5.1平面向量PPT课件
合集下载
5.1向量的概念
向量 零向量
0 与任一向量
共线
平行 的非零向 或共线
向量 量又叫做共线向量
相等 长度 相等 且方向 相同 两向量只有相等或不相
向量 的向量
相反 长度 相等 且方向 相反
向量 的向量
等,不能比较大小 0 的相反向量为 0
第五章
5.1 平面向量的概念及线性运算
知识体系
知识梳理
核心考点
学科素养
-4-
知识梳理 双基自测 自测点评
又A,B,C,D是不共线的四点,
∴四边形ABCD为平行四边形.
反之,若四边形ABCD为平行四边形,
则������������ 与������������ 方向相同,且|������������ |=|������������ |,
因此,������������ = ������������.
第五章
单位
1个单位长度
向量 长度等于
的向量
备注 平面向量是自 由向量
记作 0
非零向量 a 的 单位向量为 ± ������
|������|
第五章
5.1 平面向量的概念及线性运算
知识体系
知识梳理
核心考点
学科素养
-3-
知识梳理 双基自测 自测点评
1234
名称 定 义
备注
平行 方向 相同 或 相反 的非
方向相同或相反
C.a+b-c-d=0 D.a+b+c+d=0
关闭
依题意,得������������ = ������������,故������������ + ������������=0,即������������ − ������������ + ������������ − ������������=0,即
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：平面向量的概念及线性运算
当λ<0时，λa的方向与a的方向 相反 ； λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λ_b_
当λ＝0时，λa＝__0__
知识梳理
3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 b＝λa .
常用结论
1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最 后一个向量终点的向量，即A—1→A2＋A—2→A3＋A—3→A4＋…＋—A—n－—1A→n ＝A—1→An，特 别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量. 2.若 F 为线段 AB 的中点，O 为平面内任意一点，则O→F＝12(O→A＋O→B).
常用结论
3.若 A，B，C 是平面内不共线的三点，则P→A＋P→B＋P→C＝0⇔P 为△ABC 的重心，A→P＝13(A→B＋A→C). 4.对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关.( √ ) (2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.( × )
√B.A→M＋M→B＋B→O＋O→M＝A→M
C.A→B＋B→C－A→C＝0 D.A→B－A→D－D→C＝B→C
教材改编题
3.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝－__13__.
由题意知存在k∈R，
使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，
所以λ1＝＝－3kk，，
解得k＝13， λ＝－13.
知识梳理
2.向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义)
运算律
加法
交换律：a＋b＝ b＋a ； 结合律：(a＋b)＋c＝_a_＋__(_b_＋__c)_
当λ＝0时，λa＝__0__
知识梳理
3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 b＝λa .
常用结论
1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最 后一个向量终点的向量，即A—1→A2＋A—2→A3＋A—3→A4＋…＋—A—n－—1A→n ＝A—1→An，特 别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量. 2.若 F 为线段 AB 的中点，O 为平面内任意一点，则O→F＝12(O→A＋O→B).
常用结论
3.若 A，B，C 是平面内不共线的三点，则P→A＋P→B＋P→C＝0⇔P 为△ABC 的重心，A→P＝13(A→B＋A→C). 4.对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关.( √ ) (2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.( × )
√B.A→M＋M→B＋B→O＋O→M＝A→M
C.A→B＋B→C－A→C＝0 D.A→B－A→D－D→C＝B→C
教材改编题
3.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝－__13__.
由题意知存在k∈R，
使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，
所以λ1＝＝－3kk，，
解得k＝13， λ＝－13.
知识梳理
2.向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义)
运算律
加法
交换律：a＋b＝ b＋a ； 结合律：(a＋b)＋c＝_a_＋__(_b_＋__c)_
高考数学专题复习《平面向量的概念及线性运算》PPT课件
向量
模等于 1
的向量
a
向量为±|a|
名称
相等的
向量
定 义
备 注
大小 相等 、方向 相同
的向量
两个向 如果两个 非零 向量的方向 相同或相反 ,则
量平行 称这两个向量平行.两个向量平行也称为两个向
两向量只有相等或不相
等,不能比较大小
规定零向量与任一向量
平行(共线)
(共线)
量共线
相反
给定一个向量,把与这个向量方向 相反 、大 零向量的相反向量仍是
.
