2013清华北大自主招生测评试题数学自主招生数学与逻辑测评试题.docx
[转载]2013清华大学自主招生数学夏令营试题（部分）及其解答
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原文地址：2013清华大学自主招生数学夏令营试题（部分）及其解答作者：sqing55
清华大学自主招生数学夏令营试题选
2013年清华大学夏令营一道试题的两种解法壹片红树林
初探清华自招夏令营题选第2题一去二三里
2013年清华夏令营6,7题的解法奥数金苹果
2013年清华夏令营数学第一题的解答奥数金苹果
避开半凸半凹证明一道清华大学自主招生数学夏令营试题
清华大学自主招生数学夏令营试题选第13题张老师
清华大学自主招生数学夏令营试题选第8题张老师
解题练习40wangyuanzheng
清华大学自主招生数学夏令营试题（4）reny
清华大学自主招生数学夏令营试题（5）reny。
清华大学自主招生数学试题解析
清华大学自主招生数学试题解析一、引言近年来，自主招生考试逐渐成为高等教育选拔的重要方式之一。
作为中国顶尖的学府之一，清华大学在自主招生中具有极高的影响力和标准制定地位。
数学作为基础学科，是清华大学自主招生考试的重要科目。
本文将对清华大学自主招生数学试题进行解析，探讨其考察内容、特点及应对策略。
二、考察内容1、基础知识：清华大学自主招生数学试题中，基础知识考察占据较大比例。
包括但不限于高中数学中的函数、数列、三角函数、概率与统计等。
2、知识运用：除了基础知识外，试题还注重考察考生对数学知识的运用能力。
例如，通过实际应用题或几何题的形式，要求考生运用数学知识解决实际问题。
3、思维能力：清华大学自主招生数学试题注重考察考生的思维能力，包括逻辑推理、归纳分类、化归等能力。
这类题目通常需要考生灵活运用数学知识，通过猜想、归纳、推理等方式寻找解题思路。
4、创新精神：自主招生数学试题还注重考察考生的创新精神和实践能力。
这类题目通常以开放式问题的形式出现，要求考生从不同角度思考问题，寻找独特的解题方法。
三、特点分析1、覆盖面广：清华大学自主招生数学试题涉及的知识面较广，要求考生具备扎实的数学基础和广泛的知识储备。
2、难度适中：试题难度适中，既考察了考生的基础知识，又对其思维能力、创新能力进行了充分挑战。
3、突出重点：试题突出对重点知识的考察，如函数与方程、数列与不等式、平面几何等，要求考生对重点知识有深入理解和掌握。
4、强调应用：试题强调对数学知识的应用能力，通过设置实际应用题等方式，引导考生数学在实际生活中的应用价值。
四、应对策略1、巩固基础知识：针对清华大学自主招生数学试题中基础知识的考察，考生应注重巩固高中阶段的基础知识，尤其是函数、数列、三角函数等重点内容。
2、提高运用能力：在掌握基础知识的前提下，考生应注重提高对数学知识的运用能力。
通过练习实际应用题、几何题等类型，提高解决实际问题的能力。
3、培养思维能力：考生应在平时的学习中注重培养逻辑推理、归纳分类、化归等思维能力。
2013北大自招原题
2013北大自招原题2013年综合性大学自主选拔录取联合考试人文科学基础文科试卷（“北约”）（注意：所有答案，都必须写在答题纸上，答在试卷上者不得分!）语文部分一、选择正确的或最好的表达形式(20分)1．下列各组词语中，完全正确的一组是( )A．赝品下工夫激浊扬清B．燥热显像管裨官野史C. 怄气坐标系得垄望蜀2．“北大”和“清华”分别代表两种不同的简称方式。
下列简称中，跟“北大”简称方式一样的是( )A．四化 B．复旦 C．民警3．古代根据字的读音，可以将字分为入声韵和非入声韵。
比如，“禄”就是入声韵。
据此，下面哪个字也是入声韵? ( )A．路 B．绿 C．祖4．如果说普通话中的i和u可以做介音，那么下列哪个音也可以做介音？ ( ) A．n B．a C．V5. “他把气球吹大了”，最多可以有几种理解? ( )A．1 B．2 C．36. 下列诗句，与“安得身如芳草多，相随千里车前绿”的送别情怀最相近的是( )A．劝君更进一杯酒，西出阳关无故人。
B．请君试问东流水，别意与之谁短长。
C. 唯有相思似春色，江南江北送君归。
7．与“选他当班长”词句组合关系上最类似的是( )A．跟你学英语 B．请你吃饭 C. 选你就好8．如果你是明智的牛奶厂家，你会采用下面哪一句广告词?( )A．只要喝“飞鹿”牛奶，就有好身体。
B．一喝“飞鹿”牛奶，就好身体。
C．只有喝“飞鹿”牛奶，才有好身体。
9．下面哪一句话的意思跟其他句子不一样( )A．在火车上写字 B．字写在火车上 C. 火车上写着字10. 下文中，___内最适合填入的句子是( )微之!古人云：___仆虽不肖，常师此语。
大丈夫所守者道，所待者时。
时之来也，为云龙，为风鹏，勃然突然，陈力以出。
时之不来也，为雾豹，为冥鸿，寂兮寥兮，奉身而退。
