一元函数微积分学在物理学上的应用1
高等数学 第三章 一元函数微积分学及其应用
x x0
x0
x
xx0
x x0
存在，则称该极限为 y f x 在点 x0 处的导数，记为
dy
df (x)
f x0 ， y xx0 ， dx xx0 或
dx xx0
10
二、导数的定义
第三章 一元函数微分学及其应用
这时也称函数 y f x 在点 x0 处可导.
如果该极限不存在，称函数 y f x 在点 x0处不可导 .
例1 求函数 y ln x 在点 x e 处的切线斜率.
解
k lim f (x) f (x0 ) = lim ln x ln e
x x0
x x0
xe x e
ln x = lim e
xe x e
lim
ln 1
xe e
xe
xe
所以
xe lim e 1
xe x e e
第三章 一元函数微分学及其应用
y
此刻切线的斜率即为 k lim y y0 lim f (x) f (x0 )
x x xx0
0
x x0
x x0
y f x
N Δy T
从上面的例子可以看出， 在求切线斜率的过
程中， 需要用到极限
lim f (x) f (x0 )
x x0
x x0
M C
α
Δx
O
x0
xx
7
二、导数的定义
故 y x2
在 x=0处导数为零，即
dy dx
x x0
0.
O
x
图 3-7
12
二、导数的定义
第三章 一元函数微分学及其应用
例3 求函数 y | x |,在点 x 0 处（见图2-8）的导数.
积分与微分关系梳理
积分与微分关系梳理在微积分中，积分和微分是两个重要的概念。
它们之间有着密切的关系，在解决数学问题和物理问题中起着不可或缺的作用。
本文将围绕积分和微分的关系展开论述，从数学和物理的角度来探讨它们的联系和应用。
一、微分的概念和性质微分是微积分的基本概念之一，它描述了函数在某一点处的变化率。
在一元函数中，若函数f(x)在点x0处可导，则称f(x)在点x0处可微，其微分表示为df(x0)，也可表示为dy。
微分可以理解为函数在该点处的线性逼近，即函数在该点附近的局部性质。
微分的定义如下：\[df(x_0) = f'(x_0)dx\]其中，f'(x0)表示f(x)在点x0处的导数，dx表示x的微小增量。
微分的性质包括线性性、乘法性和复合性。
这些性质使得微分在求解问题和进行近似计算时非常有用。
二、积分的概念和性质积分是微积分的另一个重要概念，它描述了函数在一定区间上的总体变化情况。
在一元函数中，若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则称f(x)在区间[a, b]上可积，其积分表示为∫f(x)dx。
积分可以理解为对函数在给定区间上的“求和”。
积分的定义如下：\[\int_a^b f(x)dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x\]其中，n表示将区间[a, b]划分成n个子区间，xi*表示每个子区间内的某一点，Δx表示每个子区间的宽度。
积分的性质包括线性性、乘法性和区间可加性。
这些性质使得积分在求解面积、体积和累积等问题中发挥着重要作用。
三、积分与微分的基本关系积分与微分之间存在着紧密的联系，它们是微积分的基本运算。
根据微分的定义，可以得到微分形式的积分公式，也称为牛顿—莱布尼茨公式：\[\int_a^b f'(x)dx = f(b) - f(a)\]这个公式表明，如果函数f(x)在[a, b]上可导，则在该区间内对f'(x)进行积分，得到的结果就是f(x)在区间[a, b]上的积分，即f(b) - f(a)。
大一微积分主要知识点
大一微积分主要知识点微积分作为数学的重要分支，是大学数学课程中的一门基础课程。
学好微积分对于理解和掌握相关学科具有重要意义。
本文将介绍大一微积分主要的知识点，供学生参考。
1. 函数与极限大一微积分的起点是函数与极限。
函数是自变量和因变量之间的关系，通常用公式表示。
极限是研究函数变化趋势的工具，表示变量无限接近某个值时的情况。
2. 导数导数是微积分的核心概念之一。
它描述了函数在某一点上的变化率。
导数可以用来求解函数的最大值、最小值，以及曲线的切线方程等。
