长为 k 的正方形，利用图形 面积来说明 al + bm + cn < k ．
上海市2015年重点中学自主招生数学模拟试题(含答案)
2016年重点中学自主招生数学模抵试題参考答案与并分标程一、选择题（共5小题，每題6分，共30分.以下每小题均给出了代号为A, B, C,D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号壊入题后的括号内.不壊、多填或错填均不得分）1、如果关于x的方程x2-ax + a2-3 = Q至少有一个正根.则实数a的取值范围是（C ）A、-2<a<2B、>/3<a<2C、-75<a<2D、-V5<a<22、如图，己知：点£、F分别是正方形ABCD的边刀8、8C的中点，BD、QF分别交CE于点G、H .若正方形的面枳是240,则四边形8FHG的面积等于（B ）A、26B、28C、24 D. 303、设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：归3一4 +仏％・4 = 缶二-伝二.则代数式x + y + z ^^xyz的值是............... （A ）A、0B、1C、3D、条件不足，无法计算4、如图.四边形8DCE内接于以BC为直径的QA.巳知：8C = 10,cosZBCD = |, ZBCE = 30°.则线段DE 的长是............. （D ）A、789B、7 73C、4+3 V3D、3+4 右5、某学校共有3125名学生，一次活动中全体学生被排成一个〃排的等腰梯形阵，且这〃排学生数按每排都比前一拝多一人的规律排列，则当〃取到最大值时.排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是............... （B ）A、296B、221C、225D、641二、填空题：（共5小题，每题6分，共30分。
不设中间分）6、己知：实常数a、b、c、d同时満足下列两个等式：⑴asin0 + 8cosQ-c = O：（2）acosQ-Z）sin0 + d = O （其中。
为任意锐角），则。
、如c、d之间的关系式是:_a2 +b2 =c2 +d2_o7、函数J，= |x-1| + 2|x-2| + 3|x-3| + 4|x-4|的最小值是8 ________ .8、己知一个三角形的周长和面积分别是84、210. 一个单位圆在它的内部沿着三边勾速无摩擦地滾动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是84-^9、己知：x=疽则可用含x的V5 + V2有理系数三次多项式来表示为：41 =1 3 11---- X ------ X。
2015年福建师大附中自主招生数学试卷和解析答案
2015年福建师大附中自主招生数学试卷一、填空题（1-13题，每小题6分，共78分）1．（6分）函数y=地最大值是．2．（6分）已知直角三角形地周长为14，斜边上地中线长为3．则直角三角形地面积是．3．（6分）方程x2+|x|﹣12=0地所有实数根之和等于．4．（6分）一直角三角形地两直角边之比为2：3，若斜边上地高分斜边为两线段，则较小地一段与较大地一段之比是．5．（6分）已知⊙O地半径OA=1，弦AB、AC地长分别是、，则∠BAC地度数是．6．（6分）如图，已知圆O地面积为3π，AB为圆O地直径，∠AOC=80°，∠BOD=20°，点P为直径AB上任意一点，则PC+PD地最小值是．7．（6分）已知实数a满足|2014﹣a|+=a，那么a﹣20142+1地值是．8．（6分）如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径地半圆与以A为圆心，AB为半径地圆弧外切，则sin∠EAB地值为．9．（6分）已知两个反比例函数y=，y=，第一象限内地点P1、P2、P3、...、P2015在反比例函数y=地图象上，它们地横坐标分别为x1、x2、x3、 (x2015)纵坐标分别是1、3、5、…，共2015个连续奇数，过P1、P2、P3、…、P2015分别作y轴地平行线，与y=地图象交点依次为Q1（x'1，y'1）、Q2（x'2，y'2）、…、Q2015（x'2015，y'2015），则P2015Q2015地长度是．10．（6分）已知方程组，则=．11．（6分）观察下列各式：=1﹣=1﹣（1﹣）；=1﹣=1﹣（﹣）；=1﹣=1﹣（﹣）；…计算：+++…+=．12．（6分）已知抛物线y=+bx经过点A（4，0）．设点C（1，﹣4），欲在抛物线地对称轴上确定一点D，使得|AD﹣CD|地值最大，则D点地坐标是．13．（6分）一列分数有规律地排列如下：，，，，，，，，，，，，，，，…，则第200个分数是．二、解答题（第14题12分，第15题14分，第16题23分，第17题23分；共72分）14．（12分）若关于x地不等式组只有4个整数解，求a地取值范围．15．