1991考研数一真题答案及详细解析
历年考研数学一真题及答案解析1989~1999
1989年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 已知(3)2f '=,则 0(3)(3)lim2h f h f h→--=_______.(2) 设()f x 是连续函数,且1()2()f x x f t dt =+⎰,则()f x =_______.(3) 设平面曲线L 为下半圆周21,y x =--则曲线积分22()Lx y ds +=⎰_______.(4) 向量场22(,,)ln(1)zu x y z xy i ye j x z k =+++在点(1,1,0)P 处的散度divu =_______.(5) 设矩阵300140003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 100010001E ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则逆矩阵1(2)A E --=_______.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 当0x >时,曲线1siny x x= ( ) (A) 有且仅有水平渐近线 (B) 有且仅有铅直渐近线(C) 既有水平渐近线,也有铅直渐近线 (D) 既无水平渐近线,也无铅直渐近线(2) 已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=,则点P 的坐标是 ( ) (A) (1,-1,2) (B) (-1,1,2) (C) (1,1,2) (D) (-1,-1,2)(3) 设线性无关的函数1y 、2y 、3y 都是二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解,1C 、2C 是任意常数,则该非齐次方程的通解是 ( ) (A) 11223C y C y y ++ (B) 1122123()C y C y C C y +-+ (C) 1122123(1)C y C y C C y +--- (D) 1122123(1)C y C y C C y ++-- (4) 设函数2(),01,f x x x =≤<而1()sin ,,nn S x bn x x π∞==-∞<<+∞∑其中102()sin ,1,2,3,n b f x n xdx n π==⎰…,则1()2S -等于 ( )(A) 12-(B) 14- (C) 14 (D) 12(5) 设A 是n 阶矩阵,且A 的行列式||0A =,则A 中 ( )(A) 必有一列元素全为0(B) 必有两列元素对应成比例(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D) 任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题满分15分,每小题5分.)(1) 设(2)(,)z f x y g x xy =-+,其中函数()f t 二阶可导,(,)g u v 具有连续的二阶偏导数,求2z x y∂∂∂. (2) 设曲线积分2()Cxy dx y x dy ϕ+⎰与路径无关,其中()x ϕ具有连续的导数,且(0)0ϕ=,计算(1,1)2(0,0)()xy dx y x dy ϕ+⎰的值.(3) 计算三重积分()x z dV Ω+⎰⎰⎰,其中Ω是由曲面22z x y =+与221z x y =--所围成的区域.四、(本题满分6分.)将函数1()arctan 1xf x x+=-展为x 的幂级数.五、(本题满分7分.)设0()sin ()()xf x x x t f t dt =--⎰,其中f 为连续函数,求()f x .六、(本题满分7分.)证明方程0ln 1cos 2x x xdx e π=--⎰在区间(0,+∞)内有且仅有两个不同实根.七、(本题满分6分.)问λ为何值时,线性方程组131231234226423x x x x x x x x λλλ+ =⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩ 有解,并求出解的一般形式.八、(本题满分8分.)假设λ为n 阶可逆矩阵A 的一个特征值,证明： (1)1λ为1A -的特征值； (2)Aλ为A 的伴随矩阵A *的特征值.九、(本题满分9分.)设半径为R 的球面∑的球心在定球面2222(0)x y z a a ++=>上,问当R 为何值时,球面∑在定球面内部的那部分的面积最大？十、填空题(本题满分6分,每小题2分.)(1) 已知随机事件A 的概率()P A =0.5,随机事件B 的概率()P B =0.6及条件概率()P B A |=0.8,则和事件A B 的概率()P A B =_______.(2) 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5.现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为_______. (3) 若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则方程210x x ξ++=有实根的概率是______.十一、(本题满分6分.)设随机变量X 与Y 独立,且X 服从均值为1、标准差(均方差)2,而Y 服从标准正态分布.试求随机变量23Z X Y =-+的概率密度函数.1989年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】1- 【解析】原式=01(3)(3)1lim (3)122h f h f f h -→--'-=-=--. (2)【答案】1x -【解析】由定积分的性质可知,1()f t dt ⎰和变量没有关系,且()f x 是连续函数,故1()f t dt ⎰为一常数,为简化计算和防止混淆,令10()f t dt a =⎰,则有恒等式()2f x x a =+,两边0到1积分得11()(2)f x dx x a dx =+⎰⎰,即 []111112000001(2)222a x a dx xdx a dx x a x ⎡⎤=+=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰122a =+,解之得 12a =-,因此()21f x x a x =+=-. (3)【答案】π【解析】方法一：L 的方程又可写成221(0)x y y +=≤,被积分函数在L 上取值,于是原积分=1Lds π=⎰(半径为1的的半圆周长).方法二：写出L 的参数方程,cos sin x ty t=⎧⎨=⎩,(0)t π-≤≤ 则00222222()(cos sin )(sin )cos 1Lx y ds t t t tdt dt πππ--+=+-+=⋅=⎰⎰⎰.(4)【答案】2【解析】直接用散度公式22[()()(ln(1))]z PP divuxy ye x z x y z∂∂∂=+++∂∂∂ 220(1,1,0)22220()10112110z zy e x e z =++⋅=++⋅=+=++.(5)【答案】10011022001⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪ ⎪⎝⎭【解析】由于3002001002140020120003002001A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.方法一：如果对(2)A E E -作初等行变换,则由1(2)((2))A E E E A E --→-可以直接得出1(2)A E --.本题中,第一行乘以()1-加到第二行上;再第二行乘以12,有 10010010010010010011120010020110010022001001001001001001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ → -→ - ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 从而知 110011(2)022001A E -⎛⎫⎪ ⎪-=-⎪ ⎪⎝⎭. 方法二：对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭,则求A 的伴随矩阵 *a b d b A c d c a *-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.如果0A ≠,这样111a b d b d b c d c a c a A ad bc ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 再利用分块矩阵求逆的法则：1110000A AB B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,本题亦可很容易求出110011(2)022001A E -⎛⎫⎪ ⎪-=-⎪ ⎪⎝⎭.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(A)【解析】函数1siny x x =只有间断点0x =. 001lim lim sin x x y x x ++→→=,其中1sin x是有界函数,而当0x +→时,x 为无穷小,而无穷小量和一个有界函数的乘积仍然是无穷小, 所以 001lim lim sin 0x x y x x++→→==,故函数没有铅直渐近线.01sin1sin lim limlim 11x x x t x y t x tx+→+∞→+∞→===令, 所以1y =为函数的水平渐近线,所以答案为(A).【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0lim ()x x f x →=∞,则0x x =是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim (),(x f x a a →∞=为常数）,则y a =为函数的水平渐近线.(2)【答案】(C)【解析】题设为求曲面:(,,)0S F x y z =(其中22(,,)4F x y z z x y =++-)上点P 使S 在该点处的法向量n 与平面2210x y z ++-=的法向量{}02,2,1n =平行.S 在(,,)P x y z 处的法向量{},,2,2,1F F F n x y x y z ⎧⎫∂∂∂==⎨⎬∂∂∂⎩⎭,若0//,n n 则0,n n λλ=为常数,即22,22,1x y λλλ===.即1,1x y ==. 又点(,,)P x y z S ∈,所以2222(,)(1,1)44112x y z x y ==--=--=,故求得(1,1,2)P .因此应选(C).(3)【答案】(D)【解析】由二阶常系数非齐次微分方程解的结构定理可知,1323,y y y y --为方程对应齐次方程的特解,所以方程()()()y p x y q x y f x '''++=的通解为1132233()()y C y y C y y y =-+-+,即1122123(1)y C y C y C C y =++--,故应选D. (4)【答案】(B)【解析】()S x 是函数()f x 先作奇延拓后再作周期为2的周期延拓后的函数的傅式级数的和函数,由于()S x 是奇函数,于是11()()22S S -=-.当12x =时,()f x 连续,由傅式级数的收敛性定理,21111()()()2224S f ===.因此, 11()24S -=-.应选(B).(5)【答案】(C)【解析】本题考查||0A =的充分必要条件,而选项(A) 、(B)、(D)都是充分条件,并不必要.因为对矩阵A 来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了||0A =的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合.以3阶矩阵为例,若 112123134A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有||0A =,所以(A)、 (B)不满足题意,不可选.若123124125A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则||0A =,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确.这样用排除法可知应选(C).三、(本题满分15分,每小题5分.)(1)【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,可以先求zx∂∂,也可以先求z y ∂∂.方法一：先求zx∂∂,由复合函数求导法,1212(2)()()2z f x y g x g xy f g yg x x x x∂∂∂∂''''''=-++=++∂∂∂∂, 再对y 求偏导,得212(2)2(2)z f g yg f x y x y y y∂∂∂'''''=++=-∂∂∂∂ 111222122()()()()g x g xy g yg x yg xy y y y y ⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂'''''''''+++++⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦111222122200f g xg g yg xyg '''''''''''=-+⋅+++⋅+ 212222f xg g xyg '''''''=-+++. 方法二：先求zy∂∂, 122(2)()()z f x y g x g xy f xg y y y y∂∂∂∂'''''=-++=-+∂∂∂∂, 再对x 求偏导数,得222()z z f xg x y y x x∂∂∂''==-+∂∂∂∂∂ 22122(2)()()f x y g xg x xg xy x x x∂∂∂'''''''=--+++∂∂∂221222f g xg xyg '''''''=-+++. 【相关知识点】复合函数求导法则：若(,)u u x y =和(,)v v x y =在点(,)x y 处偏导数存在,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数[(,),(,)]z f u x y v x y =在点(,)x y 处的偏导数存在,且,z f u f v z f u f v x u x v x y u y v y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂. (2)【解析】方法一：先求出()x ϕ,再求曲线积分.设(,),(,)P x y Q x y 有连续偏导数,在所给的单连通区域D 上,LPdx Qdy +⎰与路径无关,则在D 上有Q P x y∂∂=∂∂,所以()2,y x xy ϕ'=即2()2,()x x x x C ϕϕ'==+.由(0)ϕ=0,得0C =,即2()x x ϕ=,因此(1,1)(1,1)(1,1)2222222(0,0)(0,0)(0,0)1()2I xy dx y x dy xy dx yx dy y dx x dy ϕ=+=+=+⎰⎰⎰ (1,1)(0,0)(1,1)2222(0,0)111()()222d x y x y ===⎰. 或取特殊路径如图：11222001LI xy dx yx dy dx y dy =+=+⎰⎰⎰1201122y ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦. 方法二：不必求出()x ϕ,选取特殊的路径,取积分路径如图,则(1,1)2(0,0)()I xy dx y x dy ϕ=+⎰11011(0)022y dy xdx ϕ=+=+=⎰⎰. (3)【解析】利用三重积分的性质,Ω关于yz 平面对称,x 对x 为奇函数,所以0xdV Ω=⎰⎰⎰,即()x z dV zdV ΩΩ+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.Ω是由球心在原点半径为1的上半球面与顶点在原点、对称轴为z 轴、半顶角为4π的锥面所围成.故可选用球坐标变换,则020014πθπϕρΩ≤≤≤≤≤≤：，，,所以 2cos sin I zdV d d d ρϕρϕρϕθΩΩ==⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2113344000001cos sin 2sin 22d d d d d πππθϕϕϕρρπϕϕρρ==⎰⎰⎰⎰⎰1440011cos 2248πππϕρ⎡⎤⎡⎤=-⋅=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.四、(本题满分6分.)【解析】直接展开()f x 相对比较麻烦,可()f x '容易展开,2222211(1)(1)21()1(1)(1)(1)11()1x x f x x x x x x x--+⋅-'=⋅==+--++++-. 由2011(1)(1),(||1)1n nn n n t t t t t t∞==-+-+-+=-<+∑,令2t x =得242222111(1)(1),(1)11nnn n n x x x x x t x ∞===-+-+-+=-<++∑即 221()(1),(||1)1n n n f x x x x ∞='==-<+∑ 所以()()(0)xf x f u du f '=+⎰,22000010(1)arctan(1)104x x nnnn n n u du u du π∞∞==+=-+=+--∑∑⎰⎰ 210(1)421n nn x n π+∞==+-+∑,(||1)x <当1x =±时,式210(1)21n nn x n +∞=-+∑均收敛,而左端1()arctan 1xf x x +=-在1x =处无定义.因此 2101(1)()arctan,[1,1)1421n n n x f x x x x n π∞+=+-==+∈--+∑.五、(本题满分7分.)【解析】先将原式进行等价变换,再求导,试着发现其中的规律, 0()sin ()()sin ()()xx xf x x x t f t dt x x f t dt tf t dt =--=-+⎰⎰⎰,所给方程是含有未知函数及其积分的方程,两边求导,得()cos ()()()cos ()xxf x x f t dt xf x xf x x f t dt '=--+=-⎰⎰,再求导,得()sin ()f x x f x ''=--,即 ()()sin f x f x x ''+=-.这是个简单的二阶常系数非齐次线性微分方程,对应的齐次方程的特征方程为210r +=, 此特征方程的根为r i =±,而右边的sin x 可看作sin xe x αβ,i i αβ±=±为特征根,因此非齐次方程有特解sin cos Y xa x xb x =+.代入方程并比较系数,得10,2a b ==,故cos 2xY x =,所以 12()cos sin cos 2xf x c x c x x =++,又因为(0)0,(0)1f f '==,所以1210,2c c ==,即1()sin cos 22xf x x x =+.六、(本题满分7分.)【解析】方法一：判定方程()0f x =等价于判定函数()y f x =与x 的交点个数.令 0()ln 1cos 2x f x x xdx e π=-+-⎰,其中1cos 2xdx π-⎰是定积分,为常数,且被积函数1cos2x -在(0,)π非负,故1cos 20xdx π->⎰,为简化计算,令01cos 20xdx k π-=>⎰,即()ln xf x x k e=-+,则其导数11()f x x e'=-,令()0f x '=解得唯一驻点x e =, 即 ()0,0()0,f x x ef x e x '><<⎧⎨'<<<+∞⎩,所以x e =是最大点,最大值为()ln 0ef e e k k e=-+=>. 又因为00lim ()lim (ln )lim ()lim (ln )x x x x x f x x k ex f x x k e ++→→→+∞→+∞⎧=-+=-∞⎪⎪⎨⎪=-+=-∞⎪⎩,由连续函数的介值定理知在(0,)e 与(,)e +∞各有且仅有一个零点(不相同),故方程0ln 1cos 2x x xdx e π=--⎰在(0,)+∞有且仅有两个不同实根.方法二：201cos 2sin xdx xdx ππ-=⎰⎰,因为当0x π≤≤时,sin 0x ≥,所以]2002sin 2sin 2cos 220xdx xdx x πππ==-=>⎰,其它同方法一.七、(本题满分6分.)【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换.第一行分别乘以有()4-、()6-加到第二行和第三行上,再第二行乘以()1-加到第三行上, 有1011011014122012320123261423012430001λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+→--+→--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+--+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 由于方程组有解的充要条件是()()r A r A =,故仅当10λ-+=,即1λ=时,方程组有解.此时秩()()23r A r A n ==<=,符合定理的第二种情况,故方程组有无穷多解.由同解方程组 1323 1,21,x x x x +=⎧⎨-=-⎩令3,x t =解得原方程组的通解1231,21,,x t x t x t =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ (其中t 为任意常数). 【相关知识点】1.非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα线表出,亦等同于12,,,n ααα与12,,,,n b ααα是等价向量组)设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则（1） 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == （2） 有无穷多解 ⇔ ()().r A r A n =< （3） 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔ b 不能由A 的列向量12,,,n ααα线表出.八、(本题满分8分.)【解析】(1)由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端左乘1A -,得1A αλα-=.因为0α≠,故0λ≠,于是有11A ααλ-=.按特征值定义知1λ是1A -的特征值.