北师大版七年级数学下册三角形难题全解
考点解析：北师大版七年级数学下册第四章三角形专项攻克试题(含解析)
北师大版七年级数学下册第四章三角形专项攻克考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，点F，C在BE上，AC＝DF，BF＝EC，AB＝DE，AC与DF相交于点G，则与2∠DFE相等的是（）A．∠A+∠D B．3∠B C．180°﹣∠FGC D．∠ACE+∠B2、以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（）A．1cm，1cm，8cm B．3cm，3cm，6cmC．3cm，4cm，5cm D．3cm，2cm，1cm3、如图，若MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件中不能判定ABM CDN≌的是（）A．AM＝CN B．AM CN∥C．AB＝CD D．∠M＝∠N4、有两根长度分别为7cm，11cm的木棒，下面为第三根的长度，则可围成一个三角形框架的是（）A．3cm B．4cm C．9cm D．19cm5、如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD上的点，且AE＝CF，则下列说法正确的是（）A．∠1﹣∠2＝90° B．∠1＝∠2＋45° C．∠1＋∠2＝180°D．∠1＝2∠26、如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小颖同学在池塘一侧选取了一点P，测得==，那么点A与点B之间的距离不可能是（）PA PB100m,90mA．20m B．120m C．180m D．200m7、如图，点C 在∠AOB 的OB 边上，用尺规作出了∠NCE =∠AOD ，作图痕迹中，弧FG 是( )A ．以点C 为圆心，OD 为半径的弧B ．以点C 为圆心，DM 为半径的弧C ．以点E 为圆心，OD 为半径的弧D ．以点E 为圆心，DM 为半径的弧8、如图，图形中的x 的值是（ ）A ．50B ．60C ．70D ．809、将一副三角板按如图所示的方式放置，使两个直角重合，则∠AFD 的度数是（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°10、如图，在ABC ∆中，已知点D ，E ，F 分别为BC ，AD ，CE 的中点，且4ABC S ∆=，则∆BEF 的面积是（ ）A．1-B．1 C．5 D．5-第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在△ABC中，点D为BC边延长线上一点，若∠ACD＝75°，∠A＝45°，则∠B的度数为__________．2、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝10，点P从点A出发沿线段AC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，点Q从点B出发沿折线BC﹣CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q 两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F，当△PEC与△QFC全等时，CQ的长为______．3、如图，已知AB＝12m，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC＝4m，点P从点B向点A运动，每分钟走1m，点Q从点B向点D运动，每分钟走2m．若P，Q两点同时出发，运动 _____分钟后，△CAP与△PQB全等．4、如图，已知AB AD =，请添加一个条件，使得ABC ADC ≅△△，则添加的条件可以为___（只填写一个即可）．5、如图，∠AOB ＝90°，OA ＝OB ，直线l 经过点O ，分别过A 、B 两点作AC ⊥l 于点C ，BD ⊥l 于点D ，若AC ＝5，BD ＝3，则CD ＝_______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，AB =DE ，∠B =∠E ，BF =CE ．求证：AC =DF ．2、如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于点F ，交AC 的平行线BG 于点G ，DE ⊥GF ，并交AB 于点E ，连接EG ，EF ．（1）求证：BG＝CF．（2）请你猜想BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．3、如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t s，且t≤5（1）PC＝ cm（用含t的代数式表示）（2）如图2，当点P从点B开始运动时，点Q从点C出发，以v cm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得以A﹑B﹑P为顶点的三角形与以P﹑Q﹑C为顶点的三角形全等？若存在，请求出v 的值；若不存在，请说明理由．4、已知AM∥CN，点B在直线AM、CN之间，AB⊥BC于点B．（1）如图1，请直接写出∠A和∠C之间的数量关系：．（2）如图2，∠A和∠C满足怎样的数量关系？请说明理由．（3）如图3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE与CH交于点G，则∠AGH的度数为．5、如图△ABC中，已知∠A＝60°，角平分线BD、CE交于点O．（1）求∠BOC的度数；（2）判断线段BE、CD、BC长度之间有怎样的数量关系，请说明理由．-参考答案-一、单选题1、C【详解】由题意根据等式的性质得出BC＝EF，进而利用SSS证明△ABC与△DEF全等，利用全等三角形的性质得出∠ACB＝∠DFE，最后利用三角形内角和进行分析解答．【分析】解：∵BF＝EC，∴BF+FC＝EC+FC，∴BC ＝EF ，在△ABC 与△DEF 中，AC DF AB DE BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△DEF （SSS ），∴∠ACB ＝∠DFE ，∴2∠DFE ＝180°﹣∠FGC ，故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，其中全等三角形的判定方法有：SSS ；SAS ；ASA ；AAS ；以及HL （直角三角形的判定方法）．2、C【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】解：A 、1+1＝2＜8，不能组成三角形，故此选项不合题意；B 、3+3＝6，不能组成三角形，故此选项不符合题意；C 、3+4＝7＞5，能组成三角形，故此选项符合题意；D 、1+2＝3，不能组成三角形，故此选项不合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了构成三角形的条件，掌握“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键．3、A【分析】根据两个三角形全等的判定定理，有AAS、SSS、ASA、SAS四种．逐条验证．【详解】解：A、根据条件AM=CN，MB=ND，∠MBA=∠NDC，不能判定△ABM≌△CDN，故A选项符合题意；B、AM∥CN，得出∠MAB=∠NCD，符合AAS，能判定△ABM≌△CDN，故B选项不符合题意；C、AB=CD，符合SAS，能判定△ABM≌△CDN，故C选项不符合题意；D、∠M=∠N，符合ASA，能判定△ABM≌△CDN，故D选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，本题是一道较为简单的题目．4、C【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差且小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．【详解】解：依题意得：11﹣7＜x＜7+11，即4＜x＜18，9cm适合．故选：C．【点睛】本题考查三角形三边关系，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．5、C【分析】由“SAS ”可证△ABE ≌△CBF ，可得∠AEB ＝∠2，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠A ＝∠C ＝90°，在△ABE 和△CBF 中，AB BC A C AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△CBF （SAS ），∴∠AEB ＝∠2，∵∠AEB ＋∠1＝180°，∴∠1＋∠2＝180°，故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．