几何图形初步 基础知识详解+基本典型例题解析(全)
人教版初一数学几何图形初步典型例题及答题技巧

人教版初一数学几何图形初步典型例题及答题技巧单选题1、如图,小林利用圆规在线段CE上截取线段CD,使CD=AB.若点D恰好为CE的中点,则下列结论中错误..的是()CD D.CE=2ABA.CD=DE B.AB=DE C.CE=12答案:C解析:根据线段中点的性质逐项判定即可.解:由题意得:D是线段CE的中点,AB=CD∴CD=DE,即选项A正确;AB=1CE=CD=DE,即B、D正确,C错误.2故答案为C.小提示:本题考查了尺规作图和线段中点的性质,其中正确理解线段中点的性质是解答本题的关键.2、下列判断正确的有()(1)正方体是棱柱,长方体不是棱柱;(2)正方体是棱柱,长方体也是棱柱;(3)正方体是柱体,圆柱也是柱体;(4)正方体不是柱体,圆柱是柱体.A.1个B.2个C.3个D.4个答案:B解析:根据棱柱的定义:有两个面平行,其余面都是四边形,并且相邻的两个四边形的公共边都互相平行;柱体的定义:一个多面体有两个面互相平行且相同,余下的每个相邻两个面的交线互相平行,进行判断即可.解:(1)正方体是棱柱,长方体是棱柱,故此说法错误;(2)正方体是棱柱,长方体也是棱柱,故此说法正确;(3)正方体是柱体,圆柱也是柱体,故此说法正确;(4)正方体是柱体,圆柱是柱体,故此说法错误.故选B.小提示:本题主要考查了棱柱和柱体的定义,解题的关键在于能够熟练掌握相关定义.3、可以近似看作射线的是()A.绷紧的琴弦B.手电筒发出的光线C.孙悟空的金箍棒D.课桌较长的边答案:B解析:根据直线、线段、射线的基本特征进行判断即可.A.绷紧的琴弦可看作线段,故本选项不符合题意;B.手电筒发出的光线可以看作射线,故本选项符合题意;C.孙悟空的金箍棒可以看作线段,故本选项不符合题意;D.课桌较长的边可以看作线段,故本选项不符合题意.故选:B.小提示:本题考查了几何图形的初步认识,掌握直线、线段、射线的基本特征是解题的关键.4、给出下列各说法:①圆柱由3个面围成,这3个面都是平的;②圆锥由2个面围成,这2个面中,1个是平的,1个是曲的;③球仅由1个面围成,这个面是平的;④正方体由6个面围成,这6个面都是平的.其中正确的为()A.①②B.②③C.②④D.③④答案:C解析:根据圆柱、圆锥、正方体、球,可得答案.解:①圆柱由3个面围成,2个底面是平面,1个侧面是曲面,故①错误;②圆锥由2个面围成,这2个面中,1个是平面,1个是曲面,故②正确;③球仅由1个面围成,这个面是曲面,故③错误;④正方体由6个面围成,这6个面都是平面,故④正确;故选:C.小提示:本题考查了认识立体图形,熟记各种图形的特征是解题关键.5、永定河,“北京的母亲河”.近年来,我区政府在永定河治理过程中,有时会将弯曲的河道改直,图中A,B 两地间的河道改直后大大缩短了河道的长度.这一做法的主要依据是()A.两点确定一条直线B.垂线段最短C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D.两点之间,线段最短根据线段的性质分析得出答案.由题意中改直后A ,B 两地间的河道改直后大大缩短了河道的长度,其注意依据是:两点之间,线段最短, 故选:D .小提示:此题考查线段的性质:两点之间线段最短,掌握题中的改直的结果是大大缩短了河道的长度的含义是解题的关键.6、已知∠α=60°32′,则∠α的余角是( )A .29°28′B .29°68′C .119°28′D .119°68′答案:A解析:根据余角的定义、角度的四则运算即可得.∵和为90°的两个角互为余角,且∠α=60°32′,∴∠α的余角为90°−∠α=90°−60°32′=29°28′,故选:A .小提示:本题考查了余角、角度的四则运算,熟练掌握余角的定义是解题关键.7、如图,BC =12AB ,D 为AC 的中点,DC =3cm ,则AB 的长是( )A .72cmB .4cmC .92cmD .5cm先根据已知等式得出AB与AC的等量关系,再根据线段的中点定义可得出AC的长,从而可得出答案.∵BC=12AB∴AC=AB+BC=AB+12AB=32AB,即AB=23AC∵D为AC的中点,DC=3cm ∴AC=2CD=6cm∴AB=23AC=23×6=4(cm)故选:B.小提示:本题考查了线段的和差倍分、线段的中点定义,掌握线段的中点定义是解题关键.8、下列四个图中,是三棱锥的表面展开图的是()A.B.C.D.答案:B解析:根据三棱锥是由四个三角形组成,即可求解解:A是四棱柱,故该选项不正确,不符合题意;B是三棱锥,故该选项正确,符合题意;C是四棱锥,故该选项不正确,不符合题意;D是三棱柱,故该选项不正确,不符合题意;故选B.小提示:.本题考查了三棱锥的侧面展开图,解题的关键是掌握三棱锥是由四个三角形组成.填空题9、单位换算:56°10′48″=_____°.答案:56.18解析:先将48″换算成“分”,再将“分”换算成“度”即可.)′=0.8′,解:48×(160)°=0.18°,则10.8×(160故56°10′48″=56.18°,所以答案是:56.18.小提示:本题考查度、分、秒的换算,掌握换算方法是正确计算的前提.10、将如图所示的平面展开图折叠成正方体后,“爱”的对面的汉字是_____.答案:家解析:正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形,根据这一特点作答.解:正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形,“我”字对面的字是“丽”,“爱”字对面的字是“家”,“美”字对面的字是“乡”.所以答案是:家.小提示:本题主要考查了正方体相对两个面上的文字,注意正方体的空间图形,从相对面入手,分析及解答问题.11、用度、分、秒表示:37.68°=______.答案:37°40′48″解析:进行度、分、秒的转化运算,注意以60为进制.1°=60′,1′=60′′.解:37.68°=37°+0.68×60′=37°+40.8′=37°+40′+0.8×60′′=37°+40′+48′′=37°40′48′′故答案为37°40′48″小提示:考查了度分秒的换算,掌握1°=60′,1′=60′′是解题的关键12、将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置,若∠AOD=108°,则∠COB=_________.答案:72°.解析:由∠AOB=∠COD=90°,∠AOC=∠BOD,进而∠AOC=∠BOD=108°-90°=18°,由此能求出∠BOC.解:∵∠AOB=∠COD=90°,∴∠AOC=∠BOD,又∠AOD=108°,∴∠AOC=∠BOD=108°-90°=18°,∴∠BOC=90°-18°=72°.所以答案是:72°.小提示:本题考查的是角的和差,两锐角的互余,掌握以上知识是解题的关键.13、如图所示,∠AOC=90°,点B,O,D在同一直线上,若∠1=26°,则∠2的度数为______.答案:116°解析:由图示可得,∠1与∠BOC互余,结合已知可求∠BOC,又因为∠2与∠COB互补,即可求出∠2的度数.解:∵∠1=26°,∠AOC=90°,∴∠BOC=64°,∵∠2+∠BOC=180°,∴∠2=116°.所以答案是:116°.小提示:此题考查了余角和补角的知识,属于基础题,关键是掌握互余的两角之和为90°,互补的两角之和为180°. 解答题14、已知OD 、OE 分别是∠AOB 、∠AOC 的角平分线.(1)如图1,OC 是∠AOB 外部的一条射线.①若∠AOC =32°,∠BOC =126°,则∠DOE = °;②若∠BOC =164°,求∠DOE 的度数;(2)如图2,OC 是∠AOB 内部的一条射线,∠BOC =n °,用n 的代数式表示∠DOE 的度数.答案:(1)63;(2)∠DOE =82°;(3)∠DOE =12n °解析:(1)根据角平分线的定义,和角的和差关系,可找到∠BOC 和∠DOE 的度数,代入数据即可;(2)根据角平分线的定义,和角的和差关系,可找到∠BOC 和∠DOE 的度数,代入数据即可.解:(1)∵OD 、OE 分别是∠AOB 、∠AOC ,∴∠AOD =12∠AOB ,∠AOE =12∠AOC ,∴∠DOE =∠AOD +∠AOE =12(∠AOB +∠AOC )=12∠BOC ,∵∠BOC =126°,∴∠DOE =63°,所以答案是:63.(2)由①可知,∠DOE =12∠BOC ,∵∠∠BOC =164°,∴∠DOE =82°.(3)∵OD 、OE 分别是∠AOB 、∠AOC ,∴∠AOD =12∠AOB ,∠AOE =12∠AOC , ∴∠DOE =∠AOD ﹣∠AOE =12(∠AOB ﹣∠AOC )=12∠BOC ,∵∠BOC =n °,∴∠DOE =12n °. 小提示:本题主要考查角平分线的定义,角的和差计算,根据图形,找到角之间的关系,是解题关键.15、如图,已知点C 为AB 上一点,AC=15cm ,CB=23AC ,若D 、E 分别为AC 、AB 的中点,求DE 的长.答案:DE =5cm解析:根据条件可求出AB 与CD 的长度,利用中点的性质即可求出AE 与AD 的长度,从而可求出答案. 解:∵AC =15 cm ,CB =23AC ,∴CB =10 cm ,AB =15+10=25 cm .又∵E 是AB 的中点,D 是AC 的中点,∴AE =12AB =12.5 cm .∴AD =12AC =7.5 cm ,∴DE =AE ﹣AD =12.5﹣7.5=5 cm .小提示:本题考查了两点间的距离,解题的关键是熟练运用线段之间的熟练关系,本题属于基础题型.11。
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几何图形(基础)知识讲解责编:某老师【学习目标】1.理解几何图形的概念,并能对具体图形进行识别或判断;2. 掌握立体图形从不同方向看得到的平面图形及立体图形的平面展开图,在平面图形和立体图形相互转换的过程中,初步培养空间想象能力;3. 理解点线面体之间的关系,掌握怎样由平面图形旋转得到几何体,能够借助平面图形剖析常见几何体的形成过程.【要点梳理】要点一、几何图形1.定义:把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形,几何图形由点、线、面组成.要点诠释:几何图形是从实物中抽象得到的,只注重物体的形状、大小、位置,而不注重它的其它属性,如重量,颜色等.2.分类:几何图形包括立体图形和平面图形(1)立体图形:图形的各部分不都在同一平面内,这样的图形就是立体图形,如长方体,圆柱,圆锥,球等.(2)平面图形:有些几何图形(如线段、角、三角形、圆等)的各部分都在同一平面内,它们是平面图形.【高清课堂:多姿多彩的图形397362空间图形的分类】要点诠释:常见的立体图形有两种分类方法:3.棱柱、棱锥的相关概念:在棱柱、棱锥中,任何相邻两个面的交线叫做棱,相邻两个侧面的交线叫做侧棱.棱柱的棱与棱的交点叫做棱柱的顶点.棱锥的各侧棱的公共点叫做棱锥的顶点.通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……(如下图)棱锥也是同理.要点诠释:(1)棱柱所有侧棱长都相等.棱柱的上、下底面的形状相同,侧面的形状都是平行四边形.棱锥的侧面都是三角形.(2)长方体、正方体都是四棱柱.(3)棱柱可分为直棱柱和斜棱柱.直棱柱的侧面是长方形,斜棱柱的侧面是平行四边形.4.点、线、面、体:长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体;包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种;面和面相交的地方形成线,线也分为直线和曲线两种;线和线相交的地方形成点.从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系.此外,从运动的观点看:点动成线,线动成面,面动成体.要点二、展开与折叠有些立体图形是由一些平面图形围成,将它们的表面适当剪开,可以展开成平面图形,这样的平面图形称为相应立体图形的展开图.要点诠释:(1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形.例如,球便不能展成平面图形.(2)不同的立体图形可展成不同的平面图形;同一个立体图形,沿不同的棱剪开,也可得到不同的平面图.要点三、主视图、左视图、俯视图一般地,我们把从正面看到的图形,称为主视图;从左面看到的图形,称为左视图;从上面看到的图形,称为俯视图.要点诠释:一个物体的三视图由主视图、左视图和俯视图组成.其中,主视图要在左边,它的下方应是俯视图,左视图在其右边,如图(1)所示.【典型例题】类型一、几何图形1.如图所示,请写出下列立体图形的名称.【思路点拨】可以联系生活中常见的图形及基本空间想象能力,描述各种几何体的名称.【答案与解析】解:(1)五棱柱;(2)圆锥;(3)四棱柱或长方体;(4)圆柱;(5)四棱锥.【总结升华】先根据立体图形的底面的个数,确定它是柱体、锥体还是球体,再根据其侧面是否为多边形来判断它是圆柱(锥)还是棱柱(锥).类型二、点、线、面、体2.分别指出下列几何体各有多少个面?面与面相交形成的线各有多少条?线与线相交形成的点各有多少个? 如图所示.【答案与解析】解:(1)4个面,6条线,4个顶点;(2)6个面,12条线,8个顶点;(3) 9个面,16条线,9个顶点.【总结升华】(1)数几何体中的点、线、面数时,要按一定顺序数,做到不重不漏.(2)一般地,n棱柱有(n+2)个面(其中2为两个底面),n棱锥有(n+1)个面(其中1为一个底面).【高清课堂:多姿多彩的图形397362旋转体】3.(2014秋•永川区期末)如图,上面的平面图形绕轴旋转一周,可以得出下面的立方图形,请你把有对应关系的平面图形与立体图形连接起来.【答案与解析】连线如下:【总结升华】“面动成体”,要充分发挥空间想象能力判断立体图形的形状.举一反三:【变式】将如图所示的Rt△ABC绕直角边AC旋转一周,所得几何体从正面看到的图形是( ).【答案】A类型三、展开与折叠4.(2016•徐州)下列图形中,不可以作为一个正方体的展开图的是()A.B. C.D.【思路点拨】利用不能出现同一行有多于4个正方形的情况,不能出现田字形、凹字形的情况进行判断也可.【答案】C【解析】正方体沿着不同棱展开,把各种展开图分类,可以总结为如下11种情况:故选:C.【总结升华】本题考查了正方体的展开图,熟记展开图的11种形式是解题的关键,利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”(即不能出现同一行有多于4个正方形的情况,不能出现田字形、凹字形的情况)判断也可.举一反三:【变式】(2015•宜昌)下列图形中可以作为一个三棱柱的展开图的是()A.B.C.D.【答案】 A .类型四、主视图、左视图、俯视图5.如图所示的是一个三棱柱,试着把从正面、左面、上面观察所得到的图形画出来.【思路点拨】注意观察的角度和方向.【答案与解析】解:从正面观察这个三棱柱,看到的图形是长方形;从左面观察它,看到的图形是长方形;从上面观察,看到的图形是三角形.因此,从三个方向看,得到的图形如图所示.【总结升华】若要画出从不同方向观察物体所得的图形,方向、角度一定要选准.因为从不同方向观察得到的图形往往不同.举一反三:【高清课堂:多姿多彩的图形397362三视图例3】【变式1】画出下列几何体的主视图、左视图与俯视图.【答案】主视图左视图俯视图【变式2】如图所示的工件的主视图是()A.B.C.D.【答案】B【解析】从物体正面看,看到的是一个横放的矩形,且一条斜线将其分成一个直角梯形和一个直角三角形.。
