抛物线基础练习
2020届高考数学理一轮(新课标通用)考点测试：54 抛物线
考点测试54 抛物线高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5分或12分，中、高等难度考纲研读1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)2．理解数形结合的思想3．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用一、基础小题1．抛物线y ＝x 2的准线方程是( )14A ．y ＝－1 B ．y ＝－2 C ．x ＝－1 D ．x ＝－2答案 A解析 依题意，抛物线x 2＝4y 的准线方程是y ＝－1，故选A ．2．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线准线的距离为( )A ．4B ．6C ．8D ．12答案 B解析 依题意得，抛物线y 2＝8x 的准线方程是x ＝－2，因此点P 到该抛物线准线的距离为4＋2＝6，故选B ．3．到定点A (2，0)与定直线l ：x ＝－2的距离相等的点的轨迹方程为( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8xC ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y 答案 A解析 由抛物线的定义可知该轨迹为抛物线且p ＝4，焦点在x 轴正半轴上，故选A ．4．若抛物线y 2＝2px (p >0)上的点A (x 0，)到其焦点的距离是A 到y 轴距离2的3倍，则p 等于( )A ．B ．1C ．D ．21232答案 D解析 由题意3x 0＝x 0＋，x 0＝，则＝2，∵p >0，∴p ＝2，故选D ．p2p4p 225．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |等于( )A ．4B ．6C ．8D ．10答案 C解析 由抛物线y 2＝4x 得p ＝2，由抛物线定义可得|AB |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2，又因为x 1＋x 2＝6，所以|AB |＝8，故选C ．6．若抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点为( )A ．(1，2)B ．(0，0)C ．，1D ．(1，4)12答案 C解析 解法一：根据题意，直线y ＝4x －5必然与抛物线y ＝4x 2相离，抛物线上到直线的最短距离的点就是与直线y ＝4x －5平行的抛物线的切线的切点．由y ′＝8x ＝4得x ＝，故抛物线的斜率为4的切线的切点坐标是，1，该1212点到直线y ＝4x －5的距离最短．故选C ．解法二：抛物线上的点(x ，y )到直线y ＝4x －5的距离是d ＝＝|4x －y －5|17＝，显然当x ＝时，d 取得最小值，此时y ＝1．故选C ．|4x －4x 2－5|174x －122＋417127．已知动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．答案 y 2＝4x解析 设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1，0)的距离与其到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x ．8．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足|NF |＝|MN |，则∠NMF ＝________．32答案 π6解析 过N 作准线的垂线，垂足是P ，则有|PN |＝|NF |，∴|PN |＝|MN |，∠NMF ＝∠MNP ．又cos ∠MNP ＝，∴∠MNP ＝，即3232π6∠NMF ＝．π6二、高考小题9．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则·＝( )23FM → FN → A ．5 B ．6 C ．7 D ．8答案 D解析 根据题意，过点(－2，0)且斜率为的直线方程为y ＝(x ＋2)，与抛物2323线方程联立Error!消去x 并整理，得y 2－6y ＋8＝0，解得M (1，2)，N (4，4)，又F (1，0)，所以＝(0，2)，＝(3，4)，从而可以求FM → FN→ 得·＝0×3＋2×4＝8，故选D ．FM→ FN → 10．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10答案 A解析 因为F 为y 2＝4x 的焦点，所以F (1，0)．由题意直线l 1，l 2的斜率均存在，且不为0，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－，故直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k (x －1)，1k y ＝－(x －1)．1k 由Error!得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝，x 1x 2＝1，2k 2＋4k 2所以|AB |＝·|x 1－x 2|1＋k 2＝·1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝·＝．1＋k 22k 2＋4k 22－44(1＋k 2)k 2同理可得|DE |＝4(1＋k 2)．所以|AB |＋|DE |＝＋4(1＋k 2)4(1＋k 2)k 2＝4＋1＋1＋k 2＝8＋4k 2＋≥8＋4×2＝16，1k 21k 2当且仅当k 2＝，即k ＝±1时，取得等号．故选A ．1k 211．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________．答案 2解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则Error!所以y －y ＝4x 1－4x 2，212所以k ＝＝．y 1－y 2x 1－x 24y 1＋y 2取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1 的垂线，垂足分别为A ′，B ′．因为∠AMB ＝90°，所以|MM ′|＝|AB |＝(|AF |＋|BF |)＝(|AA ′|＋|BB ′|)．121212因为M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴．因为M (－1，1)，所以y 0＝1，则y 1＋y 2＝2，所以k ＝2．12．(2018·北京高考)已知直线l 过点(1，0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．答案 (1，0)解析 由题意得a >0，设直线l 与抛物线的两交点分别为A ，B ，不妨令A 在B 的上方，则A (1，2)，B (1，－2)，故|AB |＝4＝4，得a ＝1，故抛物线方a a a 程为y 2＝4x ，其焦点坐标为(1，0)．13．(2017·天津高考)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若∠FAC ＝120°，则圆的方程为________．答案 (x ＋1)2＋(y －)2＝13解析 由y 2＝4x 可得点F 的坐标为(1，0)，准线l 的方程为x ＝－1．由圆心C 在l 上，且圆C 与y 轴正半轴相切(如图)，可得点C 的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO ＝90°．又因为∠FAC ＝120°，所以∠OAF ＝30°，所以|OA |＝，所以点C 的纵坐标为．33所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －)2＝1．3三、模拟小题14．(2018·沈阳监测)抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( )A ．(0，a )B ．(a ，0)C ．D ．(0，116a )(116a，0)答案 C解析 将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝y (a ≠0)，所以焦点坐标为14a ，故选C ．(0，116a )15．(2018·太原三模)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于M ，N 两点，若＝3，则|MN |＝( )PF → MF→ A ． B ．8 C ．16 D ．163833答案 A解析 由题意F (1，0)，设直线PF 的方程为y ＝k (x －1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．