高考理科数学模拟试题精编(二)
四川省绵阳南山2024届高三下学期高考仿真考试(二)理科数学试题含答案
秘密★启用前【考试时间：2024年5月30日15：00-17：00】绵阳南山2024年高三仿真考试（二）理科数学（答案在最后）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}*2N |2nA n n =∈≥，则集合A 的元素个数为（）A.1B.2C.3D.无穷多个【答案】C 【解析】【分析】利用指数与幂的运算性质可求解.【详解】由2*2(N )n n n ≥∈，可得1,2,4n =，所以集合A 的元素个数为3个.故选：C2.虚数1i(R)z b b =+∈满足()i 1z z z z -=-⋅，则b =（）A.0B.1C.2D.0或2【答案】C 【解析】【分析】求出z ，代入()i 1z z z z -=-⋅计算即可.【详解】由已知1i(R)z b b =-∈，0b ≠，所以()i 2z z b -=-，()22111z z b b-⋅=-+=-，所以22b b -=-，解得2b =.故选：C.3.已知双曲线C 的顶点为1A ，2A ，虚轴的一个端点为B ，且12BA A △是一个直角三角形，则双曲线C 的渐近线为（）A.2y x =±B.y x=± C.22y x =±D.y =【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的对称性可得1212,BA BA BA BA ⊥=，求出ba即可得解.【详解】设双曲线的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，由双曲线的对称性可得12BA A △是一个等腰直角三角形，且1212,BA BA BA BA ⊥=，则12OA OA OB ==，即a b =，所以双曲线C 的渐近线为y x =±.故选：B.4.近年来，我国大力发展新能源汽车工业，新能源汽车（含电动汽车）销量已跃居全球首位.某新能源汽车厂根据2021年新能源汽车销售额（单位：万元）和每月销售额占全年销售额的百分比绘制了如图所示双层饼图.根据双层饼图，下列说法错误的是（）A.2021年第四季度销售额最低B.2月销售额占全年销售额的8%.C.2021年全年销售总额约为1079万元D.7月的销售额约为46万元【答案】D 【解析】【分析】根据双层饼图，依次判断选项即可.【详解】解：由图知，第四季度销售额占全年销售额的百分比18%,第三季度为33%，第二季度为29%，第一季度为20%，故第四季度最低，A 正确；2月销售额占全年销售额的占比为20%5%7%8%--=，B 正确；全年销售总额为()31310%9%10%1079÷++≈（万元），C 正确；7月的销售额为107913%140⨯≈（万元），D 错误.故选：D.5.在平面直角坐标系xOy 中，角,αβ的始边均为Ox ，终边相互垂直，若35=cos α，则cos2β=（）A.925B.925-C.725D.725-【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角的余弦公式计算即得.【详解】依题意，π2π,Z 2k k βα=++∈，则3sin cos 5βα==，或π2π,Z 2k k βα=-+∈，则3sin cos 5βα=-=-，所以27cos212sin 25ββ=-=.故选：C6.已知点()00,P x y 为可行域*640,N x y x y x y +<⎧⎪->⎨⎪∈⎩内任意一点，则000x y ->的概率为（）A.25B.49C.13D.310【答案】B 【解析】【分析】作出可行域，求得可行域内的整点个数，进而求得满足000x y ->的点个数，由古典概型概率公式求解即可.【详解】可行域*640,N x y x y x y +<⎧⎪->⎨⎪∈⎩内的点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)共9个，其中满足000x y ->的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)共4个，所以所求的概率49P =.故选：B.7.已知Q 为直线:210l x y ++=上的动点，点P 满足()1,3QP =-，记P 的轨迹为E ，则（）A.EB.E 是一条与l 相交的直线C.E 上的点到lD.E 是两条平行直线【答案】C 【解析】【分析】设(),P x y ，由()1,3QP =-可得Q 点坐标，由Q 在直线上，故可将点代入坐标，即可得P 轨迹E ，结合选项即可得出正确答案.【详解】设(),P x y ，由()1,3QP =-，则()1,3Q x y -+，由Q 在直线:210l x y ++=上，故()12310x y -+++=，化简得260x y ++=，即P 的轨迹为E 为直线且与直线l 平行，E 上的点到l的距离d ==A 、B 、D 错误，C 正确.故选：C .8.已知函数()()2sin 2f x x ϕ=+，2πϕ<，那么“6πϕ=”是“()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求得当,4242k x k k Z πϕπϕππ--+≤≤-+∈时，()f x 是增函数,进而判断6πϕ=时，函数的单调性，即可得出结果.【详解】当22222k x k πππϕπ-+≤+≤+，Z k ∈,()f x 单调递增.则当,4242k x k k Z πϕπϕππ--+≤≤-+∈时，()f x 是增函数,当6πϕ=时,()f x 在,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈单调递增，可得()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；当6πϕ=-时,()f x 在,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈单调递增，可得()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；反之，当()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数时，由,,6644ππππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，可知，此时0,0k ϕ==，即6πϕ=不成立.所以“6πϕ=”是“()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数”的充分而不必要条件.故选：A.9.已知函数()f x 满足()()311f x f x +=--，且函数()1f x +为偶函数，若()11f =，则()()()()1232024f f f f +++⋯+=（）A.0B.1012C.2024D.3036【答案】B 【解析】【分析】由题意得()()11f x f x +=-+，()f x 的图象关于直线1x =对称，函数的周期为4，进一步()()()()12342f f f f +++=，由此即可得解.【详解】由题意函数()1f x +为偶函数，所以()()11f x f x +=-+，()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()()()()()()3111111331f x f x f x f x f x f x +=--=-+=---=-=-⎡⎤⎣⎦，所以函数()f x 的周期为4，在()()311f x f x +=--中，分别令0x =和1，得()()131f f +=，()()041f f +=，即()()241f f +=，所以()()()()12342f f f f +++=，所以()()()12202450621012f f f +++=⨯=L .故选：B.10.六氟化硫，化学式为6SF ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m ，则下列错误的是（）A.该正八面体结构的外接球表面积为22πm B.该正八面体结构的内切球表面积为22π3mC.该正八面体结构的表面积为2D.3【答案】D 【解析】【分析】分析正八面体结构特征，计算其表面积，体积，外接球半径，内切球半径，验证各选项.【详解】对A ：底面中心S 到各顶点的距离相等，故S 为外接球球心，外接球半径22R PS m ==，故该正八面体结构的外接球表面积22π)2πS m '=⨯=，故A 正确；对D ：连接AS ，PS ，则22AS PS m ==，PS ⊥底面ABCD ，故该正八面体结构的体积231222323V m m =⨯⨯⨯=，故D 错误；对C ：由题知，各侧面均为边长为m 的正三角形，故该正八面体结构的表面积2284S m =⨯⨯=，故C 正确；对B ：底面中心S 到各面顶点的距离相等，故S 为内切球球心，设该正八面体结构的内切球半径r，则13V Sr =，所以33VrS==故内切球的表面积222π4π3mS⎛⎫''=⨯=，故B正确.故选：D.11.若函数()21ln22f x a x x x=+-有两个不同的极值点12,x x，且()()1221t f x x f x x-+<-恒成立，则实数t的取值范围为（）A.(),5-∞- B.(],5-∞- C.(),22ln2-∞- D.(],22ln2-∞-【答案】B【解析】【分析】首先对()f x求导，得()()22x x af x xx'-+=>，根据题意得到方程220x x a-+=有两个不相等的正实数根，结合根与系数的关系求得a的取值范围，然后将不等式进行转化，结合根与系数的关系得到()()1212f x f x x x+--关于参数a的表达式，从而构造函数，利用导数知识进行求解．【详解】依题意得()()2220a x x af x x xx x-+=+-=>'，若函数()f x有两个不同的极值点12,x x，则方程220x x a-+=有两个不相等的正实数根12,x x，可得1212Δ44020ax xx x a=->⎧⎪+=>⎨⎪=>⎩，解得01a<<，因为()()1221t f x x f x x-+<-，可得()()2212121112221211ln 2ln 222t f x f x x x a x x x a x x x x x <+--=+-++---()()()()()()2221212121212121211ln 3ln 322a x x x x x x a x x x x x x x x =++-+=++--+21ln 232ln 42a a a a a a =+⨯--⨯=--．设()()ln 401h a a a a a =--<<，则()ln 0h a a ='<，则()h a 单调递减，()()15h a h >=-，可知5t ≤-．所以实数t 的取值范围是(],5-∞-.故选：B ．【点睛】关键点睛：1.利用导数与极值点之间的关系及一元二次方程有两个不相等的正实数根，求得a 的取值范围是解决问题的前提；2.利用韦达定理二元换一元，通过构造函数解决问题.12.记椭圆1C ：22221(0)x ya b a b+=>>与圆2C ：222x y a +=的公共点为M ，N ，其中M 在N 的左侧，A 是圆2C 上异于M ，N 的点，连接AM 交1C 于B ，若2tan 5tan ANM BNM ∠=∠，则1C 的离心率为（）A.35B.45C.5D.5【答案】D 【解析】【分析】根据题意可知(),0M a -，(),0N a ，结合图象和椭圆方程可知22tan tan b BMN BNM a ∠⋅∠=，由AMN 为直角三角形，可求得πtan tan 2tan tan BMN ANM BNM BNM⎛⎫-∠ ⎪∠⎝⎭=∠∠，可得2225b a =，即可求得离心率.【详解】由题意可知点M ，N 分别为椭圆的左右顶点，所以(),0M a -，(),0N a ，设点A 在第一象限，设点(),B x y ，所以22222222221tan tan x b a y y y b BMN BNM a x a x a x a x a⎛⎫- ⎪⎝⎭∠⋅∠=⋅===+---，πtan tan 152tan tan tan tan 2BMN ANM BNM BNM BNM BMN ⎛⎫-∠ ⎪∠⎝⎭===∠∠∠⋅∠，所以2225b a =，5c e a ===.故选：D .二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.平面向量a 与b相互垂直，已知(6,8)a =- ，||5b = ，且b 与向量(1,0)的夹角是钝角，则b = ______.【答案】(4,3)--【解析】【分析】设(,)b x y = ，根据向量垂直和向量模的坐标表示得到方程组，再结合b与向量(1,0)的夹角为钝角得到0x <，最后解出方程组即可.【详解】设(,),b x y a b =⊥ ，0a b ∴⋅= ，680x y ∴-=，①，||5b == ，②，因为b与向量(1,0)夹角为钝角，∴0x <，③，由①②③解得43x y =-⎧⎨=-⎩，(4,3)b ∴=-- .故答案为：(4,3)--.14.已知函数()π2cos 3f x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭，其中ω为常数，且()0,6ω∈，将函数()f x 的图象向左平移π6个单位所得的图象对应的函数()g x 在0x =取得极大值，则ω的值为_____________________.【答案】2【解析】【分析】先根据图象平移得到()g x 的解析式，然后根据()0g 为最大值得到关于ω的方程，结合ω的范围可知结果.【详解】由题意可知()ππππ2cos 2cos 6363g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为()g x 在0x =取得极大值，所以()g x 在0x =取得最大值，所以ππ2π63k ω-=，Z k ∈，即212k ω=+，又因为()0,6ω∈，所以，当且仅当0k =时，2ω=满足条件，所以2ω=，故答案为：2.15.若随机变量X 服从二项分布115,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，则使()P X k =取得最大值时，k =______．【答案】3或4【解析】【分析】先求得()P X k =的表达式，利用列不等式组的方法来求得使()P X k =取得最大值时k 的值.【详解】依题意015,N k k ≤≤∈，依题意()1515151515151********C 1C C 344444kkk k k kk k k P X k ----⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⋅⋅=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()15150151141515151513130C 3,1C 354444P X P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅===⋅⋅=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()151154P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()()()1501P X P X P X =<=<=，所以()0P X =、()15P X =不是()P X k =的最大项，当114k ≤≤时，由1511615151515151141515151511C 3C 34411C 3C 344k k k kk k k k ----+-⎧⋅⋅≥⋅⋅⎪⎪⎨⎪⋅⋅≥⋅⋅⎪⎩，整理得1151511515C 3C 3C C k k k k -+⎧≥⎨≥⎩，即()()()()()()15!15!3!15!1!16!15!15!3!15!1!14!k k k k k k k k ⎧≥⨯⎪⨯--⨯-⎪⎨⎪⨯≥⎪⨯-+⨯-⎩，整理得131631151k kk k ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，163343315k k k k k -≥⎧⇒≤≤⎨+≥-⎩，所以当k 为3或4时，()P X k =取得最大值.故答案为：3或416.在钝角ABC 中，a ，b ，c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，点G 是ABC 的重心，若AG BG ⊥，则cos C 的取值范围是______.【答案】,13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】延长CG 交AB 于D ，由G 为ABC 的重心，可得3322CD AB c ==，根据πBDC ADC ∠+∠=，利用余弦定理可得222222525233c a c b c c--=-，进而可得C 为锐角，设A 为钝角，则222b c a +<，222a c b +>，a b >，进而计算可得03b a <<，利用余弦定理可得cos C 的取值范围.【详解】延长CG 交AB 于D，如下图所示：G 为ABC 的重心，∴D 为AB 中点且3CD DG =，AG BG ⊥ ，12DG AB ∴=，3322CD AB c ∴==；在ADC △中，2222222225522cos 3232c bAD CD AC c b ADC AD CD c c -+--∠===⋅；在BDC 中，2222222225522cos 3232c a BD CD BC c a BDC BD CD c c -+--∠===⋅； πBDC ADC ∠+∠=，cos cos BDC ADC ∴∠=-∠，即222222525233c a c b c c--=-，整理可得：22225a b c c +=>，∴C 为锐角；设A 为钝角，则222b c a +<，222a c b +>，a b >，2222222255a b a b a b b a ⎧+>+⎪⎪∴⎨+⎪<+⎪⎩，22221115511155b b a a b b a a ⎧⎛⎫⎛⎫++<⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴⎨⎛⎫⎛⎫⎪<++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得：223b a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，0a b >>，03b a ∴<<，22222222cos 255533a b c a b a b C ab ab b a ⎛⎫+-+⎛⎫==⋅=+>⨯+= ⎪ ⎝⎭⎝，又C 为锐角，∴cos 13C <<，即cos C的取值范围为,13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查余弦定理的综合应用，利用已知求得603b a <<是关键，考查运算求解能力，难度较大.