(2)由于逆矩阵的定义1||A A A *-=,据第(1)问有1||||A A A A ααααλλ**=⇒=,按特征值定义,即||A λ为伴随矩阵A *的特征值.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.九、(本题满分9分.)【解析】由球的对称性,不妨设球面∑的球心是(0,0,)a , 于是∑的方程是2222()x y z a R ++-=.先求∑与球面2222x y z a ++=的交线Γ：2222222222(),22,x y z a R a R z a x y z a ⎧++-=-⎪⇒=⎨++=⎪⎩. 代入上式得Γ的方程 422224R x y R a+=-.它在平面xOy 上的投影曲线4222222,(02),40,R x y b b R R a az ⎧+==-<<⎪⎨⎪=⎩相应的在平面xOy 上围成区域设为xy D ,则球面∑在定球面内部的那部分面积22()1xyx y D S R z z dxdy ''=++⎰⎰.将∑的方程两边分别对,x y 求偏导得,z x z y x z a y z a∂∂=-=-∂-∂-, 所以 2222()11()()xyxyx y D D x y S R z z dxdy dxdy a z a z''=++=++--⎰⎰⎰⎰ 222221()()xyxyD D x y dxdy dxdy a z a z R x y =++=----⎰⎰⎰⎰.利用极坐标变换(02,0)b θπρ≤≤≤≤有222222()xybD S R dxdy d R x yR πθρρ=---⎰⎰⎰⎰极坐标变换2222200()2b R d R R πθρρ=---⎰⎰ 222202()2()b R R R R b R πρπ=--=--代入42224R b R a =-,化简得32()2R S R R aππ=-.这是一个关于R 的函数,求()S R 在(0,2)a 的最大值点,()S R 两边对R 求导,并令()0S R '=,得23()40R S R R a ππ'=-=,得43aR =. 且 4()0,034()0,23S R R a S R a R a ⎧'><<⎪⎪⎨⎪'<<<⎪⎩,故43aR =时()S R 取极大值,也是最大值. 因此,当43aR =时球面∑在定球面内部的那部分面积最大.十、填空题(本题满分6分,每小题2分.) (1)【解析】 方法一：()()()()P A B P A P B P AB =+-()()()(|)0.7P A P B P A P B A =+-=. 方法二：()()()P AB P B P AB =+()()(|)0.60.50.20.7P B P A P B A =+=+⨯=.(2)【解析】设事件A =“甲射中”,B =“乙射中”,依题意,()0.6P A =,()0.5P B =,A 与B 相互独立,()()()0.60.50.3P AB P A P B =⋅=⨯=.因此,有 ()()()()P AB P A P B P AB =+-0.60.50.30.8=+-=. (())()(|)0.75()()P A A B P A P A AB P A B P A B ===.(3)【解析】设事件A =“方程有实根”,而方程210x x ξ++=有实根的充要条件是其判别式240ξ∆=-≥,即{}{}22404A ξξ=-≥=≥.随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,所以其分布函数为0, 1,1(), 16,611, 6.x x F x x x <⎧⎪-⎪=≤<⎨-⎪≥⎪⎩由分布函数的定义()()P x k F k ≤=,{}{}21210.20.8.P P ξξ≥=-<=-= 而{}20.P ξ≤-=所以由概率的可加性,有{}{}{}2()422P A P P ξξξ=≥=≥+≤-0.800.8=+=.【相关知识点】广义加法公式：()()()()P AB P A P B P AB =+-.条件概率：()(|)()P BA P B A P A =,所以()()(|)()P AB P BA P B A P A ==. 十一、(本题满分6分.)【解析】~(1,2)X N ,~(0,1)Y N ,由独立的正态变量X 与Y 的线性组合仍服从正态分布,且235,EZ EX EY =-+=44219DZ DX DY =+=⨯+=,得 ~(5,9)Z N .代入正态分布的概率密度公式,有Z 的概率密度函数为 2(5)18()32z Z f z π--=.【相关知识点】对于随机变量X 与Y 均服从正态分布,则X 与Y 的线性组合亦服从正态分布.若X 与Y 相互独立,由数学期望和方差的性质,有()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++, 22()()()D aX bY c a D X b D Y ++=+,其中,,a b c 为常数.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)(1) 设21,cos ,x t y t ⎧=+⎨=⎩则22d y dx =__________.(2) 由方程2222xyz x y z ++=(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =__________.(3) 已知两条直线的方程是1123:101x y z L ---==-；221:211x y zL +-==,则过1L 且平行于2L 的平面方程是__________.(4) 已知当0x →时,123(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =__________.(5) 设4阶方阵 5 2 0 02 1 0 00 0 1 20 0 1 1A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭,则A 的逆阵1A -=__________.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1) 曲线2211x x e y e--+=- ( )(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2) 若连续函数()f x 满足关系式20()ln 22xt f x f dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰,则()f x 等于 ( ) (A) ln 2xe (B) 2ln 2xe(C) ln 2xe + (D) 2ln 2xe +(3) 已知级数11(1)2n n n a ∞-=-=∑,2115n n a ∞-==∑,则级数1n n a ∞=∑等于 ( )(A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9(4) 设D 是xOy 平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,1D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于 ( )(A) 12cos sin D x ydxdy ⎰⎰ (B) 12D xydxdy ⎰⎰(C) 14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ (D) 0(5) 设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位阵,则必有 ( ) (A) ACB E = (B) CBA E =(C) BAC E = (D) BCA E =三、(本题满分15分,每小题5分.)(1) 求0)x x x π+→. (2) 设n 是曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数2268x y u +=P 处沿方向n 的方向导数.(3) 22()x y z dV Ω++⎰⎰⎰,其中Ω是由曲线22,0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围成的立体.四、(本题满分6分)在过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线L ,使沿该曲线从O 到A 的积分3(1)(2)Ly dx x y dy +++⎰的值最小.五、(本题满分8分.)将函数()2||(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅立叶级数,并由此求级数211n n ∞=∑的和.六、(本题满分7分.)设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0)f x dx f =⎰,证明在(0,1)内存在一点c ,使()0f c '=.七、(本题满分8分.)已知1(1,0,2,3)α=,2(1,1,3,5)α=,3(1,1,2,1)a α=-+,4(1,2,4,8)a α=+,及(1,1,3,5)b β=+.(1) a 、b 为何值时,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合？(2) a 、b 为何值时,β有1234αααα、、、的唯一的线性表示式？并写出该表示式.八、(本题满分6分)设A 为n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明A E +的行列式大于1.九、(本题满分8分)在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)(1) 若随机变量X 服从均值为2,方差为2σ的正态分布,且{}240.3P X <<=,则{}0P X <=_______.(2) 随机地向半圆202y ax x <<-(a 为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为_______.十一、(本题满分6分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(2)2, 0,0(,)0, x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他, 求随机变量2Z X Y =+的分布函数.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】3sin cos 4t t tt -【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即 如果 ()()x t y t φϕ=⎧⎨=⎩, 则 ()()dy t dx t ϕφ'='.所以 sin 2dydy tdt dx dx tdt-==, 再对x 求导,由复合函数求导法则得22sin 1()()22d y d dy dt d t dx dt dx dx dt t t-=⋅=⋅232cos 2sin 1sin cos 424t t t t t tt t t-+-=⋅=. (2)【答案】2dx dy -【解析】这是求隐函数在某点的全微分,这里点(1,0,1)-的含义是(1,0)1z z ==-. 将方程两边求全微分,由一阶全微分形式不变性得222222()02d xyz x y z+=++,再由全微分四则运算法则得222()()xy dz ydx xdy z x y z++=++,令1,0,1x y z ===-,得2dy =,即2dz dx dy =. (3)【答案】320x y z -++=【解析】所求平面∏过直线1L ,因而过1L 上的点(1,2,3)；因为∏过1L 平行于2L ,于是∏平行于1L 和2L 的方向向量,即∏平行于向量1(1,0,1)l =-和向量2(2,1,1)l =,且两向量不共线,于是平面∏的方程1231010211x y z ----=, 即320x y z -++=. (4)【答案】32-【解析】因为当0x →时,11sin ,(1)1nxx x x n+-, 当0x →时20ax →,所以有122223111(1)1,cos 1sin ,322ax ax x x x +--=--所以 12230021(1)123lim lim 1cos 132x x axax a x x →→+-==---. 因为当0x →时,123(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,所以213a -=,故32a =-. (5)【答案】12002500120033110033-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭. 【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.根据本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答.注意： 1110000A AB B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,111000A B B A---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭,则求A 的伴随矩阵*a b d b A c d c a *-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.如果0A ≠,这样111a b d b d b c d c a c a A ad bc---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 再利用分块矩阵求逆的法则：1110000A AB B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,易见 112002500120033110033A --⎛⎫⎪- ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(D)【解析】由于函数的定义域为0x ≠,所以函数的间断点为0x =,222211lim limlim11x x x x x x x e e y ee --→→→++===∞--,所以0x =为铅直渐近线,222211lim limlim111x x x x x x x e e y ee --→∞→∞→∞++====--,所以1y =为水平渐近线.所以选(D).【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0lim ()x x f x →=∞,则0x x =是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim (),(x f x a a →∞=为常数）,则y a =为函数的水平渐近线.(2)【答案】(B) 【解析】令2tu =,则2,2t u dt du ==,所以 20()ln 22()ln 22x x t f x f dt f u du ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰,两边对x 求导,得()2()f x f x '=,这是一个变量可分离的微分方程,即[()]2()d f x dx f x =.解之得2()xf x Ce =,其中C 是常数.又因为0(0)2()ln 2ln 2f f u du =+=⎰,代入2()x f x Ce =,得0(0)ln 2f Ce ==,得ln 2C =,即2()ln 2x f x e =⋅.(3)【答案】(C) 【解析】因为112342121(1)n n n n n a a a a a a a ∞--=-=-+-++-+∑1234212()()()n n a a a a a a -=-+-++-+212212111()n n n n n n n aa a a ∞∞∞--====-=-∑∑∑(收敛级数的结合律与线性性质),所以1221111(1)523n nn n n n n aa a ∞∞∞--====--=-=∑∑∑.而12342121()()()nn n n aa a a a a a ∞-==+++++++∑212212111()n n n n n n n aa a a ∞∞∞--====+=+∑∑∑538=+=,故应选(C).(4)【答案】(A)【解析】如图,将区域D 分为1234,,,D D D D 四个子区域. 显然,12,D D 关于y 轴对称,34,D D 关于x 轴对称.令 12cos sin DDI xydxdy I x ydxdy ⎧=⎪⎨=⎪⎩⎰⎰⎰⎰,由于xy 对x 及对y 都是奇函数,所以12340,0D D D D xydxdy xydxdy ++==⎰⎰⎰⎰.而cos sin x y 对x 是偶函数,对y 是奇函数,故有34121cos sin 0,cos sin 2cos sin D D D D D x ydxdy x ydxdy x ydxdy ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,所以 112(cos sin )2cos sin DD xy x y dxdy II x ydxdy +=+=⎰⎰⎰⎰,故选(A).(5)【答案】(D)【解析】矩阵的乘法公式没有交换律,只有一些特殊情况可以交换.由于A 、B 、C 均为n 阶矩阵,且ABC E =,对等式两边取行列式,据行列式乘法公式||||||1A B C =,得到0A ≠、0B ≠、0C ≠,知A 、B 、C 均可逆,那么,对于ABC E =,先左乘1A -再右乘A 有 1ABC E BC A BCA E -=→=→=,故应选(D).其实,对于ABC E =先右乘1C -再左乘C ,有1ABC E AB C CAB E -=→=→=.三、(本题满分15分,每小题5分.) (1)【解析】这是1∞型未定式求极限.1(cos 1)cos 1lim (cos )lim (1(cos 1))x xx x x x x x ππ++-⋅-→→=+-令1x t =,则0x +→时0t -→,所以1cos 100lim(11))lim(1)x tx t x t e +--→→+=+=, 所以 01(cos 1)(cos 1)(cos 1)limcos 1lim (1lim x x x x xx x x x e e πππ→++---⋅-→→+==.因为当0x →时,sin x x ,所以220002sin 21)limlim lim 2x x x x x x x x x ππππ+++→→→--⎝⎭⎝⎭===-,故 0(cos 1)lim2lim )x x xx x e eπππ→+--→==.(2)【解析】先求方向n 的方向余弦,再求,,u u ux y z∂∂∂∂∂∂,最后按方向导数的计算公式 cos cos cos u u u u n x y zαβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂求出方向导数. 曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的法向量为{}{}{}(1,1,1)4,6,24,6,222,3,1Px y z x y z ±==±,在点(1,1,1)P 处指向外侧,取正号,并单位化得}}{}222,3,12,3,1cos ,cos ,cos .14231n αβγ===++ 又 222222222222226614686888146868686814P P P u x x x z x y z x y u y y y z x y z x y x y x y u z z z ⎧∂⎪===⎪∂++⎪⎪∂⎪===⎨∂++⎪⎪⎪++∂===⎪∂⎪⎩, 所以方向导数cos cos cos u u u u n x y z αβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂ 62831111471414141414=⋅+⋅-⋅=. (3)【解析】由曲线22,0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而围成的旋转面方程是222x y z +=.于是,Ω是由旋转抛物面221()2z x y =+与平面4z =所围成.曲面与平面的交线是 228,4x y z +==.选用柱坐标变换,令cos ,sin ,x r y r z z θθ===,于是:02,04,02z r z θπΩ≤≤≤≤≤≤,因此 22()I x y z dV Ω=++⎰⎰⎰ 42220()zdz d r z rdr πθ=+⎰⎰⎰24240242r z r r r z dz π==⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰42025643z dz ππ==⎰.四、(本题满分6分)【解析】曲线sin ,([0,])y a x x π= ∈,则cos dy a xdx =,所以 3(1)(2)LI y dx x y dy =+++⎰3[1(sin )(2sin )cos ]a x x a x a x dx π=+++⋅⎰23301sin 2cos sin 22a a x ax x x dx π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎰233sin 2cos sin 22a axdx a x xdx xdx ππππ=+++⎰⎰⎰232(cos 1)cos 2sin sin 224a ax d x a xd x xd x ππππ=+-++⎰⎰⎰[][]2330001cos cos 2sin cos cos 234a a x x a x x x x ππππ⎡⎤=+-+++-⎢⎥⎣⎦3443a a π=+-. 对关于a 的函数3443I a a π=+-两边对a 求导数,其中0a >,并令0,I '=得2440I a '=-=.所以1a =, 且 0,010,1I a I a '<<<⎧⎨'><<+∞⎩.故1a =为函数344,(0)3I a a a π=+->的极小值点,也是最小值点.故所求的曲线为 sin ,([0,])y x x π= ∈.五、(本题满分8分.)【解析】按傅式级数公式,先求()f x 的傅式系数n a 与n b .因()f x 为偶函数,所以1()sin 0(1,2,3,)l n l n b f x xdx n l l π-== =⎰, 012()cos ()cos l l n l n n a f x xdx f x xdx l l l l ππ-==⎰⎰11100022(2)cos 4cos sin x n xdx n xdx xd n x n ππππ=+=+⎰⎰⎰122022(cos 1)sin (1,2,3,)n n xdx n n n ππππ-=-= =⎰, 1002(2)5a x dx =+=⎰.