三年高考真题分类汇编(平面向量)
平面向量-高考真题文科数学分项汇编(原卷版)
专题 11平面向量1．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是A ．a+2bB ．2a+bC ．a –2bD ．2a – b2．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若 AC BC=1，则点 C 的轨迹为A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线3．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知 P 是边长为 2的正六边形 ABCDEF 内的一点，则 AP AB 的取值范围是A ．(2,6) C ．(2,4)B ．(6,2) D ．(4,6)4．【2019年高考全国 I 卷文数】已知非零向量 a ，b 满足|a | 2|b|，且(a b) b ，则 a 与 b 的夹角为πB ． πA ．C ． 6 2π 3 5πD ．365．【2019年高考全国 II 卷文数】已知向量 a=(2，3)，b=(3，2)，则|a-b|= A ． 2 B ．2 C ．5 2D ．506．【2018年高考全国 I 卷文数】在△ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB1A ． AB1 AC3 B ． AB3 AC4 3 44 1 4C ．AB 1 AC D ．AB 3 AC 4 44 47．【2018年高考全国 II 卷文数】已知向量 a ，b 满足|a | 1， a b 1，则 a (2a b)A ．4 C ．2B ．3 D ．08．【2018年高考浙江卷】已知 a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量 a 与 e 的夹角为 π3，向量 b 满足 b −4e·b+3=0，则|a −b|的最小值是2A ． 3 −1 C ．2B ． 3 +1 D ．2− 39．【 2018年高考天津卷文数】在如图的平面图形中，已知BC·OM的值为OM 1,ON 2,MON 120,BM 2MA,CN 2NA,则A ．15C ． 6B ．9D．010．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设向量a (1,1),b (m 1,2m 4)，若a b，则m11．【2020年高考天津】如图，在四边形ABCD 中， B 60, AB 3，BC 6，且.AD BC, AD AB 3，则实数的值为_________，若M,N是线段BC上的动点，且| MN2则DM DN的最小值为_________．12．【2020年高考北京】已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP 1 (AB AC)，则| PD |_________；2PB PD _________．13．【2020年高考浙江】已知平面单位向量e1，e2满足| 2e 1 e2 | 2．设a e 1 e2，b 3e 1 e2，向量a，b 的夹角为，则cos的最小值是_______．14．【2020年高考江苏】在△ABC中，AB 4，AC 3，∠BAC=90，D在边BC上，延长AD到P，使得AP 2若PA mPB (3 m)PC（m为常数），则CD的长度是▲．215．【2019年高考北京卷文数】已知向量=（–4，3），=（6，m），且a b，则m=__________．a b16．【2019年高考全国III卷文数】已知向量a (2,2),b (8,6)，则cos a,b___________.17．【2019年高考天津卷文数】在四边形ABCD中，AD∥BC, AB 2 3, AD 5, A 30，点E 在线段CB 的延长线上，且 AEBE ，则 BD AE _____________．18．【2019年高考江苏卷】如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE=2EA ，AD 与 CE 交于点O .若 AB AC6AO EC ，则ABAC 的值是_____. 19．【2019年高考浙江卷】已知正方形 ABCD 的边长为 1，当每个i(i 1,2,3,4,5,6)取遍时，|1AB 2BC 3CD 4DA 5AC 6BD|的最小值是________；最大值是_______.20．【2018年高考全国 III 卷文数】已知向量a=1,2，b=2,2，c=1,λ．若c ∥2a + b ，则________．21．【2018年高考北京卷文数】设向量 a=（1,0），b=（−1,m ）,若 a (mab)，则 m=_________.22．【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点 A 1，0、 B2，0， E 、 F 是 y 轴上的两个动点，且|EF| 2 ，则 AE BF 的最小值为___________．23．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系 xOy 中， A 为直线l : y 2x 上在第一象限内的点，B 5,0，以 AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点 D ．若 AB CD0，则点 A 的横坐标为___________．。
高考数学真题汇编---平面向量(有解析)
高考数学真题汇编---平面向量学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题（共10小题）1．（2017•新课标Ⅱ）设非零向量，满足|+|=|﹣|则（）A．⊥B．||=||C．∥D．||＞||2．（2017•新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3 B．2C．D．23．（2017•新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣C．﹣D．﹣14．（2017•浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=•，I2=•，I3=•，则（）A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I35．（2016•新课标Ⅲ）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°6．（2016•新课标Ⅱ）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（）A．﹣8 B．﹣6 C ．6 D．87．（2016•天津）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（）A．﹣B．C．D．8．（2016•山东）已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣9．（2016•四川）在平面内，定点A，B，C，D满足==，•=•=•=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C．D．10．（2016•四川）已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M 满足||=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C．D．二．填空题（共20小题）11．（2017•山东）已知向量=（2，6），=（﹣1，λ），若，则λ=．12．（2017•新课标Ⅲ）已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且，则m=．13．（2017•新课标Ⅰ）已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+与垂直，则m=．14．（2017•新课标Ⅰ）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=．15．（2017•山东）已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是．16．（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是．17．（2017•北京）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则•的最大值为．18．（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=．19．（2017•天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．20．（2016•新课标Ⅱ）已知向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，则m=．21．（2016•上海）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，则•的取值范围是．22．（2016•新课标Ⅰ）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=．23．（2016•山东）已知向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），若⊥（t+），则实数t的值为．24．（2016•新课标Ⅰ）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．25．（2016•浙江）已知平面向量，，||=1，||=2，=1，若为平面单位向量，则||+||的最大值是．26．（2016•上海）如图，已知点O（0，0），A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，则•的取值范围是．27．（2016•江苏）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是．28．（2016•北京）已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为．29．（2016•上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2…A8的中心，A1（1，0）任取不同的两点A i，A j，点P满足++=，则点P落在第一象限的概率是．30．（2016•浙江）已知向量，，||=1，||=2，若对任意单位向量，均有|•|+|•|≤，则•的最大值是．三．解答题（共1小题）31．（2017•山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3，= =3，求A和a．﹣6，S△ABC高考数学真题汇编---平面向量参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】由已知得，从而=0，由此得到．