三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{}n a 满足31720,56a a a =+=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()41nn S b n =+，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.设[]x 表示不超过x 的最大正整数，求使[][][][]1232023n b b b b ++++< 的最大正整数n 的值.【答案】（1）84n a n =-（2）64【解析】【分析】（1）根据题意列式求解1,a d ，进而可得结果；（2）由（1）可得,n n S b ，根据题意可得[]1n b n =-，根据等差数列的求和公式分析运算即可.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得311712202656a a d a a a d =+=⎧⎨+=+=⎩，解得148a d =⎧⎨=⎩，所以数列{}n a 的通项公式()48184n a n n =+-=-.【小问2详解】由（1）可得84n a n =-，则()248442n n n n S +-==，所以()()2114111n n S n b n n n n ===-++++，因为*n ∈N ，则()1110,1,n n -∈∈+N ，所以[]1n b n =-，则[][]()111n n b b n n +-=--=，即数列[]{}n b 是以首项为0，公差为1的等差数列，则[][][][]()()123011202322n n n n n b b b b +--++++==<L ，即24046n n -<，又因为()2f n n n =-在[)1,+∞上单调递增，且()()6440324046,6541604046f f =<=>，所以使[][][][]1232023n b b b b ++++< 的最大正整数n 的值为64.18.为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y （单位：万台）关于x （年份）的线性回归方程 4.79459.2y x =-，且销量y 的方差为22545y s =，年份x 的方差为22x s =.（1）求y 与x 的相关系数r ，并据此判断电动汽车销量y 与年份x 的线性相关性的强弱.（2）该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：性别购买非电动汽车购买电动汽车总计男性39645女性301545总计692190依据小概率值0.05α=的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？25=≈.②参考公式：线性回归方程为ˆˆy bx a =+，其中()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx=-；相关系数()()niix x y y r --=∑||0.9r >，则可判断y 与x 线性相关较强；22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.附表：()20P K k ≥0.100.050.0100.0010k 2.7063.8416.63510.828【答案】（1）0.93，电动汽车销量y 与年份x 的线性相关性的较强（2）有关【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用线性回归方程，结合相关系数公式计算作答；（2）根据22⨯列联表，计算2K 的值，并与对应的小概率值比较即得.【小问1详解】由22xs =，得()2212ni x i x x ns n =-==∑，由22545ys =，得()2212545ni y i n y y ns =-==∑，因为线性回归方程 4.79459.2y x =-，则()()()1214.7ˆniii ni i x x y y bx x ==--==-∑∑，即()()()2114.7 4.729.4n ni i i i i x x y y x x n r ==--=-=⨯=∑∑，因此相关系数()() 4.7 4.7250.930.9127127n iix x y y r --⨯===≈≈>∑，所以电动汽车销量y 与年份x 的线性相关性的较强.【小问2详解】零假设0H ：购买电动汽车与车主性别无关，由表中数据得：2290(3915306) 5.031 3.84145456921K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，依据小概率值0.05α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA 与1BB ，12AB AC A B ===，1AC BC ==．（1）证明：平面11A ABB ⊥平面ABC ；（2）若点N 在棱11A C 上，求直线AN 与平面11A B C 所成角的正弦值的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）7【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质作线线垂直，结合线段长度及勾股定理判定线线垂直，根据线面垂直的判定与性质证明即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面角结合基本不等式求最值即可.【小问1详解】取棱1A A 中点D ，连接BD ，因为1AB A B =，所以1BD AA ⊥因为三棱柱111ABC A B C -，所以11//AA BB ，所以1BD BB ⊥，所以BD =因为2AB =，所以1AD =，12AA =；因为2AC =，1A C =，所以22211AC AA AC +=，所以1AC AA ⊥，同理AC AB ⊥，因为1AA AB A = ，且1AA ，AB ⊂平面11A ABB ，所以AC ⊥平面11A ABB ，因为AC ⊂平面ABC ，所以平面11A ABB ⊥平面ABC ；【小问2详解】取AB 中点O ，连接1AO ，取BC 中点P ，连接OP ，则//OP AC ，由（1）知AC ⊥平面11A ABB ，所以OP ⊥平面11A ABB 因为1AO 平面11A ABB ，AB ⊂平面11A ABB ，所以1OP A O ⊥，OP AB ⊥，因为11AB A A A B ==，则1A O AB⊥以O 为坐标原点，OP ，OB ，1OA 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,1,0)A -，1A，1(0,B ，(2,1,0)C -，可设点(N a =，()02a ≤≤，()110,2,0A B =，(12,1,A C =-，(AN a =，设面11A B C 的法向量为(,,)n x y z =，得1110202n A B yn A C x y ⎧⋅==⎪⎨⋅==--⎪⎩ ，取x =，则0y =，2z =，所以n =设直线AN 与平面11A B C 所成角为θ，则sin cos ,n AN n AN n AN θ⋅=<>==⋅=若0a =，则sin 7θ=，若0a ≠，则sin 7θ=≤，当且仅当4a a=，即2a =时，等号成立，所以直线AN 与平面11A B C所成角的正弦值的最大值7.20.已知抛物线E ：24y x =，过点(1,1)P 作斜率互为相反数的直线,m n ，分别交抛物线E 于,A B 及,C D 两点．（1）若3PA BP =，求直线AB 的方程；（2）求证：CAP BDP ∠=∠．【答案】（1）y x =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由3PA BP = ，得12124343x x y y =-⎧⎨=-⎩，又2114y x =，2224y x =，解得,A B两点的坐标，进而可得答案．（2）设直线AB ：(1)1y k x =-+，则直线CD ：(1)1y k x =--+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，联立直线AB 与抛物线的方程，结合韦达定理由弦长公式计算AP BP ⋅，同理可得CP DP ⋅，进而可得APC BPD ∽△△，即可得出答案．【小问1详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，∵(1,1)P ，∴22(1,1)BP x y =-- ，11(1,1)PA x y =--，∵3PA BP =，∴21213(1)13(1)1x x y y -=-⎧⎨-=-⎩，12124343x x y y =-⎧⎨=-⎩．又∵2114y x =，∴222(43)4(43)y x -=-，即2222384y y x -=-，又∵2224y x =，∴222480y y -=，20y =或22y =，当20y =时，20x =，∴14x =，14y =；当22y =时，21x =，∴11x =，12y =-，此时直线AB 的斜率不存在，舍去，∴(4,4)A ，(0,0)B ，∴直线AB 的方程为：y x =．【小问2详解】设直线AB ：(1)1y k x =-+，则直线CD ：(1)1y k x =--+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y，由2(1)14y k x y x =-+⎧⎨=⎩，即21(1)14x y ky x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，则24440y y k k -+-=，所以124y y k +=，1244y y k =-，又∵1||1|AP y =-，2||1|BP y =-，∴12121222211144||||1(1)(1)1()1141AP BP y y y y y y k k k kk ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+--=+-++=+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2131k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，同理可证：2211||||3131()CP DP k k ⎡⎤⎛⎫⋅=+=+ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦，∴||||||||AP BP CP DP ⋅=⋅，∴||||||||AP CP DP BP =，又∵CPA BPD ∠=∠，∴APC BPD ∽△△，∴CAP BDP ∠=∠．【点睛】方法点睛：解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.已知0a >，函数()()1ln 1f x a x x x =+-+.（1）若()f x 是增函数，求a 的取值范围；（2）证明：当102a <<，且1e a ≠时，存在三条直线123,,l l l 是曲线ln y x =的切线，也是曲线1y a x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的切线.【答案】（1）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先利用导数判断导函数的单调性，再结合函数的单调性，即可求解；（2）首先求曲线ln y x =的切线方程，再与曲线1y a x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的方程联立，再根据判别式构造函数，()21(ln 1)4g t t a a t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，利用导数判断函数的单调性，并结合零点存在性定理判断函数有3个零点.【小问1详解】()f x 的定义域为()()10,,ln 1,x f x a x x ∞+⎛⎫+=- ⎪⎝⎭'+令()()()221111ln 1,a x x F x a x F x a x x x x -+⎛⎫⎛⎫'=+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()0F x '<，得01x <<；令()0F x '>，得1x >，故()f x '在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，从而()min 1()1210,2f x f a a ==-≥≥''，故a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【小问2详解】设曲线ln y x =的切点为()1,ln ,(ln )t t x x'=，则曲线ln y x =在点(),ln t t 处的切线方程为()1ln y t x t t-=-.联立()1ln 1y t x t t y a x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，得()21ln 10a x t x a t ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭，必有()2101Δln 140a t t a a t ⎧-≠⎪⎪⎨⎛⎫⎪=---= ⎪⎪⎝⎭⎩，记函数()21(ln 1)4g t t a a t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，由题2111,ln 10e a g a a ⎛⎫⎛⎫≠∴=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故当()0g t =时，11,0t a a t≠-≠.()()()222ln 12ln 144t t t a a g t tt t --+=+='记()()()()2ln 14,2ln 122ln h t t t a h t t t '=-+=-+=，令()0h t '<，得01t <<；令()0h t '>，得1t >，故()h t 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.当102a <<，且1ea ≠时，(1)420,(e)40h a h a =-<=>，当0t →时，()4h t a →，故存在1201e t t <<<<，使得()()120h t h t ==，当10t t <<，或2t t >时，()()0,0h t g t >>'；当12t t t <<时，()()0,0h t g t <<'，故()g t 在()()120,,,t t +∞上单调递增，在()12,t t 上单调递减.由()10h t =，得()111ln 2t t a -=，代入()()21111ln 14g t t a a t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭并整理得：()()()222111111ln 11ln 12g t t t t t ⎡⎤=-+-+⎢⎥⎣⎦同理()()()222222221ln 11ln 12g t t t t t ⎡⎤=-+-+⎢⎥⎣⎦，记()()11ln 12x x x x ϕ=+-+，由（1）知()x ϕ为增函数，1201e t t <<<< ，()()2212(1)0,(1)0,t t ϕϕϕϕ∴<=>=，()()()()()()22111222ln 10,ln 10g t t t g t t t ϕϕ∴=->=-<又()2222142e 14110e e e a g a a ⎛⎫=-->->-> ⎪⎝⎭ ，当0t →时，()g t →-∞，()g t ∴有三个零点，∴存在三条直线123,,l l l 是曲线ln y x =的切线，也是曲线1y a x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的切线.【点睛】关键点睛：本题考查根据函数的导数判断函数的单调性，以及切线，零点，函数性质的综合应用问题，推理难度较大，第二问的关键是根据判别式来设函数()21(ln 1)4g t t a a t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，转化为函数有3个零点问题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4]坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为44x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）,以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为8sin ρθ=，A 为曲线C 上一点.（1）求A 到直线l 距离的最大值；（2）若B 为直线l 与曲线C 第一象限的交点，且7π12AOB ∠=，求AOB 的面积.【答案】（1）4+（2）4+【解析】【分析】（1）由条件得出直线的普通方程和圆的参数方程，设(4cos ,44sin )A θθ+，利用点到直线的距离公式得到π)14d θ=+-，从而求出结果；（2）由条件求出点B 的坐标，设出,A B 的极坐标方程，再利用面积公式即可求出结果.【小问1详解】由44x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消t 得到80x y +-=，所以直线l 的普通方程为80x y +-=，因为曲线C 的极坐标方程为8sin ρθ=，所以28sin ρρθ=，又cos ,sin x y ρθθ==，所以曲线C 的普通方程为228x y y +=，即()22416x y +-=，所以曲线C 的参数方程为4cos 44sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），因为A 在圆C 上，设(4cos ,44sin )A θθ+，则A 到l 距离为πsin 1)14d θθ==+-=+-，所以当πsin(14θ+=-时，A 到l 距离最大，为4+.【小问2详解】由22808x y x y y+-=⎧⎨+=⎩，消y 得到240x x -=，解得0x =或4x =，又因为B 在第一象限，所以()4,4B ，点A ，B 在曲线C 上，由题可设17,412A ππρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2,4B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入曲线C 的极坐标方程得17π5π8sin 8sin 44126OA πρ⎛⎫==+== ⎪⎝⎭，2π8sin 4OB ρ===，又因为7πππππππsin sin sin sin cos cos sin 124343434AOB ⎛⎫∠==+=+= ⎪⎝⎭，故AOB 的面积为14424S =⨯⨯=+.[选修4-5]不等式选讲23.已知a ，b 均不为零，且满足221a b +=．证明：（1）a b +≤（2）331a b b a+≥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据完全平方式有222||||(||||)2||||1a b a b a b +=+-⋅=，再利用基本不等式即可证明；（2）根据条件将原式化简为332||a b a b ab b a b a+=+-，再利用基本不等式即可证明.【小问1详解】221a b +=，22||||1a b ∴+=，222||||(||||)2||||1a b a b a b ∴+=+-⋅=.根据基本不等式得22(||||)(||||)12||||2a b a b a b ++-=⋅≤,当且仅当||||2a b ==时,等号成立.整理得2(||||)2a b +≤,a b ∴+≤【小问2详解】()()33222211a b a b a b a b b a b a b a b a +=⋅+⋅=⋅-+⋅-||||2||a b a b ab ab ab b a b a=-+-=+-，由基本不等式和不等式的性质,得2a b b a +≥=，222||1ab a b ≤+=，故2||211a b ab b a+-≥-=，当且仅当||||2a b ==时,等号成立,331.a b b a∴+≥。
