2017年高考数学(理科江苏专版)二轮专题复习与策略课件：第1部分 专题1 第5讲 导数的简单应用
(1)11 (2)1∶2
(3)(－1,0)
[(1)对函数求导得
f－1＝0， 2 f′(x)＝3x ＋6mx＋n，由题意得 f′－1＝0，
2 －1＋3m－n＋m ＝0， 即 3－6m＋n＝0，
解得
m＝1， n＝3
或
m＝2， n＝9，
2 x f(x)＝ex－x＋ 2 .
1 1 1 f(1)＝e－2，则切线为y－e－2＝e(x－1)，即y＝ex－2.]
题型二| 利用导数研究函数的单调性
ax＋1 (1)若函数f(x)＝ 在x∈(2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范 x＋2 围是________． 1 2 (2)函数y＝2x －ln x的单调递减区间为________．
3 去)或x0＝－2，故切线方程为9x＋4y＝0.]
【名师点评】
解决函数切线的相关问题，需抓住三个关键点：
(1)切点是曲线与切线的公共点； (2)在切点处的导数是切线的斜率．因此，解决此类问题，一般要设出切点， 建立关系——方程(组)； (3)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异．“过 点P的切线”中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上；在“点P处的 切线”，点P是切点．
－a>0， a，所以 －4－a<0，
解得－4<a<0.]
3．已知函数y＝x3－3x在区间[a，a＋1](a≥0)上的最大值与最小值的差为2， 则满足条件的实数a的所有值是________．
3－1或0
[∵y′＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
∴函数y＝x3－3x在(－∞，－1)上递增，在(－1,1)上递减，在(1，＋∞)上递 增， ①当a＝0时，由题意可知f(x)max＝f(0)＝0，f(x)min＝f(1)＝－2， ∴f(0)－f(1)＝0－(－2)＝2，故a＝0合题意． ②当0＜a＜1时，1＜1＋a＜2，∴函数在[a,1)上递减，在(1，a＋1]上递增， ∴f(x)min＝f(1)＝－2.由f(a)＝f(a＋1)得3a2＋3a－2＝0， 33－3 解得a＝ 6 .
f′1 x 1 2 3．曲线f(x)＝ e · e －f(0)x＋2x 在点(1，f(1))处的切线方程为________．
1 y＝ex－2
f′1 0 f′1 [令x＝0，f(0)＝ e e －f(0)×0＋0，所以f(0)＝ e ，
f′1 x f′1 1 2 从而f(x)＝ e e － e x＋2x ， f′1 x f′1 f′(x)＝ e e － e ＋x. f′1 f′1 令x＝1时，f′(1)＝ e · e－ e ＋1，f′(1)＝e，
当
m＝1， n＝3
时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋
m＝2， 2 1) ≥0，故 n＝9，
m＋n＝11.
(2)因为12π＝2πrh＋2πr2，即rh＋r2＝6，所以V＝πr2h＝πr(6－r2)，0<r< 6 .由 V′＝π(6－3r2)＝0，得r＝ 2.当0<r< 2时，V′>0；当 2<r< 6时，V′<0，所以 当r＝ 2时，V取极大值，也是最大值，此时h＝2 2，r∶h＝1∶2. (3)若a＝0，则f′(x)＝0，函数f(x)不存在极值； 若a＝－1，则f′(x)＝－(x＋1)2≤0， 函数f(x)不存在极值； 若a>0，当x∈(－1，a)时，f′(x)<0， 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
题型三| 利用导数研究函数的极值、最值
(1)已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时有极值0，则m＋n＝ ________. (2)已知表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比 为________． (3)已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)· (x－a)，若f(x)在x＝a处取得极大值，则 a的取值范围是________．
π π 2f－3________f－4.(填“>”“<”或“＝”)
π π f x < [依题意，记g(x)＝cos x，则当x∈－2，2时，g′(x)＝
【导学号：19592014】
π f′xcos x＋fxsin x π π π π >0，函数g(x)是增函数．又－2<－3<－4<2，因此g－3 cos2x π π <g－4，即2f－3< π π 2f－3<f－4.] π 2f－4，
【名师点评】 1.若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内 解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0即可． 2．若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上 恒成立问题求解．
1．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是___．
4 2 2 [ 由题设函数 y ＝ x 在 A ( x 1，y1)处的切线方程为：y＝2x1x－x1， 3
3 函数y＝x3在B(x2，y2)处的切线方程为y＝3x2 x － 2 x 2 2. 2 2x1＝3x2， 所以 2 3 x1＝2x2，
32 8 解得x1＝27，x2＝9.
x1 4 所以x ＝3.] 2
2．关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是 ________． 【导学号：19592015】
(－4,0)
[由题意知使函数f(x)＝x3－3x2－a的极大值大于0且极小值小于0即
可，又f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2.当x<0时， f′(x)>0；当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0，所以当x＝0时，f(x)取得极 大值，即f(x)极大值＝f(0)＝－a；当x＝2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值＝f(2)＝－4－
a 1．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x 在点P(1,1)处的切线互相垂直，则 b ＝
3
________.
1 －3 [设曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线斜率为k，则k＝y′|x＝1＝3.因为直线ax
3
1 a －by－2＝0与曲线y＝x 在点P(1,1)处的切线互相垂直，所以b＝－3.]
2．在平面直角坐标系xOy中，直线l与曲线y＝x2(x＞0)和y＝x3(x＞0)均相切， x1 切点分别为A(x1，y1)和B(x2，y2)，则x 的值是________． 2
【名师点评】
利用导数研究函数的极值、最值的注意点：
(1)极值：导函数的零点并不一定就是函数的极值点，因此在求得f′(x0)＝0后 务必验证x>x0及x<x0时f′(x)的符号是否相反． (2)最值：①对含参数的函数解析式求最值时，常常分类讨论，分类的原则是 极值点在给定区间的内部还是外部，从而根据单调性求出最值． ②求极值和最值时，为了直观易懂，常常列出x的取值范围与y的符号及y的单 调区间、极值的对应表格．
2 3 3．若函数f(x)＝ 3 x －2x2＋ax＋10在区间[－1,4]上具有单调性，则实数a的取 值范围是________．
(－∞，－16]∪[2，＋∞) 2 3 [函数f(x)＝3x －2x2＋ax＋10在区间[－1,4]上具有
单调性，分两种情况：函数f(x)在区间[－1,4]上单调递增，即f′(x)＝2x2－4x＋ a≥0在[－1,4]上恒成立，即判别式Δ＝(－4)2－4×2×a≤0，解得a≥2；函数f(x)在 区间[－1,4]上单调递减，即f′(x)＝2x2－4x＋a≤0在[－1,4]上恒成立，需 f′(4)≤0，解得a≤－16.于是，实数a的取值范围是(－∞，－16]∪[2，＋∞)．]
1 x3 a 2 1．(2016· 南京模拟)若函数f(x)＝ 3 －2x ＋x＋1在区间2，3上有极值点，则实
数a的取值范围是________．
10 2， 3
1 1 [若函数f(x)在区间 2，3 上无极值，则当x∈ 2，3 时，f′(x)＝x2－
所以函数f(x)在x＝a处取得极小值； 若－1<a<0，当x∈(－1，a)时，f′(x)>0， 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)<0， 所以函数f(x)在x＝a处取得极大值； 若a<－1，当x∈(－∞，a)时，f′(x)<0， 当x∈(a，－1)时，f′(x)>0， 所以函数f(x)在x＝a处取得极小值． 所以a∈(－1,0)．]
33－3 (ⅰ)当0≤a＜ 6 时，f(x)max＝f(a)， ∴a3－3a－(－2)＝2，解得a＝0或 3或－ 3(舍)． 33－3 (ⅱ)当 6 ≤a＜1时，f(x)max＝f(a＋1)． ∴(a＋1)3－3(a＋1)－(－2)＝2，解得a＝ 3－1，符合题意． ③当a≥1时，f(x)在[a，a＋1]上递增， ∴f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(a＋1)， ∴(a＋1)3－3(a＋1)－a3＋3a＝2， 57－3 解得a＝ 6 ＜1(舍去)． 综上，a＝ 3－1或0.]