,而且λa的方向如下:
,
(ⅱ)当λ=0或a=0时,λa= 0
.
实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量.
(2)数乘向量的定义说明
如果存在实数λ,使得b=λa,则b∥a.
(3)数乘向量的几何意义
数乘向量的几何意义是,把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小.特别地,
一个向量的相反向量可以看成-1与这个向量的乘积,即-a=(-1)a.
D.
3.(多选)(2020山东郓城第一中学高三模拟)若点G是△ABC的重心,BC边的
中点为D,则下列结论正确的是(
A.G 是△ABC 的三条中线的交点
B. + + =0
C. =2
D. =
)
答案 ABC
解析 对于 A,△ABC 三条中线的交点就是重心,故 A 正确;对于 B,根据平行四
(4)数乘向量的运算律
设λ,μ为实数,则λ(μa)=(λμ)a;
特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a).
5.向量的运算律
一般地,对于实数λ与μ,以及向量a,有
(1)λ(μa)= (λμ)a ;(2)λa+μa= (λ+μ)a
《平面向量》课件
向量积性质
向量积是向量与向 量之间的一种运算， 其结果是一个向量
向量积的方向与两 个向量的方向有关， 与它们的大小无关
向量积的大小与两 个向量的大小有关， 与它们的方向无关
向量积的运算满足 交换律和结合律， 但不满足分配律
向量积运算律
交换律：a×b=b×a 结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 分配律：a×(b+c)=a×b+a×c 向量积与标量乘法的乘法分配律：(k×a)×b=k×(a×b)
向量积几何意义
向量积是向量与向量之间的一种运算，其结果是一个向量 向量积的方向垂直于两个向量所在的平面 向量积的大小等于两个向量的长度乘以它们之间的夹角的余弦值 向量积的应用广泛，如物理中的力矩、电磁学中的磁场强度等
混合积定义
向量混合积：也称为三重积，是一种向量运算，用于计算三个向量的混合积。 混合积公式：A×(B×C) = (A·C)B - (A·B)C，其中A、B、C为向量。 混合积性质：混合积满足交换律、结合律和分配律。 混合积应用：在物理学、工程学等领域有广泛应用，如计算力矩、角速度等。
线性组合
向量线性组合：将两个或多个向量相加或相减 线性组合的性质：线性组合的结果仍然是向量 线性组合的应用：求解线性方程组、向量空间等 线性组合的表示：用向量的坐标表示线性组合的结果
线性相关
向量线性相关：两个向量线性相关，当且仅当其中一个向量是另一个向量的倍数
线性无关：两个向量线性无关，当且仅当它们不能通过线性组合得到
数量积为零表示两 个向量垂直
向量积定义
向量积：也称为外积或叉积，是一种线性代数运算
向量积的定义：两个向量A和B的向量积是一个向量C，其方向垂直于A和B所在的平面，其大小 等于A和B的长度乘以它们之间的夹角的正弦值
§5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理
考点二 平面向量基本定理及坐标表示
１．平面向量基本定理 如果 ｅ１ ，ｅ２ 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一
平面内的任意向量 ａ，有且只有一对实数 λ１ ，λ２ ，使ａ ＝ λ１ ｅ１ ＋λ２ ｅ２ ．
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
{∴
８
－λｋ
＝
０， ⇒８
＝
２λ２
⇒λ
＝
±
２．
ｋ－２λ ＝ ０
∴ ｋ ＝ ２λ ＝ ±４．
（３） 证法一：∵ Ｍ、Ｎ、Ｐ 三点共线，
∴ 存在实数 μ，使得Ｍ→Ｐ ＝ μ Ｐ→Ｎ，
∴
Ｏ→Ｐ
＝
Ｏ→Ｍ＋μ Ｏ→Ｎ ＝
１＋μ
１ｍ＋μａ＋１μ＋ｎμｂ．
∵ ａ，ｂ 为不共线的非零向量，
ìïïα ＝ １ｍ＋μ，
∴
í îïïβ
ｙ１ ） ． （２）平面向量共线的坐标表示．若 ａ ＝ （ ｘ１，ｙ１ ），ｂ ＝ （ ｘ２，ｙ２ ），
ｂ≠０，则 ａ 与 ｂ 共线⇔ｘ１ ｙ２ －ｘ２ ｙ１ ＝ ０．
需注意的几点：
①若 ａ ＝ （ ｘ１ ，ｙ１ ） ，ｂ ＝ （ ｘ２ ，ｙ２ ） ，则 ａ∥ｂ 的充要条件不能表示
成 ｘ１ ｘ２
＝
ｙ１ ｙ２
③Ｐ 为△ＡＢＣ 的垂心⇔→ＰＡ·Ｐ→Ｂ ＝ Ｐ→Ｂ·Ｐ→Ｃ ＝ Ｐ→Ｃ·→ＰＡ；
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第五章平面向量与复数5.1平面向量的概念及线性运算课件理