【解答】解：∵非零向量，满足|+|=|﹣|，∴，解得=0，∴．故选：A．2．【分析】如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），根据=λ+μ，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，∵BC=2，CD=1，∴BD==∴BC•CD=BD•r，∴r=，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=，设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），∵=λ+μ，∴（cosθ+1，sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选：A．3．【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），则•（+）=2x2﹣2y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣]∴当x=0，y=时，取得最小值2×（﹣）=﹣，故选：B．4．【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，∴AC=2，∴∠AOB=∠COD＞90°，由图象知OA＜OC，OB＜OD，∴0＞•＞•，•＞0，即I3＜I1＜I2，故选：C．5．【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC 的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选：A．【分析】求出向量+的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m的方程，解得答案．【解答】解：∵向量=（1，m），=（3，﹣2），∴+=（4，m﹣2），又∵（+）⊥，∴12﹣2（m﹣2）=0，解得：m=8，故选：D．7．【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，∴•========．故选：C．【分析】若⊥（t+），则•（t+）=0，进而可得实数t的值．【解答】解：∵4||=3||，cos＜，＞=，⊥（t+），∴•（t+）=t•+2=t||•||•+||2=（）||2=0，解得：t=﹣4，故选：B．9．【分析】由==，可得D为△ABC的外心，又•=•=•，可得可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．运用向量的数量积定义可得△ABC的边长，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，求得B，C的坐标，再设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由中点坐标公式可得M的坐标，运用两点的距离公式可得BM的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．【解答】解：由==，可得D为△ABC的外心，又•=•=•，可得•（﹣）=0，•（﹣）=0，即•=•=0，即有⊥，⊥，可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．由•=﹣2，即有||•||cos120°=﹣2，解得||=2，△ABC的边长为4cos30°=2，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，可得B（3，﹣），C（3，），D（2，0），由=1，可设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由=，可得M为PC的中点，即有M（，），则||2=（3﹣）2+（+）2=+==，当sin（θ﹣）=1，即θ=时，取得最大值，且为．故选：B．10．【分析】如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．点P的轨迹方程为：=1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，可得M，代入||2=+3sin，即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．∵M满足||=1，∴点P的轨迹方程为：=1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，则M，∴||2=+=+3sin≤．∴||2的最大值是．也可以以点A为坐标原点建立坐标系．解法二：取AC中点N，MN=，从而M轨迹为以N为圆心，为半径的圆，B，N，M三点共线时，BM为最大值．所以BM最大值为3+=．故选：B．二．填空题（共20小题）11．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵，∴﹣6﹣2λ=0，解得λ=﹣3．故答案为：﹣3．12．【分析】利用平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质求解．【解答】解：∵向量=（﹣2，3），=（3，m），且，∴=﹣6+3m=0，解得m=2．故答案为：2．13．【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出，再由向量+与垂直，利用向量垂直的条件能求出m的值．【解答】解：∵向量=（﹣1，2），=（m，1），∴=（﹣1+m，3），∵向量+与垂直，∴（）•=（﹣1+m）×（﹣1）+3×2=0，解得m=7．故答案为：7．14．【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，∴=+4•+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|+2|=2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形=+=+2；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|+2|=2．故答案为：2．15．【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．【解答】解：【方法一】由题意，设=（1，0），=（0，1），则﹣=（，﹣1），+λ=（1，λ）；又夹角为60°，∴（﹣）•（+λ）=﹣λ=2××cos60°，即﹣λ=，解得λ=．【方法二】，是互相垂直的单位向量，∴||=||=1，且•=0；又﹣与+λ的夹角为60°，∴（﹣）•（+λ）=|﹣|×|+λ|×cos60°，即+（﹣1）•﹣λ=××，化简得﹣λ=××，即﹣λ=，解得λ=．故答案为：．16．【分析】根据题意，设P（x0，y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，设P（x0，y0），则有x02+y02=50，=（﹣12﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20，化为：12x0﹣6y0+30≤0，即2x0﹣y0+5≤0，表示直线2x﹣y+5=0以及直线上方的区域，联立，解可得x0=﹣5或x0=1，结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5，1]，故答案为：[﹣5，1]．17．【分析】设P（cosα，sinα）．可得=（2，0），=（cosα+2，sinα）．利用数量积运算性质、三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：设P（cosα，sinα）.=（2，0），=（cosα+2，sinα）．则•=2（cosα+2）≤6，当且仅当cosα=1时取等号．故答案为：6．18．【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．可得cosα=，sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin（α+45°）=．B．利用=m+n（m，n∈R），即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα=，sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m，n∈R），∴=m﹣n，=0+n，解得n=，m=．则m+n=3．故答案为：3．19．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用、表示出，再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2，∴=+=+=+（﹣）=+，又=λ﹣（λ∈R），∴=（+）•（λ﹣）=（λ﹣）•﹣+λ=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ=．故答案为：．20．【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．【解答】解：向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，可得12=﹣2m，解得m=﹣6．故答案为：﹣6．21．【分析】设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，则=（1，1），=（cosα，sinα+1），由此能求出•的取值范围．【解答】解：∵在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，∴设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，∴=（1，1），=（cosα，sinα+1），=cosα+sinα+1=，∴•的取值范围是[0，1+]．故答案为：[0，1+]．22．【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得•=0．向量=（m，1），=（1，2），可得m+2=0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．23．【分析】根据向量的坐标运算和向量的数量积计算即可．【解答】解：∵向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），∴t+=（t+6，﹣t﹣4），∵⊥（t+），∴•（t+）=t+6+t+4=0，解得t=﹣5，故答案为：﹣5．24．【分析】根据向量垂直的充要条件便可得出，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于x的方程，解方程便可得出x的值．【解答】解：∵；∴；即x+2（x+1）=0；∴．故答案为：．25．