2022届全国普通高中高考考前模拟数学理(二)试题(解析版)
理 科 数 学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}220A x x x =--<，{}24B x x =<，则A B =（ ） A ．AB ．BC ．()1,0-D ．()0,22．已知复数12i z =-，则z 在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是（ ） A ．(1,2)-B ．(1,2)C ．(2,1)-D ．(1,2)--3．已知函数()()()2log 23,14,1x x f x f x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()()2022f f -=（ ） A ．2 B ．3C ．2log 9D ．2log 114．已知()2sin cos 3παα++=，则sin 2α=（ ）A ．79B ．59C ．49D ．295．《九章算术》中有一道“良马、驽马行程问题”．若齐国到长安的路程为2000里，良马从长安出发往齐国去，驽马从齐国出发往长安去，同一天相向而行．良马第一天行155里，之后每天比前一天多行12里，驽马第一天行100里，之后每天比前一天少行2里，若良马和驽马第n 天相遇，则n 的最小整数值为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．86．盒子中装有编号为0，1，2，3，4，5，6的7个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之和为3的倍数的概率为（ ） A ．421B ．521C ．27D ．137．已知命题1p ：存在00x >，使得0044x x +≤，命题2p ：对任意的x ∈R ，都有22tan 1a t n 2t a n x xx -=，命题3p ：存在0x ∈R ，使得003sin 4cos 6x x +=，其中正确命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为00G GL L D=，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为05．，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为045．，则学习率衰减到005．以下（不含0.05）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：lg20.3010≈，lg30.4771≈） A ．11B ．22C ．227D ．4819．设ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos )c B b C =-，且ABC△的面积为1cos 2S c A =，则A =（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π10．设椭圆2212516x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，且满足129PF PF ⋅=，则12PF PF ⋅的值是（ ） A ．14B ．17C ．20D ．2311．如图（1），正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若将正方体绕着体对角线1AC 旋转，则正方体所经过的区域构成如图（2）所示的几何体，该几何体是由上、下两个圆锥和单叶双曲面构成，则其中一个圆锥的体积为（ ）A ．23πB ．9πC 3πD ．3π12．若不等式()()22ln a b a b m -+-对任意a ∈R ，()0,b ∈+∞恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．2,2⎛-∞ ⎝⎦ C ．(2-∞D ．(],2-∞第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．()52x y -的展开式中23x y 的系数是_________．（用数字作答）14．已知△ABC 中，1AB AC ==，2BC =O 是△ABC 的外心，则CO AB ⋅=________． 15．已知数列{}n a 满足121213332n n n n n a a a a ---++++=，*n ∈N ，则数列{}n a 的通项公式为___________．16．一个二元码是由0和1组成的数字串．()*123n x x x x n ∈N ，其中(1,2,,)k x k n =称为第k位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）．已知某种二元码7132x x x x 的码元满足如下校验方程组：126713573467100x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⎧⎪⊕⊕⊕=⎨⎪⊕⊕⊕=⎩，其中运算⊕定义为000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101011，那么利用上述校验方程组可判定k 等于_________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2sin tan 12cos C A C=-． （1）求sin sin A B；（2）若23c a =，且ABC △的面积为234，求边长a ．18．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是矩形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，222AD DE AB AF ====，O 为AC 与BD 的交点，点H 为棱CE 的中点． （1）求证：//OH 平面ADEF ； （2）求二面角C BH F --的余弦值．19．（12分）已知函数2()ln f x x x =-． （1）求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）若1()e 0x f x ax -+-≥，求实数a 的取值范围．20．（12分）已知椭圆()2222:10x x C a b a b +=>>的左、右焦点1F ，2F 恰好是双曲线2218y x -=的左右顶点，椭圆C 上的动点M 满足12122MF MF F F +=，过点2F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）椭圆C 上是否存在点M 使得四边形OAMB （O 为原点）为平行四边形？若存在，求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）非物质文化遗产是一个国家和民族历史文化成就的重要标志，是优秀传统文化的重要组成部分．瑞昌剪纸于2008年列入第二批国家级非物质文化遗产名录．由于瑞昌地处南北交汇处，经过千年的南北文化相互浸润与渗透，瑞昌剪纸融入了南方的阴柔之丽、精巧秀美和北方的阳刚之美、古朴豪放．为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品和创意作品各2幅，若有不少于3幅作品入选，将获得“巧手奖”．5轮比赛中，至少获得4次“巧手奖”的同学将进入决赛．某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各5幅，其中有4幅规定作品和3幅创意作品符合入选标准．（1）从这10幅训练作品中，随机抽取规定作品和创意作品各2幅，试预测该同学在一轮比赛中获“巧手奖”的概率；（2）以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率．经指导老师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率共提高了110，以获得“巧手奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛？请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为1cos1sinx ay aαα=-+⎧⎨=+⎩（α为参数，0a>），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4cosρθ=．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设C1与C2的公共点分别为A，B，||AB=a的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数2()1|2|f x x x=-+-．（1）求不等式()3f x≥的解集；（2）若2()3f a a a≤+-，求满足条件的实数a的取值范围．理 科 数 学（二）答 案第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】集合{}{}22012A x x x x x =--<=-<<，{}22B x x =-<<， 所以A B A =，故选A ． 2．【答案】D【解析】z 在复平面内对应的点为()1,2-，关于虚轴对称的点是(1,2)--，故选D ． 3．【答案】D【解析】由题意，()()()()22022245062log 2323f f f -=-⨯==+⨯=， 所以()()()()2220223log 233log 11f f f -==+⨯=，故选D ． 4．【答案】B【解析】由已知可得3cos si 2n αα-=，等式两边平方得412sin cos 1sin 29ααα-=-=，解得5sin 29α=， 故选B ． 5．【答案】D【解析】设驽马、良马第n 天分别行n a 、n b 里， 则数列{}n a 是以100为首项，以2-为公差的等差数列， 数列{}n b 是以155为首项，以12为公差的等差数列， 由题意可得()()()2121211001555250200022n n n n n n n n -⋅--+++=+≥，整理可得2504000n n +-≥，解得25n ≤--25n ≥， 而7258<<，故n 的最小整数值为8，故选D ． 6．【答案】D【解析】从7个不同的球中取出2个球，则共有2721C =种情况，编号之和为3的倍数，即编号之和为3,6,9，则共有1112327C C C ++=种情况，故满足题意的概率71213P ==，故选D ． 7．【答案】B【解析】当02x =时，显然1p 成立； 当4x π=时，可知2p 不成立；由辅助角得0003sin 4cos 5sin()x x x ϕ+=+，所以003sin 4cos x x +的最大值为5，所以3p 为假， 故选B ． 8．【答案】D 【解析】由于00G G L L D =，所以220.5G L D ⨯=，依题意222290.5100.45D D ⇒==⨯，则229100.5G L ⎫⎪⎝⎭⨯⎛=， 由220.50.05190G L ⨯<⎛⎫=⎪⎝⎭，得2291101G⎛⎫⎪<⎝⎭， 221lg,1l 1099g lg 101022G G ⎛⎫ ⎭<⎝<-⎪， ()2lg9lg 021G ⋅-<-，()92222,lg10lg 9lg10lg G G ⋅>->-，222222480.35120.4812lg 37710.045G ==≈->-⨯，所以所需的训练迭代轮数至少为481轮，故选D ． 9．【答案】C【解析】因为cos cos )c B b C =-，所以由正弦定理可得sin cos sin sin cos C B B B C =-，可得sin cos sin cos sin()sin sin C B B C B C A B +=+==，可得a =，可得b =因为ABC △的面积为111c cos bcsin sin 222S A A c A ===⨯，可得tan A = 又()0,A π∈，所以3A π=，故选C ．10．【答案】D【解析】设12||,||m PF n PF ==，12F PF θ∠=， 由题意cos 9mn θ=，易知5,4,3a b c ====， 则12||26F F c ==，210m n a +==，于是由余弦定理可得()222212||cos 2362cos 182m n F F m n mn mn mnθθ+-=⇒+--==，即1002361823mn mn --=⇒=，故选D ． 11．【答案】A【解析】因为正方体的棱长为1，所以外接圆的半径为2323⨯=，圆锥的母线长为正方体的边长，即1l =，所以圆锥的高为3h ===，所以圆锥的体积为221133V r h ππ==⨯=⎝⎭，故选A ．12．【答案】B【解析】设T =T 的几何意义是直线y x =上的点(,)P a a 与曲线()ln f x x =上的点(,ln )Q b b 的距离，将直线y x =平移到与曲线()ln f x x =相切时，切点Q 到直线y x =的距离最小． 而()1f x x'=，令()0011f x x =='，则01x =，可得(1,0)Q ，此时，Q 到直线y x =2=，故min ||PQ =，所以m ≤，故选B ．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】80-【解析】()52x y -的展开式的通项公式为()()5515522r r r r r r r r T C x y C x y --+=-=-，令3r =，可得()3323235280C x y x y -=-，所以()52x y -的展开式中23x y 的系数是80-， 故答案为80-．14．【答案】12（或0.5）【解析】在ABC △中，1AB AC ==，BC =O 是ABC △的外心，又222AB AC BC +=，所以ABC △是等腰直角三角形，所以O 是三角形的斜边中点，所以111cos 451222CO AB BC AB ⋅=︒==，故答案为12． 15．【答案】12,12,2n n n a n -=⎧=⎨-≥⎩ 【解析】当1n =时，12a =， 当2n ≥时，121213332n n n n n a a a a ---++++=，①231121332n n n n a a a ----+++=．②①3-⨯②，得()122n n a n -=-≥．因为12a =不满足上式，所以12,12,2n n n a n -=⎧=⎨-≥⎩，故答案为12,12,2n n n a n -=⎧=⎨-≥⎩．16．【答案】6【解析】依题意，二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101011， ①若1k =，则12345670,1,0,1,0,1,1x x x x x x x =======，从而由校验方程组，得13571x x x x ⊕⊕⊕=，故1k ≠；②若2k =，则12345671,0,0,1,0,1,1x x x x x x x =======，从而由校验方程组，得34671x x x x ⊕⊕⊕=，故2k ≠；③若3k =，则12345671,1,1,1,0,1,1x x x x x x x =======，从而由校验方程组，得13571x x x x ⊕⊕⊕=，故3k ≠；④若4k =，则12345671,1,0,0,0,1,1x x x x x x x =======，从而由校验方程组，得12670x x x x ⊕⊕⊕=，故4k ≠；⑤若5k =，则12345671,1,0,1,1,1,1x x x x x x x =======，从而由校验方程组，得12670x x x x ⊕⊕⊕=，故5k ≠；⑥若6k =，则12345671,1,0,1,0,0,1x x x x x x x =======，从而由校验方程组，得1267135734671,0,0x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=，故6k =符合； ⑦若7k =，则12345671,1,0,1,0,1,0x x x x x x x =======，从而由校验方程组，得13571x x x x ⊕⊕⊕=，故7k ≠， 综上，k 等于6，故答案为6．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1（2）2．【解析】（1）解：由tanA =sin cos A A =，即sin cos cos A A C C A =， 所以)sin A C A +=，因为A C B π+=-sin B A =，所以sin sin AB=． （2）解：由（1）知sin B A =，可得a =，即b a =，c =，利用余弦定理可得2222223cos 22a a a abc C ab +-+-===所以sin C ==所以ABC △的面积为21sin 216ABC S ab C a ==△，又因为ABC S =△2=，解得24a =，即2a =．