人教版七年级数学下册8.4二元一次方程组—三元一次方程组的解法
政治只是暂时的，方程才是永恒的！——爱因斯坦 Monday, October 16, 2017
2
解：设1元、2元、5元的纸币分别是x 张、y张、 z张，根据题意可以得到下列三
个方程:
x+y+z=12,
x+2y+5z=22,
x=4y.
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3
把三个方程合在一起写成：
x
7
说明: (1) 在解二元一次方程组中,把方程
组中的两个方程经过恰当变形后,一次加减
就可以消去一个未知数.
(2)在解三元一次方程组时,当三个方程都 是三元一次方程时,二次加减才能消去一 个未知数.
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问题1：解三元一次方程组
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解下列方程组：
7 x 6 y 7 z 100, x y 16, • y z 12, （2） x 2 y z 0, z x 10. 3x y 2 z 0;
3 x
问题2 ：在等式 y
中，
当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x ＝5时，y＝60 ． 求a、b、c的值．
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转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为
解二元一次方程组，进而再转化为解一元一
次方程
三元一次 方程组
消 元
二元一次 方程组
消 元
一元一次 方程
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不解方程组，指出下列方程组中先消去 哪个未知数，使得求解方程组较为简便?
16
小
结
1、三元一次方程组的解法； 2、解多元方程组的思路――消元．
政治只是暂时的，方程才是永恒的！——爱因斯坦
Monday, October 16, 20——爱因斯坦
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纸币问题
小明手头有12张面额分别是1元、2元、
5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数
量是2元纸币数量的4倍．求1元、2元、5
元的纸币各多少张？
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政治只是暂时的，方程才是永恒的！— —爱因斯坦
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自主练习、巩固新知
1．解下列三元一次方程组 .
x (1)
3 x (2)
10
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三元一次方程组：含有三个相同的未知数， 每个方程中含未知数的项的次数都是1，并 且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三
元一次方程组．
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讨论: 如何解三元一次方程组？
x 观察方程组：
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x : y 解方程组：
x 30 解这个方程组得: y 40
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x 30 把x=30,y=40代入③得：z=48 y 40 z 48
3 x 5 y 1, 1.4 x 6 y 7 z 2, 3 x 5 y 2 z 4; x y 20, 2. y z 19, x z 21.
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① 4 x 3 y 0 ② 解法一: 原方程组化为：6 y 5 z 0 x y z 22 ③ ③×5-②得： 5x-y=110 ④
4 x 3 y 0 ①与④组成方程组得: 5 x y 110
①
②
③
仿照前面学过的代入法，可以把③分
别代入①②，得到两个只含y，z的方程:
5 y
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总 结 解三元一次方程组的基本思路是： 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”
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2 x 4 y 3 z 9, （ 5） 3 x 2 y 5 z 11, x y 5 x 6 y 8 z 0; z 4, 2 3 x y z (6) 2, 3 2 2 2 y z 4 ; x 3 4 13
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两种解法的比较： 解法一是用加减法逐步消元;解法二是 根据方程组中两个比例式,用新的元“k”的 代数式去替代x、y、z,于是原方程组可以
转化为关于“k”的一元一次方程.