【分析】由题意可知，||+||为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，由此可知，当与共线时，||+||取得最大值，即．【解答】解：||+||=，其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，当与共线时，取得最大值．∴=．故答案为：．26．【分析】设出=（x，y），得到•=x+，令x=cosθ，根据三角函数的性质得到•=sinθ+cosθ=sin（θ+），从而求出•的范围即可．【解答】解：设=（x，y），则=（x，），由A（1，0），B（0，﹣1），得：=（1，1），∴•=x+，令x=cosθ，θ∈[0，π]，则•=sinθ+cosθ=sin（θ+），θ∈[0，π]，故•的范围是[﹣，1，]，故答案为：[﹣1，]．27．【分析】由已知可得=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，=+2，=﹣+2，结合已知求出2=，2=，可得答案．【解答】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，∴=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，∴•=2﹣2=﹣1，•=92﹣2=4，∴2=，2=，又∵=+2，=﹣+2，∴•=42﹣2=，故答案为：28．【分析】根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案．【解答】解：∵向量=（1，），=（，1），∴与夹角θ满足：cosθ===，又∵θ∈[0，π]，∴θ=，故答案为：．29．【分析】利用组合数公式求出从正八边形A1A2…A8的八个顶点中任取两个的事件总数，满足++=，且点P落在第一象限，则需向量+的终点落在第三象限，列出事件数，再利用古典概型概率计算公式求得答案．【解答】解：从正八边形A1A2…A8的八个顶点中任取两个，基本事件总数为．满足++=，且点P落在第一象限，对应的A i，A j，为：（A4，A7），（A5，A8），（A5，A6），（A6，A7），（A5，A7）共5种取法．∴点P落在第一象限的概率是，故答案为：．30．【分析】根据向量三角形不等式的关系以及向量数量积的应用进行计算即可得到结论．【解答】解：由绝对值不等式得≥|•|+|•|≥|•+•|=|（+）•|，于是对任意的单位向量，均有|（+）•|≤，∵|（+）|2=||2+||2+2•=5+2•，∴|（+）|=，因此|（+）•|的最大值≤，则•≤，下面证明：•可以取得，（1）若|•|+|•|=|•+•|，则显然满足条件．（2）若|•|+|•|=|•﹣•|，此时|﹣|2=||2+||2﹣2•=5﹣1=4，此时|﹣|=2于是|•|+|•|=|•﹣•|≤2，符合题意，综上•的最大值是，法2：由于任意单位向量，可设=，则|•|+|•|=||+||≥||+|=||=|+|，∵|•|+|•|≤，∴|+|≤，即（+）2≤6，即||2+||2+2•≤6，∵||=1，||=2，∴•≤，即•的最大值是．法三：设=，=，=，则=+，=﹣，|•|+|•|=||+||=||≤||，由题设当且仅当与同向时，等号成立，此时（+）2取得最大值6，第21页（共22页）由于|+|2+|﹣|）2=2（||2+||2）=10，于是（﹣）2取得最小值4，则•=，•的最大值是．故答案为：．三．解答题（共1小题）31．【分析】根据向量的数量积和三角形的面积公式可得tanA=﹣1，求出A和c的值，再根据余弦定理即可求出a．【解答】解：由=﹣6可得bccosA=﹣6，①，由三角形的面积公式可得S△ABC=bcsinA=3，②∴tanA=﹣1，∵0＜A＜180°，∴A=135°，∴c==2，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=9+8+12=29∴a=第22页（共22页）。
平面向量--2023高考真题分类汇编完整版
平面向量--高考真题汇编第一节平面向量的概念及线性运算1.（2023新高考II 卷13）已知向量,a b 满足-=a b ，2+=-a b a b ，则=b ______．【解析】解法一（向量运算）:因为-=a b ，所以2223-⋅=a a b +b ①因为2+=-a b a b ，所以2222244+⋅=-⋅a a b +b a a b +b ，化简得22=⋅a a b ，代入①得23=b ，b .解法二（向量运算加减几何意义）：如图所示，OD += a b ，2BC -=a b ，所以OD BC = ，所以四边形OCDB 为等腰梯形，则OB DC ==-=a b .即=b .第二节平面向量基本定理及坐标表示1.（2023新高考I 卷3）已知向量()1,1=a ，()1,1=-b .若()()λμ+⊥+a b a b ，则（）A.1λμ+= B.1λμ+=- C.1λμ= D.1λμ=-【解析】()()()()22202210λμλμλμλμλμ+⋅+=++⋅+=++=+=a b a b a a b b ，所以1λμ=-.故选D.第三节平面向量的数量积及应用1.（2023北京卷3）已知向量,a b 满足()2,3+=a b ，()2,1-=-a b ，则22-=a b （）A.2-B.1-C.0D.1【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.【解析】向量,a b 满足(2,3),(2,1)+=-=-a b a b ，所以22||||()()2(2)311-=+⋅-=⨯-+⨯=-a b a b a b .故选B.2.（2023全国甲卷理科4）向量1==a b ，=c ++=0a b c ，则cos ,--=a c b c （）A.15-B.25-C.25D.45【分析】作出图形，根据几何意义求解.【解析】因为++=0a b c ，所以+=-a b c ，即2222++⋅=a b a b c ，即1122++⋅=a b ，所以0⋅=a b .如图所示，设OA = a ，OB = b ，OC =c ，由题知，1OA OB ==，OC =OAB △是等腰直角三角形，AB边上的高22OD =，22AD =，所以23222CD CO OD =+==，1tan3AD ACD CD ∠==，cos ACD ∠=，224cos ,cos cos22cos 1215ACB ACD ACD --=∠=∠=∠-=⨯-=a c b c .故选D.3.（2023全国甲卷文科3）已知向量()3,1=a ，()2,2=b ，则cos ,+-=a b a b （）A.117B.17C.5D.5【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得()(),,+-+⋅-a b a b a b a b ，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.【解析】因为(3,1),(2,2)==a b ，所以()()5,3,1,1+=-=-a b a b ，则+==-=a b a b ()()()51312+⋅-=⨯+⨯-=a b a b ，所以()()cos,+⋅-+-==+-a b a ba b a ba b a b.故选B.4.（2023全国乙卷理科12）已知圆O的半径为1，直线PA与圆O相切于点A，直线PB与圆O交于,B C两点，D为BC的中点，若PO=PA PD⋅的最大值为（）A.12+ B.12+ C.1 D.2【解析】依题意PAO△为等腰直角三角形，1PA=，π4APO∠=.因为要求PA PD⋅的最大值，所以,PA PD一定在PO同侧，如图所示，设APDα∠=，π4α<<，则π4OPDα∠=-，πcos4PD PO OPDα⎛⎫=∠=-⎪⎝⎭.所以πcos cos4PA PD PA PDααα⎛⎫⋅=⋅=-⎪⎝⎭ππcos cos2244ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦122⎤≤+⎢⎥⎣⎦=12当π8α=时等号成立，所以PA PD⋅的最大值为12+.故选A.解法三（定义法）：由题意可得：在CDE △中，由余弦定理可得所以cos EC ED EC ED ⋅=∠ 故选B.6.（2023天津卷14）在ABC △中点，若设,AB AC == a b ，则的最大值为_________．【分析】空1：根据向量的线性运算，结合上一空答案，于是AE AF ⋅ 【解析】空1：因为E 为CD 1142AE =+ a b ；空2：因为13BF BC = ，则2FB。
《精品》2017-2019三年高考真题专题11平面向量-数学(文)分项汇编(解析版)
专题11平面向量1．【2019年高考全国I卷文数】已知非零向量a，b满足|a |2|b|，且(a b)b，则a与b的夹角为A．C．π62π3B．D．π35π6【答案】B【解析】因为(a b)b ，所以(a b)b ab b2=0，所以a b b2，所以cos=a b|b|21a b2|b|22，所以a与b的夹角为π3，故选B．【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]．2．【2019年高考全国II A．2卷文数】已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a-b|=B．2C．52D．50【答案】A【解析】由已知，a b (2,3)(3,2)(1,1)，所以|a b |(1)2122，故选A.【名师点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．3．【2018年高考全国I卷文数】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EBA．C．31AB AC4431AB AC44B．D．13AB AC4413AB AC44【答案】A1【解析】根据向量的运算法则，可得BE1 111 1 1BA BDBA BC BA BA AC 2 2 2 4 2 4 1 1 1 3 1 3 1 BA BA AC BA AC ，所以 EB AB AC2 4 4 4 4 44，故选 A.【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.4．【2018 年高考全国 II 卷文数】已知向量 a， b 满足 | a | 1， ab1，则 a (2a b )A ．4 C ．2【答案】B【解析】因为 B ．3D ．0a2a b 2a 2a b 2|a |2 1213所以选 B.【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学 运算.5．【2018 年高考浙江卷】已知 a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量 a 与 e 的夹角为 满足 b −4e · b +3=0，则|a −b |的最小值是π，向量 b3A ． 3 −1B ． 3 +1C ．2【答案】AD ．2−3【解析】设，则由 ，得由 b−4e · b +3=0 得因此|a −b |的最小值为圆心到直线222的距离2 32= 3 减去半径 1，为选 A.