历年来北大自主招生数学试题
自主招生数学试题及答案
自主招生数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(2)的值。
A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B2. 已知等差数列{a_n}的首项a_1 = 3，公差d = 2，求a_5的值。
A. 13B. 15C. 17D. 19答案：A3. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx的值。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：B4. 设A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，求A∩B的值。
A. {1, 2}B. {3}C. {4, 5}D. 空集答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知函数f(x) = 2x - 1，求f(-1)的值。
答案：-36. 计算等比数列1, 2, 4, ...的第5项。
答案：167. 已知圆的半径为5，求圆的面积。
答案：25π8. 已知向量a = (3, 4)，向量b = (-4, 3)，求向量a与向量b的点积。
答案：-7三、解答题（共60分）9. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求f(x)的导数。
答案：f'(x) = 3x^2 - 12x + 1110. 已知直线l1: y = 2x + 1和直线l2: y = -x + 3，求两直线的交点坐标。
答案：交点坐标为(1, 3)11. 已知圆心在原点，半径为5的圆，求圆的方程。
答案：x^2 + y^2 = 2512. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 8，求函数的最小值。
答案：函数的最小值为2，当x = 3时取得。
高校自招数学试题及答案
高校自招数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列哪个数是无理数？A. 0.33333…（循环）B. πC. √2D. 1答案：B、C2. 已知函数f(x) = 2x - 3，求f(5)的值。
A. 7B. 4C. 1D. 2答案：A3. 若a > b > 0，下列不等式中正确的是：A. a^2 > b^2B. a + b > 2√(ab)C. a/b > b/aD. a^3 > b^3答案：D4. 已知等差数列的首项为1，公差为2，求第10项的值。
A. 19C. 17D. 16答案：A5. 圆的半径为5，求圆的面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B6. 已知三角形ABC，∠A = 90°，AB = 3，AC = 4，求BC的长度。
A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A7. 函数y = x^2 - 4x + 4的顶点坐标是什么？A. (2, 0)B. (-2, 0)C. (2, 4)D. (-2, 4)答案：A8. 已知正弦函数sin(x)的周期为2π，求余弦函数cos(x)的周期。
B. 2πC. 4πD. 8π答案：B9. 根据勾股定理，直角三角形的斜边长度是两直角边长度的平方和的平方根。
设a和b是直角边，c是斜边，下列哪个表达式是正确的？A. c = √(a^2 + b^2)B. a = √(c^2 + b^2)C. b = √(c^2 - a^2)D. c = √(b^2 - a^2)答案：A10. 已知一个数列的前三项为1, 1, 2，且每一项都是前两项的和，求第5项的值。
A. 4B. 5C. 6D. 7答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 根据二项式定理，展开式(a + b)^3的通项公式是________。
答案：T_{r+1} = C_{3}^{r}a^{3-r}b^{r}12. 如果一个函数是奇函数，那么f(-x)等于________。
2020年北京海淀区北京大学自主招生数学试卷(金秋营)-学生用卷
2020年北京海淀区北京大学自主招生数学试卷（金秋营）-学生用卷一、综合题（本大题共5小题）1、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（金秋营）第1题对于非负实数a 1，a 2，⋯，a n ，考虑如下2n 个实数i 1a 1+i 2a 2+⋯+i n a n ，其中i k =±1，1⩽k ⩽n ，记S 为这2n 个数中所有正数之和，在∑a n n i=1=1的条件下，求S 的最小值．2、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（金秋营）第2题在△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 分别为BC ⌢，BAC ⌢中点，取△ABC 外接圆ω，△ADE 外接圆与射线AB ，AC 交于点J ，K ，△ADF 外接圆与射线AB ，AC 交于点L ，M ，证明：若AD 、JK 、LM 共点，则JM 、LK 交点在ω上．3、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（金秋营）第3题数列{a n }满足：a 0=2，a 1=5，a n+1=5a n −a n−1，n ⩾1，已知a m |a 2n−2+a 2n−1，求证：3|m ，3|n ．4、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（金秋营）第4题求k 的最小值，使得将7×7方格挖去k 个格后，剩余图形不存在T 字形（T 字形指一个方格与其相邻的三个方格有公共边构成的图形）．5、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（金秋营）第5题△ABC 内部取一点O ，直线AO ，BO ，CO 分别交对边于D ，E ，F ，若四边形AEFO ，BDFO ，CDEO 都有内切圆，求证：O 在△ABC 内心和垂心所在直线上．1 、【答案】暂无;2 、【答案】暂无;3 、【答案】暂无;4 、【答案】暂无;5 、【答案】暂无;。
