实验小学二年级数学上学期期中考试试题江苏版(I卷) 附答案
实验小学二年级数学上学期期中考试试题江苏版（I卷）附答案班级:_________ 姓名:_________ 学号:_________
（试卷60分钟，满分为100分，卷面分为5分）
试卷满分为100分，卷面书写有下列情况，在100分基础上酌情扣1-5分：
1.书写字迹潦草，答卷不整洁扣2分。
2.使用修正纸、涂改液、透明胶等纠错扣1分。
3.不规范纠错，乱涂乱画扣2分。
一、按要求填空（本题共计12分）
1、我会填空。
1、40个十是( )；10个百是( )。
2、782<□81 □里可以填( )。
3、573中的“3”表示3个( )；306中的“3”表示3个( )。
2、按要求填空。
1、填上合适的单位（克或千克，厘米或米）
（1）一枚5分硬币重2（）（2）一只鸡重约2（）
（3）一袋面粉重25（）（4）一本书约重200（）
（5）一支彩笔长10（）（6）妈妈身高162（）
（7）黑板的长4（）（8）教学楼的高15（）
2、最大的三位数和最小的三位数的差是（）。
3、小红的爷爷今年63岁，小红7岁，爷爷的年龄是小红的（）倍。
二、计算题（本题共计10分）
1、看图列式计算。
2、在○里填上+、—、× 、÷。
4 ○ 3=12 8 ○ 2=4 24 ○ 21=4
5 15 ○ 3=5
3 ○ 3=9 12○ 3=
4 32 ○ 8=24 12 ○ 2=10
三、列竖式计算（本题共计6分）
1、列竖式算一算。
57＋25—36 45÷9×8 48÷6×3 15+23－11 36÷9×478－52+43 16÷4×527+18+33
四、选一选（本题共计12分）
1、商是4的算式是（）。
A、12÷3
B、12 ÷4
C、4÷4
2、两个乘数都是8，积是（）。
A、16
B、10
C、64
3、有15个苹果，小明吃了5个，还有几个？列式为（）。
A、15÷3
B、15 ÷5
C、15－5
4、要计量从上海到北京的路程用（）作单位比较合适。
A．米 B．分米 C．千米
5、牙膏原来15元一支，现在优惠促销，4支36元。
现在每支比原来便宜了多少元？正确是（）
A.36÷4
B.15-36÷4
C.15+6÷4
6、下列算式中，不能用乘法口诀“三八二十四”来计算的是（）。
A、3×8
B、24÷3
C、24÷4
五、判断对与错（本题共计15分）
1、我会判断。
(对的画“√”，错的画“×”)。
1．36÷4＝8……4 ()
2．读数和写数时，都从低位起。
( )
3．长方形和正方形的四个角都是直角。
( )
4．对边相等的四边形一定是长方形。
( )
5．100张1元纸币捆一沓(dá)，这样的100沓就是10000元。
( )
六、比一比（本题共计8分）
1、在O里填上“>、<或=”。
七、连一连（本题共计4分）
1、他们看到的是什么？连一连。
八、解决问题（本题共计12分）
1、祝老师有31个练习本，又买来32个，祝老师一共有多少个本子？如果把这些本子平均分给9个同学，每个同学可以分几个本子？
答:祝老师一共有____个本子,每个同学可以分____个本子。
2、同学们去郊游，一年级去了27人，二年级去了19人，三年级去的人数与二年级同样多，三个年级一共去了多少人?
答：三个年级一共去了____人。
3、我是解决问题小能手。
十、综合题（本题共计16分）
1、画图。
1．画出比6厘米短2厘米的线段。
2．从给出的起点，画直角。
2、请你画一画。
在下面画一个锐角和一个钝角。
试题答案
一、按要求填空（本题共计12分）
1、400,1000
8,9
1,百
2、克，千克，千克，克，厘米，厘米，米，米
999-100=899
9倍
二、计算题（本题共计10分）
1、4x4=16,4x5=20,4x4+2=18,4x3+3=15
2、略
三、列竖式计算（本题共计6分）
1、略
四、选一选（本题共计12分）
1、A
2、C
3、C
4、C
5、B
6、C
五、判断对与错（本题共计15分）
1、对，错，对，错，对
六、比一比（本题共计8分）
1、大于，大于，大于
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等于，等于，大于
七、连一连（本题共计4分）
1、略
八、解决问题（本题共计12分）
1、31+32=63 63÷9=7
答:祝老师一共有63个本子,每个同学可以分7个本子。
2、27+19+19=65人答：三个年级一共去了65人。
3、6箱，剩下4只
十、综合题（本题共计16分）
1、略
2、锐角小于90度，钝角大于90度
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江苏省盐城市五校联考2024-2025学年高二上学期10月月考试题 数学含答案
2024/2025学年第一学期联盟校第一次学情调研检测高二年级数学试题（答案在最后）(总分150分考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分．2．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上．3．作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B 铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑。
如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损。
第I 卷（选择题共58分）一、单项选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项2．若直线20ax y +=与直线2(1)(1)0x a y a +++-=平行，则a 的值是（）A.1或-2B.-1C.-2D.2或-13．已知圆1C ：()()()222120x y r r -++=>与圆2C ：()()224216x y -+-=外切，则r 的值为（）A.1B.5C.9D.2110=的化简结果是（）A.22153x y += B.22135x y += C.221259x y += D.221925x y +=5．已知直线l 方程：()220kx y k k R -+-=∈，若l 不经过第四象限，则k 的取值范围为（）A．1k ≤B．1k ≥C．0k ≤D．0k ≥6.直线220x y +-=与曲线(10x y +-=的交点个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个7.已知圆C 经过点()()3,5,1,3M N --，且圆心C 在直线350x y ++=上，若P 为圆C 上的动点，则线段(OP O 为坐标原点）长度的最大值为（）A. B.5+ C.10D.108.实数x ，y 满足224690x x y y -+-+=，则11y x -+的取值范围是（）A.5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B.12,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.50,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .120,5⎡⎤⎢⎣⎦二、多项选择题：（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.）9.已知直线l 过点()1,3，若l 与x ，y 轴的正半轴围成的三角形的面积为S ，则S 的值可以是（）A．3 B.6 C.7 D.910.下列四个命题中正确的是（）A.过点(3,1)，且在x 轴和y 轴上的截距互为相反数的直线方程为20x y --=B.若直线10kx y k ---=和以(3,1),(3,2)M N -为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为12k ≤-或32k ≥C.若三条直线0,0,3x y x y x ay a +=-=+=-不能构成三角形，则实数a 所有可能的取值组成的集合为{1,1}-D.若直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l 的斜率为23-11.已知圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则下列结论中正确的是（）A.公共弦AB 所在的直线方程为0x y -=B.公共弦AB 的长为22C.线段AB 的中垂线方程为10x y +-=D.若P 为圆1O 上的一个动点，则三角形PAB +第II 卷（非选择题共92分）三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，计15分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．）12.两条平行直线1l ：3450x y +-=与2l ：6850x y +-=之间的距离是．13.已知圆22:4210C x y x y +--+=，圆C 的弦AB 被点()1,0Q 平分，则弦AB 所在的直线方程是．14.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点A B ，的距离之比为定值(1)λλ≠的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知()1,0A ，()4,0B ，若动点P 满足12PA PB =，设点P 的轨迹为C ，过点(1,2)作直线l ，C 上恰有三个点到直线l 的距离为1，则直线l 的方程为.四、解答题：（本大题共5小题，共77分，请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．(本小题满分13分)分别求符合下列条件的椭圆的标准方程：（1）过点P (－3，2)，且与椭圆22194x y +=有相同的焦点．（2）经过两点(2,，141,2⎛- ⎪⎝⎭．16．(本小题满分15分)已知直线:210l x y +-=和点()1,2A （1）求点A 关于直线l 的对称点的坐标；（2）求直线l 关于点A 对称的直线方程.17.(本小题满分15分)已知半径为4的圆C 与直线1:3480l x y -+=相切，圆心C 在y 轴的负半轴上.（1）求圆C 的方程；（2）已知直线2:30l kx y -+=与圆C 相交于,A B 两点，且△ABC 的面积为8，求直线2l 的方程.18.(本小题满分17分)如图，已知圆22:10100C x y x y +++=，点()0,6A .