进退出处，何往而不自得哉? (唐白居易《与元九书》)A．穷则独善其身，达则兼济天下。
B．仕而优则学，学而优则仕。
C．古之学者为己，今之学者为人。
2013年三大联盟自主招生数学试题及答案
ak al am an
a1 k 1 d a1 l 1 d a1 m 1 d a1 n 1 d k l mn k l mn ≥ mn 2 2 因此命题得证，
b2013 0 ，进而易得 a1 a2
b2013 mx m 2013 x m 2x 2013 ．
a2013 0 ．
（理科第 9 题，文科第 9 题） 对任意 ，求 32cos6 cos6 6cos 4 15cos 2 的值． 【解析】 32cos6 cos6 6cos 4 15cos 2
1 2 【解析】 B．
AB BC CA 的模等于（ A BC
）
A．
B． 1
C． 3
D．不能确定
A B C A B C
A B C A B C
3 AB AC BA BC C A CB
AB BC CA AB BC CA
（理科第 7 题，文科第 8 题） 至多可以找到多少个两两不同的正整数使得它们中任意三个的和都是质数？证明你的结论． 【解析】 至多可以找到 4 个，如 1, 3 , 7 , 9 ． 下面证明不能找到 5 个符合题意的正整数． 考虑它们模 3 的余数，设余数为 0 、 1 、 2 的分别有 a 、 b 、 c 个，则 1° 若 a 、 b 、 c 均不为零，则存在三个数，它们的和为 3 的倍数，一定不是质数； 2° 若 a 、 b 、 c 中有零，则根据抽屉原理，至少存在三个数，它们的余数相同． 此时它们的和为 3 的倍数，一定不是质数． 综上，不能找到 5 个符合题意的正整数． （理科第 8 题，文科第 10 题） 实数 a1 , a2 ,
近几年清华、北大自主招生数学试题
近年北大清华自主招生试题汇编———————————————————————————————— 2010北大自主招生（三校联招） 1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<．（25分）2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB ．（25分） 3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分） 4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分）5．（仅理科做）存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分）2009北大自主招生数学试题1 圆内接四边形ABCD ，AB=1，BC=2，CD=3，DA=4。
求圆半径。
2 已知一无穷等差数列中有3项：13，25，41。
求证：2009为数列中一项。
3 是否存在实数x 使tanx+（根3）与cotx+（根3）为有理数？4 已知对任意x 均有acosx+bcos2x>=-1恒成立，求a+b 的最大值5 某次考试共有333名学生做对了1000道题。
做对3道及以下为不及格，6道及以上为优秀。
问不及格和优秀的人数哪个多？3 已知123123122331122331123123123123min(,,)min(,,)max(,,)max(,,)a a ab b b a a a a a a b b b b b b a a a b b b a a a b b b ++=++++=++≤≤求证：4 排球单循坏赛 南方球队比北方球队多9支 南方球队总得分是北方球队的9倍 求证 冠军是一支南方球队（胜得1分 败得0分）5（理科）O-XYZ 坐标系内 xoy 平面系内202y x ≤≤-绕y 轴旋转一周构成一个不透光立体 在点(1,0,1)设置一光源 xoy 平面内有一以原点为圆心的圆C 被光照到的长度为2π 求C 上未被照到的长度2009年清华大学自主招生数学试题 的整数部分为a ，小数部分为b ()1求,a b ；()2求222ab a b ++； ()3求()2lim n n b b b →∞++ 2．()1,x y 为实数，且1x y +=，求证：对于任意正整数n ，222112n nn x y -+≥()2,,a b c 为正实数，求证：3a b cx y z++≥，其中,,x y z 为,,a b c 的一种排列 3．请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列，并证明你的结论4．已知椭圆22221x y a b+=，过椭圆左顶点(),0A a -的直线L 与椭圆交于Q ，与y 轴交于R ，过原点与L 平行的直线与椭圆交于P 求证：AQ ，AR 成等比数列5．