概率论与数理统计PPT课件第三章随机向量及其独立性习题课.
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概率论与数理统计课件第三章ppt
Y X
y1
y2
...
yj
… pi·
x1 p11 p12 … p1 … p1·
x... 2 p... 21 x... i p... i1
p· p·1
p... 22 p... i2
p·2
…j
… p2
… j...
… …
p...pi·jj
… … … …
…
p... 2· p... i ·
1
j
例1.设袋中有五个同类产品，其中有两个 是次品，每次从袋中任意抽取一个，
设(X,Y)为连续型随机变量，其联合分布函 数和联合概率密度分别为F(x,y)和 f(x,y),则
f X
(x)
d dx
FX
(x)
f (x, y)dy
fY
( y)
d dy
FY
(
y)
f
(x,
y)dx
分别称为(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度
函数，简称边缘概率密度。
例2. 设(X,Y)的分布密度是
e(xy) , x 0, y 0
3.1
例1.甲乙掷色子,观察点数。
w1i={甲掷i点} w2j={乙掷j点}
X,Y (i, j)
i,j=(1,2,…,6)
二维随机变量的定义
对于随机试验E，Ω是其样本空间。X(w) 和 Y(w)是定义在样本空间Ω上的两个随机变量, 由它们构成的向量(X,Y)称为二维随机变量 或二维随机向量。
y
w.
Y X
y1
y2
...
yj
…
x1 p11 p12 x... 2 p... 21 p... 22
x... i p... i1 p... i2
3-1概率论与数理统计PPT课件
随机变量的分布包含两个部分： 取哪些值？ 取这些值相应的概率是多少？
3.1.2 离散随机变量及其概率分布
离散随机变量 如果一个随机变量只取有限多个或者可数无穷多个 (可列个) 可能值，这种随机变量就称为离散随机变量。
离散随机变量所有可能的取值以及相应的概率
称为它的概率分布（律），简称分布律。一般表示成：
X
x1 x2 x3 … xn …
pk
p1 p2 p3 … pn …
根据概率的定义，离散随机变量分布律
必须满足下面两个条件：
(1) pi ≥ 0 , i = 1, 2, 3, …
(2) ∑ pi = 1
看例题
3.2 重要的离散型随机变量
3.2.1 独立重复实验序列
1. 随机试验的独立性
对于一些随机试验来说，如果它们的结果互相 不影响，即每个随机试验的各种结果出现的概率不依 赖于其它随机试验出现的结果，就称这些随机试验是 相互独立的。
第3章 离散随机变量
3.1.1随机变量的概念 在涉及随机试验的实际问题中，经常遇到这样的
情况，很大一部分问题与数值发生联系，从而可以 将随机试验量化。
例1. 电话的次数 ，可能是0，1，2，… 例2 某射手对一活动靶进行射击，到击中目标为止， 所进行的射击次数，可能是1，2，…
例3 某一时间段内，车站到来的乘客数， 或在某一个区域里，野生动物的数量 ·····； 它所有可能的取值是一切非负整数。
看例9
例 (金融保险) 根据生命表知道，在某个年龄段的投保人中一年内 每个人死亡的概率是 0.005 ，现在有 10,000 人参加 保险，问未来一年中死亡人数不超过 60 人的概率。
解。 分析： 以 X 记这 10,000 人中死亡的人数，则显然有 X ~ B (104，0.005 ) ，需要计算P { X ≤ 60 } 。 P { X ≤ 60 } = ∑k6=00 [C10000k 0.005k 0.99510000 – k ] ≈ 0.9222 。
3.1.2 离散随机变量及其概率分布
离散随机变量 如果一个随机变量只取有限多个或者可数无穷多个 (可列个) 可能值，这种随机变量就称为离散随机变量。
离散随机变量所有可能的取值以及相应的概率
称为它的概率分布（律），简称分布律。一般表示成：
X
x1 x2 x3 … xn …
pk
p1 p2 p3 … pn …
根据概率的定义，离散随机变量分布律
必须满足下面两个条件：
(1) pi ≥ 0 , i = 1, 2, 3, …
(2) ∑ pi = 1
看例题
3.2 重要的离散型随机变量
3.2.1 独立重复实验序列
1. 随机试验的独立性
对于一些随机试验来说，如果它们的结果互相 不影响，即每个随机试验的各种结果出现的概率不依 赖于其它随机试验出现的结果，就称这些随机试验是 相互独立的。
第3章 离散随机变量
3.1.1随机变量的概念 在涉及随机试验的实际问题中，经常遇到这样的
情况，很大一部分问题与数值发生联系，从而可以 将随机试验量化。