第十五页，共33页。
解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵A→B＝D→C，∴|A→B|＝|D→C|且A→B∥D→C，又∵A，B，C，D 是不共线的四点，∴四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则A→B∥D→C且|A→B|＝|D→C|，可得A→B＝D→C.故“A→B＝ D→C”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件． ③正确．∵a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同；又 b＝c，∴b， c 的长度相等且方向相同，∴a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c. ④不正确．由 a＝b 可得|a|＝|b|且 a∥b；由|a|＝|b|且 a∥b 可得 a ＝b 或 a＝－b，故“|a|＝|b|且 a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是 必要不充分条件． 综上所述，正确命题的序号是②③.故填②③.
第十七页，共33页。
下列命题中，正确的是________．(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③向量A→B与向量C→D共线，则 A，B，C，D 四点共线； ④如果 a∥b，b∥c，那么 a∥c； ⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
第五页，共33页。
2．向量的加法和减法
(1)向量的加法
①三角形法则：以第一个向量 a 的终点 A 为起点作第二个向量 b，
则以第一个向量 a 的起点 O 为________以第二个向量 b 的终点 B 为 ________的向量O→B就是 a 与 b 的________(如图 1)．
推广：A→1A2＋A→2A3＋…＋An→-1An＝____________.
第二十二页，共33页。
(1)( 2015·福建模拟 ) 在 △ABC
解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵A→B＝D→C，∴|A→B|＝|D→C|且A→B∥D→C，又∵A，B，C，D 是不共线的四点，∴四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则A→B∥D→C且|A→B|＝|D→C|，可得A→B＝D→C.故“A→B＝ D→C”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件． ③正确．∵a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同；又 b＝c，∴b， c 的长度相等且方向相同，∴a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c. ④不正确．由 a＝b 可得|a|＝|b|且 a∥b；由|a|＝|b|且 a∥b 可得 a ＝b 或 a＝－b，故“|a|＝|b|且 a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是 必要不充分条件． 综上所述，正确命题的序号是②③.故填②③.
第十七页，共33页。
下列命题中，正确的是________．(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③向量A→B与向量C→D共线，则 A，B，C，D 四点共线； ④如果 a∥b，b∥c，那么 a∥c； ⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
第五页，共33页。
2．向量的加法和减法
(1)向量的加法
①三角形法则：以第一个向量 a 的终点 A 为起点作第二个向量 b，
则以第一个向量 a 的起点 O 为________以第二个向量 b 的终点 B 为 ________的向量O→B就是 a 与 b 的________(如图 1)．
推广：A→1A2＋A→2A3＋…＋An→-1An＝____________.
第二十二页，共33页。
(1)( 2015·福建模拟 ) 在 △ABC
平面向量_PPT课件
(b－3a)·a＝(－2,1)·(1,0)＝－2，
∴cos〈b－3a，a〉＝|bb－－33aa||a·a|＝－52＝－2
5
5 .