【名师点睛】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题，考查数形结合思想，考查考生的 选算求解能力以及分析问题和解决问题的能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.6 ．【 2018 年 高 考 天 津 卷 文 数 】 在 如 图 的 平 面 图 形 中 ， 已 知OM1,O N 2, MON 120,BM 2M A , CN2 N A ,则BC ·OM的值为A ．15B ．9C ．6D ．0【答案】C【解析】如图所示，连结 MN ，由可知点分别为线段上靠近点 的三等分点，则由题意可知：，，，结合数量积的运算法则可得： 本题选择 C 选项..【名师点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意 义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．7．【2017 年高考全国 II卷文数】设非零向量 a ， b满足a +b = ab，则A ． a ⊥bB ．a = b3C．a∥b D．a b【答案】A【解析】由向量加法与减法的几何意义可知，以非零向量a，b的模长为边长的平行四边形是矩形，从而可得a⊥b.故选A.【名师点睛】本题主要考查向量的数量积与向量的垂直.8．【2017年高考北京卷文数】设m,n为非零向量，则“存在负数，使得m n”是“m n<0”的A．充分而不必要条件C．充分必要条件【答案】A B．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】若0，使mn，则两向量m,n反向，夹角是180，那么m n m n cos180 m n 0；若m n0，那么两向量的夹角为90,180，并不一定反向，即不一定存在负数，使得mn，所以是充分而不必要条件，故选A.【名师点睛】本题考查平面向量的线性运算，及充分必要条件的判断，属于容易题.9．【2019年高考北京卷文数】已知向量a=（–4，3），b=（6，m），且a b，则m=__________．【答案】8【解析】向量a (4,3),b (6,m)，a b，则a b0，463m 0，m 8.【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.10．【2019年高考全国III卷文数】已知向量2【答案】10a (2,2),b (8,6)，则c os a,b ___________.【解析】cos a,b a b|a|b|22282622(8)262210．【名师点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键．11．【2019年高考天津卷文数】在四边形ABCD中，AD∥BC,AB 23,AD 5,A 30，点E在线段CB的延长线上，且AE BE，则BD AE _____________．4【答案】1【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB=30°，AB 23,AD 5,则B(23,0)535，D(,).22因为AD∥BC，BAD 30，所以ABE30，因为AE BE，所以BAE 30，33所以直线BE的斜率为，其方程为y (x 23)，33直线AE的斜率为33，其方程为y x.333y (x 23),3由y x3得x 3，y1，所以E( 3,1).35所以BD AE (,) ( 3,1)1.22【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.12．【2019年高考江苏卷】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.若AB AC 6A O EC ，则ABAC的值是_____.53【答案】 3 .【解析】如图，过点 D 作 DF//CE ，交 AB 于点 F ，由 BE=2EA ，D 为 BC 的中点，知 BF =FE =EA ,AO =OD ．6 AO EC 3 A DAC AEAB AC2AC AE，32AB AC AC AB32AB AC AB AC AB AC3 3AB AC AB ACAB AC ABACAB AC 2 3 32 2，得13 AB ABAC , 即 AB 3 AC , 故22 AC3 【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.13．【2019 年高考浙江卷】已知正方形 ABCD 的边长为 1，当每个i(i 1,2,3, 4,5,6)取遍时，|ABBCCDDAACBD | 123456的最小值是________；最大值是_______.【答案】0； 2 5 .【解析】以 AB , AD分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图.3 1 312213 2 1221 2 32226则AB (1,0),BC (0,1),CD (1,0),DA (0,1),AC (1,1),BD (1,1)令, y AB BC CD DA AC BD12345613562245620.又因为i (i 1,2,3,4,5,6)可取遍1，所以当1,1345612时，有最小值ymin0.因为135和245的取值不相关，61或61，所以当135和245分别取得最大值时，y有最大值，所以当1,1125634时，有最大值ymax22422025.故答案为0；25.【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.14．【2018年高考全国III卷文数】已知向量a=1,2，b=2,2，c =1,λ．若c∥2a+b，则________．【答案】1 2【解析】由题可得2a b 4,2，c∥2a+b ，c=1,λ，42 0，即11，故答案为.22【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题.解题时，由两向量共线的坐标关系计算即可.15．【2018年高考北京卷文数】设向量a=（1,0），b=（−1,m）,若7a (m a b)，则m=_________.【答案】【解析】，，由得：，，即.【名师点睛】如果a=(x，y)，b=(x，y)(b≠0)，则a b的充要条件是x x+y y=0．16．【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点A 1，0B2，，、是轴上的两个动点，且|E F|2，则的最小值为___________．【答案】-3【解析】根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴EF a b 2；∴a=b+2，或b=a+2；且AE 1,a，BF2,b；∴AE BF 2ab；当a=b+2时，AE BF2b 2b b 22b2；∵b+2b﹣2的最小值为8443；∴AE BF的最小值为﹣3，同理求出b=a+2 时，AE BF的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【名师点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．17．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，A为直线l:y 2x上在第一象限内的点，B5,0，以AB为直径的圆C 与直线l交于另一点D．若AB CD 0【答案】3，则点A的横坐标为___________．【解析】设A a,2a (a0)，则由圆心为AB中点得a 52,a,易得C:x 5xay y 2a 0，与y 2x联立解得点D的横坐标x 1,所以DD1,2.所以11221212、E F yAE BF2CCa 5，AB 5a,2a,C D 1,2a28由AB CD 0得5a 1a 522a 2a0,a22a 30,a 3或a1，因为a 0，所以a 3.【名师点睛】以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.18．【2017年高考全国III卷文数】已知向量a (2,3),b (3,m)【答案】2，且a b，则m=________．【解析】由题意可得a b0233m 0,解得m 2.【名师点睛】（1）向量平行：a∥b x y x y，a∥b,b 0R,a b1221,1BA AC OA OB OC11.（2）向量垂直：a b a b0x x y y 01212.（3）向量的运算：a b (x x,y y),a12122|a|2,a b|a||b|cos a,b.19．【2017年高考全国I卷文数】已知向量a=（–1，2），b=（m，1）．若向量a+b与a垂直，则m=________．【答案】7【解析】由题得a b (m 1,3)，因为(a b)a0，所以(m 1)230，解得m 7．【名师点睛】如果a=(x，y)，b=(x，y)(b≠0)，则a b的充要条件是x x+y y=0．1122121220．【2017年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量O A，O B，O C的模分别为1，1，2，O A与OC的夹角为，且at n =7，OB与OC的夹角为45°．若O C mOAnOB(m,n R)，则m n ___________．【答案】3【解析】由tan 7可得sin 7210，c os2，根据向量的分解，109易得n c os 45mcos 2，即n s in 45msin 022n m 2210272n m 02105n m10，即5n 7m 0，即得57m ,n44，所以m n 3．【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法．（3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．21．【2017年高考浙江卷】已知向量a，b满足是___________．25【答案】4，a 1,b 2,则a b a b的最小值是________，最大值【解析】设向量a,b的夹角为，则a b 1222212cos 54cos ，a b 1222212cos 54cos ，则a b a b 54cos 54cos ，令y 54cos 54cos ，则y21022516cos216,20，据此可得：a b a b 2025,a b a b 164，max min即a b a b的最小值是4，最大值是25．【名师点睛】本题通过设向量a,b的夹角为，结合模长公式，可得a b a b 54cos54cos ，再利用三角函数的有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求．22．【2017年高考天津卷文数】在△ABC中，∠A 60，AB 3，AC 2．若B D D2C，AE AC AB(R)，且AD AE 4，则的值为________．【答案】31110【解析】由题可得AB AC 32cos603,A D 1212AB AC，则AD AE (AB AC) 3333(2123 AC A B)34934．333311【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基底可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，则可获解．本题中AB,AC已知模和夹角，作为基底易于计算数量积．23．【2017年高考山东卷文数】已知向量a=（2,6）,b=(1,),若a∥b,则________．【答案】3【解析】由a∥b可得162 3.【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：（1）利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a＝(x,y),b＝(x,y),1122则a∥b的充要条件是x y＝x y”解题比较方便．1221（2）利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．（3）三点共线问题．A,B,C三点共线等价于A B与A C共线.11→→。