因为准线方程为x ＝－1，所以得P (－1，－2k )．所以＝(2，2k )，PF→ ＝(1－x 1，－y 1)，因为＝3，所以2＝3(1－x 1)，解得x 1＝．把MF → PF → MF→ 13y ＝k (x －1)代入y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，所以x 1x 2＝1，所以x 2＝3，从而得|MN |＝|MF |＋|NF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝x 1＋x 2＋2＝．故选A ．16316．(2018·豫南九校联考)已知点P 是抛物线x 2＝4y 上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是(8，7)，则|PA |＋|PQ |的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 C解析 延长PQ 与准线交于M 点，抛物线的焦点为F (0，1)，准线方程为y ＝－1，根据抛物线的定义知，|PF |＝|PM |＝|PQ |＋1．∴|PA |＋|PQ |＝|PA |＋|PM |－1＝|PA |＋|PF |－1≥|AF |－1＝－1＝10－1＝9．82＋(7－1)2当且仅当A ，P ，F 三点共线时，等号成立，则|PA |＋|PQ |的最小值为9．故选C ．17．(2018·青岛质检)已知点A 是抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的对称轴与准线的交点，过点A 作抛物线C 的两条切线，切点分别为P ，Q ，若△APQ 的面积为4，则实数p 的值为( )A ．B ．1C ．D ．21232答案 D解析 解法一：设过点A 且与抛物线C 相切的直线为y ＝kx －．由Error!得p2x 2－2pkx ＋p 2＝0．由Δ＝4p 2k 2－4p 2＝0，得k ＝±1，所以得点P －p ，，p2Qp ，，所以△APQ 的面积为S ＝×2p ×p ＝4，解得p ＝2．故选D ．p212解法二：如图，设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．由题意得点A 0，－．y ＝x 2，求导得y ′＝x ，所以切线PA 的p212p 1p 方程为y －y 1＝x 1(x －x 1)，即y ＝x 1x －x ，切线PB 的方程为y －y 2＝x 2(x －x 2)，1p 1p 12p 211p 即y ＝x 2x －x ，代入A 0，－，得点P －p ，，Qp ，，所以△APQ 的面积为1p 12p 2p 2p2p2S ＝×2p ×p ＝4，解得p ＝2．故选D ．1218．(2018·沈阳质检一)已知抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 恰好以P (1，1)为中点，则弦AB 所在直线的方程是________．答案 2x －y －1＝0解析 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由A ，B 都在抛物线上，可得Error!作差得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．因为AB 中点为P (1，1)，所以y 1＋y 2＝2，则有2·＝4，所以k AB ＝＝2，从而直线AB 的方程为y －1＝2(x －1)，即y 1－y 2x 1－x 2y 1－y 2x 1－x 22x －y －1＝0．一、高考大题1．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2，0)，B (－2，0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明：∠ABM ＝∠ABN ．解 (1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，可得M 的坐标为(2，2)或(2，－2)．所以直线BM 的方程为y ＝x ＋1或y ＝－x －1．1212(2)证明：当l 与x 轴垂直时，AB 为线段MN 的垂直平分线，所以∠ABM ＝∠ABN ．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0．由Error!得ky 2－2y －4k ＝0，可知y 1＋y 2＝，y 1y 2＝－4．2k 直线BM ，BN 的斜率之和为k BM ＋k BN ＝＋＝．①y 1x 1＋2y 2x 2＋2x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)(x 1＋2)(x 2＋2)将x 1＝＋2，x 2＝＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得y 1k y 2k x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝2y 1y 2＋4k (y 1＋y 2)k＝＝0．所以k BM ＋k BN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以－8＋8k∠ABM ＝∠ABN ．综上，∠ABM ＝∠ABN ．2．(2018·浙江高考)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C上．(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋＝1(x <0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围．y 24解 (1)证明：设P (x 0，y 0)，A y ，y 1，B y ，y 2．1421142因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程2＝4·即y 2－2y 0y ＋8x 0－y ＝0的两个不同的y ＋y 0214y 2＋x 0220实根．所以y 1＋y 2＝2y 0，因此，PM 垂直于y 轴．(2)由(1)可知Error!所以|PM |＝(y ＋y )－x 0＝y －3x 0，182123420|y 1－y 2|＝2．2(y 20－4x 0)因此，△PAB 的面积S △PAB ＝|PM |·|y 1－y 2|12＝(y －4x 0)．3242032因为x ＋＝1(x 0<0)，20y 204所以y －4x 0＝－4x －4x 0＋4∈[4，5]．2020因此，△PAB 面积的取值范围是6，．2151043．(2018·北京高考)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1，2)．过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，＝λ，＝μ，求证：＋为定值．QM → QO → QN → QO→ 1λ1μ解 (1)因为抛物线y 2＝2px 过点(1，2)，所以2p ＝4，即p ＝2．故抛物线C 的方程为y 2＝4x ，由题意知，直线l 的斜率存在且不为0．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)．由Error!得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0．依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0，解得k <0或0<k <1．又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2)．从而k ≠－3．所以直线l 斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1)．(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(1)知x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝．2k －4k 21k 2直线PA 的方程为y －2＝(x －1)．y 1－2x 1－1令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝＋2＝＋2．－y 1＋2x 1－1－kx 1＋1x 1－1同理得点N 的纵坐标为y N ＝＋2．－kx 2＋1x 2－1由＝λ，＝μ得λ＝1－y M ，μ＝1－y N ．QM → QO → QN → QO → 所以＋＝＋＝＋＝·＝1λ1μ11－yM 11－yN x 1－1(k －1)x 1x 2－1(k －1)x 21k －12x 1x 2－(x 1＋x 2)x 1x 2·＝2．1k －12k 2＋2k －4k 21k 2所以＋为定值．1λ1μ二、模拟大题4．