已知sin cos 1t t +=，设cos sin s t i t =+，求2()1nf s s s s =+++6．随机挑选一个三位数I()1求I 含有因子5的概率；()2求I 中恰有两个数码相等的概率7．四面体ABCD 中，AB CD =，AC BD =，AD BC =()1求证：四面体每个面的三角形为锐角三角形；()2设三个面与底面BCD 所成的角分别为,,αβγ，求证：cos cos cos 1αβγ++=8．证明当,p q 均为奇数时，曲线222y x px q =-+与x 轴的交点横坐标为无理数 9．设1221,,,n a a a + 均为整数，性质P 为： 对1221,,,n a a a + 中任意2n 个数，存在一种分法可将其分为两组，每组n 个数，使得两组所有元素的和相等 求证：1221,,,n a a a + 全部相等当且仅当1221,,,n a a a + 具有性质P2009年清华大学自主招生数学试题（文科） 1．已知数列{}n a ，且()1n S na n n =+-()1求证：{}n a 是等差数列； ()2求,nn S a n⎛⎫⎪⎝⎭所在的直线方程 2．12名职员（其中3名为男性）被平均分配到3个部门()1求此3名男性被分别分到不同部门的概率； ()2求此3名男性被分到同一部门的概率；()3若有一男性被分到指定部门，求其他2人被分到其他不同部门的概率3．一元三次函数()f x 的三次项数为3a，()90f x x +<的解集为()1,2 ()1若()70f x a +=，求()f x 的解析式； ()2若()f x 在上单调增，求a 的范围4．已知PM PN -=()2,0M -，()2,0N ，求点P 的轨迹W ；直线()2y k x =-与W 交于点A 、B ，求S OAB （O 为原点） 5．设()12nx x x a n n++=∈()()()()()()12231n n n S x a x a x a x a x a x a -=--+--++--()1求证：30S ≤()2求4S 的最值，并给出此时1x ，2x ，3x ，4x 满足的条件()3若50S <，求1x ，2x ，3x ，4x ，5x 不符合时的条件2008届清华大学自主招生试题1. 已知,,a b c数；2. （1）一个四面体，证明：至少存在一个顶点，从其出发的三条棱组成一个三角形； （2）四面体一个顶点处的三个角分别是,,arctan 223ππ，求3π的面和arctan 2的面所成的二面角；3. 求正整数区间[],()m n m n <中，不能被3整除的整数之和；4. 已知sin cos αα+=α的取值范围；5. 若2lim ()(0)1,(2)()x f x f f x f x x →==-=，求()f x ；6. 证明：以原点为中心的面积大于4的矩形中，至少还有两个格点。
2013年北约自主招生试题与答案解析word版
2013北约”自主招生试题2013-03-16（时间90分钟，满分120分）一、选择题（每题8分，共48分）1. 以• 2和1 -3 2为两根的有理系数多项式的最高次数最小为（）A. 2B. 3C. 5D. 6解】由为二2,可知X2 =2,同理由1 -32二x可知（1 -X）3 =2;所以方程（x2 -2）［（1 -x）3-2］ =0的次数最小，其次数为5,故选C.2. 在6 6的表中停放3辆完全相同的红色和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车只占一格，共有_____ 种停放方法.A. 720B. 20C. 518400D. 144003 3解】红色车选3列有06 -20种方法，再从这三列中选三行有06 -20种方法，另外将红色车放在已选好的三列三行中有 3 2=6种方法，同理黑色车只能从剩下的三行三列九个格中选也有3 2=6种方法，因此方法数有（20 20 6） 6 =14400种.故选D.3. 已知x2 =2y 5，y^2x 5（^=y）则x3 -2x2y2 y3值为（）A. -10B. -12C. -14D. -16解】由x2 =2y - 5与y2=2x • 5两式作差得x • y二-2（x = y），代入两式中分别化出x2 2x -1 =0、y2 2y -1=0,所以x, y是方程t2 2t -1 =0的两个不等实根，于是x ■ y = 2, xy = 1 也所以x3—2x2y2+ y3-（ x+ y［（ x+ y2—3xy—2（xV）=十2） 7 2 ：故选5 D.4.在数列｛a n｝中,a =1 ,S n 1 =4a n 2 (n -1),则a2oi3值为()A. 3019 22012B. 3019 22013C. 3018 22012D.