第一部分基础考过关-专题13几何图形初步-备战2024年中考数学真题解密(全国通用)(含解析)

专题13几何图形初步目录一览知识目标(新课程标准提炼)中考解密(分析考察方向,精准把握重难点)重点考向(以真题为例,探究中考命题方向)►考向一认识立体图形►考向二几何体的展开与折叠►考向三有关角的计算问题►考向四余角、补角与对顶角、邻补角►考向五平行线的性质与判定最新真题荟萃(精选最新典型真题,强化知识运用,优化解题技巧)1. 掌握五个基本事实;2. 会比较线段的长短,理解线段的和、差,以及线段中点的意义;3. 理解角的概念,能比较角的大小.认识度、分、秒,会对度、分、秒进行简单的换算,并会计算角的和、差;4. 理解对顶角、余角、补角等概念,探索并掌握对顶角相等、同角(等角)的余角相等、同角(等角)的补角相等的性质;识别同位角、内错角、同旁内角;5. 理解垂线、垂线段的概念,能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线;6. 理解平行线的概念;掌握平行线的性质定理;探索并证明平行线的判定定理和性质定理;7. 了解平行于同一条直线的两条直线平行;8. 通过具体实例,了解定义、命题、定理、推论的意义.结合具体实例,会区分命题的条件和结论,了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题,知道原命题成立其逆命题不一定成立;9. 了解反例的作用,知道利用反例可以判断一个命题是错误的.通过实例体会反证法的含义.该版块内容是初中几何的基础,是非常基础也是非常重要的,年年都会考查,分值为8分左右,预计2023年各地中考还将出现,大部分地区在选填题中考察可能性较大,主要考察平行线的性质和判定、方位角、角度的大小等知识,这些知识点考查较容易,另外平行线的性质可能在综合题中出现,考查学生能力,比如:作平行的辅助线,构造特殊四边形,此类题目有一定难度,需要学生灵活掌握.►考向一 认识立体图形(2023•乐山)1.下面几何体中,是圆柱的是( )A .B .C .D . (2023•娄底)2.一个长方体物体的一顶点所在A 、B 、C 三个面的面积比是3:2:1,如果分别按A 、B 、C 面朝上将此物体放在水平地面上,地面所受的压力产生的压强分别为A P 、B P 、C P (压强的计算公式为F P S =),则::A B C P P P =( )A .2:3:6B .6:3:2C .1:2:3D .3:2:1(2023•巴中)3.下列图形中为圆柱的是( )A . B . C . D .►考向二 几何体的展开与折叠(2023•达州)4.下列图形中,是长方体表面展开图的是()A.B.C.D.(2023•威海)5.如图是一正方体的表面展开图.将其折叠成正方体后,与顶点K距离最远的顶点是( )A.A点B.B点C.C点D.D点(2023•青岛)6.一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6,其展开图如图①所示.在一张不透明的桌子上,按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体,则该几何体能看得到的面上数字之和最小是( )A.31B.32C.33D.34►考向三有关角的计算问题(2022•烟台)7.如图,某海域中有A ,B ,C 三个小岛,其中A 在B 的南偏西40°方向,C 在B 的南偏东35°方向,且B ,C 到A 的距离相等,则小岛C 相对于小岛A 的方向是( )A .北偏东70°B .北偏东75°C .南偏西70°D .南偏西20°(2022•湘潭)8.如图,一束光沿CD 方向,先后经过平面镜OB 、OA 反射后,沿EF 方向射出,已知120AOB ∠=︒,20CDB ∠=︒,则∠=AEF .(2019•烟台)9.小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机,当机翼展开在同一平面时(机翼间无缝隙),AOB ∠的度数是 .►考向四 余角、补角与对顶角、邻补角解题技巧/易错易混1.识别对顶角时,要抓住两个关键要素:一是顶点,二是边.先看两个角是否有公共顶点,再看两个角的两边是否分别互为反向延长线.两条直线相交形成两对对顶角.2.互为邻补角的两个角一定互补,但互补的两个角不一定是邻补角;一个角的邻补角有两个,但一个角的补角可以有很多个(2023•北京)10.如图,90AOC BOD ∠=∠=︒,126AOD ∠=︒,则BOC ∠的大小为( )A .36︒B .44︒C .54︒D .63︒(2023•河南)11.如图,直线AB ,CD 相交于点O ,若180∠=︒,230∠=︒,则AOE ∠的度数为( )A .30︒B .50︒C .60︒D .80︒(2022•桂林)12.如图,直线l 1,l 2相交于点O ,∠1=70°,则∠2= °.►考向五 平行线的性质与判定(2023•绵阳)13.光线在不同介质中的传播速度是不同的,因此当光线从水中射向空气时,要发生折射,由于折射率相同,所以在水中平行的光线,在空气中也是平行的.如图,1122,2∠=︒∠的度数为( )A .32︒B .58︒C .68︒D .78︒(2023•重庆)14.如图,,⊥∥AB CD AD AC ,若155∠=︒,则2∠的度数为( )A .35︒B .45︒C .50︒D .55︒(2023•金华)15.如图,已知12350∠=∠=∠=︒,则4∠的度数是( )A .120︒B .125︒C .130︒D .135︒(2022•自贡)16.如图,直线,AB CD 相交于点O ,若130∠= ,则2∠的度数是( )A .30°B .40°C .60°D .150°(2022•河北)17.①~④是由相同的小正方体粘在一起的几何体,若组合其中的两个,恰是由6个小正方体构成的长方体,则应选择( )A .①③B .②③C .③④D .①④(2023•临沂)18.下图中用量角器测得ABC ∠的度数是( )A .50︒B .80︒C .130︒D .150︒(2023•河北)19.淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观.如图,西柏坡位于淇淇家南偏西70︒的方向,则淇淇家位于西柏坡的( )A .南偏西70︒方向B .南偏东20︒方向C .北偏西20︒方向D .北偏东70︒方向(2022•甘肃)20.若40A ∠=︒,则A ∠的余角的大小是( )A .50°B .60°C .140°D .160°(2023•金昌)21.如图1,汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献,书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就.其中所记载的“取大镜高悬,置水盆于其下,则见四邻矣”,是古人利用光的反射定律改变光路的方法,即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上;反射光线和入射光线位于法线的两侧;反射角等于入射角”.为了探清一口深井的底部情况,运用此原理,如图在井口放置一面平面镜可改变光路,当太阳光线AB 与地面CD 所成夹角50ABC ∠=︒时,要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部,则需要调整平面镜EF 与地面的夹角EBC ∠=( )A .60︒B .70︒C .80︒D .85︒(2023•临沂)22.在同一平面内,过直线l 外一点P 作l 的垂线m ,再过P 作m 的垂线n ,则直线l 与n 的位置关系是( )A .相交B .相交且垂直C .平行D .不能确定(2022•泸州)23.如图,直线a b ,直线c 分别交a ,b 于点A ,C ,点B 在直线b 上,AB AC ⊥,若1130∠=︒,则2∠的度数是( )A .30︒B .40︒C .50︒D .70︒(2022•贺州)24.如图,直线a ,b 被直线c 所截,下列各组角是同位角的是( )A .1∠与2∠B .1∠与3∠C .2∠与3∠D .3∠与4∠(2022•台州)25.如图,已知190∠=︒,为保证两条铁轨平行,添加的下列条件中,正确的是( )A .290∠=︒B .390∠=︒C .490∠=︒D .590∠=︒(2022•吉林)26.如图,如果12∠=∠,那么AB CD ∥,其依据可以简单说成( )A .两直线平行,内错角相等B .内错角相等,两直线平行C .两直线平行,同位角相等D .同位角相等,两直线平行(2021•铜仁市)27.直线AB 、BC 、CD 、EG 如图所示,1280∠=∠=︒,340∠=︒,则下列结论错误的是( )A .//AB CDB .40EBF ∠=︒C .32FCG ∠+∠=∠D .EF BE>(2023•内蒙古)28.将一副直角三角板按如图所示的方式摆放,点C 在FD 的延长线上,且AB FC ,则CBD ∠的度数为( )A .10︒B .15︒C .20︒D .25︒(2023•荆州)29.如图所示的“箭头”图形中,AB CD ∥,80B D ∠=∠= ,47E F ∠=∠= ,则图中G ∠的度数是( )A .80B .76C .66D .56(2023•常州)30.若圆柱的底面半径和高均为a ,则它的体积是 (用含a 的代数式表示).(2023•无锡)31.若直三棱柱的上下底面为正三角形,侧面展开图是边长为6的正方形,则该直三棱柱的表面积为 .(2022•百色)32.如图摆放一副三角板,直角顶点重合,直角边所在直线分别重合,那么∠BAC 的大小为(2022•玉林)33.已知∠α=60°,则∠α的余角等于 度.(2022•连云港)34.已知∠A 的补角是60°,则A ∠= ︒.(2022•西藏)35.如图,依下列步骤尺规作图,并保留作图痕迹:(1)分别以点A,B为圆心,大于12AB的长为半径作弧,两弧相交于E,F两点,作直线EF;(2)以点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AB,AC于点G,H,再分别以点G,H为圆心,大于12GH的长为半径画弧,两弧在∠BAC的内部相交于点O,画射线AO,交直线EF于点M.已知线段AB=6,∠BAC=60°,则点M到射线AC的距离为.(2023•镇江)36.如图,一条公路经两次转弯后,方向未变.第一次的拐角ABC∠是140︒,第二次的拐角BCD∠是°.(2021•兰州)37.将一副三角板如图摆放,则∥,理由是.(2023•台州)38.用一张等宽的纸条折成如图所示的图案,若120∠=︒,则∠2的度数为.(2023•武汉)39.如图,在四边形ABCD 中,,AD BC B D ∠=∠∥,点E 在BA 的延长线上,连接CE .(1)求证:E ECD ∠=∠;(2)若60,∠=︒E CE 平分BCD ∠,直接写出BCE 的形状.(2022•武汉)40.如图,在四边形ABCD 中,AD BC ∥,80B ∠=︒.(1)求BAD ∠的度数;(2)AE 平分BAD ∠交BC 于点E ,50BCD ∠=︒.求证:AE DC ∥.参考答案:1.B【分析】根据圆柱的特征,即可解答.【详解】解:A.是正方体,故不符合题意;B.是圆柱,故符合题意;C.是圆锥,故不符合题意;D.是球体,故不符合题意,故选:B.【点睛】本题考查了认识立体图形,熟练掌握每个几何体的特征是解题的关键.2.A【分析】首先根据长方体的性质,得出相对面的面积相等,再根据物体的压力不变,结合反比例函数的性质进行分析,即可得出答案.【详解】解:∵长方体物体的一顶点所在A、B、C三个面的面积比是3:2:1,∴长方体物体的A、B、C三面所对的与水平地面接触的面积比也为3:2:1,∵FPS=,0F>,且F一定,∴P随S的增大而减小,∴111::::2:3:6321A B CP P P==.故选:A.【点睛】本题考查了反比例函数的性质,解本题的关键在熟练掌握反比例函数的性质.3.B【分析】圆柱是由上下两个平行且大小一样的圆面和一个侧面(曲面)组成的立体图形,直接根据圆柱体的几何特点解答即可.【详解】根据圆柱的特点可知选项B中的图形是圆柱.故选:B.【点睛】此题考查认识立体图形,熟记常见的立体图形的几何特点是解题的关键.4.C【分析】根据长方体有六个面,以及Z字型进行判断即可.【详解】解:A中展开图有7个面,不符合要求;B中展开图无法还原成长方体,不符合要求;C正确,故符合要求;D中展开图有5个面,不符合要求,故选:C.【点睛】本题考查了长方体的展开图.解题的关键在于对知识的熟练掌握.5.D【分析】根据题意画出立体图形,即可求解.【详解】解:折叠之后如图所示,则K与点D的距离最远,故选D.