自主招生北大2011数学测试试题
2011年北大自主招生联考数学试题及解答
()()1132，(123x +的交点的直线方程()()1132得⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩252x x -++解析：因为222cos 2a b c C ab +-=22222a b a b ab +⎛⎫+- ⎪⎝⎭≥()2231422a b ab ab +-= 312422ab ab ab⋅-≥12=，当且仅当a b =时，""=成立，又因为()0,C π∈，所以060C ∠≤。
所以211212CC CC r r C C -=-<，由双曲线的定义，C 的圆心的轨迹是以1C ，2C 为焦点、实轴长为12r r -的双曲线；所以211212CC CC r r C C -=+<，由双曲线的定义，C 的圆心的轨迹是以1C ，2C 为焦点、实轴长为12r r +的双曲线；21121212点、实轴长为12r r -的双曲线；所以211212CC CC r r C C -=+=或211212CC CC r r C C +=+=，所以C 的圆心的轨迹是过1C ，2C 的直线（除直线与圆1C 、2C 的交点外）；所以211212CC CC r r C C -=-<，由双曲线的定义，C 的圆心的轨迹是以1C ，2C 为焦点、实轴长为12r r -的双曲线（圆1C 、2C 的交点除外）；21121212实轴长为12r r +的椭圆（圆1C 、2C 的交点除外）；所以211212CC CC r r C C -=-=或2112CC CC r r +=-，所以C 的圆心的轨迹是过1C ，2C 的直线（除直线与圆1C 、2C 的交点外）；（ⅱ）若C 与1C 内切，2C 外切，则11CC r r =-，22CC r r =+，所以211212CC CC r r C C +=+>，所以C 的圆心的轨迹是以1C ，2C 为焦点、实轴长为12r r +的椭圆（两圆1C 、2C 的交点除外）；（ⅰ）若C 与1C ，2C 都内切，则11CC r r =-，22CC r r =-，所以211212CC CC r r C C +=->，所以C 的圆心的轨迹是以1C ，2C 为焦点、实轴长为12r r -的椭圆；（ⅱ）若C 与1C 内切，2C 外切，则11CC r r =-，22CC r r =+，所以211212CC CC r r C C +=+>，所以C 的圆心的轨迹是以1C ，2C 为焦点、实轴长为12r r +的椭圆。
2011年普通高等学校招生全国统一考试北京文科数学和理科数学整编卷详细解析(精品回顾)
绝密★使用完毕前2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时间长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是（A ）(-∞, -1] （B ）[1, +∞） （C ）[-1，1] （D ）（-∞，-1] ∪[1，+∞） （2）复数212i i-=+（A ）i（B ）-i（C ）（D ）4355i--4355i -+（3）在极坐标系中，圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标系是(A)(B) (C) (1,0)(1,)2π(1,2π-(D)(1，)π（4）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）-3 （B ）-12（C ）13（D ）2（5）如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G 。
给出下列三个结论：AD+AE=AB+BC+CA ；○1回归往日精品，再现今日辉煌AF·AG=AD·AE○2③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是（A ）①② （B ）②③ （C ）①③ （D ）①②③（6）根据统计，一名工作组装第4件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A ，C 为常数）。
已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是（A ）75，25 （B ）75，16 （C ）60，25 （D ）60，16 (7)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是(A) 8 (B) (C)10 (D) （8）设,，,.记为平行四边形()0,0A ()4,0B ()4,4C t +()(),4D t t R ∈()N t ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为()N t（A ） （B ） {}9,10,11{}9,10,12（C ） （D ） {}9,11,12{}10,11,12第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2011年北京四中自主招生考试数学试卷_0