无法确定解】由a1 =1 ,S n 1 =4a n 2(n _1)……①可知,当n =1 时,S2 =4a, 2,所以a2 =5；当n_2时，有S n =4a n」2(n _2)……②，由①-②式得,，即a n 1 - 2a n = 2(a n - a n 丄)(n - 2)，且a2 - 2a i - 3an 1 =4a n - 4a n _[( n - 2)所以a.1 -2a n=3 2 x( n・ N ),同除以2 得=—,且才=1 ;所以玛=1 • 3 n 故令n =2012 时，得a^ =22012 3019,故选A.2 25.在ABC中,D为BC中点,DM平分ADB交AB于点M ,DN平分ADC交AC于N ,则BM CN与MN的关系为()A. BM CN MNB. MN CN : MNC. BM CN 二MND.无法确定解】如图,在DA取DE =DB，连接ME, NE,MN 则显然可证ME=MB,EN =NC , 且有ME NE - MN，即BM CN - MN ,上述不等式当且仅当• MED • • DEN =180,也即乙B E C =180：,这显然与三角形内角和定理矛盾，故等号取不到也即选A.BC + AC + AB6.模长都为1的复数A,B,C 满足A B ^-0,则的模长为（）A + B+C1A. 一―B. 1C. 2D. 无法确定2解】由题知AA =BB =CC =1,所以BC AC AB BC AC AB x —— -— ABC ABC3 B A C A AB C B A C B C =1，故选 B. 3 AB AC BA BC CA CB二、解答题（每题18分，共72分）7.最多能找多少个两两不相等的正整数使其任意三个数之和为质数，并证明你的结论.解】:至多有4个首先可以取1,3,7,9这四个数，它们任意三个数之和分别为 11,13,17,19符合质数定义.下面再证明5个正整数是不符合题意的.若有5个正整数，则考虑这五个数被 3除的余数，如果有一个数的余数为 0,那么考虑余 下的4个数被3除的余数，如果余数既有1也有2,那么这两个数与前面余数为0的数的和刚好为3的倍数，故不符合题意，如果余下四个数的余数均相等，显然取余下四个数中的三个 数，则这三个数的和为 3的倍数不是质数，也不符合题意，如果这5个数被3除的余数都不等 于0,则由抽屉原理，至少有3个数被3除的余数相同，这三个数的和是3的倍数不是质数，也 不符合题意.综上可知，不存在5个正整数符合题意，即至多有4个正整数符合题意.8.已知 a 1 ■ a 2 ' a^ 11 ■ a 2°13 =0，且 |印-2a ?円 a ? -2a 3 F 川=&013 -2印 |.2BC +AC +AB A+B+C也即BC AC AB ABC2 ------------------------------------------------------ ------------- ------------BC AC AB BC AC AB — ___________ x -A+B+C A + B+C证明：a i = a? = a 3 = 111 = 82013 =0. 证明】观察可知a 1■ a 2■ a^ J 11 - a2013=0 ,即(2a ? - a i ) ■ (2a 3 - a 2)■ 111 ■ (282013 - 82012) ' (2a i - a 20i3)= 0 ................. ① 又 1 耳-'2a2 闫 a 2 ~'2a3 Uli W a 2013 ~'2a i1，不妨设 I a i -'2a2〔 = t ,则①可写为 kt-(2013-k)t =0(0 _k _2013,k N),即(2k-2013)t =0 , 又显然2k -2013 =0，则有t =0,于是有2013二 2a 2,a 2 二2a 3,111 ,a 2°12 —2a 2013, a 2013 =2& 所以 a, = 2 & ,即 a, = 0 .也所以 a 1=a 2= a 3= 111 = a2013= 0,即证.9.对于任意-，求 32cos 6 v -cos6v -6cos4v -15cos2v 的值. 解】32cos 6 v -cos6 v -6cos4 v -15cos2 v1 5co s210.有一个m n 的数表，已知每一行的数均是由小到大排列 新排列，则新的数表中每一行的数满足什么样的关系？请证明你的结论.〖原题叙述〗：已知有m n 个实数，排列成m n 阶数阵，记作｛aj m n ,使得数阵中的每一行从 左到右都是递增的，即对意的i =1,2,3,|",m ,当j^： j 2时，都有a, ：：： a ij2现将｛引人n 的 每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列 ，形成一个新的 m n 阶数阵，记作｛a ｝ m n ,即对任意的i =1,2,3，川，n ,当L c i?时,都有Q ；v&j .