(2018·湖北八市联考)如图，已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)，其焦点到准线的距离为2，圆S ：x 2＋y 2－py ＝0，直线l ：y ＝kx ＋与圆和抛物线自左至右顺次交p 2于A ，B ，C ，D 四点．(1)若线段AB ，BC ，CD 的长按此顺序构成一个等差数列，求正数k 的值；(2)若直线l 1过抛物线焦点且垂直于直线l ，l 1与抛物线交于点M ，N ，设MN ，AD 的中点分别为P ，Q ，求证：直线PQ 过定点．解 (1)由题意可得p ＝2，所以抛物线x 2＝4y ，圆S 的方程可化为x 2＋(y －1)2＝1，其圆心S (0，1)，圆的半径为1，设点A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．由Error!得x 2－4kx －4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2，所以|AB |＋|CD |＝|AS |＋|DS |－|BC |＝y 1＋1＋y 2＋1－2＝y 1＋y 2＝4k 2＋2＝2|BC |＝4，所以k ＝(负值舍去)．22(2)证明：因为x 1＋x 2＝4k ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2，所以Q (2k ，2k 2＋1)．当k ≠0时，用－替换k 可得P －，＋1，1k 2k 2k 2所以k PQ ＝，k 2－1k 所以PQ 的直线方程为y －(2k 2＋1)＝(x －2k )，k 2－1k 化简得y ＝x ＋3，过定点(0，3)．k 2－1k 当k ＝0时，直线l 1与抛物线只有一个交点，不符合题意，舍去．5．(2018·珠海摸底)已知椭圆C 1，抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是(3，－2)，3(－2，0)，(4，－4)，，．222(1)求C 1，C 2的标准方程；(2)是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同的两点M ，N ，且满足⊥？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．OM → ON → 解 (1)设抛物线C 2：y 2＝2px (p ≠0)，则有＝2p (x ≠0)，y 2x 据此验证四个点知(3，－2)，(4，－4)在抛物线上，3易得，抛物线C 2的标准方程为y 2＝4x ．设椭圆C 1：＋＝1(a >b >0)，x 2a 2y 2b 2把点(－2，0)，，代入可得a 2＝4，b 2＝1，222所以椭圆C 1的标准方程为＋y 2＝1．x 24(2)由抛物线的标准方程可得C 2的焦点F (1，0)，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1．直线l 交椭圆C 1于点M 1，，N 1，－，3232·≠0，不满足题意．OM → ON → 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，并设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由Error!消去y ，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－1)＝0，于是x 1＋x 2＝，8k 21＋4k 2x 1x 2＝． ①4(k 2－1)1＋4k 2则y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝k 2－＋14(k 2－1)1＋4k 28k 21＋4k 2＝． ②－3k 21＋4k 2由⊥得x 1x 2＋y 1y 2＝0． ③OM → ON → 将①②代入③式，得＋＝＝0，4(k 2－1)1＋4k 2－3k 21＋4k 2k 2－41＋4k 2解得k ＝±2，所以存在直线l 满足条件，且l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0．6．(2018·石家庄质检二)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝的圆心C 在抛物线94x 2＝2py (p ＞0)上，圆C 过原点且与抛物线的准线相切．(1)求该抛物线的方程；(2)过抛物线焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，分别在A ，B 处作抛物线的两条切线交于点P ，求△PAB 面积的最小值及此时直线l 的方程．解 (1)由已知可得圆心C (a ，b )，半径r ＝，焦点F 0，，准线y ＝－，因为圆C 与抛物线F 的准线相切，所32p 2p 2以b ＝－．又因为圆C 过原点，且圆C 过焦点F ，所以圆心C 必在线段OF 的32p 2垂直平分线上，即b ＝，所以－＝，解得p ＝2，p 432p 2p 4所以抛物线的方程为x 2＝4y ．(2)易得焦点F (0，1)，直线l 的斜率必存在，设为k ，即直线l 的方程为y ＝kx ＋1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由Error!得x 2－4kx －4＝0，Δ>0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，对y ＝求导得y ′＝，即k AP ＝．x 24x 2x 12直线AP 的方程为y －y 1＝(x －x 1)，x 12即y ＝x －x ，x 121421同理得直线BP 的方程为y ＝x －x ．x 22142设点P (x 0，y 0)，联立直线AP 与BP 的方程，解得Error!即P (2k ，－1)，所以|AB |＝|x 1－x 2|＝4(1＋k 2)，点P 到直线1＋k 2AB 的距离d ＝＝2，所以△PAB 的面积|2k 2＋2|1＋k 21＋k 2S ＝·4(1＋k 2)·2＝4(1＋k 2)≥4，121＋k 232当且仅当k＝0时取等号．综上，△PAB面积的最小值为4，此时直线l的方程为y＝1．。
2020年高考数学复习题：抛物线的方程及性质
抛物线的方程及性质[基础训练]1．过抛物线y 2＝4x 焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝10，则AB 的中点到y 轴的距离等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D 解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，准线为l ：x ＝－1.设AB 的中点为E ，过A ，E ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为C ，G ，D .EG 交y 轴于点H (如图所示)．则由EG 为直角梯形ACDB 的中位线知， |EG |＝|AC |＋|BD |2＝|AF |＋|FB |2＝|AB |2＝5， |EH |＝|EG |－1＝4.则AB 的中点到y 轴的距离等于4.2．已知抛物线C: y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝32x 0，则x 0＝( )A.14B.12 C ．1D ．2答案：B 解析：由题意知，抛物线的准线为x ＝－14，因为|AF |＝32x 0，根据抛物线的定义可得 x 0＋14＝|AF |＝32x 0，解得x 0＝12.3．[2019吉林长春一模]过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |＝( )A.13 B.23 C.34D.43答案：A 解析：记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ， 则有cos ∠ABB 1＝|BC ||AB |＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |， 即cos 60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，解得|AF ||BF |＝13.4．[2019洛阳模拟]已知点M 是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，F 为C 的焦点，MF 的中点坐标是(2,2)，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D 解析：F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，那么M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－p 2，4在抛物线上，即16＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－p 2，即p 2－8p ＋16＝0，解得p ＝4.5．