例1. 电话的次数 ，可能是0，1，2，… 例2 某射手对一活动靶进行射击，到击中目标为止， 所进行的射击次数，可能是1，2，…
例3 某一时间段内，车站到来的乘客数， 或在某一个区域里，野生动物的数量 ·····； 它所有可能的取值是一切非负整数。
看例9
例 (金融保险) 根据生命表知道，在某个年龄段的投保人中一年内 每个人死亡的概率是 0.005 ，现在有 10,000 人参加 保险，问未来一年中死亡人数不超过 60 人的概率。
解。 分析： 以 X 记这 10,000 人中死亡的人数，则显然有 X ~ B (104，0.005 ) ，需要计算P { X ≤ 60 } 。 P { X ≤ 60 } = ∑k6=00 [C10000k 0.005k 0.99510000 – k ] ≈ 0.9222 。
概率论与数理统计第三章PPT
乘法公式应用举例 （波里亚罐子模型）
b个白球, r个红球
一个罐子中包含b个白球和r个红球. 随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中， 并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜 色的球. 这种手续进行四次，试求第一、 二次取到白球且第三、四次取到红球的概 率.
随机取一个球，观看颜色后放 回罐中，并且再加进c个与所抽出 的球具有相同颜色的球. b个白球, r个红球
解: 设Wi={第i次取出是白球}, i=1,2,3,4 Rj={第j次取出是红球}， j=1,2,3,4 于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第 一、第二个是白球，第三、四个是红球. ”
用乘法公式容易求出 P(W1W2R3R4) =P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)
用它们可计算两 个事件同时发生 的概率
(3)
注意P(AB)与P(A | B)的区别！
请看下面的例子
例 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件 是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个是 标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个 零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？
设B={零件是乙厂生产}
P A 4 10 0.4
4 3 12 10 9 90 6 4 24 P AB P A P B | A 10 10 90 P AB P A P B | A
P16例4
P ABC P A P B | A P C | AB
二、 乘法法则 P ( AB) 由条件概率的定义： P ( A | B)
P ( B)
若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB). 即 若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2) 将A、B的位置对调，有 (2)和(3)式都称为 乘法公式, 利 若 P(A)>0, 则P(BA)=P(A)P(B|A) 而 P(AB)=P(BA) 故 若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A)
概率论与数理统计课件第三章
f
(x,
y)
1
21 2
1
2
exp
1
2(1 2 )
(x
1)2
2 1
2
(x
1)( y 1 2
2 )
(y
2)2
2 2
其中1、2、1、 2、都是常数，且1 0， 2 0，1 1.
则称（X,Y）服从参数为1、2、1、的二2、维 正态分布，
记为
(X
,Y)
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
2F(x, y) f (x, y) xy
(5)若(X,Y)为二维连续型随机向量,联合概率密度为f(x,y),则
F(x,y) P{X x,Y y}
返回
X
18
第
页
例5 设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
Ae2(x y) , x 0, y 0
f (x, y)
0, 其他
（1）确定常数A；
分别为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.
返回
X
25
第
页
例1 设二维随机向量（X,Y）的联合分布函数为
(1 e2x )(1 e3y ), x 0, y 0,
F(x, y)
0, 其他.