6、D【分析】首先根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出AB 的取值范围，然后再判断各选项是否正确．【详解】解：∵PA ＝100m ，PB ＝90m ，∴根据三角形的三边关系得到：PA PB AB PA PB -<<+，∴10m 190m AB <<，∴点A 与点B 之间的距离不可能是20m ，故选A ．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形两边只差小于第三边、两边之和大于第三边是解题的关键．7、D【分析】根据作一个角等于已知角的步骤即可得．【详解】解：作图痕迹中，弧FG 是以点E 为圆心，DM 为半径的弧，故选：D ．【点睛】本题主要考查作图-尺规作图，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的尺规作图步骤．8、B【分析】根据三角形外角的性质：三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数和进行求解即可．【详解】解：由题意得：()1070x x x ++=+∴1070x x x ++=+，∴60x =，故选B ．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，解一元一次方程，熟知三角形外角的性质是解题的关键．9、B【分析】根据三角板各角度数和三角形的外角性质可求得∠BFE ，再根据对顶角相等求解即可．【详解】解：由题意，∠ABC =60°，∠E =45°，∵∠ABC =∠E +∠BFE ，∴∠BFE =∠ABC －∠E =60°－45°=15°，∴∠AFD =∠BFE =15°，故选：B ．【点睛】本题考查三角板各角的度数、三角形的外角性质、对顶角相等，熟知三角板各角的度数，掌握三角形的外角性质是解答的关键．10、B【分析】根据三角形面积公式由点D 为BC 的中点得到122ABD ADC ABC S S S ∆∆∆===，同理得到112EBD EDC ABD S S S ∆∆∆===，则2BEC S ∆=，然后再由点F 为EC 的中点得到112BEF BEC S S ∆∆==． 【详解】 解：点D 为BC 的中点，122ABD ADC ABC S S S ∆∆∆∴===， 点E 为AD 的中点，112EBD EDC ABD S S S ∆∆∆∴===， 2EBC EBD EDC S S S ∆∆∆∴=+=，点F 为EC 的中点，112BEF BEC S S ∆∆∴==． 故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的中线与面积的关系，解题的关键是掌握是三角形的中线把三角形的面积平均分成两半．二、填空题1、30°【分析】根据三角形的外角的性质，即可求解．【详解】解：∵ACD A B ∠=∠+∠ ，∴B ACD A ∠=∠-∠ ，∵∠ACD ＝75°，∠A ＝45°，∴30B ∠=︒ ．故答案为：30°【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．2、7或3.5【分析】分两种情况：（1）当P在AC上，Q在BC上时；（2）当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时；【详解】解：当P在AC上，Q在BC上时，∵∠ACB=90°，∴∠PCE+∠QCF=90°，∵PE⊥l于E，QF⊥l于F．∴∠PEC=∠CFQ=90°，∴∠EPC+∠PCE=90°，∴∠EPC=∠QCF，∵△PEC与△QFC全等，∴此时是△PCE≌△CQF，∴PC=CQ，∴8-t=10-3t，解得t=1，∴CQ=10-3t=7；当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时，则CQ=PC，由题意得，8-t=3t-10，∴CQ =3t -10=3.5，综上，当△PEC 与△QFC 全等时，满足条件的CQ 的长为7或3.5，故答案为：7或3.5．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，根据题意得出关于t 的方程是解题的关键．3、4【分析】根据题意CA ⊥AB ，DB ⊥AB ，则90A B ∠=∠=︒，则分CAP PBQ ≌△△或CAP QBP ≌两种情况讨论，根据路程等于速度乘以时间求得,PB BQ 的长，根据全等列出一元一次方程解方程求解即可【详解】 解：CA ⊥AB ，DB ⊥AB∴90A B ∠=∠=︒，点P 从点B 向点A 运动，每分钟走1m ，点Q 从点B 向点D 运动，每分钟走2m ，设运动时间为t ，且AC ＝4m ，∴,12,2PB t PA AB PB t BQ t ==-=-=，当CAP PBQ ≌△△时则PA BQ =，4PB AC ==即122t t -=，4t =解得4t =当CAP QBP ≌时，则PA PB =，4AC QB ==即12t t -=，42t =不符合题意，故舍去综上所述4t=即4分钟后，△CAP与△PQB全等．故答案为：4【点睛】本题考查了三角形全等的性质，根据全等的性质列出方程是解题的关键．4、BAC DAC∠=∠或CB CD=【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．【详解】解：由题意AB AD=，=，AC AC∴根据SAS，可以添加BAC DAC∠=∠，使得ABC ADC∆≅∆，根据SSS，可以添加CB CD=，使得ABC ADC∆≅∆．故答案为：BAC DAC=∠=∠或CB CD【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法——边角边、角边角、角角边、边边边是解题的关键．5、2【分析】首先根据同角的余角相等得到∠A＝∠BOD，然后利用AAS证明△ACO≌△ODB，根据全等三角形对应边相等得出AC＝OD＝5，OC＝BD＝3，根据线段之间的数量关系即可求出CD的长度．【详解】解：∵AC ⊥l 于点C ，BD ⊥l 于点D ，∴∠ACO ＝∠ODB ＝90°，∵∠AOB ＝90°，∴∠A ＝90°﹣∠AOC ＝∠BOD ，在△ACO 和△ODB 中，ACO ODB A BOD OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACO ≌△ODB （AAS ），∴AC ＝OD ＝5，OC ＝BD ＝3，∴CD ＝OD ﹣OC ＝5﹣3＝2，故答案为：2．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，同角的余角相等，解题的关键是根据题意证明△ACO ≌△ODB ．三、解答题1、见解析【分析】先由BF =CE 说明BC= EF ．然后运用SAS 证明△ABC ≌△DEF ，最后运用全等三角形的性质即可证明．【详解】证明：∵BF= CE ，∴BC= EF ．在△ABC 和△DEF 中，,,,AB DE B E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．∴AC =DF ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确证明△ABC ≌△DEF 是解答本题的关键．2、（1）见解析；（2）BE +CF ＞EF ．见解析【分析】（1）利用平行关系以及BC 的中点，求证△CFD ≌△BGD ，进而证明BG ＝CF ．（2）在△BGE 中，利用三边关系得到BG +BE ＞EG ，利用△CFD ≌△BGD ，将不等式中的BG 、EG 用CF 、EF 替换，即可证明．【详解】（1）证明：∵BG ∥AC ，∴∠C ＝∠GBD ，∵D 是BC 的中点，∴BD ＝DC ，在△CFD 和△BGD 中C GBD CD BDCDF BDG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△CFD ≌△BGD ()ASA ，∴BG ＝CF ．（2）解：BE +CF ＞EF ，理由如下：∵△CFD ≌△BGD ，∴CF ＝BG ，在△BGE 中，BG +BE ＞EG ，∵△CFD ≌△BGD ，∴GD ＝DF ，ED ⊥GF ，∴EF ＝EG ，∴BE +CF ＞EF ．【点睛】本题主要是考查了全等三角形的判定和性质以及三角形的三边关系，通过题目所给条件，正确找到证明三角形全等的条件，进而应用全等三角形性质以及三边关系解题，是解决本题的关键．3、（1）(10﹣2t )；（2）当v =1或v =2.4时，△ABP 和△PCQ 全等．【分析】（1）根据题意求出BP ，然后根据PC =BC -BP 计算即可；（2）分△ABP ≌△QCP 和△ABP ≌△PCQ 两种情况，根据全等三角形的性质解答即可．