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22B. 2C.322D ．2 2答案：C 解析：焦点F (1,0)，设A ，B 分别在第一、四象限，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得A 的横坐标为2，纵坐标为22，AB 的方程为y ＝22(x －1)，与抛物线方程联立可得2x 2－5x ＋2＝0，所以B 的横坐标为12，纵坐标为－2，S △AOB ＝12×1×(22＋2)＝322.6．[2019海南海口模拟]过点F (0,3)，且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心轨迹方程是( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．x 2＝－12yD ．x 2＝12y答案：D 解析：由已知条件知，动圆圆心到点F 和到直线y ＋3＝0的距离相等，所以动圆圆心轨迹是以点F (0,3)为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线，故其方程为x 2＝12y ，故选D.7．[2019豫南九校联考]已知点P 是抛物线x 2＝4y 上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是(8,7)，则|P A |＋|PQ |的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案：C 解析：如图，抛物线的焦点为F (0,1)，准线方程为y ＝－1，根据抛物线的定义知，|PF |＝|PM |＝|PQ |＋1.∴|P A |＋|PQ |＝|P A |＋|PM |－1＝|P A |＋|PF |－1≥|AF |－1＝82＋(7－1)2－1＝10－1＝9，当且仅当点P 在线段AF 上时，等号成立， 则|P A |＋|PQ |的最小值为9. 故选C.8．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D.74答案：C 解析：如图，过A ，B 及线段AB 的中点C 向抛物线的准线l 作垂线，垂足分别为A 1，B 1，C 1，CC 1交y 轴于C 0.由抛物线定义可知，|AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |， ∴|CC 0|＝|CC 1|－|C 1C 0| ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)－|C 1C 0| ＝32－14＝54， 故选C.9．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，交准线于点C ，若CB→＝3BF →，则直线l 斜率为________． 答案：±22 解析：作BB 1垂直于准线，B 1为垂足，由抛物线定义可知，|BB 1|＝|BF |， ∴|BC |＝3|BB 1|.在Rt △B 1BC 中，tan ∠B 1BC ＝2 2. ∴tan α＝22(α为倾斜角)． 由对称性可知，斜率还可等于－2 2. ∴斜率为±2 2.10．[2017全国卷Ⅱ]已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.答案：6 解析：如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴ PM ∥OF .由题意，知F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵ 点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴ |MP |＝12|FO |＝1. 又|BP |＝|AO |＝2， ∴ |MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义，知|MF |＝|MB |＝3， 故|FN |＝2|MF |＝6.11．[2017北京卷]已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点⎝⎛⎭⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．(1)解：由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，得p ＝12. 所以抛物线C 的方程为y 2＝x .抛物线C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0， 准线方程为x ＝－14.(2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k 2. 因为点P 的坐标为(1,1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)． 直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，y 2x 1x 2.因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx 2＋12x 1－2x 1x 2x 2＝(2k －2)x 1x 2＋12(x 2＋x 1)x 2 ＝(2k －2)×14k 2＋1－k 2k 2x 2＝0， 所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1，故A 为线段BM 的中点．[强化训练]1．[2019清华大学学术能力诊断]已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的射影分别为M ，N 两点，则S △MFN ＝( )A.83p 2B.233p 2C.433p 2D.833p 2答案：B 解析：不妨设P 在第一象限，过Q 作QR ⊥PM ，垂足为R ，设准线与x 轴的交点为E ，∵直线PQ 的斜率为3，∴直线PQ 的倾斜角为60°.由抛物线焦点弦的性质可得|PQ |＝|PF |＋|QF |＝p1－cos 60°＋p 1＋cos 60°＝2p sin 260°＝83p .在Rt △PRQ 中，sin ∠RPQ ＝|QR ||PQ |， ∴|QR |＝|PQ |·sin ∠RPQ ＝83p ×32＝433p ， 由题意可知，|MN |＝|QR |＝433p ， ∴S △MNF ＝12|MN |·|FE |＝12×433p ×p ＝233p 2. 故选B.2．[2019湖北四地七校3月联考]已知抛物线y 2＝2px (p >0)，点C (－4,0)．过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24.则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x答案：D 解析：因为AB ⊥x 轴，且AB 过点F ， 所以AB 是焦点弦，且|AB |＝2p ，所以S △CAB ＝12×2p ×⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋4＝24，解得p ＝4或－12(舍)， 所以抛物线方程为y 2＝8x ， 所以直线AB 的方程为x ＝2，所以以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为y 2＝－8x ， 故选D.3.[2019安徽芜湖模拟]已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于( )A ．－4B ．4C ．p 2D ．－p 2答案：A 解析：①焦点弦AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝p 2，则x 1x 2＝p 24； ②若焦点弦AB 不垂直于x 轴， 可设直线AB ：y ＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2， 联立y 2＝2px ，得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 24.∵y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，∴y 21y 22＝4p 2x 1x 2＝p 4. 又∵y 1y 2<0，∴y 1y 2＝－p 2. 故y 1y 2x 1x 2＝－4. 4．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，则|P A |＋|PM |的最小值是( )A.72 B ．4 C.92D ．5答案：C 解析：设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x ＝－12，则|PM |＝d －12.