因为()2||f x x =+在区间(11)x -≤≤上满足狄利克雷收敛定理的条件,所以01()2||cos sin 2n n n a n n f x x a x b x l l ππ∞=⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭∑ 22152(cos 1)cos 2n n n x n πππ∞=-=+∑221541cos(21)(11)2(21)n n x x n ππ∞==-- -≤≤-∑. 令0x =,有221541(0)20cos 02(21)n f n π∞==+=--∑,所以,2211(21)8n n π∞==-∑.又 222221111111111(21)(2)(21)4n n n n n n n n n ∞∞∞∞====⎡⎤=+=+⎢⎥--⎣⎦∑∑∑∑, 所以, 2213148n n π∞==∑,即 22116n n π∞==∑.六、(本题满分7分.)【解析】由定积分中值定理可知,对于123()f x dx ⎰,在区间2(,1)3上存在一点ξ使得12321()()(1)()33f x dx f f ξξ=-=⎰,即1233()()(0)f x dx f f ξ==⎰.由罗尔定理可知,在区间(0,1)内存在一点(01)c c ξ<<<,使得()0f c '=.七、(本题满分8分)【解析】设11223344x x x x ααααβ+++=,按分量写出,则有123423341234123412123(2)4335(8)5x x x x x x x x x a x x b x x x a x α+++=⎧⎪-+=⎪⎨++++=+⎪⎪++++=⎩. 对方程组的增广矩阵作初等行变换:第一行分别乘以有()2-、()3-加到第三行和第四行上,再第二行乘以()1-、()2-加到第三行和第四行上,有1111111*********11212324301213518502252A a b a b a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪+++ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭ 11111011210010010a b a ⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪+ ⎪+⎝⎭, 所以,当1,0a b =-≠时,()1()r A r A +=,方程组无解.即是不存在1234x ,x ,x ,x 使得11223344x x x x ααααβ+++=成立,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合；当1a ≠-时,()() 4.r A r A ==方程组有唯一解21,,,0111Tb a b b a a a ++⎛⎫- ⎪+++⎝⎭,故β有唯一表达式,且1234210111b a b b a a a βαααα++=-+++⋅+++. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα线表出,亦等同于12,,,n ααα与12,,,,n b ααα是等价向量组).设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则 (1) 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == (2) 有无穷多解 ⇔ ()().r A r A n =< (3) 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔ b 不能由A 的列向量12,,,n ααα线表出.八、(本题满分6分)【解析】方法1：因为A 为n 阶正定阵,故存在正交矩阵Q ,使121T N Q AQ Q AQ λλλ-⎛⎫⎪⎪==Λ= ⎪ ⎪⎝⎭, 其中0(1,2,)i i n λ>=,i λ是A 的特征值.因此 ()TTTQ A E Q Q AQ Q Q E +=+=Λ+两端取行列式得 |||||||||()|||(1)TTiA E Q A E Q Q A E Q E λ+=+=+=Λ+=+∏,从而 ||1A E +>.方法2：设A 的n 个特征值是12n ,,,.λλλ由于A 为n 阶正定阵,故特征值全大于0.由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端同时加上α,得()()1A E αλα+=+.按特征值定义知1λ+是A E +的特征值.因为A E +的特征值是12111n ,,,.λλλ+++它们全大于1,根据i A λ=∏,知||(1)1i A E λ+=+>∏.【相关知识点】阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.九、(本题满分8分)【解析】曲线()y y x =在点(,)P x y 处的法线方程为1()Y y X x y -=--'(当0y '≠时), 它与x 轴的交点是(,0)Q x yy '+,从而12222||()(1)PQ yy y y y ''=+=+.当0y '=时,有(,0),||Q x PQ y =,上式仍然成立. 因此,根据题意得微分方程3122221(1)(1)y y y y ''=''++,即21yy y '''=+.这是可降阶的高阶微分方程,且当1x =时,1,0y y '==.令()y P y '=,则dP y Pdy ''=,二阶方程降为一阶方程21dP yP P dy =+,即21PdP dyP y=+. 即21y P =+C 为常数.因为当1x =时,1,0y P y '===,所以1C =,即2211y P y '=+=+所以21y y '=-分离变量得21dx y =±-.令sec y t =,并积分,则上式左端变为2sec tan ln sec tan tan 1t tdtt t C ty ==++-⎰22ln sec sec 1ln 1t t C y y C =-+=+-.因曲线在上半平面,所以210y y +->,即(2ln 1y y C x -=±.故 21x y y Ce ±-=.当1x =时,1,y = 当x 前取+时,1C e -=,211x y y e --=, 2211222111(1)(1)1x x y y y y e e y y y y y y -----====+---+-；当x 前取-时,C e =,211x y y e -+-=, 2211222111(1)(1)1x xy y y y e e y y y y y y ------====+---+-；所以 (1)(1)1()2x x y e e ---=+.十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)(1)【解析】一般说来,若计算正态分布随机变量在某一范围内取值的概率,应该已知分布的两个参数μ和2σ,否则应先根据题设条件求出μ,2σ,再计算有关事件的概率,本题可从2()0.8σΦ=,通过查()x Φ表求出σ,但是注意到所求概率(0)P x <即是2()σ-Φ与2()σΦ之间的关系,可以直接由2()σΦ的值计算出2()σ-Φ.因为2(2,)X N σ,所以可标准化得2(0,1)X N σ-,由标准正态分布函数概率的计算公式,有4222(24)()()P x σσ--<<=Φ-Φ,2()(24)(0)0.8P x σΦ=<<+Φ=.由正态分布函数的对称性可得到 0222(0)()()1()0.2P x σσσ-<=Φ=Φ-=-Φ=.(2)【解析】设事件A =“掷的点和原点的连线与x 轴的夹角小于4π”, 这是一个几何型概率的计算问题.由几何概率公式()D S P A S =半圆,而 212S a π=半圆, 22141124D OACS SS a a π=+=+圆,yOABDC故 222111124()122a aP A a πππ+==+.十一、(本题满分6分)【解析】二维连续型随机变量的概率等于对应区域的二重积分,所以有{}{}2()2(,)x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=⎰⎰.当0z ≤时,()0F z =.因为2x y z +=在直线20x y +=的下方 与0,0x y >>(即第一象限)没有公共区域,所以()0F z =.当0z >时,2x y z +=在直线20x y +=的上方与第一象限相交成一个三角形区域D ,此即为积分区间.(2)20()2()1z x zzx y x z z z F z dx e dy e e dx e ze --+----==-=--⎰⎰⎰.所以2Z X Y =+的分布函数 0, 0,()1, 0. z zz F z e ze z --<⎧=⎨--≥⎩1992年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1) 设函数()y y x =由方程cos()0x yexy ++=确定,则dydx=____________. (2) 函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)M -处的梯度M gradu =____________.(3) 设21, <0,()1, 0<,x f x x x ππ--≤⎧=⎨+≤⎩则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于____________.(4) 微分方程tan cos y y x x '+=的通解为y =____________.yO20x y +=zD(5) 设111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b A a b a b a b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中0,0,1,2.i i a b i n ≠≠=则矩阵A 的秩()r A =____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 当1x →时,函数12111x x e x ---的极限 ( ) (A) 等于2 (B) 等于0 (C) 为∞ (D) 不存在但不为∞ (2) 级数1(1)(1cos )n n n α∞=--∑(常数0α>) ( ) (A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与α有关 (3) 在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中,与平面24x y z ++=平行的切线 ( ) (A) 只有1条 (B) 只有2条 (C) 至少有3条 (D) 不存在(4) 设32()3||f x x x x =+,则使(0)nf 存在的最高阶数n 为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(5) 要使121 00, 121ξξ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦都是线性方程组0Ax =的解,只要系数矩阵A 为 ( ) (A) ()2 1 1- (B) 2 0 1 0 1 1-⎛⎫⎪⎝⎭(C) 1 0 2 0 1 1-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ (D) 011422011-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.) (1) 求 211x x x→--.。
1991年考研数学一试题及完全解析
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)(1) 设21,cos ,x t y t ⎧=+⎨=⎩ 则22d y dx =__________.(2)由方程xyz =(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =__________.(3) 已知两条直线的方程是1123:101x y z L ---==-；221:211x y zL +-==,则过1L 且平行于2L 的平面方程是__________.(4) 已知当0x →时,123(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =__________.(5) 设4阶方阵 5 2 0 02 1 0 00 0 1 20 0 1 1A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭,则A 的逆阵1A -=__________.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1) 曲线2211x x e y e--+=- ( )(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2) 若连续函数()f x 满足关系式20()ln 22xt f x f dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰,则()f x 等于 ( ) (A) ln 2xe (B) 2ln 2xe(C) ln 2xe + (D) 2ln 2xe +(3) 已知级数11(1)2n n n a ∞-=-=∑,2115n n a ∞-==∑,则级数1n n a ∞=∑等于 ( )(A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9(4) 设D 是xOy 平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,1D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于 ( )(A) 12cos sin D x ydxdy ⎰⎰ (B) 12D xydxdy ⎰⎰(C) 14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ (D) 0(5) 设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位阵,则必有 ( ) (A) ACB E = (B) CBA E =(C) BAC E = (D) BCA E =三、(本题满分15分,每小题5分.)(1) 求0)x x π+→. (2) 设n 是曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数u =P 处沿方向n 的方向导数. (3) 22()x y z dV Ω++⎰⎰⎰,其中Ω是由曲线22,0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围成的立体.四、(本题满分6分)在过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线L ,使沿该曲线从O 到A 的积分3(1)(2)Ly dx x y dy +++⎰的值最小.五、(本题满分8分.)将函数()2||(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅立叶级数,并由此求级数211n n ∞=∑的和.六、(本题满分7分.)设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0)f x dx f =⎰,证明在(0,1)内存在一点c ,使()0f c '=.七、(本题满分8分.)已知1(1,0,2,3)α=,2(1,1,3,5)α=,3(1,1,2,1)a α=-+,4(1,2,4,8)a α=+,及(1,1,3,5)b β=+.(1) a 、b 为何值时,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合？(2) a 、b 为何值时,β有1234αααα、、、的唯一的线性表示式？并写出该表示式.八、(本题满分6分)设A 为n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明A E +的行列式大于1.九、(本题满分8分)在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)(1) 若随机变量X 服从均值为2,方差为2σ的正态分布,且{}240.3P X <<=,则{}0P X <=_______.(2) 随机地向半圆0y <<(a 为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为_______.十一、(本题满分6分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(2)2, 0,0(,)0, x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他,求随机变量2Z X Y =+的分布函数.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】3sin cos 4t t tt- 【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即 如果 ()()x t y t φϕ=⎧⎨=⎩, 则 ()()dy t dx t ϕφ'='. 所以 sin 2dydy tdt dx dx t dt-==, 再对x 求导,由复合函数求导法则得22sin 1()()22d y d dy dt d t dx dt dx dx dt t t-=⋅=⋅ 232cos 2sin 1sin cos 424t t t t t tt t t-+-=⋅=. (2)【答案】dx -【解析】这是求隐函数在某点的全微分,这里点(1,0,1)-的含义是(1,0)1z z ==-. 将方程两边求全微分,由一阶全微分形式不变性得222()0d xyz +=,再由全微分四则运算法则得()()xy dz ydx xdy z ++=,令1,0,1x y z ===-,得dy =,即dz dx =. (3)【答案】320x y z -++=【解析】所求平面∏过直线1L ,因而过1L 上的点(1,2,3)；因为∏过1L 平行于2L ,于是∏平行于1L 和2L 的方向向量,即∏平行于向量1(1,0,1)l =-r和向量2(2,1,1)l =r,且两向量不共线,于是平面∏的方程1231010211x y z ----=, 即320x y z -++=. (4)【答案】32-【解析】因为当0x →时,11sin ,(1)1nx x x x n+-::, 当0x →时20ax →,所以有122223111(1)1,cos 1sin ,322ax ax x x x +--=--:: 所以 12230021(1)123lim lim 1cos 132x x axax a x x →→+-==---. 因为当0x →时,123(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,所以213a -=,故32a =-. (5)【答案】12002500120033110033-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭. 【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.根据本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答.注意： 1110000A AB B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,111000A B B A---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭,则求A 的伴随矩阵*a b d b A c d c a *-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.如果0A ≠,这样111a b d b d b c d c a c a A ad bc ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 再利用分块矩阵求逆的法则：1110000A AB B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,易见 112002500120033110033A --⎛⎫⎪- ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)【解析】由于函数的定义域为0x ≠,所以函数的间断点为0x =,222211lim limlim11x x x x x x x e e y ee --→→→++===∞--,所以0x =为铅直渐近线,222211lim limlim111x x x x x x x e e y ee --→∞→∞→∞++====--,所以1y =为水平渐近线.所以选(D).【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0lim ()x x f x →=∞,则0x x =是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim (),(x f x a a →∞=为常数）,则y a =为函数的水平渐近线.(2)【答案】(B) 【解析】令2tu =,则2,2t u dt du ==,所以 20()ln 22()ln 22x x t f x f dt f u du ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰,两边对x 求导,得()2()f x f x '=,这是一个变量可分离的微分方程,即[()]2()d f x dx f x =.解之得2()xf x Ce =,其中C 是常数.又因为0(0)2()ln 2ln 2f f u du =+=⎰,代入2()x f x Ce =,得0(0)ln 2f Ce ==,得ln 2C =,即2()ln 2x f x e =⋅.(3)【答案】(C) 【解析】因为112342121(1)n n n n n a a a a a a a ∞--=-=-+-++-+∑L L1234212()()()n n a a a a a a -=-+-++-+L L 212212111()n n n n n n n aa a a ∞∞∞--====-=-∑∑∑(收敛级数的结合律与线性性质),所以1221111(1)523n nn n n n n aa a ∞∞∞--====--=-=∑∑∑.而12342121()()()nn n n aa a a a a a ∞-==+++++++∑L L212212111()n n n n n n n aa a a ∞∞∞--====+=+∑∑∑538=+=,故应选(C).(4)【答案】(A)【解析】如图,将区域D 分为1234,,,D D D D 四个子区域. 