【详解】解：（1）∵点P 的速度是2cm /s ，∴t s 后BP =2t cm ，∴PC=BC −BP =(10−2t )cm ，故答案为：(10﹣2t )；（2）由题意得：cm CQ vt ，∠B=∠C =90°，∴只存在△ABP ≌△QCP 和△ABP ≌△PCQ 两种情况，当△ABP≌△PCQ时，∴AB=PC，BP=CQ，∴10−2t=6，2t=vt，解得，t=2，v=2，当△ABP≌△QCP时，∴AB=QC，BP=CP，∴2t=10-2t， vt=6，解得，t=2.5，v=2.4，∴综上所述，当v=1或v=2.4时，△ABP和△PCQ全等．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解．4、（1）∠A+∠C＝90°；（2）∠C﹣∠A＝90°，见解析；（3）45°【分析】（1）过点B作BE∥AM，利用平行线的性质即可求得结论；（2）过点B作BE∥AM，利用平行线的性质即可求得结论；（3）利用（2）的结论和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求得结论．【详解】（1）过点B作BE∥AM，如图，∵BE∥AM，∴∠A＝∠ABE，∵BE∥AM，AM∥CN，∴BE∥CN，∴∠C＝∠CBE，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠A+∠C＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝90°．故答案为：∠A+∠C＝90°；（2）∠A和∠C满足：∠C﹣∠A＝90°．理由：过点B作BE∥AM，如图，∵BE∥AM，∴∠A＝∠ABE，∵BE∥AM，AM∥CN，∴BE∥CN，∴∠C+∠CBE＝180°，∴∠CBE＝180°﹣∠C，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠A+180°﹣∠C＝90°，∴∠C﹣∠A＝90°；（3）设CH与AB交于点F，如图，∵AE平分∠MAB，∴∠GAF＝12∠MAB，∵CH平分∠NCB，∴∠BCF＝12∠BCN，∵∠B＝90°，∴∠BFC＝90°﹣∠BCF，∵∠AFG＝∠BFC，∴∠AFG＝90°﹣∠BCF．∵∠AGH＝∠GAF+∠AFG，∴∠AGH＝12∠MAB+90°﹣12∠BCN＝90°﹣12（∠BCN﹣∠MAB）．由（2）知：∠BCN﹣∠MAB＝90°，∴∠AGH＝90°﹣45°＝45°．故答案为：45°．【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形外角的性质，由题作出辅助线是解题的关键．5、（1）120°；（2）BC ＝BE ＋CD ，理由见解析【分析】（1）利用角平分线的定义以及三角形内角和定理计算即可；（2）只要证明∠BOF ＝∠BOE ＝60°，可得∠COD ＝∠COF ＝60°即可证明．【详解】解：（1）在△ABC 中，∠A ＝60°，BD 和CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，∴∠OBC ＋∠OCB ＝12（∠ABC ＋∠ACB ）＝12（180°﹣60°）＝60°，∴∠BOC ＝180°﹣60°＝120°．（2）BC ＝BE ＋CD ．理由如下：在BC 上截取BF ＝BE ，连接OF ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠EBO ＝∠FBO ，在△OBE 和△OBF 中，OB OB OBE OBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△OBE ≌△OBF （SAS ），∴∠BOE ＝∠BOF ，∵∠BOC ＝120°，∴∠BOE＝60°，∴∠BOF＝∠COF＝∠COD＝60°，∵OC＝OC，∠OCD＝∠OCF，∴△COD≌△COF（ASA）．∴CF＝CD，∴BC＝BF＋CF＝BE＋CD．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．。
北师大版 七年级下册数学第四章全等三角形证明题方法全解
北师大版本七下数学第四章全等三角形证明题方法全解全等三角形是七年级数学的重要内容之一，在图形的证明题中有着极其广泛的应用。
然而在许多情况下，给定的题设条件及图形并不具有明显的全等条件，这就需要我们认真分析，仔细观察，根据图形的结构特征，挖掘潜在因素，通过添加适当的辅助线，巧构全等三角形。
借助全等三角形的有关性质，就会迅速找到证题途径，直观易懂，简捷明快。
现略举几例加以说明。
一. 证线段垂直例1. 已知，如图1，在中，AB＝2BC，求证：图1分析与证明：本题可先作的平分线BD交AC于点D，由，又，得到。
则为等腰三角形。
再取AB中点E，连DE，借助等腰三角形的性质，得到。
再由，，BD＝BD，得到。
由全等三角形的对应角相等，得到，即。
二. 证线段的倍分例2. 已知，如图2，等腰中，，的平分线交AC于D，过C作BD的垂线交BD的延长线于E。
求证：BD＝2CE图2分析与证明：要证BD＝2CE，可延长BA、CE交于点F。
由BE平分，，得到为等腰三角形。
根据等腰三角形的性质可得CE＝EF，即。
再由，AB＝AC，，得到，从而由全等三角形的对应边相等立即得到BD ＝CF＝2CE。
三. 证角相等例3. 已知，如图3，在中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC于点F，求证：图3分析与证明：由AD是中线，可“延长中线一倍”，借助中线性质构全等三角形。
延长AD至G，使DG＝AD，连BG，由DG＝AD，，BD＝CD得到。
由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到AC＝BG，。
而AC＝BE，则BE＝BG，所以，而，从而得到。
四. 证角不等例4. 已知：如图4，在中，，AD是BC边的中线。
求证：图4分析与证明：由AD是中线，可“延长中线一倍”，借助中线性质构全等三角形。
延长AD至E，使DE＝AD，连BE。
由DE＝CD，，BD＝CD，得到。
由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到BE＝AC，，在中，由，得到，而，所以五. 证线段相等例5. 已知：如图5，在中，D是BC边的中点，交的平分线于E，交AB 于点F，交AC的延长线于点G。
北师大数学七年级下册三角形全章分课时习题及答案
北师大版数学七年级下册三角形全章分课时习题及答案1、认识三角形一、单项选择题1.以下长度的各组线段为边能构成一个三角形的是（）A.9，9，1B.4，5，1C.4，10，6D.2，3，6假如CD均分含30°三角板的∠ACB，则∠1等于（）．°°°°3.以下说法正确的选项是（）A.在一个三角形中起码有一个直角B.三角形的中线是射线C.三角形的高是线段D.一个三角形的三条高的交点必定在三角形的外面4.一个三角形的内角中，起码有（）A.一个钝角B.一个直角C.一个锐角D.两个锐角5.如图，△ABC中BC边上的高为（）A.AEB.BFC.ADD.CF6.知足以下条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A.∠B+∠A=∠CB.∠A：∠B：∠C=2：3：5C.∠A=2∠B=3∠CD.一个外角等于和它相邻的一个内角7.如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其极点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为平方厘米，则此方格纸的面积为（）第1页/共88页A.11平方厘米B.12平方厘米C.13平方厘米D.14平方厘米8.具备以下条件的△ABC 中，不是直角三角形的是（）∠A＋∠B=∠CB.∠A－∠B=∠C C.∠A︰∠B︰∠C=1︰2︰3D. ∠A=∠B=3∠C9.以长为8cm 、6cm 、10cm 、4cm 的四条线段中的三条线段为边，能够画出三角形的个数为（） 个个 个 个10.已知△ABC 中，∠A：∠B：∠C=2：3：5，则△ABC 是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不可以确立三角形的形状11.已知三角形的两边长分别为 3cm 和8cm ，则这个三角形的第三边的长可能是( )A.4cmC.6cmD. 13cm12.三角形的以下四种线段中必定能将三角形分红面积相等的两部分的是（ ） A.角均分线 B.中位线 C.高 D.中线二、填空题13.如图，在△ABC 中，∠ACB=58°，若P 为△ABC 内一点，且∠1=∠2，则∠BPC=________．14.画三角形内角的均分线交对边于一点，极点与交点之间的线段叫做三角形的________．2，15.如图，在△ABC 中，已知点D 为BC 上一点，E ，F 分别为AD ，BE 的中点，且S △ABC =8cm则图中暗影部分△CEF的面积是_____cm2．第2页/共88页16 .已知三角形两边长分别是3cm，5cm，设第三边的长为xcm，则x的取值范围是________．17.如图，△ABC的面积为18，BD=2DC，AE=EC，那么暗影部分的面积是_______．18.各边长度都是整数.最大边长为8的三角形共有________个．三、解答题19.如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角均分线，它们订交于点 O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数。