三年高考高考数学真题分项汇编专题11平面向量文含解析
三年高考高考数学真题分项汇编专题11平面向量文含解析专题11 平面向量1．【2019年高考全国I 卷文数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ． 【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．2．【2019年高考全国II 卷文数】已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a -b |=A B ．2C ．D ．50【答案】A【解析】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)-=-=-a b ，所以||-==a b ， 故选A.【名师点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错． 3．【2018年高考全国I 卷文数】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+，所以3144EB AB AC =-，故选A.【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 4．【2018年高考全国II 卷文数】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【答案】B【解析】因为()()22222||1213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a ,所以选B.【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.5．【2018年高考浙江卷】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是A 1 BC ．2D ．2【答案】A【解析】设a =(a ,a ),a =(1,0),a =(a ,a )，则由⟨a ,a ⟩=π3得a ⋅a =|a |⋅|a |cosπ3,a =12√a 2+a 2,∴a =±√3a ，由b 2−4e ·b +3=0得a 2+a 2−4a +3=0,(a −2)2+a 2=1,因此|a −b |的最小值为圆心(2,0)到直线a =±√3a 的距离21，为√3−1.选A. 【名师点睛】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题，考查数形结合思想，考查考生的选算求解能力以及分析问题和解决问题的能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.6．【2018年高考天津卷文数】在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为A ．15-B ．9-C ．6-D ．0【答案】C【解析】如图所示，连结MN ，由aa ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2aa ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,aa ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2aa ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 可知点a ,a 分别为线段aa ,aa 上靠近点a 的三等分点，则aa ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =3aa ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =3(aa ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −aa ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )，由题意可知：aa ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=12=1，aa ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅aa ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =1×2×cos 120∘=−1，结合数量积的运算法则可得：aa ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅aa ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =3(aa ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −aa ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )⋅aa ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =3aa ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅aa ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −3aa ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=−3−3=−6.本题选择C 选项.【名师点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．7．【2017年高考全国II 卷文数】设非零向量a ，b 满足+=-a b a b ，则 A ．a ⊥b B ．=a b C ．a ∥bD ．>a b【答案】A【解析】由向量加法与减法的几何意义可知，以非零向量a ，b 的模长为边长的平行四边形是矩形，从而可得a ⊥b .故选A.【名师点睛】本题主要考查向量的数量积与向量的垂直.8．【2017年高考北京卷文数】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0λ∃<，使λ=m n ，则两向量,m n 反向，夹角是180︒，那么cos180⋅=︒=m n m n0-<m n ；若0⋅<m n ，那么两向量的夹角为(]90,180︒︒，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分而不必要条件，故选A.【名师点睛】本题考查平面向量的线性运算，及充分必要条件的判断，属于容易题.9．【2019年高考北京卷文数】已知向量a =（–4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________． 【答案】8【解析】向量(4,3),(6,)m =-=⊥，，a b a b 则046308m m ⋅=-⨯+==，，a b .【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.10．【2019年高考全国III 卷文数】已知向量(2,2),(8,6)==-a b ，则cos ,=a b ___________.【答案】10-【解析】2826cos ,||||⨯-+⨯⋅===⋅a b a b a b ． 【名师点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键．11．【2019年高考天津卷文数】在四边形ABCD中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_____________．【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB=30°，5,AB AD ==则B，5()22D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒， 因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒， 所以直线BE，其方程为y x =-， 直线AE的斜率为y x =.由(3y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x =1y =-，所以1)E -.所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-.【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.12．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，得2213,22AB AC =即3,AB AC =故AB AC=【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.13．【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.【答案】0；【解析】以, AB AD 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图.则(1,0),(0,1),(1,0),(0,1),(1,1),(1,1)AB BC CD DA AC BD ===-=-==-, 令(123456y AB BC CD DA AC BD λλλλλλλ=+++++=0.又因为(1,2,3,4,5,6)i i λ=可取遍1±，所以当1345621,1λλλλλλ======-时，有最小值min 0y =. 