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解法二:根据方程x:y=3:4,设x=3k,则y=4k. 把y=4k代入y:z=5:6,得 z=4.8k. 把x=3k, y=4k, z=4.8k代入x+y-z=22得： 3k+4k- 4.8k=22,
x 30 y 40 z 48
∴k=10
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1、有甲、乙、丙三种货物，若购甲2件、
乙1件、丙1件共需15元；若购甲1件、乙2 件、丙1件共需16元；若购甲1件、乙1件、
丙2件共需17元，问甲、乙、丙每件各几元？
2、甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的 2倍比乙数大5，乙数的三分之一等于丙 数的二分之一．求这三个数．
人教版七年级下册8.4三元一次方程组的解法(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解三元一次方程组的基本概念。三元一次方程组是由三个含有三个未知数的一次方程组成的方程体系。它在解决多个未知数的实际问题中起着重要作用。
案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何将实际问题转化为三元一次方程组，并通过代入法和加减消元法求解。
然而，我也注意到，有些同学在小组讨论中参与度不高，可能是因为他们对这个话题还不够感兴趣，或者是对自己的数学能力缺乏信心。在未来的教学中，我需要更多地关注这部分学生，激发他们的学习兴趣，帮助他们建立信心。
此外，实践活动虽然能够让学生们动手操作，但在时间安排上可能有些紧张，导致部分学生没有足够的时间去深入思考和实践。我考虑在接下来的课程中，适当延长实践活动的时间，让学生们有更充分的操作和思考空间。
-难点三：将实际问题转化为三元一次方程组时，如何正确识别和设定未知数。
举例：在应用题中，学生可能难以确定三个人的总分、各科分数与方程组之间的关系，从而无法正确列出方程组。
-难点四：在解题过程中，如何进行有效的逻辑推理和数据分析，特别是当方程组较为复杂时。
举例：在处理多个方程和未知数时，学生可能会在推理过程中迷失方向，无法清晰地找出解题路径。
举例：在例1中，选择第一个方程的z变量代入第二个和第三个方程，学生可能会在代入和化简过程中出现计算错误。
-难点二：掌握加减消元法的运用，特别是在多个方程中选择合适的方程进行组合，以及如何处理消元后出现的分数。
举例：在例1中，将第一个方程与第二个方程相加，消去y，学生可能会在选择方程时犹豫不决，或者在消元过程中处理分数不当。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《三元一次方程组的解法》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要同时解决几个问题的情况？”比如，分配任务时需要考虑每个人的能力和时间。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三元一次方程组的奥秘。
七年级数学下册第八章二元一次方程组8-4三元一次方程组的解法作业新版新人教版
5．(10 分)解下列三元一次方程组：
2x＋y＝4， (1) x＋3z＝1，
x＋y＋z＝7；
z＝x＋y， (2) 3x－2y－2z＝－5，
2x＋y－z＝3.
x＝－2， 解：(1)y＝8，
z＝1
x＝3， (2)y＝2，
三、解答题(共 36 分)
11．(8 分)解下列方程组： 2x＋3y＋z＝6，
(1) x－y＋2z＝－1， x＋2y－z＝5；
x∶y＝1∶5， (2) y∶z＝2∶3，
x＋y＋z＝27.
x＝2， 解：y＝1，
z＝－1
x＝2， 解：y＝10，
z＝15
12．(12分)我市某镇组织20辆汽车装运完A，B，C三种脐橙共100吨到外地销售， 按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满．每辆 汽车的运载量及每种脐橙每吨的获利如下表：
x＝3，
x＝2，
x＝3，
x＝1，
A． y＝2， B． y＝3， C． y＝1， D． y＝2，
z＝1
z＝1
z＝2
z＝3
3．(5 分)观察方程组32xx－ ＋yy＋ －24zz＝ ＝311，， 的系数特点，若要使求解简便，消元的 7x＋y－5z＝1
方法应选取( B )
A．先消去 x B．先消去 y
C．先消去 z D．以上说法都不对
z＋x－y＝7 A．1 B．2 C．－2 D．12
二、填空题(每小题 6 分，共 12 分)
ax－by＝8，
x＝1，
9．如果方程组 cy－bz＝1， 的解是 y＝－2， 则 a＝_2__，b＝_3___，c＝__1_．
人教版七年级数学下册8.4 三元一次方程组的解法
（2）解该三元一次方程组，求出满足要求的A、B、C的份数.
解：(1)由该食谱中包含35单位的铁、70单位的钙和35单位 的维生素，得方程组
类似二元一次方程组的解，三元一次方程组中各个方程 的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.
怎样解三元一次方程组呢？
x y z 23, ①
x
y
1,
②
2x y z 20.③
能不能像以前一样“消元”， 把“三元”化成“二元”呢？
探究新知
考点 1 三元一次方程组的解法
解三元一次方程组
3x 4z 7， ① 2x 3y z 9， ② 5x 9 y 7z 8．③
y=8,z=6. 把y=8代入④，得x=9.
x=9, 所以原方程组的解是 y=8,
z=6.
探究新知
考点 2 三元一次方程组求字母的值 在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=－1时,y=0;当x=2时,y=3;当
x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
解:根据题意，得三元一次方程组 a－b＋c= 0， ① 4a＋2b＋c=3， ② 25a＋5b＋c=60. ③
巩固练习
x 1
已知
y
2
z 3
是方程组
ax by 2 by cz 3 cx az 7
的解,则a+b+c的值是___3_________.