七年级数学下册《认识三角形》练习题及答案解析(北师大版)
七年级数学下册《认识三角形》练习题及答案解析(北师大版) 一、单选题1．如图在△ABC中AD是△ABC的角平分线则（）A．△1=12△BAC B．△1=12△ABC C．△1=△BAC D．△1=△ABC2．两根长度分别为2 10的木棒若想钉一个三角形木架第三根木棒的长度可以是（）A．13B．10C．7D．63．如图给出的三角形有一部分被遮挡则这个三角形可能是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形4．如图从旗杆AB的顶端A向地面拉一条绳子绳子底端恰好在地面P处若旗杆的高度为13.2米则绳子AP的长度不可能是（）A．13米B．13.3米C．14米D．15米5．利用直角三角板作△ABC的高线下列作法正确的是（）A．B．C．D．6．若一个直角三角形其中一个锐角为40° 则该直角三角形的另一个锐角是（）A．60°B．50°C．40°D．30°7．如图AD BE CF是△ABC的三条中线则下列结论正确的是（）A．BC=2AD B．AB=2AF C．AD=CD D．BE=CF8．如图用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框（形状不限）不计螺丝大小其中相邻两螺丝的距离依次为3 4 5 7 且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框则任意两个螺丝间的距离的最大值为（）A．9B．8C．7D．69．将一个三角形纸片剪开分成两个三角形这两个三角形不可能()A．都是直角三角形B．都是钝角三角形C．都是锐角三角形D．是一个直角三角形和一个钝角三角形10．如图若△ABC的三条内角平分线相交于点I 过I作DE△AI分别交AB AC于点D E 则图中与△ICE一定相等的角（不包括它本身）有（）个．A．1B．2C．3D．4二、填空题11．如图AD AE分别是△ABC的角平分线和高∠B=50°∠C=70°则∠BAD=度∠EAD=度.12．已知三角形三边长分别为2 x 13 若x为正整数则这样的三角形有个．13．已知△ABC中△A=12△B=13△C 则△ABC是三角形．14．同一平面内有A B C三点A B两点之间的距离为5cm点C到直线AB 的距离为2cm且△ABC为直角三角形则满足上述条件的点C有个.三、作图题15．用圆规和直尺作图：已知△AOB（如图）求作：△AOB的平分线OC．（要求保留作图痕迹不写作法和证明过程）．四解答题16．如图AD是△BAC的平分线CE是△ADC边AD上的高若△BAC＝80° △ECD＝25° 求△ACB的度数．17．已知a b c是△ABC的三边长若b=2a−1c=a+5且△ABC的周长不超过20cm 求a范围．18．如图在△ABC中AD△BC 垂直为D △1=△B △C=67° 求△BAC的度数19．如图所示图中共有多少个三角形？请写出这些三角形并指出所有以E为顶点的角．20．如图在△ABC中CE BF是两条高若△A＝70° △BCE＝30° 求△EBF与△FBC的度数．21．如图求△A+△B+△C+△D+△E的大小．22．如图1 AB与CD相交于点O 若△D=38° △B=28° △DAB和△BCD的平分线AP和CP 相交于点P 并且与CD AB分别相交于M N．试求：（1）△P 的度数；（2）设△D=α △B=β △DAP= 13 △DAB △DCP= 13 △DCB 其他条件不变 如图2 试问△P 与△D △B 之间存在着怎样的数量关系（用α β表示△P ） 直接写出结论．参考答案1．【答案】A【解析】【解答】解：∵AD 是△ABC 的角平分线 ∴△1=12△BAC故答案为：A.【分析】根据角平分线的定义求解即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：设第三边的长度为x则10−2<x <10+2 即8<x <12 则x =10符合题意 故答案为：B.【分析】设第三边的长度为x 根据三角形中任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边 列出不等式组 求解可得x 的取值范围 从而一一判断即可得出答案.3．【答案】B【解析】【解答】解：由图形可得：该三角形为锐角三角形.故答案为：B.【分析】观察图形可知：图中的三角形有两个锐角 且第三个角也小于90° 据此可判断出三角形的形状.4．【答案】A【解析】【解答】解：∵旗杆的高度为AB =13.2米又∵AP ＞AB∴绳子AP 的长度不可能是：13米. 故答案为：A.【分析】直角三角形的性质：斜边大于直角边 据此解答即可.5．【答案】C【解析】【解答】解：由三角形的高线的定义可知：A 作法不符合题意 不符合题意；B 作法不符合题意 不符合题意；C 作法符合题意 符合题意；D 作法不符合题意 不符合题意； 故答案为：C ．【分析】根据高线的定义逐项判断即可。
北师大版七年级数学下册 三角形全等的五种常见应用
7．【2019·宜昌】如图，在△ABC 中，D 是 BC 边上的一点，AB
＝DB，BE 平分∠ABC，交 AC 边于点 E，连接 DE.
因为 AB∥DC，所以∠BAE＝∠G， 又 BE＝CE，∠AEB＝∠GEC， 所以△AEB≌△GEC(AAS)．所以 AB＝GC. 因为 AE 是∠BAF 的平分线，所以∠BAG＝∠FAG. 因为∠BAG＝∠G，所以∠FAG＝∠G.所以 AF＝GF. 因为 CG＝CF＋GF，所以 AB＝CF＋AF.
2．如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AB，BC 上， AE＝BF，AF 和 DE 交于点 G.
(1)观察图形，写出图中所有与∠AED 相等的角（∠CDE 除外）；
解：∠DAG、∠AFB 与∠AED 相等．
2．如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AB，BC 上， AE＝BF，AF 和 DE 交于点 G.
(2)求∠APN 的度数． 解：由(1)可知△ABM≌△BCN， 所以∠BAM＝∠CBN. 因为∠APN＝∠BAM＋∠ABP， 所以∠APN＝∠CBN＋∠ABP＝∠ABC＝（5－25）×180°＝108°.
(2)选择图中与∠AED 相等的任意一个角（∠CDE 除外）加以 证明． 解：(答案不唯一)选择∠DAG＝∠AED. 证明如下：
因为四边形 ABCD 是正方形， 所以∠DAB＝∠B＝90°，DA＝AB.
DA＝AB， 在△DAE 和△ABF 中，∠DAB＝∠B，
AE＝BF. 所以△DAE≌△ABF(SAS)，所以∠ADE＝∠BAF.
北师大版初北师大版七年级(下)数学第四章三角形教案：全等三角形的判定讲义(含有答案)
三角形全等的断定〔1〕__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、理解全等三角形的断定方法SSS 、SAS 、ASA 、AAS ；2、能运用断定方法断定两个三角形全等；3、经理探究断定方法断定两个三角形全等的过程，体会数学知识来源生活，又应用于生活.1．SSS____________的两个三角形全等〔简称SSS 〕．这个定理说明，只要三角形的三边长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具有__________的原理．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．如以下图，：△ABC 与△DEF 的三条边对应相等，求证：△ABC ≌△DEF ．证明：在△ABC 与△DEF 中，∴△ABC ≌△DEF 〔SSS 〕．角用直尺和圆规作一个角等于角的示意图如下图，说明'''A O B =AOB ∠∠的根据是_________．4．边角边定理三角形全等断定方法2：______和它们的______分别相等的两个三角形全等．〔简称SAS 〕 符号语言：在△ABC 与△DEF 中，∴△ABC ≌△DEF 〔SAS 〕．图示：5．探究边边角两边及其一边所对的角分别相等，两个三角形________等．6．ASA_______________分别相等的两个三角形全等，简称角边角或ASA ．▲如以下图，∠D=∠E ，AD ＝AE ，∠1＝∠2．求证：△ABD ≌△ACE ．证明：∵∠1＝∠2〔〕∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD 〔相等的角加同一个角仍相等〕即∠BAD ＝∠CAE在△ABD 和△ACE 中， ∠D=∠E 〔〕AD=AE 〔〕∠BAD ＝∠CAE 〔等量相加〕∴△ABD≌△ACE〔ASA〕．7．