（14分）跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件地进价比每个乙种零件地进价少2元，且用80元购进甲种零件地数量与用100元购进乙种零件地数量相同．（1）求每个甲种零件、每个乙种零件地进价分别为多少元？（2）若该五金商店本次购进甲种零件地数量比购进乙种零件地数量地3倍还少5个，购进两种零件地总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件地销售价格为12元，每个乙种零件地销售价格为15元，则将本次购进地甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件地总利润（利润=售价﹣进价）超过371元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来．16．（23分）如图，OA和OB是⊙O地半径，并且OA⊥OB．P是OA上任意一点，BP地延长线交⊙O于点Q，点R在OA地延长线上，且RP=RQ．（1）求证：RQ是⊙O地切线；（2）当RA≤OA时，试确定∠B地取值范围；（3）求证：OB2=PB•PQ+OP2．17．（23分）如图1，在平面直角坐标系中，边长为1地正方形OABC地顶点B 在y轴地正半轴上，O为坐标原点．现将正方形OABC绕点O按顺时针方向旋转，旋转角为θ（0o≤θ≤45o）．（1）当点A落到y轴正半轴上时，求边BC在旋转过程中所扫过地面积；（2）若线段AB与y轴地交点为M（如图2），线段BC与直线y=x地交点为N．当θ=22.5°时，求此时△BMN内切圆地半径；（3）设△MNB地周长为l，试判断在正方形OABC旋转地过程中l值是否发生变化，并说明理由．2015年福建师大附中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（1-13题，每小题6分，共78分）1．（6分）函数y=地最大值是．【解答】解：∵y′=1﹣x（1﹣x）=x2﹣x+1=（x﹣）2+，∴有最小值，∴y=地最大值是=．故答案为：．2．（6分）已知直角三角形地周长为14，斜边上地中线长为3．则直角三角形地面积是7．【解答】解：如图，∵∠ACB=90°，CD是斜边上地中线，∴AB=2CD=6，∵AB+AC+BC=14，∴AC+BC=8，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2=36，∴（AC+BC）2﹣2AC•BC=36，AC•BC=14，∴S=AC•BC=7．故答案为：7．3．（6分）方程x2+|x|﹣12=0地所有实数根之和等于0．【解答】解：当x≥0时，方程为x2+x﹣12=0，即（x﹣3）（x+4）=0，解得：x=3或x=﹣4（舍）；当x＜0时，方程为x2﹣x﹣12=0，即（x+3）（x﹣4）=0，解得：x=﹣3或x=4（舍），则方程x2+|x|﹣12=0地所有实数根之和等于为﹣3+3=0，故答案为：0．4．（6分）一直角三角形地两直角边之比为2：3，若斜边上地高分斜边为两线段，则较小地一段与较大地一段之比是4：9．【解答】解：如图所示，Rt△ABC中，CD⊥AB，∴AC2=AD×AB，BC2=BD×BA，∴==，又∵=，∴=，故答案为：4：9．5．（6分）已知⊙O地半径OA=1，弦AB、AC地长分别是、，则∠BAC地度数是15°或75°．【解答】解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．∵OE⊥AC，OD⊥AB，根据垂径定理得AE=AC=，AD=AB=，∴sin∠AOE===，sin∠AOD==，根据特殊角地三角函数值可得∠AOE=60°，∠AOD=45°，∴∠BAO=45°，∠CAO=90°﹣60°=30°，∴∠BAC=45°+30°=75°，或∠BAC′=45°﹣30°=15°．故答案为：15°或75°．6．（6分）如图，已知圆O地面积为3π，AB为圆O地直径，∠AOC=80°，∠BOD=20°，点P为直径AB上任意一点，则PC+PD地最小值是3．【解答】解：设圆O地半径为r，∵⊙O地面积为3π，∴3π=πr2，即r=．作点C关于AB地对称点C′，连接OC′，DC′，则DC′地长即为PC+PD地最小值，∵∠AOC=80°，∴∠AOC=∠AOC′=80°，∴∠BOC′=100°，∵∠BOD=20°，∴∠DOC′=∠BOC′+∠BOD=100°+20°=120°，∵OC′=OD，∴∠ODC′=30°∴DC′=2OD•cos30°=2×=3，即PC+PD地最小值为3．故答案为：3．7．（6分）已知实数a满足|2014﹣a|+=a，那么a﹣20142+1地值是2016．【解答】解：∵|2014﹣a|+=a，∴a≥0，且a﹣2015≥0，解得：a≥2015，故|2014﹣a|+=a可化简为：a﹣2104+=a，整理得：=2014，故a﹣2015=20142，则a﹣20142+1=a﹣（a﹣2015）+1=2016．故答案为：2016．8．（6分）如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径地半圆与以A为圆心，AB为半径地圆弧外切，则sin∠EAB地值为．