2011年北京四中自主招生考试数学试卷一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）1．（5分）已知＜cosA＜sin80°，则锐角A的取值范围是（）A．60°＜A＜80°B．30°＜A＜80°C．10°＜A＜60°D．10°＜A＜30°2．（5分）实数b满|b|＜3，并且有实数a，a＜b恒成立，a的取值范围是（）A．小于或等于3的实数B．小于3的实数C．小于或等于﹣3的实数D．小于﹣3的实数3．（5分）x1，x2是方程x2+x+k=0的两个实根，若恰x12+x1x2+x22=2k2成立，k的值为（）A．﹣1B．或﹣1C．D．﹣或1 4．（5分）代数式的最小值为（）A．12B．13C．14D．115．（5分）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6六个数．连续掷两次，掷得面向上的点数之和是3的倍数的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）1×2+2×3+3×4+…+99×100=（）A．223300B．333300C．443300D．433300二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）7．（5分）多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为．8．（5分）已知点P（x，y）位于第二象限，并且y≤2x+6，x、y为整数，则点P 的个数是．9．（5分）已知⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别是、，则∠BAC的度数是．10．（5分）方程（2007x）2﹣2006×2008x﹣1=0的较大根为a，方程x2+2006x ﹣2007=0的较小根为b，则a﹣b=．11．（5分）已知x=，则x3+12x的算术平方根是．12．（5分）如图，Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6．△ABC以点B 为中心逆时针旋转，使点C旋转至AB边延长线上的C′处，那么AC边转过的图形（图中阴影部分）的面积是．三、解答题（共5小题，满分60分）13．（12分）现将一个表面涂满红色的正方体的每条棱十等分，此正方体分割成若干个小正方体．在这些小正方体中，求：（1）两面涂有红色的小正方体的个数；（2）任取一个小正方体，各面均无色的小正方体的概率；（3）若将原正方体每条棱n等分，只有一面涂有红色的小正方体的个数．14．（12分）已知x、y均为实数，且满足xy+x+y=17，x2y+xy2=66，求：代数式x4+x3y+x2y2+xy3+y4的值．15．（12分）在直角△ABC中，∠C=90°，直角边BC与直角坐标系中的x轴重合，其内切圆的圆心坐标为P（0，1），若抛物线y=kx2+2kx+1的顶点为A．求：（1）求抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向；（2）用k表示B点的坐标；（3）当k取何值时，∠ABC=60°？16．（12分）如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB．P是OA上的任意一点，BP的延长线交⊙O于点Q，点R在OA的延长线上，且RP=RQ．（1）求证：RQ是⊙O的切线；（2）求证：OB2=PB•PQ+OP2；（3）当RA≤OA时，试确定∠B的取值范围．17．（12分）平面上有n个点（n≥3，n为自然数），其中任何三点不在同一直线上．证明：一定存在三点，以这三点作为顶点的三角形中至少有一个内角不大于．2011年北京四中自主招生考试数学试卷参考答案一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）1．D；2．C；3．A；4．B；5．C；6．B；二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）7．（x﹣1）（3x﹣4）（2x+1）；8．6；9．15°或75°；10．2008；11．2；12．9π；三、解答题（共5小题，满分60分）13．；14．；15．；16．；17．；。