AAS______________________分别相等的两个三角形全等，简称角角边或AAS．▲如图：D在AB上，E在AC上，DC=EB,∠C=∠B．求证：△ACD≌△ABE．证明：在△ACD和△ABE中．∠C=∠B〔〕∠A=∠A〔公共角〕DC=EB〔〕∴△ACD≌△ABE〔AAS〕．参考答案：1.三边分别相等稳定性3.全等三角形的对应角相等4.两边夹角5.不一定全6.两角和它们的夹边7.两个角和其中一个角的对边1.先证明对应边相等，再证全等〔利用中点、等量相加等〕【例1】如下图，在△ABC和△FED中，AD＝FC，AB＝FE，BC＝ED，求证：△ABC≌△FED．【解析】∵AD＝FC，∴AD＋DC＝FC＋DC，即AC＝FD．在△ABC和△FED中，∴△ABC≌△FED〔SSS〕．总结：利用“SSS〞证明两个三角形全等，有如下几种常见类型：〔1〕有公共边的两个三角形．〔2〕有公共线段的两个三角形，我们可以用等量相加或相减，推出两边相等．〔3〕含有中点的两个三角形，如图：AB=AC，D是BC的中点，由中点的定义可得：BD=CD．继而可证△ABD≌△ACD．练1.如图，AC=BD，0是AB、CD的中点，求证△AOC≌△BOD．【解析】要证△AOC≌△BOD，只需看这两个三角形的三条边是否分别相等．证明：∵O是是AB、CD的中点，∴AO=BO，CO=DO．在△AOC和△BOD中，∴△AOC≌△BOD．2.先利用SSS证明三角形全等，继而证明边〔角〕相等，或求边〔角〕【例2】如下图，AB＝DC，AC＝DB，求证：∠1＝∠2．【解析】在△ABC与△DCB中，∴△ABC≌△DCB〔SSS〕.∴∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC.∴∠ABC－∠DBC＝∠DCB－∠ACB.即∠1＝∠2．总结：1.要求证在两个不同三角形内的角相等，往往利用全等三角形的性质.2.当两个角所在的三角形不易证全等时，可以利用等量的和〔差〕相等，将问题转化.3.求证不在同一个三角形内的两边相等，同样可以利用全等三角形的性质.练2.如图是“人〞字形屋梁，AB＝AC．如今要在程度横梁BC上立一根垂直的支柱支撑屋梁，工人师傅取BC的中点D，然后在A，D之间竖支柱AD．那么这根AD符合“垂直〞的要求吗？为什么？【解析】AD⊥BC符合要求，理由如下：∵点D是BC的中点，∴BD＝CD．在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD〔SSS〕.∴∠ADB＝∠ADC.又∵∠ADB＋∠ADC＝180°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∴AD⊥BC．练3.如下图，：A，C，F，D四点在同一直线上，AB＝DE，BC＝EF，AF＝DC，求证：AB∥DE.【解析】先根据SSS证明两三角形全等，由三角形全等的性质得出：∠A＝∠D，即可证明AB ∥DE．证明：∵AF＝DC，∴AF－CF＝DC－CF．∴AC＝DF．在△ABC与△DEF中，∴△ABC≌△DEF〔SSS〕．∴∠A＝∠D．∴AB∥DE．练4.：如下图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，求证：∠C＝∠A.【解析】连接BD，在△ABD和△CBD中，∴△ABD≌△CBD〔SSS〕．∴∠C＝∠A．练5.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，求证：∠A＋∠D＝180°.【解析】证明：连接AC，在△ADC与△CBA中，∴△ADC≌△CBA〔SSS〕，∴∠ACD＝∠CAB，∴AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°．3．利用SAS直接证明三角形全等【例3】如下图，△ABC，△DEF均为锐角三角形，AB=DE，AC=DF，∠A=∠D．求证：△ABC ≌△DEF．【解析】直接根据SAS可证明△ABC≌△DEF．证明：在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF〔SAS〕．总结：运用“边角边〞断定两个三角形全等时，〔1〕同一三角形的边、角要放在等号的同一边，按照“边角边〞的顺序书写；〔2〕注意条件里的三个元素必须齐全，且对应相等；〔3〕条件里的三个元素必须对应，一个三角形中的元素依次是“边—角—边〞，另一个三角形的元素也必须依次是“边—角—边〞，假如是其他“边—边—角〞或“角—边—边〞，那么两个三角形不一定全等；〔4〕在条件中，相等的角必须是所给两边的夹角，假如把夹角改为其中一条边的对角，那么不一定全等．练6．〔2021秋•天元区期末〕如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，根据〔SAS〕断定△ABC ≌△DEF，还需的条件是〔〕A．∠A=∠D B．∠B=∠E C．∠C=∠F D．以上三个均可以【解析】根据三角形全等的断定中的SAS，即两边夹角．做题时根据条件，结合全等的断定方法逐一验证，要由位置选择方法．解：要使两三角形全等，且SASAB=DE，BC=EF，还差夹角，即∠B=∠E；A、C都不满足要求，D也就不能选取．应选B．练7．如以下图所示，∠1＝∠2，AO＝BO，求证：△AOC≌△BOC．【解析】两个三角形包含一个公共边，结合条件，根据SAS可证明△AOC≌△BOC．证明：在△AOC和△BOC中，∴△AOC≌△BOC〔SAS〕．4．先证明对应边或对应角相等，再证明三角形全等【例4】〔2021春•启东市校级月考〕如图，AE=CF，AD∥BC，AD=CB．求证：△ADF≌△CBE．【解析】根据平行线的性质及全等三角形的断定定理“SAS〞证得结论．证明：∵AE=CF，∴AE﹣EF=CF﹣EF，即AF=CE．又∵AD∥BC，∴∠A=∠C．∵在△ADF与△CBE中，∴△ADF≌△CBE〔SAS〕．总结：没有直接给出能证明三角形全等的条件时，〔1〕先根据条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的断定方法，看缺什么条件，再去证什么条件；假如两边，那么要找第三边或夹角；假如一角和该角的一边，那么需要找夹角的另一条边；〔2〕在证明三角形全等时，有些题目的条件含而不露，通常要挖掘出隐含条件，比方公共边、对顶角等，从而为解题所用；〔3〕有些条件需要用到线段与角的和差关系才能得到．练8．〔2021•房山区二模〕如图，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2，求证：△ABC≌△ADE．【解析】∠1=∠2，∠BAE是公共角，从而可推出∠DAE=∠BAC，AB=AD，AC=AE，从而可以利用SAS来断定△ABC≌△ADE．证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠BAC．在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE〔SAS〕．练9．〔2021•永春县质检〕：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE．求证：△AEC≌△BDC．【解析】根据∠ACD=∠BCE，可得出∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠BCD．根据边角边公理可得出△AEC≌△BDC．证明：在△AEC和△BDC中，∵点C是线段AB的中点，∴AC=BC，∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠BCD，在△AEC和△BDC中，∴△AEC≌△BDC〔SAS〕．点评：此题考察了全等三角形的断定SAS．5.先用SAS证明三角形全等，再证对应边、对应角相等【例5】〔1〕〔2021•十堰〕如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，AD=AE．求证：∠B=∠C．【解析】首先根据条件AB=AC，AD=AE，再加上公共角∠A=∠A可利用“SAS〞定理证明△ABE≌△ACD，进而得到∠B=∠C．证明：在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD〔SAS〕．∴∠B=∠C．〔2〕〔2021春•鼓楼区校级月考〕如图，点E，F在AC上，AB∥CD，AB=CD，AE=CF．求证：BF=DE．【解析】先由平行线的性质得出内错角相等，再证出AF=CE，根据SAS证明△ABF≌△CDE，由全等三角形的对应边相等即可得出结论．证明：∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，在△ABF和△CDE中，∴△ABF≌△CDE〔SAS〕，∴BF=DE．总结：综合利用三角形全等的断定与性质解题步骤如下：〔1〕由问题中的条件，根据三角形全等的断定方法证明两个三角形全等；〔2〕由三角形全等的性质证得对应角相等、对应边相等．练10．