18．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：如图所示，连接AE ， 因为四边形ABCD 是矩形，AC BD O =，所以O 是AC 的中点，因为H 是CE 的中点，所以//OH AE ，因为AE ⊂平面ADEF ，OH ⊂/平面ADEF ，所以//OH 平面ADEF ．（2）解：由条件可知AB ，AD ，AF 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：则(1,0,0)B ，(1,2,0)C ，1,2,12H ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,0,1)F ，可得1,2,12BH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(1,0,1)BF =-，(0,2,0)BC =，设平面BFH 的法向量为()111,,x y z =m ，所以111111202BH x y z BF x z ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩m m ，取14x =，可得121,4y z =-=，所以(4,1,4)=-m ；设平面BCH 的法向量为()222,,x y z =n ，所以1111120220BH x y z BC y ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅==⎩n n ， 取22x =，可得220,1y z ==，所以()2,0,1=n ， 所以(4,1,4)(2,0,1)4165cos ,551611641⋅-⋅〈〉===⋅++⋅+m n m n m n ， 由图可知二面角C BH F --为钝角，所以二面角C BH F --的余弦值为416555-．19．【答案】（1）0x y -=；（2）2a ≤．【解析】（1）解：函数定义域为()0,∞+，1()2f x x x'=-，则(1)1f '=，()11f =，所以切线方程为()()()111y f f x '-=-，即0x y -=． （2）解法一：记21()ln x F x x x e ax -=-+-，由()10F ≥，得1010a -+-≥，即2a ≤． 当2a ≤时，由0x >，21()ln e 2x F x x x x -≥-+-， 令21()ln e 2x G x x x x -=-+-， 则1111()2e 22e (1)x x G x x x x x --⎛⎫'=-+-=-+- ⎪⎝⎭， 当()0,1x ∈时，()0G x '<；当()1,x ∈+∞时，()0G x '>，所以()G x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，()()10G x G ≥=，即()()0F x G x ≥≥， 综上可知，2a ≤． 解法二：由条件知，21ln e 0x x x ax --+-≥，在0x >上成立，所以21ln e x x x a x --+≤，在0x >上成立，记21ln e ()x x x F x x--+=，则()()121212212e ln e 1(1)e ln ()x x x x x x x x x x x F x x x ---⎛⎫-+--+ ⎪-+-+⎝⎭'==，当()0,1x ∈时，()0F x '<；当()1,x ∈+∞时，()0F x '>， 所以()F x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，()min ()12F x F ==，则实数a 的取值范围为2a ≤．20．【答案】（1）22143x y +=；（2）存在()2,0M ，使得四边形OAMB 为平行四边形． 【解析】（1）因为2218y x -=的左右顶点为()1,0-和()1,0，所以1c =， 因为12122MF MF F F +=，所以24a c =，所以2a =， 因为222a c b -=，所以b =所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）假设存在点M 使得四边形OAMB （O 为原点）为平行四边形， 设()00,M x y ，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，所以31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为OAMB 为平行四边形，所以OA OB OM +=，所以()00331,1,,22x y ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()002,0,x y =，即()2,0M ，点M 在椭圆C 上，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理得()22223484120k x k x k +-+-=， 所以2122834k x x k+=+，212241234k x x k -=+，()121226234k y y k x x k -⎡⎤+=+-=⎣⎦+， 因为OAMB 为平行四边形，所以OA OB OM +=，所以()()()112200,,,x y x y x y +=，即()()121200,,x x y y x y ++=，所以22286,3434k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 将点M 代入椭圆方程得2340k +=，方程无解， 故当直线l 的斜率存在时，不存在点M ，综上所述，存在()2,0M ，使得四边形OAMB 为平行四边形．21．【答案】（1）3350；（2）该同学没有希望进入决赛． 【解析】（1）由题可知，所有可能的情况有：①规定作品入选1幅，创意作品入选2幅的概率124312255325C C P C C ⋅==⋅， ②规定作品入选2幅，创意作品入选1幅的概率21143222255925C C C P C C ⋅⋅==⋅， ③规定作品入选2幅，创意作品入选2幅的概率224332255950C C P C C ⋅==⋅，故所求的概率3993325255050P =++=．（2）设强化训练后，规定作品入选的概率为1p ，创意作品入选的概率为2p ， 则12431355102p p +=++=， 由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为：()()12222122222112221222212211P C p p C p C p C p p C p C p =-⋅+⋅-+⋅ ()()()2121212221122333p p p p p p p p p p =-=+-，∵1232p p +=，且1243,55p p ≥≥，也即213433,2525p p -≥-≥，即2179,1010p p ≤≤， 故可得149510p ≤≤，237510p ≤≤，2121113392416p p p p p ⎛⎫⎛⎫⋅=-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴122714,5025p p ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦，令12p p t =，则()221333324P t t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭在2714,5025⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴()2272333505044P t P ⎛⎫⎛⎫≤=-⨯+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∵该同学在5轮比赛中获得“巧手奖”的次数()5,X B P ~， ∴315()55444E X P =<⨯=<，故该同学没有希望进入决赛． 22．【答案】（1）222(1)(1)x y a ++-=（0a >），2240x y x +-=；（2）2a =或a =【解析】（1）∵曲线C 1的参数方程为1cos 1sin x a y a αα=-+⎧⎨=+⎩（α为参数，0a >），∴圆1C 的普通方程为222(1)(1)x y a ++-=，0a >， ∵曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=，又cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，∴圆2C 的直角坐标方程为2240x y x +-=． （2）由题可得1(1,1)C -，2(2,0)C ，直线12C C 的斜率113k =-，又12AB C C ⊥，则直线AB 的斜率3k =，设:3AB l y x b =+，点2C 到直线AB 的距离d =，因为||AB ==2d =，则1b =-或11b =-，直线AB 的方程为310x y --=或3110x y --=．由（1），令1C 与2C 的直角坐标方程相减，得23102a x y -+-=， 则24a =或224a =，2a =或a =23．【答案】（1）{}02x x x ≤≥或；（2）[1,1][2,)-+∞．【解析】（1）解：当1x <-时，2()13f x x x =-+≥，解得1x <-； 当11x -≤≤时，2()33f x x x =--≥，解得10x -≤≤； 当12x <<时，2()13f x x x =-+≥，解得∅； 当2x ≥时，2()33f x x x =+-≥，解得2x ≥， 综上，不等式()3f x ≥的解集为{}02x x x ≤≥或．（2）解：222()1|2|123f x x x x x x x =-+-≥-+-=+-， 当且仅当2(1)(2)0x x --≥时取等号，因为2()3f a a a ≤+-，则2()3f a a a =+-，且2(1)(2)0a a --≥， 解得2a ≥或11x -≤≤，即实数a 的取值范围为[1,1][2,)-+∞．。
陕西省宝鸡市2024届高三下学期高考模拟检测(二)数学(理科)试题
陕西省宝鸡市2024届高三下学期高考模拟检测（二）数学（理科）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________三、解答题17．目前，随着人们的生活节奏的加快，人们出行时乘坐的交通工具也逐渐多样化．某公司为了了解员工上个月上、下班时,A B 两种交通工具乘坐情况，从全公司所有的员工中随机抽取了100人，发现样本中,A B 两种交通工具都不乘坐的有5人，样本中仅乘坐A 和仅乘坐B 的员工月交通费用分布情况如下：【分析】（1）如图，连接BD，设AC BD OI，连接PO，可证AC^平面PDC，从而=可得AC PO^，故可证明PA PC=.（2）利用等积法可求PA与平面PBC所成角的正弦值，根据基本不等式可求何时正弦值最大，故可求此时四棱锥P ABCD-的体积.【详解】（1）如图，连接BD，设AC BD OI，连接PO.=因为，PD^平面ABCD，ACÌ平面ABCD，故PD AC^，而PB AC^，PB PD PPB PDÌ平面PDB，Ç=，,故AC^平面PDB，而POÌ平面PDB，故AC PO^，由四边形ABCD为平行四边形可得AO OC△为等腰三角形，=，故PAC故AP PC=.（2）设AD xx>.=，0所以2121ba b£-ìí£+-î，故3a b+³且3b³.当1x>时，有()2221x a x b-£-+-在()1,+¥上恒成立，所以()410a x b-++³在()1,+¥上恒成立，故41040a ba-++³ìí-³î，所以3a b+³且4a³，所以7a b+³，故a b+的最小值为7.。
2020年山东省高考理科数学仿真模拟试题二(附答案)
2020年山东省高考理科数学仿真模拟试题二（附答案）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}2log (1)2A x x =-<，{}16B x x =-<<，则A B ⋂= ( ) A. {}15x x -<< B. {}16x x -<< C. {}15x x <<D. {}16x x <<2. 复数i z a b =+（,a b R ∈）满足2i(1)z z =-，则a b +=( ) A. 35-B. 15-C.15D.353. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A. B. C.D.4. 为了计算满足的最大正整数，设置了如下图所示的程序框图，若判断框中填写的是“”，则输出框中应填（ ）A. 输出B. 输出C. 输出D. 输出5. 已知函数()cos x xf x e=，则()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程为( ) A. 10x y ++= B. 10x y +-=C. 10x y -+=D. 10x y --=6. 某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N （105，102），已知 P （95≤ξ≤105）=0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为（ ） A. 10B. 9C. 8D. 77. 为了得到函数sin y x =的图像，只需将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像（ ）A. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向右平移6π个单位 B. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移6π个单位C. 横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向右平移6π个单位D. 横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向左平移6π个单位8. 若,a b 是从集合{}1,1,2,3,4-中随机选取两个不同元素，则使得函数()5ab f x x x =+是奇函数的概率为（ ） A.320B.310C.925D.359．已知命题2:233p x x a ++≥恒成立，命题():21xq y a =-为减函数，若p 且q 为真命题，则a 的取值范围是（ ） A ．1223a <≤ B ．102a <<C ．121a << D ．23a £10．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,)x m ∈-∞，都有()1f x <，则m 的取值范围是（ ）A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦11.倾斜角为15°的直线l 经过原点且和双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右两支交于A ，B 两点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.)+∞B. )+∞C. D. 12.曲线()xf x ke-=在x=0处的切线与直线x-2y-1=0垂直，则12,x x 是()()ln g x f x x =-的两个零点，则（ ）A.12211x x e e << B. 12211x x e << C. 1211x x e<< D. 212e x x e <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高中数学练习题 2023年广西玉林市高考数学模拟试卷(理科)(二)
2023年广西玉林市博白中学高考数学模拟试卷（理科）（二）一、选择题（共13小题）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-11．已知向量m =（λ+1，1），n =（λ+2，2），若（m +n ）⊥（m -n ），则λ=（ ）→→→→→→A ．2−1B ．2C ．2+1D ．2+22．已知a ，b 是单位向量，a •b =0．若向量c 满足|c -a -b |=1，则|c |的最大值为（ ）→→→→→→→→→√√√√A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π63．已知非零向量a ，b 满足|b |=4|a |，且a ⊥（2a +b ），则a 与b 的夹角为（ ）→→→→→→→→→A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π4．若非零向量a ，b 满足|a |=223|b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为（）→→→√→→→→→→→A ．-32B ．-53C ．53D ．325．设a =（1，2），b =（1，1），c =a +k b ，若b ⊥c ，则实数k 的值等于（ ）→→→→→→→A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向6．已知向量a =(−5，6)，b =(6，5)，则a 与b （ ）→→→→A ．（-1，1，0）B ．（1，-1，0）C ．（0，-1，1）D ．（-1，0，1）7．已知向量a =（1，0，-1），则下列向量中与a 成60°夹角的是（ ）→→二、填空题（共13小题）A ．23B ．3C ．0D ．-38．已知向量a =（1，3），b =（3，m ），若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m =（ ）→√→→→√√√A ．-2B ．-1C ．1D ．29．平面向量a =（1，2），b =（4，2），c =m a +b （m ∈R ），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =（ ）→→→→→→→→→A ．2π3B ．π3C ．π6D ．010．设a ，b 为非零向量，|b |=2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4，均由2个a 和2个b 排列而成，若x 1•y 1+x 2•y 2+x 3•y 3+x 4•y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为（ ）→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→A ．