基于序列二次规划算法的再入轨迹优化研究
非线性模型预测控制的若干问题研究
非线性模型预测控制的若干问题研究一、概述随着现代工业技术的快速发展，非线性模型预测控制（Nonlinear Model Predictive Control，NMPC）已成为控制领域的研究热点。
非线性系统广泛存在于实际工业过程中，其特性复杂、行为多样，且具有不确定性，这使得传统的线性控制策略在面对非线性系统时往往难以取得理想的效果。
研究非线性模型预测控制策略，对于提高控制系统的性能、稳定性和鲁棒性具有重要意义。
非线性模型预测控制是一种基于非线性模型的闭环优化控制策略，其核心思想是在每个采样周期，以系统当前状态为起点，在线求解有限时域开环最优问题，得到一个最优控制序列，并将该序列的第一个控制量作用于被控系统。
这种滚动优化的策略使得非线性模型预测控制能够实时地根据系统的状态变化调整控制策略，从而实现对非线性系统的有效控制。
非线性模型预测控制的研究也面临着诸多挑战。
由于非线性系统的复杂性，其预测模型的建立往往较为困难，且模型的准确性对控制效果的影响较大。
非线性模型预测控制需要在线求解优化问题，这对计算资源的需求较高，限制了其在实时性要求较高的系统中的应用。
非线性模型预测控制的稳定性和鲁棒性也是研究的重点问题。
本文旨在深入研究非线性模型预测控制的若干关键问题，包括非线性模型的建立、优化算法的设计、稳定性和鲁棒性的分析等。
通过对这些问题的研究，旨在提出一种高效、稳定、鲁棒的非线性模型预测控制策略，为实际工业过程的控制提供理论支持和实践指导。
1. 非线性模型预测控制（NMPC）概述非线性模型预测控制（Nonlinear Model Predictive Control，简称NMPC）是一种先进的控制策略，广泛应用于各种动态系统的优化控制问题中。
NMPC的核心思想是在每个控制周期内，利用系统的非线性模型预测未来的动态行为，并通过求解一个优化问题来得到最优控制序列。
这种方法能够显式地处理系统的不确定性和约束，因此非常适合于处理那些对控制性能要求较高、环境复杂多变的实际系统。
序列二次规划
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(*****)
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Questions
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Proof
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（a）
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(b)
满足（a)的 x* 肯定满足（b），且为满足（b）的 x* 的
一部分，但满足（b）的解是唯一的，所以问题（b）的解 就是问题（a)的解。
Remark
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Questions
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序列二次规划法
A characteristic of a large class of early methods is the translation of the constrained problem to a basic unconstrained problem by using a penalty function for constraints that are near or beyond the constraint boundary. In this way the constrained problem is solved using a sequence of parameterized unconstrained optimizations, which in the limit (of the sequence) converge to the constrained problem.
基于多学科设计优化算法的再入轨迹优化设计
静态 优化 问题 ， 这样 原 来 单 纯 的再 入轨 迹 动 态 优 化 问题 就变 为 多学 科 动 态， 态 混 合 优 化 问题 。对 于 静 这类 大规 模非 线 性 多学 科 混 合 优 化 问题 ， 传统 的优 化方 法 效率变 得 极 为 低 下 。近 年 来 ， 学 科 设计 优 多