〔2021秋•涞水县期末〕如图，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠A=50°，∠B=30°，那么∠D的度数为〔〕A．50° B.30°C．80°D．100°【解析】利用SAS可证明△AOD≌△COB，那么∠D=∠B=30°．解：∵OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB〔SAS〕，∴∠D=∠B=30°．应选B．练11．〔2021春•锦州校级期中〕如图，点B，E，C，F在同一直线上，在△ABC与△DEF中，AB=DE，AC=DF，假设∠_____=∠______，那么△ABC≌△DEF，所以BC=_____，因此BE=________．【解析】根据三角形全等的断定方法SAS，假设∠A=∠D时，两个三角形全等，得出对应边相等，得出结果．解：假设∠A=∠D时，△ABC≌△DEF；∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF〔SAS〕，∴BC=EF，∴BE=CF；故答案为：∠A=∠D，EF，CF．6．先用ASA证全等，再证边角相等【例6】如下图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：BO＝DO．【解析】先用“ASA 〞证明△ABC ≌△ADC ，得出AB=AD ，再用“SAS 〞证明△ABO ≌△ADO ，可得出结论．证明：在△ABC 和△ADC 中，∴△ABC ≌△ADC 〔ASA 〕.∴AB ＝AD.在△ABO 与△ADO 中，△ACO ≌△ADO 〔SAS 〕.∴BO ＝DO ．总结：全等三角形的对应边相等，对应角相等，所以证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决．练12.如下图，在△ABC 中，点O 为AB 的中点，AD ∥BC ，过点O 的直线分别交AD ，BC 于点D ，E ，求证：OD ＝OE.【解析】∵点O 为AB 的中点，∴AO ＝BO ．∵AD ∥BC ，∴∠ADO ＝∠BEO ，∠DAO ＝∠EBO.在△AOD 与△BOE 中，∴△AOD ≌△BOE 〔AAS 〕.∴OD ＝OE ．7．先用AAS 证全等，再证边角相等【例7】如下图，∠1＝∠2，∠C ＝∠D ，求证：AC ＝AD ．D C BA O12 3 4【解析】先利用AAS 证明两三角形全等，再根据全等三角形的性质得出AC ＝AD ．证明：在△ACB 与△ADB 中，∴△ACB ≌△ADB 〔AAS 〕.∴AC ＝AD ．总结：1. 由“ASA 〞与“AAS 〞可知，两个三角形假如有两个角及任意一边对应相等，那么这两个三角形相等．2. 注意不用混淆“ASA 〞和“AAS 〞，“ASA 〞是两角及夹边对应相等，“AAS 〞是两角及一对边对应相等.练13.如下图，C ，F 在BE 上，∠A ＝∠D ，AC ∥DF ，BF ＝EC ．求证：AB ＝DE ．【解析】先利用平行证明角相等，再用等量相减的思想证明BC ＝EF ，应用AAS 可得△ABC ≌△DEF ，进而得出结论．证明：∵AC ∥DF ，∴∠ACE ＝∠DFB.又∵∠ACE ＋∠ACB ＝180°，∠DFB ＋∠DFE ＝180°，∴∠ACB ＝∠DFE.又BF ＝EC ，∴BF －CF ＝EC －CF ，即BC ＝EF.在△ABC 与△DEF 中，∴△ABC ≌△DEF 〔AAS 〕.∴AB ＝DE ．8．灵敏选用证明方法证〔判断〕全等AB C FED【例8】如下图，∠B＝∠DEF，BC＝EF，要证△ABC≌△DEF，假设要以“ASA〞为根据，还缺条件_________；以“SAS〞为根据，还缺条件_________；以“AAS〞为根据，还缺条件_________.【解析】一组角和一组边相等,要根据“ASA〞证全等就要求夹边的另一组角相等，故填∠ACB=∠DFE；要根据“SAS〞证全等就要求夹角的另一组边相等，故填AB=DE；要根据“AAS〞证全等就要求另一组角相等，故填∠A=∠D.答案：∠ACB＝∠DFE；AB＝DE；∠A＝∠D．总结：1.到目前为止，我们学习了4种证明三角形全等的方法，分别是“边边边〞“边角边〞“角边角〞“角角边〞.注意：三角形全等的断定方法中不存在“角边边〞“角角角〞．2.“边边边〞“角边角〞“角角边〞“边角边〞这四种判断方法中，都要求有一组边对应相等．3.在寻求全等条件时，要注意结合图形挖掘图中隐含的公共边、公共角、对顶角、中点、角平分线.4.以及平行线中包含的角的关系，垂直中包含的角的关系，以便顺利求解．练14.如下图，点D在AB上，点E在AC上，且∠B＝∠C，那么补充以下一个条件后，仍无法断定△ABE≌△ACD的是〔〕.＝AE B.∠AEB＝∠ADC＝＝AC【解析】选择A中的AD=AE，加上条件，可根据AAS证明△ABE≌△ACD；选项B中给出∠AEB＝∠ADC，加上条件，可得三对角相等，但三对角相等的三角形不一定全等；选项C中的BE＝CD，加上条件，可根据AAS证明△ABE≌△ACD；选项D中的AB＝AC，加上条件，可根据ASA证明△ABE≌△ACD；应选：B．练15.如下图，BF ⊥AC ，DE ⊥AC ，垂足分别为点F ，E ，BF ＝DE ，∠B ＝∠D ，求证：AE ＝CF.【解析】∵BF ⊥AC ，DE ⊥AC ，∴∠DEC ＝∠BFA ＝90°.在△BFA 与△DEC 中，∴△BFA ≌△DEC 〔ASA 〕.∴AF ＝CE.∴AF ＋EF ＝CE ＋EF.∴AE ＝CF.练16．如图，将△BOD 绕点O 旋转180°后得到△AOC ，再过点O 任意画一条与AC ，BD 都相交的直线MN ，交点分别为M 和N ．试问：线段OM ＝ON 成立吗？假设成立，请进展证明；假设不成立，请说明理由．【解析】OM ＝ON 成立．理由是：∵△BOD 绕点O 旋转180°后得到△AOC ，∴△BOD ≌△AOC ．∴∠A ＝∠B ，AO ＝BO ．又∵∠AOM ＝∠BON ，∴△AOM ≌△BON (ASA)．∴OM ＝ON ．练17．如下图，直角三角形ABC 的直角顶点C 置于直线l 上，AC ＝BC ，现过A ，B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为点D ，E.DC E FA B BA C DE【解析】〔1〕△ACD ≌△CBE ，证明：∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°.又∵AD ⊥l ，∴∠CAD ＋∠ACD ＝90°.∴∠BCE ＝∠CAD.∵BE ⊥l ，∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°.在△ACD 与△CBE 中，∠CAD ＝∠BCE ，∠ADC ＝∠CEB ，AC ＝CB ，∴△ACD ≌△CBE 〔AAS 〕.〔2〕由〔1〕可知△ACD ≌△CBE ，∴AD ＝CE ，CD ＝BE ，∴AD ＝CE ＝CD ＋DE ＝BE ＋DE ＝3＋5＝8.1．如下图，AB ∥CD ，OB ＝OD ，那么由“ASA 〞可以直接断定△______≌△___________.2．如下图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为点D ，E ，AD ，CE 交于点H ，EH ＝EB ＝3，AE ＝4，那么CH 的长是___________．3．如下图，点E ，C 在线段BF 上，BE ＝CF ，AB ∥DE ，∠ACB ＝∠F ．求证：△ABC ≌△DEF ．AC D F EB l4．如下图，∠B ＝∠E ，∠BAD ＝∠EAC ，AC ＝AD ，求证：AB ＝AE.5.〔2021•厦门校级一模〕如图，A 、B 、C 、D 四点在同一条直线上，AB=CD ，EC=DF ，EC ∥DF ．求证：△ACE ≌BDF ．_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________1.：如图，AB=CD ，BE=DF ，AF=EC 。
（完整版）新北师大版七年级数学下册三角形知识点精讲
（完整版）新北师⼤版七年级数学下册三⾓形知识点精讲北师⼤版七年级下第五章三⾓形⼀、三⾓形三边关系和⾓关系1、三⾓形任意两边之和⼤于第三边。
结合右边图形⽤数学符号表⽰：a+b ＞c2、三⾓形任意两边之差⼩于第三边。
结合右边图形⽤数学符号表⽰：a-b ＜c 3、三⾓形三个内⾓和等于180°结合右边图形⽤数学符号表⽰：∠A+∠B+∠C=180°4、三⾓形按⾓分为三类：（1）锐⾓三⾓形（2）直⾓三⾓形（3）钝⾓三⾓形5、直⾓三⾓形的两个锐⾓互余。
6、巩固练习： 1）、下列每组数分别是三根⼩⽊棒的长度，⽤它们能摆成三⾓形吗？为什么？（单位：cm ）（1） 1， 3，3 （2） 3， 4， 7 （3） 5， 9， 13 （4） 11，12，22 （5） 14，15，30 2）、已知⼀个三⾓形的两边长分别是3cm 和4cm ，则第三边长X 的取值范围是。
若X是奇数，则X 的值是。
这样的三⾓形有个；若X 是偶数，则X 的值是，这样的三⾓形⼜有个。