（1）求圆心在直线y x =上，经过点A ，且与圆C 相外切的圆N 的方程；（2）若过点A 的直线m 与圆C 交于,P Q 两点，且圆弧 PQ恰为圆C 周长的14，求直线m 的方程.19.(本小题满分17分)已知圆M ：()2244x y +-=，点P 是直线l ：20x y -=上的一动点，过点P 作圆M 的切线PB P A ,，切点为B A ,．（1）当切线P A 的长度为时，求点P 的坐标；（2）若P AM ∆的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（3）求线段AB 长度的最小值．2024/2025学年第一学期联盟校第一次学情调研检测高二年级数学参考答案及评分标准一、单项选择题1.B2.C3.A4.C5.B6.B7.B8.D二、多项选择题9.BCD10.BD11.AC三、填空题12.1213.x+y-1=014.1x =或3450x y -+=四、解答题15.（1）因为所求的椭圆与椭圆22194x y +=的焦点相同，所以其焦点在x 轴上，且c 2＝5．设所求椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>．因为所求椭圆过点P (－3，2)，所以有22941a b+=①又a 2－b 2＝c 2＝5，②由①②解得a 2＝15，b 2＝10．故所求椭圆的标准方程为2211510x y +=．…………………………………………6分(2)设椭圆方程为22221x y m n +=，且(2,，141,2⎛- ⎪⎝⎭在椭圆上，所以222222421817412m m n n mn ⎧+=⎪⎧=⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+=⎪⎩，则椭圆方程22184x y +=.………………………………13分16.（1）设(),A m n '，由题意可得211121221022n m m n ⎧-⎛⎫⨯-=- ⎪⎪⎪-⎝⎭⎨++⎪+⨯-=⎪⎩，…………………………4分解得3565m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以点A '的坐标为36,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭.……………………………………………7分（2）在直线l 上任取一点(),P x y ，设(),P x y 关于点A 的对称点为()00,P x y '，则001222x xy y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得0024x x y y =-⎧⎨=-⎩，………………………………11分由于()2,4P x y '--在直线210x y +-=上，则()()22410x y -+--=，即290x y +-=，故直线l 关于点A 的对称直线l '的方程为290x y +-=.………………………………15分17.（1）由已知可设圆心()()0,0C b b <4=，解得3b =-或7b =（舍），所以圆C 的方程为22(3)16x y ++=.………………………………………6分（2）设圆心C 到直线2l 的距离为d，则182ABC AB S AB d d ==⨯= ，即4216640d d -+=，解得d =……………………………………………10分又d =272k =，解得142k =±，所以直线2l的方程为260y -+=260y +-=…………………………15分18.（1）由22:10100C x y x y +++=，化为标准方程：()()225550x y +++=.所以圆C 的圆心坐标为()5,5C --，又圆N 的圆心在直线y x =上，所以当两圆外切时，切点为O ，设圆N 的圆心坐标为(),a a ，=解得3a =，………………………………6分所以圆N 的圆心坐标为()3,3，半径r =故圆N 的方程为()()223318x y -+-=.………………………………………8分（2）因为圆弧PQ 恰为圆C 周长的14，所以CP CQ ⊥.所以点C 到直线m 的距离为5.……………………………………10分当直线m 的斜率不存在时，点C 到y 轴的距离为5，直线m 即为y 轴，所以此时直线m 的方程为0x =.………………………………………12分当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为6y kx =+，即60kx y -+=.5=，解得4855k =.所以此时直线m 的方程为486055x y -+=，即48553300x y -+=，…………………16分故所求直线m 的方程为0x =或48553300x y -+=.………………………………17分19⑴由题可知，圆M 的半径2=r ，设()b b P ,2，因为P A 是圆M 的一条切线，所以︒=∠90MAP ,所以=MP 4==，解得580==b b 或,所以()⎪⎭⎫ ⎝⎛585160,0，或P P .………………………………5分⑵设()b b P ,2，因为︒=∠90MAP ，所以经过M P A ,,三点的圆N 以MP 为直径，其方程为：()()222244424b b b x b y +-+⎛⎫-+-=⎪⎝⎭,即()22(24)40x y b x y y +--+-=………………………………8分由2224040x y x y y +-=⎧⎨+-=⎩，解得04x y =⎧⎨=⎩或8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以圆过定点84(0,4),,55⎛⎫ ⎪⎝⎭.……11分⑶因为圆N 方程为()()222244424b b b x b y +-+⎛⎫-+-=⎪⎝⎭即222(4)40x y bx b y b +--++=.圆M ：()2244x y +-=，即228120x y y +-+=.②－①得圆M 方程与圆N 相交弦AB 所在直线方程为：2(4)1240bx b y b +-+-=点M 到直线AB的距离d =,相交弦长即：AB ===…14分当45b =时，AB.……………………………………17分。
人教版二年级数学下册期中考试试题及答案(共4套)
人教版二年级数学下册期中考试试题及答案(共4套)期中检测卷一、填一填｡(8,9题每题3分，其余每空1分，共28分)1．63÷7＝()读作：()，63是()，()是XXX答案：9，九，被除数。
改写：63除以7等于9，63是被除数，9是商。
2．用六九五十四写两道乘法算式和两道除法算式：()｡答案：654×2，654×3，654÷2，654÷3.改写：654乘以2等于1308，654乘以3等于1962，654除以2等于327，654除以3等于218.3．在计算42－18÷6时，要先算()法，再算()法｡答案：除，减。
改写：计算42减去18除以6时，要先算除法，再算减法。
4．在有小括号的加、减、乘、除混合算式里要先算()里面的，再算()外面的｡答案：括号里面的，括号外面的。
改写：有小括号的加、减、乘、除混合算式里，要先算括号里面的，再算括号外面的。
5．摆一个正方形要用4根同样长的小棒，摆5个不相连的正方形要用()根同样长的小棒，用32根同样长的小棒可以摆()个这样的正方形｡答案：12，3.改写：摆一个正方形需要4根同样长的小棒，摆5个不相连的正方形需要12根同样长的小棒，用32根同样长的小棒可以摆3个这样的正方形。
6．把下列算式按得数从大到小排列｡答案：7>6>4>2.改写：按照得数从大到小的顺序排列下列算式：7大于6大于4大于2.7．在()里填上合适的数｡6×()＝36，49÷()＝7，()÷9＝8，89×()＝63，64÷()＝8，()÷5＝68.答案：6，7，72，0.71，8，340.改写：在括号里填上合适的数，使得等式成立：6乘以多少等于36，49除以多少等于7，多少除以9等于8，89乘以多少等于63，64除以多少等于8，多少除以5等于68.9．下列图形是轴对称图形的有()。
江苏省徐州市2023-2024学年高三上学期11月期中数学试题及答案解析
2023~2024学年度第一学期高三年级期中抽测数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,1,2,5U A B ===，则()U A B =ð（）A.{}1,3,4 B.{}1,3 C.{}1,2,5 D.{}1,2,4,52.若2i 1iz -=+，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.拋掷一枚质地均匀的骰子，将得到的点数记为a ，则,4,5a 能够构成钝角三角形的概率是（）A.23B.12C.13D.164.已知向量()()0,2,1,a b t =-= ，若向量b 在向量a 上的投影向量为12a - ，则⋅= ab （）A.2- B.52-C.2D.1125.已知等比数列{}n a 的首项为3，则“911a a <”是“1114a a <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.已知π4ππsin ,3536θθ⎛⎫+=-<< ⎪⎝⎭，则πtan 26θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.2425-B.2425C.724D.724-7.已知()1y f x =-为偶函数，当1x ≥-时，()()2ln 23f x x x =++.若()()12f x f x >，则（）A.()()121220x x x x -+-< B.()()121220x x x x -+->C.()()121220x x x x -++< D.()()121220x x x x -++>8.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点()0,3的直线与C 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ，若6AF BF +=，则ABD △的面积为（）A.352B. C.572D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.为调研某地空气质量，连续10天测得该地PM 2.5（PM 2.5是衡量空气质量的重要指标，单位：3ug /m ）的日均值，依次为36,26,17,23,33,106,42,31,30,33，则（）A.前4天的极差大于后4天的极差B.前4天的方差小于后4天的方差C.这组数据的中位数为31或33D.这组数据的第60百分位数与众数相同10.