【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠,学生需要有一定的空间想象能力.6.B【分析】根据正方体展开图的特征,得出相对面上的数字,再结合正方体摆放方式,得出使该几何体能看得到的面上数字之和最小,则看不见的面数字之和要最大,即可解答.【详解】解:由图①可知:1的相对面是3,2的相对面是4,5的相对面是6,由图2可知:要使该几何体能看得到的面上数字之和最小,则看不见的面数字之和要最大,上面的正方体有一个面被遮住,则这个面数字为6,++++=;能看见的面数字之和为:1234515左下的正方体有3个面被遮住,其中两个为相对面,则这三个面数字分别为4,5,6,++=;能看见的面数字之和为:1236右下的正方体有2个面被遮住,这两个面不是相对面,则这两个面数字为4,6,+++=;能看见的面数字之和为:123511++=,∴能看得到的面上数字之和最小为:1561132故选:B.【点睛】本题主要考查了正方体的相对面,掌握正方体展开图中“相间一行是相对面”,是解题的关键.7.A【分析】根据题意可得∠ABC =75°,AD ∥BE ,AB =AC ,再根据等腰三角形的性质可得∠ABC =∠C =75°,从而求出∠BAC 的度数,然后利用平行线的性质可得∠DAB =∠ABE =40°,从而求出∠DAC 的度数,即可解答.【详解】解:如图:由题意得:∠ABC =∠ABE +∠CBE =40°+35°=75°,AD ∥BE ,AB =AC ,∴∠ABC =∠C =75°,∴∠BAC =180°﹣∠ABC ﹣∠C =30°,∵AD ∥BE ,∴∠DAB =∠ABE =40°,∴∠DAC =∠DAB +∠BAC =40°+30°=70°,∴小岛C 相对于小岛A 的方向是北偏东70°,故选:A ..【点睛】本题考查了方向角,等腰三角形的性质,熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.8.40°##40度【分析】根据入射角等于反射角,可得,CDB EDO DEO AEF ∠=∠∠=∠,根据三角形内角和定理求得40OED ∠=︒,进而即可求解.【详解】解:依题意,,CDB EDO DEO AEF ∠=∠∠=∠,∵120AOB ∠=︒,20CDB ∠=︒,20CDB EDO ∴∠=∠=︒,∴18040OED ODE AOB ∠=-∠-∠=︒,∴40AEF DEO ∠=∠=︒.故答案为:40°.【点睛】本题考查了轴对称的性质,三角形内角和定理的应用,掌握轴对称的性质是解题的关键.9.45°【分析】根据折叠过程可知,在折叠过程中角一直是轴对称的折叠.【详解】在折叠过程中角一直是轴对称的折叠,22.5245AOB ︒︒∠=⨯=故答案为45°【点睛】考核知识点:轴对称.理解折叠的本质是关键.10.C【分析】由90AOC BOD ∠=∠=︒,126AOD ∠︒=,可求出COD ∠的度数,再根据角与角之间的关系求解.【详解】∵=90AOC ∠︒,126AOD ∠︒=,∴36COD AOD AOC ∠=∠-∠=︒,∵90BOD ∠=︒,∴903654BOC BOD COD ∠=∠-∠=︒-︒=︒.故选:C .【点睛】本题考查的知识点是角的计算,注意此题的解题技巧:两个直角相加和AOD ∠相比,多加了BOC ∠.11.B【分析】根据对顶角相等可得180AOD ∠=∠=︒,再根据角的和差关系可得答案.【详解】解:∵180∠=︒,∴180AOD ∠=∠=︒,∵230∠=︒,∴2803050AOE AOD ∠=∠-∠=︒-︒=︒,故选:B【点睛】本题主要考查了对顶角的性质,解题的关键是掌握对顶角相等.12.70【分析】根据对顶角的性质解答即可.【详解】解:∵∠1和∠2是对顶角,∴∠2=∠1=70°,故答案为:70.【点睛】本题主要考查了对顶角,熟练掌握对顶角相等是解答本题的关键.13.B【分析】本题主要考查了平行线的性质.根据平行线的性质解答,即可求解.【详解】解:如图,根据题意得:a b ,c d ∥,∴13180∠+∠=︒,32∠=∠,∵1122∠=︒,∴258∠=︒.故选:B .14.A【分析】根据两直线平行,同旁内角互补可得CAB ∠的度数,根据垂直的定义可得90CAD ∠=︒,然后根据2CAB CAD Ð=Ð-Ð即可得出答案.【详解】解:∵AB CD ∥,155∠=︒,∴18055125CAB Ð=°-°=°,∵AD AC ⊥,∴90CAD ∠=︒,∴21259035CAB CAD Ð=Ð-Ð=°-°=°,故选:A .【点睛】本题考查了平行线的性质以及垂线的定义,熟知两直线平行同旁内角互补是解本题的关键.15.C【分析】由1350∠=∠=︒可得a b ∥,可得2550∠=∠=︒,再利用邻补角的含义可得答案.【详解】解:如图,标记角,∵1350∠=∠=︒,∴a b ∥,而250∠=︒,∴2550∠=∠=︒,∴41805130∠=︒-∠=︒;故选C【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质,邻补角的含义,熟记平行线的判定与性质是解本题的关键.16.A【分析】根据对顶角相等可得2=1=30∠∠︒.【详解】解:∵130∠= ,1∠与2∠是对顶角,∴2=1=30∠∠︒.故选:A .【点睛】本题考查了对顶角,解题的关键是熟练掌握对顶角的性质:对顶角相等.17.D【分析】观察图形可知,①~④的小正方体的个数分别为4,3,3,2,其中②③组合不能 构成长方体,①④组合符合题意【详解】解:观察图形可知,①~④的小正方体的个数分别为4,3,3,2,其中②③组合不能构成长方体,①④组合符合题意故选D【点睛】本题考查了立体图形,应用空间想象能力是解题的关键.18.C【分析】由图形可直接得出.【详解】解:由题意,可得130ABC ∠=︒,故选:C .【点睛】本题考查角的度量,量角器的使用方法,正确使用量角器是解题的关键.19.D【分析】根据方向角的定义可得答案.【详解】解:如图:∵西柏坡位于淇淇家南偏西70︒的方向,∴淇淇家位于西柏坡的北偏东70︒方向.故选D .【点睛】本题主要考查方向角,理解方向角的定义是正确解答的关键.20.A【分析】用90°减去40°即可求解.【详解】解:∵40A ∠=︒,∴A ∠的余角=904050︒-︒=︒,故选A【点睛】本题考查了求一个角的余角,掌握和为90° 的两角互为余角是解题的关键.21.B【分析】如图,过B 作BQ ⊥平面镜EF ,可得90QBE QBF ∠=∠=︒,ABC CBQ ABQ MBQ ∠+∠=∠=∠,而90CBQ QBM CBM ∠+∠=∠=︒,再建立方程5090CBQ CBQ ︒+∠=︒-∠,可得20CBQ ∠=︒,从而可得答案.【详解】解:如图,过B 作BQ ⊥平面镜EF ,∴90QBE QBF ∠=∠=︒,ABC CBQ ABQ MBQ ∠+∠=∠=∠,而90CBQ QBM CBM ∠+∠=∠=︒,∴5090CBQ CBQ ︒+∠=︒-∠,∴20CBQ ∠=︒,∴902070EBC ∠=︒-︒=︒,故选B .【点睛】本题考查的是垂直的定义,角的和差运算,角平分线的含义,属于跨学科题,熟记基础概念是解本题的关键.22.C【分析】本题考查了垂线和平行线,熟练掌握同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行是关键.根据同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行,即可得出答案.【详解】解:∵l m ⊥,n m ⊥,∴l n ∥.故选:C .23.B【分析】本题考查平行线的性质,解答本题的关键是明确平行线的性质.首先利用平行线的性质得到1DAC ∠∠=,然后利用AB AC ⊥得到90BAC ∠=︒,最后利用角的和差关系求解.【详解】解:如图所示,∵直线a b ,∴1DAC ∠∠=,∵1130∠=︒,∴130DAC ∠=︒,又∵AB AC ⊥,∴90BAC ∠=︒,∴21309040DAC BAC ∠∠∠=-=︒-︒=︒.故选:B .24.B【分析】两条线a 、b 被第三条直线c 所截,在截线的同旁,被截两直线的同一方,把这种位置关系的角称为同位角,据此作答即可.【详解】解:∠1与∠2是对顶角,选项A 不符合题意;∠1与∠3是同位角,选项B 符合题意;∠2与∠3是内错角,选项C 不符合题意;∠3与∠4是邻补角,选项D 不符合题意;故选:B .【点睛】此题考查了同位角、内错角、同旁内角,熟记同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键.25.C【分析】根据平行线的判定方法进行判断即可.【详解】解:A.∠1与∠2是邻补角,无法判断两条铁轨平行,故此选项不符合题意;B. ∠1与∠3与两条铁轨平行没有关系,故此选项不符合题意;C. ∠1与∠4是同位角,且∠1=∠4=90°,故两条铁轨平行,所以该选项正确;D. ∠1与∠5与两条铁轨平行没有关系,故此选项不符合题意;故选:C .【点睛】本题主要考查了平行线的判定,熟练掌握平行线的判定是解答本题的关键.26.D【分析】根据“同位角相等,两直线平行”即可得.【详解】解:因为1∠与2∠是一对相等的同位角,得出结论是AB CD ,所以其依据可以简单说成同位角相等,两直线平行,故选:D .【点睛】本题考查了平行线的判定,熟练掌握平行线的判定方法是解题关键.27.D【分析】根据平行线的判定定理、三角形的外角定理以及等腰三角形的等角对等边的性质依次判断.【详解】解:∵1280∠=∠=︒,∴//AB CD ,故A 选项正确;∵180∠=︒,∴80EBF EFB ∠+∠=︒,∵340EFB ∠=∠=︒,∴40EBF ∠=︒,故B 选项正确;32FCG ∠+∠=∠,故C 选项正确;∵40EFB EBF ∠=∠=︒,∴EF=BE ,故D 选项错误,故选:D .【点睛】此题考查平行线的判定定理、三角形的外角定理以及等腰三角形的等角对等边的性质,熟记各定理是解题的关键.28.B【分析】平行线的性质,得到ABD FDE ∠=∠,再利用CBD ABD ABC ∠=∠-∠,进行求解即可.【详解】解:由题意,得:4530EDF ABC ∠=︒∠=︒,,∵AB FC ,∴45ABD FDE ∠=∠=︒,∴15CBD ABD ABC ∠=∠-∠=︒;故选B .【点睛】本题考查平行线的性质,三角板中角度的计算.正确的识图,掌握平行线的性质,是解题的关键.29.C【分析】延长AB 交EG 于点M ,延长CD 交GF 于点N ,过点G 作AB 的平行线GH ,根据平行线的性质即可解答.【详解】解:如图,延长AB 交EG 于点M ,延长CD 交GF 于点N ,过点G 作AB 的平行线GH ,4780,E F EBA FDC ∠=∠=∠=∠= ,33EMA EBA E ∴∠=∠-∠=︒,33FNC FDC F ∠=∠-∠=︒,,AB CD AB HG ∥∥ ,HG CD ∴∥,33MGH EMA ∴∠=∠=︒,33NGH FND ∠=∠=︒,333366EGF ∴∠=︒+︒=︒,故选:C .【点睛】本题考查了平行线的判定及性质,三角形外角的定义和性质,作出正确的辅助线是解题的关键.30.3πa 【详解】根据圆柱的体积=圆柱的底面积⨯圆柱的高,可得23ππV a a a == .故答案为:3πa .【点睛】本题主要考查代数式和整式的乘法运算,牢记整式乘法的运算性质是解题的关键.31.36+##36+【分析】根据题意得出正三角形的边长为2,进而根据表面积等于两个底面积加上侧面正方形的面积即可求解.【详解】解:∵侧面展开图是边长为6的正方形,∴底面周长为6,∵底面为正三角形,∴正三角形的边长为2作CD AB ⊥,ABC 是等边三角形,2AB BC AC ===,1AD ∴=,∴在直角ADC ∆中,CD ==,122ABC S ∴=⨯=∴该直三棱柱的表面积为6636⨯+=+故答案为:36+.【点睛】本题考查了三棱柱的侧面展开图的面积,等边三角形的性质,正方形的性质,熟练掌握以上知识是解题的关键.32.135°##135度【分析】根据三角板及其摆放位置可得180,45BAO BAC OAC OAC ∠=︒=∠+∠∠=︒,求解即可.【详解】180,45BAO BAC OAC OAC ∠=︒=∠+∠∠=︒ ,18045135BAC ∴∠=︒-︒=︒,故答案为:135°.【点睛】本题考查了求一个角的补角,即两个角的和为180度时,这两个角互为补角,熟练掌握知识点是解题的关键.33.30【详解】∵互余两角的和等于90°,∴α的余角为:90°-60°=30°.故答案为:3034.120【分析】如果两个角的和等于180°,就说这两个角互为补角.由此定义即可求解.【详解】解:∵∠A 的补角是60°,∴∠A =180°-60°=120°,故答案为:120.【点睛】本题考查补角的定义,熟练掌握两个角互为补角的定义是解题的关键.35【分析】根据线段的垂直平分线和角平分线的作法可知:EF 是线段AB 的垂直平分线,AO 是∠AOB 的平分线,利用线段的垂直平分线的性质和角平分线的性质的求解即可.【详解】解:如图所示:根据题意可知:EF 是线段AB 的垂直平分线,AO 是∠BAC 的平分线,∵AB =6,∠BAC =60°,∴∠BAO =∠CAO =12∠BAC =30°,AD =12AB =3,∴AM =2MD ,在Rt △ADM 中,222(2)MD MD AD =+,即22243MD MD =+,∴MD ∵AM 是∠AOB 的平分线,MD ⊥AB ,∴点M 到射线AC【点睛】本题考查作图-基本作图,线段的垂直平分线的性质,角平分线的性质等知识,解题的关键是理解题意灵活运用基本作图的知识解决问题.36.140【分析】根据两次转弯后方向不变得到AB CD ,即可得到140BCD ABC ∠=∠=︒.【详解】解:∵一条公路经两次转弯后,方向未变,∴转弯前后两条道路平行,即AB CD ,∴140BCD ABC ∠=∠=︒.故答案为:140.【点睛】此题考查了平行线的性质,由题意得到AB CD 是解题的关键.37. BC DE 内错角相等,两直线平行【分析】根据三角板的角度可知90BCA DEF ∠=∠=︒,根据内错角相等,两直线平行判断即可.【详解】解:一副三角板如图摆放,∴90BCA DEF ∠=∠=︒,∴//BC DE (内错角相等,两直线平行),故答案为:BC ;DE ;内错角相等,两直线平行.