近十年清华北大自主招生试题汇总
1.（2007清华）对于集合2M R ⊆（表示二维点集），称M 为开集，当且仅当0,0P M r ∀∈∃>，使得{}2P R PP r M ∈<⊆⎰。
判断集合{}(,)4250x y x y +->⎰与集合{}(,)0,0x y x y ≥>⎰是否为开集，并证明你的结论。
2，（2009北大）已知,cos cos 21x R a x b x ∀∈+≥-恒成立，求max ()a b +3，（2009清华）已知,,0x y z >，a 、b 、c 是x 、y 、z 的一个排列。
求证：3a b c x y z ++≥。
4，（2006清华）已知a ，b 为非负数，44M a b =+，a+b=1，求M 的最值。
5，（2008北大）实数(1,2,i i a i b i ==满足123a a a b b b ++=++，122313122313a a a a a a bb b b bb ++=++，123123min(,,)min(,,)a a a b b b ≤。
求证：12312m a x (,,)m a x (,,)a a a b b b ≤。
6，（2009清华）试求出一个整系数多项式110()n n n n f x a x a x a --=+++…，使得()0f x =有一根为7，（2009清华）x>0,y>0,x+y=1,n 为正整数，求证：222112n n n xy -+≥8，（2007北大） 已知22()5319653196f x x x x x =-++-+，求f(1)+f(2)+…＋f(50)。
9，（2006清华）设正三角形1T 的边长为a ，1n T +是n T 的中点三角形，n A 为n T 除去1n T +后剩下三个三角形内切圆面积之和，求1lim n k n k A →∞=∑。
10，（2008北大）数列{}1n n a ∞=定义如下：1234561,2,3,a a a a a a ======……（1） 给定自然数n ，求使l a n =的L 的范围；（2） 令221m m l l b a ==∑，求3limm m b m →∞。
北京大学自主招生数学2016
2016北大自主招生数学试卷A1、函数的单调递增区间为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】B函数的定义域为，设，其单调递增区间为，单调递减区间为，且单调递减，因此的单调递增区间为.2、对于任意给定的所在平面上的点满足，，的面积相等，则这样的点的个数是（ ）（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）前三个答案都不对 【解析】D为△的重心，或者四点构成平行四边形.3、圆内接四边形中，，则它的外接圆直径为（ ） （A ）170 （B ）180 （C ）（D ）前三个答案都不对 【解析】A注意到，即，故由余弦定理可得解得，故外界圆直径为，.4. 正方体的8个顶点中任取3个构成三角形，则三角形是等腰三角形的概率为（ ） （A ）（B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】B 由题意易知只有对角面上的三角形不是等腰三角形故 ()()20.5log 2f x x x =-++11,2æö-ç÷èø122æöç÷èø，12æö+¥ç÷èø，()f x ()1,2-()()2212g x x x x =-++-<<11,2æö-ç÷èø122æöç÷èø，()()0.5log f x g x =()()20.5log 2f x x x =-++122æöç÷èø，ABC D P PAB D PBC D PAC D P P ABC ,,,A B C P ABCD 136,80,150,102AB BC CD DA ====222215013610280-=-222215080136102+=+222222cos 2cos BD BC DC BC DC C BA DA BA DA AA C pì=+-×=+-×í+=î2A C p==BD 170BD =1247383864417P ´=-=C5、已知，为整系数多项式且，则 的各项系数之和为（ ）（A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ）前三个答案都不对 【解析】A易知为二次多项式，设，代入得，对照系数可得，解得则各项系数之和为8.6、设，则的取值范围为（）（A ） （B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】B，即即，.7、实系数方程的根都不是实数，其中两个根的和为，另两根的积为，则等于（ ）（A ）11 （B ）13 （C ）15（D ）前三个答案都不对 【解析】C()234f x x x =-+()g x ()()432318506948f g x x x x x =++++()g x ()g x ()2g x Ax Bx C =++()()()()22234f g x Ax Bx CAxBx C =++-+++2223361836506693448A AB B AC A BC B C C ì=ï=ïï+-=íï-=ïï-+=î134A B C =ìï=íï=î()g x ()0,2x p Î2=x 02p æöç÷èø，2p p æöç÷èø，32p p æöç÷èø，2=cos sin 2cos sin x xx x-=cos 0x >sin 0x <4320x ax bx cx d ++++=2i +56i +b故由韦达定理可得，8、54张扑克牌，将第1张扔掉，第2张放到最后，第3张扔掉，第4张放到最后，依次下去，最后手上只剩下一张牌，则这张牌在原来的牌中从上面数的第几张（ ） （A ）30 （B ）32 （C ）44 （D ）前三个答案都不对 【解析】C第一轮依次剩下的倍数，，，…，，第二轮依次剩下的倍数，，，…，，（最后一张扔掉54，开始第三轮）第三轮依次剩下模8余4的数，，，，，，，，（第四轮以扔掉4开始） 第四轮剩下的数，12，28，44， 第五轮剩下的数，12，44 最后剩下44.9、的个位数字为（ ）（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）前三个答案都不对 【解析】C易知数字为一个奇数，可以被5整除.10、设为有限集合，为的子集，且对每个，都有，则一定有中某个元素在至少多少个中出现（ ）（A ）403 （B ）404 （C ）2016 （D ）前三个答案都不对 【解析】B由抽屉原理，可知选B11、四个半径为1的球两两相切，则它们的外切正四面体的棱长为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】B()4a z w z w =-+++=-()()b zz zw zw zw zw ww z w z w zw zw =+++++=++++15=()()c zzw zzw zww zww zw z w zw z w =+++=+++8=61d zwzw =-=-22454448524122028364452()()()()23201621212121+++×××+S 122016,,,A A A ×××S i 15i A S ³S iA (21+(21(22+由棱长为的正四面体的内切球半径为, 设由四个球心所构成的正四面体为,其棱长为，内切球半径设大四面体的内切球半径为，则，则大四面体的棱长12、空间中点集定义如下：，，则由中的点组成的图形的体积等于（ ） （A ）（B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】C 对于每一个，易得，，.故一定，我们考虑极限情况故为三维分别为的长方体，.13、满足等式的正整数的个数为（ ）（A ）0 （B ）1001 （C ）2002 （D）前三个答案都不对 【解析】D答案为4002，由,即, 即 于是,即,故要求,即,14、已知对任意，方程在上至少有一个根，则 等于（ ）（A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）前三个答案都不对 【解析】B取，此时，故至少一个属于，a1234O O O O 2r ¢r 116r r ¢=+=+126a ö+=+÷÷ø(){}3,,|381nnnn A x y z xy z =Î++£R 1n n A A ¥==!A 14121n A 1x £1y £1z £+1n n A A Í1n n A A ¥==!(){}3lim ,,|1,81,1n A x y z x y z ==Σ££R A 12,2,41V =2002n éé=ëën 2002200120021´=<20022001200220011´<<´+20022001é=´ë200220012002n é´´=ë2001n é=ë200120011n n £<+2001n 4002n £[]122016,,0,4x x x ×××Î201612016i i x x a =-=å[]0,4a 1220162x x x ====!2x a -=2,2a a +-[]0,4若，综合只能，若，综合只能，排除C 取，此时，此时只能.综合可知选B.15、已知关于的方程有两个不同的非零整数根，则有可能等于（ ） （A ）一个素数 （B ）2的非负整数次幂 （C ）3的非负整数次幂 （D ）前三个答案都不对 【解析】D 方程为，设整数根为，由韦达定理的知识可得. 且，，此时，排除A 由平方数模3余0或者1，可得C 错误.由平方数模4余0或者1，且，知余至少一个模4余1或者2.则要是2的幂只能，与矛盾.16. 用表示距离，则的值为（ ） （A ）1015056 （B ）1017072 （C ）1019090 （D ）前三个答案都不对 【解析】B先考虑的解的个数，由，知当满足，会使得，其个数为，这个片段的和刚好为，则刚好需要个这个片段， 所以17、已知对于实数，存在实数，满足，，则这样的实数 的个数为（ ）（A ）1 （B ）3 （C ）无穷个 （D ）前三个答案都不对 【分析】[]20,4a +Î[]0,2a Î[]20,4a -Î[]0,2a Î1210080x x x ====!1009101020164x x x ====!42x x a +-=2a =x 21x ax b ++=22a b +210x ax b +-+=,m n ,a b ÎZ ()a m n =-+1b mn -+=()()22222222111a b m n m n m n +=+++=++m n ¹21m +21n +1m n ==m n ¹n a 121112016na a a ++×××+=n n a k =221124k k k æö+=++ç÷èøn ()()22111k k n k k -+-+££+n a k =2k 2100824620171017072x =++++=L a ,b c 3333a b c abc --=()22a b c =+a 3333a b c abc ++-()()333a b c ab a b c =++-++()()()223a b c a b a b c c ab éù=+++-++-ëû()()222a b c a b c ab bc ca =++++---【解析】B 由因式分解常见公式， 可得 故要么，此时，解得或；要么，此时，此时解得或18、三角形的三个顶点分别对应复数，已知，则三角形的面积与其最长边长的平方的比等于（ ） （A ）（B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】A由，得到，且由余弦定理可得，故最长边为19.将这100个数分成3组满足第一组中各数之和是102的倍数，第二组中各数之和是203的倍数，第三组中各数之和是304的倍数，则满足上述要求的分组方法数为（ ） （A ）1 （B ）3 （C ）6 （D ）前三个答案都不对 【解析】D 设三组之和分别为，，，,则，易得，结合是正整数，； 同样的得到,,又，得到，显然不可能.20、已知，，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 不确定 D. 三个均不正确 【解析】A()()3332223a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---()()33322203a b c abc a b c a b c ab ac bc =---=--++++-a b c =+()22a b c =+0a =2a =2220a b c ab ac bc ++++-=()()()222102a b a c b c éù++++-=ëûb c a ==-0a =4a =-ABC 123,,z z z 213112z z i z z -=+-ABC 1516112213112z z i z z -=+-c =cos A =sin A =2a b =c =21sin 2ABC S bc A b D ==1,2,,100×××102x 203y 304z *,,x y z ÎN 1022033045050x y z ++=5050102203505010222031304304x y z ---´-´=£z 15z £22y £42x £()101235050x y z x y z +++++=101|x y z ++2016x y z ++=11112016x y z ++=()()()201620162016x y z ---由已知可得，，即,2016x y z ++=12016xy yz zx xyz ++=()2016xyz xy yz zx =++()()()201620162016x y z ---()()23201620162016xyz xy yz zx x y z =-+++++-0=。