即b的值为－3.
(2)f′(x)＝3x2＋6x.当(0,0)为切点时，f′(0)＝0，故切线方程为y＝0.
2 3 2 当(0,0)不为切点时，设切点为P(x0，x 3 0 ＋3x 0 )，则切线方程为y－(x 0 ＋3x 0 )＝ 3 2 3 2 (3x2 ＋ 6 x )( x － x ) ，又点 (0,0) 在切线上，所以－ x － 3 x ＝－ 3 x － 6 x 0 0 0 0 0 0 0 ，解得x0＝0(舍
[1，＋∞) ∞)上恒成立．
1 1 [依题意得f′(x)＝k－ x ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥ x 在(1，＋
1 ∵x>1，∴0<x <1， ∴k≥1.]
2017年高考数学(理科江苏专版)二轮专题复习与策略课件：第1部分 专题5 第16讲 高考中圆
[解] 如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy.
设A(a,0)，B(0，b)(0＜a＜1,0＜b＜1)， 则直线AB的方程为ax＋by＝1，即bx＋ay－ab＝0.
因为AB与圆C相切，所以|b＋ba2＋－aa2b|＝1. 化简得 ab－2(a＋b)＋2＝0，即ab＝2(a＋b)－2. 5分 因此AB＝ a2＋b2＝ a＋b2－2ab ＝ a＋b2－4a＋b＋4 ＝ a＋b－22. 因为0＜a＜1,0＜b＜1，所以0＜a＋b＜2， 12分
(2)因为M→P·M→Q＝0，所以∠PMQ＝π2.
又由(1)得MP＝MQ＝r＝
5，所以点M到直线l的距离d＝
10 2.
14分
由点到直线的距离公式可知，|2m－4m－2＋2m4－1|＝ 210，解得m＝± 6. 16分
2．(2013·江苏高考)如图16－2，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l： y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．
又因为AB⊥BC，所以BF＝AFcos∠AFB＝4030，
从而BC＝CF－BF＝150.
因此新桥BC的长是150 m． 8分
(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连结MD，则MD⊥BC，且MD是圆 M的半径，并设MD＝r m，OM＝d m(0≤d≤60)．
因为OA⊥OC，所以sin∠CFO＝cos∠FCO. 故由(1)知sin∠CFO＝MMDF＝OFM－DOM＝6830r－d＝35， 所以r＝680－5 3d. 12分
[解] (1)由已知得A(6,0)，直线ON的方程为y＝－3x， 设Q(x0,2)(x0>0)，由|3x01＋02|＝7 510及x0>0得x0＝4，∴Q(4,2). 5分 ∴直线AQ的方程为y＝－(x－6)，即x＋y－6＝0， 由xy＋＝y－－36x＝，0， 得yx＝＝9－，3， 即B(－3,9)， ∴AB＝ －3－62＋92＝9 2，从而t＝396 22＝14 h. 即货运汽车需要1 5分钟时间. 8分
【新步步高】2017版高考数学(文江苏专用)大二轮总复习与增分策略第一篇活用审题路线图教你审题不再难
考生往往对审题掉以轻心，或不知从何处入手进行审题，致使解题失
误而丢分．本篇结合实例，教你正确的审题方法，给你制订一条“审
题路线图”，攻克高考解答题．
栏目索引
一审条件挖隐含 二审结论会转换 三审图形抓特点
四审结构定方案 五审图表找规律 六审细节更完善
一审条件挖隐含
题目的条件是解题的主要素材，充分利用条件和结论间的内在联系是 解题的必经之路．条件有明示的，也有隐含的，审视条件更重要的是 充分挖掘每一个条件的内涵和隐含信息，发挥隐含条件的解题功能．
解析
答案
返回
五审图表找规律
题目中的图表、数据包含着问题的基本信息，往往也暗示着解决问题 的目标和方向．在审题时，要认真观察分析图表、数据的特征和规律， 常常可以找到解决问题的思路和方法．
例5
下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等
差数列，记第i行第j列的数为ai，j(i，j∈N*)，则
解析答案
返回
六审细节更完善
审题不仅要从宏观上、整体上去分析、去把握，还要更加注意审视一些 细节上的问题．例如括号内的标注、数据的范围、图象的特点等．因为 标注、范围大多是对数学概念、公式、定理中所涉及的一些量或解析式 的限制条件．审视细节能适时地利用相关量的约束条件，调整解决问题 的方向．所以说重视审视细节，更能体现审题的深刻性．
审题路线图
解析答案
跟踪演练 1
B＋C 在△ABC 中， a， b， c 分别为角 A、 B、 C 的对边， 若 m＝(sin 2 ，
2
1)，n＝(－2，cos 2A＋1)，且 m⊥n. (1)求角 A 的度数；
解析答案
a2＋b2－c2 (2)当 a＝2 3，且△ABC 的面积 S＝ 时，求边 c 的值和 4 3 △ABC 的面积．
【新步步高】2017版高考数学(文江苏专用)大二轮总复习与增分策略专题一第2讲不等式与线性规划
x0>1，所以x0的取值范围是(－∞，0]∪(1，＋∞).
思维升华
解析答案
跟踪演练1
(1) 已知 m， n 为实数，若关于 x的不等式 x2 ＋ mx＋ n<0 的解
－5 集为(－1,3)，则m＋n的值为______.
解析 由题意得：－1,3为方程x2＋mx＋n＝0的两根，
因此－1＋3＝－m，－1×3＝n⇒m＝－2，n＝－3，m＋n＝－5. (2)不等式 2 解析 ∵ 2
(2，＋∞) 则 a＋b 的取值范围是__________.
解析
由已知得，ab＝1，且 a≠b，∴a＋b>2 ab＝2.
解析答案
考情考向分析
1. 利用不等式性质比较大小，利用基本不等式求最值及线性规划问题 是高考的热点； 2. 一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和 参数的取值范围； 3.利用不等式解决实际问题.
如图阴影部分所示，
由图知当目标函数z＝4x＋y经过点B(2,0)时z取得
最大值，最大值为4×2＋0＝8；
当目标函数z＝4x＋y经过点O(0,0)时z取得最小值，
最小值为4×0＋0＝0，所以z＝4x＋y的取值范围是[0,8].