【点睛】本题考查了平行线的判定,熟知平行线的判定定理是解本题的关键.38.140︒##140度【分析】如图,先标注点与角,由对折可得:1420∠=∠=︒,求解3180220140∠=︒-⨯︒=︒,利用AB CD ∥,从而可得答案.【详解】解:如图,先标注点与角,由对折可得:1420∠=∠=︒,∴3180220140∠=︒-⨯︒=︒,∵AB CD ∥,∴23140∠=∠=︒;故答案为:140︒【点睛】本题考查的是折叠的性质,平行线的性质,熟记两直线平行,同位角相等是解本题的关键.39.(1)见解析(2)等边三角形【分析】(1)由平行线的性质得到EAD B ∠=∠,已知,B D ∠=∠则EAD D ∠=∠,可判定,BE CD ∥即可得到E ECD ∠=∠;(2)由60E ∠=︒,E ECD ∠=∠得到60ECD E ∠=∠=︒,由CE 平分BCD ∠,得到60BCE ECD ∠=∠=︒,进一步可得BCE E BEC ∠=∠=∠,即可证明BCE 是等边三角形.【详解】(1)证明:AD BC ,∴EAD B ∠=∠,,B D ∠=∠ EAD D ∴∠=∠,,BE CD ∴∥E ECD ∴∠=∠.(2)∵60E ∠=︒,E ECD ∠=∠,∴60ECD E ∠=∠=︒,∵CE 平分BCD ∠,∴60BCE ECD ∠=∠=︒,∴60BCE E ∠=∠=︒,∴18060B BCE E ∠=︒-∠-∠=︒,∴BCE E B ∠=∠=∠,∴BCE 是等边三角形【点睛】此题考查了平行线的判定和性质、等边三角形的判定、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识,熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键.40.(1)100BAD ∠=︒(2)证明见解析【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质.(1)根据两直线平行,同旁内角互补,即可求解;(2)根据AE 平分BAD ∠,可得50DAE ∠=︒.再由AD BC ∥,可得50AEB DAE ∠=∠=︒.即可求证.【详解】(1)解:∵AD BC ∥,∴180B BAD ∠+∠=°,∵80B ∠=︒,∴100BAD ∠=︒.(2)证明:∵AE 平分BAD ∠,∴1502DAE BAD ∠=∠=︒.∵AD BC ∥,∴50AEB DAE ∠=∠=︒.∵50BCD ∠=︒,∴BCD AEB ∠=∠.∴AE DC ∥.。
几何图形初步经典解析与练习

1几何图形初步经典解析与练习一、典型例题讲解例1 如图3—173所示,回答下列问题。
图3-173(1)图中有几条直线?用字母表示出来;(2)图中有几条射线?用字母表示出来;(3)图中有几条线段?用字母表示出来。
解:(1)图中有1条直线,表示为直线AD (或直线AB ,AC ,BD ……);(2)图中共有8条射线,能用字母表示的有射线AD ,BD ,CD ,DA ,CA,BA,不能用字母表示的有2条,(3)图中共有6条线段,用字母表示为线段AB ,AC ,AD,BC ,BD ,CD , 例2如图1—1,正方体盒子中,一只蚂蚁从B 点沿正方体的表面爬到D 1点,画出蚂蚁爬行的最短线路.分析:正方体是空间图形,解决空间图形的问题,经常是将空间图形转化为平面图形,这正是转化思想的体现.解:将正方体展开成平面图形,如图1—2所示,因为两点之间线段最短,所以,在图1—2中,BD 1就是所要求的最短线路.例3如图2,点O 是直线A 上的一点,OD 是∠AOC 的平分线,OE 是∠COB 的平分线, 求∠DOE 的度数。
分析:在解决线段的中点和角的平分线问题时,某个环节整体处理,能化难为易,轻松求解.分别求出∠DOC 、∠EOC 的度数,再相加得到∠DOE 的度数,是不可能的,可将∠DOE 作为一个整体来考虑.解:因为OD 是∠AOC 的平分线,OE 是∠COB 的平分线,所以∠COD=21∠COA,∠COE =21∠COB , 而∠COA +∠COB =180°,图1图2图32 所以∠DOE =21(∠COA +∠COB )=21×180°=90°. 《几何图形初步》练习题1.右图中五角星状的图形沿虚线折叠,得到一个几何体,你在生活中见过和这个几何体类似的物体吗?2。
你能根据下面的图形设计一个三棱锥、四棱锥吗?3.用平面截正方体,截面的形状可以是长方形吗?用平面截长方体,截面的形状可以是正方形吗?4。
(必考题)七年级数学上册第四单元《几何图形初步》-解答题专项知识点(含答案解析)

一、解答题1.如图,已知A、B、C、D四点,根据下列要求画图:(1)画直线AB、射线AD;(2)画∠CDB;(3)找一点P,使点P既在AC上又在BD上.解析:(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.【分析】(1)利用直线以及射线的定义画出图形即可;(2)利用角的定义作射线DC,DB即可;(3)连接AC,与BD的交点即为所求.【详解】解:(1)如图所示:直线AB、射线AD即为所求;(2)如图所示:∠CDB即为所求;(3)如图所示:点P即为所求.【点睛】此题主要考查了直线、射线以及角的定义,正确把握相关定义是解题关键.2.如图是由若干个正方体形状的木块堆成的,平放于桌面上。
其中,上面正方体的下底面的四个顶点恰是下面相邻正方体的上底面各边的中点,如果最下面的正方体的棱长为1.(1)当只有两个正方体放在一起时,这两个正方体露在外面的面积和是;(2)当这些正方体露在外面的面积和超过8时,那么正方体的个数至少是多少?(3)按此规律下去,这些正方体露在外面的面积会不会一直增大?如果会,请说明理由;如果不会,请求出不会超过哪个数值?(提示:所有正方体侧面面积加上所有正方体上面露出的面积之和,就是需求的面积,从简单入手,归纳规律.)解析:(1)7;(2)4个;(3)不会,理由见解析【分析】(1)若只有一层(即只有一个)时,每个面的面积是1,共露出5个面,所以外露面积为:1+1×4=5;若有两层,则第二层每个侧面的面积是12,与一层相比,多了4个侧面,所以外露面积为:1+(1+12)×4=7;(2)若有三层,则第三层的每个侧面的面积是14,与两层相比,多了4个侧面,所以外露面积=1+(1+12+14)×4=8,这些正方体露在外面的面积和超过8,那么正方体的个数至少是4个;(3)若有n层,所以,露在外面的面积为:1+[1+12+14+……+(1)12n-]×4<1+2×4=9,即按此规律堆下去,总面积最大不会超过9.【详解】解:(1)若只有一层(即只有一个)时,每个面的面积是1,共露出5个面,所以外露面积为:1+1×4=5;若有两层,则第二层每个侧面的面积是12,与一层相比,多了4个侧面,所以外露面积为:1+(1+12)×4=7;(3)若有三层,则第三层的每个侧面的面积是14,与两层相比,多了4个侧面,所以外露面积=1+(1+12+14)×4=8,∴这些正方体露在外面的面积和超过8,那么正方体的个数至少是4个;(3)若有n层,所以,露在外面的面积为:1+[1+12+14+……+(1)12n-]×4<1+2×4=9,∴按此规律堆下去,总面积最大不会超过9.【点睛】此题考查了立体图形的表面积问题.解决本题的关键是得到上下正方体的一个面积之间的关系,从而即可得出依次排列的正方体的一个面的面积,这里还要注意把最下面的正方体看做是5个面之外,上面的正方体都是露出了4个面.解决本题的关键是得到上下正方体的一个面积之间的关系.3.如图,已知C是AB的中点,D是AC的中点,E是BC的中点.(1)若DE=9cm,求AB的长.(2)若CE=5cm,求DB的长.解析:(1)AB=18;(2)DB=15.【分析】(1)由线段中点的定义可得CD=12AC,CE=12BC,根据线段的和差关系可得DE=12AB,进而可得答案;(2)根据中点定义可得AC=BC,CE=BE,AD=CD,根据线段的和差关系即可得答案.【详解】(1)∵D是AC的中点,E是BC的中点.∴CD=12AC,CE=12BC,∵DE=CD+CE=9,∴12AC+12BC=12(AC+BC)=9,∵AC+BC=AB,∴AB=18.(2)∵C是AB的中点,D是AC的中点,E是BC的中点,∴AC=BC,CE=BE=12BC,,AD=CD=12AC,∴AD=CD=CE=BE,∴DB=CD+CE+BE=3CE,∵CE=5,∴DB=15.【点睛】本题主要考查中点的定义及线段之间的和差关系,灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解题关键.4.如图,点B和点C为线段AD上两点,点B、C将AD分成2︰3︰4三部分,M是AD的中点,若MC=2,求AD的长.解析:AD=36.【分析】根据点B、C将AD分成2︰3︰4三部分可得出CD与AD的关系,根据中点的定义可得MD=12AD,利用MC=MD-CD即可求出AD的长度.【详解】∵点B、C将AD分成2︰3︰4三部分,∴CD=49AD,∵M是AD的中点,∴MD=12 AD,∵MC=MD-CD=2,∴12AD-49AD=2,∴AD=36.【点睛】本题主要考查中点的定义及线段之间的和差关系,灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解题关键.5.(1)如图,AC=DB,请你写出图中另外两条相等的线段.(2)在一直道边植树8棵,若相邻两树之间距离均为1.5m,则首尾两颗大树之间的距离是_____.解析:(1)AB=CD;(2)10.5m.【分析】(1)根据等式的性质即可得出结论;(2)8棵树之间共有7段距离,从而计算即可.【详解】(1)因为AC=BD,∴AC-BC=DB-BC,即AB=CD.(2)设首尾之间的距离为x,由8棵树之间共有7段间隔,可得x=7×1.5=10.5(m).故答案为:10.5m.【点睛】本题考查了等式的性质及线段的计算,属于基础题,明白8棵树之间的间隔是关键.6.如图,把下列物体和与其相似的图形连接起来.解析:见解析.【分析】根据圆锥,圆柱,球体,正方体的形状连接即可.【详解】连接如图.【点睛】此题考查认识立体图形,解题关键在于掌握立体图的概念.7.蜗牛爬树 一棵树高九丈八,一只蜗牛往上爬.白天往上爬一丈,晚上下滑七尺八.试问需要多少天,爬到树顶不下滑? 解析:蜗牛需41天才爬到树顶不下滑. 【分析】根据题意可知蜗牛一个白天加一个晚上所爬行的路程,即蜗牛每天前进的路程,最后一天,也就是还剩下一丈的时候,他爬到树顶就不再往下滑了,在这之前都是白天爬一丈,晚上下滑七尺八;接下来设需要x 天,爬到树顶不下滑,列出方程即可解答. 【详解】设蜗牛需x 天才爬到树顶不下滑,即爬到九丈八需x 天,可列方程(10-7.8)(x -1)+10=98,解得x =41.答:蜗牛需41天才爬到树顶不下滑. 【点睛】此题考查一元一次方程的应用,解题关键在于理解题意找到等量关系列出方程.8.如图,已知40AOB ∠=︒,3BOC AOB ∠=∠,OD 平分AOC ∠,求BOD ∠的度数.解析:40° 【分析】根据3BOC AOB ∠=∠,40AOB ∠=︒求出120BOC ∠=︒,得到∠AOC 的度数,利用OD 平分AOC ∠,求出∠AOD 的度数,即可求出BOD ∠的度数.【详解】解:∵3BOC AOB ∠=∠,40AOB ∠=︒,∴120BOC ∠=︒.∵AOC AOB BOC ∠=∠+∠,40120=︒+︒,160=︒,又∵OD 平分AOC ∠,∴1802AOD AOC ∠=∠=︒, ∴BOD AOD AOB ∠=∠-∠,8040=︒-︒,40=︒.【点睛】此题考查角度的和差计算,会看图明确各角之间的大小关系,注意角平分线的运用. 9.如图,点B 、C 在线段AD 上,且::2:3:4AB BC CD =,点M 是线段AC 的中点,点N 是线段CD 上的一点,且9MN =. (1)若点N 是线段CD 的中点,求BD 的长; (2)若点N 是线段CD 的三等分点,求BD 的长.解析:(1)14;(2)37823或37831. 【分析】(1)设AB=2x ,则BC=3x ,CD=4x .根据线段中点的性质求出MC 、CN ,列出方程求出x ,计算即可;(2)分两种情况:①当N 在CD 的第一个三等分点时,根据MN=9,求出x 的值,再根据BD=BC+CD 求出结果即可;②当N 在CD 的第二个三等分点时,方法同①. 【详解】设AB=2x ,则BC=3x ,CD=4x . ∴AC=AB+BC=5x , ∵点M 是线段AC 的中点, ∴MC=2.5x ,∵点N 是线段CD 的中点, ∴CN=2x ,∴MN=MC+CN=2.5x+2x=4.5x ∵MN=9,∴4.5x=9,解得x=2, ∴BD=BC+CD=3x+4x=7x=14.(2)情形1:当N 在CD 的第一个三等分点时,CN=43x ,∴MN=MC+CN=54239236x x x +== 解得,5423x =,∴BD=BC+CD=3x+4x=7x=37823; 情形2:当当N 在CD 的第二个三等分点时,CN=83x , ∴MN=MC+CN=58319236x x x +== 解得,5431x =, ∴BD=BC+CD=3x+4x=7x=37831; 故BD 的长为37823或37831. 【点睛】本题考查的是两点间的距离的计算,掌握线段中点和三等分点的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键.10.[阅读理解]射线OC 是AOB ∠内部的一条射线,若1,2COA BOC ∠=∠则我们称射线OC 是射线OA 的伴随线.例如,如图1,60 20AOB AOC COD BOD ∠=∠=∠=∠=,,则12AOC BOC ∠=∠,称射线OC 是射线OA 的伴随线:同时,由于12BOD AOD ∠=∠,称射线OD 是射线OB 的伴随线. [知识运用](1)如图2,120AOB ∠=,射线OM 是射线OA 的伴随线,则AOM ∠= ,若AOB ∠的度数是α,射线ON 是射线OB 的伴随线,射线OC 是AOB ∠的平分线,则NOC ∠的度数是 .(用含α的代数式表示)(2)如图,如180AOB ∠=,射线OC 与射线OA 重合,并绕点O 以每秒3的速度逆时针旋转,射线OD 与射线OB 重合,并绕点O 以每秒5的速度顺时针旋转,当射线OD 与射线OA 重合时,运动停止,现在两射线同时开始旋转.