探究新知
考点 3 利用三元一次方程组解答实际问题 幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含35 单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.现有一批营养师根
探究新知 知识点 1 三元一次方程组的概念
小明手头有12张面额分别是1元、2元、5元的纸币，共 计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、 2元、5元的纸币各多少张？
人教版七年级数学下第8章二元一次方程组8.4 三元一次方程组的解法习题课件
脐橙品种
ABC
每辆汽车运载量/吨 6 5 4
每吨脐橙获利/百元 12 16 10
如何安排三种脐橙装运，才能使此次销售获利达到 14.08 万元？
名师点拨
预习反馈
基础训练
能力训练
综合拓展
七年级 数学 下册 人教版
解：设装运 A，B，C 三种脐橙的车辆数分别为 x，y，z 辆，
x＋y＋z＝20，
依题意，得6x＋5y＋4z＝100， 72x＋80y＋40z＝1 408.
3
7
＝__2__；将 x 的值代入变形得到的二元一次方程组中，求得 y＝__6__；最
5
后将 x 和 y 的值同时代入①得 z＝__6__.
名师点拨
预习反馈
基础训练
能力训练
综合拓展
七年级 数学 下册 人教版
x＝－2，
y＝2，
y＝2，
3．方程组x＋y＝0，
的解是___z_＝__4______.
x－y＋z＝0
x＝2， 解由①、④组成的方程组，得z＝1.
x＝2， 将z＝1 代入③，得 y＝4.
x＝2，
∴原方程组的解为y＝4， z＝1.
名师点拨
预习反馈
基础训练
能力训练
综合拓展
七年级 数学 下册 人教版
15．已知x＋5 y＝y＋6 z＝z＋7 x，且 xyz≠0，求 x∶y∶z 的值．
解：设x＋5 y＝y＋6 z＝z＋7 x＝k
七年级 数学 下册 人教版
*8.4 三元一次方程组的解法
名师点拨
预习反馈
基础训练
能力训练
综合拓展
七年级 数学 下册 人教版
1．三元一次方程组的解法 (1)解三元一次方程组的基本思想仍是消元．一般地，应利用代入法 或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方 程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．
【人教版】七年级数学下册：专题8.4 三元一次方程组的解法(解析版)
1．（2021春•青龙县期末）三元一次方程组116x yy zx z的解是()A．234xyzB．243xyzC．324xyzD．432xyz【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：116x yy zx z①②③，② ③得：7x y④，① ④得：28x ，即4x ，把4x 代入①得：3y ，把4x 代入③得：2z ，则方程组的解为432xyz，故选：D．2．（2021春•龙山县期末）方程组347293372x zx y zx y z的解是()A ．512x y zB ．512x y zC ．512x y zD ．403x y z【分析】②3 ③得出91025x z ④，由①和④组成一个二元一次方程组，求出方程组的解，再把52x z代入②求出y即可．【解答】解：347293372x z x y z x y z①②③，②3 ③，得91025x z ④，由①和④组成一个二元一次方程组：34791025x z x z，解得：52x z，把52x z代入②，得1029y ，解得：1y，所以方程组的解是512x y z，故选：B ．3．（2021春•长寿区期末）若实数x ，y，z 满足41233x y z x y z，则6(x y z )A ．3B ．0C ．3D ．不能确定值【分析】把z 看做已知数表示出方程组的解，代入原式计算即可求出值．【解答】解：14233x y z x y z①②，① ②得：2yz ，把2yz 代入①得：214x z z ，解得：15x z ，把15x z ，2yz 代入得：615263x y z z z z ．故选：A ．4．（2021春•饶平县校级期末）观察方程组543122511726x y z x y z x z的系数特征，若要使求解简便，消元的方法应选取()A ．先消去xB ．先消去yC ．先消去zD ．以上说法都不对【分析】经观察发现，3个方程中先消去y，即可得到一个关于x 、z 的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可．【解答】解：方程① ②2 可直接消去未知数y，即可得到一个关于x 、z 的二元一次方程组， 要使运算简便，消元的方法应选取先消去y ，故选：B ．5．（2021春•江都区校级期中）若233a b c ，5675a b c ，则68a b c 的值是()A ．