【解答】解：设正方形地边长为y，EC=x，由题意知，AE2=AB2+BE2，即（x+y）2=y2+（y﹣x）2，由于y≠0，化简得y=4x，∴sin∠EAB====．9．（6分）已知两个反比例函数y=，y=，第一象限内地点P1、P2、P3、...、P2015在反比例函数y=地图象上，它们地横坐标分别为x1、x2、x3、 (x2015)纵坐标分别是1、3、5、…，共2015个连续奇数，过P1、P2、P3、…、P2015分别作y轴地平行线，与y=地图象交点依次为Q1（x'1，y'1）、Q2（x'2，y'2）、…、Q2015（x'2015，y'2015），则P2015Q2015地长度是．【解答】解：∵点P2015地纵坐标为2×2015﹣1=4029，点P2015地在反比例函数y=地图象上，∴点P2015地坐标为（，4029），∵P2015Q2015∥y轴，∴点Q2015地坐标为（，），∴P2015Q2015=4029﹣=．故答案为：．10．（6分）已知方程组，则=3．【解答】解：设a=，b=，则x+y=（x+1）+（y﹣2）+1=20，所以，（x+1）+（y﹣2）=19，即a2+b2=19，因此，方程组可化为，①平方得，a2+2ab+b2=25③，③﹣②得，2ab=6，解得ab=3，所以，=•=ab=3．故答案为：3．11．（6分）观察下列各式：=1﹣=1﹣（1﹣）；=1﹣=1﹣（﹣）；=1﹣=1﹣（﹣）；…计算：+++…+=2014．【解答】解：根据题意得原式=1﹣（1﹣）+1﹣（﹣）+1﹣（﹣）+…+1﹣（﹣）=1×2015﹣（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=2015﹣=2014，故答案为：2014．12．（6分）已知抛物线y=+bx经过点A（4，0）．设点C（1，﹣4），欲在抛物线地对称轴上确定一点D，使得|AD﹣CD|地值最大，则D点地坐标是（2，﹣8）．【解答】解：∵解：∵抛物线y=x2+bx经过点A（4，0），∴×42+4b=0，∴b=﹣2，∴抛物线地解析式为：y=x2﹣2x=（x﹣2）2﹣2，∴抛物线地对称轴为：直线x=2，∵点C（1，﹣4），∴作点C关于x=2地对称点C′（3，﹣4），直线AC′与x=2地交点即为D，因为任意取一点D（AC与对称轴地交点除外）都可以构成一个△ADC．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD﹣CD|＜AC′．所以最大值就是在D是AC′延长线上地点地时候取到|AD﹣C′D|=AC′最大，设直线AC′地解析式为y=kx+b，∴，解得：，∴直线AC′地解析式为y=4x﹣16，当x=2时，y=﹣8，∴D点地坐标为（2，﹣8）．故答案为：（2，﹣8）．13．（6分）一列分数有规律地排列如下：，，，，，，，，，，，，，，，…，则第200个分数是．【解答】解：∵1+2+3+4+5+…+19==190，200﹣190=10，∴第200个分数是第20组地第10个分数，分母是10，分子是11，为．故答案为：．二、解答题（第14题12分，第15题14分，第16题23分，第17题23分；共72分）14．（12分）若关于x地不等式组只有4个整数解，求a地取值范围．【解答】解：由①得：x＜21，由②得：x＞2﹣3a，∵不等式组只有4个整数解，∴不等式组地解集为：2﹣3a＜x＜21，即不等式组只有4个整数解为20、19、18、17，且满足16≤2﹣3a＜17，∴﹣5＜a≤﹣．15．（14分）跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件地进价比每个乙种零件地进价少2元，且用80元购进甲种零件地数量与用100元购进乙种零件地数量相同．（1）求每个甲种零件、每个乙种零件地进价分别为多少元？（2）若该五金商店本次购进甲种零件地数量比购进乙种零件地数量地3倍还少5个，购进两种零件地总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件地销售价格为12元，每个乙种零件地销售价格为15元，则将本次购进地甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件地总利润（利润=售价﹣进价）超过371元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来．【解答】解：（1）设每个乙种零件进价为x元，则每个甲种零件进价为（x﹣2）元．由题意得：．解得：x=10．检验：当x=10时，x（x﹣2）≠0∴x=10是原分式方程地解．每个甲种零件进价为：x﹣2=10﹣2=8答：每个甲种零件地进价为8元，每个乙种零件地进价为10元．（2）设购进乙种零件y个，则购进甲种零件（3y﹣5）个．由题意得：解得：23＜y≤25∵y为整数∴y=24或25．∴共有2种方案．方案一：购进甲种零件67个，乙种零件24个；方案二：购进甲种零件70个，乙种零件25个．BP地延长线交⊙O于点Q，点R在OA地延长线上，且RP=RQ．