因为()135λλλ-+和()245λλλ-+的取值不相关，61λ=或61λ=-， 所以当()135λλλ-+和()245λλλ-+分别取得最大值时，y 有最大值，所以当1256341,1λλλλλλ======-时，有最大值max y ===故答案为0；【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.14．【2018年高考全国III 卷文数】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．【答案】12【解析】由题可得()24,2+=a b ，()2∥c a +b ，()=1,λc ，420λ∴-=，即12λ=，故答案为12. 【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题.解题时，由两向量共线的坐标关系计算即可.15．【2018年高考北京卷文数】设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________.【答案】−1【解析】∵a =(1,0),a =(−1,a )，∴a a −a =(a ,0)−(−1,a )=(a +1,−a )， 由a ⊥(a a −a )得：a ⋅(a a −a )=0，∴a ⋅(a a −a )=a +1=0，即a =−1. 【名师点睛】如果a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2=0． 16．【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =，则AE BF ⋅的最小值为___________．【答案】-3【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）； ∴2EF a b =-=； ∴a =b +2，或b =a +2；且()()1,2,AE a BF b ==-，； ∴2AE BF ab ⋅=-+；当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-； ∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3．【名师点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．17．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为___________． 【答案】3【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，由0AB CD ⋅=得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-， 因为0a >，所以 3.a =【名师点睛】以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.18．【2017年高考全国III 卷文数】已知向量(2,3),(3,)m =-=a b ，且⊥a b ，则m =________．【答案】2【解析】由题意可得02330,m ⋅=⇒-⨯+=a b 解得2m =.【名师点睛】（1）向量平行：1221∥x y x y ⇒=a b ，,,∥≠⇒∃∈=λλ0R a b b a b ,111BA AC OA OB OC λλλλ=⇔=+++. （2）向量垂直：121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b .（3）向量的运算：221212(,),||,||||cos ,x x y y ±=±±=⋅=⋅a b a a a b a b a b .19．【2017年高考全国I 卷文数】已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）．若向量a +b 与a 垂直，则m =________．【答案】7【解析】由题得(1,3)m +=-a b ，因为()0+⋅=a b a ，所以(1)230m --+⨯=，解得7m =． 【名师点睛】如果a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2=0．20．【2017年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ，则m n +=___________．【答案】3【解析】由tan 7α=可得sin 10α=，cos 10α=，根据向量的分解，易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2100n m +=⎪=，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=．【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法． （3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．21．【2017年高考浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________． 【答案】4，【解析】设向量,a b 的夹角为θ，则-==a b ，+==a b则++-=a b a b令y =[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin 4++-==++-==a b a ba b a b ，即++-a b a b 的最小值是4，最大值是【名师点睛】本题通过设向量,a b 的夹角为θ，结合模长公式，可得++-=a b a b能力有一定的要求．22．【2017年高考天津卷文数】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =，AE AC λ=- ()AB λ∈R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为________．【答案】3111 【解析】由题可得1232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯︒==+，则12()33AD AE AB AC ⋅=+2123()34934333311AC AB λλλλ-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=． 【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基底可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，则可获解．本题中,AB AC 已知模和夹角，作为基底易于计算数量积．23．【2017年高考山东卷文数】已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ- ,若∥a b ,则λ=________．【答案】3-【解析】由∥a b 可得162 3.λλ-⨯=⇒=-【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：（1）利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则∥a b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．（2）利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a 共线的向量时,可设所求向量为λa (λ∈R ),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．（3）三点共线问题．A ,B ,C 三点共线等价于AB →与AC →共线.。
三年高考(2019-2021)数学(文)真题分类汇编——平面向量(原卷版)
!!!" AC
×
!B!C!"=1，则
点 C 的轨迹为
A．圆
B．椭圆
C．抛物线
D．直线
!!!" !!!" 6．【2020 年新高考全国Ⅰ卷】已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，则 AP × AB
的取值范围是
A． (-2, 6)
B． (-6, 2)
C． (-2, 4)
D． (-4, 6)
AE
=
BE
，则
!!!" BD
×
!!!" AE
= _____________．
23．【2019 年高考江苏卷】如图，在 △ABC 中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE=2EA，
21．【2019 年高考全国 III 卷文数】已知向量 a = (2, 2), b = (-8, 6)，则
cos a, b =___________.
22．【2019 年高考天津卷文数】在四边形 ABCD中，
AD ∥ BC, AB = 2 3, AD = 5, ÐA = 30° ，点 E 在线段 CB的延长线上，且
P2 (cos b , - sin b )， P3 (cos (a + b ),sin (a + b ))， A(1, 0)，则（ ）
!!!" !!!" A． OP1 = OP2
!!!" !!!" B． AP1 = AP2
!!!" !!!" !!!" !!!" C． OA × OP3 = OP1 × OP2
2
|
!!!" PD
|=
_________；
专题7 平面向量--2020届高三理科数学3年高考真题分类汇编含解析答案