3. 微分微分是导数的一种几何解释和应用。
微分可以近似地表示函数在某一点附近的变化情况。
微分在物理学、经济学等领域有广泛的应用。
4. 积分积分是微积分的另一个核心概念。
它是导数的逆运算，表示函数在某一区间上的累积效果。
积分可以计算图形下的面积、函数的定积分等。
5. 微分方程微分方程是描述自然现象及其变化规律的方程。
它通常包含未知函数及其导数、微分项等。
微分方程在物理学、生物学等领域有重要应用。
6. 一元函数的应用微积分在实际问题中有广泛的应用。
一元函数的应用包括最大最小值问题、曲线的凹凸性、函数的图像等。
7. 泰勒展开泰勒展开是将一个函数在某一点附近展开成幂级数的形式。
它在数值计算中有重要的应用，可以用来近似计算函数的值。
8. 多元函数与偏导数多元函数是有多个自变量的函数。
偏导数是多元函数在某一变量上的变化率。
多元函数与偏导数是微积分中扩展的概念。
9. 重积分重积分是对二重或三重积分的推广，用于计算曲面的面积、体积等。
重积分在物理学、工程学中有广泛的应用。
10. 曲线积分与曲面积分曲线积分是沿曲线对函数进行积分，曲面积分是对曲面上的函数进行积分。
曲线积分与曲面积分在物理学、电磁学等领域有重要的应用。
以上是大一微积分主要的知识点，这些知识点是学习微积分的基础。
通过深入学习和练习，可以更好地理解微积分，并应用于实际问题中。
希望本文对大一学生学习微积分有所帮助。
微积分在物理学中的应用
微积分在物理学中的应用The application of calculus in physics摘要: 关于“微积分”是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支，它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。
微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论，它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论，使运算也更加简便 。
“应用数学处理物理问题的能力”是我们必须掌握的一种解决物理问题的方法，“能够根据具体问题找出物理量之间的数学关系，根据数学的特点、规律，进行推导、求解，并根据结果做出物理判断、进行物理解释，得出物理结论”是物理解题中运用的数学方法，微积分就是其中一种。
关键词: 微积分Key words: calculus基金项目：本文为大学生科研项目批准文号xs11035资助项目作者简介：姓名：李东康（出生年月198211），女，吉林省；单位全称：通化师范学院物理学院，职称：助教；研究方向：光学；刘明娟，通化师范学院物理学院本科学生；1、微积分1.1定义：设函数()x F 在[]b a ,上有界，在[]b a ,中任意插入若干个分点a=0X <1X <...<1-Xn <Xn =b 把区间[]b a ,分成n 个小区间[][]n n x x x x ,,110- 。
在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点()i i i x x ≤≤-ζ1，作函数值()i f ζ与小区间长度的乘积()xi i f ∆ζ，并做出如果不论对[]b a ,怎样分法，也不论在小区间上的点i ζ怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数()x f 在区间[]b a ,上的定积分。
设函数()x f y =在某区间内有定义，0x 及x x ∆+0在此区间内。
如果函数的增量()()00x f x f x y -∆+=∆可表示为 ()x x y A ∆O +∆=∆（其中A 是不依赖于x∆的常数），而()x ∆O 是比x ∆高阶的无穷小，那么称函数()x f 在点0x 是可微的，x A ∆称作函数在点0x 相应于自变量增量x ∆的微分，记作y d ，即x y A d ∆=。
一元函数微积分学在物理学上的应用(1)