2023年北京大学自主招生考试数学试题及答案详解
北京大学 2023 年优秀中学生寒假学堂数学试题说明：本试题为考生回忆版，共 20 题，每题 5 分，考试时间 60 分钟。
1．设复数,,a b c 满足2223330,3a b c a b c a b c ++=++=++=，则202320232023a b c ++的值为A ．0B ．3C ．2023D ．其它三个答案都不对2．方程组2223334,6,10x y z x y z x y z ++=++=++=的解的个数为A ．0B ．3C ．6D ．其它三个答案都不对3．设三角形ABC 的三个顶点为复平面上的三点123,,z z z ，满足1231231223310,82i,1510i z z z z z z z z z z z z =++=+++=+，则三角形ABC 内心的复数坐标z 的虚部所在区间为A ．(0.0,5) C ．(1,2)B ．(0,0.5)D ．其它三个答案都不对4．若P 是三角形ABC 的外心，0,120PA PB BC C λ++==︒∠，则实数λ的值为B ．其它三个答案都不对2A ． -1C ． −3D ．12-5．在四面体ABCD 中，面ABC 与面BCD 成60︒的二面角，顶点A 在BCD 的投影H 是三角形BCD 的垂心，G 是三角形ABC 的重心，若4,AH AB AC ==，则GH 的长度是ABC ．其它三个答案都不对D6．过单位正方体1111ABCD A B C D -对角线1BD 做截面，则截面面积的最小值为A．3B．4C ．其它三个答案都不对D ．627．已知直线l 与双曲线22221(0)x y b a a b-=>>两支分别交于点,P Q ，O 为原点，若OP OQ ⊥，则O 到直线l 的距离为A ．abb a-B ．2ab b a -C ．其它三个答案都不对D8．在三角形ABC 中，444222,,,2(),72AB c AC b BC a a b c c a b A ===++=+∠=︒，则B ∠=A ．其它三个答案都不对B ．63︒C ．45︒D ．60︒9．设222121011133520212023S =+++⋅⋅⋅ ，则[]S 的值为A ．251B ．252C ．其它三个答案都不对D ．25310．过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>左焦点1F 做倾角为60︒的直线l 交椭圆与,A B 两点，若2AF BF =，则椭圆的离心率为A ．34B ．23C ．其它三个答案都不对D ．1211．以一个正方体的顶点为顶点构成的棱锥的个数为A ．其它三个答案都不对B ．104C ．106D ．10812．已知函数:f →R R 的图像关于点3(,0)4-中心对称且3()(),(1)1,(0)22f x f x f f =-+-==-，则(1)(2)(2022)f f f +++ 的值为A ．其它三个答案都不对B ．6-C ．6D ．013．已知数列{}n a 满足12111,1,,2n n n a a a a a n +-===+≥，则2020202320212022a a a a ⋅-⋅的值为A ．1-B ．1C ．2-D ．其它三个答案都不对14．对于任意的实数z ，方程组22,231,x ay z xy z z +=⎧⎨=++⎩有实数解(,)x y ，则参数a 的变化范围是A ．[4,0)-B ．[2,2)-C ．其它三个答案都不对D ．[0,4)15．以一个给定正2022边形的4个顶点为顶点的梯形称为好梯形，好梯形的个数为A ．100910101011⋅⋅B ．100810091010⋅⋅C ．100010111012⋅⋅D ．其它三个答案都不对16．已知圆内接四边形的边长为2,6,4AB BC CD DA ====，则四边形ABCD 的面积为A．B．C．D ．其它三个答案都不对17．设π,(0,)2x y ∈，则222211cos sin sin cos x x y y+的最小值为A ．8B ．10C ．9D ．其它三个答案都不对18.设=2023,x y =20232023，且y nn n=a x ,x n=b y ，则（ ）A.∃N ∈ n ∀n >,N a n <b ,n +a b n <∀n > ∀∈n ,n a b C. ++，使得nB.D. 其它三个选项<均不对19.数列{a }n 满足a 012=1,=2,a a =6且+32+1=7n n n n a a a a +5++，记k =(2023)!，则a k −1模 ） B.13179的余数为（ A.166C.1D.其它三个选项均不对20.有六件货物，其中两件为次品，其余四件合格，每次从中抽取一件检验后不放回，求恰好需要四次检验就能确定出次品的概率.2023年北京大学优秀中学生寒假学堂数学测试题答案1.解：因为2222()2220a b c a b c ab bc ca ab bc ca ++=+++++⇒++=且3332223()()=1a b c abc a b c a b c ab bc ca abc ++-=++++---⇒从而我们有=001a b c ab bc ca abc ++⎧⎪++=⎨⎪=⎩由韦达定理知,,a b c 是方程310x -=的三个根.由于20231(mod 3)≡，所以202320232023=0a b c a b c ++++=故选择A .2.解：类似于上题，我们可以得到=452x y z xy yx zx xyz ++⎧⎪++=⎨⎪=⎩从而,,x y z 是方程324520t t t -+-=的三个根，注意到322452(1)(2)t t t t t -+-=--从而,,x y z 是1,1,2的一个排列，即原方程组的解有3组，故选择B .3.