高考数学一轮复习第五章数列第讲等比数列及其前n项和习题(新)-课件

2017高考数学一轮复习 第五章 数列 第3讲 等比数列及其前n 项和习题A 组 基础巩固一、选择题1．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝导学号 25401281( )A.12 B.22C. 2 D ．2[答案] B[解析] 因为a 3·a 9＝2a 25，则由等比数列的性质有：a 3·a 9＝a 26＝2a 25，所以a 26a 5＝2，即(a 6a 5)2＝q 2＝2.因为公比为正数，故q ＝ 2.又因为a 2＝1，所以a 1＝a 2q＝12＝22. 2．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝导学号 25401282( ) A ．7 B.5 C ．－5 D ．－7[答案] D[解析] 设数列{a n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5·a 6＝a 4·a 7＝－8，得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，q 3＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q 3＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，a 10＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 10＝－8，所以a 1＋a 10＝－7.3．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 3＝32，S 3＝92，则公比q ＝导学号 25401283( )A.12 B.－12C ．1或－12D ．1或12[答案] C[解析] 当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝92，符合题意；当q ≠1时，由题可得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1q 2＝32，S 3＝a 11－q 31－q ＝92，解得q ＝－12.故q ＝1或q ＝－12.4．(2015·浙江湖州一模)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若8a 2－a 5＝0，则S 4S 2＝导学号 25401284( )A ．－8 B.5 C ．8 D ．15[答案] B[解析] ∵在等比数列{a n }中，8a 2－a 5＝0，∴公比q ＝2.∴S 4S 2＝a 1 1－241－2a 1 1－221－2＝5，故选B.5．(2015·上海黄浦模拟)已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n 是数列{a n }的前n 项和，且28S 3＝S 6，则数列{1a n}的前4项和为导学号 25401285( )A.158或4 B.4027或4 C.4027 D ．158[答案] C[解析] 设数列{a n }的公比为q .当q ＝1时，由a 1＝1，得28S 3＝28×3＝84.S 6＝6，两者不相等，因此不合题意． 当q ≠1时，由28S 3＝S 6及首项为1，得28 1－q 31－q ＝1－q61－q ，解得q ＝3.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.所以数列{1a n }的前4项和为1＋13＋19＋127＝4027.6．(2015·广东珠海期末)已知公差不为零的等差数列{a n }与公比为q 的等比数列{b n }有相同的首项，同时满足a 1，a 4，b 3成等比，b 1，a 3，b 3成等差，则q 2＝导学号 25401286( )A.14 B.16 C.19 D ．18[答案] C[解析] 设数列的首项为a ，等差数列{a n }的公差为d ，⎩⎪⎨⎪⎧2a 3＝b 1＋b 3，a 24＝a 1·b 3，将a ，d ，q 代入得⎩⎪⎨⎪⎧2 a ＋2d ＝a ＋aq 2，①a ＋3d 2＝a ·aq 2，②化简得(a ＋3d )2＝a (a ＋4d )，解得a ＝－92d (d ≠0)，代入①式得q 2＝19.二、填空题7．(2015·新课标全国Ⅰ)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n＝126，则n ＝________.导学号 25401287[答案] 6[解析] 因为在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，因为S n ＝126，所以2－2n ＋11－2＝126，解得2n ＋1＝128，所以n ＝6.8．等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 为________.导学号 25401288[答案] 3[解析] 由a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1得a 4－a 3＝2(S 3－S 2)＝2a 3，∴a 4＝3a 3，∴q ＝a 4a 3＝3.9．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N *，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.导学号 25401289[答案] 11[解析] 利用“特殊值”法，确定公比．由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ，则a 1(q 2＋q －2)＝0. 由q 2＋q －2＝0解得q ＝－2或q ＝1(舍去)，则S 5＝a 1 1－q 5 1－q ＝1－ －2 53＝11.10．(2015·河南十所名校第二次联考)设数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列，记数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n .若a 5＝b 5，a 6＝b 6，且S 7－S 5＝4(T 6－T 4)，则a 7＋a 5b 7＋b 5＝________.导学号 25401290[答案] －513[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由a 5＝b 5，a 6＝b 6，且S 7－S 5＝4(T 6－T 4)，得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝b 5，a 5＋d ＝b 5q ，2a 5＋3d ＝4 b 5＋b 5q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－5，d ＝－6a 5.故a 7＋a 5b 7＋b 5＝2a 5＋2db 5q ＋b 5＝2a 5＋2 －6a 5 25a 5＋a 5＝－10a 526a 5＝－513.三、解答题11．(2015·安徽)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8.导学号 25401291(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . [答案] (1)a n ＝2n －1(2)T n ＝12n ＋1－1[解析] (1)由题设知a 1a 4＝a 2a 3＝8，又a 1＋a 4＝9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8a 4＝1(舍去)．设等比数列{a n }的公比为q ，由a 4＝a 1q 3得q ＝2， 故a n ＝a 1qn －1＝2n －1.(2)S n ＝a 1 1－q n 1－q ＝2n －1，又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝(1S 1－1S 2)＋(1S 2－1S 3)＋…＋(1S n －1S n ＋1)＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1. 12．(2015·安徽滁州高级中学联谊会第一学期期末联考)设S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋2)S n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.