已知函数()()cos (0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<在5π12x =处取得极小值2-，与此极小值点相邻的()f x 的一个零点为π6，则（）A.()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.π3y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是奇函数C.()f x 在ππ,63⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减 D.()f x 在π5π,46⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的值域为⎡-⎣11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱,BC CD 的中点，则（）A.11B D 与EF 是异面直线B.存在点P ，使得12A P PF =，且BC //平面1APB C.1A F 与平面1B EB 所成角的余弦值为223D.点1B 到平面1A EF 的距离为4512.已知函数()()()11ln ,f x a x x x a =-++∈R ，则下列说法正确的是（）A.当1ln8a =时，()122f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.当0a >时，()22f a a a <-C.若()f x 是增函数，则2a >-D.若()f x 和()f x '的零点总数大于2，则这些零点之和大于5三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知随机变量()25,X N σ~，且(7)0.8P X <=，则(35)P X <<的值为__________.14.已知52323a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数之和为32，则展开式中的常数项为__________.15.已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则该圆锥的内切球的体积为__________.16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点P 在C 上，且2PF x ⊥轴，过点2F 作12F PF ∠的平分线的垂线，与直线1PF 交于点A ，若点A 在圆222:O x y a +=上，则C 的离心率为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，且过点2⎫⎪⎪⎝⎭.（1）求C 的标准方程；（2）过点()1,0-的直线l 与C 交于,A B 两点，当165AB =时，求直线l 的方程.18.在①()()21212n n n S S a n -+=+≥，②1n a =+这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答下列问题.已知正项数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =，且__________，*N n ∈.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11,n n n n b T a a +=为数列{}n b 的前n 项和，证明：12n T <.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos 3cos 3b C c B b A c +=-.（1）求cos B ；（2）设角B 的平分线交AC 边于点D ，且BD =，若b =ABC 的面积.20.设有甲､乙､丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的5个球，其中甲箱有3个蓝球和2个黑球，乙箱有4个红球和1个白球，丙箱有2个红球和3个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球.（1）若最后摸出的2个球颜色不同，求这2个球是从丙箱中摸出的概率；（2）若摸出每个红球记2分，每个白球记1分，用随机变量X 表示最后摸出的2个球的分数之和，求X 的分布列及数学期望.21.如图，在三棱锥-P ABC 中，侧面PAB 是锐角三角形，PA BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABC .（1）求证：AB BC ⊥；（2）设2,4PA PB AC ===，点D 在棱BC （异于端点）上，当三棱锥-P ABC 体积最大时，若二面角C PAD --大于30 ，求线段BD 长的取值范围.22.已知函数()2e 32sin 1,xf x a ax x a =-+-∈R .（1）当01a <<时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积的最大值；（2）当0x =时，函数()f x 取得极值，求a 的值.2023~2024学年度第一学期高三年级期中抽测数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,1,2,5U A B ===，则()U A B =ð（）A.{}1,3,4 B.{}1,3 C.{}1,2,5 D.{}1,2,4,5【答案】A 【解析】【分析】利用并集与补集的概念计算即可.【详解】由题意可知{}3,4U B =ð，所以(){}1,3,4U A B ⋃=ð.故选：A 2.若2i 1iz -=+，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据复数的乘法运算求得复数z ，即可得z ，可得其对应的点的坐标，即可得答案.【详解】由题意知2i 1iz -=+，故i(1i)21i z =++=+，故1iz =-则复数z 对应的点为(1,1)-，在第四象限，故选：D3.拋掷一枚质地均匀的骰子，将得到的点数记为a ，则,4,5a 能够构成钝角三角形的概率是（）A.23B.12C.13D.16【答案】D 【解析】【分析】先确定a 可能的取值，再结合余弦定理判断三角形为钝角时a 的取值，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.【详解】由题意拋掷一枚质地均匀的骰子，将得到的点数记为a ，则a 的取值可能为1,2,3,4,5,6，有6种可能；,4,5a 能够构成三角形时，需满足19a <<，若,4,5a 能够构成钝角三角形，当5所对角为钝角时，有2222450,9a a +-<∴<，此时2a =；当a 所对角为钝角时，需满足2222540,41a a +-<∴>，此时没有符合该条件的a 值，故,4,5a 能够构成钝角三角形的概率是16，故选：D4.已知向量()()0,2,1,a b t =-= ，若向量b 在向量a 上的投影向量为12a - ，则⋅= ab （）A.2-B.52-C.2D.112【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量定义及向量的数量积、向量的模计算即可.【详解】因为()()0,2,1,a b t =-=，所以向量b 在向量a上的投影向量为2142||||b a a t a a a a⋅-⋅==-，所以1t =，故2a b ⋅=-故选：A5.已知等比数列{}n a 的首项为3，则“911a a <”是“1114a a <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】结合等比数列的通项公式，由911a a <可得q 的取值范围，说明1q <-时不能推出1114a a <；继而说明1114a a <成立时推出1q >，即可推得911a a <，由此可判断答案.【详解】由题意知等比数列{}n a 的首项为3，设公比为q ，由911a a <，则81033q q <，即21,1q q >∴>或1q <-，当1q <-时，01114133(1)0q a a q -=->，即1114a a >，即“911a a <”不是“1114a a <”的充分条件；当1114a a <时，即1013,1q q q <∴>，则810q q <，即81033q q <，即911a a <，故“911a a <”是“1114a a <”的必要条件，故“911a a <”是“1114a a <”的必要不充分条件，故选：B 6.已知π4ππsin ,3536θθ⎛⎫+=-<< ⎪⎝⎭，则πtan 26θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.2425-B.2425C.724D.724-【答案】C 【解析】【分析】根据角的变换及诱导公式，二倍角的正切公式求解即可.【详解】因为ππ36θ-<<，所以ππ032θ<+<，所以3cos 5π3θ⎛⎫= ⎪⎭+⎝，故4tan 3π3θ⎛⎫= ⎪⎭+⎝，πππsin 2cos 232πππ13tan 2tan 2ππ632ππsin 2tan 2cos 23332θθθθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎢ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎣⎦⎝⎭+=+-==-=-⎪ ⎪⎢⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2π161tan 17394π2422tan 33θθ⎛⎫-+-⎪⎝⎭=-=-=⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭，故选：C7.已知()1y f x =-为偶函数，当1x ≥-时，()()2ln 23f x x x =++.若()()12f x f x >，则（）A.()()121220x x x x -+-< B.()()121220x x x x -+->C.()()121220x x x x -++< D.()()121220x x x x -++>【答案】D 【解析】【分析】利用偶函数的性质及复合函数的单调性计算即可.【详解】由()1y f x =-为偶函数可知()f x 的图象关于=1x -轴对称，又1x ≥-时，()222312u x x x =++=++单调递增，ln y u =单调递增，故()()2ln 23f x x x =++在()1,-+∞上单调递增，(),1-∞-上单调递减，即()()()()()()221212121212111120f x f x x x x x x x x x >⇒+>+⇒+-+=-++>.