解：不失一般性，设10z =，则1212+=8+21510z z i z z i=+，从而有23=532z z i=+，不妨设23,z z 对应的点为A 和B ，内心为I ，从而有5,13,8OA OB AB ===且3Im()()OA z OA AB OB r ⋅=++⋅所以105138r =++于是我们有510100.5165169594r <=<<=++++从而选择B 4.解：设AB 的中点为D ，则2PA PB PD +=.由0PA PB PC λ++=，有20PD PC λ+= 所以向量,PD PC共线，又P 是ABC ∆外心，故PA PB PD AB =⇒⊥，从而CD AB ⊥，因为120ACB ∠=，所以120APB ∠=，即四边形APBC 是棱形，于是2PA PB PD PC+== 所以20PD PC PC PC λλ+=+= 所以1λ=-，故选择A .5.设平面AHD 交BC 于F ，则BC DF ⊥，从而BC ADF ⊥面，于是BC AF ⊥，这说明AFH ∠为平面ABC 与平面BCD 成的二面角，即60AFH ∠=.在ABC ∆中，由AB AC =可知BF CF =，从而G 在AF 上且13GF AF =.在直角三角形AHF 中，4AF =，所以FH AF GF ===.在GFH ∆中，由余弦定理可得2221122cos 27GH GF FH GH HF AFH =+-⋅∠=从而9GH ==，故选择B6.解：由对称性，我们只需要考虑截面与面1AD 的交线交线段1AA 于E 的情形.注意到截面面积1112BD A BED F S S S BD d ∆===⋅=四边形其中d 为点E 到线段1BD 的距离.要使得截面面积S 最小，只需要考虑1AA 上的点到1BD 的距离d 最小.取E 为1AA 的中点，易得1OE BD ⊥，且1OE AA ⊥，此时d OE =为异面直线1AA 到1BD 的距离，为d 的最小值且min 122d EF ==.于是截面面积min min 2622S ===故选择D .7.解：不妨设OP m OQ n ==，且POx θ∠=。
2008-2011北京大学(北约)自主招生数学试题(全附答案)
5
答案： 1、 不妨设角 ADC 为 a,那么角 ABC=π-a。 由余弦定理可得 AC=根号（9+16-24cosa)=根号(1+4+4cosa) 从而可解出 cosa=5/7.即有 sina=2(根号 6)/7. 代入 cosa=5/7,可得 AC=根号（55/7). 所以圆的半径就是 AC/2sina. 2、设 13=a1+md,25=a1+nd,41=a1+kd. 那么我们可得 a1+(m+499(k+m-2n))d=2009. 而实际上这道题是有漏洞的，因为 (m+499(k+m-2n))可能是负的，也就是当这是递减的等差数列的时候，那么 2009 就不在这个 数列中了。 3、 挺简单，设 a=tanx+（根 3）,b=cotx+(根号 3）,假设均为有理数。 那么由(a-（根号 3） ） （b-（根号 3） ）=1 可得（a+b）根号 3=ab+2.若 a+b 非零，除过来就矛盾了。 所以必有 a+b=0，此时 ab+2 也是 0. 显然与 a，b 是有理数矛盾。 4、b=0 的时候可知得有|a|≤1.,此时 a+b≤1.下面考虑 b 不等于 0 的情况。 代入+1 和-1 后得出的式子可以化成|a|≤b+1.....(1)（必有 b≥-1) 对称轴的位置是 x=-a/4b.当对称轴在[-1,1]外的时候 那么 1≤|-a/4b|≤(b+1)/4|b|. 分类讨论后就可以得出 b≤1/3.此时 a+b≤b+1+b≤5/3. 若对称轴在[-1,1]内，则可得 a^2≤8（b-b^2)......(2) 这里注意到(b+1)^2-8(b-b^2)=(3b-1)^2≥0.故只需要(2)式成立,就必有 (1)式也成立。此时用柯西不等式 (a+b-1/2)^2≤（a^2+8(b-1/2)^2)(1+1/8)≤9/4 那么就有了 a+b≤2.等号成立的充要条件是 a=4/3,b=2/3,易验证这是成立的. 比较三种情况，显然 2 是 a+b 的最大值， 5、设优秀有 a 人，及格 b 人，不及格 c 人。 则 a+b+c=333 ① 6a+4b+0c≤1000（这里都取各层次里的最少人，故用小于等于） 即 6a+4b≤1000 即 3a+2b≤500 由①得 2a+2b=666-2c 即 a+666-2c≤500 即 a+166≤2c 若 a≥167 则这 167 人至少共解出 167*6=1002 道题，矛盾 故 a≤166 故 a+166≤166+166≤2c 即 c≥166 所以 c≥166≥a 即不及格得人数大于等于优秀的人数
北京大学自主招生北大自招数学2018+解析
2018年北京大学自主招生数学试卷选择题共20小题：在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分。
1. 把实数2018)335(+=a 写成十进制小数，则a 的十分位、百分位和千分位上数字之和等于（ C ） A.0 B. 9 C. 27 D. 前三个答案都不对解答：记2018(5b =−，容易知道b 是一个很小的正数，进一步，0.00001b <.由二项式展开，容易知道20182018*(5(5a b N +=++−∈，从而a 是一个正整数减去一个很小的正数，从而a 的十分位、百分位和千分位上数字都是9. 答案C.2. 已知b a ≠，1)()(22=+=+c a b c b a ，则abc b a c −+)(2的值为（ A ）A. 2B. 1C. 0D. 前三个答案都不对解法一：由22()()()()()0()()0a b c b a c ab a b c a b a b a b ab bc ca +=+⇒−+−+=⇒−++=，又a b ≠，所以0ab bc ca ++=，2()1()1()11a b c a ab ca a bc abc ∴+=⇔+=⇔−=⇒=−，2()()()22c a b abc c ca cb abc c ab abc abc ∴+−=+−=−−=−=。