[2−1，2+1]B ．[2−1，2+2]C ．[1，2+1]D ．[1，2+2]11．已知a ，b 是单位向量，a •b =0，若向量c 满足|c −b −a |=1，则|c |的取值范围为（ ）→→→→→→→→→√√√√√√A ．∠ABC =90°B ．∠BAC =90°C ．AB =AC D ．AC =BC12．设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B =14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB •PC ≥P 0B •P 0C ，则（ ）→→→→A ．m =0，M >0B ．m <0，M >0C ．m <0，M =0D ．m <0，M <013．在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为a 1、a 2、a 3、a 4、a 5；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为d 1、d 2、d 3、d 4、d 5．若m 、M 分别为（a i +a j +a k ）•（d r +d s +d t ）的最小值、最大值，其中{i ,j ,k }⊆{1，2，3，4，5}，{r ,s ,t }⊆{1，2，3，4，5}，则m 、M 满足（ ）→→→→→→→→→→→→→→→→14．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c =t a +（1-t ）b ．若b •c =0，则t = ．→→→→→→→15．在平行四边形ABCD 中，AD =1，∠BAD =60°，E 为CD 的中点．若AC •BE =1，则AB 的长为 ．→→16．平面向量a =（1，2），b =（4，2），c =m a +b （m ∈R ），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m = ．→→→→→→→→→三、解答题（共4小题）17．设向量a =（3，3），b =（1，-1），若（a +λb ）⊥（a -λb ），则实数λ= ．→→→→→→18．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO =12（AB +AC ），则AB 与AC 的夹角为 ．→→→→→19．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE •BD = ．→→20．设e 1，e 2为单位向量．且e 1、e 2的夹角为π3，若a =e 1+3e 2，b =2e 1，则向量a 在b 方向上的射影为 ．→→→→→→→→→→→21．若非零向量a ，b 满足|a |=3|b |=|a +2b |，则a 与b 夹角的余弦值为 ．→→→→→→→→22．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cosα=13，向量a =3e 1-2e 2与b =3e 1-e 2的夹角为β，则cosβ= ．→→→→→→→→23．已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且|AB |=3，|AC |=2．若AP =λAB +AC ，且AP ⊥BC ，则实数λ的值为 ．→→→→→→→→→24．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC =3BE ，DC =λDF ，若AE •AF =1，则λ的值为．→→25．设e 1、e 2为单位向量，非零向量b =x e 1+y e 2，x 、y ∈R ．若e 1、e 2的夹角为30°，则|x ||b |的最大值等于 ．→→→→→→→→26．已知正方形ABCD 的边长为1，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为a 1，a 2，a 3；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为c 1，c 2，c 3，若i ,j ,k ,l ∈{1，2，3}，且i ≠j ,k ≠l ,则(a i +a j )•(c k +c l )的最小值是 ．→→→→→→→→→→27．已知向量a =（cosx ,-12），b =（3sinx ,cos 2x ），x ∈R ，设函数f （x ）=a •b ．（Ⅰ）求f （x ）的最小正周期．（Ⅱ）求f （x ）在[0，π2]上的最大值和最小值．→→√→→28．已知a =（cosα，sinα），b =（cosβ，sinβ），0<β<α<π．（1）若|a -b |=2，求证：a ⊥b ；（2）设c =（0，1），若a +b =c ，求α，β的值．→→→→√→→→→→→29．设向量a =(3sinx ,sinx )，b =(cosx ,sinx )，x ∈[0，π2]．（1）若|a |=|b |，求x 的值；（2）设函数f (x )=a •b ，求f （x ）的最大值．→√→→→→→30．小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ，若X >0就去打球，若X =0就去唱歌，若X <0就去下棋．（1）写出数量积X 的所有可能取值；（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．。
【冲锋号考场模拟】赢战2023年高考数学模拟仿真卷 02卷(理科)(全国卷专用)(解析版)
【冲锋号·考场模拟】赢战2023年高考数学模拟仿真卷02卷（理科）（全国卷专用） （解析版）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|2A x x x =<+，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1,2C ．{}0,1D ．{}1,2【答案】C【分析】解不等式得到{}|12A x x =-<<，求出交集.【详解】22x x <+，即220x x --<，解得：12x -<<，故{}|12A x x =-<<， 所以{}{}{}1,0,1,1|122,30,A x B x =--<=<.故选：C 2．若复数z 满足2iz+为纯虚数，且1z =，则z 的虚部为（ ）A ．BC ．D255=，即．下列命题正确的个数为（ ①命题“x ∃∈R ，210x x ++≥”的否定是“x ∀∈R ，210x x ++<”； ②0a b +=的充要条件是1ba=-； ③若函数()y f x =为奇函数，则()0f x =； ④0ab ≥是222a b ab +≥的必要条件. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个0a b 时，a 函数()1f x x=是奇函数，但是1=，1b ，2a +所以，只有①正确. 能是（ ） A ．1()f x x=-B ．2()f x x =-C ．()e e x x f x -=+D ．1()ln1xf x x-=+ ,0)(0,)+∞，,0)-∞上单调递增，e e x x f -=+．在直三棱柱111中，11分別是1111的中点，1，则1BD与1AF所成角的正弦值是（）A B．12C D则())(2,0,0,,0,2,0,2,0A B故(11,BD=-，(11,0,2AF=-11BD AF与所成角为α，0︒113cos5AF BDAF BDα⋅==⨯⋅所以270sin1cosαα=-=6．从2位男生，4位女生中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至少有1位男生入选，则不同安排方法有（）种.A ．16B ．20C ．96D ．120【答案】C【分析】分一男两女与两男一女两类讨论.【详解】若选一男两女共有：123243C C A 72=； 若选两男一女共有：213243C C A 24=；因此共有96种， 故选：C7．函数()()f x x ωϕ=+其中π0,||2ωϕ><，的图象的一部分如图所示，()g x x ω=，要想得到()g x 的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移π4个单位长度B ．向右平移2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向左平移2个单位长度中，每场比赛甲队获胜的概率为23，乙队获胜的概率为13，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为（ ）A．1481B．13C．1781D．168115,3B⎛⎫⎪⎝⎭.的锐角组成的对称多边形纹样，具有组合性强、结构稳定等特点．有的八角星纹中间镂空出一个正方形，有的由八个菱形组成，内部呈现米字形线条．八角星纹目前仍流行在中国南方的挑花和织锦中．在图2所示的八角星纹中，各个最小的三角形均为全等的等腰直角三角形，中间的四边形是边长为2的正方形，在图2的基础上连接线段，得到角α，β，如图3所示，则αβ+=（）A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】B1BC )0,45，所以45.10．函数()()e e cos 2x xf x x -=-在区间,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦大致图像可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】利用定义判断()f x 的奇偶性，再结合函数值的符号分析判断，即可得答案.【详解】∵()()()()()()e e cos2e e cos 2e e e e cos20x x x x x x x xf x f x x x x ----+-=-+--=-+-=，即()()f x f x =--，11．若双曲线()2210,0x y a b a b -=>>的渐近线与圆C ：22420x y x +-+=相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．(B ．()1,2C ．)2D ．)+∞双曲线1201x x A ．2121e e ln ln x xx x ->- B ．2121e e ln ln x xx x -<- C ．1221e e x xx x >D ．1221e e x xx x <13．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，已知焦距为8，离心率为2，过右焦点2F 作垂直于x 轴的直线l 与双曲线C 的右支交于,A B 两点，则||AB =_____．故||6(6)12AB =--=， 故答案为：12.14．已知O 为坐标原点，且(1,),(4,4)A m B m -，若,,O A B 三点共线，则实数m =_____． 【答案】45##0.8【分析】将三点共线，转化为//OA OB ，再利用向量平行的坐标表示，即可求解三点共线，所以//OA OB ，(1,OA m =，(4,4OB =在ABC 中，角所对的边分别为,,a b c ，若2a =，3，sin A =则ABC 的面积为___________. ABCS=故答案为：．已知矩形绕AD 顺时针旋转π2，则线段AP 扫过的区域面积为____________．5π三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某商场计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶8元，售价每瓶10元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶4元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为400瓶；如果最高气温低于20，需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过400瓶的概率，并求出前三年六月份这种酸奶每天平均的需求量；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为550瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.．有下列个条件：①38；②7；③2，4，5成等比数列.从中任选1个，补充到下面的问题中并解答问题：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()*12N n n n S S a n +=++∈， .(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)n S 的最小值并指明相应的n 的值． 【答案】(1)212n a n =-；(2)n =5或者6时，n S 取到最小值30-.【分析】（1）由已知可得12n n a a +-=，则{}n a 是公差为2的等差数列，若选①，则由382a a +=-列方程可求出1a ，从而可求出通项公式；若选②，则由728S =-列方程可求出1a ，从而可求．如图，直三棱柱111的底面为正三角形，1，点D ，E 分别在AB ，1BB 上，且AD DB =，113BE EB =．(1)证明：平面1A DC ⊥平面EDC ； (2)求二面角1A EC D --的余弦值．【分析】（1）解法一：先建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算得到10DA DC ⋅=，10DE DA ⋅=，即可证明判定定理即可得证；解法二：先根据已知，利用相似三角形和勾股定理的逆定理得到利用线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即可得证；（2）先求出平面中的结论得出1DA 为平面因为ABC 是等边三角形，所以因为平面ABC BC =， OA ⊥平面为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()()所以1,222DE ⎛= ⎝⎭，32DC ⎛=- ⎝，112DA ⎛=- ⎝所以10DA DC ⋅=，10DE DA ⋅=，所以DE ，1DA ⊥CDDE D =，CD ，DE ⊂平面1DA ⊥平面1DA ⊂平面1A DC ，所以平面1A DC EDC ． 解法二 ，由题意知四边形1ABB A AA BD1ADA BED ∽△△，则1AA D ∠1AA D ∠+∠CDDE D =，⊂平面CDA（2）⎛⎫所以12,2CE =⎛⎝，(11,2,CA =，112DA ⎛=- ⎝设平面1A EC 的法向量为(),,n x y z =100n CE n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以1202230x y x y z ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩， 取1x =，得71,4,n ⎛ =⎝- 由（1）知1DA ⊥平面CDE ，故1DA 为平面的一个法向量．11115,10n DA n DA n DA ⋅==-易知二面角1A EC D --为锐二面角，所以二面角20．已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>的下顶点为点D ，右焦点为()21,0F .延长2DF 交椭圆C 于点E ，且满足223DF F E =. (1)试求椭圆C 的标准方程；(2)A ，B 分别是椭圆长轴的左右两个端点，M ，N 是椭圆上与A ，B 均不重合的相异两点，设直线AM ，AN 的斜率分别是1k ，2k .若直线MN 过点⎫⎪⎪⎝⎭，则12k k ⋅是否为定值，若是求出定值，若不是请说明理由.的下顶点为(0,)D b -，右焦点(1,0)F ，设点，所以223DF F E =，又2(1,DF b =，2(F E x =-433x b y ==，2231b ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即2161199a +=，得22a =，⎧21．已知函数f x x =-，ln x a a g x =+（0a >，e 是自然对数的底数）．(1)若直线y kx =与曲线()y f x =，()y g x =都相切，求a 的值； (2)若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．a>，∴实数【点睛】本题的解题关键是对见的求参方法要注意积累，比如本题中用到了分离参数转化为求函数最值的方法求参．（二）选考题：共所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为3cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线6πθ=与曲线2C交于点6D π⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求曲线1C ，2C 的普通方程；(2)()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭是曲线1C 上的两点，求221211ρρ+的值．，2cos sin ϕ+，设圆的半径为曲线选修4-5：不等式选讲23．（1）已知0a >，0b >，412a b+=，求a b +的最小值；（2）已知a ，b ，c ，为任意实数，求证：222a b c ab bc ca ++≥++.。
高考数学高三模拟考试试卷压轴题高考数学全真模拟试卷理科二