故选：D8.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点()0,3的直线与C 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ，若6AF BF +=，则ABD △的面积为（）A.2B. C.2D.【答案】C 【解析】【分析】设AB 的中点为H ，A 、B 、H 在准线上的射影分别为A B H '''、、，由题意和抛物线的定义可得3HH '=，即2H x =，设()()1122,,,A x y B x y ，设直线AB 方程，联立抛物线方程，利用韦达定理求出直线AB 的斜率，求得H 的坐标，进而求出其中垂线方程，可得D 的坐标，结合弦长公式和三角形面积公式计算即可求解.【详解】设AB 的中点为H ，抛物线的焦点为(1,0)F ，准线为=1x -，设A 、B 、H 在准线上的射影分别为A B H '''、、，则1()2HH AA BB '''=+，由抛物线的定义可知，,,6AF AA BF BB AF BF ''==+=，所以6AA BB ''+=，得3HH '=,即点H 的横坐标为2，设直线AB ：3y kx =+，代入抛物线方程，得22(64)90k x k x +-+=，由22(64)360k k ∆=-->，得13k <且0k ≠.设()()1122,,,A x y B x y ，则122464k x x k -+==，解得2k =-或12（舍去）.所以直线AB ：23y x =-+，(2,1)H -，所以AB 的中垂线方程为11(2)2y x +=-，令0y =，解得4x =，即(4,0)D ，则DH =又122994x x k==，所以AB =所以1122ABD S AB DH == .故选：C.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.为调研某地空气质量，连续10天测得该地PM 2.5（PM 2.5是衡量空气质量的重要指标，单位：3ug /m ）的日均值，依次为36,26,17,23,33,106,42,31,30,33，则（）A.前4天的极差大于后4天的极差B.前4天的方差小于后4天的方差C.这组数据的中位数为31或33D.这组数据的第60百分位数与众数相同【答案】AD 【解析】【分析】根据方差和极差判断A ，B 选项，根据中位数判断C 选项，根据百分位数和众数判断D 选项.【详解】前4天的极差361719-=，后4天的极差423012-=，A 正确;前4天的平均数25.5，方差222210.50.58.5 2.547.254+++=，后4天的平均数34，方差2222834122.54+++=,前4天的方差大于后4天的方差，B 选项错误;数据从小大排列17,23,26,30,31,33,33,36,42,106,这组数据的中位数为3133322+=，C 选项错误;这组数据的第60百分位数100.66⨯=是第6个数和第7个数的平均数3333332+=与众数33相同，D 选项正确.故选:AD.10.已知函数()()cos (0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<在5π12x =处取得极小值2-，与此极小值点相邻的()f x 的一个零点为π6，则（）A.()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.π3y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是奇函数C.()f x 在ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减 D.()f x 在π5π,46⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的值域为⎡-⎣【答案】ABD 【解析】【分析】对A ，根据极小值可得A ，再根据极值点与零点关系可得周期，进而可得ω，再代入极小值点求解即可；对B ，根据解析式判断即可；对C ，代入ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭判断是否为减区间即可；对D ，根据正弦函数在区间上的单调性与最值求解即可.【详解】对A ，由题意2A =-，且周期T 满足5πππ12644T -==，故πT =，即2ππω=，2=ω，故()()2cos 2f x x ϕ=+.因为()f x 在5π12x =处取得极小值2-，故()5π2π2π,Z 12k k ϕ⨯+=+∈，即()π2π,Z 6k k ϕ=+∈，又0πϕ<<，故π6ϕ=，则()π2cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由诱导公式()2ππππ2sin 22sin 22cos 23626f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对B ，ππππ2cos 22cos 22sin 23362y f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，为奇函数，故B 正确；对C ，ππ,63x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭则ππ5π2,666x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，不为余弦函数的单调递减区间，故C 错误；对D ，π5π,46x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭则1π22π1π,366x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭+，故,πc 2os 2316x ⎡⎫∈-⎪⎢⎪⎛⎫+ ⎪⎝⎣⎭⎭，则π2cos 26x ⎡∈-⎣⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ABD11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱,BC CD 的中点，则（）A.11B D 与EF 是异面直线B.存在点P ，使得12A P PF =，且BC //平面1APB C.1A F 与平面1B EB所成角的余弦值为3D.点1B 到平面1A EF 的距离为45【答案】BC 【解析】【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，根据112B D EF = 得到11B D 与EF 平行；B 选项，先求出242,,333P ⎛⎫⎪⎝⎭，得到平面1APB 的法向量()1,0,1m =- ，根据数量积为0得到BC m ⊥，得到BC //平面1APB ；C 选项，先求出1A F 与平面1B EB 所成角的正弦值，进而求出余弦值；D 选项，求出平面1A EF 的法向量，根据点到平面距离公式求出答案.【详解】A 选项，以A 作坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()()()()1112,0,2,0,2,2,2,1,0,1,2,0,0,0,2,2,0,0,2,2,0B D E F A B C ，则()()112,2,0,1,1,0B D EF =-=- ，由于112B D EF =，故11B D 与EF 平行，A 错误；B 选项，设(),,P x y z ，因为12A P PF =，所以()()2,,21,2,x y z x y z ----=，即224222x xy y z z=-⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩，解得242,,333x y z ===，故242,,333P ⎛⎫⎪⎝⎭，设平面1APB 的法向量为(),,m a b c =，则()()()1242242,,,,0333333,,2,0,2220m AP a b c a m AB a b c a c ⎧⎛⎫⋅=⋅=++= ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⋅=⋅=+=⎩，令1a =，则0,1b c ==-，则()1,0,1m =-，因为()()0,2,01,0,10BC m ⋅=-= ，故BC m ⊥，BC //平面1APB ，故存在点P ，使得12A P PF =，且BC //平面1APB ，B 正确；C 选项，平面1B EB 的法向量为()1,0,0n =r，故1A F 与平面1B EB 所成角的正弦值为1113A F n A F n ⋅=⋅，则1AF 与平面1B EB 所成角的余弦值为223=，C 正确；D 选项，设平面1A EF 的法向量为()1111,,n x y z =，则()()()()11111111111111,,2,1,2220,,1,1,00n A E x y z x y z n EF x y z x y ⎧⋅=⋅-=+-=⎪⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎩ ，令11x =，则1131,2y z ==，故131,1,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则点1B 到平面1A EF 的距离为111141717A B n n ⋅==，D 错误.故选：BC12.已知函数()()()11ln ,f x a x x x a =-++∈R ，则下列说法正确的是（）A.当1ln8a =时，()122f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.当0a >时，()22f a a a <-C.若()f x 是增函数，则2a >-D.若()f x 和()f x '的零点总数大于2，则这些零点之和大于5【答案】ABD 【解析】【分析】直接代入即可判断A ，令()()()22a g a f a a =--，利用导数说明函数的单调性，即可判断B ，由()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，利用导数求出()min f x '，即可求出a 的取值方程，即可判断C ，首先说明2a <-，得到()f x '在()0,1和()1,+∞上各有一个零点1x ，2x ，利用对数均值不等式得到121x x >，即可得到122x x +>，再说明()f x 在()10,x 和()2,x +∞上各有一个零点3x 、4x 且431x x =，最后利用基本不等式证明即可.