又|P A |＋d ＝|P A |＋|PF |≥|AF |＝5， 所以|P A |＋|PM |≥92.5．设F 为抛物线y 2＝6x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点．若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB→|＋|FC →|＝( ) A ．4 B ．6 C ．9D ．12答案：C 解析：由题意，得抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，准线方程为x ＝－32.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，∵F A →＋FB →＋FC →＝0，∴点F 是△ABC 的重心， ∴x 1＋x 2＋x 3＝92. 由抛物线的定义，可得|F A |＝x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝x 1＋32，|FB |＝x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝x 2＋32， |FC |＝x 3－⎝⎛⎭⎪⎫－32＝x 3＋32，∴|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋32＋x 2＋32＋x 3＋32 ＝9.6．[2019石家庄模拟]已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633y C ．x 2＝8yD ．x 2＝16y答案：D 解析：因为x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，所以c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，所以ba ＝ 3.x 2＝2py 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，x 2a2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±3x .由题意得p21＋(3)2＝2，所以p ＝8.故C 2的方程为x 2＝16y .7．[2019永州模拟]已知点M ，N 是抛物线y ＝4x 2上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足∠MFN ＝135°，弦MN 的中点P 到直线l ：y ＝－116的距离为d ，若|MN |2＝λ·d 2，则λ的最小值为( )A.22 B ．1－22 C ．1＋22D ．2＋ 2答案：D 解析：抛物线y ＝4x 2的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116， 准线为y ＝－116，设|MF |＝a ，|NF |＝b ，由∠MFN ＝135°， 可得|MN |2＝|MF |2＋|NF |2－2|MF |·|NF |·cos ∠MFN ＝a 2＋b 2＋2ab ， 由抛物线的定义，可得M 到准线的距离为|MF |，N 到准线的距离为|NF |， 由梯形的中位线定理，可得d ＝12(|MF |＋|NF |)＝12(a ＋b )，由|MN |2＝λ·d 2，可得14λ＝a 2＋b 2＋2ab (a ＋b )2＝1－(2－2)ab (a ＋b )2≥1－(2－2)ab (2ab )2＝1－2－24＝2＋24，可得λ≥2＋2，当且仅当a ＝b 时，取得最小值2＋ 2.8．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则b a ＝________.答案：1＋2 解析：|OD |＝a2，|DE |＝b ，|DC |＝a ，|EF |＝b ，故C ⎝⎛⎭⎪⎫a 2，－a ，F ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋b ，b ，又抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧(－a )2＝2p ×a 2，b 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝p ，b 2＝ap ＋2bp ， ∴b 2＝a 2＋2ab ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－2·ba －1＝0， 又b a >1，∴ba ＝1＋ 2.9．[2019河南安阳一模]已知抛物线C 1：y ＝ax 2(a >0)的焦点F 也是椭圆C 2：y 24＋x 2b 2＝1(b >0)的一个焦点，点M ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1分别为曲线C 1，C 2上的点，则|MP |＋|MF |的最小值为________．答案：2 解析：将P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1代入y 24＋x2b 2＝1，可得 14＋94b 2＝1，∴b ＝3，∴c ＝1，∴抛物线的焦点F 为(0,1)， ∴抛物线C 1的方程为x 2＝4y ， 准线为直线y ＝－1.设点M 在准线上的射影为D ， 根据抛物线的定义可知，|MF |＝|MD |，∴要求|MP |＋|MF |的最小值，即求|MP |＋|MD |的最小值，易知当D ，M ，P 三点共线时，|MP |＋|MD |最小，最小值为1－(－1)＝2.10．[2019湖北武汉一模]设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l .过焦点的直线分别交抛物线于A ，B 两点，分别过点A ，B 作l 的垂线，垂足分别为点C ，D .若|AF |＝2|BF |，且△CDF 的面积为2，则p 的值为________．答案：233 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 因为直线AB 过焦点F ，所以y 1y 2＝－p 2. 不妨设点A 在第一象限，因为|AF |＝2|BF |，所以|y 1|＝2|y 2|，所以－2y 22＝－p 2.解得y 2＝－22p ，所以y 1＝－2y 2＝2p . 所以S △CDF ＝12|y 1－y 2|×p ＝12×322p 2＝2， 解得p ＝233.11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上一点，横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2， 于是4＋p2＝5，∴p ＝2， ∴抛物线的方程为y 2＝4x . (2)由(1)知，点A 的坐标是(4,4)． 由题意，得B (0,4)，M (0,2)， 又∵F (1,0)，∴k F A ＝43. ∵MN ⊥F A ，∴k MN ＝－34， ∴直线F A 的方程为y ＝43(x －1)，① 直线MN 的方程为y ＝－34x ＋2，② 由①②联立，得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.。
抛物线知识点及基础训练题
抛物线1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数p 几何意义 参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔. 开口方向右左上下标 准方 程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->焦 点位 置 X 正X 负Y 正Y 负焦 点坐 标 (,0)2p(,0)2p- (0,)2p (0,)2p -准 线方 程2p x =-2p x =2p y =-2p y =范 围0,x y R ≥∈ 0,x y R ≤∈ 0,y x R ≥∈ 0,y x R ≤∈对 称轴X 轴 X 轴 Y 轴 Y 轴顶 点坐 标（0,0）离心率1e = 通 径2p焦半径11(,)A x y 12p AF x =+12p AF x =-+12p AF y =+12p AF y =-+焦点弦长AB 12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++焦点弦长AB 的补充11(,)A x y 22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，22sin p ABα= 若AB 的倾斜角为α，则22cos p AB α= 2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===∙∙ 3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：(1)范围 因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． (2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：1=e ，焦点(,0)2p F ，准线2px -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||．弦长|AB |=x 1+x 2+p ,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。
