第五章静电场

OP 1P 2 XbO 一、两个相距为2a 、带电量为q +的点电荷，在其连线的垂直平分线上放置另一个点电荷0q ，且0q 与连线相距为b 。

试求：（1）连线中点处的电场强度和电势；（2）0q 所受电场力；（3）0q 放在哪一位置处，所受的电场力最大。

二、均匀带电量为Q 的细棒，长为L ，求其延长线上距杆端点为L 的位置A 的场强和电势；若将其置于电荷线密度为λ的无限长直导线旁边并使其与长直导线垂直，左端点与导线相距为a ，试求它们之间的相互作用力。

三、如图所示，半径为R 的带电圆盘，其电荷面密度沿半径呈线性变化0(1)rRσσ=-，试求圆盘轴线上距圆盘中心为O 为x 处的场强E .四、宽度为b 的无限大非均匀带正电板，电荷体密度为,(0)kx x b ρ=≤≤，如图所示。

试求：（1）平板外两侧任意一点1P 、2P 处的电场强度E ；（2）平板内与其表面上O 点相距为X 的点P 处的电场强度E .五、半径为R 的无限长圆柱，柱内电荷体密度2ar br ρ=-，r 为某点到圆柱轴线的距离，a 、b 为常量。

（1）求带电圆柱内外的电场分布；（2）若择选距离轴线1m 处为零电势点（1R <），则圆柱内外的电势分布如何？六、实验发现，在地球大气层的一个大区域中存在方向竖直向下的电场。

在200m 高度的场强21 1.010E V m =⨯，在300m 高度的场强220.610E V m =⨯。

试求从离地面200m 到300m 间大气中平均电荷体密度ρ。

七、如图所示，将一个电荷量为q 的点电荷放在一个半径为R 的不带电的导体球附近，点电荷距导体球心为d 。

设无穷远处为零电势，求：导体球球心O 点的电场和电势。

八、大多数生物细胞的细胞膜可以用分别带有电荷的同心球壳系统来模拟。

设半径为R 1和R 2（R 1< R 2）球壳上分别带有电荷Q 1和Q 2 .求：（1）r< R 1；R 1<r< R 2；r> R 2三个区域的电场强度的分布；（2）若Q 1=Q 2=Q ，R 1和R 2间的电势分布。

Q 九、如图，半径为1R 的金属球带有电荷为1q -，外面有一内径为2R ，外径为3R 的金属球壳，带有电量为2q ，现将球壳的外表面接地。

求：（1）电场分布；（2）半径为r 的P 点处的电势；（3）两球的电势1V 、2V 和它们的电势差。

十、导体球半径为R 1，带电量为q ，在其外面放置内外半径分别为R 2和R 3的同心导体球壳，已知R 2＝3 R 1，R 3＝3R 1，现在距球心为d=4R 1处放置电量为Q 的点电荷，并将球壳接地。

试求：（1）球壳带的总电量；（2）如果用导线将壳内导体球与壳相连，求球壳所带电量。

十一、 现将一根带电细线弯成半径为R 的圆环，其电荷线密度为 0sin λλα=，式中0λ为一常数，α为半径R 与x 轴所成的夹角，如图所示。

试求：环心O 处的电场强度和电势。

第五章静电场参考答案1、解答：（1）0，2qVaπε=；（2）q受两电荷的力1F和2F可表示为122221]4()qqF ja bπε=++222221]4()qqF i ja b a bπε=+++所以合力为0322212()bqqF ja bπε=+（3）由220,0dF d Fdb db=<得2b=时F有最大值。

3、解答：将圆盘看成是由很多环带组成。

带电量为q半径为r的均匀带电圆环在轴线上的场强为22324()qxEr xπε=+，那么在圆盘中取半径为r的环带，有223222322232000(1)224()4()4()prrdr xdqx rdr x RdEr x r x r xσπσππεπεπε-⋅⋅⋅⋅===+++，对整个圆盘00223200(1)(1ln2()2Rp prrdrx xRE dEr x Rσσεε-⋅===-+⎰⎰4、解答：（1）距O点x处取厚度为dx的薄板，其在1P点在产生的电场为000222dx dxdE kxσρεεε===，方向沿X 负方向。