(2)∵|3a－2b|＝3，
∴9a2－12a·b＋4b2＝9.
又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝13.
栏目 导引
∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2
＝9＋6×13＋1＝12.∴|3a＋b|＝2 3.
栏目 导引
【解】 ∵A→B＝(1,3)，A→C＝(2,4)，A→D＝(－3,5)， B→D＝(－4,2)，C→D＝(－5,1)，∴A→D＋B→D＋C→D＝(－ 3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)． 根据平面向量基本定理，一定存在实数 m、n，使 得A→D＋B→D＋C→D＝mA→B＋nA→C， ∴(－12,8)＝m(1,3)＋n(2,4)， 即(－12,8)＝(m＋2n,3m＋4n)．
【答案】 D
栏目 导引
专题二 平面向量的基本定理及向量坐标运算 向量的坐标运算主要是利用向量加减、数乘运算的
法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求 向量的坐标，解题过程中，常利用向量相等，则其坐 标相同这一原则，若已知三点坐标，利用向量证明三 点共线时，只需使三点构成的两个向量的坐标对应成 比例或利用共线向量定理．
栏目 导引
由于 a 与 b 不共线，则有
1－m＝n3， 35m＝1－n，
解得
nm＝＝1265.，
∴O→R＝16a＋12b.
栏目 导引
栏目 导引
可得m3m＋＋2n4＝ n＝－81. 2， 解得mn＝＝－322，2. ∴A→D＋B→D＋C→D＝32A→B－22A→C.
栏目 导引
平面向量课件
04
平面向量的应用
向量在几何中的应用
向量在平面几何中的应用广泛，如证明平行 、垂直、等角等性质。
向量可以表示空间中的点、线、面等基本元 素，有助于解决空间几何问题。
利用向量的数量积和向量积，可以计算角度 、距离等几何量。
向量在物理中的应用
向量在物理中常用于描述物体的 运动状态和相互作用。
力的合成与分解：通过向量的加 减法，可以将多个力合成一个力 ，也可以将一个力分解成多个力
2. 向量减法的定义：同向、反向、共线 等条件下的两个向量的差，以线段为工 具进行求解。
详细描述
1. 向量加法的定义：同向、反向、共线 等条件下的两个向量的和，以线段为工 具进行求解。
例题二：向量的数乘与数量积
详细描述
2. 向量数量积的定义：两 个向量的数量积等于它们 对应分量乘积的和，结果
为一个标量。
平面向量课件
目录
CONTENTS
• 平面向量基本概念 • 平面向量的运算 • 平面向量的坐标表示 • 平面向量的应用 • 平面向量的扩展知识 • 平面向量综合例题
01
平面向量基本概念
向量的定义
既有大小又有方向的量称为向量
向量的表示方法：用有向线段表示，线段的长度表示向量的大小，箭头表示向量 的方向
向量的坐标运算
对于两个向量(x1，y1)和(x2，y2)，它们的加法、减法、数乘和数量积等运算均可以通过对应坐标的 加法、减法、数乘和数量积来实现。
向量的模
向量的模的定义
向量(x，y)的模（或长度）可以用 sqrt(x²+y²) 来计算。
向量的模的性质
向量的模是非负实数，且对于任 意两个向量(x1，y1)和(x2，y2) ，满足|(x1，y1)| ≤ |(x2，y2)| 当 且仅当 x1 ≤ x2 且 y1 ≤ y2。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4
练习
▪问题:温度有零上零下之分,温度是不是向量?为什么? 不是，温度只有大小没有方向
▪ 问题. A B与 是不BA是同一个向量?为什么?