①是否存在某个时刻t (秒),使得COD ∠的度数是20,若存在,求出t 的值,若不存在,请说明理由;②当t 为多少秒时,射线OC OD OA 、、中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线. 解析:(1)40︒,16α;(2)①存在,当20t =秒或25秒时,∠COD 的度数是20︒;②当907t =,36019,1807,30时,OC 、OD 、OA 中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线. 【分析】(1)根据伴随线定义即可求解;(2)①利用分类讨论思想,分相遇之前和之后进行列式计算即可; ②利用分类讨论思想,分相遇之前和之后四个图形进行计算即可. 【详解】(1)∵120AOB ∠=,射线OM 是射线OA 的伴随线, 根据题意,12AOM BOM ∠=∠,则111204033AOM AOB ∠=∠=⨯︒=︒; ∵AOB ∠的度数是α,射线ON 是射线OB 的伴随线,射线OC 是AOB ∠的平分线, ∴111233BON AON AOB α∠=∠=∠=,1122BOC AOB α∠=∠=, ∴111236NOC BOC BON ααα∠=∠-∠=-=; 故答案为:40︒,16α;(2)射线OD 与OA 重合时,180365t ==(秒), ①当∠COD 的度数是20°时,有两种可能:若在相遇之前,则1805320t t --=, ∴20t =;若在相遇之后,则5318020t t +-=, ∴25t =;所以,综上所述,当20t =秒或25秒时,∠COD 的度数是20°; ②相遇之前: (i )如图1,OC 是OA 的伴随线时,则12AOC COD ∠=∠,即()13180532t t t =--, ∴907t =; (ii )如图2,OC 是OD 的伴随线时, 则12COD AOC ∠=∠, 即11805332t t t --=⨯, ∴36019t =; 相遇之后:(iii )如图3,OD 是OC 的伴随线时, 则12COD AOD ∠=∠, 即()15318018052t t t +-=-, ∴1807t =; (iv )如图4,OD 是OA 的伴随线时,则12AOD COD ∠=∠,即()118053t 5t 1802t -=+-, ∴30t =;所以,综上所述,当907t =,36019,1807,30时,OC 、OD 、OA 中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线. 【点睛】本题是几何变换综合题,考查了角的计算,考查了动点问题,解题的关键是理解题意,学会用分类讨论的思想思考问题.11.(1)已知一个角的补角比它的余角的3倍多10︒,求这个角的度数. (2)已知α∠的余角是β∠的补角的13,并且32βα∠=∠,试求a β∠+∠的度数.解析:(1)50°;(2)150° 【分析】(1)设这个角为α,则补角为(180°-α),余角为(90°-α),再由补角比它的余角的3倍多10°,可得方程,解出即可;(2)根据互余和互补的定义,结合已知条件列出方程组,解方程组得到答案. 【详解】(1)设这个角为α,根据题意,得18039010()a α︒-=︒-+︒.解得:50α=︒. 答:这个角的度数为50︒. (2)根据题意,得190(180)3αβ︒︒-∠=⨯-∠且32βα∠=∠, ∴60α∠=︒,90β∠=︒. ∴ 150αβ∠+∠≡︒. 【点睛】本题考查的是余角和补角的概念,掌握若两个角的和为90°,则这两个角互余;若两个角的和等于180°,则这两个角互补是解题的关键.12.如图,已知平面上有四个村庄,用四个点A ,B ,C ,D 表示.(1)连接AB ,作射线AD ,作直线BC 与射线AD 交于点E ;(2)若要建一供电所M ,向四个村庄供电,要使所用电线最短,则供电所M 应建在何处?请画出点M 的位置并说明理由.解析:(1)如图所示.见解析;(2)如图,见解析;供电所M 应建在AC 与BD 的交点处.理由:两点之间,线段最短.【分析】(1)根据射线、直线的定义进而得出E点位置;(2)根据线段的性质:两点之间,线段距离最短;结合题意,要使它与四个村庄的距离之和最小,就要使它在AC与BD的交点处.【详解】(1)如图所示:点E即为所求;(2)如图所示:点M即为所求.理由:两点之间,线段最短.【点睛】本题主要考查了作图与应用作图,关键是掌握线段的性质:两点之间,线段距离最短.13.小刚和小强在争论一道几何问题,问题是射击时为什么枪管上有准星.小刚说:“过两点有且只有一条直线,所以枪管上才有准星.”小强说:“过两点有且只有一条直线我当然知道,可是若将人眼看成一点,准星看成一点,目标看成一点,这样不是有三点了吗?既然过两点有且只有一条直线,那弄出第三点是为什么呢?”聪明的你能回答小强的疑问吗?解析:见解析【分析】根据直线的性质,结合实际意义,易得答案.【详解】解:如果将人眼看成一点,准星看成一点,目标看成一点,那么要想射中目标,人眼与目标确定的这条直线应与子弹所走的直线重合,即与准星和目标所确定的这条直线重合,即可看到哪儿打到哪儿.换句话说要想射中目标就必须使准星在人眼与目标所确定的直线上.【点睛】题考查直线的性质,无限延伸性即没有端点;同时结合生活中的射击场景,立意新颖,熟练掌握直线的性质是解题的关键.14.如图,已知线段a和b,直线AB和CD相交于点O.利用尺规,按下列要求作图(只保留作图痕迹即可):(1)在射线OA,OB,OC上作线段OA′,OB′,OC′,使它们分别与线段a相等;(2)在射线OD上作线段OD′,使OD′与线段b相等;(3)连接A′C′,C′B′,B′D′,D′A′.解析:详见解析【解析】【分析】(1)以点O为圆心,a为半径作圆,分别交射线OA,OB,OC于A′、B′、C′;、(2)以点O为圆心,b为半径作圆,分别交射线OD,于D′.(3)依次连接A′C′B′D′,即可解答.【详解】解:(1)如图所示OA′、OB′、OC′.(2)如图所示OD′.(3)如图所示A′C′B′D′.【点睛】此题考查作图—复杂作图,解题关键在于掌握尺规作图.15.如图,O在直线AC上,OD是∠AOB的平分线,OE在∠BOC内.(1)若OE是∠BOC的平分线,则有∠DOE=90°,试说明理由;(2)若∠BOE=12∠EOC,∠DOE=72°,求∠EOC的度数.解析:(1)见解析;(2)72°【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义可以求得∠DOE=12∠AOC=90°;(2)设∠EOB=x度,∠EOC=2x度,把角用未知数表示出来,建立x的方程,用代数方法解几何问题是一种常用的方法.【详解】(1)如图,因为OD是∠AOB的平分线,OE是∠BOC的平分线,所以∠BOD=12∠AOB,∠BOE=12∠BOC,所以∠DOE=12(∠AOB+∠BOC)=12∠AOC=90°;(2)设∠EOB=x,则∠EOC=2x,则∠BOD=12(180°–3x),则∠BOE+∠BOD=∠DOE,即x+12(180°–3x)=72°,解得x=36°,故∠EOC=2x=72°.【点睛】本题考查了角平分线的定义.设未知数,把角用未知数表示出来,列方程组,求解.角平分线的运用,为解此题起了一个过渡的作用.16.读下列语句,画出图形,并回答问题.(1)直线l经过A,B,C三点,且C点在A,B之间,点P是直线l外一点,画直线BP,射线PC,连接AP;(2)在(1)的图形中,能用已知字母表示的直线、射线、线段各有几条?写出这些直线、射线、线段.解析:(1)见解析;(2)直线有2条,分别是直线PB,AB;射线有7条,分别是射线PC,PB,BP,AC,CB,BC,CA;线段有6条,分别是线段PA,PB,PC,AB,AC,BC 【分析】(1)根据直线、射线、线段的定义作图;(2)根据直线、射线、线段的定义解答.【详解】(1)如图所示.(2) 直线有2条,分别是直线PB ,AB ;射线有7条,分别是射线PC ,PB ,BP ,AC ,CB ,BC ,CA ;线段有6条,分别是线段PA ,PB ,PC ,AB ,AC ,BC .【点睛】此题考查作图,确定图形中的直线、射线、线段,掌握直线、射线、线段的定义是解题的关键.17.如图,已知∠BOC =2∠AOC ,OD 平分∠AOB ,且∠COD =20°,求∠AOB 的度数.解析:120°【分析】此题可以设∠AOC=x ,进一步根据角之间的关系用未知数表示其它角,再根据已知的角列方程即可进行计算.【详解】解:设∠AOC =x ,则∠BOC =2x .∴∠AOB =3x .又OD 平分∠AOB ,∴∠AOD =1.5x .∴∠COD =∠AOD ﹣∠AOC =1.5x ﹣x =20°.∴x =40°∴∠AOB =120°.【点睛】此题考查角平分线的定义及角的计算,设出适当的未知数,运用方程求出角的度数是解题的关键.18.P 是线段AB 上任一点,12AB cm =,C D 、两点分别从P B 、同时向A 点运动,且C 点的运动速度为2/cm s ,D 点的运动速度为3/cm s ,运动的时间为t s .(1)若8AP cm =,①运动1s 后,求CD 的长;②当D 在线段PB 上运动时,试说明2AC CD =;(2)如果2t s =时,1CD cm =,试探索AP 的值.解析:(1)①3cm ;②见解析;(2)9AP =或11cm.【分析】(1)①先求出PB 、CP 与DB 的长度,然后利用CD=CP+PB-DP 即可求出答案;②用t 表示出AC 、DP 、CD 的长度即可求证AC=2CD ;(2)t=2时,求出CP 、DB 的长度,由于没有说明点D 再C 点的左边还是右边,故需要分情况讨论.【详解】解:(1)①由题意可知:212,313CP cm DB cm =⨯==⨯=,∵8,12AP cm AB cm ==,∴4PB AB AP cm =-=,∴2433CD CP PB DB cm =+-=+-=;②∵8,12AP AB ==,∴4,82BP AC t ==-,∴43DP t =-,∴2434CD DP CP t t t =+=+-=-,∴2AC CD =;(2)当2t =时,224,326CP cm DB cm =⨯==⨯=,当点D 在C 的右边时,如图所示:由于1CD cm =,∴7CB CD DB cm =+=,∴5AC AB CB cm =-=,∴9AP AC CP cm =+=,当点D 在C 的左边时,如图所示:∴6AD AB DB cm =-=,∴11AP AD CD CP cm =++=,综上所述,9AP =或11cm.【点睛】本题考查的知识点是线段的简单计算以及线段中动点的有关计算.此题的难点在于根据题目画出各线段.19.如图,已知点C 为线段AB 上一点,15cm AC =,35CB AC =,D ,E 分别为线段AC ,AB 的中点,求线段DE 的长.解析:5cm【分析】根据线段的中点定义即可求解.【详解】解:因为15cm AC =,35CB AC =, 所以3159(cm)5CB =⨯=, 所以15924(cm)AB =+=.因为D ,E 分别为线段AC ,AB 的中点,所以112cm 2AE BE AB ===,17.5cm 2DC AD AC ===. 所以127.5 4.5(cm)DE AE AD =-=-=. 【点睛】本题考查了两点间的距离,解决本题的关键是利用线段的中点定义.20.线段12cm AB =点C 在线段AB 上,点D ,E 分别是AC 和BC 的中点. (1)若点C 恰好是AB 中点,求DE 的长;(2)若4cm AC =,求DE 的长;(3)若点C 为线段AB 上的一个动点(点C 不与A ,B 重合),求DE 的长. 解析:(1)6cm ;(2)6cm ;(3)6cm【分析】(1)根据中点的定义,进行计算即可求出答案;(2)由中点的定义,先求出DC 和CE 的长度,然后求出DE 即可;(3)利用中点的定义,即可得到结论.【详解】解:(1)因为点C 是AB 中点,所以16cm 2AC BC AB ===. 又因为D ,E 分别是AC 和BC 的中点, 所以1116cm 222DE DC CE AC BC AB =+=+==, 故DE 的长为6cm .(2)因为12cm AB =,4cm AC =,所以8cm BC =.因为点D ,E 分别是AC 和BC 的中点,所以12cm 2DC AC ==,14cm 2CE BC ==, 所以6cm DE =. (3)因为111222DE DC CE AC BC AB =+=+=, 且12cm AB =,所以6cm DE =.【点睛】本题考查了线段中点的定义,解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系进行解题. 21.如图,长度为12cm 的线段AB 的中点为M ,点C 将线段MB 分成两部分,且:1:2MC CB =,则线段AC 的长度为________.解析:8cm【分析】先由中点的定义求出AM ,BM 的长,再根据MC :CB=1:2的关系,求MC 的长,最后利用AC=AM+MC 得其长度.【详解】∵线段AB 的中点为M ,∴AM=BM=6cm设MC=x ,则CB=2x ,∴x+2x=6,解得x=2即MC=2cm .∴AC=AM+MC=6+2=8cm .故答案为:8cm .【点睛】本题主要考查了两点间的距离,在解题时要能根据两点间的距离,利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键.同时灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点.22.在一条不完整的数轴上从左到右有点A ,B ,C ,其中2AB =,1BC =,如图所示,设点A ,B ,C 所对应数的和是p .(1)若以B 为原点,写出点A ,C 所对应的数,并计算p 的值;若以C 为原点,p 又是多少?(2)若原点O 在图中数轴上点C 的右边,且28CO =,求p .解析:(1)-4;(2)-88【分析】(1)根据以B 为原点,则C 表示1,A 表示-2,进而得到p 的值;根据以C 为原点,则A 表示-3,B 表示-1,进而得到p 的值;(2)根据原点O 在图中数轴上点C 的右边,且CO=28,可得C 表示-28,B 表示-29,A 表示-31,据此可得p 的值.