则12000024b bPdx kbE dE kxεε===⎰⎰，同理224PkbEε=方向沿X正方向（2）平板内部P点的电场是P点左右两边部分产生的电场的叠加。

22222120000()[()](2)]444x bP xkx k kE E E dE dE i b x i x b iεεε=+=-=--=-⎰⎰（本题也可用高斯定理解）5、（1）解答：选取长为l ，半径为r ，且与带电圆柱同轴的柱形高斯面S 。

由高斯定理1SE dS Q ε=∑⎰得12SE dS E rl Q πε=⋅=∑⎰当r<R 时，234000112()22()34rV a b E rl Q dV ar br rldr l r r πρππεε⋅===-=-∑⎰⎰，则234312ar br E ε-= 当r>R 时，2340112()22()34RVa b E rl Q dV ar br rldr l R R πρππεε⋅===-=-∑⎰⎰，则3404312aR bR E rε-=（2）当r<R 时，p pU E dl ∞=⎰1R r R E dr E dr =+⎰⎰233410043431212RrR ar br aR bR dr dr rεε--=+⎰⎰34334400043()()ln 91612a b aR bR R r R r R εεε-=-+-- 当r>R 时，p pU E dl ∞=⎰1r E dr =⎰34341004343ln 1212raR bR aR bR dr r r εε--==-⎰6、解答：高斯定理1201()SE dS E E S Q ε=-⋅∆=∑⎰，则1201()E E S S h ρε-⋅∆=∆⋅，所以120()E E hερ-=，故1133.510(/)C m ρ-=⨯8、解答：（1）当r< R 1时有10sE dS ⋅=⎰，10E =当R 1<r< R 2时有20sQ E dS ε⋅=⎰，即2204/E r Q πε⋅=，所以2204r Q E e r πε=当r> R 2时有30sQ QE dS ε+⋅=⎰，所以3202Q E rπε=（2）22112230202002114444R rR Q Q Q Q QE dr E dr r R R r R φπεπεπεπε+∞⎛⎫+=⋅+⋅=-+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰ 10、（1）解答：取球心O 处进行分析。

球心O 处的电势是点电荷Q 和三个导体球面上的电荷在O 点的电势叠加，分别为00144(4)Q Q Q V dR πεπε==，1010144q dq qV R R πεπε==⎰，由高斯定理可得球壳内表面S 2上的总量为q q '=-，所以2020201444(2)q dq q qV R R R πεπεπε-==-=-⎰，设球壳外表面S 3上的总电量为Q '，则3030144(3)Q dq Q V R R πεπε''==⎰，所以球心处的总电势为0123011111()4423Q Q q q Q V V V V V R R R R πε'-=+++=+++， 又因为22110200102444R R R R q q q V E dl dr r R R πεπεπε=⋅==-⎰⎰比较上述二式0011111()4423Q q q Q V R R R R πε'-=+++＝010244q q R R πεπε-，得34Q Q '=- 故球壳的总电量为34QQ q q ''+=-- （2）内外球相连时，有003044q Q dq dR πεπε+=⎰，可得34QQ '=-11、解答：（1）在任意角α处取电荷元 d d q l λ=，它在O 点产生的电场强度大小为：20sin d d d 44o o lE R Rλααλεε==ππ，电场强度沿x ，y 轴上的两个分量分别为： d d cos x E E α=-， d d sin y E E α=-则02cos sin d 04o x o E Rλαααεπ=-=π⎰ 202sin d 44o o y o o E R Rλλααεεπ=-=-π⎰故O 点的场强为：04ox y E E i E j j Rλε=+=-（2）00sin d 0444o o dqdldV RR Rλααλπεπεε====π⎰⎰⎰。