解析答案
x＋y≤1， (2)已知变量 x，y 满足约束条件x－y≤1， x≥a，
4m n 又 m>0，n<0，所以－ n －m≥4，
4m n 当且仅当 n＝－2m 时取等号，故 5＋ n ＋m≤5－4＝1， 1 当且仅当 m＝2，n＝－1 时取等号.
思维升华 解析答案
2 a b 跟踪演练 2 (1)若正数 a， b 满足 a＋b＝1， 则 ＋ 的最大值为_____. 3
a＋1 b＋1
(江苏专版)2017年高考数学二轮专题复习与策略 第1部分 专题6 算法、复数、推理与证明、概率
专题限时集训(二十一) 概率、统计(建议用时：4 5分钟)1．某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是________抽样．分层 [由于是调查男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在差异，因此用分层抽样方法．]2．(2012·江苏高考)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级中抽取________名学生．15 [设应从高二年级抽取x 名学生，则x ∶50＝3∶10，解得x ＝15.]3．若将一个质点随机投入如图20－5所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是________．图20－5π4 [设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ，则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.] 4．(2014·江苏高考)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．13[取两个数的所有情况有：(1,2)，(1,3)，(1,6)，(2,3)，(2,6)，(3,6)，共6种情况．乘积为6的情况有：(1,6)，(2,3)，共2种情况．所求事件的概率为26＝13.] 5．从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲，乙两人中有且只有一个被选取的概率为________．23[从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人共有C 24＝6种基本事件，而甲，乙两人中有且只有一个被选取包含C 12C 12＝4种基本事件，所以所求概率为46＝23.] 6．若一组样本数据2,3,7,8，a 的平均数为5，则该组数据的方差s 2＝________.265 [由2＋3＋7＋8＋a 5＝5，得a ＝5，所以 s 2＝15[(2－5)2＋(3－5)2＋(7－5)2＋(8－5)2＋(5－5)2]＝265.]7．(2013·江苏高考)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．2063[因为正整数m ，n 满足m ≤7，n ≤9，所以(m ，n )所有可能的取值一共有7×9＝63(种)，其中m ，n 都取到奇数的情况有4×5＝20(种)，因此所求概率为P ＝2063.] 8．(2014·江苏高考)为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图20－6所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.图20－624 [底部周长在[80,90)的频率为0.015×10＝0.15，底部周长在[90,100)的频率为0.025×10＝0.25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100 cm 的株数为(0.15＋0.25)×60＝24.]9．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图20－7)，则成绩在[300,350)内的学生人数共有________．图20－7300 [因为所有小长方形的面积之和为1，所以50(0.001＋0.001＋0.004＋a ＋0.005＋0.003)＝1，即a ＝0.006.因此在[300,350)内的学生人数为0.006×50×1 000＝300.]10．一个容量为20的样本数据分组后，分组与频率分别如下：(10,20]，2；(20,30]，3；(30,40]，4；(40,50]，5；(50,60]，4；(60,70]，2.则样本在(10,50]上的频率是________．710[因为样本在(10,50]上的频数共有2＋3＋4＋5＝14，所以样本在(10,50]上的频率是1420＝710.也可从反面求解，即样本不在(10,50]上的频数共有4＋2＝6，所以样本在(10,50]上的频率是1－620＝710.] 11．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为126，则第一组中用抽签法确定的号码是________．6 [设第一组中抽取的号码是x (1≤x ≤8)．由题意可得分段间隔是8，又∵第16组抽出的号码是126，∴x ＋15×8＝126，∴x ＝6.∴第一组中用抽签法确定的号码是6.]12．分别在集合A ＝{1,2,3,4}和集合B ＝{5,6,7,8}中各取一个数相乘，则积为偶数的概率为________．34[由古典概型的概念可得其基本事件为4×4＝16，其中积为偶数的有1,6；1,8；3,6；3,8；2,5；2,6；2,7；2,8；4,5；4,6；4,7；4,8，共12种，则概率为P ＝1216＝34.] 13．(2016·盐城三模)甲、乙两盒中各有除颜色外完全相同的2个红球和1个白球，现从两盒中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为________．【导学号：19592061】89[从两盒中随机各取一个球，共有3×3＝9种不同取法，其中均取白球的方式只有一种，故所求事件的概率P ＝1－19＝89.]图20－814．(2016·南通三模)如图20－8是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定(方差较小)的那一位同学的方差为________．2 [x 甲＝88＋89＋90＋91＋925＝90.x 乙＝87＋89＋90＋91＋935＝90. ∴s 2甲＝15[(88－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2] ＝15(4＋1＋0＋1＋4)＝2. s 2乙＝15[(87－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2] ＝15(9＋1＋0＋1＋9) ＝4.∴s 2甲<s 2乙.]15．(2015·南通二模)从2名男生和2名女生中任意选取两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为________．13[设2名男生记为A 1，A 2,2名女生记为B 1，B 2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，B 1B 2，A 2A 1，B 1A 1，B 2A 1，B 1A 2，B 2A 2，B 2B 1，共12种情况，而星期六安排一名男生，星期日安排一名女生共有A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，共4种情况，则发生的概率为P ＝412＝13.] 16．某校从参加高三年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图20－9的频率分布直方图，请你根据频率分布直方图中的信息，估计出本次考试数学成绩的平均分为________．图20－971 [由频率分布直方图得每一组的频率依次为0.1，0.15，0.15,0.3,0.25,0.05，又由频率分布直方图，得每一组数据的中点值依次为45,55,65,75,85,95.所以本次考试数学成绩的平均分为x －＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.]。
(江苏专版)2017年高考数学二轮专题复习与策略第1部分专题2三角函数、解三角形、平面向量第10讲高考中的三
第10讲 高考中的三角函数题型一| 三角恒等变换(2016·南京盐城二模)已知α为锐角， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝55. (1)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值． [解] (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝255， 3分所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2. 6分(2)因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45， 9分cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝－35， 12分 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2sin π6＝43＋310. 14分 【名师点评】 1.本题(2)在求解中，从角“2α＋π3”与角“α＋π4”的关系入手，先求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2，再求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值，避免了复杂的运算．2．三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系．已知0＜α＜π2＜β＜π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin α的值； (2)求β的值．[解] (1)∵tan α2＝12，∴tan α＝2tanα21－tan 2α2＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43. 3分由⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1，5分解得sin α＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α＝－45舍去. 6分(2)由(1)可知cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35， 又0＜α＜π2＜β＜π， 8分∴β－α∈(0，π)， 而cos(β－α)＝210， 10分 ∴sin(β－α)＝1－cos 2β－α＝1－⎝⎛⎭⎪⎫2102＝7210. 11分 ∴sin β＝sin[α＋(β－α)]＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α) ＝45×210＋35×7210 ＝22. 13分 又β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故β＝3π4. 14分 题型二| 正、余弦定理在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →. (1)求证：tan B ＝3tan A ； (2)若cos C ＝55，求A 的值． [解题指导] (1)AB →·AC →＝3BA →·BC →―――――→数量积的定义AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ―――→正弦定理证明tan B ＝3tan A(2)cos C ――→同角关系tan C ――→诱导公式tan(A ＋B )――→正切公式tan A ――→A 的范围求A .