解法二:记()21ab c +=……①，()21b a c +=……②，①-②有()()()()2200ab a b c a b a b ab c a b −+−=⇔−++=⎡⎤⎣⎦，由b a ≠，()()0ab c a b ab c a b ++=⇔=−+，从而原式=22()2c a b abc +=−.另一方面，由21b c a +=……③，21a c b+=……④，④-③有 222211a b a b a b b a −=−⇒=+，与()ab c a b =−+比较可知道11c abc ab=−⇒=−， 从而原式=22()22c a b abc +=−=. 答案A. 3. 设1,0≠>a a ，函数14)(2−−=x xa ax f 在区间[-1,2]上的最小值为-5，则a 的取值范围是（ C ）A. 221≥=a a 或 B. 210≥<<a a 或 C .2210≥<<a a 或 D. 前三个答案都不对解答：()22()4125x x x f x a a a =−−=−−，则()22xa −在[]1,2x ∈−时的最小值为0，即当[]1,2x ∈−时，xa 的取值范围包含2，根据指数函数的单调性，有()()(21220210a a a a a a ⎛⎫−−≤⇔−≥ ⎪⎝⎭， 考虑到0a >，可得2210≥<<a a 或. 答案C. 4. 设n S 为一等差数列的前n 项和，已知2501510==S S ，，则n nS 的最小值是（ D ）A. -25B. -36C. -48D. 前三个答案都不对 解答：由等差数列常用性质：n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且10010S =，155153S =，可知()1103n S n n =−，则 ()21110(202)36n nS n n n n n =−=−⋅⋅−，根据均值不等式可知7n =时，n nS 有最小值-49. 答案D.5. 以梯形ABCD 的下底BC 上一点为圆心做半圆，此半圆与这个梯形的上底AD 和两腰AB 、CD 都相切，则 |AB|+|CD|-|BC|的值（ D ）A. 为正B. 为负C. 可正可负D. 前三个答案都不对 解答：当ABCD 特别接近矩形时，12AB CD BC r ===，可知|AB|+|CD|-|BC|无限趋近于0；事实上，当ABCD 四点共圆的时候，可以证明|AB|+|CD|-|BC|=0（1985年IMO 几何问题）； 另一方面，当A,D 重合，也就是ABCD 退化成一个三角形时，明显有|AB|+|CD|-|BC|大于零.从而|AB|+|CD|-|BC|的值可零可正. 答案D.6. 在ABC ∆中，0tan tan tan >++C B A 是ABC ∆为锐角三角形的（ C ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 前三个答案都不对 解答： 根据三角形中的常用恒等式tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅，可知tan ,tan ,tan 0A B C >，从而ABC ∆为锐角三角形，反之亦然. 答案C.7. 满足对任意实数a ，b 都有)()()(b f a f b a f +=+和)()()(b f a f ab f =的实函数)(x f 的个数是（ B ）A. 1B. 2C.无穷多D. 前三个答案都不对解答： 容易猜测满足题意的实函数)(x f 只有两个：()f x x =或()0f x =. 事实上，有柯西方程可知()f x kx =（这样说并不严谨，只有证明了()f x 单调性或者连续性之后才能严谨地证明()f x kx =，事实上，不难借助两个条件方程证明：当()f x 不恒等于零时，其一定是单调递增的），代入()()()f x x f x f x ⋅=⋅ 有2k k = ，从而0,1k =. 答案B.8. 设函数t t t f 2)(2+=，则点集{})()(2)()(|),(y f x f y f x f y x ≥≤+且所构成的图形的面积是（ B ）A. 4πB. 2πC. πD. 前三个答案都不对解答：平面区域问题()()()()22222222114f x f y x x y y x y +≤⇔+++≤⇔+++≤；()()()()222220f x f y x x y y x y x y ≥⇔+≥+⇔−++≥；如图，画出平面区域后可知，满足两个不等式的区域是两个圆心角为90的扇形， 并且扇形半径为2.所以区域面积为2π. 答案B.9. 不等式122>+yx 且3,3≥≥y x 的正整数解),(y x 的个数是（ D ） A. 3B. 4C. 6D. 前三个答案都不对解答：本质上是不定方程问题:()()()22120224xy x y x y x y+>⇒−+<⇒−−<, 所以()()()()()()2,21,1,1,2,2,1,1,3,3,1x y −−=，所以正整数解),(y x 的个数是5. 答案D. 10. 设数列{}1≥n a n 的首项20191=a ，前n 项和n S =n a n 2，则2018a 的值为（ C ）A.20191B.20181 C. 10091D. 前三个答案都不对解答：n S =n a n 2，1n S +=()211n n a ++，作差可得()()22111112n n n n n n n a S S n a n a n a na ++++=−=+−⇒+=，()()()111211222019n n n n a n n a a +⇒++=+==⋅⋅=⋅，所以2018220191.201820191009a ⋅==⋅ 答案C.11. 在ABC ∆中，AB=13，AC=15，BC=14，AD 为边BC 上的高，则ABD ∆和ACD ∆的内切圆圆心之间的距离为（ D ）A. 2B. 3C. 5D. 前三个答案都不对解答：根据AD 垂直BC 于D,且AB=13，AC=15，BC=14，容易根据勾股数的性质求得：BD=5，CD=9，AD=12， 则三角形ABD 的内切圆半径为5121322+−=，三角形ACD 的内切圆半径为1291532+−=，则ABD ∆和ACD ∆的内切圆圆心之间的距离为d ==答案D.12. ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，满足3cos cos c A b B a =−，则BAtan tan 等于（ A ） A. 2B. 1C.21D. 前三个答案都不对 解答：根据正弦定理 ()11sin cos sin cos sin sin 33A B B A C A B −==+展开可得，24tan sin cos sin cos 233tan AA B B A B=⇒=. 13. 