【详解】对于A ：当1ln 8a =时()()()11ln 1ln 8f x x x x =-++，则()12ln3ln23ln 23ln 208f =+=-+=，11111331ln 1ln ln 2ln 202282222f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()122f f ⎛⎫=⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ：()()()()211ln 1ln f a a a a a a a a a =-++=-++，令()()()()()()222221ln 21ln a a a a a a a a a g a f a a a --+--=--+==++，则()112ln ln 21a a a a a a ag a '=+-++=-++，令()()1ln 21a a am a g a -+=+'=，则()2222217211214820a m a a a a a a a '⎛⎫--- ⎪--⎝⎭=--==<，所以()g a '在()0,∞+上单调递减，又()10g '=，所以当01a <<时()0g a '>，当1a >时()0g a '<，所以()g a 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 110g a g ==-<，所以当0a >时，()22f a a a <-，故B 正确；对于C ：()1ln 0x f x a x x+'=++≥在()0,∞+上恒成立，令()()1ln x h x f x a x x +'==++，则()22111x h x x x x-'=-=，所以当01x <<时()0h x '<，当1x >时()0h x '>，所以()f x '在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()min 120f x f a ''==+≥，解得2a ≥-，故C 错误；对于D ：因为()10f =，即1为()f x 的一个零点，当2a =-时()0f x '≥，()0f x '=有且仅有一个根1，此时()f x 在()0,∞+上单调递增，所以()f x 和()f x '都只有1个零点，不符合题意；当2a >-时()0f x ¢>，则()f x '无零点，()f x 只有一个零点，不符合题意；当2a <-时()f x '在()0,1和()1,+∞上各有一个零点1x ，2x ，所以11221ln 101ln 10a x x a x x ⎧+++=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎩，所以211221ln ln x x x x x x -=>-，所以121x x >，所以122x x +>=，且()f x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，且()10f =，所以()10f x >，()20f x <，所以()f x 在()10,x 和()2,x +∞上各有一个零点3x 、4x ，又()()()11111111ln 11ln f a a x x x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++=--++=-⎡⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以431x x =，所以()123412*********x x x x x x x x ⎛⎫++++=++++>++= ⎪⎝⎭，故D 正确.ln ln a ba b-<-的证明如下：ln ln a b a b -<-，只需证ln ln ln aa b b -=⇔=1x =>，只需证12ln x x x <-，1x >，设1()2ln n x x x x=-+，1x >，则()22221(1)10x n x x x x-'=--=-<，可得()n x 在(1,)+∞上单调递减，∴1()(1)02ln n x n x x x<=⇒<-，得证.故选：ABD【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知随机变量()25,X N σ~，且(7)0.8P X <=，则(35)P X <<的值为__________.【答案】0.3##310【解析】【分析】根据正态分布的性质求得(7)P X ≥，根据正态分布的对称性求出(3)0.2P X ≤=，继而可求得答案.【详解】由题意知随机变量()25,X N σ~，且(7)0.8P X <=，则(7)10.80.2P X ≥=-=，故(3)0.2P X ≤=，故(35)0.5(3)0.50.20.3P X P X <<=-≤=-=，故答案为：0.314.已知52323a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数之和为32，则展开式中的常数项为__________.【答案】270【解析】【分析】利用二项式定理计算即可.【详解】令()5523211332322a x x a a x ⎛⎫=⇒+=+=⇒=- ⎪⎝⎭，则()552233233a x x x x -⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，设()5233x x --的通项为()()()5235102355C 3C 31rrrrrr r r r T x x x -----=-=⋅⋅-⋅，当2r =时，()55C 311027270rrr -⋅⋅-=⨯=，即展开式中的常数项为270.故答案为：27015.已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则该圆锥的内切球的体积为__________.【答案】9π2【解析】【分析】根据圆锥的侧面积求出圆锥的底面半径，即可求得圆锥的高，继而利用圆锥的母线和高之间的夹角的正弦求得内切球半径，即可求得答案.【详解】设圆锥的底面半径为r ，圆锥内切球的半径为R ，则π515π,3r r ⨯⨯=∴=，则圆锥的高为4h ==，设圆锥的母线和高之间的夹角为π,(0,)2θθ∈，则33sin ,452R R R θ==∴=-,故该圆锥的内切球的体积为3439ππ(322⨯=，故答案为：9π216.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点P 在C 上，且2PF x ⊥轴，过点2F 作12F PF ∠的平分线的垂线，与直线1PF 交于点A ，若点A 在圆222:O x y a +=上，则C 的离心率为__________.【解析】【分析】由题意求出22||b PF a =，结合双曲线定义以及角平线性质推出1||2AF a =，从而推出1222cos 2cPF F b a a ∠+=，在1AOF △中，利用余弦定理可求得4224340a a c c -+=，结合齐次式求解离心率，即可得答案.【详解】由题意知2(,0)F c ，2PF x ⊥轴，故将x c =代入22221x ya b-=中，得22221c y a b -=，则2b y a =±，即22||b PF a=，不妨设P 在双曲线右支上，则12||||2PF PF a -=，故21||2b PF a a=+；设PQ 为12F PF ∠的平分线，由题意知2F A PQ ⊥，则2||||PA PF =，即2||b PA a =，而211||||||2b PF PA AF a a=+=+，故1||2AF a =，由点A 在圆222:O x y a +=上，得||OA a =；又1||OF c =，则1221212c ||os 2||F F PF b c PF F a a∠=+=，在1AOF △中，222111112||||||2||||cos OA OF AF OF AF PF F =+-⋅∠,即222224222ca c a c ab a a=+-⋅⋅⋅+，结合222b c a =-，即得4224340a a c c -+=，即42430e e -+=，解得23e =或21e =（舍），故e =，即C【点睛】关键点睛：求解双曲线的离心率，关键是求出,,a b c 之间的数量关系式，因此解答本题时，要结合题中条件以及双曲线定义推出相关线段长，从而在1AOF △中，利用余弦定理求出,,a b c 的关系，化为齐次式，即可求得答案.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，且过点2⎫⎪⎪⎝⎭.（1）求C 的标准方程；（2）过点()1,0-的直线l 与C 交于,A B 两点，当165AB =时，求直线l 的方程.【答案】（1）22143x y +=（2）y =或y =-【解析】【分析】（1）根据离心率的定义和椭圆经过的点，列出方程组，解之即可求解；（2）易知直线l 的斜率不为0，设:(1)l y k x =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出1212,x x x x +，根据弦长公式化简可得2212(1)34k AB k+=+，结合165AB =计算求出k 的值即可求解.【小问1详解】由题意，2222222126()(2)21c e a a b a b c ⎧==⎪⎪⎪⎨⎪+=⎪⎪=+⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.【小问2详解】易知直线l 的斜率不为0，设:(1)l y k x =+，即y kx k =+，()()1122,,,A x y B x y ，22143y kx kx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得2222(34)84120k x k x k +++-=，22222(8)4(34)(412)990k k k k ∆=-+-=+>，221212228412,3434k k x x x x k k -+=-=++，2212(1)34k AB k+==+，又165AB =，所以2212(1)16534k k +=+，解得k =，所以直线l的方程为yy =-.18.在①()()21212n n n S S a n -+=+≥，②1n a =+这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答下列问题.