[解] (1)证明：因为AB →·AC →＝3BA →·BC →，所以AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ，2分即AC ·cos A ＝3BC ·cos B ．由正弦定理知AC sin B ＝BCsin A，从而sin B cos A ＝3sin A cos B ． 4分 又因为0<A ＋B <π，所以cos A >0，cos B >0，所以tan B ＝3tan A ． 6分 (2)因为cos C ＝55，0<C <π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝255， 8分 从而tan C ＝2，于是tan[π－(A ＋B )]＝2，即tan(A ＋B )＝－2， 10分 亦即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－2.由(1)得4tan A 1－3tan 2A ＝－2，解得tan A ＝1或tan A ＝－13.12分因为cos A >0，所以tan A ＝1，所以A ＝π4. 14分【名师点评】 求解此类问题的关键是将几何问题代数化，基本工具是正(余)弦定理． 若要把“边”化为“角”，常利用a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，若要把“角”化为“边”，常利用sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab等．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(b 2＋c 2－a 2)tan A ＝3bc . (1)求角A ；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积S 的最大值．【导学号：19592032】[解] (1)由已知得b 2＋c 2－a 22bc ·sin A cos A ＝32，所以sin A ＝32， 4分又因为△ABC 为锐角三角形，所以A ＝60°. 6分 (2)因为a ＝2，A ＝60°，所以b 2＋c 2＝bc ＋4，S ＝12bc sin A ＝34bc ， 8分而b 2＋c 2≥2bc ⇒bc ＋4≥2bc ⇒bc ≤4， 10分 又S ＝12bc sin A ＝34bc ≤34×4＝ 3. 13分所以△ABC 的面积S 的最大值等于 3. 14分题型三| 正、余弦定理的实际应用(2016·无锡期中)如图10－1，某自行车手从O 点出发，沿折线O －A －B －O匀速骑行，其中点A 位于点O 南偏东45°且与点O 相距202千米．该车手于上午8点整到达点A,8点20分骑至点C ，其中点C 位于点O 南偏东(45°－α)(其中sin α＝126，0°＜α＜90°)且与点O 相距513千米(假设所有路面及观测点都在同一水平面上)．图10－1(1)求该自行车手的骑行速度；(2)若点O 正西方向27.5千米处有个气象观测站E ，假定以点E 为中心的3.5千米范围内有长时间的持续强降雨．试问：该自行车手会不会进入降雨区，并说明理由．[解] (1)由题意知，OA ＝202，OC ＝513，∠AOC ＝α，sin α＝126.由于0°＜α＜90°，所以cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1262＝52626. 3分 由余弦定理，得AC ＝OA 2＋OC 2－2OA ·OC ·cos α＝5 5. 5分所以该自行车手的行驶速度为5513＝155(千米/小时). 6分(2)如图，设直线OE与AB相交于点M.在△AOC中，由余弦定理，得：cos∠OAC＝OA2＋AC2－OC22OA·AC＝202×2＋52×5－52×132×202×55＝31010，从而sin∠OAC＝1－cos2∠OAC＝1－910＝1010. 9分在△AOM中，由正弦定理，得：OM＝OA sin∠OAMsin45°－∠OAM＝202×101022⎝⎛⎭⎪⎫31010－1010＝20. 12分由于OE＝27.5＞20＝OM，所以点M位于点O和点E之间，且ME＝OE－OM＝7.5.过点E作EH⊥AB于点H，则EH为点E到直线AB的距离. 14分在Rt△EHM中，EH＝EM·sin∠EMH＝EM·sin∠EMH＝EM·sin(45°－∠OAC)＝7.5×55＝352＜3.5.所以该自行车手会进入降雨区. 16分【名师点评】借助正、余弦定理解决与实际生活有关的数学问题是高考的一个命题热点，解题的关键是将问题转化到平面图形(如三角形、四边形等)中，然后借助正、余弦定理解题．(2016·扬州期中)有一块三角形边角地，如图10－2，△ABC中，其中AB＝8(百米)，AC＝6(百米)，∠A＝60°.某市为迎接2500年城庆，欲利用这块地修一个三角形形状的草坪(图中△AEF)供市民休闲，其中点E在边AB上，点F在边AC上．规划部门要求△AEF的面积占△ABC面积的一半，记△AEF的周长为l(百米)．图10－2(1)如果要对草坪进行灌溉，需沿△AEF 的三边安装水管，求水管总长度l 的最小值； (2)如果沿△AEF 的三边修建休闲长廊，求长廊总长度l 的最大值，并确定此时E ，F 的位置．[解] (1)设AE ＝x (百米)， ∵S △AEF ＝12S △ABC ，∴12AE ·AF ·sin A ＝12×12AB ·AC ·sin A ． 2分 ∵AB ＝8，AC ＝6，∴AF ＝24x.∵⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤8，0＜24x ≤6， ∴4≤x ≤8. 3分在△AEF 中，EF 2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫24x 2－2x ·24x cos 60°＝x 2＋242x 2－24，∴l ＝x ＋24x＋x 2＋242x2－24，x ∈[4,8]， 5分l ＝x ＋24x＋x 2＋242x2－24≥224＋2×24－24＝66，当且仅当x ＝26时取“＝”，∴l min ＝6 6. 6分 (2)由(1)知：l ＝x ＋24x＋x 2＋242x2－24，x ∈[4,8]．令t ＝x ＋24x ，x ∈[4,8]，∴t ′＝1－24x 2＝x 2－24x2＝x －26x ＋26x2. 9分列表得：x (4,26) 26 (26，8)t ′ －0 ＋t极小值46且x ＝4时，t ＝10；x ＝8时，t ＝11，则t ∈[46，11]．l ＝t ＋t 2－72在[46，11]上单调递增，∴当t ＝11时，l max ＝18，此时AE ＝8，AF ＝3，13分答：水管总长度l 的最小值为66百米；当点E 在A 处，点F 在线段AC 的中点时，长廊总长度l 的最大值为18百米. 14分命题展望从近五年的高考试题看，三角恒等变换及正、余弦定理的交汇成为江苏高考的一个测重点，该类题目侧重于学生的双基，属送分题目.2017年该点依然是命题点应加强训练．(2016·江苏高考)在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6的值．[解] (1)因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35. 2分 由正弦定理知AC sin B ＝ABsin C，所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝5 2. 4分(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )，于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝－cos B cos π4＋sin B sin π4.又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210. 8分因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210. 10分因此，cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620. 14分 [阅卷心语]易错提示 (1)忽视“角A ，B ，C 间的关系”，导致无法求解cos A ； (2)误用“cos A ＝cos(B ＋C )”，导致计算失分．防范措施 (1)在△ABC 中，其内角和A ＋B ＋C ＝π，常用该条件实现角的转化． (2)熟记诱导公式，在换算角的关系时，尽量少跨步骤，如此题中，可这样：cos A ＝cos[π－(B ＋C )]＝－cos(B ＋C )．1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，b ＝26，B ＝2A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．【导学号：19592033】[解] (1)在△ABC 中，因为a ＝3，b ＝26，B ＝2A ， 2分 故由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A ，于是2sin A cos A sin A ＝263. 5分所以cos A ＝63. 6分 (2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 7分 又因为B ＝2A ，所以cos B ＝cos 2A ＝2cos 2A －1＝13，从而sin B ＝1－cos 2B ＝223. 10分 在△ABC 中，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539. 13分 因此由正弦定理得c ＝a sin Csin A＝5. 14分 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c .(1)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝2sin A ，求A 的值；(2)若cos A ＝12，sin B ＋sin C ＝2sin A ，试判断△ABC 的形状，并说明理由．[解] (1)由题意，若sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝2sin A ，则22sin A ＋22cos A ＝2sin A ， 2分 即22cos A ＝22sin A ， 4分 可得tan A ＝1，由A ∈(0，π)，故A ＝π4. 6分(2)在△ABC 中，sin B ＋sin C ＝2sin A ，由正弦定理可得：b ＋c ＝2a ， 8分 由cos A ＝12，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，故b 2＋c 2－a 2＝bc ，又b ＋c ＝2a ， 10分 则(b ＋c )2－a 2＝3bc ＝3a 2，故a 2＝bc ＝⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22，可得(b －c )2＝0，故b ＝c ， 13分 则b ＝c ＝a ，故△ABC 为正三角形. 14分3．如图10－3是某设计师设计的Y 型饰品的平面图，其中支架OA ，OB ，OC 两两成120°，OC ＝1，AB ＝OB ＋OC ，且OA ＞OB .现设计师在支架OB 上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M ，且M 与OB 长成正比，比例系数为k (k 为正常数)，在△AOC 区域(阴影区域)内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N ，且N 与△AOC 的面积成正比，比例系数为43k ，设OA ＝x ，OB ＝y .图10－3(1)求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围； (2)求N －M 的最大值及相应的x 的值．[解] (1)因为OA ＝x ，OB ＝x ，AB ＝y ＋1， 1分由余弦定理，x 2＋y 2－2xy cos 120°＝(y ＋1)2，解得y ＝x 2－12－x， 3分由x ＞0，y ＞0得1＜x ＜2，又x ＞y ，得x ＞x 2－12－x ，解得1＜x ＜1＋32，5分所以OA 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋32. 6分(2)M ＝kOB ＝ky ，N ＝43k ·S △AOC ＝3kx ，则N －M ＝k (3x －y )＝k ⎝⎛⎭⎪⎫3x －x 2－12－x ， 8分 设2－x ＝t ∈⎝⎛⎭⎪⎫3－32，1 ，则N －M ＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－t －2－t 2－1t ＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－⎝ ⎛⎭⎪⎫4t ＋3t ≤k ⎝⎛⎭⎪⎫10－24t ·3t＝(10－43)k . 12分 当且仅当4t ＝3t ，即t ＝32∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32，1取等号，此时x ＝2－32取等号， 所以当x ＝2－32时，N －M 的最大值是(10－43)k . 14分。