求边缘分布 FX (x), FY ( y)
当x
0时，FX
(x)
lim (1
y
e2 x
)(1
e3 y
)
1
e2 x
返回
X
14
第
例3 设随机变量Y~N(0，1),令
0, X 1 1,
| Y | 1
0,
|Y
|
概率论与数理统计课件(PPT)
随机现象：不确定性与统计规律性
概率论——研究和揭示随机现象 的统计规律性的科学
目录
• • • • • • 第一章 随机事件及其概率 第二章 随机变量 第三章 随机变量的数字特征 第四章 样本及抽样分布 第五章 参数估计 第六章 假设检验
第一章 随机事件及其概率
• 随机事件及其运算 • 概率的定义及其运算 • 条件概率 • 事件的独立性
注意到不论是对概率的直观理 解，还是频率定义方式，作为事件 的概率，都应具有前述三条基本性 质，在数学上，我们就可以从这些 性质出发，给出概率的公理化定义
1.定义(p8) 若对随机试验E所对应的样本空间中 的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数
P(A)满足条件：
(1) P(A) ≥0；
(2) P()＝1；
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时 ，出现正反面的机会均等。
实验者
De Morgan Buffon K. Pearson K. Pearson
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
fn(H)
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
N ( A) P( A) N ()
P(A)具有如下性质(P7)
(1) 0 P(A) 1；
(2) P()＝1； P( )=0 (3) AB＝，则 P( A B )＝ P(A) ＋P(B)
例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率 相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
解:设A--至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩 ={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}
1.1随机事件及其概率
概率论——研究和揭示随机现象 的统计规律性的科学
目录
• • • • • • 第一章 随机事件及其概率 第二章 随机变量 第三章 随机变量的数字特征 第四章 样本及抽样分布 第五章 参数估计 第六章 假设检验
第一章 随机事件及其概率
• 随机事件及其运算 • 概率的定义及其运算 • 条件概率 • 事件的独立性
注意到不论是对概率的直观理 解，还是频率定义方式，作为事件 的概率，都应具有前述三条基本性 质，在数学上，我们就可以从这些 性质出发，给出概率的公理化定义
1.定义(p8) 若对随机试验E所对应的样本空间中 的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数
P(A)满足条件：
(1) P(A) ≥0；
(2) P()＝1；
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时 ，出现正反面的机会均等。
实验者
De Morgan Buffon K. Pearson K. Pearson
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
fn(H)
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
N ( A) P( A) N ()
P(A)具有如下性质(P7)
(1) 0 P(A) 1；
(2) P()＝1； P( )=0 (3) AB＝，则 P( A B )＝ P(A) ＋P(B)
例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率 相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
解:设A--至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩 ={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}
1.1随机事件及其概率
概率论与数理统计(浙大版)第三章PPT参考课件
X,Y的边缘分布律为：
记为
P(Y y j ) P( X ，Y y j ) pij == pgj j 1, 2,L
i 1
记为
P( X xi ) P( X xi，Y ) pij == pig i 1, 2,L
j 1
注意：
X Y y1
(1) 0 pij 1
(2) pij 1
ij
2020/2/15
(2)表格法
X Y y1 y2 y3
x1 p11 p12 p13 x2 p21 p22 p23
(X,Y)的概率分布表：描述(X,Y)的取值规律
P((X ,Y ) G)
pij
( xi , yj )G
1 2
4 x(1
2x)dx
1
1
1
0
23 6
2020/2/15
21
§2 边缘分布
二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数
其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数
记为：
称为边缘分布函数。
FX (x)，FY ( y)，
F(x, y),
FX (x) F(x, )
事实上，
FY ( y) F(, y)
i 1,2, , m, ; j 1,2, , n,
中心问题：(X,Y)取这些可能值的概率分别为多少？
2020/2/15
二维（X，Y）的联合分布律:
(1)公式法
p( xi , yj ) P( X xi ,Y yj ) pij
pij的 性 质 ：
(i, j 1,2, )
p2 p2 j
概率论与数理统计(完整版)(课堂PPT)
E3: 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的情况. E4: 电话交换台一分钟内接到的呼唤次数. E5: 在一批灯泡中任取一只, 测试它的寿命.
3
随机试验:
(1) 可在相同的条件下重复试验; (2) 每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的结 果; (3) 一次试验前不能确定会出现哪个结果.
4
§2. 样本空间与随机事件
(一) 样本空间:
定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样 本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等. 2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
5
(二) 随机事件
定义 样本空间S的子集称为随机事件, 简称事件. 在一 次试验中, 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时, 称 这一事件发生.
基本事件: 由一个样本点组成的单点集. 如:{H},{T}.