2B ．2C ．0D ．1【分析】先把方程233a b c 的左右两边同乘以3得到3699a b c ，然后再同方程5675a b c 相减即可得到答案．【解答】解：233a b c ，3699a b c ①，又5675a b c ②，② ①得：212164a b c ．682a b c ，故选：A ．6．（2021春•西湖区校级期中）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文 密文（加密），接收方由密文 明文（解密），已知加密规则为：明文a ，b ，c ，对应密文1a ，24a b ，39b c ，如果接收方收到密文7，12，22，则解密得到的明文为()A ．6，2，7B ．2，6，7C ．6，7，2D ．7，2，6【分析】根据“加密规则为：明文a ，b ，c ，对应密文1a ，24a b ，39b c ”，即可得出关于a ，b，c 的三元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：依题意得：1724123922a a b b c，解得：672a b c．故选：C ．7．（2020秋•光明区期末）解三元一次方程组3,21,0,x y z x y z x y①②③要使解法较为简便，首先应进行的变形为()A ．① ②B ．① ②C ．① ③D ．② ③【分析】观察发现：第三个方程不含z ，故前两个方程相加消去z ，可将三元一次方程组转化为二元一次方程组来求解．【解答】解：解三元一次方程组3210x y z x y z x y①②③要使解法较为简便，首先应进行的变形为① ②．故选：A ．8．（2021春•嘉祥县期末）有甲、乙、丙三种文具，若购买甲1件，乙2件比购买丙1件，多花9元；若购甲2件，丙8件比购买乙1件多花18元．现在购买甲、乙、丙各一件文具，则共需费用()A ．7元B ．8元C ．9元D ．10元【分析】设甲文具的单价为x 元，乙文具的单价为y 元，丙文具的单价为z 元，根据“若购买甲1件，乙2件比购买丙1件，多花9元；若购甲2件，丙8件比购买乙1件多花18元”，即可得出关于x ，y，z 的三元一次方程组，利用(3 ① ②)5 ，即可求出购买甲、乙、丙各一件文具所需的费用．【解答】解：设甲文具的单价为x 元，乙文具的单价为y元，丙文具的单价为z 元，依题意，得：292818x y z x z y ①②，(3 ① ②)5 ，得：9x y z ．故选：C ．9．（2021春•裕华区校级期末）一宾馆有二人间，三人间，四人间三种客房供游客居住，某旅行团24人准备同时租用这三种客房共8间，且每个客房都住满，那么租房方案有()A ．4种B ．3种C ．2种D ．1种【分析】首先设宾馆有客房：二人间x 间、三人间y间、四人间z 间，根据题意可得方程组，解方程组可得28yz ，又由x ，y，z 是非负整数，即可求得答案．【解答】解：设宾馆有客房：二人间x 间、三人间y间、四人间z 间，根据题意得：234248x y z x y z，解得：28y z ，82yz ，x ，y，z 是正整数，当1z 时，6y ，1x ；当2z 时，4y ，2x ；当3z 时，2y ，3x ；当4z 时，0y，4x ；（不符合题意，舍去）租房方案有3种．故选：B ．10．（2021春•广安区校级期末）已知4520(0)430x y z xyz x y z，则::x y z的值为()A ．1:2:3B ．3:2:1C ．2:1:3D ．不能确定【分析】把原方程组看作为关于x 、y的二元一次方程组，先利用加减消元法解得23yz，再利用代入消元法解得13x z，然后计算::x y z．【解答】解：4520430x y z x y z①②，① ②4 得5162120y y z z ，解得23yz，把23y z代入②得8303x zz，解得13x z，所以12::::1:2:333x y z z z z．故选：A ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．已知方程组567x y y z z x，则x y z9．【分析】三个方程左、右两边相加求出222x y z ，两边都除以2即可得到答案．【解答】解：567x y y z z x①②③，① ② ③得：22218x y z ，9x y z ．故答案为：9．12．已知212222x y y z x z，则x y z 的值是53．【分析】方程组三个方程相加即可求出x y z 的值．【解答】解：212222x y y z x z①②③，① ② ③得：3335x y z ，解得：53x y z ．故答案为：53．13．判断5,10,15x y z 是否是三元一次方程组0,215,240x y z x y z x y z的解：是．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可判断．