设实数y x ,满足1422=+y x ，则1243−+y x 的取值范围为（ B ）A. [)+∞,0B. []13212132-12+， C. []13212,0+ D. 前三个答案都不对 解答：记()(),2cos ,sin x y θθ=，则()34126cos 4sin 121212x y θθθϕ⎡+−=+−=+−∈−+⎣，答案B.14. 过椭圆14922=+y x 上一点M 做圆222=+y x 的两条切线，过切点的直线与坐标轴交于Q P ,两点，O为坐标原点，则POQ ∆面积的最小值为（ B ）A.21 B.32 C.43 D. 前三个答案都不对解答：记()220000,,194x y M x y +=，则由切点弦的性质00:2PQ x x y y +=，则00220,,,0P Q y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，000012222POQS x y x y ∆==，另一方面2200001943x y x y =+≥=，所有0022.3POQ S x y ∆=≤ 答案B.15. 设正实数b a ,满足1=+b a ，则3271ba +的最小值为（ A ） A.2131347+ B. 2131555+ C. 218D. 前三个答案都不对解答：记1a b =−，3127,1u b b =+− 则()241811du db b b =−−，令()2418101du db bb =−=−，根据 10,0a b b =−>>，则()29912b b b −+=−⇒=（舍负），代入可得3271ba +的最小值为 2131347+. 答案A.16. 在正方体1111D C B A ABCD −中，动点M 在底面ABCD 内运动且满足M DD A DD 11∠=∠,则动点M 在底面ABCD 内的轨迹为（ A ）A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线一支的一部分D. 前三个答案都不对 解答：1145DD M DD A ∠=∠=，从而1DM DD =，答案A.17. 已知21,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是椭圆与双曲线的一个交点，且321π=∠PF F ，则椭圆与双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ D ）A. 32B. 3C.331D. 前三个答案都不对解答：设椭圆和双曲线的短半轴（虚半轴）分别为12,b b ，则由常用面积结论：122212tancot33F PF S b b ππ∆==，于是22213b b =，记两曲线的半焦距为c ，则两条曲线的离心率的倒数之和1211e e +==12111e e +=≤= 答案D.18. 设三个实数c b a ,,组成等比数列，c b a c 320+≤>且，则实数acb 2−的取值范围是（ B ） A. ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞161-，B. ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞91-，C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞81-， D. 前三个答案都不对解答：由2,0b ac c =>，可知0a > ，则()()223231233110b ca b c q q q q a a≤+⇒≤+=+⇒−+≥， 所以13q ≥或1q ≤− . 进一步， 222max2111111222483489b c q q q a −⎛⎫⎛⎫=−=−−+=−−+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以实数a c b 2−的取值范围是 ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞91-，. 答案B. 19. 设实函数0,)(2≠++=a c bx ax x f ，定义)2))((()(),()(11≥==−n x f f x f x f x f n n ，已知方程x x f =)(1无实根，则方程x x f =)(2018的实根个数是（ A ）A. 0B. 2018C. 4036D. 前三个答案都不对解答：方程x x f =)(1无实根，则1()f x x >恒成立或1()f x x <恒成立，进而()11()()f f x f x x >>或()11()()f f x f x x <<恒成立，依次类推，()20172017()()f f x f x x >>>或()20172017()()f f x f x x <<<恒成立，从而方程x x f =)(2018没有实根. 答案A.20. 三棱锥ABC P −中，底面ABC 是以A ∠为直角的直角三角形，PA 垂直于底面ABC ，且AC AB PA +=，则三个角CPA BPC APB ∠∠∠与,的和是（ C ）A. 60°B. 75°C. 90°D. 前三个答案都不对解答：记,,APB BPC CPA αγβ∠=∠=∠=，则tan tan 1αβ+=；所以()sin cos sin cos 1sin cos cos cos cos αββααβαβαβ+=⇒+=，另一方面，对二面角B PA C −−用二面角余弦定理可知，cos cos cos cos 0sin sin 2λαβπαβ−==，从而cos cos cos λαβ=，所以()sin cos αβγ+=，又因为,,αβγ都是锐角，所以2παβγ+=−，所以答案C.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解析：不妨设 ， 和 的半径分别为 （ ），
（1）当 和 相离时，即 ，
（ⅰ）若 及 ，所以 ；
所以 ，由双曲线的定义， 的圆心的轨迹是以 ， 为焦点、实轴长为 的双曲线；
而 ，矛盾！
2011年综合性大学（北约13校）自主选拔录取联合考试
数学试题
请注意：文科考生做1至5题，理科考生做3至7题。每题20分，共100分。
【试题解答】
1.已知平行四边形的其中两条边长为3和5，一条对角线长为6，求另一条对角线长。
解析：平行四边形的对角线的平方和等于它四边的平方和，设另一条对角线长为 ，所以 ,所以 。
法二：由 ，所以当 ， 。
4.在 中， ，求证： .