外 形 和 质 量 等 其 他 学 科 影 响 的 再 入 轨 迹 优 化 对 于 提 高 Ｒ Ｖ的 系 统 性 能 无 疑 具 有 重 要 意 义 。 此 时 再 入 轨 迹 优 化 将 Ｌ
是 一 个 静 态 ， 态 多 学 科 混 合 优 化 问题 。 以球 头 双 锥 的 升 力 体 构 型 Ｒ Ｖ 为 例 ， 最 小 化 热 防 护 系 统 质 量 和 最 大 横 动 Ｌ 以
化 方 法 （ ｌ ｄｓｉｌ ａｙ Ｄｅｉ ｐｉ ｚｔ ｎ ， Ｍｕｆ ｉ ｐｉ ｒ ｓ ｎ Ｏ ｔ ａｉ ｉ ｃ ｎ ｇ ｍｉ ｏ ＭＤＯ）
说， 降低 整个 系统 的费 用是最 重要 的设 计 目标 ， 因此 通 常都选 择具 有最 佳热 环境 的再 入轨 迹 以降低 热 防
护 系统 的质 量 。而再 入热环 境 除 了与飞行 轨迹 相关 外 ， 与再入 飞行 器 的气 动外形 密切 相关 。因此 ， 还 考 虑其 它学科 影 响 的再 入 飞行器 轨迹 优化 无疑 对提 高 再入 飞行 器 的性能 有重 要 的意义 。通 常热 防护 系统
题 ， Ｒ Ｖ初 步 外 形 设 计 和 任 务 轨 迹 规 划 的 重 要 工 具 。 是 Ｌ
ilqr轨迹优化算法 -回复
ilqr轨迹优化算法-回复什么是iLQR轨迹优化算法？iLQR（iterative Linear Quadratic Regulator）轨迹优化算法是一种模型预测控制（MPC）算法，旨在通过迭代地线性化和求解二次规划问题来优化系统的控制轨迹。
通过不断调整输入信号，iLQR可以在每个时间步上寻找最优的控制动作，以使系统在未来的一段时间内达到最优状态。
iLQR的基本原理是系统建模和动态规划方法的结合。
它对系统动力学进行高阶近似来构造线性二次规划问题，并使用动态规划算法求解这个问题的最优解。
然后，通过组合反向传播和迭代线性化过程，iLQR可以获得最优轨迹和相应的控制输入。
iLQR的步骤如下：1. 系统建模：首先，需要对系统进行建模。
这包括定义系统的动力学方程和控制输入。
通常，系统的动力学可以通过物理定律或实验数据进行建模。
2. 初始轨迹和控制策略：根据任务要求和初始估计，选择一个初始的轨迹和相应的控制信号。
这个初始轨迹可以是基于经验的，也可以是通过其他方法生成的。
3. 线性化系统：使用初始轨迹和控制输入点对系统进行线性化，得到线性化的动力学方程。
通常，这是通过泰勒展开来实现的。
4. 回溯动态规划：从时间的终点开始，使用动态规划方法递归地向后计算成本函数和控制增量。
动态规划会在每个时间步上解决一个线性二次规划问题，以找到最优的控制增量。
5. 反向传播：根据计算的控制增量，逆向传播更新初始轨迹和控制信号。
这通过使用前一步中计算的增量来更新系统模型实现。
6. 重复迭代：重复步骤3到5直到收敛。
每次迭代都会生成一个更新的轨迹和控制策略，直到获得最优轨迹和相应的控制输入。
iLQR算法的优点是可以在非线性、多变量的系统中进行优化，同时兼顾了快速收敛和优化质量。
由于需要反复迭代和线性化系统，iLQR的计算复杂度较高。
因此，对于复杂的系统，可能需要进行有效的优化策略或并行计算来提高算法的效率。
总之，iLQR是一种有效的轨迹优化算法，通过迭代地线性化和求解二次规划问题来优化系统的控制轨迹。
序列二次规划算法
序列二次规划法求解一般线性优化问题:12min (x)h (x)0,i E {1,...,m }s.t.(x)0,i {1,...,m }i i f g I =∈=⎧⎨≥∈=⎩ (1.1) 基本思想：在每次迭代中通过求解一个二次规划子问题来确定一个下降方向，通过减少价值函数来获取当前迭代点的移动步长，重复这些步骤直到得到原问题的解。
1.1等式约束优化问题的Lagrange-Newton 法考虑等式约束优化问题min (x)s.t.h (x)0,E {1,...,m}j f j =∈=(1.2)其中:,n f R R →:()n i h R R i E →∈都为二阶连续可微的实函数. 记1()((),...,())T m h x h x h x =. 则(1.3)的Lagrange 函数为： 1(,)()*()()*()mT i i i L x u f x u h x f x u h x ==-=-∑（1.3）其中12(,,...,)T m u u u u =为拉格朗日乘子向量。