显然,12,D D 关于y 轴对称,34,D D 关于x 轴对称.令 12cos sin DDI xydxdy I x ydxdy ⎧=⎪⎨=⎪⎩⎰⎰⎰⎰,由于xy 对x 及对y 都是奇函数,所以12340,0D D D D xydxdy xydxdy ++==⎰⎰⎰⎰.而cos sin x y 对x 是偶函数,对y 是奇函数,故有34121cos sin 0,cos sin 2cos sin D D D D D x ydxdy x ydxdy x ydxdy ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,所以 112(cos sin )2cos sin DD xy x y dxdy II x ydxdy +=+=⎰⎰⎰⎰,故选(A).(5)【答案】(D)【解析】矩阵的乘法公式没有交换律,只有一些特殊情况可以交换.由于A 、B 、C 均为n 阶矩阵,且ABC E =,对等式两边取行列式,据行列式乘法公式||||||1A B C =,得到0A ≠、0B ≠、0C ≠,知A 、B 、C 均可逆,那么,对于ABC E =,先左乘1A -再右乘A 有 1ABC E BC A BCA E -=→=→=,故应选(D).其实,对于ABC E =先右乘1C -再左乘C ,有1ABC E AB C CAB E -=→=→=.三、(本题满分15分,每小题5分.) (1)【解析】这是1∞型未定式求极限.lim )lim (1x x x π++→→=+令1t =,则0x +→时0t -→,所以100lim(1lim(1)tx t t e +-→→+=+=, 所以0limlim (1lim x x x e →++→→+==.因为当0x →时,sin x x :,所以220002sin 2limlim lim 2x x x x x πππ+++→→→--⎝⎭⎝⎭===-,故0lim2lim x xx e eππ→+-→==.(2)【解析】先求方向n r 的方向余弦,再求,,u u ux y z ∂∂∂∂∂∂,最后按方向导数的计算公式 cos cos cos u u u u n x y zαβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂求出方向导数. 曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的法向量为{}{}{}(1,1,1)4,6,24,6,222,3,1Px y z x y z ±==±,在点(1,1,1)P 处指向外侧,取正号,并单位化得}}{}2,3,12,3,1cos ,cos ,cos .n αβγ===r 又P P P u x u y u z ⎧∂⎪===⎪∂⎪⎪∂⎪===⎨∂⎪⎪⎪∂===⎪∂⎪⎩, 所以方向导数cos cos cos u u u u n x y z αβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂117==. (3)【解析】由曲线22,0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而围成的旋转面方程是222x y z +=.于是,Ω是由旋转抛物面221()2z x y =+与平面4z =所围成.曲面与平面的交线是 228,4x y z +==.选用柱坐标变换,令cos ,sin ,x r y r z z θθ===,于是:02,04,0z r θπΩ≤≤≤≤≤≤因此 22()I x y z dV Ω=++⎰⎰⎰4220)dz d r z rdr πθ=+⎰⎰4240242r r r r z dz π=⎡⎛⎫⎢⎥=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰42025643z dz ππ==⎰.四、(本题满分6分)【解析】曲线sin ,([0,])y a x x π= ∈,则cos dy a xdx =,所以 3(1)(2)LI y dx x y dy =+++⎰30[1(sin )(2sin )cos ]a x x a x a x dx π=+++⋅⎰2331sin 2cos sin 22a a x ax x x dx π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎰233sin 2cos sin 22a axdx a x xdx xdx ππππ=+++⎰⎰⎰232(cos 1)cos 2sin sin 224a ax d x a xd x xd x ππππ=+-++⎰⎰⎰[][]2330001cos cos 2sin cos cos 234a a x x a x x x x ππππ⎡⎤=+-+++-⎢⎥⎣⎦3443a a π=+-. 对关于a 的函数3443I a a π=+-两边对a 求导数,其中0a >,并令0,I '=得2440I a '=-=.所以1a =, 且 0,010,1I a I a '<<<⎧⎨'><<+∞⎩.故1a =为函数344,(0)3I a a a π=+->的极小值点,也是最小值点.故所求的曲线为 sin ,([0,])y x x π= ∈.五、(本题满分8分.)【解析】按傅式级数公式,先求()f x 的傅式系数n a 与n b .因()f x 为偶函数,所以1()sin 0(1,2,3,)l n l n b f x xdx n l l π-== =⎰L , 012()cos ()cos l l n l n n a f x xdx f x xdx l l l l ππ-==⎰⎰11100022(2)cos 4cos sin x n xdx n xdx xd n x n ππππ=+=+⎰⎰⎰122022(cos 1)sin (1,2,3,)n n xdx n n n ππππ-=-= =⎰L ,1002(2)5a x dx =+=⎰.因为()2||f x x =+在区间(11)x -≤≤上满足狄利克雷收敛定理的条件,所以01()2||cos sin 2n n n a n n f x x a x b x l l ππ∞=⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭∑ 22152(cos 1)cos 2n n n x n πππ∞=-=+∑ 221541cos(21)(11)2(21)n n x x n ππ∞==-- -≤≤-∑. 令0x =,有221541(0)20cos 02(21)n f n π∞==+=--∑,所以,2211(21)8n n π∞==-∑. 又 222221111111111(21)(2)(21)4n n n n n n n n n ∞∞∞∞====⎡⎤=+=+⎢⎥--⎣⎦∑∑∑∑, 所以, 2213148n n π∞==∑,即 22116n n π∞==∑.六、(本题满分7分.)【解析】由定积分中值定理可知,对于123()f x dx ⎰,在区间2(,1)3上存在一点ξ使得12321()()(1)()33f x dx f f ξξ=-=⎰,即1233()()(0)f x dx f f ξ==⎰.由罗尔定理可知,在区间(0,1)内存在一点(01)c c ξ<<<,使得()0f c '=.七、(本题满分8分)【解析】设11223344x x x x ααααβ+++=,按分量写出,则有123423341234123412123(2)4335(8)5x x x x x x x x x a x x b x x x a x α+++=⎧⎪-+=⎪⎨++++=+⎪⎪++++=⎩.对方程组的增广矩阵作初等行变换:第一行分别乘以有()2-、()3-加到第三行和第四行上,再第二行乘以()1-、()2-加到第三行和第四行上,有111111111101121011212324301213518502252A a b a b a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪=→⎪ ⎪+++ ⎪⎪+-+⎝⎭⎝⎭M M M M M M M M1111101121001000010a b a ⎛⎫⎪- ⎪→ ⎪+ ⎪+⎝⎭M M M M ,所以,当1,0a b =-≠时,()1()r A r A +=,方程组无解.即是不存在1234x ,x ,x ,x 使得11223344x x x x ααααβ+++=成立,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合；当1a ≠-时,()() 4.r A r A ==方程组有唯一解21,,,0111Tb a b b a a a ++⎛⎫- ⎪+++⎝⎭,故β有唯一表达式,且1234210111b a b b a a a βαααα++=-+++⋅+++. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =M 的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n αααL 线表出,亦等同于12,,,n αααL 与12,,,,n b αααL 是等价向量组).设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则 (1) 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == (2) 有无穷多解 ⇔ ()().r A r A n =< (3) 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔ b 不能由A 的列向量12,,,n αααL 线表出.八、(本题满分6分)【解析】方法1：因为A 为n 阶正定阵,故存在正交矩阵Q ,使121T N Q AQ Q AQ λλλ-⎛⎫⎪⎪==Λ= ⎪ ⎪⎝⎭O , 其中0(1,2,)i i n λ>=L ,i λ是A 的特征值. 因此 ()TTTQ A E Q Q AQ Q Q E +=+=Λ+两端取行列式得 |||||||||()|||(1)T T iA E Q A E Q Q A E Q E λ+=+=+=Λ+=+∏,从而 ||1A E +>.方法2：设A 的n 个特征值是12n ,,,.λλλL 由于A 为n 阶正定阵,故特征值全大于0.由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端同时加上α,得()()1A E αλα+=+.按特征值定义知1λ+是A E +的特征值.因为A E +的特征值是12111n ,,,.λλλ+++L 它们全大于1,根据i A λ=∏,知||(1)1i A E λ+=+>∏.【相关知识点】阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.九、(本题满分8分)【解析】曲线()y y x =在点(,)P x y 处的法线方程为1()Y y X x y-=--' (当0y '≠时), 它与x 轴的交点是(,0)Q x yy '+,从而122||(1)PQ y y '==+.当0y '=时,有(,0),||Q x PQ y =,上式仍然成立. 因此,根据题意得微分方程3122221(1)(1)y y y y ''=''++,即21yy y '''=+.这是可降阶的高阶微分方程,且当1x =时,1,0y y '==.令()y P y '=,则dP y Pdy ''=,二阶方程降为一阶方程21dP yP P dy =+,即21PdP dyP y=+.即y =C 为常数.因为当1x =时,1,0y P y '===,所以1C =,即y ==所以y '=分离变量得dx =±.令sec y t =,并积分,则上式左端变为sec tan ln sec tan tan t tdtt t C t==++⎰ln sec ln t C y C =+=+.因曲线在上半平面,所以0y +>,即(ln y C x =±.故 x y Ce ±=.当1x =时,1,y =当x 前取+时,1C e -=,1x y e -=,111x x y e e--====；当x 前取-时,C e =,1x y e -+=,111x xy e e---====；所以 (1)(1)1()2x x y e e ---=+.十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)(1)【解析】一般说来,若计算正态分布随机变量在某一范围内取值的概率,应该已知分布的两个参数μ和2σ,否则应先根据题设条件求出μ,2σ,再计算有关事件的概率,本题可从2()0.8σΦ=,通过查()x Φ表求出σ,但是注意到所求概率(0)P x <即是2()σ-Φ与2()σΦ之间的关系,可以直接由2()σΦ的值计算出2()σ-Φ.因为2(2,)X N σ:,所以可标准化得 2(0,1)X N σ-:,由标准正态分布函数概率的计算公式,有4222(24)()()P x σσ--<<=Φ-Φ,2()(24)(0)0.8P x σΦ=<<+Φ=.由正态分布函数的对称性可得到 0222(0)()()1()0.2P x σσσ-<=Φ=Φ-=-Φ=.(2)【解析】设事件A =“掷的点和原点的连线与x 轴的夹角小于4π”, 这是一个几何型概率的计算问题.由几何概率公式()D S P A S =半圆,而 212S a π=半圆, 22141124D OAC S S S a a π=+=+V 圆, 故 222111124()122a aP A a πππ+==+.十一、(本题满分6分)【解析】二维连续型随机变量的概率等于对应区域的二重积分,所以有{}{}2()2(,)x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=⎰⎰.当0z ≤时,()0F z =.因为2x y z +=在直线20x y +=的下方 与0,0x y >>(即第一象限)没有公共区域,所以()0F z =.当0z >时,2x y z +=在直线20x y +=的上方与第一象限相交成一个三角形区域D ,此即为积分区间.(2)200()2()1z x zzx y x z z z F z dx edy e e dx e ze --+----==-=--⎰⎰⎰.所以2Z X Y =+的分布函数 0, 0,()1, 0.zzz F z e ze z --<⎧=⎨--≥⎩0=。
1991年全国统一高考数学试卷(理科)
1991年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）1．（3分）已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（ ） A ． ﹣B ． ﹣C ．D ．2．（3分）2、焦点在（﹣1，0），顶点在（1，0）的抛物线方程是（ ） A ． y 2=8（x+1） B ． y 2=﹣8（x+1） C ． y 2=8（x ﹣1） D ． y 2=﹣8（x ﹣1） 3．（3分）（2012•北京模拟）函数y=cos 4x ﹣sin 4x 的最小正周期是（ ） A ． B ． π C ． 2π D ． 4π4．（3分）4、如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（ ） A ． 12对 B ． 24对 C ． 36对 D ． 48对5．（3分）（2012•广东模拟）函数y=sin （2x+）的图象的一条对称轴的方程是（ ）A ． x=﹣B ． x=﹣C ． x=D ． x=6．（3分）6、如果三棱锥S ﹣ABC 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在△ABC 内，那么O 是△ABC 的（ ） A ． 垂心 B ． 重心 C ． 外心 D ． 内心 7．（3分）已知{a n }是等比数列，且a n ＞0，a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25，那么a 3+a 5的值等于（ ） A ． 5 B ． 10 C ． 15 D ． 208．（3分）8、如果圆锥曲线的极坐标方程为ρ=，那么它的焦点的极坐标为（ ）A ． （0，0），（6，π）B ． （﹣3，0），（3，0）C ． （0，0），（3，0）D ． （0，0），（6，0） 9．（3分）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（ ） A ． 140种 B ． 84种 C ． 70种 D ． 35种 10．（3分）如果AC ＜0，且BC ＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（ ） A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 11．（3分）11、设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（ ） A ． 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B ． 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C ．丙是甲的充要条件D ． 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件12．（3分）[n （1﹣）（1﹣）（1﹣） (1)）]等于（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3 13．（3分）如果奇函数f （x ）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f （x ）在区间[﹣7，﹣3]上是（ ） A ． 增函数且最小值为﹣5 B ． 增函数且最大值为﹣5 C ． 减函数且最小值为﹣5 D ． 减函数且最大值为﹣514．（3分）圆x 2+2x+y 2+4y ﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 15．（3分）15、设全集为R ，f （x ）=sinx ，g （x ）=cosx ，M={x|f （x ）≠0}，N={x|g （x ）≠0}，那么集合{x|f （x ）g （x ）=0}等于（ ） A ． B ． C ． D ．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）16．（3分）arctg +arctg 的值是 _________ ．17．（3分）不等式的解集是_________ ． 18．（3分）已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是45°，那么这个正三棱台的体积等于 _________ ． 19．（3分）（ax+1）7的展开式中，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项．若实数a ＞1，那么a= _________ ． 20．（3分）空间四个点P 、A 、B 、C 在同一球面上，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA=PB=PC=a ，那么这个球面的面积是 _________ ．三、解答题（共6小题，满分60分） 21．（8分）求函数y=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的最小值，并写出使函数y 取最小值的x 的集合．22．（8分）已知复数z=1+i ，求复数的模和辐角的主值．23．（10分）已知ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且GC=2．求点B 到平面EFG 的距离．24．（10分）根据函数单调性的定义，证明函数f （x）=﹣x3+1在（﹣∞，+∞）上是减函数．25．（12分）已知n为自然数，实数a＞1，解关于x的不等式．26．（12分）双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点．若OP⊥OQ，|PQ|=4，求双曲线的方程．1991年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）1．（3分）已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（）A．﹣B．﹣C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．分析：由角的正弦值和角所在的象限，求出角的余弦值，然后，正弦值除以余弦值得正切值．解答：解：∵sinα=且α是第二象限的角，∴，∴，故选A点评：掌握同角三角函数的基本关系式，并会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．本题是给值求值．2．（3分）2、焦点在（﹣1，0），顶点在（1，0）的抛物线方程是（）A．y2=8（x+1）B．y2=﹣8（x+1）C．y2=8（x﹣1）D．y2=﹣8（x﹣1）考点：抛物线的标准方程．专题：分析法．分析：先根据定点坐标代入即可排除A，B，再由抛物线的开口方向可确定答案．解答：解：根据题意顶点在（1，0），可知P=4，可排除A，B又因为开口方向是向x轴的负半轴，排除C．故选D．点评：本题主要考查抛物线的标准方程．属基础题．3．（3分）（2012•北京模拟）函数y=cos4x﹣sin4x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π考点：同角三角函数基本关系的运用．分析：观察题目条件，思路是降幂，先用平方差公式，再逆用二倍角公式，式子变为能判断周期等性质的形式，即y=Asin（ωx+φ）的形式．解答：解：∵y=cos4x﹣sin4x=cos2x﹣sin2x=cos2x，∴T=π，故选B点评：对于和式的整理，基本思路是降次、消项和逆用公式，本题就是逆用余弦的二倍角公式．另外还要注意切割化弦，变量代换和角度归一等方法．4．（3分）4、如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（）A．12对B．24对C．36对D．48对考点：空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征．分析：由异面直线定义入手，分类计数即可．解答：解：易知六棱锥的六条侧棱都交于一点，底面六条边在同一平面内，则六棱锥的每条侧棱和底面不与其相交的四条边都是异面直线，所以六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有6×4=24对．故选B．点评：本题考查异面直线定义，同时考查分类计数原理及空间想象能力．5．（3分）（2012•广东模拟）函数y=sin（2x+）的图象的一条对称轴的方程是（）A．x=﹣B．x=﹣C．x=D．x=考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．分析：根据正弦函数一定在对称轴上去最值，然后将选项中的值代入进行验证即可．解答：解：因为当x=﹣时，sin[2×（﹣）+]=sin（）=﹣1故选A．