【解答】解：0215240x y z x y z x y z①②③② ①得：215x y ④③ ①得：2340x y ⑤，④2 ⑤得：10y，把10y代入④得：5x ，把5x ，10y代入①得：15z ，则方程组的解为51015x y z，故答案为：是．14．（2020春•津南区校级月考）三元一次方程组102040x y y z z x的解是15525x y z．【分析】将方程组三方程相加求出x y z 的值，即可确定出解．【解答】解：102040x y y z z x①②③，① ② ③得：2()70x y z ，即35x y z ④，把①、②、③分别代入④得：25z ，15x ，5y，则方程组的解为15525x y z，故答案为：15525x y z．15．（2020春•临颍县期末）在等式2yax bx c 中，当1x 时，0y ；当2x 时，3y ；当5x 时，60y．则a b c4 ．【分析】把x 与y的值代入已知等式得到方程组，求出方程组的解得到a ，b ，c 的值，代入原式计算即可求出值．【解答】解：把1x ，0y；2x ，3y；5x ，60y代入得：042325560a b c a b c a b c，解得：325a b c，则3254a b c ．故答案为：4 ．16．（2020春•惠安县期末）某顾客到商场购买甲、乙、丙三种款式服装．若购买甲4件，乙7件，丙1件共需450元；若购买甲5件，乙9件，丙1件共需520元，则该顾客购买甲、乙、丙各一件共需240元．【分析】等量关系为：甲4件的总价 乙7件的总价 丙1件的总价450 ，甲5件的总价 乙9件的总价 丙1件的总价520 ，把相关数值代入，都整理为等式左边为x y z 的等式，设法消去等号右边含未知数的项，可得甲、乙、丙各1件共需的费用．【解答】解：设购买甲、乙、丙各1件分别需要x ，y，z 元，依题意得，4745059520x y z x y z①②，由①4 ②3 得，240x y z ，即现在购买甲、乙、丙各1件，共需240元．故答案为：240．17．（2021春•奉化区校级期末）为防控新冠疫情，做好个人防护，小君去药店购买口罩．若买6个平面口罩和4个95K N 口罩，则她所带的钱还剩下10元；若买4个平面口罩和6个95K N 口罩，则她所带的钱还缺8元．若只买10个95K N 口罩，则她所带的钱还缺44元．【分析】设平面口罩的单价为x 元，95K N 口罩的单价为y元，小君带的钱数为a 元，根据“若买6个平面口罩和4个95K N 口罩，则她所带的钱还剩下10元；若买4个平面口罩和6个95K N 口罩，则她所带的钱还缺8元”，即可得出关于x ，y ，a 的三元一次方程组，利用(6 ②4 ①)2 可得出1044y a ，移项后即可得出结论．【解答】解：设平面口罩的单价为x 元，95K N 口罩的单价为y元，小君带的钱数为a 元，依题意，得：6410468x y a x y a①②，(6 ②4①)2 ，得：1044y a ，1044y a ．故答案为：44．18．（2020春•遂宁期末）若x 、y、z 满足2421x y z x y z，则x y 的值为3．【分析】方程组利用加减消元法求出x y 的值即可．【解答】解：2421x y z x y z①②，①2 ②得：339x y ，则3x y．故答案为：3．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020春•崇川区校级期中）解下列方程组：（1）32316x y x y；（2）234229x y z x y z．【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）利用设k 法求出方程组的解即可．【解答】解：（1）32316x y x y②②，①3 ②得：525x ，解得：5x ，把5x 代入①得：2y，则方程组的解为52x y ；（2）234229x y zx y z ①②，由①设234xyzk，可得2x k ，3yk ，4z k ，代入②得：4389k k k ，解得：1k ，即2x ，3y，4z ，则方程组的解为234x y z．20．（1）解方程组：15(2)312226x y x y（2）解三元一次方程组：042325560x y z x y z x y z【分析】（1）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．（2）先由② ①，③ ②，得到关于x 和y的二元一次方程组，求得x 和y的值，并代入①式，求得z 的值即可．【解答】解：（1）方程组整理得：59316x y x y①②，①3 ②得：1442y ，即3y，把3y代入①得：6x ，则方程组的解为63x y．042325560x y z x y z x y z①②③② ①得，1x y④③ ②得，719x y⑤，⑤ ④，得，618x解得3x 把3x 代入④，得31y，解得2y把3x ，2y代入①，得320z 解得5z 所以原方程组的解为325x y z．