约束函数()h x 的Jacobi 矩阵为：1()()((),...,())T T m A x h x h x h x =∇=∇∇.对（1.3）求导数，可以得到下列方程组：(,)()A()*(,)0(,)()T x u L x u f x x u L x u L x u h x ∇⎡⎤⎡⎤∇-∇===⎢⎥⎢⎥∇-⎣⎦⎣⎦（1.4）现在考虑用牛顿法求解非线性方程（1.4）.(,)L x u ∇的Jacobi 矩阵为：(,)()(,)()0T W x u A x N x u A x ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭（1.5）其中221(,)L(,)()*()mxx iii W x u x u f x u h x ==∇=∇-∇∑是拉格朗日函数L(,)x u 关于x 的Hessen 矩阵.(,)N x u 也称为K-T 矩阵。
对于给定的点(,)k k k z x u =，牛顿法的迭代格式为：1k k k z z z +=+∆. 其中k k (d ,v )k z ∆=是线性方程组k k k k (,)()(x )A(x )u *()0(x )k k k k T T k k d W x u A x f A x v h ⎛⎫-⎛⎫-∇+⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1.6）的解。
工业机器人轨迹规划算法优化研究
工业机器人轨迹规划算法优化研究摘要：工业机器人的应用范围越来越广泛，轨迹规划算法优化是提高机器人运动效率和精度的关键技术之一。
本文系统研究了工业机器人轨迹规划算法的优化方法，并提出了一种改进的轨迹规划算法，通过与传统方法进行对比实验，证明了改进算法在效率和精度方面的优势。
引言：工业机器人在制造业中发挥着重要的作用，轨迹规划是指通过控制机器人的运动轨迹，使机器人能够准确地执行任务。
在实际应用中，机器人的轨迹规划算法需要考虑多个因素，如机器人关节运动范围、碰撞检测、运动速度和加速度等。
因此，优化轨迹规划算法可以提高工业机器人的运动效率和精度，从而提高生产效率和产品质量。
一、工业机器人轨迹规划算法的研究现状1.1 传统的轨迹规划算法传统的轨迹规划算法包括插补方法、轮廓法和优化方法等。
插补方法根据起点和终点之间的直线段对机器人路径进行插补，但不能充分利用机器人的自由度。
轮廓法通过连接离散的轨迹点来生成轨迹，但容易导致机器人运动过程中的拐弯过大或者无法确保运动的平滑性。
优化方法通过优化目标函数，如最小化加速度、最小化能量消耗等，来得到最优的轨迹。
然而，传统的优化方法往往忽视了机器人关节运动范围、碰撞检测等复杂约束条件，导致生成的轨迹不符合实际情况。
1.2 关键问题在实际应用中，工业机器人在轨迹规划过程中面临一些关键问题，如路径平滑性、运动速度和加速度的控制、碰撞避免等。
这些问题直接影响着机器人的运动效率和精度。
因此，在轨迹规划算法的优化过程中，需要特别考虑如何解决这些关键问题，并提高机器人的运动性能。
二、轨迹规划算法优化方法2.1 路径平滑化算法路径平滑化算法是提高机器人轨迹规划精度的重要方法。
传统的路径平滑化算法主要有贝塞尔曲线和三次样条曲线等，但这些方法往往在拐弯处存在不连续性，并且难以满足机器人关节运动范围的约束条件。
因此，本文提出了一种基于优化目标函数的路径平滑化算法，通过最小化路径的曲率和加速度来得到平滑的轨迹。
序列二次规划法
n
（1-10）
其中， E 代表等式约束下的集合， I k 代表不等式约束中起作用约束的下标 集合。
此式即式 （1-8） ， 可以用同样的方法求解。 在求得式 （1-10） 的解 [ S
k 1
, k 1]T
之后，根据 k-t 条件，若解中对应原等式约束条件的乘子不全为零，对应起作用 约束条件的乘子不小于零，则 S 最优解 S * 。 综上所述，在迭代点 X 上先进行矩阵 H 的变更，在构造和求解相应的二 次规划子问题，并该子问题最优解 S * 作为下一次迭代的搜索方向 S 。然后在 该方向上对原非线性最优化问题目标函数进行约束一维搜索， 得到下一个迭代点
此问题是原约束最优化问题的近似问题，但其解不一定是原问题的可行点。 为此，令
S X Xk
将上述二次规划问题变成关于变量的 S 的问题，即