【课堂新坐标】2017年高考数学(理科,江苏专版)二轮专题复习与策略 数学思想集训1 函数与方程思想
数学思想集训(一) 函数与方程思想 题组1 运用函数与方程思想解决数列、不等式等问题1．已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 是其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8的值为________．64 [由题意可知a 22＝a 1a 5，即(1＋d )2＝1×(1＋4d )，解得d ＝2，∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.∴S 8＝(a 1＋a 8)×82＝4×(1＋15)＝64.] 2．若关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1，x 2满足－1≤x 1＜0＜x 2＜2，则k 的取值范围是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－34，0 [构造函数f (x )＝x 2＋2kx －1，因为关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1，x 2满足－1≤x 1＜0＜x 2＜2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≥0，f (0)＜0，f (2)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －2k ≥0，－1＜0，4k ＋3＞0，所以－34＜k ≤0，所以k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－34，0.] 3．已知数列{a n }满足a 1＝60，a n ＋1－a n ＝2n (n ∈N *)，则a n n 的最小值为________．【导学号：19592071】292[由a n ＋1－a n ＝2n ，得 a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2(n －1)＋2(n －2)＋…＋2＋60＝n 2－n ＋60.∴a n n ＝n 2－n ＋60n ＝n ＋60n －1.令f (x )＝x ＋60x －1，易知f (x )在(0,215)上单调递减，在(215，＋∞)上单调递增．又n ∈N *，当n ＝7时，a 77＝7＋607－1＝1027，当n ＝8时，a 88＝8＋608－1＝292.又292＜1027，故a n n 的最小值为292.]4．已知函数f (x )＝x ln x ＋a ，g (x )＝12x 2＋ax ，其中a ≥0. (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与曲线y ＝g (x )也相切，求a 的值；(2)证明：x ＞1时，f (x )＋12＜g (x )恒成立．[解] (1)由f (x )＝x ln x ＋a ，得f (1)＝a ，f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝1. 3分所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为y ＝x ＋a －1.因为直线y ＝x ＋a －1与曲线y ＝g (x )也相切，所以两方程联立消元得12x 2＋ax ＝a ＋x －1，即12x 2＋(a －1)x ＋1－a ＝0， 5分所以Δ＝(a －1)2－4×12×(1－a )＝0，得a 2＝1.因为a ≥0，所以a ＝1. 8分(2)证明：x ＞1时，f (x )＋12＜g (x )恒成立，等价于12x 2＋ax －x ln x －a －12＞0恒成立．令h (x )＝12x 2＋ax －x ln x －a －12，则h (1)＝0且h ′(x )＝x ＋a －ln x －1. 12分令φ(x )＝x －ln x －1，则φ(1)＝0且φ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，所以x ＞1时，φ′(x )＞0，φ(x )单调递增，所以φ(x )＞φ(1)＝0. 14分又因为a ≥0，所以h ′(x )＞0，h (x )单调递增，所以h (x )＞h (1)＝0，所以x ＞1时，12x 2＋ax －x ln x －a －12＞0恒成立，即x ＞1时，f (x )＋12＜g (x )恒成立. 16分题组2 利用函数与方程思想解决几何问题5．设抛物线C ：y 2＝3px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为________．y 2＝4x 或y 2＝16x [由抛物线的定义可知MF ＝x M ＋3p 4＝5，∴x M ＝5－3p 4，y 2M＝15p －9p 24，故以MF 为直径的圆的方程为(x －x M )(x －x F )＋(y －y M )(y －y F )＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫0－5＋3p 4⎝ ⎛⎭⎪⎫0－3p 4＋(2－y M )(2－0)＝0. ∴y M ＝2＋15p 8－9p 232＝2＋y 2M 8⇒y M ＝4，p ＝43或163.∴C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .]图16．如图1所示，在单位正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线A 1B 上存在一点P ，使得AP ＋D 1P 最短，则AP ＋D 1P 的最小值是________． 2＋2 [设A 1P ＝x (0≤x ≤2)．在△AA 1P 中， AP ＝12＋x 2－2×1×x ×cos 45°＝x 2－2x ＋1， 在Rt △D 1A 1P 中，D 1P ＝1＋x 2.于是令y ＝AP ＋D 1P ＝x 2－2x ＋1＋x 2＋1， 下面求对应函数y 的最小值．将函数y 的解析式变形，得y ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－222＋(x －0)2＋[0－(－1)]2，其几何意义为点Q (x,0)到点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22与点N (0，－1)的距离之和，当Q ，M ，N 三点共线时，这个值最小，且最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫22－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12＝2＋ 2.]7．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，并且经过定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12. (1)求椭圆E 的方程；(2)问：是否存在直线y ＝－x ＋m ，使直线与椭圆交于A ，B 两点，且满足OA →·OB →＝125？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． [解] (1)由e ＝c a ＝32且3a 2＋14b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝4，b 2＝1，即椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1. 4分(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧ x 24＋y 2＝1，y ＝－x ＋m ⇒x 2＋4(m －x )2－4＝0⇒5x 2－8mx ＋4m 2－4＝0.(*)所以x 1＋x 2＝8m 5，x 1x 2＝4m 2－45，y 1y 2＝(m －x 1)(m －x 2)＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＝m 2－85m 2＋4m 2－45＝m 2－45，14分由OA →·OB →＝125得(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝125，即x 1x 2＋y 1y 2＝125，4m 2－45＋m 2－45＝125，m ＝±2.又方程(*)要有两个不等实根，所以Δ＝(－8m )2－4×5(4m 2－4)＞0，解得－5＜m ＜5，所以m ＝±2. 16分8．如图2，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝5，AA ′＝AB ＝6，D ，E 分别为AB 和BB ′上的点，且AD DB ＝BE EB ′＝λ. (1)求证：当λ＝1时，A ′B ⊥CE ；(2)当λ为何值时，三棱锥A ′－CDE 的体积最小，并求出最小体积．图2[解] (1)证明：∵λ＝1，∴D ，E 分别为AB 和BB ′的中点. 2分又AA ′＝AB ，且三棱柱ABC －A ′B ′C ′为直三棱柱，∴平行四边形ABB ′A ′为正方形，∴DE ⊥A ′B . 5分∵AC ＝BC ，D 为AB 的中点，∴CD ⊥AB .∵三棱柱ABC －A ′B ′C ′为直三棱柱，∴CD ⊥平面ABB ′A ′，∴CD ⊥A ′B ， 7分又CD ∩DE ＝D ，∴A ′B ⊥平面CDE .∵CE ⊂平面CDE ，∴A ′B ⊥CE . 10分(2)设BE ＝x ，则AD ＝x ，DB ＝6－x ，B ′E ＝6－x .由已知可得C 到平面A ′DE 的距离即为△ABC 的边AB 所对应的高h ＝AC 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝4， 12分 ∴V A ′－CDE ＝V C －A ′DE ＝13(S 四边形ABB ′A －S △AA ′D －S △DBE －S △A ′B ′E )·h＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤36－3x －12(6－x )x －3(6－x )·h ＝23(x 2－6x ＋36)＝23[(x －3)2＋27](0＜x ＜6)，∴当x ＝3，即λ＝1时，V A ′－CDE 有最小值18. 16分。