试判断｛a j ｝m 疝中每一行的n 个 数的大小关系，并说明理由.=4(1 cc ^sP 3c os 2 32cos 2 )(3co-s 2 Feos 2 户 6cos24 v 1 5 cos =4 12 co 2s- 6 cos 4 4 6(1cos4 ) 6 c osB4 求.10.现在将每一列的数由小到大重=32 )- co s6 - 6 cos 4解】数阵｛aj m n中每一行的n个数从左到右都是递增的理由如下：显然，我们要证明数阵｛a j｝mn中每一行的n个数从左到右都是递增的，我们只需证明，对于任意i =1,2,3j||,m,都有a.j ：：：%「!）,其中j =1,2,3,|||,（ nT）.若存在一组a pq - a p（q .1）,令a k（q 1）= a i k（q 1）,其中k =1,2,3, |||,m,｛i i,i2,川,i k｝二｛1,2,|||,m｝,则当t 空P 时，都有Q t q 空a i t（q 1）二a（q 1）乞8p（q 1）：：：8pq .也即在a q（i =1,2,||j,m）中,至少有p个数小于a；q,也即a pq在数阵｛ a ij ｝m n中的第q列中，至少排在第P 1行与3pq排在第p行矛盾.所以对于任意的i =1,2,|||,m,都有a j 2心1）,即数阵｛a0｝m n中每一行的n个数从左到右都是递增的.。
近十年清华北大自主招生试题汇总
1.（2007清华）对于集合2M R ⊆（表示二维点集），称M 为开集，当且仅当0,0P M r ∀∈∃>，使得{}2P R PP r M ∈<⊆⎰。
判断集合{}(,)4250x y x y +->⎰与集合{}(,)0,0x y x y ≥>⎰是否为开集，并证明你的结论。
2，（2009北大）已知,cos cos 21x R a x b x ∀∈+≥-恒成立，求max ()a b +3，（2009清华）已知,,0x y z >，a 、b 、c 是x 、y 、z 的一个排列。
求证：3a b c x y z ++≥。
4，（2006清华）已知a ，b 为非负数，44M a b =+，a+b=1，求M 的最值。
5，（2008北大）实数(1,2,i i a i b i ==满足123a a a b b b ++=++，122313122313a a a a a a bb b b bb ++=++，123123min(,,)min(,,)a a a b b b ≤。
求证：12312m a x (,,)m a x (,,)a a a b b b ≤。
6，（2009清华）试求出一个整系数多项式110()n n n n f x a x a x a --=+++…，使得()0f x =有一根为7，（2009清华）x>0,y>0,x+y=1,n 为正整数，求证：222112n n n xy -+≥8，（2007北大） 已知22()5319653196f x x x x x =-++-+，求f(1)+f(2)+…＋f(50)。
9，（2006清华）设正三角形1T 的边长为a ，1n T +是n T 的中点三角形，n A 为n T 除去1n T +后剩下三个三角形内切圆面积之和，求1lim n k n k A →∞=∑。
10，（2008北大）数列{}1n n a ∞=定义如下：1234561,2,3,a a a a a a ======……（1） 给定自然数n ，求使l a n =的L 的范围；（2） 令221m m l l b a ==∑，求3limm m b m →∞。
2013年北京大学保送生考试数学试题详解
2013年北京大学保送生考试数学试题【第1题】ABC ∆内点M 满足100CMB ∠=︒，线段BM 的中垂线交边AB 于P ，线段CM 的中垂线交边AC 于Q ，已知：P 、M 、Q 三点共线，求CAB ∠.【第2题】正数 ,,a b c 满足a b c <+，求证：111a b ca b c<++++.【第3题】是否存在两两不同的实数,,a b c ，使直角坐标系中的三条直线,,y ax b y bx c y cx a =+=+=+共点.【第4题】 对{}1,2,9的某非空子集，若其中所有元素的和为奇数，则称为奇子集，问奇子集的个数.【第5题】在一个20132013⨯的正数数表中，每行都成等差数列，每列平方后都成等差，求证：左上角的数和右下角的数之积等于左下角的数和右上角的数之积.2013年北京大学保送生考试数学试题详解【第1题】ABC∆内点M满足100CMB∠=︒，线段BM的中垂线交边AB于P，线段CM的中垂线交边AC于Q，已知：P、M、Q三点共线，求CAB∠.