初三抛物线基础练习
二次函数一、基础练习1．把抛物线y=2x2向上平移1个单位，得到抛物线_______，把抛物线y=-2x2•向下平移3 个单位，得到抛物线________．2．抛物线y=3x2-1的对称轴是_____，顶点坐标为________，它是由抛物线y=3x2•向_______平移______个单位得到的．3．把抛物线x2向左平移1个单位，得到抛物线_________，把抛物线x2•向右平移3个单位，得到抛物线________．4．抛物线x-1）2的开口向________，对称轴为______，顶点坐标为_________，•它是由抛物线2向______平移______个单位得到的．5．把抛物线y=-13（x+12）2向_____平移______个单位，就得到抛物线y=-13x2．6．把抛物线y=4（x-2）2向______平移_______个单位，就得到函数y=4（x+2）2的图象．7．函数y=-（x-13）2的最大值为________，函数y=-x2-13的最大值为________．8．若抛物线y=a（x+m）2的对称轴为x=-3，且它与抛物线y=-2x2的形状相同，•开口方向相同，则点（a，m）关于原点的对称点为________．9．已知抛物线y=a（x-3）2过点（2，-5），则该函数y=a（x-3）2当x=________•时，•有最____值______．10．若二次函数y=ax2+b，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则x取x1+x2时，函数的值为________．11．一台机器原价50万元．如果每年的折旧率是x，两年后这台机器的价格为y•万元，则y与x的函数关系式为（）A．y=50（1-x）2 B．y=50（1-x）2 C．y=50-x2 D．y=50（1+x）212．下列命题中，错误的是（）A．抛物线y=-32x2-1不与x轴相交;B．抛物线y=32x2-1与y=32（x-1）2形状相同，位置不同;C．抛物线y=12（x-12）2的顶点坐标为（12，0）;D．抛物线y=12（x+12）2的对称轴是直线x=1213．顶点为（-5，0）且开口方向、形状与函数y=-13x2的图象相同的抛物线是（）A．y=-13（x-5）2 B．y=-13x2-5 C．y=-13（x+5）2 D．y=13（x+5）214．已知a<-1，点（a-1，y1）、（a，y2）、（a+1，y3）都在函数y=12x2-2的图象上，则（）A．y1<y2<y3 B．y1<y3<y2 C．y3<y2<y1 D．y2<y1<y315．函数y=（x-1）2+k与y=kx（k是不为0的常数）在同一坐标系中的图象大致为（）二、整合练习1．已知反比例函数y=kx的图象经过点A（4，12），若二次函数y=12x2-x•的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B（2，m），C（n，2），求平移后的二次函数图象的顶点坐标．2．如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合）．BE•的垂直平分线交AB于M，交DC于N．（1）设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式；（2）当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？3．将二次函数y=-2x2+8x-5的图象开口反向，并向上、下平移得一新抛物线，新抛物线与直线y=kx+1有一个交点为（3，4）．求：（1）这条新抛物线的函数解析式；（2）这条新抛物线和直线y=kx+1的另一个交点．。
2022年高考数学一轮复习专题专题41抛物线基础巩固检测题解析版.docx
专题41抛物线基础巩固检测题(解析版)一、单选题1.过抛物线十=4》的焦点F 的直线交抛物线于AB 两点，若F 是线段AB 的中点,则 |AB |=()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【分析】依据题意可知线段AB 为抛物线的通径可得结果. 【详解】由题可知：线段为抛物线的通径 所以|AB| = 4 故选：D2. F 为抛物线y2=2px(p>0)上一点，点尸到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6,则P=()【答案】D 【分析】由抛物线：/=2px(p>0)可得准线/的方程为：x = --|,设点P(x,y),再由点尸到 抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6,可得x + ^ = 10, y = ±6,再与抛物线方 2 程y2=2px(p 〉0),联立解方程组，即可求解.【详解】 解：由题意可得：抛物线V=2px(p>0)的准线/的方程为：x =-宣设点P(x, y),又因点P 到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6, 即。
的值分别为18或2.故选：D. 【点睛】B. 4C. 4 或9D. 2或18所以有， 》+农102y = ±6 ,解得＜y 2 =2 pxx = l 、或＜ [p = 18|x = 9[P = 2‘A. 2本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查理解辨析能力及运算求解能力，属于基础题.3.已知抛物线方程为必=4>,则该抛物线的焦点坐标为( )A. (0,-1)B. ^-―C.D. (0,1)【答案】D【分析】根据抛物线方程求出。
=2，即可得抛物线的焦点坐标.【详解】由抛物线方程x2=4y可知2p = 4,所以p = 2,又抛物线的焦点在V轴正半轴上，所以该抛物线的焦点坐标为(0,1).故选：D4.已知抛物线C:x2=2py(p〉0)的焦点在直线x+y-1 = 0上，又经过抛物线C的焦点且倾斜角为60。
的直线交抛物线C于A、8两点，则|仙|=( )A. 12B. 14C. 16D. 18【答案】C【分析】直线x+y-l =。
双曲线,抛物线容易题
双曲线，抛物线基础题例题1．求双曲线的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近线方程。
例题2．（1）求直线被双曲线截得的弦长；（2）求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程。
例题3．（12）设焦点在轴上的双曲线渐近线方程为,且离心率为2，已知点A（）（1）求双曲线的标准方程；（2）过点A的直线L交双曲线于M,N两点，点A为线段MN的中点，求直线L方程。
巩固练习4．已知双曲线：的右焦点为，在的两条渐近线上的射影分别为、，是坐标原点，且四边形是边长为的正方形．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）过的直线交于、两点，线段的中点为，问是否能成立？若成立，求直线的方程；若不成立，请说明理由．巩固练习5．双曲线的一条渐近线方程是，坐标原点到直线的距离为，其中（1）求双曲线的方程；（2）若是双曲线虚轴在轴正半轴上的端点，过点作直线交双曲线于点，求时，直线的方程.例题6．已知双曲线的离心率且点在双曲线C上.(1)求双曲线C的方程；(2)记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为求直线l的方程.巩固练习7．已知双曲线的右顶点为A,右焦点为F，右准线与轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，点O为坐标原点，，，过点F的直线与双曲线右支交于点．（Ⅰ）求此双曲线的方程；（Ⅱ）求面积的最小值．例题8．(满分12分)已知点，直线：交轴于点，点是上的动点，过点垂直于的直线与线段的垂直平分线交于点．（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）若 A、B为轨迹上的两个动点，且证明直线AB必过一定点，并求出该定点．巩固练习9．已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F和椭圆的右焦点重合，直线过点F交抛物线于A、B两点．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线交y轴于点M，且，m、n是实数，对于直线，m+n是否为定值？若是，求出m+n的值，否则，说明理由．例题10．已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，点为坐标原点.（Ⅰ）证明：为钝角.（Ⅱ）若的面积为，求直线的方程;巩固练习11．（本小题满分13分）如图所示，直线l与抛物线y2=x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴交于点M，且y1y2＝－1，（Ⅰ）求证：点的坐标为；（Ⅱ）求证：OA⊥OB；（Ⅲ）求△AOB面积的最小值。