《课堂新坐标》2017年高考数学(理科江苏专版)二轮专题复习与策略教师用书第1部分专题7第26讲选修4-5不等
第26讲 选修4－5：不等式选讲题型一| 绝对值不等式的解法已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值．[解] (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎨⎧ －2x ＋6，x ≤2，2，2<x <4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|，得－2x ＋6≥4，解得x ≤1； 当2<x <4时，f (x )≥4－|x －4|无解；3分当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|，得2x －6≥4，解得x ≥5.所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}. 5分(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎨⎧ －2a ，x ≤0，4x －2a ，0<x <a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12. 8分又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －12＝1，a ＋12＝2.于是a ＝3. 10分【名师点评】 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．1．已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎨⎧ －2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.2分当x ≤2时，由f (x )≥3，得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2<x <3时，f (x )≥3无解；3分当x ≥3时，由f (x )≥3，得2x －5≥3，解得x ≥4.所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}. 5分(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a . 8分由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]. 10分2．设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集；(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．[解] (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2.由此可得x ≥3或x ≤－1. 2分故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}. 4分(2)由f (x )≤0，得|x －a |＋3x ≤0.此不等式化为不等式组⎩⎨⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎨⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0，6分即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧ x <a ，x ≤－a 2. 8分 因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤－a 2. 由题设可得－a 2＝－1，故a ＝2. 10分题型二| 不等式的证明(1)(2016·南通模拟)已知x ，y 均为正数，且x ＞y .求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.(2)已知实数x ，y 满足：|x ＋y |＜13，|2x －y |＜16，求证：|y |＜518.[证明] (1)因为x ＞0，y ＞0，x －y ＞0，1分2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y )＋1(x －y )2＝(x －y )＋(x －y )＋1(x －y )2≥ 33(x －y )21(x －y )2＝3，4分 所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3， 5分 (2)因为3|y |＝|3y |＝|2(x ＋y )－(2x －y )|≤2|x ＋y |＋|2x －y |， 8分由题设知|x ＋y |＜13，|2x －y |＜16，从而3|y |＜23＋16＝56，所以|y |＜518. 10分【名师点评】 1.作差法应该是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：(1)作差；(2)分解因式；(3)与0比较；(4)结论．关键是代数式的变形能力．2．均值不等式的应用：(1)利用均值不等式时必须要找准“对应点”，明确“类比对象”，使其符合不等式的特征；(2)注意检验等号成立的条件，特别是多次使用均值不等式时，必须保证使等号同时成立．1．已知x ，y ，z 都是正数且xyz ＝8，求证：(2＋x )(2＋y )(2＋z )≥64.【导学号：19592067】[证明] 因为x 为正数，所以2＋x ≥22x ，同理2＋y ≥22y ，2＋z ≥22z ， 5分所以(2＋x )(2＋y )(2＋z )≥22x ·22y ·22z ＝88xyz .因为xyz ＝8，所以(2＋x )(2＋y )(2＋z )≥8. 10分2．设a ＞0，|x －1|＜a 3，|y －2|＜a 3，求证：|2x ＋y －4|＜a .[证明] 因为|x －1|＜a 3，|y －2|＜a 3，3分所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|＜2×a 3＋a 3＝a . 10分3．证明下列不等式：(1)设a ≥b >0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2；(2)a 6＋8b 6＋127c 6≥2a 2b 2c 2；(3)a 2＋4b 2＋9c 2≥2ab ＋3ac ＋6bc .[证明] (1)3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)＝3a 2(a －b )－2b 2(a －b )＝(a －b )(3a 2－2b 2). 2分∵a ≥b >0，∴a －b ≥0,3a 2－2b 2>0，∴(a －b )(3a 2－2b 2)≥0，∴3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2. 5分(2)a 6＋8b 6＋127c 6≥33827a 6b 6c 6＝3×23a 2b 2c 2＝2a 2b 2c 2. 6分∴a 6＋8b 6＋127c 6≥2a 2b 2c 2. 7分 (3)∵a 2＋4b 2≥2a 2·4b 2＝4ab ，a 2＋9c 2≥2a 2·9c 2＝6ac ，4b 2＋9c 2≥24b 2·9c 2＝12bc ， 9分∴2a 2＋8b 2＋18c 2≥4ab ＋6ac ＋12bc ，∴a 2＋4b 2＋9c 2≥2ab ＋3ac ＋6bc . 10分题型三| 柯西不等式的应用已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －－b |＋c 的最小值为4.(1)求a ＋b ＋c 的值；(2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．【导学号：19592068】[解] (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ，当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立. 2分又a ＞0，b ＞0，所以|a ＋b |＝a ＋b .所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c .又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4. 4分(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1) ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b 3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16， 即14a 2＋19b 2＋c 2≥87. 8分当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立．故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值为87. 10分【名师点评】 1.使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．2．利用柯西不等式求最值的一般结构为(a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a .(1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3.[解] (1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立，所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3.(2)证明：由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又因为p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3.。
2017年高考数学(理科江苏专版)二轮专题复习与策略课件：第2部分 专题讲座2 一、填空题求解的6种妙招
观察下列等式： ①cos 2α＝2cos2α－1； ②cos 4α＝8cos4α－8cos2α＋1； ③cos 6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1； ④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1； ⑤cos 10α＝mcos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1. 可以推测，m－n＋p＝________. 【导学号：19592075】
已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x) 的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有________个．
10 [如图，作出图象可知y＝f(x)与y＝|lg x|的图象共有10个交点．
]
利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命 题的热点．准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中变量之间 的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果．
|4k－2| 4 2 ＝0的距离应不大于2，即 2 ≤2.整理，得3k －4k≤0.解得0≤k≤ 3 .故k的最大 k ＋1 4 值为3.]