高考数学高三模拟考试试卷压轴题高考数学全真模拟试卷（理科）（二）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（•陕西二模）设集合M={x|}，函数f（x）=ln（1﹣）的定义域为N，则M∩N为（）A．[，1] B．[，1）C．（0，] D．（0，）2．（5分）（•陕西二模）已知命题p：∃x∈R，log3x≥0，则（）A．￢p：∀x∈R，log3x≤0 B．￢p：∃x∈R，log3x≤0C．￢p：∀x∈R，log3x＜0 D．￢p：∃x∈R，log3x＜03．（5分）（•陕西二模）若tanα=，则sin4α﹣cos4α的值为（）A．﹣B．﹣C．D．4．（5分）（•新课标Ⅱ）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D．5．（5分）（•陕西二模）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．28π B．32π C．36π D．40π6．（5分）（•陕西二模）将除颜色外完全相同的一个白球、一个黄球、两个红球分给三个小朋友，且每个小朋友至少分得一个球的分法有（）种．A．15 B．18 C．21 D．247．（5分）（•新课标I）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（）A．1 B．2 C．4 D．88．（5分）（•陕西模拟）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．9．（5分）（•陕西二模）曲线y=e在点（6，e2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（）A．B．3e2 C．6e2 D．9e210．（5分）（•陕西二模）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，且f（α）=1，α∈（0，），则cos（2）=（）A．B．C．﹣D．11．（5分）（•陕西二模）若f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，∀x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，则（）A．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）B．f（1）＜f（﹣1）＜f（3）C．f（﹣2）＜f（1）＜f （3）D．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）12．（5分）（•陕西二模）若直线l1：y=x，l2：y=x+2与圆C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0的四个交点把圆C分成的四条弧长相等，则m=（）A．0或1 B．0或﹣1 C．1或﹣1 D．0二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（•陕西二模）（x+cosx）dx=．14．（5分）（•陕西二模）已知单位向量，的夹角为60°，则向量与的夹角为．15．（5分）（•陕西二模）不等式a2+8b2≥λb（a+b）对于任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为．16．（5分）（•陕西二模）已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，若P是C的左支上一点，A（0，6）是y轴上一点，则△APF面积的最小值为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）（•陕西二模）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知a+c=3，b=3．（I）求cosB的最小值；（Ⅱ）若=3，求A的大小．18．（12分）（•陕西二模）“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手大多在以下两个年龄段：21～30，31～40（单位：岁），统计这两个年龄段选手答对歌曲名称与否的人数如图所示．（1）写出2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为答对歌曲名称与否和年龄有关，说明你的理由．（下面的临界值表供参考）P（K2≥k0） 0.1 0.05 0.01 0.005k0 2.706 3.841 6.635 7.879（2）在统计过的参考选手中按年龄段分层选取9名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中在21～30岁年龄段的人数的分布列和数学期望．（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19．（12分）（•陕西二模）如图①，在△ABC中，已知AB=15，BC=14，CA=13．将△ABC沿BC边上的高AD折成一个如图②所示的四面体A﹣BCD，使得图②中的BC=11．（1）求二面角B﹣AD﹣C的平面角的余弦值；（2）在四面体A﹣BCD的棱AD上是否存在点P，使得•=0？若存在，请指出点P的位置；若不存在，请给出证明．20．（12分）（•陕西二模）设O是坐标原点，椭圆C：x2+3y2=6的左右焦点分别为F1，F2，且P，Q是椭圆C上不同的两点，（I）若直线PQ过椭圆C的右焦点F2，且倾斜角为30°，求证：|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列；（Ⅱ）若P，Q两点使得直线OP，PQ，QO的斜率均存在．且成等比数列．求直线PQ的斜率．21．（12分）（•陕西二模）设函数f（x）=ex﹣lnx．（1）求证：函数f（x）有且只有一个极值点x0；（2）求函数f（x）的极值点x0的近似值x′，使得|x′﹣x0|＜0.1；（3）求证：f（x）＞2.3对x∈（0，+∞）恒成立．（参考数据：e≈2.718，ln2≈0.693，ln3≈1.099，ln5≈1.609，ln7≈1.946）．[选修41：几何证明选讲]22．（10分）（•陕西二模）如图，已知AB为⊙O的直径，C，F为⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D，连接CF交AB于点E．求证：DE2=DA•DB．[选修44：坐标系与参数方程]23．（•陕西二模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C1与圆C2的极坐标方程及两圆交点的极坐标；（Ⅱ）求圆C1与圆C2的公共弦的参数方程．[选修45：不等式选讲]24．（•陕西二模）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x|．（1）求不等式f（x）≤﹣6的解集；（2）若存在实数x满足f（x）=log2a，求实数a的取值范围．高考数学全真模拟试卷（理科）（二）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（•陕西二模）设集合M={x|}，函数f（x）=ln（1﹣）的定义域为N，则M∩N为（）A．[，1] B．[，1）C．（0，] D．（0，）【解答】解：集合M={x|}=[，3），函数f（x）=ln（1﹣）=[0，1），则M∩N=[，1），故选：B．2．（5分）（•陕西二模）已知命题p：∃x∈R，log3x≥0，则（）A．￢p：∀x∈R，log3x≤0 B．￢p：∃x∈R，log3x≤0C．￢p：∀x∈R，log3x＜0 D．￢p：∃x∈R，log3x＜0【解答】解：命题p：∃x∈R，log3x≥0，则￢p：∀x∈R，log3x＜0．故选：C．3．（5分）（•陕西二模）若tanα=，则sin4α﹣cos4α的值为（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：∵tan，则sin4α﹣cos4α=（sin2α+cos2α）•（sin2α﹣cos2α）=sin2α﹣cos2α===﹣，故选：B．4．（5分）（•新课标Ⅱ）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵S3=a2+10a1，a5=9，∴，解得．∴．故选C．5．（5分）（•陕西二模）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．28π B．32π C．36π D．40π【解答】解：图为三视图复原的几何体是一圆台和一个圆柱的组合体，圆柱的底面半径为2，高为2，体积为：22π•2=8π．圆台的底面半径为4，上底面半径为2，高为3，体积为：=28π，几何体的体积为：36π．故选：C．6．（5分）（•陕西二模）将除颜色外完全相同的一个白球、一个黄球、两个红球分给三个小朋友，且每个小朋友至少分得一个球的分法有（）种．A．15 B．18 C．21 D．24【解答】解：把4个小球分成（2，1，1）组，其中2个小球分给同一个小朋友的有4种方法（红红，红黄，红白，白黄），若（红红，红黄，红白）分给其中一个小朋友，则剩下的两个球分给2个小朋友，共有3×3×A22=18种，若（白黄两个小球）分给其中一个小朋友，剩下的两个红色小球只有1种分法，故有3×1=3种，根据分类计数原理可得，共有18+3=21种．故选：C．7．（5分）（•新课标I）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：抛物线C：y2=x的焦点为F，∵A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，∴=x0+，解得x0=1．故选：A．8．（5分）（•陕西模拟）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．【解答】解：经过第一次循环得到 S=，满足进入循环的条件，k=2，经过第二次循环得到S=+=，满足进入循环的条件，k=3，经过第三次循环得到S=+=，满足进入循环的条件，k=4，经过第四次循环得到S=+=，满足进入循环的条件，k=5，经过第五次循环得到S=+=，不满足进入循环的条件，执行输出，故输出结果为：，故选：D9．（5分）（•陕西二模）曲线y=e在点（6，e2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（）A．B．3e2 C．6e2 D．9e2【解答】解：y=e的导数为y′=e，可得在点（6，e2）处的切线斜率为e2，即有在点（6，e2）处的切线方程为y﹣e2=e2（x﹣6），即为y=e2x﹣e2，令x=0，可得y=﹣e2；令y=0，可得x=3．即有切线与坐标轴所围成的三角形的面积为•3•e2=e2．故选：A．10．（5分）（•陕西二模）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，且f（α）=1，α∈（0，），则cos（2）=（）A．B．C．﹣D．【解答】解：由图象可得A=3，=4（﹣），解得ω=2，故f（x）=3sin（2x+φ），代入点（，﹣3）可得3sin（+φ）=﹣3，故sin（+φ）=﹣1，+φ=2kπ﹣，∴φ=2kπ﹣，k∈Z结合0＜φ＜π可得当k=1时，φ=，故f（x）=3sin（2x+），∵f（α）=3sin（2α+）=1，∴sin（2α+）=，∵α∈（0，），∴2α+∈（，），∴cos（2）=﹣=﹣，故选：C．11．（5分）（•陕西二模）若f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，∀x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，则（）A．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）B．f（1）＜f（﹣1）＜f（3）C．f（﹣2）＜f（1）＜f （3）D．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）【解答】解：∵∀x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，∴当x≥0时函数f（x）为减函数，∵f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，∴f（3）＜f（2）＜f（1），即f（3）＜f（﹣2）＜f（1），故选：D12．（5分）（•陕西二模）若直线l1：y=x，l2：y=x+2与圆C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0的四个交点把圆C分成的四条弧长相等，则m=（）A．0或1 B．0或﹣1 C．1或﹣1 D．0【解答】解：∵l1：y=x，l2：y=x+2与圆C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0，∴直线l1∥l2，且l1、l2把⊙C分成的四条弧长相等，画出图形，如图所示．又⊙C可化为（x﹣m）2+（y﹣n）2=m2+n2，当m=0，n=1时，圆心为（0，1），半径r=1，此时l1、l2与⊙C的四个交点（0，0），（1，1），（0，2），（﹣1，1）把⊙C分成的四条弧长相等；当m=﹣1，n=0时，圆心为（﹣1，0），半径r=1，此时l1、l2与⊙C的四个交点（0，0），（﹣1，1），（﹣2，0），（﹣1，﹣1）也把⊙C 分成的四条弧长相等；故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（•陕西二模）（x+cosx）dx=．【解答】解：（x2+sinx）|=故答案为：．14．（5分）（•陕西二模）已知单位向量，的夹角为60°，则向量与的夹角为．【解答】解：∵单位向量，的夹角为60°，∴|+|===，||==，（+）（）=﹣•﹣2+=﹣﹣2+1=﹣，设向量与的夹角为θ，则cosθ==﹣，故θ=，故答案为：．15．（5分）（•陕西二模）不等式a2+8b2≥λb（a+b）对于任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为[﹣8，4]．【解答】解：∵a2+8b2≥λb（a+b）对于任意的a，b∈R恒成∴a2+8b2﹣λb（a+b）≥0对于任意的a，b∈R恒成即a2﹣（λb）a+（8﹣λ）b2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，△=λ2+4（λ﹣8）=λ2+4λ﹣32≤0∴（λ+8）（λ﹣4）≤0解不等式可得，﹣8≤λ≤4故答案为：[﹣8，4]16．（5分）（•陕西二模）已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，若P是C的左支上一点，A（0，6）是y轴上一点，则△APF面积的最小值为6+9．【解答】解：双曲线C：x2﹣=1的右焦点为（3，0），由A（0，6），可得直线AF的方程为y=﹣2x+6，|AF|==15，设直线y=﹣2x+t与双曲线相切，且切点为左支上一点，联立，可得16x2﹣4tx+t2+8=0，由判别式为0，即有96t2﹣4×16（t2+8）=0，解得t=﹣4（4舍去），可得P到直线AF的距离为d==，即有△APF的面积的最小值为d•|AF|=××15=6+9．故答案为：6+9．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）（•陕西二模）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知a+c=3，b=3．（I）求cosB的最小值；（Ⅱ）若=3，求A的大小．【解答】解：（I）在△ABC中，由余弦定理得cosB===．∵ac≤（）2=．∴当ac=时，cosB取得最小值．（II）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB．∵=accosB=3．∴9=a2+c2﹣6，∴a2+c2=15．又∵a+c=3，∴ac=6．∴a=2，c=或a=，c=2．∴cosB=，sinB=．由正弦定理得，∴sinA==1或．∴A=或A=．18．（12分）（•陕西二模）“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手大多在以下两个年龄段：21～30，31～40（单位：岁），统计这两个年龄段选手答对歌曲名称与否的人数如图所示．（1）写出2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为答对歌曲名称与否和年龄有关，说明你的理由．（下面的临界值表供参考）P（K2≥k0） 0.1 0.05 0.01 0.005k0 2.706 3.841 6.635 7.879（2）在统计过的参考选手中按年龄段分层选取9名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中在21～30岁年龄段的人数的分布列和数学期望．（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）【解答】解：（1）2×2列联表正确错误合计21～30 10 30 4031～40 10 70 80合计20 100 120∴K2==3＞2.706有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）按照分层抽样方法可知：21～30（岁）抽取3人，31～40（岁）抽取6人．设3名选手中在21～30岁之间的人数为ξ，可能取值为0，1，2，3﹣﹣﹣﹣（5分）P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==．﹣﹣﹣﹣﹣（10分）ξD的分布列ξ0 1 2 3P﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）E（ξ）=0×+1×+2×+3×=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）19．（12分）（•陕西二模）如图①，在△ABC中，已知AB=15，BC=14，CA=13．将△ABC沿BC边上的高AD折成一个如图②所示的四面体A﹣BCD，使得图②中的BC=11．（1）求二面角B﹣AD﹣C的平面角的余弦值；（2）在四面体A﹣BCD的棱AD上是否存在点P，使得•=0？若存在，请指出点P的位置；若不存在，请给出证明．【解答】解：（1）由已知AD⊥BD，AD⊥CD，故二面角B﹣AD﹣C的平面角为∠BDC，在图①，设BD=x，AD=h，则CD=14﹣x，在△ABD与△ACD中，分别用勾股定理得x2+h2=152，（14﹣x）2+h2=132，得x=9，h=12，从而AD=12，BD=9，CD=5，在图②的△BCD中，由余弦定理得BC2=BD2+CD2﹣2BD•CDcos∠BDC，即112=92+52﹣2×9×5cos∠BDC，则cos∠BDC=﹣，即二面角B﹣AD﹣C的平面角的余弦值是﹣．（2）假设在四面体A﹣BCD的棱AD上存在点P，使得，则0==（+）•（+）=2+•+•+•=2+0+0+9×5×（﹣）=2﹣，则||=＜12，符号题意，即在棱AD上存在点P，使得，此时||=．20．（12分）（•陕西二模）设O是坐标原点，椭圆C：x2+3y2=6的左右焦点分别为F1，F2，且P，Q是椭圆C上不同的两点，（I）若直线PQ过椭圆C的右焦点F2，且倾斜角为30°，求证：|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列；（Ⅱ）若P，Q两点使得直线OP，PQ，QO的斜率均存在．且成等比数列．求直线PQ的斜率．