一元函数微积分学在物理学上的应用 速度、加速度、功、引力、压力、形心、质心[][]1.(),()().3.00(),t t t t T t x m m x θθωθ='='=用导数描述某些物理量速度是路程对时间的导数.加速度是速度对时间的导数。
2.设物体绕定轴旋转，在时间间隔0，t 内转过的角度则物体在时刻的角速度当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却，若物体的温度与时间的函数关系为T=T(t),则物体在时刻t 的冷却速度为T (t).3.一根杆从一端点算起，，段干的质量为则杆在点x 处的线密[][](),().5.T C (T )=q (T ).6. (),().Q Q t Q t T w w t t w t ρ'='''=度是(x)=m (x).4.一根导线在0,t 这段时间内通过导线横截面的电量为则导线在时刻t 的电流强度I(t)=某单位质量的物体从某确定的温度升高到温度时所需的热量为q(T),则物体在温度时的比热某力在0,t 时间内作的功则时刻的功率为例1 .2212,5360,(),2M 55,12,360,(),()522cm AB AM M A x g m x xx m k m x x m x xρρ='=====2设有长为的非均匀杆部分的质量与动点到端点的距离的平方成正比，杆的全部质量为则杆的质量的表达式杆在任一点处的线密度(x)=5x解：m(x)=kx 令得所以(x)=变力作功：变力()F x 沿直线运动从a 到b 所作的功()ba w F x dx =⎰51.53[05][05][,]29.83,8828828m m x x x x dx dx x m dx kN dw dx xw x dx πππ+⋅⋅=⋅⋅∴=⋅=⎰例2(1)（功）一圆柱形的注水桶高为，底圆半径为，桶内盛满了水，试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？解：作轴如图所示取深度为积分变量，它的变化区间为，相应于，上任一小区间的一薄层水的高度为，因此如的单位为，这薄层水的重力为把这层水吸出桶外需作的功近似为所求的功为25823462()2kJ π⋅⋅≈2.21,2[,1][2,2]R l Rx R x x Rx R x dx x xdx ρρ>=+++++例2(2)（功）设有一半径为，长度为的圆柱体平放在深度为的水池中，（圆柱体的侧面与水面相切，设圆柱体的比重为（））现将圆柱体从水中移出水面，问需作多少功？解：分析：依题意就是把圆柱体的中心轴移至处，计算位于上的体积微元移至时所作的微元功。
一元函数微积分学在物理学上的应用(1)
一元函数微积分学在物理学上的应用(1)
一元函数微积分学是数学中重要的一类方法，在自然科学研究中也发挥着重要作用。
在物理学中，一元函数微积分学可以用于研究运动物体的位置、速度、加速度等以及物体
的力、能量等问题。
首先，在运动的物体的位置、速度、加速度等问题中，一元函数微积分学可以提供对
该问题方面更多的解释。
比如，在利用微积分学研究动力学时，是把动力学研究成微分方
程的形式。
在考虑了力学运动模型中的惯性、阻力、重力等因素的影响后，可以从一元微
分方程的解获得动力学运动的位置、速度和加速度的时变关系，从而对物体的不同状态有
更深入的分析。
其次，一元函数微积分学也可以用于研究物体的力以及物体的能量的变化情况。
比如，在电磁学中，一元微积分可以用来描述电磁场中物体的受力情况。
有了物体受力的情况，
就可以运用动量定理、动能定理以及动量守恒定律来分析物体在受到力的作用下物体的动
能是如何变化的，从而深入研究物体的运动特征。
一元函数积分学精讲
一元函数积分学精讲在微积分学中，积分是导数的逆运算。
一元函数积分学是微积分学中的一个重要内容，它研究的是单变量函数的积分。
通过学习一元函数积分学，我们可以更好地理解函数与曲线的关系，解决曲线下面积等实际问题。
本文将系统介绍一元函数积分学的基本概念、性质和计算方法。
一、不定积分1. 定义不定积分是对函数的积分常见形式之一，表示为$\\int f(x)dx$，其中f(x)是被积函数，dx表示积分变量。
不定积分的本质是求函数的一个原函数。
具体地，若F(x)是f(x)的原函数，则$\\int f(x)dx = F(x) + C$，其中C为常数。