点评：本题主要考查正弦函数的对称性，即正余弦函数一定在对称轴上取得最值．6．（3分）6、如果三棱锥S﹣ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的（）A．垂心B．重心C．外心D．内心考点：棱锥的结构特征．专题：证明题；综合题．分析：顶点在底面上的射影，以及二面角，构成的三个三角形是全等三角形，推出垂足到三边距离相等，可得结果．解答：解：侧面与底面所成的二面角都相等，并且顶点在底面的射影在底面三角形内则底面三条高的垂足、三棱锥的顶点和顶点在底面的射影这三者构成的3个三角形是全等三角形，所以顶点在底面的射影到底面三边的距离相等，所以是内心．故选D．点评：本题考查棱锥的结构特征，考查逻辑思维能力，是中档题．7．（3分）已知{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于（）A．5B．10 C．15 D．20考点：等比数列．分析：先由等比数列的性质求出a2•a4=a32，a4•a6=a52，再将a2a4+2a3a5+a4a6=25转化为（a3+a5）2=25求解．解答：解：由等比数列的性质得：a2•a4=a32，a4•a6=a52∴a2a4+2a3a5+a4a6=25可化为（a3+a5）2=25又∵a n＞0∴a3+a5=5故选A点评：本题主要考查等比数列性质和解方程．8．（3分）8、如果圆锥曲线的极坐标方程为ρ=，那么它的焦点的极坐标为（ ）A ． （0，0），（6，π）B ． （﹣3，0），（3，0）C ． （0，0），（3，0）D ． （0，0），（6，0）考点： 简单曲线的极坐标方程． 专题： 计算题． 分析： 利用圆锥曲线统一的极坐标方程，求出圆锥曲线的焦距，从而确定焦点的极坐标．解答：解：将原极坐标方程为ρ=，化成：极坐标方程为ρ=，对照圆锥曲线统一的极坐标方程得：e=，a=5，b=4，c=3．∴它的焦点的极坐标为（0，0），（6，0）．故选D ．点评： 本题主要考查了圆锥曲线的极坐标方程，属于基础题．9．（3分）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（ ） A ． 140种 B ． 84种 C ． 70种 D ． 35种考点： 分步乘法计数原理． 分析： 本题既有分类计数原理也有分步计数原理． 解答： 解：甲型1台与乙型电视机2台共有4•C 52=40；甲型2台与乙型电视机1台共有C 42•5=30；不同的取法共有70种 故选C点评： 注意分类计数原理和分步计数原理都存在时，一般先分类后分步． 10．（3分）如果AC ＜0，且BC ＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（ ） A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限考点： 直线的一般式方程． 专题： 计算题． 分析： 先把Ax+By+C=0化为y=﹣，再由AC ＜0，BC ＜0得到﹣，﹣，数形结合即可获取答案解答：解：∵直线Ax+By+C=0可化为，又AC ＜0，BC ＜0 ∴AB ＞0，∴，∴直线过一、二、四象限，不过第三象限． 故答案选C ．点评： 本题考查直线的一般式方程与直线的斜截式的互化，以及学生数形结合的能力，属容易题11．（3分）11、设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（ ） A ． 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B ． 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C ． 丙是甲的充要条件 D ． 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 分析： 搞清楚甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，结合选项作答． 解答： 解：甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，即甲⇐乙⇐丙并且乙不能推出丙，结合选项甲⇐丙，而且甲推不出丙，所以丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件． 故选A点评： 甲⇐乙⇐丙并且乙不能推出丙，这种方法是解决三个以上命题好策略．12．（3分）[n （1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）]等于（ ）A ． 0B ． 1C ．2 D ． 3考点： 极限及其运算． 专题： 计算题．分析：通过观察n （1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣），先化简括号中的式子，再根据极限的定义求极限．解答：解：[n （1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）]=[n××××…×]==2．故选C ．点评：本题主要考查极限及其运算，较为简单．13．（3分）如果奇函数f （x ）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f （x ）在区间[﹣7，﹣3]上是（ ） A ． 增函数且最小值为﹣5 B ． 增函数且最大值为﹣5 C ． 减函数且最小值为﹣5 D ． 减函数且最大值为﹣5考点： 奇函数． 专题： 压轴题． 分析： 由奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致及奇函数定义可选出正确答案． 解答： 解：因为奇函数f （x ）在区间[3，7]上是增函数，所以f（x）在区间[﹣7，﹣3]上也是增函数，且奇函数f（x）在区间[3，7]上有f（3）min=5，则f（x）在区间[﹣7，﹣3]上有f（﹣3）max=﹣f（3）=﹣5，故选B．点评：本题考查奇函数的定义及在关于原点对称的区间上单调性的关系．14．（3分）圆x2+2x+y2+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：直线与圆的位置关系．专题：压轴题．分析：先求圆心和半径，再看圆心到直线的距离，和比较，可得结果．解答：解：圆x2+2x+y2+4y﹣3=0的圆心（﹣1，﹣2），半径是2，圆心到直线x+y+1=0的距离是，故圆上的点到直线x+y+1=0的距离为的共有3个．故答案为：3．点评：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查数形结合的思想，是中档题．15．（3分）15、设全集为R，f （x）=sinx，g （x）=cosx，M={x|f （x）≠0}，N={x|g （x）≠0}，那么集合{x|f （x）g （x）=0}等于（）A．B．C．D．考点：交、并、补集的混合运算．专题：压轴题．分析：由f （x）g （x）=0可知f （x）=0或g （x）=0，所以{x|f （x）g （x）=0}={x|f （x）=0}∪{x|g （x）=0}．而{x|f （x）=0}与M互为补集关系，则可选出答案．注意区分“或”与“且”．解答：解：{x|f （x）g （x）=0}={x|f （x）=0或g （x）=0}={x|f （x）=0}∪{x|g （x）=0}，故选D点评：本题考查集合的基本运算，较简单．注意区分“或”与“且”的含义．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）16．（3分）arctg+arctg的值是．考点：反三角函数的运用．专题：计算题．分析：设出表达式为α，然后两边取正切，利用两角和的正切公式求解即可．解答：解：设arctg+arctg=α所以tanα=tan（arctg+arctg）==所以α=故答案为．点评：本题考查反三角函数的运用，两角和的正切公式，考查计算能力，是基础题．17．（3分）不等式的解集是{x|﹣2＜x＜1}．考点：一元二次不等式的解法；指数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：把不等式右边的“1”变为60，然后根据指数函数的增减性得到关于x的一元二次不等式，求出解集即可．解答：解：=60，因为底数6＞1，所以指数函数为增函数，则x2+x﹣2＜0即（x﹣1）（x+2）＜0，所以或，解得﹣2＜x＜1，所以不等式的解集为{x|﹣2＜x＜1}故答案为：{x|﹣2＜x＜1}点评：本题以指数函数为平台考查学生求一元二次不等式的解集，是一道基础题．本题的突破点是将“1”变为60．18．（3分）已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是45°，那么这个正三棱台的体积等于．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；综合题．分析：作出三棱台的高，上下底面顶点到底面中心的距离的差，以及侧棱的长，满足勾股定理，求出三棱台的高，利用公式求其体积．解答：解：由于正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，所以上底面顶点到上底面中心的距离是：下底面顶点到下底面中心的距离是：侧棱与底面所成的角是45°，所以正三棱台的高是：正三棱台的体积是：=故答案为：点评：本题考查棱台的体积，考查学生空间想象能力，计算能力，是基础题．19．（3分）（ax+1）7的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项．若实数a＞1，那么a=1+．考点：基本不等式；二项式定理．专题：计算题；压轴题．分析：先写出二项展开式的通项公式，利用通项公式分别写出x3、x2、x4的系数，再用等差中项的概念列出方程，解方程即可．解答：解：T k+1=C7K（ax）7﹣k=C7k a7﹣k x7﹣k，故x3、x2、x4的系数分别为C74a3，C75a2和C73a4，由题意2C74a3=C75a2+C73a4解得：a=1+故答案为：1+点评：本题考查二项式定理的通项公式的应用、二项式系数问题、等差中项的概念及组合数的运算等知识，属基本题型的考查．20．（3分）空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球面的面积是3πa2．考点：球内接多面体．专题：计算题；压轴题．分析：PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为棱长为a的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，求出对角线长，即可求出球的表面积．解答：解：空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，则PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为棱长为a的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，长为，所以这个球面的面积．故答案为：3πa2点评：本题是基础题，考查球的内接体知识，球的表面积的求法，考查空间想象能力，计算能力，分析出，正方体的对角线就是球的直径是解好本题的关键所在．三、解答题（共6小题，满分60分）21．（8分）求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并写出使函数y取最小值的x的集合．考点：三角函数的最值．专题：计算题．分析：把函数关系式利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦、余弦函数公式化简后，提取然后根据两角和的正弦函数公式的逆运算及特殊角的三角函数值把y化为一个角的三角函数，利用正弦函数的图象得到y的最小值及y取最小值时x的范围．解答：解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=（sin2x+cos2x）+2sinxcosx+2cos2x=1+sin2x+（1+cos2x）=2+sin2x+cos2x=2+sin（2x+）．当sin（2x+）=﹣1时，y取得最小值2﹣当且仅当2x+=2kπ﹣即x=kπ﹣π时取最小，取最小值的x的集合为{x|x=kπ﹣π，k∈Z}．点评：考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系、二倍角的余弦函数公式及两角和的正弦函数公式化简求值，会根据正弦函数的图象得到正弦函数的最值及取最值时角度的范围．22．（8分）已知复数z=1+i，求复数的模和辐角的主值．考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则化简复数，据复数模的公式求出复数模，判断复数所在象限及辐角的正切值，求出辐角的主值．解答：解：===1﹣i．1﹣i的模r==．因为1﹣i对应的点在第四象限且辐角的正切tanθ=﹣1，所以辐角的主值θ=π．点评：本题考查复数的运算法则，复数的模及辐角主值的求法．23．（10分）已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2．求点B到平面EFG的距离．考点：点、线、面间的距离计算．专题：计算题．分析：求点B到面GEF的距离，就是求C到平面EFG距离的，直接作垂线求解即可．解答：解：如图，连接EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分别交AC于H、O．因为ABCD是正方形，E、F分别为AB和AD的中点，故EF∥BD，H为AO的中点．BD不在平面EFG上．否则，平面EFG和平面ABCD重合，从而点G在平面的ABCD上，与题设矛盾．由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG，所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离．∵BD⊥AC，∴EF⊥HC．∵GC⊥平面ABCD，∴EF⊥GC，∴EF⊥平面HCG．∴平面EFG⊥平面HCG，HG是这两个垂直平面的交线．作OK⊥HG交HG于点K，由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG，所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离．∵正方形ABCD的边长为4，GC=2，∴AC=4，HO=，HC=3．∴在Rt△HCG中，HG=．由于Rt△HKO和Rt△HCG有一个锐角是公共的，故Rt△HKO∽△HCG．∴OK=．即点B到平面EFG的距离为．点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、点到平面的距离等有关知识，考查学生的空间想象能力和思维能力，属于中档题．解决此类问题应该注意从三维空间向二维平面的转化，从而找到解题的捷径．24．（10分）根据函数单调性的定义，证明函数f （x）=﹣x3+1在（﹣∞，+∞）上是减函数．考点：函数单调性的判断与证明．专题：证明题．分析：利用原始的定义进行证明，在（﹣∞，+∞）上任取x1，x2且x1＜x2，只要证f（x2）＜f（x1）就可以可，把x1和x2分别代入函数f （x）=﹣x3+1进行证明．解答：证明：证法一：在（﹣∞，+∞）上任取x1，x2且x1＜x2则f（x2）﹣f（x1）=x13﹣x23=（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22）∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0．当x1x2＜0时，有x12+x1x2+x22=（x1+x2）2﹣x1x2＞0；当x1x2≥0时，有x12+x1x2+x22＞0；∴f（x2）﹣f（x1）=（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22）＜0．即f（x2）＜f（x1）所以，函数f（x）=﹣x3+1在（﹣∞，+∞）上是减函数．证法二：在（﹣∞，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）=x13﹣x23=（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22）．∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0．∵x1，x2不同时为零，∴x12+x22＞0．又∵x12+x22＞（x12+x22）≥|x1x2|≥﹣x1x2∴x12+x1x2+x22＞0，∴f（x2）﹣f（x1）=（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22）＜0．即f（x2）＜f（x1）．所以，函数f（x）=﹣x3+1在（﹣∞，+∞）上是减函数．点评：此题主要考查函数的单调性，解题的关键是利用原始定义进行证明，是一道基础题．25．（12分）已知n为自然数，实数a＞1，解关于x的不等式．考点：对数的运算性质；换底公式的应用；其他不等式的解法．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：利用对数换底公式，原不等式左端化简，对n是偶数，奇数分类解不等式，即可．解答：解：利用对数换底公式，原不等式左端化为log a x﹣4•+12•++n（﹣2）n﹣1•=[1﹣2+4++（﹣2）n﹣1]log a x=log a x故原不等式可化为log a x＞log a（x2﹣a）．①当n为奇数时，＞0，不等式①等价于log a x＞log a（x2﹣a）．②因为a＞1，②式等价于因为＜0，＞=，所以，不等式②的解集为{x|＜x＜}．当n为偶数时，＜0，不等式①等价于log a x＞log a（x2﹣a）．③因为a＞1，③式等价于或因为，所以，不等式③的解集为{x|x＞}．综合得：当n为奇数时，原不等式的解集是{x|}；当n为偶数时，原不等式的解集是{x|}点评：本题考查换底公式，对数的运算性质，对数不等式的解法，考查分类讨论思想，是中档题．26．（12分）双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点．若OP⊥OQ，|PQ|=4，求双曲线的方程．考点：双曲线的标准方程．专题：计算题；压轴题．分析：先由题意设出双曲线的标准方程及直线的点斜式方程，然后联立方程组消去y得x的方程，再根据二次项系数是否为零进行讨论．若5b2﹣3a2=0，可推出矛盾；若5b2﹣3a2≠0，设其两根为x1，x2，则由根与系数的关系可利用a、b、c表示出x1+x2及x1x2，进一步由OP⊥OQ即斜率乘积为﹣1得a、b、c的等式，又|PQ|=4得a、b、c的另一等式，且c2=a2+b2，最后解a、b、c的方程组即可．解答：解：设双曲线的方程为=1．依题意知，点P，Q的坐标满足方程组整理得（5b2﹣3a2）x2+6a2cx﹣（3a2c2+5a2b2）=0 ①．若5b2﹣3a2=0，则=，即直线与双曲线的两条渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点同，与题设矛盾，所以5b2﹣3a2≠0．设方程①的两个根为x1，x2，则有②，③，由于P、Q在直线y=（x﹣c）上，可记为P（x1，（x1﹣c）），Q（x2，（x2﹣c））．由OP⊥OQ得•=﹣1，整理得3c（x1+x2）﹣8x1x2﹣3c2=0 ④．将②，③式及c2=a2+b2代入④式，并整理得3a4+8a2b2﹣3b4=0，即（a2+3b2）（3a2﹣b2）=0．因为a2+3b2≠0，解得b2=3a2，所以c==2a．由|PQ|=4，得（x2﹣x1）2+[（x2﹣c）﹣（x1﹣c）]2=42．整理得（x1+x2）2﹣4x1x2﹣10=0 ⑤．将②，③式及b2=3a2，c=2a代入⑤式，解得a2=1．将a2=1代入b2=3a2得b2=3．故所求双曲线方程为x2﹣=1．点评：本题考查双曲线的标准方程及直线与圆锥曲线的位置关系，综合性强，字母运算能力是一大考验．。
(详细解析)1991年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(文)