专题7平面向量1．【2019年全国新课标2理科03】已知（2，3），（3，t），||＝1，则•（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【解答】解：∵（2，3），（3，t），∴（1，t﹣3），∵||＝1，∴t﹣3＝0即（1，0），则• 2故选：C．2．【2019年新课标1理科07】已知非零向量，满足||＝2||，且（）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：∵（）⊥，∴，∴，∵，∴．故选：B．3．【2019年北京理科07】设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“||＞||”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：点A，B，C不共线，“与的夹角为锐角”⇒“||＞||”，“||＞||”⇒“与的夹角为锐角”，∴设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“||＞||”的充分必要条件．故选：C．4．【2018年新课标1理科06】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，（），故选：A．5．【2018年新课标2理科04】已知向量，满足||＝1，1，则•（2）＝（）A．4 B．3 C．2 D．0【解答】解：向量，满足||＝1，1，则•（2）＝22+1＝3，故选：B．6．【2018年浙江09】已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足4•3＝0，则||的最小值是（）A． 1 B． 1 C．2 D．2【解答】解：由4•3＝0，得，∴（）⊥（），如图，不妨设，则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点O的两条射线y（x＞0）上．不妨以y为例，则||的最小值是（2，0）到直线的距离减1．即．故选：A．7．【2018年北京理科06】设，均为单位向量，则“|3|＝|3|”是“⊥”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵“|3|＝|3|”∴平方得||2+9||2﹣6•9||2+||2+6•，即1+9﹣6•9+1+6•，即12•0，则•0，即⊥，则“|3|＝|3|”是“⊥”的充要条件，故选：C．8．【2018年天津理科08】如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1．若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．3【解答】解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，∴AN＝AB cos60°，BN＝AB sin60°，∴DN＝1，∴BM，∴CM＝MB tan30°，∴DC＝DM+MC，∴A（1，0），B（，），C（0，），设E（0，m），∴（﹣1，m），（，m），0≤m，∴m2m＝（m）2（m）2，当m时，取得最小值为．故选：A．9．【2017年新课标2理科12】已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（）的最小值是（）A．﹣2 B．C．D．﹣1【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P（x，y），则（﹣x，y），（﹣1﹣x，﹣y），（1﹣x，﹣y），则•（）＝2x2﹣2y+2y2＝2[x2+（y）2]∴当x＝0，y时，取得最小值2×（），故选：B．10．【2017年新课标3理科12】在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若λμ，则λ+μ的最大值为（）A．3 B．2C．D．2【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，∵BC＝2，CD＝1，∴BD∴BC•CD BD•r，∴r，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2，设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），∵λμ，∴（cosθ+1，sinθ+2）＝λ（1，0）+μ（0，2）＝（λ，2μ），∴cosθ+1＝λ，sinθ+2＝2μ，∴λ+μcosθsinθ+2＝sin（θ+φ）+2，其中tanφ＝2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选：A．11．【2017年浙江10】如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记I1•，I2•，I3•，则（）A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I3【解答】解：∵AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，∴AC＝2，∴∠AOB＝∠COD＞90°，由图象知OA＜OC，OB＜OD，∴0••，•0，即I3＜I1＜I2，故选：C．12．【2017年北京理科06】设，为非零向量，则“存在负数λ，使得λ”是“•0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：，为非零向量，存在负数λ，使得λ，则向量，共线且方向相反，可得•0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•0，而λ不成立．∴，为非零向量，则“存在负数λ，使得λ”是•0”的充分不必要条件．故选：A．13．【2019年天津理科14】在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB 的延长线上，且AE＝BE，则•．【解答】解：∵AE＝BE，AD∥BC，∠A＝30°，∴在等腰三角形ABE中，∠BEA＝120°，又AB＝2，∴AE＝2，∴，∵，∴又，∴•＝﹣125×2＝﹣1故答案为：﹣1．14．【2019年新课标3理科13】已知，为单位向量，且•0，若2，则cos，．【解答】解：22，∵（2）2＝4459，∴||＝3，∴cos，．故答案为：15．【2019年江苏12】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•6•，则的值是．【解答】解：设λ（），μμ（）＝（1﹣μ）μμ∴，∴，∴（），，6•6（）×（）（），∵•，∴，∴3，∴．故答案为：16．【2019年浙江17】已知正方形ABCD的边长为1．当每个λi（i＝1，2，3，4，5，6）取遍±1时，|λ1λ2λ3λ4λ5λ6|的最小值是，最大值是．【解答】解：正方形ABCD的边长为1，可得，，•0，|λ1λ2λ3λ4λ5λ6|＝|λ1λ2λ3λ4λ5λ5λ6λ6|＝|（λ1﹣λ3+λ5﹣λ6）（λ2﹣λ4+λ5+λ6）|，由于λi（i＝1，2，3，4，5，6）取遍±1，可得λ1﹣λ3+λ5﹣λ6＝0，λ2﹣λ4+λ5+λ6＝0，可取λ5＝λ6＝1，λ1＝λ3＝1，λ2＝﹣1，λ4＝1，可得所求最小值为0；由λ1﹣λ3+λ5﹣λ6，λ2﹣λ4+λ5+λ6的最大值为4，可取λ2＝1，λ4＝﹣1，λ5＝λ6＝1，λ1＝1，λ3＝﹣1，可得所求最大值为2．故答案为：0，2．17．【2018年江苏12】在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若0，则点A的横坐标为．【解答】解：设A（a，2a），a＞0，∵B（5，0），∴C（，a），则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）＝0．联立，解得D（1，2）．∴．解得：a＝3或a＝﹣1．又a＞0，∴a＝3．即A的横坐标为3．故答案为：3．18．【2018年新课标3理科13】已知向量（1，2），（2，﹣2），（1，λ）．若∥（2），则λ＝．【解答】解：∵向量（1，2），（2，﹣2），∴（4，2），∵（1，λ），∥（2），∴，解得λ．故答案为：．19．【2018年上海08】在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||＝2，则的最小值为．【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴；∴a＝b+2，或b＝a+2；且；∴；当a＝b+2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出b＝a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．20．【2017年江苏12】如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα＝7，与的夹角为45°．若m n（m，n∈R），则m+n＝．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα＝7．∴cosα，sinα．∴C．cos（α+45°）（cosα﹣sinα）．sin（α+45°）（sinα+cosα）．∴B．∵m n（m，n∈R），∴m n，0n，解得n，m．则m+n＝3．故答案为：3．21．【2017年新课标1理科13】已知向量，的夹角为60°，||＝2，||＝1，则|2|＝．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝1，∴4•4＝22+4×2×1×cos60°+4×12＝12，∴|2|＝2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形2；在△OAC中，由余弦定理得||2，即|2|＝2．故答案为：2．22．【2017年浙江15】已知向量、满足||＝1，||＝2，则||+||的最小值是，最大值是．【解答】解：记∠AOB＝α，则0≤α≤π，如图，由余弦定理可得：||，||，令x，y，则x2+y2＝10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图，令z＝x+y，则y＝﹣x+z，则直线y＝﹣x+z过M、N时z最小为z min＝1+3＝3+1＝4，当直线y＝﹣x+z与圆弧MN相切时z最大，由平面几何知识易知z max即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧MN所在圆的半径的倍，所以z max．综上所述，||+||的最小值是4，最大值是．故答案为：4、．23．【2017年天津理科13】在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2．若2，λ（λ∈R），且4，则λ的值为．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，2，∴（），又λ（λ∈R），∴（）•（λ）＝（λ）•λ＝（λ）×3×2×cos60°32λ×22＝﹣4，∴λ＝1，解得λ．故答案为：．。
高考文科数学真题汇编平面向量高考题老师版