(完整版)抛物线基础练习题
完整版)抛物线基础练习题抛物线基础练习题1.抛物线方程及性质1.1 抛物线的标准方程为 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a$、$b$、$c$ 是实数常数。
a 的值决定了抛物线的开口方向。
当 $a。
0$ 时，抛物线开口向上。
当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。
1.2 抛物线的对称轴是垂直于 x-轴的直线，可以通过以下公式求得：x = -\frac{b}{2a}$$2.抛物线图像绘制2.1 绘制抛物线图像的步骤：确定抛物线的方程。
找出对称轴的 x 坐标。
绘制对称轴，并确定对称轴上的一点。
根据对称轴上的点，绘制抛物线的图像。
2.2 使用上述步骤绘制以下抛物线的图像：2.2.1 $y = x^2$，开口向上的抛物线。
首先，我们可以得知对称轴的 x 坐标为 $x = 0$。
确定对称轴上的一点 P(0,0)，然后根据 P 点的坐标起始绘制抛物线图像。
绘制结果如下图所示：抛物线图像](image.png)3.练习题请计算并回答下列问题：1.当抛物线方程为 $y = -2x^2 + 3x + 1$ 时，求其对称轴的 x 坐标。
2.给定抛物线方程 $y = 4x^2 + 2x + 1$，求其开口方向。
4.答案解析解答上述练习题：1.根据公式 $x = -\frac{b}{2a}$，代入 $a=-2$ 和 $b=3$，我们可以计算得到对称轴的 x 坐标为 $x = -\frac{3}{2}$。
2.根据抛物线方程 $y = 4x^2 + 2x + 1$，我们可以得知 $a = 4.0$，所以抛物线的开口方向是向上。
希望以上内容能够帮助你理解抛物线的基本概念和绘制方法。
如果还有其他问题，请随时提问。
抛物线基础题(含答案)
抛物线1．在平面内，“点P 到某定点的距离等于到某定直线的距离”是“点P 的轨迹为抛物线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B2．若动点P 到定点F (－4,0)的距离与到直线x ＝4的距离相等，则P 点的轨迹是( )A ．抛物线B ．线段C ．直线D ．射线答案 A3. 已知动点P 到定点(0,2)的距离和它到直线l ：y ＝－2的距离相等，则点P 的轨迹方程为________。
答案 x 2＝8y 4. 已知动点M 的坐标满足方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆答案 C5. 对抛物线y ＝4x 2，下列描述正确的是( )A ．开口向上，焦点为(0,1)B ．开口向上，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116C ．开口向右，焦点为(1,0)D ．开口向右，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116答案 B6．抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线方程是y ＝2，则a 的值为( )A.18B ．－18 C ．8 D ．－8解析 因为y ＝ax 2(a ≠0)，化为标准方程为x 2＝1a y ，其准线方程为y ＝2，所以2＝1－4a，所以a ＝－18。
故选B 。
答案 B7. 抛物线y ＝－116x 2的焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－164，0 B ．(－4,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－164 D ．(0，－4) 解析 抛物线方程化为x 2＝－16y 。
其焦点坐标为(0，－4)。
答案 D8. 抛物线方程为7x ＋4y 2＝0，则焦点坐标为________。
解析 抛物线方程化为y 2＝－74x ，所以抛物线开口向左，2p ＝74，p 2＝716，故焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－716，0。
答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－716，09．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，又过点(－2,3)的抛物线方程是( )A ．y 2＝94xB ．x 2＝43yC ．y 2＝－94x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝43y 答案 D10．已知抛物线y ＝mx 2(m >0)的焦点与椭圆4y 29＋x22＝1的一个焦点重合，则m ＝________。
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抛物线基础练习抛物线基础练习一. 选择题1．抛物线212y x =的准线方程是3x =3x =-3y =3y =-若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a=1-2-抛物线22y x =-和22y x =-的焦点坐标分别是A.1,08⎛⎫- ⎪⎝⎭和10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B .10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C.1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭和10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭D.10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,08⎛⎫- ⎪⎝⎭4．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为A ．2-B ．2C ．4-D ．45．若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为 A ．2B ．3C ．4D．6．设椭圆22221(00)x y m n m n+=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为A ．2211216x y +=B ．2211612x y +=C ．2214864x y +=D ．2216448x y += 7．若点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为A．2B ．3CD ．928．已知直线1:4360l x y -+=和2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到1l 和2l 的距离之和的最小值是A ．115B ．3C ．2D ．37169．已知点P 在24yx =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为A ．114⎛⎫-⎪⎝⎭， B ．114⎛⎫⎪⎝⎭，C ．(12)，D ．(12)-， 10．已知22ypx =的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+，则Ａ.123FP FP FP += Ｂ.222123FP FP FP +=Ｃ.2132FP FP FP =+Ｄ.2213FP FP FP =⋅11．连结抛物线24x y =的焦点F 与点(1,0)M 所得线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为 A．1-B．32C．1D．32+12．已知直线(2)(0)y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则k =A ．13B．3C ．23D．313．过点(1,0)-作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线方程是A ．220x y ++=B ．330x y -+= C ．10x y ++=D ．10x y -+=14．设P 为曲线2:23C y x x =++上一点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的范围是[0,]4π，则点P 横坐标的取值范围是A ．