1991年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）考生注意：这份试卷共三道大题（26个小题）．满分120分．一、选择题：本大题共15小题；每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后括号内1．已知4sin 5α=，并且是第二象限的角，那么tan α的值等于 A ．34- B ．43- C ．43 D ．34【答案】A【解析】由题设3cos 5α=-，所以4tan 3α=-．2．焦点在(1,0)-，顶点在(1,0)的抛物线方程是A ．)1(82+=x y B ．)1(82+-=x y C ．)1(82-=x y D ．)1(82--=x y 【答案】D【解析】抛物线开口向左，且112p=+，所以4p =．3．函数x x y 44sin cos -=的最小正周期是 A ．2πB ．πC ．π2D ．π4 【答案】B【解析】44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos 2y x x x x x x x x x =-=+-=-=，所以最小正周期是π．4．(2,5)P 关于直线0x y +=的对称点的坐标是A ．(5,2)PB ．(2,5)P -C ．(5,2)P --D ．(2,5)P -- 【答案】C【解析】设(2,5)P 的对称点(,)P x y '，则250,2251,2x y y x ++⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩解得5,2,x y =-⎧⎨=-⎩．5．如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有 A ．12对 B ．24对 C ．36对 D ．48对 【答案】B【解析】每一条侧棱与不共点的其余底面4条边均异面，所以共有24对．6．函数5sin(2)2y x π=+的图象的一条对称轴的方程是 A ．2π-=x B ．4π-=x C ．8π=x D ．45π=x【答案】A【解析】对称轴的方程满足52()22x k k Z πππ+=+∈，则()2x k k Z ππ=⋅-∈，显然1k =时2π-=x ．7．如果三棱锥S ABC -的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在ABC ∆内，那么O 是ABC ∆的A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心 【答案】D【解析】由题设可知点O 到ABC ∆三边的距离相等，所以O 是ABC ∆的内接圆的圆心．8．已知}{n a 是等比数列，且252,0645342=++>a a a a a a a n ，那么53a a + 的值等于 A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 【答案】A【解析】设公比为q ，则由题设可得22224442225a a a q q ++⋅=，即2241()25a q q+=，则41()5a q q+=，即355a a +=．9．已知函数651x y x +=-（x R ∈，且1x ≠），那么它的反函数为 A ．651x y x +=-（x R ∈，且1x ≠） B ．56x y x +=-（x R ∈，且6x ≠）C ．165x y x -=+（x R ∈，且56x ≠-）D ．65x y x -=+（x R ∈，且5x ≠-）【答案】B【解析】65516x y y x x y ++=⇒=--，所以所求反函数为56x y x +=-（x R ∈，且6x ≠），B 正确．10．从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有 A ．140种 B ．84种 C ．70种 D ．35种 【答案】C【解析】直接法：1221454570C C C C +=． 间接法：33374570C C C --=．11．设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件．那么 A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C ．丙是甲的充要条件D ．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 【答案】A【解析】由题意，乙⇒甲，丙⇒乙，但乙⇒丙，从而可得甲⇒丙，丙⇒甲．12． )]211()511)(411)(311([lim +----∞→n n n 的值等于 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】11112341lim[(1)(1)(1)(1)]lim[]34523452n n n n n n n →∞→∞+----=⋅⋅⋅⋅⋅++ 2lim22n nn →∞==+．13．如果0AC <且0BC <，那么直线0Ax By C ++=不通过．．．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】A C y x B B =--，由于0AC <且0BC <，所以0,0A CB B->->，故D 正确．14．如果奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数且最小值为5，那么()f x 在区间[7,3]--上是 A ．增函数且最小值为5- B ．增函数且最大值为5- C ．减函数且最小值为5- D ．减函数且最大值为5-【答案】B【解析】若[7,3]x ∈--，则[3,7]x -∈，()()f x f x -=-是增函数的最大值为(3)f -=(3)5f -=-．15．圆222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=的距离为2的点共有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C【解析】圆的标准方程为222(1)(2)x y +++=，圆心(1,2)--到直线10x y ++=的距离为2，故与直线10x y ++=平行的直径上和与直线平行的切线上满足条件的点分别有2个和1个．二、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．16．双曲线以直线1x =-和2y =为对称轴，如果它的一个焦点在y 轴上，那么它的另一焦点的坐标是 ． 【答案】(2,2)-【解析】根据题意一个焦点落在2y =上，为(0,2)，则另一焦点满足012m+=-，得2m =-，所以另一焦点的坐标是(2,2)-．17．已知sin x =sin 2()4x π-= ．【答案】2【解析】2sin 2()sin(2)cos 22sin 1242x x x x ππ-=-=-=-=-．18．不等式2lg(22)1x x ++<的解集是 ． 【答案】{}42x x -<<|【解析】由题设得21(1)110x ≤++<，即2280x x +-<，解得42x -<<．19．在7(1)ax +的展开式中，3x 的系数是2x 的系数与4x 的系数的等差中项．若实数1>a ，那么a = ．【答案】1015+【解析】由题设可得234,,x x x 的系数分别为524334777,,C a C a C a ⋅⋅⋅，则4352772C a C a ⋅=⋅+347C a ⋅，化简得251030a a -+=，由于1>a ，所以1015a =+．20．在长方体1111ABCD A B C D -中，已知顶点A 上三条棱长分别是23,2,．如果对角线1AC 与过点A 的相邻三个面所成的角分别是,,αβγ，那么222cos cos cos αβγ++=． 【答案】2【解析】∵11B C ⊥面11ABB A ，∴1AC 与面11ABB A 所成的角为11C AB α∠=；同理1AC 与面11ADD A 所成的角为11C AD β∠=；1AC 与面ABCD 所成的角为1C AC γ∠=．∵不妨设12,2,3AB AD AA ===，∴1113,6,7,5AC AC AB AD ====， ∴11111756cos ,cos ,cos 333AB AD AC AC AC AC αβγ======．所以222cos cos cos 2αβγ++=．三、解答题：本大题共6小题；共60分．21．（本小题满分8分）求函数x x x x y 22cos 3cos sin 2sin ++=的最大值．【解】本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质．满分8分．22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++222(sin cos )2sin cos 2cos x x x x x =+++ ——1分1sin 2(1cos 2)x x =+++ ——3分2sin 2cos 222sin(2)4x x x π=++=++． ——5分当sin(2)14x π+=时y 取得最大值，这时最大值等于22+． ——6分22．（本小题满分8分）已知复数i z +=1，求复数1632++-z z z 的模和辐角的主值．【解】本小题考查复数基本概念和运算能力．满分8分．2236(1)3(1)631112z z i i iz i i-++-++-==++++ ——2分1i =-． ——4分1i -的模221(1)2r =+-=．因为1i -对应的点在第四象限且辐角的正切tan 1θ=-， 所以辐角的主值74θπ=． ——8分23．（本小题满分10分）如图，在三棱台111A B C ABC -中，已知1AA ⊥底面ABC ，11111AA A B B C a ===，1B B BC ⊥，且1B B 和底面ABC 所成的角45︒，求这个棱台的体积．【解】本小题考查直线与直线，直线与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力．满分10分．因为1AA ⊥底面ABC ，所以根据线面垂线的 定义有1AA BC ⊥．又1BC BB ⊥，且棱1AA 和1BB 的延长线交于一点，所以利用直线和平面垂直的判定定理可以推出BC ⊥侧面11A ABB ， 从而根据线面垂线的定义又可得出BC AB ⊥． ∴ABC ∆是直角三角形，90ABC ∠=︒．并且1ABB ∠就是1BB 和底面ABC 所成的角，145ABB ∠=︒． ——3分 作1B D AB ⊥交AB 于D ，则11//B D A A ，故1B D ⊥底面ABC ． ∵1Rt B DB ∆中145DBB ∠=︒， ∴ 11DB DB AA a ===，∴2AB a =． ——6分 由于棱台的两个底面相似，故111Rt ABC Rt A B C ∆≅∆．∵1111,2B C A B a AB a ===，∴2BC a =．∴21111122a S A B B C =⋅=上，2122S AB BC a =⋅=下． ——8分11()3V A A S S S S =⋅⋅+⋅+下下棱台上上2222317(22)3226a a a a a a =⋅+⨯+=． ——10分24．（本小题满分10分）设{}n a 是等差数列，1()2n an b =．已知123123211,88b b b b b b ++==．求等差数列的通项n a ． 【解】本小题考查等差数列，等比数列的概念及运用方程（组）解决问题的能力．满分10分．设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1)n a a n d =+-．∴()111()2a n dn b +-=．1112222132111()()()222a a d a d b b b ++===． 由12318b b b =，得3218b =，解得212b =． ——3分代入已知条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=.82181321321b b b b b b ，整理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=.817413131b b b b ，解这个方程组得1312,8b b ==或131,28b b ==． ——6分 ∴11,2a d =-=或13,2a d ==-． ——8分 所以，当11,2a d =-=时1(1)23n a a n d n =+-=-．当13,2a d ==-时1(1)52n a a n d n =+-=-． ——10分25．（本小题满分12分）设0,1a a >≠，解关于x 的不等式42221()xx a a a->． 【解】本小题考查指数函数性质、解不等式及综合分析能力．满分12分． 解法一：原不等式可写成4222x x a aa-->． ① ——1分根据指数函数性质，分为两种情形讨论：（Ⅰ）当01a <<时，由①式得42220x x a -+<， ② ——3分由于01a <<时，判别式2440a ∆=->，所以②式等价于2211x x ⎧>⎪⎨<⎪⎩——5分解③式得x <或x >解④式得x << ——7分 所以，01a <<时，原不等式的解集为{{1x x x x <<-<<||．——8分（Ⅱ）当1a >时，由①式得42220x x a -+>， ⑤ ——9分由于1a >，判别式0∆<，故⑤式对任意实数x 成立，即得原不等式的解集为{}x x -∞<<+∞|． ——12分综合得当01a <<时，原不等式的解集为{{1x x x x <<-<<||；当1a >时，原不等式的解集为{}x x -∞<<+∞|． 解法二：原不等式可写成2242a x x a a-->． ① ——1分（Ⅰ）当01a <<时，由①式得42220x x a -+<， ②——3分分解因式得22(110x x --<． ③即2210,10;x x ⎧-+>⎪⎨--<⎪⎩ 或2210,10.x x ⎧-+⎪⎨-->⎪⎩——5分解由④、⑤组成的不等式组得x<<x <<．——7分 由⑥、⑦组成的不等式组解集为空集；所以，01a <<时，原不等式的解集为{{1x x x x <<-<<||；——8分 （Ⅱ）当1a >时，由①式得42220x x a -+>， ⑧ ——9分配方得222(1)10x a -+->， ⑨对任意实数x ，不等式⑨都成立，即1a >时，原不等式的解集为{}x x -∞<<+∞|．——12分综合得当01a <<时，原不等式的解集为{{1x x x x <<-<<||；当1a >时，原不等式的解集为{}x x -∞<<+∞|．26．（本小题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线1y x =+与该椭圆相交于P 和Q，且,OP OQ PQ ⊥=．求椭圆的方程． 【解】本小题考查椭圆的性质、两点的距离公式、两条直线垂直条件、二次方程根与系数的关系及分析问题的能力．满分12分．解法一：设所求椭圆方程为22221x y a b+=．依题意知，点,P Q 的坐标满足方程组22221,1.x y a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩将②式代入①式，整理得222222()2(1)0a b x a x a b +++-=，③ ——2分 设方程③的两个根分别为12,x x ，那么直线1y x =+与椭圆的交点为1122(,1),(,1)P x x Q x x ++． ——3分由题设,OP OQ PQ ⊥=，可得[]12122222121111()(1)(1)(.2x x x x x x x x ++⎧⋅=-⎪⎪⎨⎪-++-+=⎪⎩，整理得()()12122121221041650.x x x x x x x x +++=⎧⎪⎨+--=⎪⎩，——6分 解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=；，23412121x x x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=.21412121x x x x ，根据根与系数的关系，由③式得（Ⅰ）2222222232(1)14a a b a b a b ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，；或（Ⅱ）2222222212(1)1.4a a b a b a b ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=-⎪+⎩， ——10分资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除----完整版学习资料分享---- 解方程组（Ⅰ），（Ⅱ），得⎪⎩⎪⎨⎧==；，32222b a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.23222b a ， 故所求椭圆的方程为132222=+y x ，或.123222=+y x ——12分 解法二：同解法一得222222()2(1)0a b x a x a b +++-=， ③ ——2分解方程③得 22222222222111b a b a ab a x b a b a ab a x +-+--=+-++-=，． ④ ——4分 则直线1y x =+与椭圆的交点为1122(,1),(,1)P x x Q x x ++．由题设OP OQ ⊥，得1212111x x x x ++⋅=-． ⑤ 将④式代入⑤式，整理得22222a b a b +=． ⑥由PQ =，得[]2222121()(1)(1)x x x x -++-+=，即2215()4x x -=．⑦ 将④式代入⑦式，整理得22222224(1)5()4a b a b a b +-=+． ⑧ 将⑥式、⑧式联立，整理得2222834.3a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解此方程得⎪⎩⎪⎨⎧==；，32222b a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.23222b a ， 故所求椭圆的方程为132222=+y x ，或.123222=+y x ——12分。
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题和答案解析
d b c a
0 ， B 1
1 2 0 2 5 0 1 1 易见 A 0 0 3 1 0 0 3
2
0 0 2 3 1 3
二、选择题(本题共 5 个小题，每小题 3 分，满分 15 分.) (1)曲线 y
x 1 y 2 z 3 1 2
即
0 1
1 0 ， 1
x 3y z 2 0
1 2
(4)已知当 x 0 时， (1 ax ) 3 1 与 cos x 1 是等价无穷小，则常数 a = _______. 【答案】
3 2
1
【解析】因为当 x 0 时， sin x x,(1 x) n 1
I1 xydxdy D 令 I 2 cos x sin ydxdy D 由于 xy 对 x 及对 y 都是奇函数，所以
D1 D2
xydxdy 0,
D3 D4
xydxdy 0
而 cos x sin y 对 x 是偶函数，对 y 是奇函数，故有
即
dz dx 2dy 为所求
(3)已知两条直线的方程是 L1 : _______. 【答案】 x 3 y z 2 0
x 1 y 2 z 3 x 2 y 1 z 则过 L1 且平行于 L2 的平面方程是 ； L2 : 1 0 2 1 1 1
【解析】所求平面 过直线 L1 ，因而过 L1 上的点 (1, 2, 3) ， 因为 过 L1 平行于 L2 ，于是 平行于 L1 和 L2 的方向向量，即 平行与向量 l1 (1, 0, 1) 和向量 l 2 (2,1,1) ，且 两向量不共线，于是平面 的方程
考研数学一(常微分方程)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)
考研数学一（常微分方程）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(1989年)设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，c1，c2是任意常数，则该非齐次方程的通解是A．c1 y1+c2y2+y3B．c1y1+c2y2一(c1+c2)y3C．c1y1+c2y2一(1一c1—c2)y3D．c1y1+c2y2+(1一c1一c2)y3正确答案：D解析：由于(D)中的y=C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)+y3其中y1一y3和y2一y3是对应的齐次方程的两个解，且y1一y3与y2—y3线性无关．事实上，若令A(y1—y3)+B(y2一y3)=0即Ay1+By2一(A+B)y3=0由于y1，y2，y3线性无关，则A=0，B=0，一(A+B)=0因此y1一y3与y2一y3线性无关，故y=C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3是原方程通解．知识模块：常微分方程2．(1991年)若连续函数f(x)满足关系式则f(x)等于A．exln2B．e2xln2C．ex+ln2D．e2x+ln2正确答案：B解析：等式两边求导得f’(x)=2f(x)解此方程得f(x)=Ce2x由原方程可知f(0)=ln2，代入f(x)=Ce2x得C=ln2.故f(x)=e2xln2 知识模块：常微分方程3．(1993年)设曲线积分与路径无关，其中f(x)具有一阶连续导数，且f(0)=0，则f(x)等于A．B．C．D．正确答案：B解析：由得f’(x)+f(x)=ex解此方程得f(x)=e-x(e2x+C)由f(0)=0得，故知识模块：常微分方程填空题4．(1992年)微分方程y’+ytanx=cosx的通解为y=_____________．正确答案：(x+c)cosx．解析：由线性方程通解公式得知识模块：常微分方程5．(1996年)微分方程y”一2y’+2y=ex的通解为___________．正确答案：特征方程为λ2一2λ+2=0，解得λ1，2=1±i，则齐次方程通解为y=ex(C1cosx+C2sinx)易观察出y=ex是非齐次方程的一个特解．则原方程通解为y=ex(C1cosx+C2sinx)+ex 涉及知识点：常微分方程6．(1999年)y”一4y—e2x的通解为y=____________．正确答案：C1e-2x+C2e2x+xe2x．解析：特征方程为λ2一4=0，则λ=一2，λ2=2，从而齐次方程的解为由于λ=2为特征方程单根，则非齐次待定特解可设为y*=Axe2x代入原方程得故所求通解为y=C1e-2x+C2e2x+xe2x 知识模块：常微分方程7．(2000年)微分方程xy”+3y’=0的通解为____________．正确答案：解析：令y’=p，则y”=p’．代入原方程得解得因此知识模块：常微分方程8．(2001年)设y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1，C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为___________．正确答案：y”-2y’+2y=0解析：所求方程的特征根为λ1，2=1,±i则其特征方程为λ2一2λ+2=0故所求方程为y”一2y’+2y=0 知识模块：常微分方程9．(2002年)微分方程yy”+y’2一0满足初始条件的特解是____________．正确答案：y2=x+1或解析：解 1 令y’=P，则代入原方程得解得可知，则所求的特解为y2=x+1 解2 由于原方程左端从而原方程可改写为因此yy’=C1以下求解同解1．知识模块：常微分方程10．(2004年)欧拉方程的通解为___________．正确答案：解析：令z=et 代入原方程所得新方程的特征方程为ρ(ρ一1)+4ρ+2=0 解得ρ1=一1，ρ2=一2则新方程通解为y=C1e-t+C2e-2t，将x=et代入得原方程通解为知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1991考研数学一真题及答案解析
0,
求随机变量 Z X 2Y 的分布函数.
x 0, y 0
,
其他
1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.)
sin t t cos t
(1)【答案】
4t 3
【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即
如果
x (t)
(1,1,b 3,5) . (1) a 、 b 为何值时, 不能表示成1、2、3、4 的线性组合？ (2) a 、 b 为何值时, 有1、2、3、4 的唯一的线性表示式？并写出该表示式.
八、(本题满分 6 分)
设 A 为 n 阶正定阵, E 是 n 阶单位阵,证明 A E 的行列式大于 1.
()
(A) 3
(B) 7
(C) 8
(D) 9
(4) 设 D 是 xOy 平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域, D1 是 D 在第一象
限的部分,则 (xy cos x sin y)dxdy 等于
D
()
(A) 2 cos x sin ydxdy
(B) 2 xydxdy
1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.)
x 1t2, d2y
(1)
设
y
cos
t,
则 =__________.
dx2
(2) 由方程 xyz x2 y2 z2 2 所确定的函数 z z(x, y) 在点 (1, 0, 1) 处的全微分
1 的和. n2
n1
六、(本题满分 7 分.)