【详解】(1)若以B 为原点,则点C 对应1,点A 对应2-,所以1021p =+-=-;若以C 为原点,则点A 对应3-,点B 对应1-,所以3104p =--+=-.(2)若原点O 在题图中数轴上点C 的右边,且28CO =,则点C 对应28-,点B 对应29-,点A 对应31-,所以31292888p =---=-.【点睛】本题考查了两点间的距离以及数轴的运用,解题时注意:连接两点间的线段的长度叫两点间的距离.23.射线OA ,OB ,OC ,OD ,OE 有公共端点O .(1)若OA 与OE 在同一直线上,如图(1),试写出图中小于平角的角.(2)如图(2),若108AOC ︒∠=,(072)COE n n ︒∠=<<,OB 平分AOE ∠,OD平分COE ∠,求BOD ∠的度数.解析:(1)AOD ∠,AOC ∠,AOB ∠,∠BOE ,BOD ∠,BOC ∠,COE ∠,COD ∠,DOE ∠;(2)54︒【分析】(1)根据角的定义即可解决;(2)利用角平分线的性质即可得出∠BOD=12∠AOC+12∠COE ,进而求出即可. 【详解】(1)题图(1)中小于平角的角有AOD ∠,AOC ∠,AOB ∠,∠BOE ,BOD ∠,BOC ∠,COE ∠,COD ∠,DOE ∠.(2)因为OB 平分AOE ∠,OD 平分COE ∠,108AOC ︒∠=,(072)COE n n ︒∠=<<,所以1111()2222BOD BOE DOE AOE COE AOE COE AOC ∠=∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠. 因为108AOC ∠=︒,所以54BOD ∠=︒【点睛】本题考查了角的平分线的定义和角的有关计算,本题中将所有锐角的和转化成与∠AOE 、∠BOD 和∠BOD 的关系是解题的关键,24.如图,点O 是直线AB 上一点,OC 为任一条射线,OD 平分∠AOC ,OE 平分∠BOC . (1)分别写出图中∠AOD 和∠AOC 的补角(2)求∠DOE 的度数.解析:(1)∠BOD ,∠BOC ;(2)90°.【分析】(1)由题意根据补角的定义即和是180度的两个角互补,一个角是另一个角的补角进行分析;(2)根据角平分线的性质,可得∠COE ,∠COD ,再根据角的和差即可得出答案.【详解】解:(1)根据补角的定义可知,∠AOD 的补角是∠BOD ;∠AOC 的补角是∠BOC ;(2)∵OD 平分∠AOC ,OE 平分∠BOC ,∴∠COD= 12∠AOC ,∠COE=12∠BOC . 由角的和差得∠DOE=∠COD+∠COE=12∠AOC+12∠BOC=12∠AOB=90°. 【点睛】本题考查余角和补角,利用了补角的定义和角的和差以及角平分线的性质进行分析求解. 25.如图,点C 在线段AB 上,AC=6cm ,MB=10cm ,点M 、N 分别为AC 、BC 的中点.(1)求线段BC 的长;(2)求线段MN 的长;(3)若C 在线段AB 延长线上,且满足AC ﹣BC=b cm ,M ,N 分别是线段AC ,BC 的中点,你能猜想MN 的长度吗?请写出你的结论(不需要说明理由)解析:(1)BC= 7cm ;(2)MN= 6.5cm ;(3)MN=2b 【分析】(1)根据线段中点的性质,可得MC 的长,根据线段的和差,可得BC 的长;(2)根据线段中点的性质,可得MC 、NC 的长,根据线段的和差,可得MN 的长; (3)根据(1)(2)的结论,即可解答.【详解】解:(1)∵AC=6cm ,点M 是AC 的中点,∴12MC AC ==3cm , ∴BC=MB ﹣MC=10﹣3=7cm .(2)∵N 是BC 的中点,∴CN=12BC=3.5cm , ∴MN=MC+CN=3+3.5=6.5cm .(3)如图,MN=MC ﹣NC=1122AC BC -=12(AC ﹣BC )=12b .MN=2b . 【点睛】 本题考查两点间的距离.26.已知线段14AB =,在线段AB 上有点C ,D ,M ,N 四个点,且满足AC :CD :1DB =:2:4,12AM AC =,且14DN BD =,求MN 的长. 解析:7或3【分析】 求出AC ,CD ,BD ,求出CM ,DN ,根据MN CM CD DN =++或MN CM CD ND =+-求出即可.【详解】如图,14AB =,AC :CD :1BD =:2:4,2AC ∴=,4CD =,8BD =,12AM AC =,14DN DB =, 1CM ∴=,2DN =,1427MN CM CD DN ∴=++=++=或1423MN CM CD ND =+-=+-=. 则MN 的长是7或3.【点睛】本题考查了求出两点间的距离的应用及分类讨论的数学思想,关键是找找出线段间的数量关系.27.把一副三角板的直角顶点O 重叠在一起.(1)问题发现:如图①,当OB 平分∠COD 时,∠AOD+∠BOC 的度数是 ; (2)拓展探究:如图②,当OB 不平分∠COD 时,∠AOD+∠BOC 的度数是多少? (3)问题解决:当∠BOC 的余角的4倍等于∠AOD 时,求∠BOC 的度数.解析:(1)180°;(2)180°;(3)60°.【解析】试题分析:(1)先根据OB 平分∠COD 得出∠BOC 及∠AOC 的度数,进而可得出结论; (2)根据直角三角板的性质得出∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°,∠COD=∠BOD+∠BOC=90°进而可得出结论;(3)根据(1)、(2)的结论可知∠AOD+∠BOC=180°,故可得出∠AOD=180°﹣∠BOC,根据∠BOC的余角的4倍等于∠AOD即可得出结论.解:(1)∵OB平分∠COD,∴∠BOC=∠BOD=45°.∵∠AOC+∠BOC=45°,∴∠AOC=45°,∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOC=45°+90°+45°=180°.故答案为180°;(2)∵∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°,∠COD=∠BOD+∠BOC=90°,∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠BOC=90°+90°=180°;(3)∵由(1)、(2)得,∠AOD+∠BOC=180°,∴∠AOD=180°﹣∠BOC.∵∠AOD=4(90°﹣∠BOC),∴180°﹣∠BOC=4(90°﹣∠BOC),∴∠BOC=60°.考点:余角和补角;角平分线的定义.28.如图,已知OE是∠AOB的平分线,C是∠AOE内的一点,若∠BOC=2∠AOC,∠AOB =114°,则求∠BOC,∠EOC的度数.解析:∠BOC=76°,∠EOC=19°.【分析】由∠BOC=2∠AOC,则∠AOB=∠BOC+∠AOC=3∠AOC,即∠BOC=23∠AOB,然后求解即可;再根据OE是∠AOB的平分线求得∠BOE,最后根据角的和差即可求得∠EOC.【详解】解:∵∠BOC=2∠AOC,∠AOB=114°,∴∠BOC=23∠AOB =23×114°=76°,∵OE是∠AOB的平分线,∠AOB=114°,∴∠BOE=12∠AOB =12×114°=57°.∴∠EOC=∠BOC-∠BOE=19°.【点睛】本题主要考查了角平分线的定义以及角的和差运算,掌握数形结合思想成为解答本题的关键.29.如图所示,已知射线OC将∠AOB分成1∶3的两部分,射线OD将∠AOB分成5∶7的两部分,若∠COD=15°,求∠AOB的度数.解析:90°【分析】设∠AOB的度数为x,根据题意用含x的式子表示出∠AOC,∠AOD,根据角的关键列出方程即可求解.【详解】解:设∠AOB的度数为x.因为射线OC将∠AOB分成1∶3两部分,所以∠AOC=14 x.因为射线OD将∠AOB分成5∶7两部分,所以∠AOD=512x.又因为∠COD=∠AOD-∠AOC,∠COD=15°,所以15°=512x-14x.解得x=90°,即∠AOB的度数为90°.【点睛】本题考查了角的和差,设出未知数,表示出∠AOC,∠AOD,列出方程是解题关键.30.如图是一个去掉盖子的长方体礼品盒的展开图(单位:cm).从A,B两题中任选一题作答.A.该长方体礼品盒的容积为______3cm.B.如果把这个去掉盖子的礼品盒沿某些棱重新剪开,可以得到周长最大的展开图,则周长最大为____cm.解析:A:800;B:146【分析】A:根据题意可以得到长方体的长为16宽为10高为5,即可求出体积.B:依据题意展开,计算即可.【详解】解:A:根据题意高为20-15=5 宽为15-5=10 长为 26-10=16V=16×10×5=800B:依据题意展开如图周长=5×2+16×6+10×4=146【点睛】此题主要考查了立体图形体积计算及最大展开周长,注意最大展开周长一定是最长棱长最多的.。
几何图形知识点总结(含例题)

几何图形知识点总结1.立体图形与平面图形(1)对于一个物体,如果我们不考虑它的颜色、材料和重量等,而只考虑它的_________(如方的、圆的)、_________(如长度、面积、体积)和_________(如平行、垂直、相交),所得到的图形就称为_________.如:我们学习过的长(正)方体、圆柱(锥)体、长(正)方形、圆、三角形、四边形等都是几何图形.(2)立体图形:各部分不都在同一平面内的图形,叫做_________.长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等都是立体图形,棱柱、棱锥也是常见的立体图形.(3)平面图形:各部分都在同一平面内的图形,叫做_________.长方形、正方形、三角形、四边形、圆等都是平面图形.(4)立体图形与平面图形是两类不同的几何图形,但它们是互相联系的.任何一个立体图形图形是由一个或几个平面图形围成的.2.点、线、面、体(1)体:长方体、圆柱体、球、圆锥等都是_________.几何体也简称体.(2)面:包围着体的是面.面分为_________和_________两种.如下图的圆锥体有2个面,一个是平面,另一个是曲面.如下图的六棱柱有8个面,它们都是平面.如下图的圆柱有3个面,2个是平面,另一个是曲面.(3)线:面与面相交的地方形成线.线分为_________和_________两种.如圆锥体的两个面相交形成曲线.(4)点:线与线相交形成_________.点动成线,线动成面,面动成体.(5)正方体展开图,共11种图形.K知识参考答案:1.(1)形状,大小,位置,几何图形(2)立体图形(3)平面图形2.(1)几何体(2)平面,曲面(3)直线,曲线(4)点一、立体图形与平面图形1.立体图形有些几何图形(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等)的各部分不都在同一平面内,这样的几何图形叫做立体图形.从不同的方向观察立体图形:从前往后看,得到的是主视图;从左往右看,得到的是左视图;从上往下看,得到的是俯视图.2.平面图形有些几何图形(如线段、角、三角形、长方形、圆等)的各部分都在同一平内,这样的几何图形叫做平面图形.【例1】如图,下列图形全部属于柱体的是A.B.C.D.【答案】C二、点、线、面、体1.体:长方体、圆柱体、球、圆锥等都是几何体.几何体也简称体.2.面:包围着体的是面.面分为平面和曲面两种.3.线:面与面相交的地方形成线.线分为直线和曲线两种.4.点:线与线相交形成点.【例2】如图所示的平面图形绕直线l旋转一周,可以得到的立体图形是A.B.C.D.【答案】C【名师点睛】(1)体与体相交成面,面与面相交成线,线与线相交成点.(2)从运动的观点来看点动成线,线动成面,面动成体.点、线、面、体组成几何图形,点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界.(3)从几何的观点来看点是组成图形的基本元素,线、面、体都是点的集合.(4)长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体简称体.(5)面有平面和曲面之分,如长方体由6个平面组成,球由一个曲面组成.。
人教版七年级数学上册第四章 几何图形初步 知识点总结及精选题

几何图形初步知识点总结及精选题1、几何图形从实物中抽象出来的各种图形,包括立体图形和平面图形。
立体图形:有些几何图形的各个部分不都在同一平面内,它们是立体图形。
平面图形:有些几何图形的各个部分都在同一平面内,它们是平面图形。
2、点、线、面、体(1)几何图形的组成点:线和线相交的地方是点,它是几何图形中最基本的图形。
线:面和面相交的地方是线,分为直线和曲线。
面:包围着体的是面,分为平面和曲面。
体:几何体也简称体。
(2)点动成线,线动成面,面动成体。
3、生活中的立体图形圆柱柱体棱柱:三棱柱、四棱柱(长方体、正方体)、五棱柱、……生活中的立体图形球体(按名称分) 圆锥椎体棱锥4、棱柱及其有关概念:棱:在棱柱中,任何相邻两个面的交线,都叫做棱。
侧棱:相邻两个侧面的交线叫做侧棱。
n棱柱有两个底面,n个侧面,共(n+2)个面;3n条棱,n条侧棱;2n个顶点。
棱柱的所有侧棱长都相等,棱柱的上下两个底面是相同的多边形,直棱柱的侧面是长方形。
棱柱的侧面有可能是长方形,也有可能是平行四边形。
5、正方体的平面展开图:11种6、截一个正方体:用一个平面去截一个正方体,截出的面可能是三角形,四边形,五边形,六边形。
7、三视图物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。
主视图:从正面看到的图,叫做主视图。
左视图:从左面看到的图,叫做左视图。
俯视图:从上面看到的图,叫做俯视图。
平面图形的认识线段,射线,直线 名称 不同点联系 共同点延伸性 端点数 线段 不能延伸 2 线段向一方延长就成射线,向两方延长就成直线都是直的线射线 只能向一方延伸 1 直线可向两方无限延伸无点、直线、射线和线段的表示在几何里,我们常用字母表示图形。
一个点可以用一个大写字母表示,如点A一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示,如直线l ,或者直线AB一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示(端点字母写在前面),如射线l ,射线AB一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示,如线段l ,线段AB点和直线的位置关系有两种:①点在直线上,或者说直线经过这个点。