2011北大自主招生数学详解版
值为何？ 解 由 a7 a3 4d 可得公差 d 4 , 从而 a1 21 . 令 21 4( x 1) 0 得 x 6.25 , 故 {an } 从第 7 项开 始为正, 所以 {S n } 的最小项为 S6 66 . 4. 在 ABC 中， a b 2c ，求证： C 60 . 证 根据正弦定理有 sin A sin B 2sin C , 从而有
2011 年北约等十三校联考自主招生数学试卷 厦门一中徐小平
1. 已知平行四边形的其中两条边长为 3 和 5，一条对角线长为 6，求另一条对角线长. 解一 (引理) 平行四边形的对角线平方和等于四边的平方和. 另一对角线长为
2(32 52 ) 62 4 2 . C B 解二 如图, 设 AB 3 , AD 5 , BD 6 , 则据余弦定理有 2 2 2 2 AB AD cos A AB AD BD 2 , 于是 AC 2 DC 2 AD 2 2 DC AD cos CDA D A 32 52 2 AB AD cos A 32 , 从而 AC 4 2 . 2 2 2. 求过抛物线 y 2 x 2 x 1 和 y 5 x 2 x 3 的交点的直线方程. 解 由上述两方程消去二次项可得 6 x 7 y 1 0 , 此即为过两抛物线交点的直线方程. 3. 在等差数列 {an } 中， a3 13, a7 3 ，数列 {an } 的前 n 项和为 S n ，求数列 {S n } 的最小项，并指出其
2011年北京大学等13所大学自主招生数学试题解答
４ｓｉｎ２Ｃｃｏｓ２Ｃ ＝２ｓｉｎ Ｃ≤ｓｉｎ Ａ＋ｓｉｎ Ｂ＝
的方程．
｛ｙ＝２ｘ２ －２ｘ－１，
解法 ２ 联 立 方 程 组
消去 ｙ＝－５ｘ２ ＋２ｘ＋３．
２ ０１１×｜ｘ－２ ０１１１｜＝｜ｘ－１｜＋（｜ｘ－２１｜＋｜ｘ－２１｜）＋
（｜ｘ－３１｜＋｜ｘ－３１｜＋｜ｘ－３１｜）＋ … ＋
（｜ｘ－２ ０１１１｜＋｜ｘ－２ ０１１１｜＋ … ＋｜ｘ－２ ０１１１｜）＝
（｜ｘ－１｜＋｜ｘ－２０１ １１｜）＋（｜ｘ－２１｜＋｜ｘ－２ ０１１１｜）＋
（｜ｘ－２１｜＋｜ｘ－２ ０１１１｜）＋（｜ｘ－３１｜＋｜ｘ－２ ０１１１｜）＋
其２ 个交点为Ａ（ｘ１ ，ｙ１ ）、Ｂ（ｘ２ ，ｙ２ ）．代入点 Ａ 的坐
标
得
烄ｙ１ 烅 烆ｙ１
＝２ｘ１２ －２ｘ１ －１， ＝－５ｘ２１ ＋２ｘ１ ＋３．
① ②
①×５＋②×２ 得 ７ｙ１ ＝－６ｘ１ ＋１，即 ６ｘ１ ＋７ｙ１ －１
＝０．同理得 ６ｘ２ ＋７ｙ２ －１＝０．
所以，两交点 Ａ、Ｂ 都在直线６ｘ＋７ｙ－１＝０ 上，
（｜ｘ－３１｜＋｜ｘ－２ ０１１１｜）＋ …
（※）
其中共有（１＋２＋３＋ … ＋２ ０１１）÷２＝５０３×２ ０１１
解法２ 设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ，则３＝ａ７ ＝ ａ３ ＋４ｄ＝－１３＋４ｄ，解得ｄ＝４＞０，则通项
ａｎ＝ａ３ ＋（ｎ－３）ｄ＝４ｎ－２５． 令 ａｎ ＝４ｎ－２５＜０，得 正 整 数 ｎ≤６，则
ａ１ ＜ａ２ ＜…＜ａ５ ＜ａ６ ＜０＜ａ７ ＜…， Ｓ１ ＞Ｓ２ ＞…＞Ｓ５ ＞Ｓ６ ＜Ｓ７ ＜Ｓ８ ＜…． 所以，数列Ｓ１ ，Ｓ２ ，…中的第 ６ 项最小，最小值为
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(北京卷) 文 (精校版含答案)
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷） 本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1） 已知全集U=R ，集合{}21P x x =∣≤，那么U P =ð(A)(,1-∞-) (B)(1,+∞) (C)（-1，1) (D)()()11-∞,-,+∞（2）复数212i i-=+ (A)i (B )i - (C)4355i -- (D)4355i -+ （3）如果1122log log 0x y <<，那么（A ）1y x << (B)1x y << (C)1x y << (D)1y x <<（4）若p 是真命题，q 是假命题，则（A ）p q ∧是真命题 (B)p q ∨是假命题题 (C)p ⌝是真命题 (D)q ⌝是真命（5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是 (A)32(B)16+(C)48(D)16+（6）执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为(A)2(B)3(C)4(D)5（7）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元。