3）、判断：（1）⼀个三⾓形的三个内⾓可以都⼩于60°；（）（2）⼀个三⾓形最多只能有⼀个内⾓是钝⾓或直⾓；（） 4）、在△ABC 中，（1）∠C=70°，∠A=50°，则∠B= 度；（2）∠B=100°，∠A=∠C ，则∠C= 度；（3）2∠A=∠B+∠C ，则∠A= 度。
5）、如下图，在 Rt △CDE,∠C 和∠E 的关系是，其中∠C=55°，则∠E= 度。
6）、如上图，在Rt △ABC 中，∠A=2∠B ，则∠A= 度，∠B= 度。
⼆、三⾓形的⾓平分线、中线和⾼1、三⾓形的⾓平分线：三⾓形⼀个⾓的⾓平分线和这个⾓的对边相交，这个⾓的顶点和对边交点之间的线段叫做三⾓形中这个⾓的⾓平分线。
简称三⾓形的⾓平分线。
如图：∵AD 是三⾓形ABC 的⾓平分线。
∴∠BAD ＝∠CAD ＝21∠BAC 或∠BAC ＝ 2∠BAD ＝ 2∠CAD2、三⾓形的中线：线连结三⾓形⼀个顶点和它对边中点的线段，叫做三⾓形这个边上的中线。
(完整word版)北师大版七年级数学下册三角形难题全解
来源：2011-2012学年广东省汕头市潮南区中考模拟考试数学卷（解析版）考点：三角形如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90o，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90o，连结AE、BF．求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF．【答案】见解析【解析】解：（1）证明：在△AEO与△BFO中，∵Rt△OAB与Rt△EOF等腰直角三角形，∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90ｏ-∠BOE=∠BOF，∴△AEO≌△BFO，∴AE=BF；（ 2）延长AE交BF于D，交OB于C，则∠BCD=∠ACO，由（1）知：∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90ｏ，∴AE⊥BF．（1）可以把要证明相等的线段AE，CF放到△AEO，△BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果，所以相等，由此可以证明△AEO≌△BFO；（2）由（1）知：∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，由此可以证明AE⊥BF来源：2012-2013学年吉林省八年级上期中考试数学试卷（解析版）考点：四边形如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，AF=AB,已知△ABE≌△ADF.（1）在图中，可以通过平移、翻折、旋转中哪一种方法，使△ABE变到△ADF 的位置；（2）线段BE与DF有什么关系？证明你的结论.【答案】（1）绕点A旋转90°；（2）BE=DF，BE⊥DF．【解析】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的判断和性质（1）根据旋转的概念得出；（2）根据旋转的性质得出△ABE≌△ADF，从而得出BE=DF，再根据正方形的性质得出BE⊥DF．（1）图中是通过绕点A旋转90°，使△ABE变到△ADF的位置．（2）BE=DF，BE⊥DF；延长BE交DF于G；由△ABE≌△ADF，得BE=DF，∠ABE=∠ADF；又∠AEB=∠DEG；∴∠DGB=∠DAB=90°；∴BE⊥DF．来源：2012年江苏省东台市七年级下学期期中考试数学试卷（解析版）如图，在△a bc中，已知∠abc=30°，点d在bc上，点e在ac上，∠bad=∠ebc，ad交be于f.1.求的度数；2.若eg∥ad交bc于g，eh⊥be交bc于h，求∠heg的度数.【答案】1.∠BFD=∠ABF+∠BAD （三角形外角等于两内角之和）∵∠BAD=∠EBC，∴∠BFD=∠ABF+∠EBC，∴∠BFD=∠ABC=30°；2.∵EG∥AD，∴∠BFD=∠BEG=30°（同位角相等）∵EH⊥BE，∴∠HEB=90°，∴∠HEG=∠HEB-∠BEG=90°-30°=60°．【解析】1.∠BFD的度数可以利用角的等效替换转化为∠ABC的大小，2.在直角三角形中，有平行线，利用同位角即可求解．三角形强化训练和深化☣1、如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c 中的∠CFE的度数是_________°．解析：由题意可知折叠前，由BC//AD得：∠BFE=∠DEF=25°将纸带沿EF折叠成图b后，∠GEF=∠DEF=25°所以图b中，∠DGF=∠GEF+∠BFE=25°+25°=50°又在四边形CDGF中，∠C=∠D=90°则由：∠DGF+∠GFC=180°所以：∠GFC=180°－50°＝130°将纸带再沿BF第二次折叠成图C后∠GFC角度值保持不变且此时：∠GFC＝∠EFG+∠CFE所以：∠CFE=∠GFC-∠EFG=130°-25°=1052、在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE是角平分线，和高AD相交于F，作FG∥BC交AB于G，求证：AE＝BG．解法1：【解析】证明：∵∠BAC=900AD⊥BC∴∠1=∠B∵CE是角平分线∴∠2＝∠3∵∠5＝∠1+∠2∠4＝∠3+∠B∴∠4＝∠5∴AE＝AF过F作FM⊥AC并延长MF交BC于N∴MN//AB∵FG//BD∴四边形GBDF为平行四边形∴GB=FN∵AD⊥BC,CE为角平分线∴FD=FM在Rt△AMF和RtNDF中∴△AMF≌△NDF∴AF＝FN∴AE＝BG解法2：解：作EH⊥BC于H，如图，∵E是角平分线上的点，EH⊥BC，EA⊥CA，∴EA=EH，∵AD为△ABC的高，EC平分∠ACD，∴∠ADC=90°，∠ACE=∠ECB，∴∠B=∠DAC，∵∠AEC=∠B+∠ECB，∴∠AEC=∠DAC+∠ECA=∠AFE，∴AE=AF，∴EG=AF，∵FG∥BC，∴∠AGF=∠B，∵在△AFG和△EHB中，∠GAF=∠BEH∠AGF=∠BAF=EH，∴△AFG≌△EHB（AAS）∴AG=EB，即AE+EG=BG+GE，∴AE=BG．3、如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AD为腰CB上的中线，CE⊥AD交AB于E．求证∠CDA＝∠EDB．解：作CF⊥AB于F，交AD于G ，如图，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACF=∠BCF=45°，即∠ACG=45°，∠B=45°，∵CE⊥AD，∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE=90°，∴∠1=∠2，在△AGC和△CEB中∠1=∠2AC=CB∠ACG=∠CBE，∴△AGC≌△CEB（ASA），∴CG=BE，∵AD为腰CB上的中线，∴CD=BD，在△CGD和△BED中CG=BE∠GCD=∠BCD=BD，∴△CGD≌△BED（SAS），∴∠CDA=∠EDB．4、如图，已知AD和BC相交于点O ，且均为等边三角形，以平行四边形ODEB，连结AC，AE和CE。
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来源：2011-2012学年广东省汕头市潮南区中考模拟考试数学卷（解析版）考点：三角形如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90o，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90o，连结AE、BF．求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF．【答案】见解析【解析】解：（1）证明：在△AEO与△BFO中，∵Rt△OAB与Rt△EOF等腰直角三角形，∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90ｏ-∠BOE=∠BOF，∴△AEO≌△BFO，∴AE=BF；（ 2）延长AE交BF于D，交OB于C，则∠BCD=∠ACO，由（1）知：∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90ｏ，∴AE⊥BF．（1）可以把要证明相等的线段AE，CF放到△AEO，△BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果，所以相等，由此可以证明△AEO≌△BFO；（2）由（1）知：∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，由此可以证明AE⊥BF来源：2012-2013学年吉林省八年级上期中考试数学试卷（解析版）考点：四边形如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，AF=AB,已知△ABE≌△ADF.