东北大学自控原理期末试题(2009A)答案

自动控制原理期末试题（A ）卷答案
一．概念题（10分）
（1）简述自动控制的定义。

（2）简述线性定常系统传递函数的定义。

解：
（1）所谓自动控制是在没有人的直接干预下，利用物理装置对生产设备或工艺过程进行合理的控制，使被控制的物理量保持恒定，或者按照一定的规律变化。

（5分）
（2）零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。

（5分）
二．（10分）控制系统如图1所示，其中)(s W c 为补偿校正装置，试求该系统闭环传递函数)()(s X s X r c ，并从理论上确定如何设计补偿校正装置)(s W c 可以使系统补偿后的给定误差为零。

图1 控制系统结构图
解：
[])
()(1)
()()()()()(2121s W s W s W s W s W s X s X s W c r c B ++=
=
（5分） 由此得到给定误差的拉氏变换为
)()
()(1)
()(1)(212s X s W s W s W s W s E r c +-=
如果补偿校正装置的传递函数为
)
(1
)(2s W s W c =
（5分）
即补偿环节的传递函数为控制对象的传递函数的倒数，则系统补偿后的误差
0)(=s E
三．（10分）已知某三阶单位负反馈系统具有一个有限零点为-1.5、三个极点分别为6.12.1j ±-和-1.49、且系统传递函数根的形式放大系数为4。

试求系统在单位阶跃函数作用下，系统的动态性能指标超调量
%σ、调整时间s t 和峰值时间m t 。

解：
49.13-=s 与5.11-=z 构成偶极子可相消，故系统可以用主导极点2,1s 构成的低阶系统近似（1分）
：
由2.1=n ξω，得46.13
==
n
s t ξωs （或33.34
==
n
s t ξωs ）
（3分）； 由96.16
.112
==
-=
π
ξ
ωπn m t s ，得46.13
==
n
s t ξωs （或33.34
==
n
s t ξωs ）
（3分）； 由
75.06
.12
.112
==
-ξωξωn n ，得%3.4%100%100%*75.012
=⨯-=⨯=---πξξπσe e （3分）
四．（14分）设单位负反馈系统的开环传递函数为
)
4)(1()(++=
s s s k s W g
k ；
1． 绘制闭环系统根轨迹；
2． 试确定系统呈单调动态过程以及衰减振荡动态过程的g K 取值范围。

解：（1） 有三个开环极点：00=p , 11-=-p , 42-=-p 。

（2分）
（2） 在0~1-及-∞-~4的实轴上有根轨迹。

（3） 分离点计算
0)1()4()4)(1()()(')()('=++++++=-s s s s s s s D s N s N s D
得分离点为467.01-=s 和87.22-=s 。

因为在4~1--之间不可能有根轨迹，故分离点应为467.01-=s ，
（2分）将467.01-=s 代入特征方程得其对应g K 为0.8794；所以，系统的单位阶跃函数输入响应为单调过程的g K 取值范围为8794.00≤<g K ；（2分）
（4） 渐近线倾角按式(4-13)算得
o o o o 180,60,600
3)
21(180-=-+=μϕ （2分）
渐近线交点计算，
3
5
1
1-=---
=-∑∑==m
n z
p m
i i
n j j
k σ（2分）
（5） 根轨迹与虚轴交点。

由已知开环传递函数可得闭环系统特征方程为
0)4)(1(=+++g K s s s
令ωj s =得
0)4)(1(=+++g K j j j ωωω
亦即
0)41(2=+-ωg K
043=-ωω
根轨迹与虚轴交点为2±=ω，对应的根轨迹放大系数为20=g K ，（2分）所以，系统的单位阶跃函数输入响应为衰减振荡过程的g K 取值范围为208794.0<<g K 。

（2分）
五．（20分）一单位负反馈最小相位系统的开环对数幅频特性如图2所示，其中虚线为校正前特性，实线为加入串联校正装置后的特性。

1． 试写出串联校正装置的传递函数，并说明此校正主要是利用该装置的什么特性； 2． 试求校正后系统的相位裕量)(c ωγ。

图2
解：
由图可知：26lg 20=K ，则20=K 校正前系统的开环传递函数为：
)12
(20
)(+==
s s s W K 校正后系统的开环传递函数为：
20(
1)4.32()(1)(1)219.87
K s
W s s s s +'=++ 所以，校正装置的传递函数为
(
1)
4.32()(1)19.87
c s
W s s
+=+（6分）
此校正为串联超前校正，主要是利用该装置的相位超前特性。

（4分） 由校正后特性得：
12
32.420)(=''⎪
⎭
⎫
⎝⎛'≈'c c
c c A ωωωω，则126.9-='s c
ω（5分） 校正后系统的相位裕量为：
4.5232.426.9arctan 87.1926.9arctan 226.9arctan 90180)(=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+---+='c
ωγ（5分）
六．（8分）如图3所示为一非线性系统，其中1=K 、1=M ，试用描述函数法分析系统存在自振的条件，并确定振幅与频率。

（图中非线性特性的描述函数为X M
K π4+
；)
1)(1()(21++=s T s T s K s W ）
图3
解：
由非线性元件的描述函数得其基准描述函数的负倒特性为：
X
M K X N π41
)
(1
+
-=-
其负倒描述函数特性如下图所示。

当0=X 时，0)
(1
=-
X N ； 当∞→X 时，11)(1-=-→-
K X N ，即)
(1
X N -曲线位于实轴]1,0(-区间。

线性部分传递函数为3阶，所以，)(ωj W 曲线必与负实轴有交点：
若)(ωj W 曲线在]1,0[-区间与实轴相交，则产生稳定的自振荡；（2分）
)()()(ωωωjQ P j W k +=
式中 222142221221)(1)()(T T T T T T K P ωωω++++-=； ]
)(1[)1()(2
221422212212T T T T T T K Q ωωωωω+++--=
在0=ω时，)()0(21T T K P +-=，-∞=)0(Q 。

在2
11T T =
ω时（2分），2
12
1)(T T T KT P +-
=ω，0)(=ωQ 。

2
11
414)(T KT T T X X M K X N +-=--=-
-=-ππ；解得：π)(4
2121T KT T T X -+=（2分） 即，当212
1T T T T K +<
时（2分），系统存在自振，其振幅π
)(42121T KT T T -+与自振频率为2
11T T =ω。

七．（8分）
采样系统闭环特征方程()()()()0.80.70.80.7D z z z j z j α=++++-，判断闭环系统的稳定性（说明理由）。

解：系统不稳定（4分）。

因为离散时间系统闭环稳定的充要条件是所有闭环极点位于单位圆内，而此系统已有2个单位圆外的极点0.80.7z j +±。

（4分）。