1[1,]2--B ．[1,0]-C ．[0,1]D ．1[,1]215．抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值为 A ．43B ．75C ．85D ．316．设抛物线24xy =的焦点为F ，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则FA +FB +FC =A ．9B ．6C ．4D ．317．设O 是坐标原点,F 是22(0)y px p =>的焦点,A 是抛物线上的点,FA 与x 轴正向的夹角为60,则OA =A ．214pB．2C．6pD ．1336p 18．已知抛物线的准线方程为20x y +-=，焦点是(5,5)F ，则抛物线的顶点坐标是.(3,5)A B ．(5,3)C ．(2,2)D ．(3,3)二. 填空题19．若抛物线顶点是坐标原点,焦点坐标是()2,0F -,则抛物线方程是 20．若抛物线顶点是坐标原点,准线方程是()0y m m =≠,则抛物线方程是 21．若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹方程为22．已知动圆过定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.则动圆圆心C 的轨迹的方程是 23．与圆0422=-+x y x外切且与y 轴相切的动圆的圆心的轨迹方程是24．抛物线2y ax =的准线方程是2y =,则a =25．在抛物线22y px =上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p = 26．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 27．已知F 是抛物线24C yx =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB的中点为(22)M ，，则ABF =△S ．28．已知圆C 的圆心与抛物线24y x =的焦点关于直线y x =对称，直线4320x y --=与圆C 相交于A B ，两点，若6AB =，则圆C 的方程为三. 解答题31．已知直线b x y +=与以椭圆22134x y +=的上焦点为焦点,顶点在坐标原点O 的抛物线交于A 、B 两点,若△OAB 是以角O 为直角的三角形，求b 的值抛物线基础练习答案一．选择题1．抛物线212y x =的准线方程是3x =3x =-3y =3y =-若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a=1-2-抛物线22y x =-和22y x =-的焦点坐标分别是A.1,08⎛⎫- ⎪⎝⎭和10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B .10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C.1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭和10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭D.10,2⎛⎫-⎪⎝⎭和1,08⎛⎫- ⎪⎝⎭ 4．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为A ．2-B ．2C ．4-D ．45．若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为 A ．2B ．3C ．4D．6．设椭圆22221(00)x y m n m n+=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为 A ．2211216x y +=B ．2211612x y +=C ．2214864x y +=D ．2216448x y += 7．若点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为AB ．3CD ．928．已知直线1:4360l x y -+=和2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到1l 和2l 的距离之和的最小值是A ．115B ．3C ．2D ．37169．已知点P 在24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为A ．114⎛⎫-⎪⎝⎭， B ．114⎛⎫⎪⎝⎭，C ．(12)，D ．(12)-，10．已知22ypx =的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+，则Ａ.123FP FP FP += Ｂ.222123FP FP FP +=Ｃ.2132FP FP FP =+Ｄ.2213FP FP FP =⋅11．连结抛物线24xy =的焦点F 与点(1,0)M 所得线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为 A．1-B．32C．1D．32+12．已知直线(2)(0)y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则k =A ．13B．3C ．23D13．过点(1,0)-作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线方程是A ．220x y ++=B ．330x y -+=C ．10x y ++=D ．10x y -+=14．设P 为曲线2:23C y x x =++上一点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的范围是[0,]4π，则点P 横坐标的取值范围是A ．1[1,]2--B ．[1,0]-C ．[0,1]D ．1[,1]215．抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值为A ．43B ．75C ．85D ．316．设抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则FA +FB +FC =A ．9B ．6C ．4D ．317．设O 是坐标原点,F 是22(0)y px p =>的焦点,A 是抛物线上的点,FA 与x 轴正向的夹角为60,则OA =A ．214pBCpD ．1336p 18．已知抛物线的准线方程为20x y +-=，焦点是(5,5)F ，则抛物线的顶点坐标是.(3,5)A B ．(5,3)C ．(2,2)D ．(3,3)二． 填空题19．若抛物线顶点是坐标原点,焦点坐标是()2,0F -,则抛物线方程是28y x =- 20．若抛物线顶点是坐标原点,准线方程是()0y m m =≠,则抛物线方程是24x my =-21．若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹方程为28y x =22．已知动圆过定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.则动圆圆心C 的轨迹的方程是22y px =23．与圆0422=-+x y x外切且与y 轴相切的动圆的圆心的轨迹方程是()082>=x x y 和()00<=x y24．抛物线2y ax =的准线方程是2y =,则a =18-25．在抛物线22y px =上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p =2 26．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为227．已知F 是抛物线24C yx =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB 的中点为(22)M ，，则ABF =△S 2．28．已知圆C 的圆心与抛物线24y x =的焦点关于直线y x =对称，直线4320x y --=与圆C 相交于A B ，两点，且6AB =，则圆C 的方程为22(1)10xy +-=三． 解答题31．已知直线b x y +=与以椭圆22134x y +=的上焦点为焦点,顶点在坐标原点O 的抛物线交于A 、B 两点,若△OAB 是以角O 为直角的三角形，求b 的值解:由已知得:抛物线焦点()0,1F ,所以,抛物线方程是24x y = 由24y x bx y=+⎧⎨=⎩,得2440x x b --= 设()()1122,,,A x y B x y则()()()()()2121244140142,43b x x x x b ⎧∆=--⨯⨯->⎪+=⎨⎪⋅=-⎩ 由(1)得1b >- 由已知得0,OA OB ⋅=4b ∴=或0b =(舍)。