导学号 25401292(1)证明：数列{S nn＋1}为等比数列； (2)求T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n . [答案] (1)略 (2)T n ＝(n －1)·2n ＋1＋2－n n ＋12[解析] (1)证明 a n ＋1＝S n ＋1－S n ，n (S n ＋1－S n )＝(n ＋2)S n ＋n (n ＋1)， 即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n ＋n (n ＋1)，则S n ＋1n ＋1＝2×S nn＋1， ∴S n ＋1n ＋1＋1＝2(S n n ＋1)，故数列{S nn＋1}为等比数列．(2)解 由(1)知S n n ＋1＝(S 11＋1)·2n －1＝2n ，S n ＝n ·2n－n ，T n ＝(1×2＋2×22＋…＋n ·2n )－(1＋2＋…＋n )，设M ＝1×2＋2×22＋…＋n ·2n， 则2M ＝1×22＋2×23＋…＋n ·2n ＋1，∴－M ＝2＋22＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1，∴M ＝(n －1)·2n ＋1＋2， ∴T n ＝(n －1)·2n ＋1＋2－n n ＋12.B 组 能力提升1．已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为导学号 25401293( )A.32B.53 C.256 D ．不存在[答案] A[解析] 由题意，可知a 5q 2＝a 5q ＋2a 5，化简得q 2－q －2＝0，解得q ＝－1(舍去)或q ＝2，又由已知条件a m a n ＝4a 1，得a 1qm －1·a 1qn －1＝16a 21，所以qm ＋n －2＝16＝24，所以m ＋n ＝6.所以1m＋4n ＝(1m ＋4n )×m ＋n 6＝16×(5＋4m n ＋n m )≥16×(5＋24m n ×n m )＝32，当且仅当4m n ＝nm，即n ＝2m 时等号成立．2．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4＝5S 2，则a 2·a 7a 24的值为导学号 25401294( ) A ．－2或－1 B.1或2 C ．±1或2 D ．±2或－1[答案] D[解析] 由S 4＝5S 2得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝5(a 1＋a 2)，即a 3＋a 4＝4(a 1＋a 2)，q 2(a 1＋a 2)＝4(a 1＋a 2)，当a 1＋a 2＝0时，公比q ＝－1；当a 1＋a 2≠0时，q ＝±2，所以a 2·a 7a 24＝a 4·a 5a 24＝q ，故选D.3．(2015·江苏通州高级中学期中)各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝18，a 1·a 2·…·a m ＝8m (m ＞2，m ∈N *)，若从中抽掉一项后，余下的m －1项之积为(42)m －1，则被抽掉的是第________项.导学号 25401295[答案] 13[解析] 由a 1·a 2·a 3·…·a m ＝a m1·q0＋1＋2＋3＋…＋(m －1)＝a m1·qm m －12，得(18)m ·q m m －1 2＝8m ，q ＝84m －1.又a 1·a 2·…·a m a k ＝8ka k ＝(42)m －1＝856(m －1)，则a k ＝85＋m 6＝18·q k －1，q k －1＝811＋m 6，故84 k －1 m －1＝811＋m 6，4 k －1 m －1＝11＋m 6，k －1＝ m －1 11＋m24，所以m ＝13，k ＝13.4．(2015～2016学年天津市静海一中高三月考题)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则2S n ＋16a n ＋3的最小值为________.导学号 25401296[答案] 4[分析] 由等比中项的性质、等差数列的通项公式列出方程求公差d ，代入等差数列的通项公式、前n 项和公式求出a n 、S n ，代入2S n ＋16a n ＋3利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．[解析] 因为a 1，a 3，a 13成等比数列，所以a 23＝a 1a 13， 又a 1＝1，所以(1＋2d )2＝1×(1＋12d )， 解得d ＝2或d ＝0(舍去)， 所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S n ＝n 1＋2n －12＝n 2，则2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2＝n 2＋8n ＋1＝ n ＋1 2－2 n ＋1 ＋9n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－2≥2n ＋1 ×9n ＋1－2＝4， 当且仅当n ＋1＝9n ＋1时取等号，此时n ＝2，且2S n ＋16a n ＋3取到最小值4， 故答案为：4.[点拨] 本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式，等比中项的性质，基本不等式求最值，解题的关键是利用分离常数法化简式子，凑出积为定值．5．(2015·河北保定第一次调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，且S 3＋S 5＝50，a 1，a 4，a 13成等比数列.导学号 25401297(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设{b na n}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的前n 项和T n . [答案] (1)a n ＝2n ＋1 (2)T n ＝n ·3n[解析] (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3×22d ＋5a 1＋4×52d ＝50， a 1＋3d 2＝a 1 a 1＋12d .解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，即a n ＝2n ＋1. (2)∵b na n＝3n －1，∴b n ＝a n ·3n －1＝(2n ＋1)·3n －1.∴T n ＝3＋5×3＋7×32＋…＋(2n ＋1)×3n －1，3T n ＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n －1)×3n －1＋(2n ＋1)×3n，∴－2T n ＝3＋2×3＋2×32＋…＋2×3n －1－(2n ＋1)×3n＝3＋2×3 1－3n －11－3－(2n ＋1)3n ＝－2n ×3n ，∴T n ＝n ·3n.6．(2015·山东)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n＋3.导学号 25401298 (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n .[答案] (1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3n －1，n ＞1. (2)T n ＝1312－6n ＋34×3n[解析] (1)因为2S n ＝3n＋3， 所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3， 当n ＞1时，2S n －1＝3n －1＋3，此时2a n ＝2S n －2S n －1＝3n－3n －1＝2×3n －1，即a n ＝3n －1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3n －1，n ＞1.(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝13.当n ＞1时，b n ＝31－nlog 33n －1＝(n －1)·31－n.所以T 1＝b 1＝13；当n ＞1时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝13＋[1×3－1＋2×3－2＋…＋(n －1)×31－n]，所以3T n ＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n －1)×32－n]，两式相减，得2T n ＝23＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n )－(n －1)×31－n＝23＋1－31－n1－3－1－(n －1)×31－n ＝136－6n ＋32×3n ， 所以T n ＝1312－6n ＋34×3n .经检验，n ＝1时也适合． 综上可得T n ＝1312－6n ＋34×3n .。