（1）在图中，可以通过平移、翻折、旋转中哪一种方法，使△ABE变到△ADF 的位置；（2）线段BE与DF有什么关系？证明你的结论.【答案】（1）绕点A旋转90°；（2）BE=DF，BE⊥DF．【解析】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的判断和性质（1）根据旋转的概念得出；（2）根据旋转的性质得出△ABE≌△ADF，从而得出BE=DF，再根据正方形的性质得出BE⊥DF．（1）图中是通过绕点A旋转90°，使△ABE变到△ADF的位置．（2）BE=DF，BE⊥DF；延长BE交DF于G；由△ABE≌△ADF，得BE=DF，∠ABE=∠ADF；又∠AEB=∠DEG；∴∠DGB=∠DAB=90°；∴BE⊥DF．来源：2012年江苏省东台市七年级下学期期中考试数学试卷（解析版）如图，在△abc中，已知∠abc=30°，点d在bc上，点e在ac上，∠bad=∠ebc，ad交be于f.1.求的度数；2.若eg∥ad交bc于g，eh⊥be交bc于h，求∠heg的度数.【答案】1.∠BFD=∠ABF+∠BAD （三角形外角等于两内角之和）∵∠BAD=∠EBC，∴∠BFD=∠ABF+∠EBC，∴∠BFD=∠ABC=30°；2.∵EG∥AD，∴∠BFD=∠BEG=30°（同位角相等）∵EH⊥BE，∴∠HEB=90°，∴∠HEG=∠HEB-∠BEG=90°-30°=60°．【解析】1.∠BFD的度数可以利用角的等效替换转化为∠ABC的大小，2.在直角三角形中，有平行线，利用同位角即可求解．三角形强化训练和深化☣1、如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c 中的∠CFE的度数是_________°．解析：由题意可知折叠前，由BC//AD得：∠BFE=∠DEF=25°将纸带沿EF折叠成图b后，∠GEF=∠DEF=25°所以图b中，∠DGF=∠GEF+∠BFE=25°+25°=50°又在四边形CDGF中，∠C=∠D=90°则由：∠DGF+∠GFC=180°所以：∠GFC=180°－50°＝130°将纸带再沿BF第二次折叠成图C后∠GFC角度值保持不变且此时：∠GFC＝∠EFG+∠CFE所以：∠CFE=∠GFC-∠EFG=130°-25°=1052、在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE是角平分线，和高AD相交于F，作FG∥BC交AB于G，求证：AE＝BG．解法1：【解析】证明：∵∠BAC=900AD⊥BC∴∠1=∠B∵CE是角平分线∴∠2＝∠3∵∠5＝∠1+∠2∠4＝∠3+∠B∴∠4＝∠5∴AE＝AF过F作FM⊥AC并延长MF交BC于N∴MN//AB∵FG//BD∴四边形GBDF为平行四边形∴GB=FN∵AD⊥BC,CE为角平分线∴FD=FM在Rt△AMF和RtNDF中∴△AMF≌△NDF∴AF＝FN∴AE＝BG解法2：解：作EH⊥BC于H，如图，∵E是角平分线上的点，EH⊥BC，EA⊥CA，∴EA=EH，∵AD为△ABC的高，EC平分∠ACD，∴∠ADC=90°，∠ACE=∠ECB，∴∠B=∠DAC，∵∠AEC=∠B+∠ECB，∴∠AEC=∠DAC+∠ECA=∠AFE，∴AE=AF，∴EG=AF，∵FG∥BC，∴∠AGF=∠B，∵在△AFG和△EHB中，∠GAF=∠BEH∠AGF=∠BAF=EH，∴△AFG≌△EHB（AAS）∴AG=EB，即AE+EG=BG+GE，∴AE=BG．3、如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AD为腰CB上的中线，CE⊥AD交AB于E．求证∠CDA＝∠EDB．解：作CF⊥AB于F，交AD于G ，如图，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACF=∠BCF=45°，即∠ACG=45°，∠B=45°，∵CE⊥AD，∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE=90°，∴∠1=∠2，在△AGC和△CEB中∠1=∠2AC=CB∠ACG=∠CBE，∴△AGC≌△CEB（ASA），∴CG=BE，∵AD为腰CB上的中线，∴CD=BD，在△CGD和△BED中CG=BE∠GCD=∠BCD=BD，∴△CGD≌△BED（SAS），∴∠CDA=∠EDB．4、如图，已知AD和BC相交于点O ，且均为等边三角形，以平行四边形ODEB，连结AC，AE和CE。
求证：也是等边三角形证明：∵△OAB和△OCD为等边三角形，∴CD=OD，OB=AB，∠ADC=∠ABO=60°．∵四边形ODEB是平行四边形，∴OD=BE，OB=DE，∠CBE=∠EDO．∴CD=BE，AB=DE，∠ABE=∠CDE．∴△ABE≌△EDC．∴AE=CE，∠AEB=∠ECD．∵BE∥AD，O A BCDEF ∴∠AEB=∠EAD ．∴∠EAD=∠ECD ．在△AFE 和△CFD 中又∵∠AFE=∠CFD ，∴∠AEC=∠ADC=60°．∴△ACE 为等边三角形．5.如图，在直角梯形ABCD 中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=16，对角线AC 与BD 交于点E ，过E 作EF ⊥AB 于点F ，O 为边AB 的中点，且FE+BO=8. 求AD+BC 的值.6.如图，在△ABC 中，∠BAC=90°,AB=AC, D 是△ABC 内一点， 且求证：BD=BA 。
解：如图：以AD 为边，在△ADB 中作等边三角形ADE ，连接BE ．∵∠BAE=90°-60°-15°=15°，即∠BAE=∠CAD ，且AB=AC ，AE=AD ，∴△EAB ≌△DAC （SAS ），∴∠BEA=∠CDA=180°-15°-15°=150°，∴∠BED=360°-∠BEA-60°=150°，即∠BEA=∠BED ；又∵AE=ED，BE=BE，∴△BEA≌△BED（SAS），∴BA=BD．7.已知，如图D是的边BA延长线上一点，有AD=BA，E是边AC上一点，且DE=BC求证：延长CA至F，使得AF=CA则三角形DAF与三角形BAC全等，DF=BC,且<C=<F又DE=BC=DF，所以三角形DFE为等腰三角形，所以<DEF=<DEA=<F=<C8.如图，已知点D是边长为1的等边三角形ABC的内心，点E，F分别在边AB，AC上，且满足。
求的周长。
过D做AC和AB的垂线交与H G找到一个I 点，使∠EDI = 60度可以证明。
过D做AC和AB的垂线交与H G找到一个I 点，使∠EDI = 60度那么三角形HDF和GDI全等。
证明：∠HDG=120 ∠FDI=120 （2个60度相加）∠HDG-∠FDG = ∠FDI-∠FDG∠HDF = ∠GDIDH=GD∠DHF = ∠DGI = 90度由此可知FD=ID那么三角形FDE和IDE全等。
证明：因为FD=IDED=ED∠FDE = ∠IDE = 60°由此可知FE=IE （蓝色线）那么三角形AFD和BID全等。
证明：∠ADB=120 ∠FDI=120 （2个60度相加）∠ADB-∠ADI = ∠FDI-∠ADI所以∠BDI = ∠FDA因为FD=ID，AD=BD那么，AE = BI (红色线)最后，AE+EF+FA = AE+EI+IB = 单边长。
为固定值。
初一下册数学难题（全内容）1、解方程：() 18031902180⨯=---αα，则α= 60° 2、用10%和5%的盐水合成8%的盐水10kg ，问10%和5%的盐水各需多少kg ？设需10%的盐水X 千克，则需要5%的盐水（10-X ）千克X*10%+（10-X ）*5%=10*8%5%X=0.3X=610-6=4（千克）所以需10%的盐水6千克，则需要5%的盐水4千克3、已知523x k +=的解为正数，则k 的取值范围是4、（2）若212(1)11x a x x-〈⎧⎨+〉-⎩的解为x ＞3，则a 的取值范围（3）若2123x a x b -〈⎧⎨-〉⎩的解是-1＜x ＜1，则（a+1）（b-2）= （4）若2x ＜a 的解集为x ＜2，则a=（5）若204160x m x -≤⎧⎨+〉⎩有解，则m 的取值范围5、已知32121x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩，x ＞y ，则m 的取值范围 ； 6、已知上山的速度为600m/h ，下上的速度为400m/h ，则上下山的平均速度为？7、已知24(3)0x y x y +-+-=，则x= ，y= ；8、已知35303580x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩（0z ≠），则:x z = ，:y z = ；9、当m= 时，方程262310x y x y m +=⎧⎨-=-⎩中x 、y 的值相等，此时x 、y 的值= 。
10、已知点P(5a-7,-6a-2)在二、四象限的角平分线上，则a= 。
11、⎩⎨⎧=-=+my x m y x 932的解是3423=+y x 的解，求m m 12-。