复合事件: 由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件 为复合事件. 如:E3中{出现正面次数为奇数}.
必然事件: 样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是 发生的，称为必然事件。
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即 10 对于每一 B有 个 , 1 事 P(件 |B A)0.
20 P (|SA) 1.
30 设B1,B2,两两互不,则 相容
P ( Bi |A)P(Bi |A.)
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
P(A 1)P(A 2)P(A n).(有限)可
性3质 . 若 AB,则有 P(BA)P(B)P(A);
3
随机试验:
(1) 可在相同的条件下重复试验; (2) 每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的结 果; (3) 一次试验前不能确定会出现哪个结果.
4
§2. 样本空间与随机事件
(一) 样本空间:
定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样 本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等. 2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
5
(二) 随机事件
定义 样本空间S的子集称为随机事件, 简称事件. 在一 次试验中, 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时, 称 这一事件发生.
基本事件: 由一个样本点组成的单点集. 如:{H},{T}.
复合事件: 由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件 为复合事件. 如:E3中{出现正面次数为奇数}.
必然事件: 样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是 发生的，称为必然事件。
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即 10 对于每一 B有 个 , 1 事 P(件 |B A)0.
20 P (|SA) 1.
30 设B1,B2,两两互不,则 相容
P ( Bi |A)P(Bi |A.)
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
P(A 1)P(A 2)P(A n).(有限)可
性3质 . 若 AB,则有 P(BA)P(B)P(A);
【学习课件】第三章概率论与数理统计
解 确定随机变量的取值：
及F(2,2).
p i j P Xi,Yj
F ( x , y) = P { X x , Y y}
{ P X { X i , Y i } j } { Y { X j } i } { Y j } pij
P Y j|X iP X i
xi x yjy
为 X, Y的 分 布 函 数 ， 或 X与 Y的 联 合 分 布 函 数 。
X x ,Y y X x Y y
几 何 意 义 ： 分 布 函 数 Fx0,y0表 示 随 机 点 X,Y落 在 区 域
x,y,xx0,yy0
中 的 概 率 。 如 图 阴 影 部 分 所 示 ：
y
x0, y0
X＝xi ,Y y j
P X＝xi
pij , j＝1, 2, pi
为给定条件X xi时，Y的条件概率分布律。
3、条件概率分布律
给定条件Yyj时，X的条件概率分布律记作：
X|Yyj
P X＝xi |Yyj
pij ,i＝ 1, 2, pj
X |Y yj
P X |Y y j
x1
p1 j
X , Y ～P X＝xi, Y＝y j pij , i, j＝1, 2,
则称 P X＝xi | Y y j
P X＝xi ,Y y j P Y＝y j
pij , i＝1, 2, p j
为给定条件Y y j时，X的条件概率分布律；
P Y＝y j | X＝xi
P
= limPX x,Y y lim Fx, y
y
y
0, x 0; =x2, 0 x 1;
1, 1 x.
FYy PY yPX ,Y y
= limPX x,Y y limFx, y
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如下表所示
6. 以X记某医院一天出生的婴儿个数，Y记 其中的男婴个数. 设X和Y的联合分布律为
e14(7.14)m (6.86)nm
P( X n,Y m)
,
m!(n m)!
m 0,1,2,, n;n 0,1,2,.
求边缘分布律.
解 P( X n) P(X n,Y m)
= P{X=0, Y=1} 得
(0.4+b)(a + b) = b (2)
由(1) (2) 得 a = 0.1 b = 0.4
YX 0 1 0 0.4 a
1 b 0.1
2. 已知 ( X ,Y ) 的分布律为
( X ,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)
111 1
2
3
(1)由分布律的性质知 0, 0, 2 1,
3 故与应满足的条件是:
0, 0 且 1 .
3
(2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有
P( X i,Y j) P( X i) P(Y j),
(7.14)m
(6.86)nm
m0
e14 (7.14 6.86)n e14 (14)n ,
n!
n!
n 0,1,2,.
以X记某医院一天出生的婴儿个数，Y记
其中的男婴个数.
