一次不定方程的解法

一次不定方程的解法
一次不定方程的解法
我们现在就这个问题，先给出一个定理．
定理 如果,a b 是互质的正整数，c 是整数，且方程
ax by c
+= ① 有一组整数解00,x y 则此方程的一切整数解可
以表示为
00x x bt y y at =-⎧⎨=+⎩
其中0,1,2,3,t =±±±…
证 因为00
,x y 是方程①的整数解，当然满足 00ax by c += ②
因此 0000()()a x bt b y at ax by c
-++=+=． 这表明0x x bt =-，0y y at =+也是方程①的解．
设,x y ''是方程①的任一整数解，则有
ax by c ''+= ③
③-②得 00()()a x x b y y ''-=-- ④
由于(,)1a b =，所以0a y y '-，即0y y at '=+，其中t 是整数．将
0y y at '=+代入④，即得0x x bt '=-．因此,x y ''可以表示成0x x bt =-，0y y at =+的形式，所以0x x bt =-，0y y at =+表示
方程①的一切整数解，命题得证．
例2
求方程62290x y +=的非负整数解．
解 因为(6,22)2=，所以方程两边同除以2得 31145x y += ①
由观察知，114,1x y ==-是方程
3111x y += ②
的一组整数解，从而方程①的一组整数解为 0045418045(1)45
x y =⨯=⎧⎨=⨯-=-⎩ 由定理，可得方程①的一切整数解为
18011453x t y t =-⎧⎨=-+⎩
因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有
1801104530t t -≥⎧⎨-+≥⎩ ③
由于t 是整数，由③得1516t ≤≤，所以只有15,16t t ==两种可能．
当15,15,0t x y ===；当16,4,3t x y ===．所以原方程的非负整数解是
150x y =⎧⎨=⎩ ，43x y =⎧⎨=⎩
例3 求方程719213x y +=的所有正整数解．
分析 这个方程的系数较大，用观察法去求
其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解．
解 用方程
719213x y += ①
的最小系数7除方程①的各项，并移项得 213193530277
y y x y --==-+ ② 因为,x y 是整数，故357y u -
=也是整数，于是
573y u +=．化简得到
573y u += ③ 令325u v -
=（整数），由此得
253u v += ④
由观察知11u v =-⎧⎨=⎩
是方程④的一组解．将11u v =-⎧⎨=⎩代入③得2y =，再将2y =代入②得25x =．于是方程①有一组解
00252x y =⎧⎨=⎩，所以它的一切解为251927x t y t =-⎧⎨=+⎩ t 为整数
由于要求方程的正整数解，所以
25190270
t t ->⎧⎨+>⎩
解不等式，得t 只能取0,1．因此得原方程的正整数解为
252x y =⎧⎨=⎩ ，69x y =⎧⎨=⎩
当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明．
例4 求方程3710725x y +=的整数解．
解 10723733
371334
33841=⨯+=⨯+=⨯+
为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得
13384=-⨯ 37484=--⨯ 3794=-⨯
379(3733)=-⨯-
933837=⨯-⨯
9(107237)837=⨯-⨯-⨯
91072637=⨯-⨯
37(26)1079=⨯-+⨯
由此可知1126,9x
y =-=是方程371071x y +=的一组整数解．于是
025(26)650x =⨯-=-，0259225
y =⨯= 是方程3710725x y +=的一组整数解．
所以原方程的一切整数解为
65010722537x t y t =--⎧⎨=+⎩ t 为整数
例5 某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？
解 设需x 枚7分，y 枚5分恰好支付142分，于是
75142x y += ①
所以 142722222828555
x x x y x x ---==-+=-- 由于7142x ≤，所以20x ≤，并且由上式知52(1)x -．因
为(5,2)1=，所以51x -，从而1,6,11,16x =，所以①的非负整数解为
127x y =⎧⎨=⎩ ，620x y =⎧⎨=⎩ ，1113x y =⎧⎨=⎩ ，166x y =⎧⎨=⎩
所以，共有4种不同的支付方式．
说明 当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．
多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程． 例6 求方程92451000x y z +-=的整数解．
解 设9243x y t +=，即38x y t +=，于是351000t z -=．于
是原方程可化为
38351000x y t t z +=⎧⎨-=⎩ ①
用前面的方法可以求得①的解为
383x t y t u =-⎧⎨=-+⎩ （u 是整数） ②
②的解为
2000510003t v z v =+⎧⎨=+⎩ （v 是整数） ③
消去t ，得
600081520003510003x u v y u v
z v =-+⎧⎪=-+-⎨⎪=+⎩ （,u v 都是整数）
大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例．
例7 今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？
解 设公鸡、母鸡、小鸡各买,,x y z 只，由题意列方程组
⎧⎪⎨⎪⎩
1531003x y z ++=100x y z ++=
①
②
化简得159300x y z ++= ③
③-②得148200x y +=
即74100x y +=，解741x y +=得
12x y =-⎧⎨=⎩
于是74100x y +=的一个特解为
00100200x y =-⎧⎨=⎩
由定理知74100x y +=的所有整数解为
10042007x t y t =-+⎧⎨=-⎩ t 为整数
由题意知，0,,100x y z <<，所以
0100410002007100t t <-+<⎧⎨<-<⎩ t 为整数 解得42528724
142877t t ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩
∴ 4
25287t <<
由于t 是整数，故t 只能取26,27,28，而且,,x y z 还应满足
++=．
x y z
100
即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．。