（1）求证：RQ是⊙O地切线；（2）当RA≤OA时，试确定∠B地取值范围；（3）求证：OB2=PB•PQ+OP2．【解答】（1）证明：连接OQ．∵OA⊥OB，∴∠2+∠B=90°，∵OB=OQ，∴∠B=∠4，∵RP=RQ，∴∠1=∠3=∠2，∴∠3+∠4=90°，∴OQ⊥RQ，∴RQ是⊙O地切线．（2）解：如图1中，①当点R与A重合时，易知∠B=45°．②当AR=OA时，在Rt△ORQ中，∵∠OQR=90°，OR=2OQ，∴∠R=30°，∵RQ=RP，∴∠RPQ=∠RQP=75°，∴∠OPB=75°，∴∠B=90°﹣∠OPB=15°，综上所述，15°≤∠B＜45°．（3）如图2中，延长AO交⊙于M．∵PA•PM=PB•PQ（相交弦定理，也可以连接BM、AQ证明△PBM∽△PAQ得到），∴（OB﹣OP）（OB+OP）=PB•PQ，∴OB2﹣OP2=PB•PQ．即OB2=PB•PQ+OP2．17．（23分）如图1，在平面直角坐标系中，边长为1地正方形OABC地顶点B 在y轴地正半轴上，O为坐标原点．现将正方形OABC绕点O按顺时针方向旋转，（2）若线段AB与y轴地交点为M（如图2），线段BC与直线y=x地交点为N．当θ=22.5°时，求此时△BMN内切圆地半径；（3）设△MNB地周长为l，试判断在正方形OABC旋转地过程中l值是否发生变化，并说明理由．【解答】解：（1）如图1中，由题意当点A落到y轴正半轴上时，边BC在旋转过程中所扫过地面积=S扇形OBB′+S△OCB′﹣S△OBC﹣S扇形OCC′=S扇形OBB′﹣S扇形OCC′=﹣=．（2）如图2中，在OA取一点E，使得EM=EO，∵∠AOM=22.5°，∴∠EOM=∠EMO=22.5°，∴∠AEM=∠EOM+∠EMO=45°，∴△AEM是等腰直角三角形，∴AM=AE，设AE=AM=x，则EM=EO=x，∴x+x=1，∴x=﹣1，∴BM=AB﹣AM=1﹣（﹣1）=2﹣，同理可得BN=2﹣，∴MN=BM=2﹣2，设△BMN地内切圆地半径为r，则有（MN+BM+BN）•r=BM•BN，∴r===3﹣2．（3）在正方形OABC旋转地过程中l值不发生变化．理由：如图3中，延长BA到E使得AE=CN．∵AE=CN，∠OAE=∠OCN=90°，OA=OC，∴△OAE≌△OCN，∴OE=ON，∠AOE=∠CON，∵∠MON=45°，∴∠MOA+∠CON=∠MOA+∠AOE=45°，∴∠MOE=∠MON，∵OM=OM，∴△MOA≌△MON，∴EM=MN，∴△BNM地周长=MN+BM+BN=EM+BM+BN=（AM+BM）+（AE+BN）=（AM+BM）+（CN+BN）=2AB=2，∴△BNM地周长为定值．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
温州中学自主招生考试数学试卷含答案
2015年温州中学自主招生素质测试数学试题（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置．1．关于反比例函数4y x=的图象，下列说法正确的是（▲） A ．必经过点（1，1） B ．两个分支分布在第二、四象限C ．两个分支关于x 轴成轴对称D ．两个分支关于原点成中心对称 2．已知21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组71ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解，则a b -的值为（▲） A ．1-B ．1C ．2D ．33．已知平面上的n 个点，任三个点都能构成直角三角形，则n 的最大值为（▲） A ．3B ．4C ．5D ．64．如图1，AC 、BC 为半径为1的⊙O 的弦，D 为BC上动点，M 、N 分别为AD 、BD 的中点，则ACB ∠sin 的值可表示为（▲） A ．DN B ．DM C ．MN D ．CD5．已知甲盒中有若干个白球，乙盒中有若干个白球和黑球，白球和黑球的数量均多于3个．从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中．放入i 个球后，从甲盒中取1个球是白球的概率记为()1,2i p i =，则（▲）A ．12p p >，B ．12p p =，C ．12p p <，D ．以上均有可能图16．已知5个实数12345,,,,a a a a a 满足123450a a a a a ≤≤≤≤≤，且对任意的正整数(),15i j i j ≤≤≤，均存在k ()1,2,3,4,5k =，使得k a =j i a a -． ①10a =；②524a a =；③4223a a a =；④当15i j ≤≤≤时，i j a a +的可能值共有9个．则上述论断正确的有（▲）个．A ．1B ．2C ．3D ．47．二元方程2233y x y x =+的正整数解的组数为（▲）A ．1B ．2C ．3D ．48．