1 min f ( X ) S T 2 f ( X k ) S f ( X k )T S 2 s. t. gu ( X k )T S gu ( X k ) 0 (u 1,2,..., p) hv ( X k )T S hv ( X k ) 0
T
等于 n m 。由线性代数知，此方程要么无解，要么有惟一解。如果有解，利用 消元变换可以方便的地求出该方程的惟一解， 记作 [ S 若此解中的乘子向量
k 1
k 1
根据 k-t 条件， , k 1]T 。
不全为零， 则S 。
k 1
就是等式约束二次规划问题式 （1-8）
的最优解 S * ，即 S* S
2 序列二次规划的研究
最优化理论及方法是一个具有广泛应用背景的研究领域。 它研究诸如从众多 的方案中选出最优方案等问题，常见的各种模型如线性规划，二次规划，非线性 规划， 多目标规划等。 最优化理论及方法已经在经济计划， 工程设计， 生产管理，
基于凸优化和切比雪夫伪谱法的再入轨迹优化
Electronic Technology & Software Engineering 电子技术与软件工程• 71【关键词】再入制导 切比雪夫伪谱法 凸优化1 引言轨迹设计是概念设计中的关键步骤，目的是使飞行器的性能与其所执行的飞行任务相匹配。
所谓轨迹优化，是指在规定的飞行任务条件下，寻找一条某种性能指标最优，而又不违背热流，动压，过载等各种约束的飞行轨迹。
高超声速飞行器的飞行轨迹优化对其设计有着十分重要的意义。
高超声速飞行器由于飞行空域和速度大范围变化，具有很强的非线性动力学特征，面临更复杂的运动方程组。
在大气层内长时间高超声速机动飞行，导致飞行器自身的热力学环境十分恶劣，为了保证满足飞行器的热防护系统，弹载设备以及机身结构正常工作，再入轨迹需要满足热流率，动压以及过载等物理量的不等式约束。
在实际运行中，导航系统的正常工作需求，领空限制问题等，要求再入轨迹满足航路点等式约束以及禁飞区不等式约束。
近年来，凸优化理论及方法取得较大发展并被广泛应用。
随着凸优化方法的完善和计算机技术的发展，大规模凸优化问题已能够在有限时间内获得最优解。
随后采用凸优化方法求解飞行器轨迹优化的研究逐渐增多，如行星软着陆问题。
Liu 和Lu 近年来针对轨迹规划的凸优化建模与方法展开了深入研究。
在文献[7]中，Liu 采用凸优化方法研究了在为了避免碰撞以及非线性末端约束等复杂约束条件情况下基于凸优化和切比雪夫伪谱法的再入轨迹优化文/陈嘉澍的航天器轨迹优化问题。
文献[8]基于二阶锥规划，并且使用序列线性化和松弛技术，而后将线性化的运动方程组离散化，完成了飞行器的再入轨迹优化；在此基础上。
文献[9]实现了最大化侧向角航程的再入轨迹优化。
国内的谭峰[10]将凸优化方法应用于高超声速飞行器轨迹跟踪控制，并在此基础上进行在线制导与轨迹优化。
林晓辉等人基于凸优化理论研究了月球定点着陆的轨迹优化[11]，陈洪普将凸优化方法应用于高超声速飞行器的再入制导过程当中，并且应用了模型预测控制的方法[12]。
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航 天 控 制Aer os pace Contr ol Dec 12009Vol 127,No .6基于序列二次规划算法的再入轨迹优化研究3郑总准1 吴 浩2 王永骥11.华中科技大学控制科学与工程系,武汉4300742.北京航天自动控制研究所,北京100854摘 要 介绍了序列二次规划算法在飞行器再入轨迹优化问题中的应用。
首先引入了能量替代变量对无量纲运动方程进行推导,使得运动方程和优化问题易于处理,考虑严格的过程约束和终端约束,以攻角和倾侧角为控制变量,总加热量最小为性能指标;然后通过直接配点法将最优控制问题转化为非线性规划问题,选取各节点的状态量和控制量作为优化参数;最后应用序列二次规划算法对非线性规划问题进行求解。
针对多约束的再入飞行器的轨迹优化时对初值敏感的问题,提出一种参考轨迹快速规划算法,提高了优化速度。
仿真结果表明提出的方法能够较快地搜索到最优轨迹,满足所有约束且落点精度高。
关键词 轨迹优化;非线性规划;配点法;序列二次优化;参考轨迹中图分类号:V412 文献标识码:A 文章编号:100623242(2009)0620008206 3国家自然科学基金(60674105);教育部科研培育项目(20081383)和航天支撑基金(2008)资助 收稿日期:2008212212作者简介:郑总准(1983-),男,福建福州人,博士研究生,研究方向为飞行器轨迹优化、制导与控制;吴 浩(1980-),男,湖北武汉人,博士,研究方向为飞行器制导与控制;王永骥(1955-),男,江西吉安人,教授,博士生导师,研究方向为网络控制、飞行器制导与控制。