解：如图.18080PBM QCM PMB QMC BMC∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒18080MBC MCB BMC∠+∠=︒-∠=︒于是())()160,20ABC ACB PBM QCM MBC MCB BAC∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒∠=︒【第2题】正数,,a b c满足a b c<+，求证：111a b ca b c<++++.解：111111111111a b c b c b ca b c b c b c b ca b c+=<==+<+++++++++++++因此原不等式得证.【第3题】是否存在两两不同的实数,,a b c，使直角坐标系中的三条直线,,y ax b y bx c y cx a=+=+=+共点.解：原问题即方程组ax b bx c cx a+=+=+有解(,,,)a b c x，其中,,a b c两两不同.c b a cax b bx c cx a xa b b c--+=+=+⇔==--整理c b a ca b b c--=--，得222a b c ab bc ca++=++，与,,a b c两两不同矛盾.于是不存在符合题意的实数对(,,)a b c.【第4题】 对{}1,2,9的某非空子集，若其中所有元素的和为奇数，则称为奇子集，问奇子集的个数.解：设{}{}1,3,5,7,9,2,4,6,8M N ==，则奇子集由M 中的1个、3个或5个元素以及N 中的任意个元素组成.因此奇子集共有1354555()2256C C C ++⋅=个.【第5题】在一个20132013⨯的正数数表中，每行都成等差数列，每列平方后都成等差，求证：左上角的数和右下角的数之积等于左下角的数和右上角的数之积.解：下面证明对n n ⨯的数表，*3,,n n n ≥∈N 是奇数，命题均成立.于是=()()222222a b c d a c b d ⇔+++=++++()()()22222ab cd a c b d ⇔+=++22222abcd b c a d ⇔=+ad bc ⇔=因此命题成立.。
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2013 清华北大自主招生 测评试题
数学
自主招生数学与逻辑测评试题
（考试时间： 90 分钟，总分 100 分）
一、选择题：本大题共 6 小题．每小题 6 分，共 36 分．在每小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设 z 1,z 2 为一对不相等的共轭复数，且 z 1 = 3,
z 12
为实数，则 z 1-z 2 的值为
z 2
（ ） A ． 3
B ． 6
C ．3
D ．23
2. 若点 P 在曲线 y=-x 2 -1上，点 Q 在曲线 x=1+y 2 上，则 PQ 的最小值为
（）
A ．3 2
B ．3 2
C ．
3 2
D ．
3 2
2
4
8
3. 在 ABC 中，三边和三角满足 a cos B-b cos A= 3 c 则 tan A = （
）
5tan B
A 。
3
B 。
4
C 。
5
D 。
6
4. 如图，在正四棱锥 P-ABCD 中，∠ APC =60 °，则二面角 A-PB-C
的平面角的余弦值为（ ）
A.
1 B.
1
7
7
C.
1 D.
1
P
2
2
D
M C
A B
5. 设 P 是函数 y=x+ 2
x>2 图像上任意一点，过点
P 分别向直线 y=x 和 y x
轴作垂线，垂足分别为 A 、B ，则 PA PB = （
）
A ．1
B ．2
C ．-1
D ．-2
6. 某情报站有 A 、B 、C 、D 四种互不相同的密码，每周使用一种，且每
周都是从上周没使用的三种密码中等可能的随机选用一种，设第一周使
用 A 密码，则第七周也使用 A 密码的概率为（）（用最简分数表示）
A．43
B．
61
C．
48
D．
61 8124324381
选择题答题处： 1.() 2.() 3.() 4.()5.()6.( )二、解答题 (每题 16 分,共 64 分)
7. 设函数f n x =x n1-x2在1
,1上的最大值为 a n n=1,2,3, 2
（1）求数列 a n的通项公式；
（2）求证：对任何正整数 n n 2 ，都有 a n1成立；
2
n+2
（3）设数列 a n的前 n 项和为S n，求证：对任意正整数 n ，都有S n<7
成16
立。
8.在平行四边形 ABCD 中， AB=x ，BC=1 ，对角线 AC 与 BD 的夹角BOC =45 ，记直线AB与CD的距离为 h x ，求 h x 的表达式，并写出x的取值范围。
9. 已知x0, y0, a x y , b x 2xy y 2 , c m xy ,
问是否存在正数m 使得对于任意正数x , y 可使 a , b , c为一个三角形的三条边？如果存在, 求出m的值; 如果不存在, 请说明理由.