如图2，点F E D ,,分别是ABC ∆三边上点，且满足4CD DB =，4AE EC =，4BF FA =，AD 、BE 、CF 两两分别交于1A 、1B 、1C ，若ABC ∆的面积为1，则111C B A ∆的面积为（▲） A ．17B ．316C ．73D ．1631 二、填空题：本大题共7小题，每小题6分，共42分．请将答案填在答题卷的相应位置．9．设2015-a，2015+的小数部分为b ，则()()12a b -+的值为▲．10．若实数b a ,满足122=+b a ，则},max{b a b a ++的最大值为▲．（其中},max{b a 表示b a ,中的较大者）11．6名儿童分坐两排，每排3人要求面对面而坐，但其中两个儿童不可相邻，也不可面对面，有▲种排法．B图212．如图3，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，M 为棱11C D 的中点，点P 为平面11A BCD 上的动点，则1MP B P +的最小值为▲． 13．若正实数c b a ,,满足c b a c b a ++=++2015111，则abca c cb b a ))()((+++的值为▲．14．如图4是一个残缺的乘法竖式，在每个方框中填入一个不是2的数字，可使其成为正确的算式，那么所得的乘积是▲．151ax b +≤，则对于任意的102x ≤≤，bx a+的最大值为▲．2015年温州中学自主招生素质测试数学试题答题卷一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共7小题，每小题6分，共42分． 9．；10．；11．； 12．；13．；14．； 15．；×22图4图3 1A三、解答题：（本大题共5小题，16题8分，17、18、19、20题各15分，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．在函数y =x 的取值范围．17．如图5，,,,M A B C 为抛物线2y ax =上不同的四点，()2,1M -，线段MC MB MA ,,与y 轴的交点分别为,,E F G ，且1EF FG ==，（1）若F 的坐标为()0,t ，求点B 的坐标（用t 表示）；（2）若AMB ∆的面积是BMC ∆面积的21，求直线MB 的解析式．.18．如图6，在ABC ∆中，BAC ∠的平分线交BC于点M ，点D 、E 分别为ABC ∆2I 分别为ABM ∆与ACM ∆的内心．求证：2212221I I EI DI =+．19．试求出所有的正整数kk 整除．20．如图7，在ABC ∆中，AD 为边BC 上的高，AB DE ⊥于点E ，ACDF ⊥于点F ，EF 与AD 交于G 点，BEG ∆与CFG ∆的外心分别为1O 和2O ，求证：BC O O //21．温州中学2014年自主招生综合素质测试笔试O 2O 1D BC图7图6图5数学试题答题卷二、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号 12345678答案D A B C A C A C二、填空题：本大题共7小题，每小题6分，共42分． 9．2-；10．5；11．384； 12．32；13．2014；14．30096； 15．4三、解答题：（本大题共5小题，16题8分，17、18、19、20题各15分，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．在函数246y x x =--中，求自变量x 的取值范围 解：[][]2,06,8-U17．如图，,,,M A B C 为抛物线2y ax =上不同的四点，()2,1M -，线段MC MB MA ,,与y 轴的交点分别为,,E F G ，且1EF FG ==，（1）若F 的坐标为()0,t ，求点B 的坐标（用t 表示）；（2）若AMB ∆的面积是BMC ∆面积的21，求直线MB 的解析式.解：（1）∵()0,F t ，∴可设直线MB 的解析式为y kx t =+，由点()2,1M -在抛物线2y ax =上得14a =，∴214y x = 由点()2,1M -在直线MB 上得12k t =-+ 将y kx t =+代入214y x =整理得：2440x kx t --= ∴4M B x x t ⋅=-即24B x t -⋅=-，∴2B x t =，从而得2B y t = 故所求点B 的坐标为()22,t t（2）（解法一）∵()0,F t ，∴()0,1E t -，()0,1G t + 由（1）同理可得点()22(1),(1)A t t --，()22(1),(1)C t t ++2AMB S t t ∆=+，232CMB S t t ∆=++∵AMB ∆的面积是BMC ∆面积的21，∴22322()t t t t ++=+，解得2t =或1t =-（舍去）∴12k = ∴所求直线MB 的解析式为122y x =+， （解法二）过点A 作y 轴的平行线分别交,MB MC 于,L H ，由EF FG =得HL AL =，∴AMB HMB S S ∆∆=， 又∵2CMB AMB S S ∆∆=∴HBC HMB S S ∆∆= ∴点H 为MC 的中点，22A H M C x x x x ==+ 即4(1)22(1)t t -=-++解得2t =从而12k = ∴所求直线MB 的解析式为122y x =+18．