21．（2020春•海安市期末）在等式2yax bx c 中，当0x 时，5y ；当2x 时，3y ；当2x 时，11y．（1）求a ，b ，c 的值；（2）小苏发现：当1x 或53x时，y的值相等．请分析“小苏发现”是否正确？【分析】（1）由“当0x 时，5y ；当2x 时，3y ；当2x 时，11y ”即可得出关于a 、b 、c 的三元一次方程组，解方程组即可得出结论；（2）把1x ，53x分别代入等式求得y的值，即可判断．【解答】解：（1）根据题意，得54234211c a b c a b c①②③，② ③，得48b ，解得2b ；把2b ，5c 代入②得4453a ，解得3a ，因此325a b c；（2）“小苏发现”是正确的，由（1）可知等式为2325yx x ，当1x 时，3250y；当53x时，25105033y，所以当1x 或53x时，y的值相等．22．（2021春•漳平市月考）已知2yax bx c ，当1x 时，0y ；当2x 时，5y ；当3x 时，0y ，求a ，b ，c 的值．【分析】把x 与y的值代入2yax bx c 得到方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：由题意，得0425930a b c a b c a b c①②③，② ①得：35a b ④，③ ①得：840a b ，即20a b ⑤，④ ⑤得：55a ，解得：1a ，把1a 代入④得：35b ，解得：2b ，把1a ，2b 代入①得：120c ，解得：3c ，则方程组的解123a b c．23．（2021•安徽模拟）某超市在促销活动中准备了三种小礼品共16件，16件礼品的总价为50元，三种小礼品的单价分别为2元/件、4元/件和10元/件，每种小礼品至少准备1件．已知价格为2元的小礼品a 件．（1）请用含a 的代数式分别表示准备的另外两种小礼品的件数；（2）如果准备单价为2元的小礼品的数量正好是单价为4元的小礼品的2倍，分别求出准备的三种单价小礼品的件数．【分析】（1）根据所买数量之和为16，总价钱为50列出方程组，把m 当成已知数，求得另外两种食品的件数即可；（2）根据单价为2元的小礼品的数量正好是单价为4元的小礼品的2倍，列方程求解即可．【解答】解：（1）设价格为4元的小礼品b 件，价格为10元的小礼品c 件，由题意得：16241050a b c a b c．解得：5543ab，73ac，答：价格为4元的小礼品5543a件，价格为10元的小礼品73a件；（2）由题意得：55423aa ，解得：10a ，则55453ab，713ac，答：价格为2元的小礼品10件，价格为4元的小礼，5件，价格为10元的小礼品1件．24．（2021春•西乡塘区期末）[阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简．（1）解方程组 231x x y x y①②解：（1）把②代入①得：213x 把1x 代入②得：y所以方程组的解为1x y（2）已知353097510x y z x y z①②，求x y z 的值．解：（2）① ②得：10101040x y z ③③4 得4x y z [类比迁移]（1）直接写出方程组3()422a b aa b 的解．（2）若658234x y z x y z，求x y z 的值．[实际应用]打折前，买36件A 商品，12件B 商品用了960元．打折后，买45件A 商品，15件B 商品用了1100元，比不打折少花了多少钱？【分析】（1）把②代入①中即可求出答案；（2）用① ②即可得出答案；[实际应用]设打折前A 商品每件x 元，B 商品每件y元，由题意可得关于x ，y 的二元一次方程，变形可得45151200x y ，用原价减现价即可得少花钱数．【解答】解：（1） 3422a b a a b①②，把②代入①中，得：3242a ，解得：5a ，把5a 代入②中，得3b ， 方程组的解为53a b ．（2）658234x y z x y z①②，① ②得：4444x y z ，1x y z ．[实际应用]设打折前A 商品每件x 元，B 商品每件y元，根据题意得：3612960x y ，两边同时乘以54，得：45151200x y ，12001100100 （元)，答：比不打折少花了100元．。
人教版七年级数学下册_8.4三元一次方程组的解法
农作物 每公顷需 每公顷需投入 品种 劳动力 的设备资金
水稻 4人
1 万元
棉花 8人
1 万元
蔬菜 5人
2 万元
感悟新知
知3－练
已知该农场计划投入设备资金67 万元，应该怎样安排 这三种农作物的种植面积，才能使所有职工有工作， 而且投入的设备资金正好够用？
感悟新知
知3－练
解：设种植水稻 x 公顷，棉花 y 公顷，蔬菜 z 公顷．
③与④组成二元一次方程组
2 5
x－y x＋8
7, y 7.