a 、b 都是非零向量||||a b a b =成立的充分条件是a b =- B 、//a b C 、2a b = D 、//a b 且||||a b =2.2014新标1文设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点,则=+FC EB A AD B. 12AD C. 12BC D. BC 3. 2014福建文设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点OA OB OC OD +++等于 D4.2012大纲ABC ∆中,AB 边上的高为CD ,若,,0,||1,||2CB a CA b a b a b ==⋅===,则AD =A ．1133a b -B 23a b -C ．3355a b -D ．4455a b - 简解由0a b ⋅=可得ACB ∠︒,故5AB =,用等面积法求得255CD =,所以455AD =,故4444()5555AD AB CB CA a b ==-=-,故选答案5.2012浙江 设a ,b 是两个非零向量．A ．若|a +b |=|a |-|b |,则a ⊥b ；B ．若a ⊥b ,则|a +b |=|a |-|b |C ．若|a +b |=|a |-|b |,则存在实数λ,使得a =λb．若存在实数λ,使得a =λb ,则|a +b |=|a |-|b |a +b |=|a |-|b |,两边平方得到a b ⋅=-|a ||b |,则a 与b 反向,选C2013四川 在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,错误!＋错误7.2014新标1理 已知A,B,C 是圆O 上的三点,若1()2AO AB AC =+,则AB 与AC 的夹角为历年高考试题集锦——平面向量a ()2,4a =,()1,1b =-,a b -= AB.()5,9C.()3,7D.()2,3BA =,()4,7CA =,则BC = AB.()2,4C.()6,10 已知向量(1,2)a =,(3,1)b =,则b a -= B 1,1)、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ,则向量AB 在CD 方向上的投影为 C ．322- D ．3152- a = 1,—1,b = 2,x.若a ·b = 1,则x = DC 12D1 1,3,B 4,－1,则与向量A 错误!同方向的单位向量为(1,2)AC =(4,2)BD =- C ．5 D ,a b 满足32a b a b ==+,则,a b 夹角的余弦值为错误!sin x ,sin x ,b →＝cos x ,sin x ,x ∈错误!的值； 2设函数fx ＝a →·b →,求fx 的最大值．.b →b →AP AC = 18 .解析设AC BD O =,则2()AC AB BO =+,AP AC = 2()AP AB BO +=22AP AB AP BO +222()2AP AB AP AP PB AP ==+=18=.23.2012江苏如图,在矩形ABCD 中,AB=,BC=2,点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若=,则的值是 ． 24.2014江苏如图,在□ABCD 中,已知,85AB AD ==，,32CP PD AP BP =⋅=，,则AB AD ⋅的值是 ． 简解AP AC -=3AD AP -,14AP AD AB =+;34BP AD AB =-;列式解得结果22 25.2015北京文设a ,b 是非零向量,“a b a b ⋅=”是“//a b ”的 AA ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件26.2015年广东文在平面直角坐标系x y O 中,已知四边形CD AB 是平行四边形,()1,2AB =-,()D 2,1A =,则D C A ⋅A = DA ．2B ．3C ．4D ．527.2015年安徽文ABC ∆是边长为2的等边三角形,已知向量b a 、满足a AB 2=→,b a AC +=→2,则下列结论中正确的是 ①④⑤ ;写出所有正确结论得序号①a 为单位向量；②b 为单位向量；③b a ⊥；④→BC b // ；⑤→⊥+BC b a )4( ;28.2013天津在平行四边形ABCD 中,AD ＝1,∠BAD ＝60°,E 为CD 的中点．若错误!·错误!＝1,则AB 的长为________．简解如图建系:由题意AD=1, 60=∠DAB ,得)0,21(-A ,),23,0(D 设DE=x,)23,(x E ,)0,212(-x B , 13(2,)22AC x =+,13(,)22BE x =-由题意 .1AD BE = 得：143)21)(212(=+-+x x ,得41=x ,∴AB 的长为21; 29．2012福建文已知向量)2,1(-=→x a,)1,2(=→b ,则→→⊥b a 的充要条件是 D A ．21-=x B ．1-=x C ．5=x D ．0=x 30．2012陕西文设向量a =1.cos θ与b =-1, 2cos θ垂直,则cos2θ等于 C(1,OA =|||OA OB =0OA OB ⋅=||AB =51,t ,错误2,2,若∠ABO ＝90°,则实数t 的值为＝90°,即错误!错误!,所以错误!·错误!＝错误!(1,2)a =,(1,1)b =,c a kb =+．若b c ⊥,则实数k 53- C ．53 D ．32文已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a C．1 D ．2,a b ,下列关系式中不恒成立的是|||||a b a b •≤ B ．|||||||a b a b -≤- C ．22()||a b a b +=+ D ．22)()a b a b a b +-=- 37.2015年天津文在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠= 点E 和点F 分别在线BC 和CD 上,且21,,36BE BC DF DC == 则AE AF ⋅的值为 2918 ． 38.2015年江苏已知向量a =)1,2(,b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-R n m ∈,, n m -的值为___-3___.已知△ABC 是边长为1的等边三角形,点E D ,分别是边,则AF BC •的值为 B81 C 41 卷已知向量1(,2BA =3(2BC = B 450 C 60 D1203),(=b ,则a 与b 夹角的大小为30.______.中,D 是BC 的中点,F 是AD 上的两个三等分点4BC CA ⋅=,1BF CF ⋅=-BE CE ⋅ 的值是、2016年山东已知向量5-____．。
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三年高考真题分类汇编
平面向量
五年高考真题分类汇编
平面向量
1．（19全国1文理）已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为（ ）
A ．π6
B ．π3
C ．2π3
D ．5π6 2．（19全国2理）已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅=（ ） A ．-3 B ．-2 C ．2 D ．3 3．（19全国2文）已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a –b |=（ ）
A
B ．2
C ．
D ．50 4．（19全国3理）已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0
，若2=c a ，则cos ,<>=a c 23 5．（19全国3文）已知向量(2,2),(8,6)==-a b ，则cos ,<>=
a
b 6.（19天津文理）在四边形ABCD
中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=1-
7．（18浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3
，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是（ ）
A
1 B
C ．2
D ．2
8．（18天津文）在如图的平面图形中，
已知 1.2,120OM ON MON ==∠=,
2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为（ ）
（A ）15- （B ）9- （C ）6- （D ）0
9．（18天津理）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则⋅AE BE 的最小值为 （ ）
(A) 2116 (B) 32 (C) 2516 (D) 3
10．（18全国1文理）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ）
A ．3144A
B A
C - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +
D ．1344
AB AC +
11．（18全国2文理）已知向量，满足，，则（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
12．（18北京文）设向量，，若，则 13. （18上海）在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF |=2，则AE ·BF 的最小值为-3
14．（18江苏）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，
以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A
的横坐标为3 15．（18全国3文理）已知向量，，．若，则12 16．（17全国2文）设非零向量a ，b 满足+=-a b a b ，则( )
A ．a ⊥b
B ．=a b
C ．a ∥b
D ．>a b
17. （17全国2理）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小是（ ）
A.2-
B.32-
C. 43
- D.1-
18.(17北京文)已知点P 在圆22=1x y +上，点A 的坐标为(-2,0)，O 为原点，则AO AP ⋅的最大值为6
19. (17江苏) 如图,在同一个平面内，向量OA ,OB ,OC 的模分别为OA 与OC 的夹
角为α,且tan α=7,OB 与OC 的夹角为45°.若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R , 则m n +=3 20．（17全国1文）已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）．若向量a +b 与a 垂直，则m =7
21．（17全国1理）已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=22．（17全国3文）已知向量(2,3),(3,)a b m =-=，且a b ⊥，则m =2
23.（17山东文）已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ- ,若a ||b ,则λ=3-
24.（17山东理）已知
是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是
25.（17天津文理）在△ABC 中，，AB =3，AC =2.若
，（），且，则的值为
26.（17浙江）已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是4，最大值是
27.（16北京理）设，是向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
a b ||1=a 1⋅=-a b (2)⋅-=a a b ()10=,
a ()1,m =-
b ()m ⊥-a a b m =1-(1,2)=a (2,2)=-b (1,)λ=
c ()2+c a b λ=a b ||||a b =||||a b a b +=-
C. 充分必要条件
D.既不充分也不必要条件。