如图，在ABC ∆中，BAC ∠的平分线交BC 于点M ，点D 、E 分别为ABC ∆的内切圆在边AB 、AC 上的切点，点1I 、2I 分别为与ABM ∆与ACM ∆的内心．求证：2212221I I EI DI =+．EDI 2I 1A解：设ABC ∆的内切圆在边BC 上的切点为F ，21,I I 在边BC 上的射影分别为Q P ,．连接P I 1，Q I 2，M I 1，M I 2，F I 1，F I 2． 由内心性质知 所以QF PM =易知M I M I 21⊥，从而PM I 1∆∽2MQI ∆ 所以QI FQQ I PM MQ P I PF P I 2211===，从而PF I 1∆∽2FQI ∆ 从而易得F I F I 21⊥，又D I F I 11=，E I F I 22= 所以2221221EI DI I I +=．19．试求出所有的正整数k ，使得对一切奇数10n >，数165n n +均可被k 整除解：()()()11111116516516165521161655n n n n n n n n ------+=+-⋅++=⋅-⋅++L L 故有21165n n +，故1,3,7,21k =均满足条件；下证，对于其他的正整数k 均不满足条件。
高中2015年自主招生数学考试含答案
⾼中2015年⾃主招⽣数学考试含答案2015年⾃主招⽣考试⼀、选择题（每⼩题6分，共30分。
每⼩题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有⼀个选项是正确的。
请将正确选项的代号填⼊题后的括号⾥，不填、多填或错填均得0分）1、下列图中阴影部分⾯积与算式2131242-??-++的结果相同的是………………【】2、下列命题中正确的个数有……………………………………………………………【】①实数不是有理数就是⽆理数；② a ＜a ＋a ；③121的平⽅根是 ±11；④在实数范围内，⾮负数⼀定是正数；⑤两个⽆理数之和⼀定是⽆理数A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 3、某家庭三⼝⼈准备在“五⼀”期间参加旅⾏团外出旅游。
甲旅⾏社告知：⽗母买全票，⼥⼉按半价优惠；⼄旅⾏社告知：家庭旅⾏可按团体票计价，即每⼈均按⼋折收费。
若这两家旅⾏社每⼈的原标价相同，那么……………………………………………………………………【】 A 、甲⽐⼄更优惠 B 、⼄⽐甲更优惠 C 、甲与⼄相同 D 、与原标价有关4、如图，∠ACB ＝60○，半径为2的⊙O 切BC 于点C ，若将⊙O 在CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆⼼O 移动的⽔平距离为【】A 、2πB 、πC 、32D 、45、平⾯内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m 个，最少有n 个，则m n + 等于……………………………………………………………………………【】 A 、36 B 、37 C 、38 D 、39 ⼆、填空题（每⼩题6分，共48分）1、甲、⼄两⼈骑⾃⾏车，同时从相距65千⽶的两地相向⽽⾏，甲、⼄两⼈的速度和为32.5千⽶/时，则经过⼩时，两⼈相遇。
2、若化简16812+---x x x 的结果为52-x ，则x 的取值范围是。
3、某校把学⽣的笔试、实践能⼒和成长记录三项成绩分别按50％、20％和30％的⽐例计⼊学期总评成绩，90分以上为优秀。
全国重点高中黄冈中学2015年自主招生(理科实验班)预录考试数学模拟试题3(附答案)
一．选择题（每小题 5 分，共 40 分）
1.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A． 2 3 2 8 B． 3
2 3 C． 4 3
（ D ）
2 2 2 2 侧（ 左）视 图 俯视图
2
D． 2
3 3
正 （主）视 图
2.已知 A（ x1 ， y1 ），B（ x 2 ， y 2 ）是反比例函数 y
1 在平面直角坐标系 xOy 的第一象限 x
7 5 上图象的两点，满足 y1 y 2 ， x 2 x1 . 则 S AOB （ B ） 2 3
A． 2
10 11
B. 2
11 12
C. 2
12 13
4.有编号分别为 1，2，3，4，5 的 5 个红球和 5 个黑球，从中取出 4 个，则取出的球的编号互不相 ( D ) 同的概率为 A. 5 . 21 B.
2 . 7
C.
1 3
D.
8 21
4 210 种.如果要求取出的球的编号互不相同，可以 4、解 从 10 个球中取出 4 个，不同的取法有 C10
4 7 8 4
+
+
7 1
+ 1
5
+
5 2
+
2 6
+
6 3
+
3 8
=32.