1
设函数 f (x) 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且 3 2 f (x)dx f (0) ,证明在(0,1)内存在 3
考研数学(一)历年真题(1990-2021)无水印
1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)2x t =-+(1)过点(1,21)M -且与直线34y t =-垂直的平面方程是_____________.1z t =-(2)设a 为非零常数,则lim(xx x a x a→∞+-=_____________.(3)设函数()f x =1011x x ≤>,则[()]f f x =_____________.(4)积分222e y xdx dy -⎰⎰的值等于_____________.(5)已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),====αααα则该向量组的秩是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 是连续函数,且e ()(),xxF x f t dt -=⎰则()F x '等于(A)e (e )()xx f f x ----(B)e (e )()xx f f x ---+(C)e(e )()x x f f x ---(D)e(e )()xx f f x --+(2)已知函数()f x 具有任意阶导数,且2()[()],f x f x '=则当n 为大于2的正整数时,()f x 的n 阶导数()()n f x 是(A)1![()]n n f x +(B)1[()]n n f x +(C)2[()]nf x (D)2![()]nn f x (3)设a 为常数,则级数21sin()[n na n ∞=∑(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与a 的取值有关(4)已知()f x 在0x =的某个邻域内连续,且0()(0)0,lim2,1cos x f x f x→==-则在点0x =处()f x(A)不可导(B)可导,且(0)0f '≠(C)取得极大值(D)取得极小值(5)已知1β、2β是非齐次线性方程组=AX b 的两个不同的解1,α、2α是对应其次线性方程组=AX 0的基础解析1,k 、2k 为任意常数,则方程组=AX b 的通解(一般解)必是(A)1211212()2k k -+++ββααα(B)1211212()2k k ++-+ββααα(C)1211212()2k k -+++ββαββ(D)1211212()2k k ++-+ββαββ三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求120ln(1).(2)x dx x +-⎰(2)设(2,sin ),z f x y y x =-其中(,)f u v 具有连续的二阶偏导数,求2.zx y∂∂∂(3)求微分方程244e xy y y -'''++=的通解(一般解).四、(本题满分6分)求幂级数(21)nn n x∞=+∑的收敛域,并求其和函数.五、(本题满分8分)求曲面积分2SI yzdzdx dxdy =+⎰⎰其中S 是球面2224x y z ++=外侧在0z ≥的部分.六、（本题满分7分）设不恒为常数的函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(,)a b 内可导,且()().f a f b =证明在(,)a b 内至少存在一点,ξ使得()0.f ξ'>七、（本题满分6分）设四阶矩阵1100213401100213,0011002100010002-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B C 且矩阵A 满足关系式1()-''-=A E C B C E其中E 为四阶单位矩阵1,-C 表示C 的逆矩阵,'C 表示C 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.A 八、（本题满分8分）求一个正交变换化二次型22212312132344448f x x x x x x x x x =++-+-成标准型.九、（本题满分8分）质点P 沿着以AB 为直径的半圆周,从点(1,2)A 运动到点(3,4)B 的过程中受变力F 作用(见图).F的大小等于点P 与原点O 之间的距离,其方向垂直于线段OP 且与y 轴正向的夹角小于.2π求变力F 对质点P 所作的功.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量X 的概率密度函数1()e ,2xf x x -=-∞<<+∞则X 的概率分布函数()F x =____________.(2)设随机事件A 、B 及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B 表示B 的对立事件,那么积事件AB 的概率()P AB =____________.(3)已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松()Poisson 分布,即22e {},0,1,2,,!k P X k k k -=== 则随机变量32Z X =-的数学期望()E Z =____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 在区域:01,D x y x <<<内服从均匀分布,求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量21Z X =+的方差().D Z1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设21cos x t y t=+=,则22d y dx =_____________.(2)由方程xyz +=所确定的函数(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =_____________.(3)已知两条直线的方程是1212321:;:.101211x y z x y zl l ---+-====-则过1l 且平行于2l 的平面方程是_____________.(4)已知当0x →时123,(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =_____________.(5)设4阶方阵52002100,00120011⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A 则A 的逆阵1-A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)曲线221e 1e x xy --+=-(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(2)若连续函数()f x 满足关系式20()()ln 2,2tf x f dt π=+⎰则()f x 等于(A)e ln 2x(B)2e ln 2x(C)e ln 2x +(D)2e ln 2x +(3)已知级数12111(1)2,5,n n n n n a a ∞∞--==-==∑∑则级数1n n a ∞=∑等于(A)3(B)7(C)8(D)9(4)设D 是平面xoy 上以(1,1)、(1,1)-和(1,1)--为顶点的三角形区域1,D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于(A)12cos sin D x ydxdy⎰⎰(B)12D xydxdy⎰⎰(C)14(cos sin )D xy x y dxdy+⎰⎰(D)0(5)设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式,=ABC E 其中E 是n 阶单位阵,则必有(A)=ACB E (B)=CBA E (C)=BAC E(D)=BCA E三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求2lim .x π+→(2)设n是曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数u =在点P 处沿方向n 的方向导数.(3)22(),x y z dv Ω++⎰⎰⎰其中Ω是由曲线220y zx ==绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围城的立体.四、(本题满分6分)过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线,L 使沿该曲线O 从到A 的积分3(1)(2)Ly dx x y dy +++⎰的值最小.五、(本题满分8分)将函数()2(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数211n n∞=∑的和.六、（本题满分7分）设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0),f x dx f =⎰证明在(0,1)内存在一点,c 使()0.f c '=七、（本题满分8分）已知1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8)a a ===-+=+αααα及(1,1,3,5).b =+β(1)a 、b 为何值时,β不能表示成1234,,,αααα的线性组合?(2)a 、b 为何值时,β有1234,,,αααα的唯一的线性表示式?写出该表示式.八、（本题满分6分）设A 是n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明+A E 的行列式大于1.九、（本题满分8分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)若随机变量X 服从均值为2、方差为2σ的正态分布,且{24}0.3,P X <<=则{0}P X <=____________.(2)随机地向半圆0y a <<为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为(,)f x y =(2)2e 0,00 x y x y -+>>其它求随机变量2Z X Y =+的分布函数.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设函数()y y x =由方程e cos()0x yxy ++=确定,则dydx=_____________.(2)函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)M -处的梯度grad Mu=_____________.(3)设()f x =211x-+00x x ππ-<≤<≤,则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于_____________.(4)微分方程tan cos y y x x '+=的通解为y =_____________.(5)设111212121212,n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 其中0,0,(1,2,,).i ia b i n ≠≠= 则矩阵A 的秩()r A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当1x →时,函数1211e 1x x x ---的极限(A)等于2(B)等于0(C)为∞(D)不存在但不为∞(2)级数1(1)(1cos nn a n ∞=--∑常数0)a >(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与a 有关(3)在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中,与平面24x y z ++=平行的切线(A)只有1条(B)只有2条(C)至少有3条(D)不存在(4)设32()3,f x x x x =+则使()(0)n f 存在的最高阶数n 为(A)0(B)1(C)2(D)3(5)要使12100,121⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξξ都是线性方程组=AX 0的解,只要系数矩阵A 为(A)[]212-(B)201011-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(C)102011-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦(D)011422011-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求0x x →(2)设22(e sin ,),x z f y x y =+其中f 具有二阶连续偏导数,求2.z x y∂∂∂(3)设()f x =21ex x -+00x x ≤>,求31(2).f x dx -⎰四、(本题满分6分)求微分方程323e xy y y -'''+-=的通解.五、(本题满分8分)计算曲面积分323232()()(),x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰其中∑为上半球面z =的上侧.六、（本题满分7分）设()0,(0)0,f x f ''<=证明对任何120,0,x x >>有1212()()().f x x f x f x +<+七、（本题满分8分）在变力F yzi zxj xyk =++的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a b c++=上第一卦限的点(,,),M ξηζ问当ξ、η、ζ取何值时,力F 所做的功W 最大?并求出W 的最大值.八、（本题满分7分）设向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关,问:(1)1α能否由23,αα线性表出?证明你的结论.(2)(2)4α能否由123,,ααα线性表出?证明你的结论.九、（本题满分7分）设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3,λλλ===对应的特征向量依次为1231111,2,3,149⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ又向量12.3⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β(1)将β用123,,ξξξ线性表出.(2)求(nn A β为自然数).十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知11()()(),()0,()(),46P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件A 、B 、C 全不发生的概率为____________.(2)设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则数学期望2{e }XE X -+=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 与Y 独立,X 服从正态分布2(,),N Y μσ服从[,]ππ-上的均匀分布,试求Z X Y =+的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数Φ表示,其中22()e)t xx dt --∞Φ=.1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)函数1()(2(0)xF x dt x =->⎰的单调减少区间为_____________.(2)由曲线223212x y z +==绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为_____________.(3)设函数2()()f x x x x πππ=+-<<的傅里叶级数展开式为01(cos sin ),2n n n a a nx b nx ∞=++∑则其中系数3b 的值为_____________.(4)设数量场u =则div(grad )u =_____________.(5)设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且A 的秩为1,n -则线性方程组=AX 0的通解为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设sin 2340()sin(),(),xf x t dtg x x x ==+⎰则当0x →时,()f x 是()g x 的(A)等价无穷小(B)同价但非等价的无穷小(C)高阶无穷小(D)低价无穷小(2)双纽线22222()x y x y +=-所围成的区域面积可用定积分表示为(A)402cos 2d πθθ⎰(B)404cos 2d πθθ⎰(C)2θ(D)2401(cos 2)2d πθθ⎰(3)设有直线1158:121x y z l --+==-与2:l 623x y y z -=+=则1l 与2l 的夹角为(A)6π(B)4π(C)3π(D)2π(4)设曲线积分[()e ]sin ()cos x Lf t ydx f x ydy --⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)0,f =则()f x 等于(A)e e 2x x --(B)e e 2x x --(C)e e 12x x -+-(D)e e 12x x-+-(5)已知12324,369t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q P 为三阶非零矩阵,且满足0,=PQ 则(A)6t =时P 的秩必为1(B)6t =时P 的秩必为2(C)6t ≠时P 的秩必为1(D)6t ≠时P 的秩必为2三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求21lim(sincos ).x x x x →∞+(2)求.x dx (3)求微分方程22,x y xy y '+=满足初始条件11x y==的特解.四、(本题满分6分)计算22,xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰ 其中∑是由曲面z =与z =所围立体的表面外侧.五、(本题满分7分)求级数20(1)(1)2n nn n n ∞=--+∑的和.六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)设在[0,)+∞上函数()f x 有连续导数,且()0,(0)0,f x k f '≥><证明()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点.(2)设,b a e >>证明.baa b >七、（本题满分8分）已知二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>通过正交变换化成标准形22212325,f y y y =++求参数a 及所用的正交变换矩阵.八、（本题满分6分）设A 是n m ⨯矩阵,B 是m n ⨯矩阵,其中,n m <I 是n 阶单位矩阵,若,=AB I 证明B 的列向量组线性无关.九、（本题满分6分）设物体A 从点(0,1)出发,以速度大小为常数v 沿y 轴正向运动.物体B 从点(1,0)-与A 同时出发,其速度大小为2,v 方向始终指向,A 试建立物体B 的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.(2)设随机变量X 服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量2Y X =在(0,4)内的概率分布密度()Y f y =____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率分布密度为1()e ,.2xf x x -=-∞<<+∞(1)求X 的数学期望EX 和方差.DX (2)求X 与X 的协方差,并问X 与X 是否不相关?(3)问X 与X 是否相互独立?为什么?1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)011lim cot ()sin x x xπ→-=_____________.(2)曲面e 23xz xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.(3)设e sin ,xxu y-=则2u x y ∂∂∂在点1(2,π处的值为_____________.(4)设区域D 为222,x y R +≤则2222()Dx y dxdy a b +⎰⎰=_____________.(5)已知11[1,2,3],[1,,23==αβ设,'=A αβ其中'α是α的转置,则n A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设4342342222222sin cos ,(sin cos ),(sin cos ),1x M xdx N x x dx P x x x dx x ππππππ---==+=-+⎰⎰⎰则有(A)N P M<<(B)M P N <<(C)N M P <<(D)P M N<<(2)二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的(A)充分条件而非必要条件(B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件又非必要条件(3)设常数0,λ>且级数21nn a ∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与λ有关(4)2tan (1cos )lim2,ln(12)(1)x x a x b x c x d e-→+-=-+-其中220,a c +≠则必有(A)4b d =(B)4b d =-(C)4a c=(D)4a c=-(5)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组(A)12233441,,,++++αααααααα线性无关(B)12233441,,,----αααααααα线性无关(C)12233441,,,+++-αααααααα线性无关(D)12233441,,,++--αααααααα线性无关三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)设2221cos()cos()t x t y t t udu ==-⎰,求dy dx 、22d y dx在t =的值.(2)将函数111()ln arctan 412x f x x x x +=+--展开成x 的幂级数.(3)求.sin(2)2sin dxx x +⎰四、(本题满分6分)计算曲面积分2222S xdydz z dxdyx y z +++⎰⎰其中S 是由曲面222x y R +=及,(0)z R z R R ==->两平面所围成立体表面的外侧.五、(本题满分9分)设()f x 具有二阶连续函数,(0)0,(0)1,f f '==且2[()()][()]0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=为一全微分方程,求()f x 及此全微分方程的通解.六、(本题满分8分)设()f x 在点0x =的某一邻域内具有二阶连续导数,且0()lim0,x f x x→=证明级数11()n f n∞=∑绝对收敛.七、（本题满分6分）已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB 绕x 轴旋转一周所成的旋转曲面为.S 求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积.八、（本题满分8分）设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为122400x x x x +=-=,又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为12(0,1,1,0)(1,2,2,1).k k +-(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析.(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、（本题满分6分）设A 为n 阶非零方阵*,A 是A 的伴随矩阵,'A 是A 的转置矩阵,当*'=A A 时,证明0.≠A 十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知A 、B 两个事件满足条件()(),P AB P AB =且(),P A p =则()P B =____________.(2)设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布率,且X 的分布率为X 01P1212则随机变量max{,}Z X Y =的分布率为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 和Y 分别服从正态分布2(1,3)N 和2(0,4),N 且X 与Y 的相关系数1,2xy ρ=-设,32X YZ =+(1)求Z 的数学期望EZ 和DZ 方差.(2)求X 与Z 的相关系数.xz ρ(3)问X 与Y 是否相互独立?为什么?1995年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2sin 0lim(13)xx x →+=_____________.(2)202cos x d x t dt dx⎰=_____________.(3)设()2,⨯=a b c 则[()()]()+⨯++a b b c c a =_____________.(4)幂级数2112(3)n n nn n ∞-=+-∑的收敛半径R =_____________.(5)设三阶方阵,A B 满足关系式16,-=+A BA A BA 且100310,41007⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 则B =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设有直线:L 321021030x y z x y z +++=--+=,及平面:4220,x y z π-+-=则直线L(A)平行于π(B)在π上(C)垂直于π(D)与π斜交(2)设在[0,1]上()0,f x ''>则(0),(1),(1)(0)f f f f ''-或(0)(1)f f -的大小顺序是(A)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>>-(B)(1)(1)(0)(0)f f f f ''>->(C)(1)(0)(1)(0)f f f f ''->>(D)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>->(3)设()f x 可导,()()(1sin ),F x f x x =+则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的(A)充分必要条件(B)充分条件但非必要条件(C)必要条件但非充分条件(D)既非充分条件又非必要条件(4)设(1)ln(1nn u =-+则级数(A)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都收敛(B)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都发散(C)1nn u∞=∑收敛,而21nn u∞=∑发散(D)1nn u∞=∑收敛,而21nn u∞=∑发散(5)设11121311121321222321222312313233313233010100,,100,010,001101a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A B P P 则必有(A)12AP P =B (B)21AP P =B (C)12P P A =B(D)21P P A =B三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)设2(,,),(,e ,)0,sin ,yu f x y z x z y x ϕ===其中,f ϕ都具有一阶连续偏导数,且0.zϕ∂≠∂求.du dx (2)设函数()f x 在区间[0,1]上连续,并设1(),f x dx A =⎰求11()().xdx f x f y dy ⎰⎰四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)(1)计算曲面积分,zdS ∑⎰⎰其中∑为锥面z =在柱体222x y x +≤内的部分.(2)将函数()1(02)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦函数.五、(本题满分7分)设曲线L 位于平面xOy 的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交,交点记为.A 已知,MA OA =且L 过点33(,),22求L 的方程.