解得
把x=3，y=－1 代入①，得3+3×(－1)+2z=2，
x y
3, －1.
所以z=1.
x 3,
所以这个三元一次方程组的解为
y
－1,
z 1.
感悟新知
(2)① + ③，得3x+5y=11；④
知2－讲
③ ×2+ ②，得3x+3y=9，即x+y=3. ⑤
解：A 选项中，方程x2－y=1 与xz=2 中有含未知数的项
的次数为2 的，不符合三元一次方程组的定义，故A 选
项不是；B
选项中，1
x
，1
y
，1
z
不是整式，故B
选项不是；
C 选项中，方程组含有四个未知数，故C 选项不是；
D 选项符合三元一次方程组的定义.
感悟新知
知1－练
1-1. 下列方程组不是三元一次方程组的是( B )
将 z＝2 代入方程②，得 y＝53.
x＝－34， 故这个三元一次方程组的解为y＝53，
z＝2.
感悟新知
(3)②×2－③，得 5x＋27z＝34.④ ①和④组成方程组45xx－＋92z7＝z＝173，4，解得xz＝＝135.，
七年级数学下册(人教版)8.4三元一次方程组的解法优秀教学案例
（一）情景创设
1.生活情境：以实际生活中的问题为背景，创设情境，引发学生的思考，激发学生的学习兴趣。例如，设计一道与购物、旅游等生活场景相关的问题，让学生在解决问题的过程中自然地引入三元一次方程组。
2.故事情境：通过讲述一个有趣的故事，引发学生的兴趣，使他们能够主动参与到学习中。例如，讲述一个侦探破案的故事，引导学生思考并解决问题，从而引入三元一次方程组的概念和解法。
2.鼓励学生互相倾听和尊重对方的意见，培养他们的团队合作能力。例如，在小组活动中，可以设置一个环节，让每个小组成员分享自己的解题思路和方法，并进行讨论和评价。
（四）总结归纳
1.对本节课的主要内容和知识点进行总结归纳，让学生能够梳理和巩固所学知识。例如，总结三元一次方程组的定义、解法和解的情况的判断方法等。
在教学过程中，我注重引导学生运用已知知识解决未知问题，培养他们的逻辑思维能力和创新意识。同时，我通过设计丰富的教学活动，激发学生的学习兴趣，使他们能积极主动地参与课堂讨论，提高课堂效果。此外，我还注重对学生的个性化指导，针对不同学生的学习情况，给予他们有针对性的帮助，使他们在课堂上都能有所收获。
二、教学目标
3.小组合作：本节课通过组织学生进行小组合作学习，促进了学生之间的交流和合作。例如，设计一个小组活动，让学生分组讨论并解决一个复杂的三元一次方程组问题。在合作过程中，学生能够互相倾听和尊重对方的意见，培养他们的团队合作能力。小组合作的方式不仅能够提高学生的学习效果，还能够培养他们的沟通能力、协作能力和团队意识。
2.通过提问引导学生思考问题的本质，引发学生的思考和探究。例如，提出一个问题：“如果有一个房间，里面有三个开关，对应着另一个房间里的三盏灯，你如何通过只进房间一次，找出哪盏灯对应哪个开关？”让学生思考并解决这个问题。
最新人教版七下数学 8.4 三元一次方程组的解法
x+z-y=1
____________
z=3
____________.
2. 今年小新一家三口的岁数总和是80岁，爸爸比妈 妈大3岁，妈妈的岁数恰好是小新岁数的5倍.问：今 年爸爸、妈妈和小新分别几岁？
等量关系: (1) 爸爸年龄 + 妈妈年龄 + 小新年龄 = 80； (2) 爸爸年龄 = 妈妈年龄 + 3； (3) 妈妈年龄 = 小新年龄×5.