2014 10. 记 x 表示不超过实数 x 的最大整数， a k = (k=1,2, , 100, 则在这 100 个整数中， k 69 不同的整数的个数为
11.设非负实数 x,y,z 满足 x+y+z=1,则 t= 9 x 2 + 4 y 2 + 1 z 2 的最小值为
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F2015年重点中学自主招生数学模拟试题一答题时注意:1、试卷满分150分;考试时间：120分钟.2、试卷共三大题，计1６道题。
考试结束后，将本卷及演算的草稿纸一并上交。
一、选择题（共5小题，每题6分，共30分.以下每小题均给出了代号为A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号内.不填、多填或错填均不得分）1、如果关于x 的方程2230x ax a -+-=至少有一个正根，则实数a 的取值范围是（ ） A 、22<<-a B 、23≤<a C 、23≤<-a D 、23≤≤-a 2、如图，已知：点E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC AB 、的中点，DF BD 、分别交CE 于点H G 、，若正方形ABCD 的面积是240，则四边形BFHG 的面积等于……………………（ ） A 、26 B 、28 C 、24 D 、303 、设z y x 、、是两两不等的实数，且满足下列等式：66633633)()(z x x y x z x x y x ---=-+-，则代数式xyz z y x 3333-++的值是………………… （ ）A 、0B 、1C 、3D 、条件不足，无法计算4、如图，四边形BDCE 内接于以BC 为直径的⊙A ︒=∠=∠=30,53cos ,10BCE BCD BC ，则线段DE 的长是………………… （ ）A 、89B 、73C 、4+33D 、3+435、某学校共有3125名学生，一次活动中全体学生被排成 一个n 排的等腰梯形阵，且这n 排学生数按每排都比前一排 多一人的规律排列，则当n 取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是………………… （ ）A 、296B 、221C 、225D 、641二、填空题：（共5小题，每题6分，共30分）6、已知：实常数d c b a 、、、同时满足下列两个等式：⑴0cos sin =-+c b a θθ； ⑵0sin cos =+-d b a θθ（其中θ为任意锐角），则d c b a 、、、之间的关系式是：。
7、函数4433221-+-+-+-=x x x x y 的最小值是 。
8、已知一个三角形的周长和面积分别是84、210，一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是 。
9、已知：253+=x ，则2可用含x 的有理系数三次多项式来表示为：2= 。
10、设p 、q 、r 为素数，则方程 2223r q p p ++= 的所有可能的解p 、q 、r 组成的三元数组( p , q , r )是 。
三、解答题（共6题，共90分）11、（本题满分12分）赵岩，徐婷婷，韩磊不但是同班同学，而且是非常要好的朋友，三个人的学习成绩不相伯仲，且在整个年级中都遥遥领先，高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学．后来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告.报告后三个人还出了一道数学题：有一种密码把英文按字母分解，英文中的26a b c z L L ，，，，个字母（不论大小写）依次用12326L ，，，，这26个自然数表示，并给出如下一个变换公式：⎪⎩⎪⎨⎧+++=的正偶数）是不超过其中的正奇数）是不超过其中26(13]21[26(1]2[x x x xy ；已知对于任意的实数x ，记号[x ]表示不超过x 的最大整数；将英文字母转化成密码，如1713]218[8=++→，即q h 变成 ，再如61]211[11=+→，即f k 变成。
他们给出下列一组密码：etwcvcjw ej ncjwwcabqcv ，把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。
现在就请你把它翻译出来，并简单地写出翻译过程。
12、（本题满分15分）如果有理数m 可以表示成22562y xy x +-（其中y x 、是任意有理数）的形式，我们就称m 为“世博数”。
⑴ 个“世博数”b a 、之积也是“世博数”吗？为什么？⑵ 证明：两个“世博数”b a 、（0≠b ）之商也是“世博数”。
D如图，在四边形ABCD 中，已知△ABC 、△BCD 、△ACD 的面积之比是3∶1∶4，点E 在边AD 上，CE 交BD 于G ，设k EADEGD BG ==。
⑴求32207+k 的值； ⑵若点H 分线段BE 成2=HEBH的两段，且2222p DH BH AH =++，试用含p 的代数式表示△ABD 三边长的平方和。
观察下列各个等式：ΛΛΛ,304321,14321,521,112222222222=+++=++=+=。
⑴你能从中推导出计算222224321n +++++Λ的公式吗？请写出你的推导过程； ⑵请你用⑴中推导出的公式来解决下列问题：已知：如图，抛物线322++-=x x y 与x 、y 轴的正半轴分别交于点B A 、，将线段OAn 等分，分点从左到右依次为1654321-n A A A A A A A 、、、、、、、Λ，分别过这1-n 个点作x 轴的垂线依次交抛物线于点1654321-n B B B B B B B 、、、、、、、Λ，设△1OBA 、 △211A B A 、△322A B A 、△433A B A 、…、△A B A n n 11--的面积依次为n S S S S S 、、、、、Λ4321 。