2. 基本积分公式常数积分公式： $\\int kdx = kx + C$，其中k为常数。
幂函数积分公式： $\\int x^n dx = \\frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$，其中n eq−1，n为常数。
二、定积分1. 定义定积分是积分学另一重要形式，表示为$\\int_{a}^{b} f(x)dx$，表示对f(x)从a到b的积分。
定积分可以看做是曲线下面积的计算，是实际问题中常用的工具。
2. 定积分性质•定积分线性性质：$\\int_{a}^{b} [f(x) + g(x)]dx = \\int_{a}^{b} f(x)dx + \\int_{a}^{b} g(x)dx$•定积分区域性质：$\\int_{a}^{b} f(x)dx = -\\int_{b}^{a} f(x)dx$三、积分的应用一元函数积分学在各个领域有着广泛的应用，主要包括但不限于以下几个方面：•曲线下面积的计算•物理学中的功与能量计算•统计学中的概率密度函数与累积分布函数•工程学中的中心质心和惯性矩计算四、积分计算技巧与方法积分计算是一门深奥的学问，有许多技巧和方法可以简化计算过程，常见的包括：•换元积分法•分部积分法•三角代换法•分式分解法细致理解这些计算方法对提高积分计算效率至关重要。
一元函数积分学的应用
一元函数积分学的应用教案：一元函数积分学的应用引言：在高中数学中，一元函数积分学是一个重要的概念，它是微积分的核心内容之一。
积分学是研究函数积分的方法和应用的学科。
通过学习一元函数积分学，我们可以研究函数的变化趋势、面积计算、物理问题的建模和解决等一系列问题。
本教案将针对一元函数积分学的应用进行深入的探讨，帮助学生更好地理解该知识点的实际应用。
一、定积分与反常积分1.1 定积分的概念和性质- 定积分的定义与几何意义- 定积分的性质：线性性质、区间可加性、保号性1.2 反常积分的概念和性质- 反常积分存在的条件- 反常积分的判定方法二、定积分的应用2.1 函数的面积计算- 定积分与曲线下面积的关系- 利用定积分计算曲线下的面积2.2 平均值和中值定理- 平均值定理的说明和应用- 中值定理的说明和应用2.3 函数的积分学基本定理与变限积分 - 函数的积分学基本定理的说明和应用 - 变限积分的定义和计算2.4 应用题- 利用定积分求解几何问题- 利用定积分求解物理应用问题三、反常积分的应用3.1 收敛性和计算方法- 收敛性的定义和判定- 常见反常积分的计算方法3.2 物理问题的建模与解决- 利用反常积分解决物理问题- 建立数学模型求解问题结语：通过本教案的学习，学生将对一元函数积分学的应用有更深入的理解，能够掌握定积分和反常积分的基本概念、性质和应用方法，并能够将其应用于面积计算、物理问题的建模和解决等实际场景中。
同时，本教案也可激发学生对数学的兴趣和求知欲望，培养他们的数学思维和问题解决能力。
希望学生们通过学习，能够掌握一元函数积分学的应用，为今后的学习打下坚实的基础。
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一元函数微积分学在物理学上的应用速度、加速度、功、引力、压力、心、质心
用导数描述某些物理量1.速度是路程对时间的导数.加速度是速度对时间的导数。(t),内转过的角度则物体在时刻2.设物体绕定轴旋转，在时间间隔t0，t的(t).(t)角速度3.当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却，若物体的温度T与时间(t).Tt的冷却速度为t的函数关系为T=T(t),则物体在时刻段干的质量为mm(x),0点算起，则杆在点0，xx处的3.一根杆从一端(x).(x)=m线密度是这段时间内通过导线横截面的电量为QQ(t4.一根导线在),0,t则导线(t).t的电流强度I(t)=Q在时刻5.某单位质量的物体从某确定的温度升高到温度T时所需的热量为q(T),(T).时的比热C(T)=q则物体在温度T(t).t时刻的功率为ww(t),6.某力在0,t则时间内作的功w例1 .