已知正项数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =，且__________，*N n ∈.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11,n n n n b T a a +=为数列{}n b 的前n 项和，证明：12n T <.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）21n a n =-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）若选择①，根据n a 和n S 的关系得到12n n a a +-=，确定等差数列得到通项公式；若选择②，根据n a 和n S 的关系得到12n n a a +-=，确定等差数列得到通项公式；（2）确定11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，再根据裂项求和法计算得到答案.【小问1详解】若选择①：()()21212n n n S S a n -+=+≥，则()21121n n n S S a +++=+，相减得到：()()()1112n n n n n n a a a a a a ++++=+-，0n a >，故12n n a a +-=，()122221S S a +=+，解得23a =，212a a -=，故数列{}n a 为首项是1，公差为2的等差数列，故21n a n =-；若选项②：1n a =+，则()241n n S a =+，()21141n n S a ++=+，相减得到：()()2211411n n n a a a ++=+-+，整理得到()()1120n n n n a a a a +++--=，0n a >，故120n n a a +--=，故数列{}n a 为首项是1，公差为2的等差数列，故21n a n =-；【小问2详解】()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭，故()21111111112335212122211n T n n n ⎛⎫=-+-++-=- ⎪-++⎝<⎭ .19.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos 3cos 3b C c B b A c +=-.（1）求cos B ；（2）设角B 的平分线交AC 边于点D ，且BD =，若b =ABC 的面积.【答案】（1）13-（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式化简已知等式，可得cos B ，即得答案；（2）根据同角三角函数关系求出22sin 3B =，设π,(0,)2ABD θθ∠=∈，由二倍角余弦公式求出cos 3θ=，利用等面积法推出()32a c ac +=，结合余弦定理即可求得12ac =，从而利用三角形面积公式求得答案.【小问1详解】由题意cos cos 3cos 3b C c B b A c +=-可得sin cos sin cos 3sin cos 3sin B C C B B A C +=-，即sin()3sin cos 3sin()B C B A A B +=-+,即sin 3sin cos 3(sin cos cos sin )3sin cos A B A A B A B A B =-+=-，而(0,π),sin 0A A ∈∴>，故1cos 3B =-；【小问2详解】由(0,π)B ∈，1cos 3B =-可得sin 3B =，角B 的平分线交AC 边于点D ，设π,(0,)2ABD θθ∠=∈，则213cos 2cos 1cos 33B θθ=-=-∴=，111sin sin sin 2222ABC S c a ac θθθ=⋅+=⋅ ，()32323ac a c ac =⋅∴+=，由b =22212483b a c ac ⎛⎫=+-⋅-= ⎪⎝⎭，即()24483a c ac +-=，则()()224448,129093a c ac ac ac -=∴-+=，则12ac =（负值舍去），故21s in 1221232ABC ac B S =⨯⨯== 20.设有甲､乙､丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的5个球，其中甲箱有3个蓝球和2个黑球，乙箱有4个红球和1个白球，丙箱有2个红球和3个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球.（1）若最后摸出的2个球颜色不同，求这2个球是从丙箱中摸出的概率；（2）若摸出每个红球记2分，每个白球记1分，用随机变量X 表示最后摸出的2个球的分数之和，求X 的分布列及数学期望.【答案】（1）4495（2）分布列见解析，24475【解析】【分析】（1）求出甲箱中摸出2个球颜色相同的概率，继而求得最后摸出的2个球颜色不同的概率，再求出最后摸出的2个球是从丙箱中摸出的概率，根据条件概率的计算公式即可得答案.（2）确定X 的所有可能取值，求出每个值相应的概率，即可得分布列，根据期望公式即可求得数学期望.【小问1详解】从甲箱中摸出2个球颜色相同的概率为223225C C 2C 5P +==，记事件A 为最后摸出的2个球颜色不同，事件B 为这2个球是从丙箱中摸出的，则()()()|P AB P B A P A =，()111111113342222665661242C C C C C C C C 21433855C 5C 55C 5C 7523P A ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭⎝⎭，()111143223663C C C C 2148855C 5C 375P AB ⎛⎫=⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，所以()8844375|389575P B A ==；【小问2详解】X 的所有可能取值为2，3，4，则()222342226662C C C 214333255C 5C 55C 25P X ⎛⎫==⨯⨯+⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭，()38375P X ==，()2222322542226666C C C C 2143228455C 5C 55C 5C 753P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯+⨯⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故X 的分布列如表：X234P 32538752875故()33828181141122442342575757575E X ++=⨯+⨯+⨯==.【点睛】难点点睛：本题解答的难点在于求分布列时，计算每个值相应的概率，要弄清楚每个值对应的情况，分类求解，注意计算量较大，要十分细心.21.如图，在三棱锥-P ABC 中，侧面PAB 是锐角三角形，PA BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABC .（1）求证：AB BC ⊥；（2）设2,4PA PB AC ===，点D 在棱BC （异于端点）上，当三棱锥-P ABC 体积最大时，若二面角C PA D --大于30 ，求线段BD 长的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）46(0,9【解析】【分析】（1）过点P 作PE AB ⊥，根据面面垂直的性质定理，证得PE ⊥平面ABC ，进而证得BC ⊥平面PAB ，即可得到BC AB ⊥；（2）设2,2AB a BC b ==，得到22(4)3P ABC V a a -=-，令()22(4)3f a a a =-，利用导数求得函数的单调性，得到233a =时，三棱锥-P ABC 的体积最大，以B 为原点，建立空间直角坐标系，设BD m =，求得平面CPA 与PAD 的法向量分别为1n = 和246()3n m= ，结合向量的夹角公式和题设条件，列出不等式，求得m 的取值范围即可.【小问1详解】证明：过点P 作PE AB ⊥于点E ，因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，且PE ⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABC ，又因为PA BC ⊥，且PE PA P = ，所以BC ⊥平面PAB ，因为AB ⊂平面PAB ，所以BC AB ⊥.【小问2详解】解：设2,2AB a BC b ==，因为BC AB ⊥，可得222AB BC AC +=，即224416a b +=，所以224a b +=，所以b =，又由PE ==所以2112222(4)3233P ABC V a b a a -=⨯⨯⨯==-，令()22(4)3f a a a =-，可得()22(43)3f a a '=-，令()0f a ¢=，解得233a =，当03a <<时，()0f a '>，()f a 单调递增；当23a <<时，()0f a '<，()f a 单调递减，所以当233a =时，即4346,33AB BC ==时，三棱锥-P ABC 的体积最大，以B 为原点，,BC BA 所在的直线分别为,x y 轴，以过点B 垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设BD m =，可得4643232643(,,0),(0,,(,33333CA PA DA m =-=-=- ，则46232643(,0,0),(,0,0),(0,,(0,,0)3333D m C P A ，设平面CPA 与平面PAD 的法向量分别为11112222(,,),(,,)n x y z n x y z == ，由111146430332326033x y y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，令1y =，可得111,1x z ==，所以1n = ，又由222223260334303y z mx y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令1y =，可得22,13x z m ==，所以2()3n m = ，设二面角C PA D --的平面角的大小为θ，所以12123cos cos302n n n n θ⋅===，解得09m <<，所以BD 的长的取值范围为46(0,9.22.