类型二
特例求解法
特例求解法在考试中应用起来比较方便，它的实施过程是从特殊到一般，优 点是简便易行．当填空题提供的信息暗示答案唯一或其值为定值时，就可以取一 个特殊数值、特殊位置、特殊图形、特殊关系、特殊数列或特殊函数值来将字母 具体化，把一般形式变为特殊形式．当题目的条件是从一般性的角度给出时，特 例求解法尤其有效．
2
|x| |x| [当x＝0时， ＝0；当x≠0时， ＝ |b| |b| |x| |x| ＝ 2＝ 2 2 xe1＋ye2 x ＋y ＋ 3xy 1
【课堂新坐标】2017高考数学(理,江苏)二轮专题复习与策略(教师用书) 第1部分 专题2 第7讲 平面向量
专题2 三角函数、解三角形、平面向量第7讲 平面向量题型一| 平面向量的概念与运算(1)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB→＋FC→＝________.(2)已知向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，若(λa ＋b )∥b ，则λ＝________. (3)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． (1)AD→ (2)0 (3)12 [(1)设AB →＝a ，AC →＝b ，则EB →＝－12b ＋a ，FC →＝－12a ＋b ，从而EB→＋FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12b ＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋b ＝12(a ＋b )＝AD →. (2)由题意得λa ＋b ＝λ(1，－3)＋(4，－2)＝(λ＋4，－3λ－2)，由(λa ＋b )∥b 得，(λ＋4)×(－2)－(－3λ－2)×4＝0，解得λ＝0.(3)如图，DE→＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，则λ1＝－16，λ2＝23，λ1＋λ2＝12.]【名师点评】 1.运用向量加减法解决几何问题时，需要发现或构造三角形或平行四边形．使用三角形加法法则要特别注意“首尾相接”；使用减法法则时，向量一定“共起点”．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．3.OA→＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.1．如图7－1，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，BG →＝2GO →，设CD →∥AG →，若AD→＝15AB →＋λAC →(λ∈R )，则λ的值为________．图7－165 [因为BG →＝2GO →，所以AG →＝13AB →＋23AO →＝13AB →＋13AC →. 又CD→∥AG →，可设CD →＝mAG →.从而AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋m 3AB →＋m 3AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 3AC→＋m 3AB →.因为AD→＝15AB →＋λAC →， 所以m 3＝15，λ＝1＋m 3＝65.]2．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图7－2所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.图7－24 [以向量a 的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)．由c ＝λa ＋μb ，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－12，则λμ＝4.]3．如图7－3，在△ABC 中，AF ＝13AB ，D 为BC 的中点，AD 与CF 交于点E .若AB→＝a ，AC →＝b ，且CE →＝x a ＋y b ，则x ＋y ＝________.图7－3－12 [如图，设FB 的中点为M ，连结MD .因为D 为BC 的中点，M 为FB 的中点， 所以MD ∥CF .因为AF ＝13AB ，所以F 为AM 的中点，E 为AD 的中点． 法一：因为AB →＝a ，AC →＝b ，D 为BC 的中点，所以AD→＝12(a ＋b )． 所以AE→＝12AD →＝14(a ＋b )．所以CE →＝CA →＋AE →＝－AC →＋AE → ＝－b ＋14(a ＋b )＝14a －34b . 所以x ＝14，y ＝－34， 所以x ＋y ＝－12.法二：易得EF ＝12MD ，MD ＝12CF ， 所以EF ＝14CF ，所以CE ＝34CF . 因为CF →＝CA →＋AF →＝－AC →＋AF → ＝－b ＋13a ，所以CE→＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫－b ＋13a ＝14a －34b . 所以x ＝14，y ＝－34，则x ＋y ＝－12.]题型二| 平面向量的数量积(1)(2014·江苏高考)如图7－4，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD→的值是________．图7－4(2)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．【导学号：19592023】(1)22 (2)712 [(1)由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB→，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB →＝AD →－34AB →. 因为AP →·BP→＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB →＝2， 即AD →2－12AD →·AB→－316AB 2→＝2.又因为AD 2→＝25，AB 2→＝64，所以AB →·AD →＝22.(2)因为AP →⊥BC →，所以AP →·BC→＝0， 所以(λAB →＋AC →)·BC →＝0，即(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB 2→＋AC 2→－AC →·AB→＝0. 因为向量AB →与AC →的夹角为120°，|AB →|＝3，|AC →|＝2，所以(λ－1)|AB →||AC →|·cos 120°－9λ＋4＝0，解得λ＝712.] 【名师点评】 求平面向量的数量积的两种方法1．定义法：a ·b ＝|a ||b |·cos θ，其中θ为向量a ，b 的夹角； 2．坐标法：当a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)时，a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.1．(2016·盐城三模)已知向量a ，b 满足a ＝(4，－3)，|b |＝1，|a －b |＝21，则向量a ，b 的夹角为________．π3 [∵a ＝(4，－3)，∴|a |＝5， 又|b |＝1，|a －b |＝21， ∴|a －b |2＝a 2－2a·b ＋b 2，∴a·b ＝52.∴cos 〈a ，b 〉＝a·b|a ||b |＝525×1＝12.又〈a ，b 〉∈[0，π]， ∴〈a ，b 〉＝π3.]2．如图7－5，在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，cos ∠BAC ＝13，DC →＝2BD →，则AD →·BC →的值为________．图7－5－2 [∵BC→＝AC →－AB →， ∴AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13AC →－13AB →·(AC →－AB →) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋13AC →·(AC →－AB →) ＝－23AB →2＋13AC →2＋13AB →·AC → ＝－23×9＋13×9＋13×3×3×13 ＝－6＋3＋1＝－2.]3．(2016·南通调研一)已知边长为4的正三角形ABC ，BD →＝12BC →，AE→＝13AC →，AD 与BE 交于点P ，则PB →·PD→的值为________．图7－63 [法一：设AB →＝a ，AC →＝b .则a·b ＝8.设AP →＝λAB →＋μAE →＝λa ＋μ3b ，AP →＝ηAD →＝η2a ＋η2b, 又B ，P ，E 三点共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝η2，μ3＝η2，λ＋μ＝1，解得λ＝14，μ＝34，η＝12，PB →＝AB →－AP →＝34a －14b ，PD→＝14a ＋14b ，PB →·PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a －14b ⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ＋14b ＝116(3a 2＋2a·b －b 2)＝3.