解析：因为
，当且仅当 时， 成立，又因为 ，所以 。
5.是否存在四个正实数，使得他们的两两乘积为2，3，5，6，10，16？
解析：设存在四个正实数 使得他们两两乘积为2，3，5，6，10，16，因为四个正实数 的两两乘积为 ，把这些乘积乘起来，所以 ，又 为正实数，所以 ，所以在2，3，5，6，10，16中应存在两个数之积等于 ，显然这是不可能的，所以假设不成立，所以不存在四个正实数，使得他们的两两乘积为2，3，5，6，10，16。
（ⅰ）若 及 ， 都外切，则 ， ，所以 ；
若 及 ， 都内切，则 ， （或 ， 或 ， ），所以 (或 或 )；
所以 或 ，所以 的圆心的轨迹是过 ， 的直线（除直线及圆 、 的交点外）；
（ⅱ）若 及 内切， 外切，则 ， ，所以 ，所以 的圆心的轨迹是以 ， 为焦点、实轴长为 的椭圆（两圆 、 的交点除外）；
4【解析】不妨设 ， 夹角为 ，则 ，令
．
其对称轴为 ．而 在 上单调增，故 ．
当 时， ，解得 ．
当 时， 在 上单调增，于是 ．不合题意．
于是夹角的范围为 ．
5．存不存在 ，使得 为等差数列．（25分）
5【解析】不存在；否则有 ，
则 或者 ．
若 ，有 ．而此时 不成等差数列；
若 ，有 ．解得有 ．
（ⅱ）若 及 内切， 外切，则 ， ，所以 ；
若 及 外切， 内切，则 ， ，所以 ；
所以 ，由双曲线的定义， 的圆心的轨迹是以 ， 为焦点、实轴长为 的双曲线；
（2）当 和 外切时，即 ，
（ⅰ）若 及 ， 都外切，则 ， ，所以 ；
若 及 ， 都内切，则 ， ，所以 ；
所以 ，由双曲线的定义， 的圆心的轨迹是以 ， 为焦点、实轴长为 的双曲线；
对于②，令 ，得 ．
于是 ．
．不妨设 ， ，则
③
不妨设 ，则有
6个 9个
． ④
又由当 时，③，④处的等号均可取到．
∴ ．
注记：不妨设 ，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解．
由 知当 时 ；当 时 ．
则 在 上单调减，在 上单调增．于是当 时 取得最小值．
4．向量 及 已知夹角， ， ， ， ， ． 在 时取得最小值，问当 时，夹角的取值范围．（25分）
不妨设 位于线段 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使 最大的 点必位于线段 上．
且当 从 向 移动时， 先减小后增大，于是 ；
对于线段 上任意一点 ，都有 ．于是
由⑴，⑵知 ．不妨设为 ．
下面研究正五边形对角线的长．
如右图．做 的角平分线 交 于 ．
易知 ．
于是四边形 为平行四边形．∴ ．
（ⅱ）若 及 内切， 外切，则 ， （或 ， ），所以 （或 ）；
若 及 外切， 内切，则 ， （或 ， ），所以 （或 ）；
所以 或 ，所以 的圆心的轨迹是过 ， 的直线（除直线及圆 、 的交点外）；
（3）当 和 相交时，即 ，
（ⅰ）若 及 ， 都外切，则 ， ，所以 ；
若 及 ， 都内切，则 ， （或 ， ），所以 ；
2010北京大学 香港大学 北京航空航天大学自主招生（三校联招）试题数学部分
1．（仅文科做） ，求证： ．
2． 为边长为 的正五边形边上的点．证明： 最长为 ．（25分）
3． 为 上在 轴两侧的点，求过 的切线及 轴围成面积的最小值．（25分）
4．向量 及 已知夹角， ， ， ， ， ． 在 时取得最小值，问当 时，夹角的取值范围．（25分）
注记：也可用三角函数线的方法求解．
2． 为边长为 的正五边形边上的点．证明： 最长为 ．（25分）
2【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
⑴当 中有一点位于 点时，知另一点位于 或者 时有最大值为 ；当有一点位于 点时， ；
⑵当 均不在 轴上时，知 必在 轴的异侧方可能取到最大值（否则取 点关于 轴的对称点 ，有 ）．
由角平分线定理知 ．解得 ．
3． 为 上在 轴两侧的点，求过 的切线及 轴围成面积的最小值．（25分）
3【解析】 不妨设过 点的切线交 轴于点 ，过 点的切线交 轴于点 ，直线 及直线 相交于点 ．如图．设 ，
且有 ．
由于 ，
于是 的方程为 ；①
的方程为 ． ②
联立 的方程，解得 ．
对于①，令 ，得 ；
所以 ，由双曲线的定义， 的圆心的轨迹是以 ， 为焦点、实轴长为 的双曲线（圆 、 的交点除外）；
（ⅱ）若 及 内切， 外切，则 ， ，所以 ；
若 及 外切， 内切，则 ， ，所以 ；
所以 ，由椭圆的定义， 的圆心的轨迹是以 ， 为焦点、实轴长为 的椭圆（圆 、 的交点除外）；
（4）当 和 内切时，即 ，
5．（仅理科做）存不存在 ，使得 为等差数列．（25分）
2010北京大学 香港大学 北京航空航天大学自主招生（三校联招）试题数学部分解析
1．（仅文科做） ，求证： ．
1【解析】不妨设 ，则 ，且当 时， ．于是 在 上单调增．∴ ．即有 ．
同理可证 ．
，当 时， ．于是 在 上单调增。
∴在 上有 。即 。
2.求过抛物线 和 的交点的直线方程。
解析：
解法一：由 ， 得 ，所以过抛物线 和 的交点的直线方程 。
解法二：由 得 或 ，所以过抛物线 和 的交点的直线方程 。
3.在等差数列 中， ，数列 的前 项和为 ，求数列 的最小项，并指出其值为何？
解析：因为 所以 ，所以 ，
法一：由 得 ，又 ，所以 ，所以 。