【解答】解：（I）证明：x2+3y2=6即为+=1，即有a=，b=，c==2，由直线PQ过椭圆C的右焦点F2（2，0），且倾斜角为30°，可得直线PQ的方程为y=（x﹣2），代入椭圆方程可得，x2﹣2x﹣1=0，即有x1+x2=2，x1x2=﹣1，由弦长公式可得|PQ|=•=•=，由椭圆的定义可得|F1P|+|PQ|+|QF1|=4a=4，可得|F1P|+|QF1|=4﹣==2|PQ|，则有|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列；（Ⅱ）设直线PQ的方程为y=kx+m，代入椭圆方程x2+3y2=6，消去y得：（1+3k2）x2+6kmx+3（m2﹣2）=0，则△=36k2m2﹣12（1+3k2）（m2﹣2）=12（6k2﹣m2+2）＞0，x1+x2=﹣，x1x2=，故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，∵直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，∴•==k2，即km（x1+x2）+m2=0，即有﹣+m2=0，由于m≠0，故k2=，∴直线PQ的斜率k为±．21．（12分）（•陕西二模）设函数f（x）=ex﹣lnx．（1）求证：函数f（x）有且只有一个极值点x0；（2）求函数f（x）的极值点x0的近似值x′，使得|x′﹣x0|＜0.1；（3）求证：f（x）＞2.3对x∈（0，+∞）恒成立．（参考数据：e≈2.718，ln2≈0.693，ln3≈1.099，ln5≈1.609，ln7≈1.946）．【解答】（1）证明：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=ex﹣，∵函数y=ex和y=﹣在（0，+∞）均递增，∴f′（x）在（0，+∞）递增，而f′（）=﹣2＜0，f′（1）=e﹣1＞0，∴f′（x）在（，1）上存在零点，记x0，且f′（x）在x0左右两侧的函数值异号，综上，f′（x）有且只有一个零点x0，即函数f（x）有且只有一个极值点x0；（2）解：∵ln=ln5﹣ln3≈0.51＜⇒＞，且f′（x）在[，]上的图象连续，f′（）＜0，f′（）=﹣＞0，∴f′（x）的零点x0∈（，），即f（x）的极值点x0∈（，），即x0∈（0.5，0.6），∴x0的近似值x′可以取x′=0.55，此时的x′满足|x′﹣x0|＜0.6﹣.05=0.1；（3）证明：∵ln=ln7﹣2ln2≈0.56＜⇒＞，且f′（x）在[，]上图象连续，f′（）＜0，f′（）=﹣＞0，∴f′（x）的零点x0∈（，），f（x）的极值点x0∈（，）⇒x0＜，由（1）知：f′（x0）=﹣=0，且f（x）的最小值是f（x0）=﹣lnx0=﹣lnx0，∵函数g（x）=﹣lnx在（0，+∞）递减，且x0＜，∴g（x0）＞g（）=1.75﹣（2ln2﹣ln7）≈2.31＞2.3，∴f（x）≥f（x0）=﹣lnx0＞2.3对x∈（0，+∞）恒成立．[选修41：几何证明选讲]22．（10分）（•陕西二模）如图，已知AB为⊙O的直径，C，F为⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D，连接CF交AB于点E．求证：DE2=DA•DB．【解答】证明：连接OF．因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．所以∠OFC+∠CFD=90°．因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．（5分）所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．因为DF是⊙O的切线，所以DF2=DB•DA．所以DE2=DB•DA．（10分）[选修45：不等式选讲]24．（•陕西二模）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x|．（1）求不等式f（x）≤﹣6的解集；（2）若存在实数x满足f（x）=log2a，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）x≥0时，f（x）=x+1﹣2x=﹣x+1≤﹣6，解得：x≥7，﹣1＜x＜0时，f（x）=x+1+2x≤﹣6，无解，x≤﹣1时，f（x）=﹣x﹣1+2x≤﹣6，解得：x≤﹣7，故不等式的解集是{x|x≥7或x≤﹣7}；（2）x≥0时，f（x）=﹣x+1≤1，﹣1＜x＜0时，f（x）=3x+1，﹣2＜f（x）＜1，x≤﹣1时，f（x）=x﹣1≤﹣2，故f（x）的最大值是1，若存在实数x满足f（x）=log2a，只需≤1即可，解得：0＜a≤2．[选修44：坐标系与参数方程]23．（•陕西二模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C1与圆C2的极坐标方程及两圆交点的极坐标；（Ⅱ）求圆C1与圆C2的公共弦的参数方程．【解答】解：（Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2=4，转化成极坐标方程为：ρ=2．圆C2：（x﹣2）2+y2=4．转化成极坐标方程为：ρ=4cosθ，所以：解得：ρ=2，，（k∈Z）．交点坐标为：（2，2kπ+），（2，2k）．（Ⅱ）已知圆C1：x2+y2=4①圆C2：（x﹣2）2+y2=4②所以：①﹣②得：x=1，y=，即（1，﹣），（1，）．所以公共弦的参数方程为：．高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
高考模拟理科数学试卷二卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 下列各数中，有最小正整数根的是（）A. 2.3B. 2.7C. 2.9D. 3.12. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且f(1) = 3，f(2) = 5，则a 的取值范围是（）A. a > 0B. a < 0C. a ≥ 0D. a ≤ 03. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3 = 9，S6 = 27，则S9 =（）A. 36B. 45C. 54D. 634. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则sinC的值为（）A. √3/2B. √2/2C. 1/2D. 1/√25. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z的实部为（）B. 1C. -1D. 无法确定6. 已知函数f(x) = log2(3 - 2x)，则f(x)的定义域为（）A. (-∞, 3/2]B. (-∞, 3/2)C. [3/2, +∞)D. [3/2, +∞)7. 已知向量a = (2, -3)，向量b = (1, 2)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为（）A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/58. 下列不等式中，正确的是（）A. |x| > 0B. |x| < 0C. |x| ≥ 0D. |x| ≤ 09. 若等比数列{an}的前n项和为Sn，且S4 = 80，S8 = 640，则公比q为（）A. 1/2B. 2C. 1/410. 在△ABC中，若a^2 + b^2 = c^2，则△ABC是（）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 等腰三角形11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的单调递增区间为（）A. (-∞, -1)和(1, +∞)B. (-∞, -1)和(1, 0)C. (-∞, 0)和(0, +∞)D. (-∞, 0)和(0, 1)12. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z在复平面上的轨迹是（）A. 一条直线B. 一条射线C. 一个圆D. 一个点二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。
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高考理科数学模拟试题精编(二)(考试用时：120分钟 试卷满分：150分)注意事项：1．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．复数z ＝||()3－i i ＋i 2 019(为虚数单位)，则复数的共轭复数为( )A ．2－iB ．2＋iC ．4－iD ．4＋i2．已知集合M ＝{x |x 2＜1}，N ＝{x |2x ＞1}，则M ∩N ＝( ) A ．∅B ．{x |0＜x ＜1}C ．{x |x ＜0}D ．{x |x ＜1}3．若x ＞1，y ＞0，x y ＋x －y ＝22，则x y －x －y 的值为( ) A. 6 B ．－2 C ．2D ．2或－24．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的倾斜角为30°，则其离心率的值为( )A ．2B ．2 2 C.233D.3225．某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有( )A ．18种B ．24种C ．36种D ．48种6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．307．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3≤03x －y ＋3≥0x －2y ＋1≤0的解集记为D ，有下面四个命题：p 1∶∀(x ，y )∈D,2x ＋3y ≥－1；p 2∶∃(x ，y )∈D,2x －5y ≥－3；p 3∶∀(x ，y )∈D ，y －12－x ≤13；p 4∶∃(x ，y )∈D ，x 2＋y 2＋2y ≤1.其中的真命题是( )A ．p 1，p 2B ．p 2，p 3C ．p 2，p 4D ．p 3，p 48．现有四个函数：①y ＝x sin x ；②y ＝x cos x ；③y ＝x |cos x |；④y ＝x ·2x 的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A ．④①②③B ．①④③②C ．③④②①D ．①④②③9．若将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，则函数g (x )＝cos(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上的最小值是( )A ．－12B ．－32C.22D.1210．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺， 竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5,2，则输出的n 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．511．已知抛物线C ：x 2＝8y 与直线y ＝2x －2相交于A ，B 两点，点P 是抛物线C 上不同于A ，B 的一点，若直线PA ，PB 分别与直线y ＝2相交于点Q ，R ，O 为坐标原点，则OR→·OQ →的值是( ) A ．20 B ．16C ．12D ．与点P 的位置有关的一个实数12．已知函数f (x )＝(3x ＋1)e x ＋1＋mx ，若有且仅有两个整数使得f (x )≤0，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤5e ，2 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52e ，－83e 2 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，－83e 2D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4e ，－52e 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．某校1 000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布N (90，σ2)．若分数在(70,110]内的概率为0.7，估计这次考试分数不超过70的人数为________．14．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4(－2＜x ＜14)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数f (x )的图象交于B 、C 两点，O 为坐标原点，则(OB→＋OC →)·OA →＝________. 15．已知三棱锥D ABC 的体积为2，△ABC 是等腰直角三角形，其斜边AC ＝2，且三棱锥D ABC 的外接球的球心O 恰好是AD 的中点，则球O 的体积为________．16．已知等腰三角形ABC 满足AB ＝AC ，3BC ＝2AB ，点D 为BC 边上一点且AD ＝BD ，则tan ∠ADB 的值为________．三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .18．(本小题满分12分)在如图所示的多面体ABCDEF 中，ABCD 为正方形，底面ABFE 为直角梯形，平面ABCD ⊥平面ABFE ，AE ∥BF ，∠EAB ＝90°，AB ＝12BF ＝1.(1)求证：DB ⊥EC ；(2)若AE ＝AB ，求二面角C EF B 的余弦值．19．(本小题满分12分)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，…，8，其中X ≥5为标准A ，X ≥3为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如下所示：且X 11(2)为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 56 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望；(3)在(1)，(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：①产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望产品的零售价；②“性价比”大的产品更具可购买性．20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(0＜r ＜b )，圆O 的一条切线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 相交于A ，B 两点．(1)当k ＝－12，r ＝1时，若点A ，B 都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E 的方程；(2)若以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，探究a ，b ，r 之间的等量关系，并说明理由．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋(1－a )x －a ln x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)设a ＞0，证明：当0＜x ＜a 时，f (a ＋x )＜f (a －x )；(3)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞0. (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系下，直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋22t y ＝22t(t 为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ－4cos θ＝0.(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |的值． 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设函数f (x )＝|x －a |，a ∈R. (1)当a ＝5时，解不等式f (x )≤3；(2)当a ＝1时，若∃x ∈R ，使得不等式f (x －1)＋f (2x )≤1－2m 成立，求实数m 的取值范围．高考理科数学模拟试题精编(二)班级：___________姓名：__________得分：____________请在答题区域内答题18.(本小题满分12分)19.(本小题满分12分)高考理科数学模拟试题精编(二)1．解析：选B.z ＝|(3－i)i|＋i 2 019＝|1＋3i|－i ＝2－i.∴z ＝2＋i.2．解析：选B.依题意得M ＝{x |－1＜x ＜1}，N ＝{x |x ＞0}，M ∩N ＝{x |0＜x ＜1}，选B.3．解析：选C.∵x ＞1，y ＞0，∴x y ＞1,0＜x －y ＜1，则x y －x －y＞0.∵x y ＋x －y ＝22，∴x 2y ＋2x y ·x －y ＋x －2y ＝8，即x 2y ＋x －2y ＝6，∴(x y －x －y )2＝4，从而x y －x －y ＝2，故选C.4．解析：选C.依题意可得双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，b a ＝tan 30°＝33，故b 2a 2＝13，离心率为e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝43＝233，选C.5．解析：选C.甲、乙都抢到红包，则没有抢到红包的有丙、丁、戊三种情况，故甲、乙都抢到红包的情况有3×A 44A 22＝36(种)．6．解析：选C.由三视图知，该几何体是一个长方体的一半再截去一个三棱锥后得到的，该几何体的体积V ＝12×4×3×5－13×12×4×3×(5－2)＝24，故选C.7．解析：选C.