不是，方向不同
2020年10月2日
5
2020年10月2日
6
问题3:长度为零的向量应是什么向量?如何表示?它有方向吗? 零向量，方向是任意的
问题4:长度等于1个单位长度的向量应是什么向量? 单位向量
2020年10月2日
相等向量:长度相等且方向相同
2
有向线段：在线段的两个端
点中，规定一个顺序，假设 A为起点，B为终点，就说 线段AB具有方向，具有方 向的线段叫做有向线段。
B（终点） A（起点）
表示方法：以A为起点，B为终点的有向线段记作 A B
三要素：起点—起点一定在终点前面
方向—在有向线段的终点处画上箭头表
（2）用有向线段表示两个方向相同但长度不同 的向量，如果有相同的起点，那O A 么 a 它,O 们B 的 b 终,O 点C 是c
否相同？
不是
2．如图，D,E,F分别是各边的中点，写出图中
与 DE,EF,FD相等的向量.
A
D
F
2020年10月2日
B
E
C
13
如图中的小船，由A地向 西北方向航行15n mile （海里）到达B地。在这 里，如果仅指出“由A地 航行15n mile”，而不 指明“向西北方向”航 行，那么小船就不一定 到达B地了。
位移是一个既有大小又有方向的量，这种量就是本 章所要研究的向量。
2020年10月2日
14
演讲完毕，谢谢观看！
Thank you for reading! In order to facilitate learning and use, the content of this document can be modified, adjusted and printed at will after downloading. Welcome to download!
问题:若把平行向量的起点全部移到点o,这时它们是不是 平行向量?其终点有什么关系? （是，共线）
问题:若两个向量相等,那么它们必须具备什么条件? （长度相等，方向相同）
2020年10月2日
8
练习:
1.平行向量是否一定方向相同?
2.不相等的向量一定不平行吗?
（不一定） （不一定）
3.与o 相等的向量必定是什么向量?
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
15
o
4.与任何向量都平行的向量是否存在? o
5.两个非零向量相等的充要条件是什么?
（大小相等，方向相同）
6.共线向量一定在同一直线上吗?
2020年10月2日
（不一定）
9
例 如图，设O是正六边形的中心，分别写出图 中与向量 OA,OB相,OC 等的向量.
解： OACBDO;
B
A
OBDCEO;
O C A B E D F O .
量.
2020年10月2日
11
课后作业
▪ 1.书面作业:P96习题1.2.3. ▪ 2.思考题:如果船的速度为 aA (向正对岸)水流
的速度为 b ,那么船能达到B点吗?如不能则船 行的方向如何?
B
b
a
2020年10月2日
12
练习：
3.（1）用有向线段表示两个相等的向量，如果有
相同的起点，那么它们的终点是否相同？ 是
变式:
1.与向量OA 长度相等的向量共有多 C
o
F
少变个?
（11个）
2.与 OA 共线的向量有哪些?
OB DO FE
D
3.是否存在与 OA 长度相等,方向相
反20的20年向10量月?2日
（存在）
E
10
小结
1.向量及其表示方法. 2.两个特殊向量:零向量,单位向量. 3.向量间的关系:平行向量,相等向量, 共线向
课题:§5.1
2020年10月2日
1
§5.1向量
1.向量：
既有大小又有方向的量
2.向量的表示方法: 3.两个特殊的向量: 4.向量间的关系:
几何表示法(有向线段)
代数表示法(字母) 零向量：长度为零的向量
单位向量:长度等于1个单位长度的向量 平行向量：方向相同或相反的非零向量， 零向量与任一向量平行. 共线向量：即平面向量.
示方向
长度—已知A B ，线段AB的长度,记作| A B |
2020年10月2日
3
向量表示法： • 几何表示(有向线段)——-有向线段的方向表示向量
的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.
• 代数表示(字母) ——-用字母等表示 a b c ，或用
表示向量的有向线段的起点和终点字母表示 AB
2020年10月2日
问题5:单位向量有几个?.
（无数个）
问题6:零向量可用 o 表示那么单位向量能否用 1
表示?
（不能）
问题7:单位向量是否一定相等?它的大小是否一定相等?
（不一定，一定）
问题8:零向量小于单位向量吗? 2020年10月2日
（不，向量不能比较大小）
7
问题:一组向量它们的方向相同或相反,那么这组向量有什么关系? （平行向量）