Reen try Tra jectory O pti m i za ti on Usi n g Sequen ti a lQuadra ti c Programm i n gZ HE NG Z ongzhun 1 WU Hao 2 WANG Yongji11.Huazhong University of Science and Technol ogy,W uhan 430074,China2.Beijing Aer os pace Aut omati on Contr ol I nstitute,Beijing 100854,ChinaAbstract Sequen tial quadratic programm ing for trajectory opti m iza tion of reentry vehicle is proposed .F irstly,Equations of m otion a re nor m a lized and an independen t variable is introduced to reduce the difficul 2ty of iterative co m putation .W ith the angle of a ttack and the bank ang le as control variables,the opti m al control proble m is set to m ini m ize hea t index,considering strict process and ter m inal constraints .A nd then,by choosing states and controls of discrete nodes as param eters,the opti m al control proble m is transfor m ed into a nonlinear programm ing proble m using direct colloca tion m ethod .F inally,sequential quadratic pro 2gramm ing is presented for solving the non linea r programm ing proble m.A ccord ing to the sensitivity to initial value in trajectory opti m ization for reen try vehicles w ith m ulti 2constraint,this paper develops a rapid refer 2ence trajectory prog ramm ing strategy .S i m ulation results sho w that the opti m al trajectory can consistently a 2chieve the desired target conditions w ithin allo w able tolerances and satisfy all the other constraints effectively .Key words Tra jectory opti m ization;N onlinear prog ramm ing;D irect colloca tion m ethod;Sequential・8・第27卷 第6期郑总准等:基于序列二次规划算法的再入轨迹优化研究quadratic programm ing;R eference tra jectory 再入飞行轨迹优化作为研发先进飞行器的关键技术之一,是飞行器总体设计和规划中的重要组成部分。
轨迹优化可表述为一个非线性、带有控制约束、终端约束以及轨道约束的最优控制问题,即泛函的条件极值问题。
由于问题高度非线性等原因,最优控制量的解析形式很难求得,因此轨迹优化问题的数值解法成为研究的重点。
轨迹优化中的数值方法主要可分为间接法和直接法。
以Pontryagin极大值原理为代表的间接法,将问题转化为两点边值问题,并采用最速下降法、边值打靶法或临近极值法等进行求解。