10.20 个巫师孤岛聚会。
在这期间，任何三个巫师都曾在一起诅咒过别
的某些巫师；证明：其中必存在某个巫师，他至少受到过其他9 个巫师的诅咒。
数学与答案
（考： 90 分，分 100 分）
二、：本大共 6 小．每小 6 分，共 36 分．在每小出的四个中，只有一是符合目要求的．中学盟网
1、C 2 、C 3、B 4、B 5、C 6、B二、解答（每 16 分，
共 64 分）
7. 函数f n x =x n1-x
2在
1
,1 上的最大 a n n=1,2,3, 2
（1）求数列 a n的通公式；
（2）求：任何正整数 n n 2 ，都有 a n1成立；
2
n+2
（3）数列 a n的前n和 S n，求：任意正整数n，都有 S n <7 成
16立。
1
, n=1
解：（ 1 ）利用数可求得a n=8
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分4n n
n +2
, n
2
n+2
4n n n +2n
（2）当 n 2 ，欲12 ,只需证 1+ 2
4
n+2n+2n
利用二式展开式可以得出。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分（3 ）当 n=1,2然成立
当 n 3 由（2）可知4n n n +21 2 <
1-
1
得。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
n+2n+2n+1n+2 16 分
8. 在平行四 形 ABCD 中， AB=x ，BC=1 ， 角 AC 与 BD 的 角
BOC =45 ， 直 AB 与 CD 的距离 h x ，求 h x 的表达式，并写出
x 的取 范 。
解：由广 勾股定理（平行四 形的 角 的平方和等于四条 的平方
和） OB 2 +OC 2 = 1 AB 2 +BC 2 = 1 x 2 +1 (1) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
2 2
在 OBC 中，有余弦定理
BC 2 =OB 2 + OC 2 -2OB OC cos BOC ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4
分 OB 2 +OC
2
- 2OB OC =1 (2)
由（ 1 ）（ 2 ）得 OB OC = x 2 -1
(3) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
2 2
S ABCD =4 S OBC =4 1 OB OC sin
BOC = 2OB OC =
x 2 -1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分
2
2
故 AB h x = x 2
-1 h x = x 2 -1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分
2
2x
由（ 3 ）可得 x 2 -1>0, x>1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分
因 由 (2)(3) 得
1
x 2
+1 2
x 2
-1
解得（结合 x>1） 1< x< 2+1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14
2
2 2
分
x 2 -1
上所述 h x =
,1<x< 2+1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分
2x
9. 已知 x 0, y 0, a x y, b
x 2 xy y 2
, c m
xy ,
问是否存在正数 m 使得对于任意正数
x, y 可使 a,b,c 为
一个三角形的三条边？如果存在
,求出 m 的值 ; 如果不
存在 , 请说明理由 .
7
解：设存在这样的正数 m,使 a x y,b x2xy y2 ,
c m xy为三角形的三条边 .4分
若 x y,则a 2x 0,b3x 0,c mx 0,
8分
由 a b c,a c b,b c a,解得 2 3 m 23,此为 m需要满足的必要条件 .12分
易知当 m=1 成立，所以的m 存在。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分10.20个巫孤聚会。
在期，任何三个巫都曾在一起咒
的某些巫；明：其中必存在某个巫，他至少受到其他9 个巫
的咒。
解析： 20 个巫，共可作成C320个“三巫”，每个至少咒一人，故被咒的巫至少有 C320人次，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
W 是受到咒最多的一个巫，他被m 个“三巫” 咒，
m C
203 =57 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分20
若 m 个“三巫” 中，共含有 k 个巫， k 人共可成C k3个“三巫”，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分
因此， C k3m 57 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分
注意到，当 k 3 ，合数C k3格增；因
C83 =56<57, C93 =84>57 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分
由此得 k 9 。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分。