几何图形初步讲解

初中精品数学精选精讲学科:数学任课教师:授课时间: 年月日4。
直线、射线、线段区别:直线没有距离.射线也没有距离。
因为直线没有端点,射线只有一个端点,可以无限延长.5。
尺规作图;几何里把限定用直尺和圆规来画图,称为尺规作图,最基本最常用的尺规作图,称基本作图6.线段的中点:把一条线段分成两条相等的线段的点,叫做线段的中点。
3、角1。
定义:由两条有公共端点的射线组成的几何对象。
这两条射线叫做角的边,它们的公共端点叫做角的顶点。
注意:角的两条边是射线,所以角的大小与边的长短无关。
2。
角的表示::(1)用三个大写字母表示,这种表示方法表示角时顶点字母必须写在中间;(2)用一个大写字母表示,这种表示方法表示角时必须分清楚表示的是哪个角;(3)用数字或希腊字母表示。
3。
角的度量:度量仪器:量角器度量单位:度、分、秒1°=60′1′=60〃1周角等于360度。
1平角等于180度。
4。
角的比较与运算:(1)角的比较:量角器直接量出,比较大小;把它们叠合在一起比较大小。
(2)角的平分线:静态:一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。
动态:从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。
5.角平分线的定理:在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
角平分线的逆定理:在一个角的内部(包括顶点)且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上。
6。
余角,补角(1)余角概念:如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。
(2)补角概念:如果两个角的和是一个平角,那么这两个角叫互为补角.其中一个角叫做另一个角的补角(3)余角的性质:同角的余角相等.比如:∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则:∠C=∠B。
等角的余角相等。
比如:∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则:∠C=∠B。
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几何图形初步目录一、几何图形二、直线、射线、线段三、角四、《几何图形初步》全章复习与巩固本套“基础知识详解”资料特色是知识点分析汇总,题目比较基础,完全不同于《初中数学典型题思路分析》,是购买典型题书赠送的资料之一。
赠送文本为word,按照课本章节分类,有初中全套且群内会陆续分享,敬请关注!一、几何图形基础知识讲解【学习目标】1.理解几何图形的概念,并能对具体图形进行识别或判断;2. 掌握立体图形从不同方向看得到的平面图形及立体图形的平面展开图,在平面图形和立体图形相互转换的过程中,初步培养空间想象能力;3. 理解点线面体之间的关系,掌握怎样由平面图形旋转得到几何体,能够借助平面图形剖析常见几何体的形成过程.【要点梳理】要点一、几何图形1.定义:把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形.要点诠释:几何图形是从实物中抽象得到的,只注重物体的形状、大小、位置,而不注重它的其它属性,如重量,颜色等.2.分类:几何图形包括立体图形和平面图形(1)立体图形:图形的各部分不都在同一平面内,这样的图形就是立体图形,如长方体,圆柱,圆锥,球等.(2)平面图形:有些几何图形(如线段、角、三角形、圆等)的各部分都在同一平面内,它们是平面图形.要点诠释:(1)常见的立体图形有两种分类方法:(2) 常见的平面图形有圆和多边形,其中多边形是由线段所围成的封闭图形,生活中常见的多边形有三角形、四边形、五边形、六边形等.(3)立体图形和平面图形是两类不同的几何图形,它们既有区别又有联系.要点二、从不同方向看从不同的方向看立体图形,往往会得到不同形状的平面图形.一般是从以下三个方向:(1)从正面看;(2)从左面看;(3)从上面看.从这三个方向看到的图形分别称为正视图(也称主视图)、左视图、俯视图.要点三、简单立体图形的展开图有些立体图形是由一些平面图形围成,将它们的表面适当剪开,可以展开成平面图形,这样的平面图形称为相应立体图形的展开图.要点诠释:(1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形.例如,球便不能展成平面图形.(2)不同的立体图形可展成不同的平面图形;同一个立体图形,沿不同的棱剪开,也可得到不同的平面图.要点四、点、线、面、体长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体;包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种;面和面相交的地方形成线,线也分为直线和曲线两种;线和线相交的地方形成点.从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系. 此外,从运动的观点看:点动成线,线动成面,面动成体.【典型例题1】类型一、几何图形1.如图所示,请写出下列立体图形的名称.【思路点拨】可以联系生活中常见的图形及基本空间想象能力,描述各种几何体的名称.【答案与解析】解:(1)五棱柱;(2)圆锥;(3)四棱柱或长方体;(4)圆柱;(5)四棱锥.【总结升华】先根据立体图形的底面的个数,确定它是柱体、锥体还是球体,再根据其侧面是否为多边形来判断它是圆柱(锥)还是棱柱(锥).举一反三:【变式】如图所示,下列各标志图形主要由哪些简单的几何图形组成?【答案】(1)由圆组成;(2)长方形和正方形;(3)菱形(或四边形);(4)由圆和圆弧组成(或由一个圆和两个小半圆组成).类型二、从不同方向看2.如图所示的是一个三棱柱,试着把从正面、左面、上面观察所得到的图形画出来.【思路点拨】注意观察的角度和方向.【答案与解析】解:从正面观察这个三棱柱,看到的图形是长方形;从左面观察它,看到的图形是长方形;从上面观察,看到的图形是三角形.因此,从三个方向看,得到的图形如图所示.【总结升华】若要画出从不同方向观察物体所得的图形,方向、角度一定要选准.因为从不同方向观察得到的图形往往不同.举一反三:【变式1】画出下列几何体的主视图、左视图与俯视图.【答案】主视图左视图俯视图【变式2】如图所示的工件的主视图是()A.B.C.D.【答案】B【解析】从物体正面看,看到的是一个横放的矩形,且一条斜线将其分成一个直角梯形和一个直角三角形.3.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体是( )A.棱柱 B.圆柱 C.圆锥 D.球【答案】B【解析】此题可采用排除法.棱柱的三视图中不存在圆,故A不对;圆锥的主视图、左视图是三角形,故C不对;球的三视图都是圆,故D不对,因此应选B.【总结升华】平面展开图中,含有三角形,一般考虑棱锥或棱柱;如果只有两个三角形,必是三棱柱;如果含长方形,一般考虑棱柱;如果含有圆和长方形,一般考虑圆柱;如果含有扇形和圆,一般考虑圆锥.举一反三:【变式】右图是某个几何体的三视图,该几何体是()A.长方体 B.正方体 C.圆柱 D.三棱柱【答案】D类型三、展开图4.(2016•徐州)下列图形中,不可以作为一个正方体的展开图的是()A.B. C.D.【思路点拨】利用不能出现同一行有多于4个正方形的情况,不能出现田字形、凹字形的情况进行判断也可.【答案】C【解析】正方体沿着不同棱展开,把各种展开图分类,可以总结为如下11种情况:故选:C.【总结升华】本题考查了正方体的展开图,熟记展开图的11种形式是解题的关键,利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”(即不能出现同一行有多于4个正方形的情况,不能出现田字形、凹字形的情况)判断也可.举一反三:【变式】(2015•宜昌)下列图形中可以作为一个三棱柱的展开图的是()A.B.C.D.【答案】 A .类型四、点、线、面、体5.分别指出下列几何体各有多少个面?面与面相交形成的线各有多少条?线与线相交形成的点各有多少个? 如图所示.【答案与解析】解:(1)4个面,6条线,4个顶点;(2)6个面,12条线,8个顶点;(3) 9个面,16条线,9个顶点.【总结升华】(1)数几何体中的点、线、面数时,要按一定顺序数,做到不重不漏.(2)一般地,n棱柱有(n+2)个面(其中2为两个底面),n棱锥有(n+1)个面(其中1为一个底面).6.如图,上面的平面图形绕轴旋转一周,可以得出下面的立方图形,请你把有对应关系的平面图形与立体图形连接起来.【答案与解析】连线如下:【总结升华】“面动成体”,要充分发挥空间想象能力判断立体图形的形状.举一反三:【变式】将如图所示的Rt△ABC绕直角边AC旋转一周,所得几何体从正面看到的图形是( ).【答案】A【典型例题2】类型一、几何图形1.将图中的几何体进行分类,并说明理由.【思路点拨】首先要确定分类标准,可以按组成几何体的面是平面或曲面来划分,也可以按柱、锥、球来划分.【答案与解析】解:若按形状划分:(1)(2)(6)(7)是一类,组成它的各面全是平面;(3)(4)(5)是一类,组成它的面至少有一个是曲面.若按构成划分:(1)(2)(4)(7)是一类,是柱体;(5)(6)是一类,即锥体;(3)是球体.【总结升华】先根据立体图形的底面的个数,确定它是柱体、锥体还是球体,再根据其侧面是否为多边形来判断它是圆柱(锥)还是棱柱(锥).类型二、从不同方向看2.(2016春•潮南区月考)如图所示的是某个几何体的三视图.(1)说出这个立体图形的名称;(2)根据图中的有关数据,求这个几何体的表面积.【思路点拨】(1)从三视图的主视图看这是一个矩形,而左视图是一个扁平的矩形,俯视图为一个三角形,故可知道这是一个直三棱柱;(2)根据直三棱柱的表面积公式计算即可.【答案与解析】解:(1)这个立体图形是直三棱柱;(2)表面积为:×3×4×2+15×3+15×4+15×5=192.【总结升华】本题主要考查由三视图确定几何体和求几何体的表面积等相关知识,考查学生的空间想象能力.举一反三:【变式】如图所示的几何体中,主视图与左视图不相同的几何体是( ).【答案】D提示:圆锥的主视图与左视图为相同的三角形;圆柱的主视图与左视图为相同的矩形;球的主视图与左视图为相同的圆,正三棱柱的主视图和左视图为不相同的两个矩形,故选D.3.由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如右图所示,其正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数,那么该几何体的主视图是()A. B. C. D.【答案】B【解析】俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数,分析其中的数字,得主视图有3列,从左到右分别是1,2,3个正方形.【总结升华】本题考查了对几何体三种视图的空间想象能力,注意找到该几何体的主视图中每列小正方体最多的个数.举一反三:【变式1】用小立方块搭一个几何体,使得它的主视图和俯视图如图所示,这样的几何体只有一种吗?它最少需要多少个小立方块?最多需要多少个小立方块?【答案】几何体的形状不唯一,最少需要小方块的个数:3222110++++=,最多需要小方块的个数:3323116⨯+⨯+=.【变式2】下图是从正面、左面、上面看由若干个小积木搭成的几何体得到的图,那么这个几何体中小积木共有多少个?主视图俯视图【答案】这个几何体中小积木共有6个.类型三、展开图4.右下图是一个正方体的表面展开图,则这个正方体是( )【答案】D【解析】最直接的方法是做一个如图所示的正方体的表面展开图,然后再折叠后进行对照即可.也可用排除法,观察正方体的表面展开图,可发现分成4块的面中的4个小正方形中有3块的颜色是阴影,这就可排除A,再想象折叠的图形,可知正方体被分成4块的面的对面应是阴影,这就可排除B 、C,所以选D.【总结升华】培养空间想想能力的方法有两种,一是通过动手操作来解决;二是通过想象进行确定.正方体沿着棱展开,把各种展开图分类,可以总结为如下11种情况.举一反三:【变式】宜黄素有“华南虎之乡”的美誉.将“华南虎之乡美”六个字填写在一个正方体的六个面上,其平面展开图如图所示,那么在该正方体中,和“虎”相对的字是________.【答案】“美”.类型四、点、线、面、体5.如图,一个正五棱柱的底面边长为2cm,高为4cm.(1)这个棱柱共有多少个面?计算它的侧面积;(2)这个棱柱共有多少个顶点?有多少条棱?(3)试用含有n的代数式表示n棱柱的顶点数、面数与棱的条数.【思路点拨】(1)根据图形可得侧面的个数,再加上上下底面即可;(2)顶点共有10个,棱有5×3条;(3)根据五棱柱顶点数、面数与棱的条数进行总结即可.【答案与解析】解:(1)侧面有5个,底面有2个,共有5+2=7个面;侧面积:2×5×4=40(cm2).(2)顶点共10个,棱共有15条;(3)n棱柱的顶点数2n;面数n+2;棱的条数3n.【总结升华】此题主要考查了认识立体图形,关键是掌握常见的立体图形的形状.6.将如右图所示的两个平面图形绕轴旋转一周,对其所得的立体图形,下列说法正确的是()A.主视图相同 B.左视图相同 C.俯视图相同 D.三种视图都不相同【答案】D【解析】首先考虑三角形和长方形旋转后所得几何体的形状,然后再根据两种几何体的三视图做出判断.【总结升华】“面动成体”,要充分发挥空间想象能力判断立体图形的形状.举一反三:【变式】(2015春•海安县校级期中)将如图所示放置的一个直角三角形ABC,(∠C=90°),绕斜边AB旋转一周,所得到的几何体的正视图是下面四个图中的()A.B.C.D.【答案】C二、直线、射线、线段基础知识讲解【学习目标】1.理解直线、射线、线段的概念,掌握它们的区别和联系;2. 