由于飞行器的高度非线性等原因,且间接法对协态变量的初始值十分敏感,因此难以求得最优控制量的精确解。
基于非线性规划理论的直接法,将轨迹的状态和控制变量离散化,从而把最优控制问题转化为参数优化问题,使用非线性规划算法求解。
直接法可以克服传统间接法对计算初始值要求过严的缺点,参数优化法、配点法和伪光谱法等转化方法己经被广泛应用,取得了令人注目的成果[1-3]。
对于非线性规划问题,目前尚无统一的求解算法,共轭梯度法、拟牛顿法、单纯形法和序列二次规划法(Sequential Quad2 ratic Pr ogra mm ing,S QP)等都是解非线性规划的有效的算法。
S QP法对原问题的近似中包含有二阶导数信息,因而在具有全局收敛性的同时保持局部超1次收敛性,被公认为是当今求解光滑的非线性规划问题最优秀的算法之一[4]。
本文通过引入更适合于优化数值算法求解的无量纲替代变量,建立了以总加热量最小作为优化目标的最优控制问题模型,考虑严格的过程约束和终端约束;然后采用直接配点法将最优控制问题转化为非线性规划问题,选取各节点的状态量和控制量作为优化参数;最后应用S QP法对非线性规划问题进行求解。
由于选择不同的初始参考轨迹对优化算法的迭代时间和收敛结果具有不可忽视的影响,文章提出一种参考轨迹快速规划算法,提高了收敛速度,得到了满意的效果。
1 轨迹优化问题描述1.1 运动方程假设地球是一个均匀球体,考虑地球旋转引起的哥氏力和牵引力的影响,在飞行器侧滑角为零的条件下,文献[5]给出了飞行器的无量纲再入质点运动方程。
在状态方程中一般采用时间t作为自变量,文中为了避免积分范围对时间的不确定而引入反值能量e替代时间,其表达式为e=1/R-V2/2(1) e为飞行器单位质量所具有的负值机械能,零势能在无限远处,则飞行器质点运动方程为d Rd e=V sinγ(VD-VφV3)-1dθd e=V cosγsinψR cos<(VD-VφV3)-1d<d e=V cosγcosψR(VD-VφV3)-1d Vd e=(-D-sinγR2+φV3)(VD-VφV3)-1(2) dγd e=1V[L cosσ+(V2-1R)co sγR+φγ3+φγ4](VD-VφV3)-1dψd e=1V[L sinσcosγ+V2co sγsinψtan<R-φψ3+φψ4](VD-VφV3)-1式中,变量R表示飞行器质心距地心的距离,其无量纲化参数为地球半径R(R=6378km);V表示飞行器相对地球的速度,其无量纲化参数为V=g0r0(g0=9.81m/s2);θ,<,γ,ψ分别为经度、纬度、航迹倾角和航迹偏角;σ为倾侧角;式(2)后三项右边的φ函数均是由哥氏力和牵引力引起的附加项。
L和D分别是无量纲的升力加速度和阻力加速度,其表达式为L=ρ(V0V)2C L S/2m g0D=ρ(V0V)2C D S/2m g0(3)式中,S为飞行器有效面积,CL和CD分别为升力和阻力系数,可表示为攻角α和马赫数M a的插值函数。
大气密度模型为ρ=ρexp(-h/hs)(4)其中,ρ是海平面标准大气密度,hs为标量高度系数,h=(R-1)r。
转化后运动方程的积分区间为[e,e f],起点和终点可以由再入的初始和终端条件唯一确定,且其终端的速度和高度只需满足一个,另一个自然满足,・9・航 天 控 制2009年这样处理降低了求解的难度。
1.2 约束条件飞行器在再入过程中面临着严重的气动受热、过载及动压问题,为易于控制器的设计,要考虑平衡滑翔约束。
此外,再入段的终端状态受严格约束。
1)热流约束。
为了不使表面温度过高,一般需要对驻点热流的速度加以限制,即Q・=kρV3.15≤Q・max(5)式中,V为无量纲速度,k为常值系数。
2)过载约束。
为了在再入时对飞行器进行保护,需要对总过载进行限制,即n=L2+D2≤n max(6) 3)动压约束。
根据再入任务的要求,存在最大动压约束q=ρ(VV0)2/2≤q max(7) 4)平衡滑翔约束。
理想的再入轨迹应该是无跳跃现象且轨迹倾角变化平滑,即轨道倾角γ≤0,且γ・≈0。
L co sσ+(V2/R-1/R2)≤0(8) 5)再入终端状态约束。
为使飞行器更好地完成对地攻击任务,终端处的(R,θ,<,V,γ,ψ)均严格约束。
轨迹优化可表述为一个非线性、带约束的最优控制问题。
本文以再入过程飞行器的总吸热量最小作为优化目标,即J=∫e f e0Q・(d e dτ)-1d e(9)其中,状态量x=[R θ < V γ ψ]T,控制量u=[α σ]T。