若每批生产x 件，则平均仓储时间为8x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元。
为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（A ）60件 (B)80件 （C ）100件 （D ）120件（8）已知点()()0,2,2,0A B 。
若点C 在函数2y x =的图象上，则使得ABC 的面积为2的点C 的个数为（A ）4 (B)3 (C)2 (D)1第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）在ABC 中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = . （10）已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线的方程为2y x =，则b = .（11）已知向量),(01),(a b c k ==-=2a b -与c ，共线，则k = .（12）在等比数列{}n a 中，若141,4,2a a ==则公比q = ； 12n a a a ++⋯+= .数 若关于x 的方程()f x k = 有两个不同的实（13）已知函根，则实数k 的取值范围是 . （14）设(0,0),(4,0),(4,3),(,3)(A B C t D t t +∈R )。
2011年北京大学保送生考试数学试题赏析
Ｇ（
ｘ １ ＋ｘ ２ ＋ｘ ３ ， ３
ｙ １ ＋ｙ ２ ＋ｙ ３ ）＝ Ｇ（ ） ， 而 ０， ０ ３ ） ， 故 Ｂ Ｃ 的外心 为 Ｏ（ ０， ０ △Ａ ， 为正三角形 Ａ Ｂ Ｃ △
０．
２ ２ 从而 ４ ｘ ４ ｘ ｐ －４ ｑ）＜ ０， ｐ － １ ＝－ （ ２ ≤－ （ ， 故ｘ ４ ｘ ． ｑ）＜ ０， １ ＜０ ２ ＜０ 因此 ， ｘ ｘ ． ｐ ＝－ （ ｑ ＝ｘ １ ＋ｘ ２） １ ２ ＞０ ＞ ０， ， ， 综合以上情况可得 ： 问题得证 ． ｐ ≥ ０ｑ ≥ ０ 点评 此题研究的其实是复合方程问题 ， 一 般解决的方法 是 代 数 法 ， 此法对恒等变形的要求 还有数 形 结 合 的 思 想 方 法 也 是 解 决 这 类 题 较高 ， 目的很好工具 ， 有时更显 得 形 象 直 观 ． 在历年的名 这种 题 型 出 现 比 较 多 ， 以下两 校自主招生试题中 ， 例供同学们参考 ： （ 已知 １． ２ ０ ０ ８年上海交通大学自主招生试题 ） （ ） ， 函数 ｆ（ 且ｆ（ ｘ） ｘ２ ＋ ｂ ｘ＋ ｃ ａ ≠０ ｘ） ＝ａ ＝ｘ 无 ］＝ ｘ 是否有实数根 ？ 实根 ， 试判断 ｆ［ 证明你 ｘ） ｆ（
２ ａ ， ） ， 设切线与 ｘ 轴的交点为 Ｑ ， 则得 Ｑ（ ０ ｘ ０ ２ ａ ｃ＋ ２ Ｆ１Ｑ ｘ ｃ ｘ０ ＋ａ ｅ ｘ０ ＋ａ ０ ∴ ＝ ２ ＝ ２ ＝ Ｆ２Ｑ ｅ ｘ０ －ａ ａ ｃ ｘ０ －ａ ｃ－ ｘ ０ Ｐ Ｆ１ ， ＝ Ｐ Ｆ２ 又由三角形内角平分线定理逆定理知 ， Ｐ Ｑ平
2011年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学试题 (文科)(解析版)
本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无 效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出四个选项中，选出符合题目要求的一项。
55
(D) 4 3 i 55
【解析】： i 2 1 2i
(i 2)(1 2i) (1 2i)(1 2i)
i 2i2 2 4i 1 4i2
i 2(1) 2 1 4(1)
4i
i
，选
A。
（3）如果 log 1 x log 1 y 0 ，那么 (
2
2
（A） y x 1 (B) x y 1
（6）执行如图所示的程序框图，若输入 A 的值为 2，则输出的 P 值为( )
(A)2
(B)3 (C)4 (D)5
【答案】C
第 1页 （共 7页）
【解析】执行三次循环，S 1 A 2 成立， p 11 2 ，S 1 1 1 1 3 ，S 3 A 2
P 22
2
成立， p 2 1 3 ， S 3 1 3 1 11 ， S 11 A 2 成立， p 3 1 4
y
2x ，则 b
.
【答案】2
第 2页 （共 7页）
【解析】：由
x2
y2 b2
1得渐近线的方程为 x2
y2 b2
0y
bx
即
y
bx ，由一条渐近线的方程
为 y 2x 得b 2
（11）已知向量 a ( 3,1),b (0 1), c (k, 3) 。若 a 2b 与 c ，共线，则 k =