已知函数()2e 32sin 1,xf x a ax x a =-+-∈R .（1）当01a <<时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积的最大值；（2）当0x =时，函数()f x 取得极值，求a 的值.【答案】（1）38（2）2a =或1a =【解析】【分析】（1）求出曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程，然后求出与x 轴，y 轴的交点，表示出切线与两坐标轴围成的三角形面积，然后利用导数求最大值即可；（2）令()00f '=求出a 的值，然后验证a 的值使函数()f x 在0x =处取到极值.【小问1详解】由已知()2e 32cos x f x a a x '=-+，01a <<则()2320f a a '=-+，()201f a =-，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()22321y a a x a =-++-，01a <<当0x =时，21y a =-，当0y =时，12a x a +=--，设线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为()h a ，则()()221111112222a a a a a a h a ++=-=-⋅--，01a <<()()()()()()()()()23222321211213112222h a a a a a a a a a a a a +---+-∴-+-=⋅=--'-，令()0h a '>，则102a <<，即()h a 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，令()0h a '<，则112a <<，即()h a 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，即()max 111132112481222h a h +⎛⎫=-⋅= ⎪⎛⎫= ⎪-⎝⎝⎭⎭，即曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积的最大值为38；【小问2详解】由（1）()2e 32cos x f x a a x '=-+，因为当0x =时，函数()f x 取得极值，得()20032f a a '=-+=，解得2a =或1a =，当2a =时，()4e 62cos x f x x '=-+，设()()4e 62cos xg x f x x '==-+，则()4e 2sin x g x x -'=，令()()4e 2sin xr x g x x =-'=，则()4e 2cos x r x x -'=，明显()4e 2cos x r x x -'=在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()()02r x r ''∴>=，即()4e 2sin x g x x -'=在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()4g x '∴>，即()4e 62cos x f x x '=-+在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()4620f x '∴>-+=，即函数()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增又明显()4e 2sin 0x g x x -'=>在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，则()4e 62cos x f x x '=-+在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()()00f x f ''∴<=，即函数()f x 在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，所以当0x =时，函数()f x 取得极值，当1a =时，()e 32cos x f x x '=-+，设()()e 2cos 3xt x f x x '=+-=，则()e 2sin xt x x -'=，当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，明显()0t x '>，当π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，因为e 1,sin x x x x ≥+≥，()()()e 2sin 12sin sin 1sin 0x t x x x x x x x '∴-=≥+=-+-≥-()e 2sin 0x t x x -'∴=≥在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，()e 32cos x f x x '∴=-+在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，又()00f '=，∴函数()f x 在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以当0x =时，函数()f x 取得极值，故2a =或1a =.现证明e 1x x ≥+，设()=e 1x m x x --，则()=e 1xm x '-，令()0m x '>，得0x >，()m x 在()0,∞+上单调递增，令()0m x '<，得0x <，()m x 在(),0∞-上单调递减，()()00m x m ∴≥=，即e 1x x ≥+，现证明πsin ,0,2x x x ⎡⎫≥∈⎪⎢⎣⎭，设()sin n x x x =-，则()1cos 0n x x ='-≥在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立即()n x 在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，()()00n x n ∴≥=，即πsin ,0,2x x x ⎡⎫≥∈⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：第二问中，使导函数为零的不一定是极值点，要带入验证，符合极值点左右两边单调性不一样才是极值点.。
江苏省苏州市部分学校2024届高三上学期期中数学试题(含答案解析)
江苏省苏州市部分学校2024届高三上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题三、填空题四、双空题五、解答题（1）若矩形MNPQ 是正方形，求tan θ的值；（2）为方便市民观赏绿地景观，从P 点处向,OA OB 修建两条观赏通道不计），使PS OA ⊥，PT OB ⊥，其中PT 依PN 而建，为让市民有更多时间观赏，希望PS PT +最长，试问：此时点P 应在何处？说明你的理由.21．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，32,sin 2B a b +=(1)求sin A ；(2)如图，点M 为边AC 上一点，π,2MB MC ABM =∠=，求ABC 22．已知二次函数()y f x =的图象与直线y =-6只有一个交点，满足(2)f x -是偶函数．()()f x g x x=（1）求二次函数()y f x =的解析式；（2）若对任意2[1,2],[4,4],()x t g x m tm ∈∈-≥-+恒成立，求实数m （3）若函数2(||3)11||3y g x k x =++⋅-+恰好三个零点，求k 的值及该函数的零点．参考答案：【详解】由余弦定理得2222BC AB BC AB =+-正确；0=.5，则()1,2AD AB AC =+∴ 正确；由图知函数()f x 有2个零点，故函数()f x 没有最值，故C 选项正确；函数()f x 在()0,1上单调递减，在由于方程()()21f x mf x --=令()t f x =则210t mt --=有因为2m 40∆=+>恒成立，设210t mt --=两个不等的实根为当13n =时，0x =；当24n =时，1;7x k =±∴=，函数的零点为0,1±。
江苏省高邮市二年级数学期末通关历年考试题(附答案)详细答案和解析x-经典试题解析与模拟
二年级数学期末试卷tig 沛题号一二三四五六阅卷人总分得分I注意事项：： 1.全卷采用机器阅卷，请考生注意书写规范；考试时间为120分钟。
；2.在作答前，考生请将自己的学校、姓名、班级、准考证号涂写在试卷和答*题卡规定位置。
身3.部分必须使用2B铅笔填涂;非选择题部分必须使用黑色签字笔书写，字体牛工整，笔迹清楚。
[4.请按照题号在答题卡上与题目对应的答题区域内规范作答，超出答题区域!书写的答案无效:在草稿纸、试卷上答题无效。
A卷(第I卷)!(满分：100分时间：120分钟)一、填一填1、在括号里填上合适的单位。
小明高134()文具盒长约2()一栋楼高约27()数学书厚约6()火车每小时行120()大桥长约900()2、在括号里填上合适的质量单位。
一大袋米重25(),一包盐重500()o或3、计算经过的时间。
线■:y.二」n11320>1520>-212llIi奴写出横线上的数。
i(i)俄罗斯的贝加尔湖是世界上最深的湖，最深处达一千六百三十七米,写作()。
!(2)世界上已知的鸟类种数为九千六百种,写作()oj5、一台电脑的价格是6997元，一辆电动车的价格是2005元，比一台电脑大约便宜()元。
16、在算式口7.........☆中，☆最大是()，这时□是()o沛7、小红从学校向（）走到果园，再向（）面走到大桥，再向（）面走到家。
8、1写出钟面上的时刻。
)时(）分)：(9、找规律，填一填。
(1)356,366,(),(),396,(),()。
(2)515,615,(),815,(),()。
(3)3650,(),3450,(),3250,(),()。
10、北京到沈阳，飞机票700元，动车票218元，坐动车比坐飞机大约便宜（）元。
二、选一选11、下列图形经过一次平移得到的图形是哪个？（）12、 在算式"口:△=☆......6〃中，除数最小是（）。
A. 6B. 7C. 813、 500粒红豆的质量和600粒绿豆的质量相等。
苏教版五年级下学期数学《期中考试题》附答案解析