法二：以BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立坐标系，B (－2,0)，C (2,0)，A (0,23)，P (0，3)．所以PB →·PD →＝(－2，－3)·(0，－3)＝3.]题型三| 数量积的综合应用(1)已知O 为△ABC 的外心，AB ＝2a ，AC ＝2a ，∠BAC ＝120°，若AO→＝αAB→＋βAC →，则α＋β的最小值为________．(2)已知点R (－3,0)，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M (x ，y )在直线PQ 上，且 2 PM →＋3 MQ →＝0，RP →·PM →＝0，则4x ＋2y －3的最小值为________．(1)2 (2)－4 [(1)如图，以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，则A (0,0)，B (2a,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，3a ，∵O 为△ABC 的外心，∴O 在AB 的中垂线m ：x ＝a 上，又在AC 的中垂线n 上，AC 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，32a ，AC 的斜率为tan 120°＝－3，∴中垂线n 的方程为y －32a ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12a ，把直线m 和n 的方程联立方程组 ⎩⎨⎧x ＝a ，y －32a ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12a ，解得△ABC 的外心O ⎝⎛⎭⎪⎫a ，33a ＋233a ，由条件AO →＝αAB→＋βAC →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，33a ＋233a ＝α(2a,0)＋β⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，3a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2aα－βa ，3a β， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2aα－βa ，33a ＋233a ＝3a β，解得α＝23＋13a 2，β＝a 23＋23，∴α＋β＝23＋13a 2＋a 23＋23＝43＋13a 2＋a 23≥43＋2×13＝2，当且仅当a ＝1时取等号．(2)由2PM →＋3MQ →＝0，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－y 2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，0.由RP →·PM →＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，3y 2＝0，即y 2＝4x ，∴4x ＋2y －3＝y 2＋2y －3＝(y ＋1)2－4，因此，当y ＝－1时，4x ＋2y －3取得最小值，最小值为－4.]【名师点评】 两类平面向量综合问题的解决方法1．用向量解决平面几何问题，主要是通过建立平面直角坐标系将问题坐标化，然后利用平面向量的坐标运算求解有关问题；2．在平面向量与平面解析几何的综合问题中，应先根据平面向量知识把向量表述的解决几何问题的几何意义弄明白，再根据这个几何意义用代数的方法研究解决．1．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2＋y 2＝4分别交x 轴正半轴及y 轴正半轴于M ，N 两点，点P 为圆C 上任意一点，则PM →·PN→的最大值为________． 4＋42 [根据题意得：M (2,0)，N (0,2)．设P (2cos θ，2sin θ)， 则PM→＝(2－2cos θ，－2sin θ)，PN→＝(－2cos θ，2－2sin θ)， 所以PM →·PN →＝－4cos θ＋4cos 2θ－4sin θ＋4sin 2θ ＝4－4(sin θ＋cos θ) ＝4－42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，因为－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，所以4－42≤PM →·PN→≤4＋42，所以PM →·PN→的最大值为4＋4 2.]2．(2016·苏锡常镇调研一)在平面直角坐标系xOy 中，设M 是函数f (x )＝x 2＋4x (x ＞0)的图象上任意一点，过M 点向直线y ＝x 和y 轴作垂线，垂足分别是A ，B ，则MA →·MB→＝________.图7－7－2 [设M (a ，b )，则b ＝a 2＋4a (a ＞0)，据题设得B (0，b )，向量MB →＝(－a,0)，设A (m ，m )，则直线MA 的斜率为－1，即b －m a －m＝－1，得m ＝a ＋b 2，向量MA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 2，a －b 2，MA →·MB →＝a 2－ab 2，把b ＝a 2＋4a (a ＞0)代入得MA →·MB →＝a 2－a 2－42＝－2.]3．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·b x 在R 上有极值，则向量a 与b 的夹角的范围是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π [设a 与b 的夹角为θ. ∵f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·b x ， ∴f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a ·b . ∵函数f (x )在R 上有极值，∴方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有两个不同的实数根，即Δ＝|a |2－4a ·b >0，∴a ·b <a24，又∵|a |＝2|b |≠0，∴cos θ＝a ·b |a ||b |< a 24 a 22＝12，即cos θ<12，又∵θ∈[0，π]， ∴θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π.]。
2017年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与策略课件：第1部分 专题2 突破点4 等差数列、等比数列
a2＋a4 30 ＋a3)＝90， 所以公比 q＝ ＝3， 首项 a1＝ 所以 an＝3n， bn＝1＋log33n 2 ＝3 ， a1＋a3 1＋q 15×2＋16 ＝1＋n，则数列{bn}是等差数列，前 15 项的和为 ＝135，故选 B. 2 (2)由题意知 S1＝a1，S2＝2a1－1，S4＝4a1－6，因为 S1，S2，S4 成等比数列， 所以
B．135 D．16
(2)设{an}是首项为 a1，公差为－1 的等差数列，Sn 为其前 n 项和．若 S1，S2， S4 成等比数列，则 a1＝( A．2 1 C.2 ) B．－2 1 D．－2
(1)B
(2)D [(1)设等比数列{an}的公比为 q， 由 a1＋a3＝30， a2＋a4＝S4－(a1
2 S2 ＝ S · S ，即 (2 a － 1) ＝a1(4a1－6)，解得 2 1 4 1
1 a1＝－2，故选 D.]
在等差(比)数列问题中最基本的量是首项 a1 和公差 d(公比 q)，在解题时往 往根据已知条件建立关于这两个量的方程组，从而求出这两个量，那么其他问 题也就会迎刃而解．这就是解决等差、等比数列问题的基本量的方法，这其中 蕴含着方程思想的运用． 提醒：应用等比数列前 n 项和公式时，务必注意公比 q 的取值范围．
C [法一：∵{an}是等差数列，设其公差为 d， 9 ∴S9＝2(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.
a1＋4d＝3， 又∵a10＝8，∴ a1＋9d＝8， a1＝－1， ∴ d＝1.
∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.故选 C.
法二：∵{an}是等差数列， 9 ∴S9＝2(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3. 在等差数列{an}中，a5，a10，a15，…，a100 成等差数列，且公差 d′＝a10－ a5＝8－3＝5. 故 a100＝a5＋(20－1)×5＝98.故选 C.]