利用直线、线段的性质解决相关实际问题;3.利用线段的和差倍分解决相关计算问题.【要点梳理】要点一、直线1.概念:直线是最简单、最基本的几何图形之一,是一个不作定义的原始概念,直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述.2. 表示方法:(1)可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示,如图1所示,可表示为直线AB(或直线BA).(2)也可以用一个小写英文字母表示,如图2所示,可以表示为直线l.3.基本性质:经过两点有一条直线,并且只有一条直线.简单说成:两点确定一条直线.要点诠释:直线的特征:(1)直线没有长短,向两方无限延伸.(2)直线没有粗细.(3)两点确定一条直线.(4)两条直线相交有唯一一个交点.4.点与直线的位置关系:(1)点在直线上,如图3所示,点A在直线m上,也可以说:直线m经过点A.(2)点在直线外,如图4,点B在直线n外,也可以说:直线n不经过点B.要点二、线段1.概念:直线上两点和它们之间的部分叫做线段.2.表示方法:(1)线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示,如图所示,记作:线段AB或线段BA.(2)线段也可用一个小写英文字母来表示,如图5所示,记作:线段a.3. “作一条线段等于已知线段”的两种方法:法一:用圆规作一条线段等于已知线段.例如:下图所示,用圆规在射线AC上截取AB=a.法二:用刻度尺作一条线段等于已知线段.例如:可以先量出线段a的长度,再画一条等于这个长度的线段.4.基本性质:两点的所有连线中,线段最短.简记为:两点之间,线段最短.如图6所示,在A,B两点所连的线中,线段AB的长度是最短的.要点诠释:(1)线段是直的,它有两个端点,它的长度是有限的,可以度量,可以比较长短.(2)连接两点间的线段的长度,叫做这两点的距离.(3)线段的比较:①度量法:用刻度尺量出两条线段的长度,再比较长短.②叠合法:利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上,使其中一个端点重合,另一个端点位于重合端点同侧,根据另一端点与重合端点的远近来比较长短.5.线段的中点:把一条线段分成两条相等线段的点,叫做线段的中点.如图7所示,点C 是线段AB的中点,则12AC CB AB==,或AB=2AC=2BC.要点诠释:若点C是线段AB的中点,则点C一定在线段AB上.要点三、射线1.概念:直线上一点和它一侧的部分叫射线,这个点叫射线的端点.如图8所示,直线l上点O和它一旁的部分是一条射线,点O是端点.l2.特征:是直的,有一个端点,不可以度量,不可以比较长短,无限长.3.表示方法:(1)可以用两个大写英文字母表示,其中一个是射线的端点,另一个是射线上除端点外的任意一点,端点写在前面,如图8所示,可记为射线OA.(2)也可以用一个小写英文字母表示,如图8所示,射线OA可记为射线l.要点诠释:(1)端点相同,而延伸方向不同,表示不同的射线.如图9中射线OA,射线OB是不同的射线.图6图7图8图9(2)端点相同且延伸方向也相同的射线,表示同一条射线.如图10中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线.要点四、直线、射线、线段的区别与联系1.直线、射线、线段之间的联系(1)射线和线段都是直线上的一部分,即整体与部分的关系.在直线上任取一点,则可将直线分成两条射线;在直线上取两点,则可将直线分为一条线段和四条射线.(2)将射线反向延伸就可得到直线;将线段一方延伸就得到射线;将线段向两方延伸就得到直线.2.三者的区别如下表要点诠释:(1)联系与区别可表示如下:(2)在表示直线、射线与线段时,勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样.【典型例题】类型一、相关概念1.下列说法中,正确的是( )A.射线OA与射线AO是同一条射线B.线段AB与线段BA是同一条线段C.过一点只能画一条直线D.三条直线两两相交,必有三个交点【答案】B图10【解析】射线OA的端点是O,射线AO的端点是A,所以射线OA与射线AO不是同一条射线,故A错误;过一点能画无数条直线,所以C错误;三条直线两两相交,有三个交点或一个交点(三条直线相交于一点时),所以D错误;线段AB与线段BA是同一条线段,所以B正确.【总结升华】直线和线段用两个大写字母表示时,与字母的前后顺序无关,但射线必须是表示端点的字母写在前面,不能互换.举一反三:【变式1】以下说法中正确的是()A.延长线段AB到C B.延长射线ABC.直线AB的端点之一是A D.延长射线OA到C【答案】A【变式2】如图所示,请分别指出图中的线段、射线和直线的条数,并把它们分别表示出来.【答案】解:如下图所示,在直线上点A左侧和点C右侧分别任取点X和Y.图中有6条射线:射线AX、射线AY、射线BX、射线BY、射线CX、射线CY.有3条线段:线段AB(或BA)、线段BC(或CB)、线段AC(或CA)有1条直线:直线AC(或AB,BC).类型二、有关作图2.如图所示,线段a,b,且a>b.用圆规和直尺画线段:(1)a+b;(2)a-b.【答案与解析】解:(1) 画法如图(1),画直线AF,在直线AF上画线段AB=a,再在AB的延长线上画线段BC=b,线段AC就是a与b的和,记作AC=a+b.(2) 画法如图(2),画直线AF,在直线AF上画线段AB=a,再在线段AB上画线段BD=b,线段AD就是a与b的差,记作AD=a-b.【总结升华】在画线段时,为使结果更准确,一般用直尺画直线,用圆规量取线段的长度.举一反三:【变式1】如图,C是线段AB外一点,按要求画图:(1)画射线CB;(2)反向延长线段AB;(3)连接AC,并延长AC至点D,使CD=AC.【答案】解:【变式2】用直尺作图:P是直线a外一点,过点P有一条线段b与直线a不相交.【答案】解:类型三、有关条数及长度的计算3.如图,A、B、C、D为平面内任意三点都不在同一条直线上的四点,那么过其中两点,可画出条直线.【思路点拨】根据两点确定一条直线即可计算出直线的条数.【答案】6条直线【解析】由两点确定一条直线知,点A与B,C,D三点各确定一条直线,同理点B与C、D各确定一条直线,C与D确定一条直线,综上:共有直线:3+2+1=6(条).【总结升华】平面上有n个点,其中任意三点不在一条直线上,则最多确定的直线条数为:(1)123...(1)2n n n -++++-=. 举一反三:【变式1】如图所示,已知线段AB 上有三个定点C 、D 、E . (1)图中共有几条线段?(2)如果在线段CD 上增加一点,则增加了几条线段?你能从中发现什么规律吗? 【答案】解:(1)线段的条数:4+3+2+1=10(条);(2)如果在线段CD 上增加一点P ,则P 与其它五个点各组成一条线段,因此,增加了5条线段.(注解:若在线段AB 上增加一点,则增加2条线段,此时线段总条数为1+2;若再增加一点,则又增加了3条线段,此时线段总条数为1+2+3;…;当线段AB 上增加到n 个点(即增加n -2个点)时,线段的总条数为1+2+……+(n -1)=21n(n -1) .) 【变式2】)如图直线m 上有4个点A 、B 、C 、D ,则图中共有________条射线.【答案】84.(2016春•启东市月考)已知点C 在线段AB 上,线段AC=7cm ,BC=5cm ,点M 、N 分别是AC 、BC 的中点,求MN 的长度. 【思路点拨】根据M 、N 分别为AC 、BC 的中点,根据AC 、BC 的长求出MC 与CN 的长,由MC+CN 求出MN 的长即可. 【答案与解析】解:∵AC=7cm ,BC=5cm ,点M 、N 分别是AC 、BC 的中点, ∴MC=AC=3.5cm ,CN=BC=2.5cm , 则MN=MC+CN=3.5+2.5=6(cm ).【总结升华】此题考查了线段的和差,熟练掌握线段中点定义是解本题的关键.举一反三:【变式】在直线l 上按指定方向依次取点A 、B 、C 、D ,且使AB :BC :CD=2:3:4,如图所示,若AB 的中点M 与CD 的中点N 的距离是15cm ,求AB 的长.【答案】解:依题意,设AB =2x cm ,那么BC =3x cm ,CD =4x cm .则有: MN=BM+BC+CN= x+3x+2x=15 解得:52x =所以AB=2x =5252⨯=cm.类型四、最短问题5.(2015•新疆)如图所示,某同学的家在A处,星期日他到书店去买书,想尽快赶到书店,请你帮助他选择一条最近的路线()A.A→C→D→B B.A→C→F→B C.A→C→E→F→B D.A→C→M→B【答案】B.【解析】根据两点之间的线段最短,可得C、B两点之间的最短距离是线段CB的长度,所以想尽快赶到书店,一条最近的路线是:A→C→F→B.【总结升华】“两点之间线段最短”在实际生活中有广泛的应用,此类问题要与线段的性质联系起来,这里线段最短是指线段的长度最短,连接两点的线段的长度叫做两点间的距离,线段是图形,线段长度是数值.举一反三:【变式】 (1)如图1所示,把原来弯曲的河道改直,A、B两地间的河道长度有什么变化?(2)如图2,公园里设计了曲折迂回的桥,这样做对游人观赏湖面风光有什么影响?与修一座直的桥相比,这样做是否增加了游人在桥上行走的路程?说出上述问题中的道理.【答案】解:(1)河道的长度变小了.(2)由于“两点之间,线段最短”,这样做增加了游人在桥上行走的路程,有利于游人更好地观赏湖面风光,起到“休闲”的作用.【典型例题】类型一、有关概念1.如图所示,指出图中的直线、射线和线段.【思路点拨】从图上看,A、D、F分别是线段CB、BC、BE的延长线上的点,也就是说,A、D、F三点的位置并不是完全确定的.此时,我们也就能分清楚图中的直线、射线和线段了.【答案与解析】解:直线有一条:直线AD;射线有六条:射线BA、射线BD、射线CA、射线CD、射线BF、射线EF;线段有三条:线段BC、线段BE、线段CE.【总结升华】在表示线段和直线时,两个大写字母的顺序可以颠倒.然而,在叙述线段的延长线的时候,表示线段的两个大写字母的顺序就不能颠倒了,因为线段向一方延伸后就形成了射线(延长部分已不再是线段本身了),而表示射线的两个大写字母的顺序是不能颠倒的,只能用第一个字母表示射线的端点,第二个字母表示射线方向上的任一点.举一反三:【变式】两条不同的直线,要么有一个公共点,要么没有公共点,不能有两个公共点. 这是为什么?画图说明.【答案】解:∵过两点有且只有一条直线.(或两点确定一条直线.)∴两条不同的直线,要么有一个公共点,如图(1);要么没有公共点,如图(2);不能有两个公共点.类型二、有关作图2.(2016春•高青县期中)已知平面上四点A、B、C、D,如图:(1)画直线AD;(2)画射线BC,与AD相交于O;(3)连结AC、BD相交于点F.【思路点拨】(1)画直线AD ,连接AD 并向两方无限延长;(2)画射线BC ,以B 为端点向BC 方向延长交AD 于点O ;(3)连接各点,其交点即为点F . 【答案与解析】 解:如图所示:【总结升华】本题主要考查直线、射线、线段的认识,掌握直线、射线、线段的特点是解题的关键. 举一反三:【变式1】下列说法正确的有 ( )①射线与其反向延长线成一条直线; ②直线a 、b 相交于点m ; ③两直线相交于两个交点; ④直线A 与直线B 相交于点MA .3个B .2个C .1个D .4个 【答案】 C【变式2】下列说法中,正确的个数有( )①已知线段a ,b 且a-b =c ,则c 的值不是正的就是负的; ②已知平面内的任意三点A ,B ,C 则AB+BC ≥AC ; ③延长AB 到C ,使BC =AB ,则AC =2AB ;④直线上的顺次三点D 、E 、F ,则DE+EF =DF . A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 【答案】C类型三、个(条)数或长度的计算3. 根据题意,完成下列填空.如图所示,1l 与2l 是同一平面内的两条相交直线,它们有1个交点,如果在这个平面内,再画第3条直线3l ,那么这3条直线最多有________个交点;如果在这个平面内再画第4条直线4l ,那么这4条直线最多可有________个交点.由此我们可以猜想:在同一平面内,6条直线最多可有________个交点,n(n 为大于1的整数)条直线最多可有________个交点(用含有n 的代数式表示).【答案】3, 6, 15,(1)2n n .【解析】本题探索过程要分两步:首先要填好3条直线最多可有2+1=3个交点,再类推4条直线,5条直线,6条直线的情形所得到的和式,其次再研究这些和式的规律,得出一般性的结论.【总结升华】n(n 为大于1的整数)条直线的交点最多可有:(1)123...(1)2n n n -++++-=个 举一反三:【变式1】平面上有n 个点,最多可以确定 条直线 【答案】(1)2n n - 【变式2】一条直线有n 个点,最多可以确定 条线段, 条射线 【答案】(1)2n n -,2n 【变式3】一个平面内有三条直线,会出现几个交点? 【答案】0个,1个,2个,或3个.4.已知线段AB =14cm ,在直线AB 上有一点C ,且BC =4cm ,M 是线段AC 的中点,求线段AM 的长.【思路点拨】题目中只说明了A 、B 、C 三点在同一直线上,无法判定点C 在线段AB 上,还是在线段AB 外(也就是在线段AB 的延长线上).所以要分两种情况求线段AM 的长. 【答案与解析】解:①当点C 在线段AB 上时,如图所示.因为M 是线段AC 的中点, 所以12AM AC =. 又因为AC =AB-BC ,AB =14cm ,BC =4cm , 所以1()2AM AB BC =-1(144)5(cm)2=-=. ②当点C 在线段AB 的延长线上时,如图所示.因为M 是线段AC 的中点, 所以12AM AC =. 又因为AC =AB+BC ,AB =14cm ,BC =4cm , 所以1()2AM AB BC =+=9(cm). 所以线段AM 的长为5cm 或9cm .【总结升华】在解答没有给出图形的问题时,一定要审题,要全面考虑所有可能的情况,即当我们面临的教学问题无法确定是哪种情形时,就要分类讨论. 举一反三:。