①当2010n =时，求123452010S S S S S S ++++++L 的值；②试探究：当n 取到无穷无尽时，题中所有三角形的面积和将是什么值？为什么？Y有如图所示的五种塑料薄板（厚度不计）：①两直角边分别为3、4的直角三角形ABC ； ②腰长为4、顶角为︒36的等腰三角形JKL ； ③腰长为5、顶角为︒120的等腰三角形OMN ；④两对角线和一边长都是4且另三边长相等的凸四边形PQRS ；⑤长为4且宽（小于长）与长的比是黄金分割比的黄金矩形WXYZ 。
它们都不能折叠，现在将它们一一穿过一个内、外径分别为2.4、2.7的铁圆环。
我们规定：如果塑料板能穿过铁环内圈，则称为此板“可操作”；否则，便称为“不可操作”。
⑴证明：第④种塑料板“可操作”；⑵求：从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率。
定义：和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆。
如图所示，已知：⊙I 是△ABC 的BC 边上的旁切圆，F E 、分别是切点，IC AD ⊥于点D 。
⑴试探究：F E D 、、三点是否同在一条直线上？证明你的结论。
⑵设,6,5===BC AC AB 如果△DIE 和△AEF 的面积之比等于m ，n EFDE=，试作出分别以mnn m 、为两根且二次项系数为6的一个一元二次方程。
F2015年重点中学自主招生数学模拟试题一参考答案与评分标准一、选择题（共5小题，每题6分，共30分.以下每小题均给出了代号为A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号内.不填、多填或错填均不得分）1、如果关于x 的方程2230x ax a -+-=至少有一个正根，则实数a 的取值范围是（ C ） A 、22<<-a B 、23≤<a C 、23≤<-a D 、23≤≤-a 2、如图，已知：点E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC AB 、的中点，DF BD 、分别交CE 于点H G 、，若正方形ABCD 的面积是240，则四边形BFHG 的面积等于……………………（ B ） A 、26 B 、28 C 、24 D 、303 、设z y x 、、是两两不等的实数，且满足下列等式：66633633)()(z x x y x z x x y x ---=-+-，则代数式xyz z y x 3333-++的值是………………… （ A ）A 、0B 、1C 、3D 、条件不足，无法计算4、如图，四边形BDCE 内接于以BC 为直径的⊙A ︒=∠=∠=30,53cos ,10BCE BCD BC ，则线段DE 的长是………………… （ D ）A 、89B 、73C 、4+33D 、3+435、某学校共有3125名学生，一次活动中全体学生被排成 一个n 排的等腰梯形阵，且这n 排学生数按每排都比前一排 多一人的规律排列，则当n 取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是………………… （ B ）A 、296B 、221C 、225D 、641二、填空题：（共5小题，每题6分，共30分。
不设中间分）6、已知：实常数d c b a 、、、同时满足下列两个等式：⑴0cos sin =-+c b a θθ； ⑵0sin cos =+-d b a θθ（其中θ为任意锐角），则d c b a 、、、之间的关系式是： 22227、函数4433221-+-+-+-=x x x x y 的最小值是 8 。
8、已知一个三角形的周长和面积分别是84、210，一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是 84—π 。
9、已知：253+=x ，则2可用含x 的有理系数三次多项式来表示为：2=x x 611613+-。
10、设p 、q 、r 为素数，则方程 2223r q p p ++= 的所有可能的解p 、q 、r 组成的三元数组( p , q , r )是 )3,3,3( 。
三、解答题（共6题，共90分。
学生若有其它解法，也按标准给分）11、（本题满分12分）赵岩，徐婷婷，韩磊不但是同班同学，而且是非常要好的朋友，三个人的学习成绩不相伯仲，且在整个年级中都遥遥领先，高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学，后来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告。
报告后三个人还出了一道数学题：有一种密码把英文按字母分解，英文中的26a b c z L L ，，，，个字母（不论大小写）依次用12326L ，，，，这26个自然数表示，并给出如下一个变换公式：⎪⎩⎪⎨⎧+++=的正偶数）是不超过其中的正奇数）是不超过其中26(13]21[26(1]2[x x x xy ；已知对于任意的实数x ，记号[x ]表示不超过x 的最大整数。
将英文字母转化成密码，如1713]218[8=++→，即q h 变成 ，再如61]211[11=+→，即f k 变成。
他们给出下列一组密码：etwcvcjw ej ncjwwcabqcv ，把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。
现在就请你把它翻译出来，并简单地写出翻译过程。
略解：由题意，密码etwcvcjw 对应的英语单词是interest, ej 对应的英语单词是is, ncjw 对应的英语单词是best, wcabqcv 对应的英语单词是teacher. (9分) 所以，翻译出来的一句英语是Interest is best teacher,意思是“兴趣是最好的老师”。