“加减”
“加减”
一元一次 方程组
3x+4z=7 ①
例1 解三元一次方程组 解：②×3+③，得11x+10z=35.④
2x+3y+z=9 ② 5x-9y+7z=8 ③
①与④组成方程组 还3x有+4其z=他7 解法解这吗个？方程组，得
11x+10z=35
把x=5，z=
-2代入②，得2×5+3y-2=9，所以
将 a，b，c 将 x、y 看作未知数 代入原式
a-b+c=0
①
4a+2b+c=3 ②
25a+5b+c=60 ③
a-b+c=0
①
解：根据题意，得三元一次方程组 4a+2b+c=3 ②
25a+5b+c=60 ③
②-①，得a+b=1，④ ③-①，得4a+b=10，⑤
a+b=1 ④ ④与⑤组成二元一次方程组
y
=
1 3
因此，这个三元一次方程组的解为
x=5
z= -2
x=5
y=1 3
z= -2
解：由①，得
x
七年级数学 第八章 二元一次方程组 8.4 三元一次方程组的解法 第1课时 三元一次方程组的解法
把x＝－1，z＝－3代入④，得y＝12，
x＝－1， ∴yz＝＝－12，3.
(方法二：用加减法)②×2，得 6x－4y－8z＝16.④ ①＋④，得8x－11z＝25.⑤ ②×(－3)，得 －9x＋6y＋12z＝－24.⑥ ③＋⑥，得－4x＋7z＝－17.⑦ (以下解法同方法一，略)
x＋2z＝2， (2)若先消去y，可得含x，z的方程组是 ___x_－__3_z＝__7___(_答__案__不__唯__一_)_____；
x＋2y＝10， (3)若先消去z，可得含x，y的方程组是 ___x_－__3_y_＝_－__5__(_答__案__不__唯__一_)_____．
x＋y＋z＝12，① 4．[2017春·南召期末]解方程组x＋2y＋5z＝22，②
当堂测评
1．下列方程组中，为三元一次方程组的是( A )
A.ba＝＝21 b－c＝3
B.xy＋ ＋yz＝＝12 z＋c＝3
C.45xx－ －32yy＝ ＝714 D.xx＋y＋yzz＝＝53
2x－y＝4
xz＋y＝7
2．解三元一次方程组aa＋ ＋b2－ b－c＝c＝13，，①② 2a－3b＋2c＝5.③
解：(方法一：用代入法)由②，得 －2y＝8－3x＋4z， y＝－4＋32x－2z.④
把④代入①，得2x＋4－4＋32x－2z－3z＝9， 8x－11z＝25.⑤ 把④代入③，得5x－6－4＋32x－2z－5z＝7， －4x＋7z＝－17.⑥
⑤与⑥组成方程组为－8x－4x＋11z7＝z＝25－，17. x＝－1，
x－2y＝9，① 解方程组x＋y－z＝7，②
2x－3y＋z＝12.③
解：(方法一)由①，得x＝2y＋9.④ 把④分别代入②、③，得3y＋y－z＝z＝－－62. ，
人教版《三元一次方程组的解法》课件PPT人教版1
①与④组成方程组
3x 4z 11x 10z
7， 35．
解这个方程组，得
x z
5， 2．
你还有其他解法吗？ 试一试，并与这种 解法进行比较.
把 x=5，z=-2 代入②，得 2×5+3y-2=9，
所以
y
1 .
3
因此，这个三元一次方程组的解为
x
y
5， 1， 3
z 2．
跟踪训练
解：①×2+②，得 5x+8y=7. ④
知识点1：三元一次方程组的概念
小明手头有 12 张面额分别是 1 元、2 元和 5 元的纸币，共计 22 元，其中 1 元纸币的数量是 2 元纸币数量的 4倍．求 1 元、 2 元和 5 元的纸币各多少张.
例题中有哪些未知量？
未知量有1 元、2 元和 5 元的纸币数量.
新知探究
小明手头有 12 张面额分别是 1 元、2 元和 5 元的纸币，共计 22 元，其中 1 元纸币的数量是 2 元纸币数量的 4倍．求 1 元、 2 元和 5 元的纸币各多少张.
解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值
⑤写解
将求得的三个未知数的值用“{”写在一起
3x－y＋2z＝3， 解：①×2+②，得 5x+8y=7.
小明手头有 12 张面额分别是 1 元、2 元和 5 元的纸币，共计 22 元，其中 1 元纸币的数量是 2 元纸币数量的 4倍．求 1 元、2 元和 5 元的纸币各多少张. 1 元张数+2 元张数+5 元张数=12(张)
C．消去 z 因此，这个三元一次方程组的解为
解：①+③，得 5x+y=7. 1 元张数+2 元张数+5 元张数=12(张)