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3≤03x －y ＋3≥0x －2y ＋1≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A (0,3)，B (－1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝3x －2y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1，即C (1,1)，对于p 1，因为2×(－1)＋0＜－1，故p 1是假命题，排除A ；对于p 2，将C (1,1)代入2x －5y ＋3＝0得到2×1－5×1＋3＝0，说明点C (1,1)在2x －5y ＋3＝0上，故p 2是真命题，排除D ；对于p 3，因为3－12－0＝1＞13，故p 3是假命题，排除B ，故选C.8．解析：选D.①y ＝x sin x 是偶函数；②y ＝x cos x 是奇函数；③当x ＝π时，y ＝πcos π＝－π＜0，∴y ＝x |cos x |是奇函数，且当x ＞0时，y ≥0；④y ＝x ·2x 是非奇非偶函数，故图象对应的函数序号为①④②③.9．解析：选D.∵f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3，∴将函数f (x )的图象向左平移π4个单位长度后，得到函数解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋φ＋π3＝ 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3的图象．∵该图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，对称中心在函数图象上，∴2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π2＋φ＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋φ＋π3＝0，解得π＋φ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－5π6，k ∈Z.∵0＜φ＜π，∴φ＝π6，∴g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，则函数g (x )＝cos(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上的最小值是12.故选D.10．解析：选C.a ＝5，b ＝2，当n ＝1时，a ＝5＋52＝152，b ＝4；当n ＝2时，a ＝152＋154＝454，b ＝8；当n ＝3时，a ＝454＋458＝1358，b ＝16；当n ＝4时，a ＝1358＋13516＝40516，b ＝32；且a ＜b ，则输出的n 等于4.11．解析：选A.设点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 208，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 218，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 228，Q (a,2)，R (b,2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝8y ，y ＝2x －2得x 2－16x ＋16＝0，x 1x 2＝16.由P ，A ，Q 三点共线得2－x 218a －x 1＝x 208－x 218x 0－x 1＝x 0＋x 18，a ＝x 0x 1＋16x 0＋x 1＝x 0x 1＋x 1x 2x 0＋x 1＝x 1(x 0＋x 2)x 0＋x 1，同理b ＝x 2(x 0＋x 1)x 0＋x 2，ab ＝x 1(x 0＋x 2)x 0＋x 1×x 2(x 0＋x 1)x 0＋x 2＝x 1x 2＝16，OR→·OQ →＝ab ＋4＝20，故选A. 12.解析：选B.由f (x )≤0得(3x ＋1)e x ＋1＋mx ≤0，即mx ≤－(3x ＋1)e x ＋1，设g (x )＝mx ，h (x )＝－(3x ＋1)e x ＋1，则h ′(x )＝－[3e x ＋1＋(3x ＋1)e x ＋1]＝－(3x ＋4)e x ＋1，由h ′(x )＞0得－(3x ＋4)＞0，即x ＜－43，由h ′(x )＜0得－(3x ＋4)＜0，即x ＞－43，故当x ＝－43时，函数h (x )取得极大值．在同一平面直角坐标系中作出y ＝h (x )，y ＝g (x )的大致图象如图所示，当m ≥0时，满足g (x )≤h (x )的整数解超过两个，不满足条件；当m ＜0时，要使g (x )≤h (x )的整数解只有两个，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧ h (－2)≥g (－2)h (－3)＜g (－3)，即⎩⎪⎨⎪⎧5e －1≥－2m 8e －2＜－3m ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－52em ＜－83e 2，即－52e ≤m ＜－83e 2，即实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52e ，－83e 2，故选B.13．解析：记考试成绩为ξ，则考试成绩的正态曲线关于直线ξ＝90对称．因为P (70＜ξ≤110)＝0.7，所以P (ξ≤70)＝P (ξ＞110)＝12×(1－0.7)＝0.15，所以这次考试分数不超过70的人数为1 000×0.15＝150.答案：15014．解析：∵－2＜x ＜14，∴f (x )＝0的解为x ＝6，即A (6,0)，而A (6,0)恰为函数f (x )图象的一个对称中心，∴B 、C 关于A 对称，∴(OB→＋OC →)OA →＝2OA →·OA →＝2|OA →|2＝2×36＝72. 答案：7215.解析：如图，设球O 的半径为R ，球心O 到平面ABC 的距离为d ，则由O 是AD 的中点得，点D 到平面ABC 的距离等于2d，所以V DABC＝2V OABC＝23×12×2×2×d＝2，解得d＝3，记AC的中点为O′，则OO′⊥平面ABC.在Rt△OO′A中，OA2＝OO′2＋O′A2，即R2＝d2＋12＝10，所以球O的体积V＝43πR3＝4 3π×1010＝4010 3π.答案：4010 3π16．解析：如图，设AB＝AC＝a，AD＝BD＝b，由3BC＝2AB得，BC＝233a.在△ABC中，由余弦定理得，cos∠ABC＝AB2＋BC2－AC22×AB×BC＝a2＋⎝⎛⎭⎪⎫23a32－a22×a×233a＝33，∴∠ABC是锐角，则sin∠ABC＝1－cos2∠ABC＝6 3.在△ABD中，由余弦定理AD2＝AB2＋BD2－2×AB×BD×cos∠ABD，得b2＝a2＋b2－2×a×b×33，解得a＝233b.解法一：由正弦定理ADsin∠ABD＝ABsin∠ADB，得b63＝asin∠ADB，解得sin∠ADB＝223，又2b2＞a2，∴∠ADB为锐角，∴cos∠ADB＝1－sin2∠ADB＝13，tan∠ADB＝2 2.解法二：由余弦定理得，cos ∠ADB ＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ×BD ＝b 2＋b 2－a 22b 2＝13，∴sin ∠ADB ＝1－cos 2∠ADB ＝223， tan ∠ADB ＝2 2. 答案：2217．解：(1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，由题意，得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1，n ∈N *.(4分)(2)由题意，可知b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1＝(－1)n －14n(2n －1)(2n ＋1)＝(－1)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1.(7分) 当n 为偶数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1；(9分)当n 为奇数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1.(11分) 所以T n＝⎩⎨⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.(或T n ＝2n ＋1＋(－1)n －12n ＋1)(12分)18．解：(1)解法一：∵连接AC ，∵平面ABCD ⊥平面ABFE ，∠EAB ＝90°，∴AE ⊥AB ，(1分)又平面ABCD ∩平面ABFE ＝AB ，∴AE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴AE ⊥BD .(3分)∵ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD ，又AE ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面AEC ，EC ⊂平面AEC ，故BD ⊥EC .(6分)解法二：因为底面ABFE 为直角梯形，AE ∥BF ，∠EAB ＝90°，所以AE ⊥AB ，BF ⊥AB .因为平面ABCD ⊥平面ABFE ，平面ABCD ∩平面ABFE ＝AB ，所以AE ⊥平面ABCD ，BF ⊥平面ABCD ，所以BF ⊥BC .(3分)设AE ＝t ，以BA ，BF ，BC 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，C (0,0,1)，D (1,0,1)，E (1，t,0)，故DB→＝(－1,0，－1)，EC →＝(－1，－t,1)，因为DB →·EC →＝(－1,0，－1)·(－1，－t,1)＝1－1＝0，所以DB ⊥EC .(6分)(2)解法一：过E 作EK ⊥BF ，垂足为K ，则四边形AEKB 为正方形，故EK ＝BK ＝1，由AB ＝12BF ＝1，知KF ＝1.因为AE ＝AB ＝1，∠EAB ＝90°，故EB ＝2，因为EK ＝KF ＝1，∠EKF ＝90°，故EF ＝ 2.(8分)因为EB 2＋EF 2＝(2)2＋(2)2＝4＝BF 2，所以∠BEF ＝90°，即BE ⊥EF .(9分)在Rt △CBE 中，CE ＝1＋(2)2＝3，在Rt △CBF 中，CF ＝1＋22＝5，因为CE 2＋EF 2＝(3)2＋(2)2＝5＝CF 2， 所以∠CEF ＝90°，即CE ⊥EF .故∠CEB 为所求二面角的平面角，(11分)在Rt △CBE 中，cos ∠CEB ＝23＝63，即二面角C EF B 的余弦值为63.(12分) 解法二：由(1)可知BC→＝(0,0,1)是平面BEF 的一个法向量，设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面CEF 的法向量，因为AE ＝AB ＝1，所以E (1,1,0)，又F (0,2,0)，故CE→＝(1,1，－1)，CF →＝(0,2，－1)．(8分) 由CE→·n ＝(1,1，－1)·(x 1，y 1，z 1)＝0可得x 1＋y 1－z 1＝0，(9分) 由CF→·n ＝(0,2，－1)·(x 1，y 1，z 1)＝0可得2y 1－z 1＝0，令z 1＝2，得y 1＝1，x 1＝1，故n ＝(1,1,2)为平面CEF 的一个法向量，(10分)所以cos 〈n ，BC →〉＝n ·BC →|n |·|BC →|＝21×6＝63，即二面角C EF B的余弦值为63.(12分) 19．解：(1)E (X 1)＝5×0.4＋6a ＋7b ＋8×0.1＝6， 即6a ＋7b ＝3.2，①(1分)又由X 1的概率分布列得0.4＋a ＋b ＋0.1＝1，a ＋b ＝0.5，②(2分)由①②得a ＝0.3，b ＝0.2.(4分) (2)由已知得，样本的频率分布表如下：(5分)用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X 2的概率分布列如下：(6分)所以E (X 2)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8.(7分)即乙厂产品的等级系数X 2的数学期望为4.8.(8分) (3)乙厂的产品更具可购买性，理由如下：甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为66＝1，(9分)乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为4.84＝1.2，(10分)据此，乙厂的产品更具可购买性．(12分) 20．解：(1)∵直线l 与圆O 相切，∴|m |k 2＋1＝r由k ＝－12，r ＝1，解得|m |＝52.∵点A ，B 都在坐标轴的正半轴上，∴l ：y ＝－12x ＋52，(2分)∴切线l 与坐标轴的交点为⎝⎛⎭⎪⎫0，52，(5，0)，∴a ＝5，b ＝52，∴椭圆E 的方程是x 25＋4y 25＝1.(4分)(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵以AB 为直径的圆经过点O ，∴OA→·OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0. ∵点A ，B 在直线l 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝kx 1＋my 2＝kx 2＋m ，∴(1＋k 2)x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝0.(*)(6分)由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y ，得b 2x 2＋a 2(k 2x 2＋2kmx ＋m 2)－a 2b 2＝0，即(b 2＋a 2k 2)x 2＋2kma 2x ＋(a 2m 2－a 2b 2)＝0.显然Δ＞0，x 1＋x 2＝－2kma 2b 2＋a 2k 2，x 1x 2＝a 2m 2－a 2b 2b 2＋a 2k 2，(8分)代入(*)式，得a 2m 2＋a 2m 2k 2－a 2b 2－a 2b 2k 2－2k 2m 2a 2＋m 2b 2＋a 2k 2m 2b 2＋a 2k 2＝m 2(a 2＋b 2)－a 2b 2－a 2b 2k 2b 2＋a 2k 2＝0，即m 2(a 2＋b 2)－a 2b 2－a 2b 2k 2＝0.(10分)又由(1)，知m 2＝(1＋k 2)r 2，∴(1＋k 2)(a 2＋b 2)r 2＝a 2b 2(1＋k 2)，∴1a 2＋1b 2＝1r 2.故a ，b ，r 满足1a 2＋1b 2＝1r 2.(12分) 21．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．由已知，得f ′(x )＝x ＋1－a －ax ＝x 2＋(1－a )x －a x ＝(x ＋1)(x －a )x.(2分) 若a ≤0，则f ′(x )＞0，此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 若a ＞0，则由f ′(x )＝0，得x ＝a .当0＜x ＜a 时，f ′(x )＜0；当x ＞a 时，f ′(x )＞0.此时f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．(4分) (2)证明：令g (x )＝f (a ＋x )－f (a －x )，则 g (x )＝12(a ＋x )2＋(1－a )(a ＋x )－a ln(a ＋x )－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(a －x )2＋(1－a )(a －x )－a ln (a －x )＝2x －a ln(a ＋x )＋a ln(a －x )．(6分)∴g ′(x )＝2－a a ＋x －a a －x ＝－2x 2a 2－x 2. 当0＜x ＜a 时，g ′(x )＜0，∴g (x )在(0，a )上是减函数．而g (0)＝0，∴g (x )＜g (0)＝0.故当0＜x ＜a 时，f (a ＋x )＜f (a －x )．(8分)(3)证明：由(1)可知，当a ≤0时，函数f (x )至多有一个零点，故a ＞0，从而f (x )的最小值为f (a )，且f (a )＜0.(10分)不妨设0＜x 1＜x 2，则0＜x 1＜a ＜x 2，∴0＜a －x 1＜a . 由(2)，得f (2a －x 1)＝f (a ＋a －x 1)＜f (x 1)＝0＝f (x 2)．从而x 2＞2a －x 1，于是x 1＋x 22＞a . 由(1)知，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞0.(12分) 22．解：(1)直线l 的普通方程为x －y －1＝0，(2分)由ρ－4cos θ＝0，得ρ2－4ρcos θ＝0，则x 2＋y 2－4x ＝0， 即(x －2)2＋y 2＝4，即曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.(5分)(2)把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫22t －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝4，(8分) 即t 2－2t －3＝0，设方程t 2－2t －3＝0的两根分别为t 1，t 2，则|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝14.(10分)23．解：(1)当a ＝5时，原不等式等价于|x －5|≤3，即－3≤x －5≤3⇒2≤x ≤8，所以解集为{x |2≤x ≤8}．(4分)(2)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|.令g (x )＝f (x －1)＋f (2x )＝|x －2|＋|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋3，x ≤12，x ＋1，12＜x ＜2，3x －3，x ≥2，作出其图象，如图所示，(6分)由图象，易知x ＝12时，g (x )取得最小值32.(8分) 由题意，知32≤1－2m ⇒m ≤－14，所以实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－14.(10分)。