六、(本题满分8分)设函数(,)Q x y 在平面xOy 上具有一阶连续偏导数,曲线积分2(,)Lxydx Q x y dy +⎰与路径无关,并且对任意t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,),t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰⎰求(,).Q x y 七、（本题满分8分）假设函数()f x 和()g x 在[,]a b 上存在二阶导数,并且()0,()()()()0,g x f a f b g a g b ''≠====试证:(1)在开区间(,)a b 内()0.g x ≠(2)在开区间(,)a b 内至少存在一点,ξ使()().()()f fg g ξξξξ''=''八、（本题满分7分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为1231,1,λλλ=-==对应于1λ的特征向量为101,1⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξ求.A 九、（本题满分6分）设A 为n 阶矩阵,满足('=AA I I 是n 阶单位矩阵,'A 是A 的转置矩阵),0,<A 求.+A I 十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则2X 的数学期望2()E X =____________.(2)设X 和Y 为两个随机变量,且34{0,0},{0}{0},77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=则{max(,)0}P X Y ≥=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率密度为()X f x =e 0x -00x x ≥<,求随机变量e XY =的概率密度().Y f y1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设2lim()8,xx x a x a→∞+=-则a =_____________.(2)设一平面经过原点及点(6,3,2),-且与平面428x y z -+=垂直,则此平面方程为_____________.(3)微分方程22e xy y y '''-+=的通解为_____________.(4)函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为_____________.(5)设A 是43⨯矩阵,且A 的秩()2,r =A 而102020,103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 则()r AB =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)已知2()()x ay dx ydyx y +++为某函数的全微分,a 则等于(A)-1(B)0(C)1(D)2(2)设()f x 具有二阶连续导数,且0()(0)0,lim1,x f x f x→'''==则(A)(0)f 是()f x 的极大值(B)(0)f 是()f x 的极小值(C)(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点(D)(0)f 不是()f x 的极值,(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点(3)设0(1,2,),n a n >= 且1n n a ∞=∑收敛,常数(0,2πλ∈则级数21(1)(tan nnn n a n λ∞=-∑(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)散敛性与λ有关(4)设有()f x 连续的导数220,(0)0,(0)0,()()(),xf f F x x t f t dt '=≠=-⎰且当0x →时,()F x '与kx 是同阶无穷小,则k 等于(A)1(B)2(C)3(D)4(5)四阶行列式112233440000000a b a b a b b a 的值等于(A)12341234a a a ab b b b -(B)12341234a a a ab b b b +(C)12123434()()a ab b a a b b --(D)23231414()()a ab b a a b b --三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)求心形线(1cos )r a θ=+的全长,其中0a >是常数.(2)设1110,1,2,),n x x n +=== 试证数列{}n x 极限存在,并求此极限.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)(1)计算曲面积分(2),Sx z dydz zdxdy ++⎰⎰其中S 为有向曲面22(01),z xy x =+≤≤其法向量与z 轴正向的夹角为锐角.(2)设变换2u x y v x ay =-=+可把方程2222260z z z x x y y ∂∂∂+-=∂∂∂∂简化为20,zu v∂=∂∂求常数.a 五、(本题满分7分)求级数211(1)2n n n ∞=-∑的和.六、(本题满分7分)设对任意0,x >曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在y 轴上的截距等于01(),xf t dt x⎰求()f x 的一般表达式.七、（本题满分8分）设()f x 在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件(),(),f x a f x b ''≤≤其中,a b 都是非负常数,c 是(0,1)内任意一点.证明()2.2bf c a '≤+八、（本题满分6分）设,TA =-I ξξ其中I 是n 阶单位矩阵,ξ是n 维非零列向量,Tξ是ξ的转置.证明(1)2=A A 的充分条件是 1.T=ξξ(2)当1T=ξξ时,A 是不可逆矩阵.九、（本题满分8分）已知二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2,(1)求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值.(2)指出方程123(,,)1f x x x =表示何种二次曲面.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A 生产的概率是____________.(2)设,ξη是两个相互独立且均服从正态分布2)N 的随机变量,则随机变量ξη-的数学期望()E ξη-=____________.十一、（本题满分6分）设,ξη是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知ξ的分布率为1(),1,2,3.3P i i ξ===又设max(,),min(,).X Y ξηξη==(1)写出二维随机变量的分布率:XY123123(2)求随机变量X 的数学期望().E X1997年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2013sin coslim(1cos )ln(1)x x x x x x →+++=_____________.(2)设幂级数1nnn a x∞=∑的收敛半径为3,则幂级数11(1)n nn na x ∞+=-∑的收敛区间为_____________.(3)对数螺线e θρ=在点2(,)(e ,)2ππρθ=处切线的直角坐标方程为_____________.(4)设12243,311t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A B 为三阶非零矩阵,且,=AB O 则t =_____________.(5)袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)二元函数(,)f x y =22(,)(0,0)0(,)(0,0)xyx y x y x y ≠+=,在点(0,0)处(A)连续,偏导数存在(B)连续,偏导数不存在(C)不连续,偏导数存在(D)连续,偏导数不存在(2)设在区间[,]a b 上()0,()0,()0.f x f x f x '''><>令1231(),()(),[()()](),2ba S f x dx S fb b a S f a f b b a ==-=+-⎰则(A)123S S S <<(B)213S S S <<(C)312S S S <<(D)231S S S <<(3)设2sin ()e sin ,x t xF x tdt π+=⎰则()F x (A)为正常数(B)为负常数(C)恒为零(D)不为常数(4)设111122232333,,,a b c a b c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ααα则三条直线1112223330,0,0a x b y c a x b y c a x b y c ++=++=++=(其中220,1,2,3i i a b i +≠=)交于一点的充要条件是:(A)123,,ααα线性相关(B)123,,ααα线性无关(C)秩123(,,)r =ααα秩12(,)r αα(D)123,,ααα线性相关12,,αα线性无关(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2,则随机变量32X Y -的方差是(A)8(B)16(C)28(D)44三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)计算22(),I xy dv Ω=+⎰⎰⎰其中Ω为平面曲线220y zx ==绕z 轴旋转一周所成的曲面与平面8z =所围成的区域.(2)计算曲线积分()()(),cz y dx x z dy x y dz -+-+-⎰ 其中c 是曲线2212x y x y z +=-+=从z轴正向往z 轴负向看c 的方向是顺时针的.(3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为,N 在0t =时刻已掌握新技术的人数为0,x 在任意时刻t 已掌握新技术的人数为()(x t 将()x t 视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数0,k >求().x t 四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分)(1)设直线:l 030x y b x ay z ++=+--=在平面π上,而平面π与曲面22z x y =+相切于点(1,2,5),-求,a b 之值.(2)设函数()f u 具有二阶连续导数,而(e sin )xz f y =满足方程22222e ,xz z z x y∂∂+=∂∂求().f u五、(本题满分6分)设()f x 连续1,()(),x f xt dt ϕ=⎰且0()lim(x f x A A x→=为常数),求()x ϕ'并讨论()x ϕ'在0x =处的连续性.六、(本题满分8分)设11110,(1,2,),2n n na a a n a +==+= 证明(1)lim n x a →∞存在.(2)级数11(1)nn n a a ∞=+-∑收敛.七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分)(1)设B 是秩为2的54⨯矩阵123,[1,1,2,3],[1,1,4,1],[5,1,8,9]TTT==--=--ααα是齐次线性方程组x =B 0的解向量,求x =B 0的解空间的一个标准正交基.(2)已知111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ξ是矩阵2125312a b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 的一个特征向量.1)试确定,a b 参数及特征向量ξ所对应的特征值.2)问A 能否相似于对角阵?说明理由.八、（本题满分5分）设A 是n 阶可逆方阵,将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为.B (1)证明B 可逆.(2)求1.-AB 九、（本题满分7分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是2.5设X 为途中遇到红灯的次数,求随机变量X 的分布律、分布函数和数学期望.十、（本题满分5分）设总体X 的概率密度为()f x =(1)0x θθ+01x <<其它其中1θ>-是未知参数12,,,,n X X X 是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量.1998年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2112limx x→-=_____________.(2)设1()(),,z f xy y x y f x ϕϕ=++具有二阶连续导数,则2z x y ∂∂∂=_____________.(3)设l 为椭圆221,43x y +=其周长记为,a 则22(234)Lxy x y ds ++⎰ =_____________.(4)设A 为n 阶矩阵*,0,≠A A 为A 的伴随矩阵,E 为n 阶单位矩阵.若A 有特征值,λ则*2()+A E 必有特征值_____________.(5)设平面区域D 由曲线1y x=及直线20,1,e y x x ===所围成,二维随机变量(,)X Y 在区域D 上服从均匀分布,则(,)X Y 关于X 的边缘概率密度在2x =处的值为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 连续,则220()x d tf x t dt dx-⎰=(A)2()xf x (B)2()xf x -(C)22()xf x (D)22()xf x -(2)函数23()(2)f x x x x x =---不可导点的个数是(A)3(B)2(C)1(D)0(3)已知函数()y y x =在任意点x 处的增量2,1y xy x α∆∆=++且当0x ∆→时,α是x ∆的高阶无穷小,(0)y π=,则(1)y 等于(A)2π(B)π(C)4eπ(D)4eππ(4)设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是满秩的,则直线333121212x a y b z c a a b b c c ---==---与直线111232323x a y b z c a a b b c c ---==---(A)相交于一点(B)重合(C)平行但不重合(D)异面(5)设,A B 是两个随机事件,且0()1,()0,(|)(|),P A P B P B A P B A <<>=则必有(A)(|)(|)P A B P A B =(B)(|)(|)P A B P A B ≠(C)()()()P AB P A P B =(D)()()()P AB P A P B ≠三、(本题满分5分)求直线11:111x y z l --==-在平面:210x y z π-+-=上的投影直线0l 的方程,并求0l 绕y 轴旋转一周所成曲面的方程.四、(本题满分6分)确定常数,λ使在右半平面0x >上的向量42242(,)2()()x y xy x y x x y λλ=+-+A i j 为某二元函数(,)u x y 的梯度,并求(,).u x y 五、(本题满分6分)从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度(y 从海平面算起)与下沉速度v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为,m 体积为,B 海水密度为,ρ仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为(0).k k >试建立y 与v 所满足的微分方程,并求出函数关系式().y y v =六、(本题满分7分)计算222212(),()axdydz z a dxdy x y z ∑++++⎰⎰其中∑为下半平面z =,a 为大于零的常数.七、(本题满分6分)求2sin sin sin lim .1112x n n n n n n πππ→∞⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+⎢⎥++⎣⎦ 八、（本题满分5分）设正向数列{}n a 单调减少,且1(1)nn n a ∞=-∑发散,试问级数11(1nn n a ∞=+∑是否收敛?并说明理由.九、（本题满分6分）设()y f x =是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1)试证存在0(0,1),x ∈使得在区间0[0,]x 上以0()f x 为高的矩形面积,等于在区间0[,1]x 上以()y f x =为曲边的曲边梯形面积.(2)又设()f x 在区间(0,1)内可导,且2()(),f x f x x'>-证明(1)中的0x 是唯一的.十、（本题满分6分）已知二次曲面方程2222224x ay z bxy xz yz +++++=可以经过正交变换x y z ξηζ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦P 化为椭圆柱面方程2244,ηξ+=求,a b 的值和正交矩阵.P 十一、（本题满分4分）设A 是n 阶矩阵,若存在正整数,k 使线性方程组kx =A 0有解向量,α且1.k -≠A α0证明:向量组1,,,k -αAαAα 是线性无关的.十二、（本题满分5分）已知方程组(Ⅰ)1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=+++=+++=的一个基础解析为11121,221222,212,2(,,,),(,,,),,(,,,).TTTn n n n n n b b b b b b b b b 试写出线性方程组(Ⅱ)1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n nb y b y b y b y b y b y b y b y b y +++=+++=+++=的通解,并说明理由.十三、（本题满分6分）设两个随机变量,X Y 相互独立,且都服从均值为0、方差为12的正态分布,求随机变量X Y -的方差.十四、（本题满分4分）从正态总体2(3.4,6)N 中抽取容量为n 的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n 至少应取多大?附:标准正态分布表22()t zx dt -Φ=⎰z1.28 1.645 1.962.33()x Φ0.9000.9500.9750.990十五、（本题满分4分）设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程.附:t 分布表{()()}p P t n t n p≤=0.950.97535 1.6896 2.0301361.68832.02811999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2011lim(tan x x x x→-=_____________.(2)20sin()x d x t dt dx-⎰=_____________.(3)24e xy y ''-=的通解为y =_____________.(4)设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是_____________.(5)设两两相互独立的三事件,A B和C满足条件:1,()()(),2ABC P A P B P C =∅==<且已知9(),16P A B C =则()P A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 是连续函数,()F x 是()f x 的原函数,则(A)当()f x 是奇函数时,()F x 必是偶函数(B)当()f x 是偶函数时,()F x 必是奇函数(C)当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数(D)当()f x 是单调增函数时,()F x 必是单调增函数(2)设20()() 0x f x x g x x >=≤⎩,其中()g x 是有界函数,则()f x 在0x =处(A)极限不存在(B)极限存在,但不连续(C)连续,但不可导(D)可导(3)设 01()122 12x x f x x x ≤≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩,01()cos ,,2n n a S x a n x x π∞==+-∞<<+∞∑其中102()cos n a f x n xdx π=⎰(0,1,2,)n = ,则5()2S -等于(A)12(B)12-(C)34(D)34-(4)设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,则(A)当m n >时,必有行列式||0≠AB (B)当m n >时,必有行列式||0=AB (C)当n m >时,必有行列式||0≠AB (D)当n m >时,必有行列式||0=AB (5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布(0,1)N 和(1,1)N ,则(A)1{0}2P X Y +≤=(B)1{1}2P X Y +≤=(C)1{0}2P X Y -≤=(D)1{1}2P X Y -≤=三、(本题满分6分)设(),()y y x z z x ==是由方程()z xf x y =+和(,,)0F x y z =所确定的函数,其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求.dz dx四、(本题满分5分)求(e sin ())(e cos ),x x LI y b x y dx y ax dy =-++-⎰其中,a b 为正的常数,L 为从点(2,0)A a 沿曲线y =到点(0,0)O 的弧.五、(本题满分6分)设函数()(0)y x x ≥二阶可导且()0,(0) 1.y x y '>=过曲线()y y x =上任意一点。
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n
1
2,3,1 1 2,3,1 cos , cos , cos .
22 32 1
14
u
6x
6x
6
x P
z 6x2 8y2 P
z 6x2 8y2 (1,1,1)
14
又
u y
P
z
8y
6x2 8y2 z
P
8y
6x2 8y2 (1,1,1)
8 14
,
u
z P
6x2 8y2 z2
P
6x2 8y2 z2
(3)【答案】 x 3y z 2 0
【解析】所求平面 过直线 L1 ,因而过 L1 上的点 (1, 2, 3) ；
因为 过 L1 平行于 L2 ,于是 平行于 L1 和 L2 的方向向量,即 平行于向量 l1 (1, 0, 1)
和向量 l 2 (2,1,1) ,且两向量不共线,于是平面 的方程
.
故 a 1为函数 I 4 a3 4a, (a 0) 的极小值点,也是最小值点.故所求的曲线为 3
y sin x,(x [0, ]) .
五、(本题满分 8 分.)
【解析】按傅式级数公式,先求 f (x) 的傅式系数 an 与 bn .因 f (x) 为偶函数,所以
bn
1 l
l l
f (x) sin n l
0
1
a3 sin3
x
2ax cos
x
a2 2
sin 2x dx
a3
sin3 xdx 2a
x cos xdx a2
sin 2xdx
0
0
20
a3
(cos2 x 1)d cos x 2a
xd sin x a2
sin 2xd 2x
0
0
40
a3
1 3
cos3
lim
x x0
f (x)
,则
x x0 是函数的一条铅直渐近线；
水平渐近线：当 lim f (x) a, (a为常数）,则 y a 为函数的水平渐近线. x
(2)【答案】(B)
【解析】令 u t ,则 t 2u, dt 2du ,所以 2
f (x)
2x 0
f
t 2
dt
ln 2
x 2 f (u)du ln 2 ,
(3)【答案】(C) 【解析】因为
(1)
a n1 n
a1
a2
a3
a4
a2n 1
a2n
n1
(a1 a2 ) (a3 a4 ) (a2 n1 a2 n)
(a2n1 a2n ) a2n1 a2n (收敛级数的结合律与线性性质),
n1
n1
n1
所以
a2n
a2n1
(
1)
c
b a
1 d
ad
bc
c
b
a
.
A
再利用分块矩阵求逆的法则：
0
0 1
B
A1 0
0
B
1
,易见
1 2 0 0
2
5
0
0
A1
0
0
1 3
2 3
.
0
0
1 3
1 3
二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】(D)
【解析】由于函数的定义域为 x 0 ,所以函数的间断点为 x 0 ,
0
两边对 x 求导,得 f (x) 2 f (x) ,这是一个变量可分离的微分方程,即 d[ f (x)] 2dx .解 f (x)
之得 f (x) Ce2x ,其中 C 是常数.
又因为 f (0)
0
2
f
(u)du
ln
2
ln
2
,代入
f
(x)
Ce 2 x
,得
f
(0)
Ce0
ln
2
,得
0
C ln 2 ,即 f (x) e2x ln 2 .
其实,对于 ABC E 先右乘 C 1 再左乘 C ,有 ABC E AB C 1 CAB E .
三、(本题满分 15 分,每小题 5 分.)
(1)【解析】这是1 型未定式求极限.
1 (cos x 1)
lim (cos x) x lim (1 (cos x 1)) cos x1 x
cos x sin ydxdy 0, cos x sin ydxdy 2 cos x sin ydxdy ,
D3 D4
D1 D2
D1
所以
(xy cos x sin y)dxdy I1 I 2 2 cos x sin ydxdy ,
D
D1
故选(A).
(5)【答案】(D)
【解析】矩阵的乘法公式没有交换律,只有一些特殊情况可以交换.
n1
1 (2n 1)2
cos(2n 1) x(1
x 1) .
令
x
0 ,有
f
(0)
20
5 2
4 2
n1
1 (2n 1)2
cos 0 ,所以,
n1
1 (2n 1)2
2 8
.
又
1
n2
n1
n1
1 (2n 1)2
1 (2n)2
n1
1 (2n 1)2
1 1 4 n1 n2
,
所以, 3 1 2 ,即 1 2 .
14
(1,1,1)
所以方向导数
u n
u x
cos
u y
cos
u z
cos
6 2 8 3 14 1 11 .
14 14 14 14
14 7
(3)【解析】由曲线
y2 2z,
x
0
绕
z
轴旋转一周而围成的旋转面方程是
x2
y2
2z
.
于是, 是由旋转抛物面 z 1 (x2 y2 ) 与平面 z 4 所围成.曲面与平面的交线是 2
x0
x0
令 cos x 1 t ,则 x 0 时 t 0 ,所以
1
1
lim (1 (cos x 1)) cos x1 lim(1 t) t e ,
x0
t 0
所以
lim (1 (cos
x0
1 (cos x 1)
(cos x 1)
lim (cos x 1)
x 1)) cos x 1 x lim e x e x0 x .
lim
x0
y
lim
x0
1 1
e x2 e x2
lim
x0
ex2 ex2
1 ,所以 x 0 为铅直渐近线, 1
lim
x
y
lim
x
1 1
e x2 e x2
lim
x
ex2 ex2
1 1 ,所以 y 1为水平渐近线. 1
所以选(D).
【相关知识点】铅直渐近线：如函数
y
f
(x)
在其间断点
x
x0 处有
2, 3,)
,
a0
2
1(2
0
x)dx
5.
因为 f (x) 2 | x | 在区间 (1 x 1) 上满足狄利克雷收敛定理的条件,所以
f (x) 2 | x |
a0 2
n1
an
cos
n l
x bn sin
n l
x
5 2
n1
2(cos n n2 2
1)
cos
n
x
5 4 2 2ຫໍສະໝຸດ 本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答.
注意：
A
0
0 B
1
A1 0
0 0
B
1
,
B
A 1
0
0 A1
B1 .
0
对于
2
阶矩阵的伴随矩阵有规律：
A
a c
b
d
,则求
A
的伴随矩阵
A*
a c
b d
d c
b
a
.
如果 A 0 ,这样
a
c
b d
1
1d
A
lim
x0
1
(1 ax2)3 1
cos x 1
lim x0
1 ax2 3 1 x2
2 3
a
.
2
因为当
x
0
时,
(1
ax2
)
1 3
1
与
cos
x
1
是等价无穷小,所以
2
a
1,故
a
3
.
3
2
1 2 0 0
2
5
0
0
(5)【答案】
0
0
1 3
2 3
.
0
0
1 3
1 3
【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.根据
xdx 0(n 1, 2,3,) ,
an
1 l
l f (x) cos n
l
l
xdx 2 l
l f (x) cos n
0
l
xdx
2
1(2
0
x) cos n xdx
4
1cos n xdx
0
2 n
1 xd sin n x
0
2
n
1
sin
0
n
xdx
2(cos n n2 2
1)(n