P(Y m) P( X n,Y m)
n
e14(7.14)m (6.86)nm
第三章 习题课
1. 已知X,Y的联合分布如下
YX 0 1 0 0.4 a
1 b 0.1
且事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立. 试确定常数 a与b. 解 0.4 + a + b + 0.1=1 得
a + b = 0.5 (1)
事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立, P{X=0}P{X+Y=1}= P{X=0, X+Y=1}
P(max( X
,Y
)
0)
P(X
0,Y
0)
1 22
,
P(max( X ,Y ) 1)
P( X 1,Y 0) P( X 0,Y 1) P( X 1,Y 1)
1 22
1 22
1 22
3 22
XY 0
1
0
1 22 1 22
1
1 22 1 22
nm
m!(n m)!
e14 (7.14)m (6.86)nm
m!
nm (n m)!
（令k n m）
P(Y m) e14 (7.14)m (6.86)nm
m!
nm (n m)!
（令k n m）
e14 (7.14)m (6.86)k
C
2 6
C
31C
1 3
C
2 3
C
2 6
C
2 6
1
1只白球，2只黑球，3只红球，任取2只球， X与Y分别表示取到的红球数与白球数.
(3)P( X 1,Y 1)
1 P( X 2,Y 0)
1
C
2 3
C
2 6
4
5
1只白球，2只黑球，3只红球，任取2只球， X与Y分别表示取到的红球数与白球数.
列表如下
P(X=2, Y=1)=3/8
P(X=3, Y=0)=1/8
从表中不难求得:
P(X=0)=1/8, P(X=1)=3/8 P(X=2)=3/8, P(X=3)=1/8,
P(Y=1) = P(X=1, Y=1) + P(X=2, Y=1) =3/8+3/8=6/8,
P(Y=3) = P(X=0, Y=3) + P(X=3, Y=3) =1/8+1/8=2/8.
表示取到的红球数与白球数. （1）求X与Y的联合分布律； （2）求（X,Y）的边缘分布律；
（3）求P( X 1,Y 1).
X0
Y
1
2 pj
0
C
2 2
C
31C
1 2
C
2 3
C
2 5
C
2 6
C
2 6
C
2 6
C
2 6
1
C11C
1 2
C
C1 1
31
C
2 6
C
2 6
0
C11C
1 5
C
2 6
pi
C
2 3
m!
k0 k!
e 14 (7.14)m e6.86
m!
e7.14 (7.14)m , m 0,1,2,.
m!
7. 设随机变量 X 和Y 相互独立,并且 X 服从N (a, σ 2 ),Y 在 (b, b) 上服从均匀 分布,求 ( X ,Y )的联合概率密度.
m
n e14(7.14)m (6.86)nm
m0 m!(n m)!
P( X
n)
n m0
e14(7.14)m (6.86)nm m!(n m)!
e14 n
n!
(7.14)m (6.86)nm
n! m0 m!(n m)!
e 14 n!
n
C
m n
故Z max( X ,Y )的概率分布为
Z0
1
P1
3
4
4
5. 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中 正面出现的次数，而Y为正面出现次数与反面出 现次数之差的绝对值，求(X,Y)的概率分布 .
解 (X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)
P(X=0, Y=3)=(1/2)3=1/8 P(X=1, Y=1)=3(1/2)3=3/8
4. 设相互独立的两个随机变量 X, Y 具有同一 概率分布，
X0 1
P 0.5 0.5
试求 : Z max( X ,Y )的分布律.
解 因为X与Y相互独立,
所以 P{X i,Y j} P{X i}P{Y j}.
XY 0
01
(1 2)2 (1 2)2
1
(1 2)2 (1 2)2
pij
6
9 18
3
(1) 求 与 应满足的条件; (2) 若 X 与 Y 相互独立,求 与 的值.
解 将 ( X ,Y ) 的分布律改写为
Y
X
1
2
3
pi P{X xi }
1
11ຫໍສະໝຸດ 1169
18
3
1
2
3
1
3
pj P{Y yj } 1
2
1
9
1
18
特别地，
i 1,2; j 1,2,3
P( X 1,Y 2) P( X 1) P(Y 1)
1 9
1 3
1 9
2, 9
又
1,
3
得
1. 9
3. 袋中装有1只白球，2只黑球，3只红球，
从中随机地任取2只球，随机变量X与Y分别