设有长为12cm的非均匀杆AB,AM部分的质量与动点M到端点A的距离x的平方52成正比，杆的全部质量为360g,则杆的质量的表达式m(x)x,杆在任一点 2 (x)=5x
M处的线密度
5522(x)mx)x5,x(x)=(m(x)=kx解：,令x12,m360得k,所以m 22
b所作的功到b变力沿直线运动从a变力作功：dx)F(wx)(xFa
例2(2)（功2）设有一半径为.R，长度为l的圆柱体平放在深度为2R的水池中，1））（圆柱体的侧面与水面相切，设圆柱体的比重为（,现将圆柱体从水中移出水面，问需作多少功？解：分析：依题意就是把圆柱体的中心轴移至x2R处，计算位于[x,x1]上的体积微元移至[2Rx,2Rxdx]时所作的微元功。由于在水面上方与下方所受力不同，所以应分开计算，注意到介于x与xdx之间的体积微元为 2222dx(长宽lRx2R高x)dxl2它在水面下方需移动Rx，上方需移动RxRR 2222dxxRx2)Rxdxl)R(w2l(1)(RxRRR 223(21)RlRx1)lR4(2dx0例2(3)（功3）、设半径为1的球正好有一半沉入水中，球的比重为1，现将球从水中取出，问要作多少功？4解法一：[分析：把球的质量集中到球心，球从水中取出作功问题可以看成质 34量为的质点向上移动距离为1时变力所作的功，问题归结为求出变力， 3即求球在提起过程中受到的重力与浮力的合力，因球的比重为1球受的重力球的体积，球受的浮力沉在水中部分的体积它的合力球露出水面部分的体积。当球心向上移动距离h时，(0h1)，球露出水面部分的体积为h2h222)(h(1z)dz 3330162132h112())]hw因此，球从水中取出要作的功为[(dh 123332120．
]分析：微元法解法二、[的微元球心，任取下半球取中x轴垂直水平面并通过球心，方向向上，原点为取2,dx)(1x,]上的小区间[xxdx]相应的球体中的薄片，其重量为薄片即[1,0处需)x在水中浮力与重力相等，当球从水中取出时，此薄片移至离水面高为(12为于是，对下半球作的功dxx,(S1x))(1作功dwF02dx)(1wx(1x)11其重量为]相应的球体中的薄片，,xdx[0,1]上小区间[x任取上半球中的微元薄片即22dx)1，需作功dw1x((1x1)dx,当球从水中取出时，它移动的距离为12dxx于是对上半球作的功为w)(120101322)x1x)(x)dxdx(对整个球做的功为www1(121 12013浮于水面的木球提高水面，/m0.2m，密度为500kg例2(4)（功4）要将一半径为.问需要作功多少？分析：根据浮力定律知道球的上半部浮于水面下半部没于水中，（由浮力定律[1比重水的比重），所以只要提高0.2m即可将此球提离水面，由于在整个 2 过程中浮力与提力都在作功，所以应有提力所作的功克服重力所作的功浮力所作的功]解：建立坐标如图，取[y,ydy][R,0]dV)yg(ydFyg(dm)则对应于此小区间，浮力作功的功元素为dw浮22)dyy[(R]yg01422)12.315(gRRkJy)dyWgy( 浮4R43)kJ12.315500[从而有WWW20.525((0.2)]9.80.2 浮重提3WWW与前例类似：WWW浮重浮下重上重提．
例2(5)（功5）在底面积为.S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞（面积S）从点a处推移到点b处，计算在移动过程中，气体压力所作的功？解：取坐标系为图，活塞的位置可以用坐标x来表示，由物理学知道，一定量的气体在等温条件下，k压强P与体积V的乘积是常数k，即PVk，或P VkVxS，P xS kkSS作用在活塞上的力：Fp xSx在气体膨胀过程中，体积V是变的，因而x也是变的，所以作用在活塞上的力也是变的取x为积分变量，它的变化区间为[a,b]，设[x,xdx]为[a,b]上的任一小区间，当活塞kk从x移动到xdx时，变力F所作的功近似于dx,即dwdx xxbkbdxklnw xaa3的某种液体，m液面距离，盛有比重为m8kN/例2(6)（功6）.一球形贮液灌，半径为10灌顶部出口4m，（如图所示）已将灌中全部液体从顶部出口抽出，需作多少功？解：作x轴通过球心且正向铅直向下，原点在灌顶部出口处，长度单位取为m，取x为积分变量，x[4.20] 222x20(x10)dx[考察x,xdx]上液体，高度为,底圆半径为10x 2223)dx(比重8体积(20xx路程）8dw20x(xx)dx202031129632325990(dxdwkJ8(20xx))w 344*本题也可选择x轴的原点在球心，这时变量x的范围和功元素的表达式都要随之改变