苏教版五年级下学期期中测试卷第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、选择题（题型注释）1.任意两个不同的质数相乘的积有( )个因数.A．4 B.3 C .2 D．12.可以清楚地表示数量的增减变化的统计图是（）A．折线统计图 B．条形统计图 C．扇形统计图3.两个不同质数的积的因数有（）个．A．1 B．2 C．3 D．44.如果a表示自然数，那么2a+1表示的一定是（）A．奇数 B．偶数 C．合数5.两个自然数相除，不能整除的时候，它们的商可以用（）来表示．A．分数 B．整数 C．自然数6.在，，，，中，最简分数有（）个．A．2 B．3 C．4第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）7.能同时被2、3、5整除的最小两位数是，最大两位数是．8.有12枝铅笔，平均分给6个同学，每枝铅笔占铅笔总数的，每人分得铅笔总数的．9.在下面各数方框里填上适当的数字，使它符合提出的要求．（1）是5的倍数：31□，50□，7□5．（2）是2和3的倍数：61□2，215□，63□．（3）是2、3、5的倍数：78□，4□0，8□0（4）是3的倍数：61□，15□，65□．10.5□中最大填时这个数能被3整除，这个数的约数有．11.把的分母加上10，要使分数的大小不变，分子应加上．12.一批零件30个，平均分给5人完成，2人完成这批零件的，2个零件占零件总数的．13.一个数3、5、7分别除都余1，这个数最小是．14.45吨的是吨，吨的是40吨，45分是1小时．15.自然数a除以自然数b，商是15，那么a和b的最大公因数是（）.16.在4、9、36这三个数中：（）和（）是（）的因数，36的因数一共有（）个.评卷人得分三、判断题（题型注释）17.甲数能被乙数整除，乙数一定是甲乙两数的最大公约数．．（判断对错）18.个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数．（判断对错）19.1吨的和2吨的同样重．．（判断对错）20.两个质数的和一定是偶数．．（判断对错）21.0.6是方程8x﹣2x=3.6的解．．评卷人得分四、计算题（题型注释）22.求下面各组数的最大公因数和最小公倍数．8和12；5和25；10和18．23.解方程．（x﹣3）÷2=7.5x﹣0.36x=32.85x﹣61=38.52（x+1.7）=4.8．24.如图：面积1.6平方厘米（先列方程，再解答）25.根据下面的数量关系列方程．①a的8倍是300．②x的2倍减去6，差是20．③水果店里有50箱苹果，卖出x箱，还剩20箱．．26.解方程或比例．（1）2.5x﹣2=5.85（2）=．评卷人得分五、解答题（题型注释）27.一个数既是12的倍数，又是48的因数，这个数最大是多少？28.一本科技书，小磊看过50页，还剩下31页没有看，看过的和没有看过的各占这本书总页数的几分之几？29.有一批玩具，如果每箱装30个，没有剩余；如果每箱装50个，也没有剩余.这批玩具最少有多少个？31.x的1.5倍除以1.2，商是0.25.答案与解析1.A【解析】1.两个不同的质数一定是它们乘积的因数，再加上1和积的本身，即为4个因数.2.B【解析】2.试题分析：条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可．解：可以清楚地表示数量的增减变化的统计图是折线统计图；故选：B．【点评】此题应根据条形统计图、折线统计图、扇形统计图各自的特点进行解答．3.D【解析】3.试题分析：除了1和它本身外没有别的因数的数为质数．因此设这两个质为A、B，则它们积的因数有：AB，A、B、1共四个．解：设这两个质为A、B，根据质数的定义可知，它们积的因数有：AB，A、B、1共四个．所以，两个不同质数的积的约数有4个．故选：D．【点评】n个不同质数的积的因数有，1，n个质数，它们积（即这几个质数的最小公倍数），共2+n个因数．4.A【解析】4.试题分析：a是自然数，自然数的2倍一定是偶数，所有的偶数加上1一定是奇数，据此解答．解：如果a是自然数，那么2a+1一定是奇数；故选：A．【点评】此题考查用字母表示数，解决此题的关键是理解奇数和偶数的关系，即奇数的2倍一定是偶数，所有的偶数加上1是奇数．5.A【解析】5.试题分析：依据整数除法与分数的关系即可作答．解：两个自然数相除，不能整除的时候，它们的商可以用分数来表示．故答案为：A．【点评】此题主要考查整数除法与分数的关系6.B【解析】6.试题分析：根据最简分数的意义，分数的分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数．据此解答即可．解：、、和是最简分数；的分子和分母含有公因数5，所以不是最简分数；的分子和分母含有公因数2和4，所以不是最简分数．答：最简分数有3个．故选：B．【点评】此题考查的目的是理解掌握最简分数的意义．7.30，90．【解析】7.试题分析：要求能同时被2、3、5整除的最小两位数是几，最大两位数是几，只要求出2、3、5的最小公倍数，然后再扩大整数倍，即可得解．解：2、3、5两两互质，所以2、3、5的最小公倍数是2×3×5=30，30×3=90，30×4=120，答：能同时被2、3、5整除的最小两位数是 30，最大两位数是90；故答案为：30，90．【点评】灵活应用最小公倍数的求解方法来解决实际问题．8.；．【解析】8.试题分析：根据题意，要求每枝铅笔占铅笔总数的几分之几，应用除法计算，即1÷12=；12枝铅笔，平均分给6个同学，同样用除法计算，1÷6=．解：（1）1÷12=；（2）1÷6=．答：每枝铅笔占铅笔总数的；每人分得铅笔总数的．故答案为：；．【点评】解答这类题目，注意区分数量和分率，有的分数表示数量必须带单位，有的分数表示分率不能带单位．9.0、5；0、5；0、1、2、3、4、5、6、7、8、9；0、3、6、9；4；0、6；0；2、5、8；1、4、7；2、5、8；0、3、6、9；1、4、7．【解析】9.试题分析：根据2的倍数的特征，一个数的个位如果是偶数，这个数就是2的倍数；根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数；根据3的倍数的特征，一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；要想同时是2、3、5的倍数，这个数的个位一定是0，各位上数的和一定是3的倍数，解答即可．解：（1）是5的倍数：一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数：310或315500或505705、715、725、735、745、755、765、775、785、795（2）是2和3的倍数：一个数的个位如果是偶数，这个数就是2的倍数；一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；6102、6132、6162、61922154630、636．（3）是2、3、5的倍数：这个数的个位一定是0，各位上数的和一定是3的倍数780420、450、480810、840、870（4）是3的倍数：一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；612、615、618150、153、156、159651、654、657故答案为：0、5；0、5；0、1、2、3、4、5、6、7、8、9；0、3、6、9；4；0、6；0；2、5、8；1、4、7；2、5、8；0、3、6、9；1、4、7．【点评】此题主要根据能同时被2、3、5整除的数的特征解决问题．10.7，1、3、19、57．【解析】10.试题分析：（1）根据能被3整除的数的特征：即该数各个数位上数的和能被3整除；进行解答即可；（2）根据找一个的因数的方法进行解答．解：（1）只有使5+□的和是3的倍数时，这个数才能被3整除，所以可能的数有1，4，7，只有填7时使这个数最大，所以：5□中最大填7时这个数能被3整除；（2）57的约数有1，3，19，57．故答案为：7，1、3、19、57．【点评】此题考查的知识点是：（1）能被3整除的数的特征；（2）找一个的因数的方法．11.6【解析】11.试题分析：首先分析分母之间的变化，原来分母是5，由5变成（5+10）=15，扩大了3倍，要使分数的大小不变，分子也应该扩大3倍，据此解答．解：原来的分母是5，现在的分母是（5+10）=15，扩大了3倍，原来的分子是3，要使分数的大小不变，分子也应该扩大3倍，3×3=9，9﹣3=6，答：分子应加上6．故答案为：6．【点评】此题主要利用分数的基本性质解答问题，先观察分子或分母之间的变化，发现规律，再进一步通过计算解答问题．12.，．【解析】12.试题分析：根据题意，把零件的总数看作单位“1”，平均分给5人完成，2人完成这批零件的几分之几，可以理解为2人完成的占5人完成的几分之几；求2个占总数的几分之几，直接用除法解答．解：2÷5=；2÷30=；答：2人完成这批零件的，2个零件占零件总数的．故答案为：，．【点评】此题属于求一个数是另一个数的几分之几，解答关键是找单位“1”（作除数），一般占“谁”、是“谁”就把“谁”看作单位“1”，用除法解答．13.106．【解析】13.试题分析：求出3、5、7的最小公倍数再加1即可．解：因为3、5、7的最小公倍数是：3×5×7=105；所以一个数3、5、7分别除都余1，这个数最小是105+1=106；故答案为：106．【点评】本题主要是灵活利用求最小公倍数的方法解决问题．14.3，100，．【解析】14.试题分析：（1）求45吨的是多少就是“求一个数的几分之几是多少”用乘法计算；（2）把要求的数看作单位“1”，已知它的是40吨，求单位“1”，用除法计算；（3）根据1小时=60分，也就是求45分时60分的几分之几，用除法计算．解：（1）45×=30（吨）（2）40÷=40×=100（吨）（3）小时=60分，45÷60=答：45吨的是30吨，100吨的是40吨，45分是1小时的．故答案为：3，100，．【点评】（1）此题考查求一个数的几分之几是多少，用乘法计算；（2）解答此题的关键是找出单位“1”，已知单位“1”的百分之几是多少，求单位“1”用除法计算；（3）本题考查了求一个数是另一个数的应用题，用除法计算；涉及了时间的单位换算．15.b【解析】15.如果较大数是较小数的倍数，那么他们的最大公约数是较小的数.16.4，9，36；9【解析】16.在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数，找一个数的因数可以一对一的找，36的因数有：1、36、2、18、3、12、4、9、6，共9个.17.√【解析】17.解：由题意得，甲÷乙=整数（0除外），可知甲数是乙数的倍数，所以甲和乙的最大公约数是乙；故答案为：√．18.×【解析】18.试题分析：根据2的倍数的特征，个位上是0、2、4、6、8的自然数都是2的倍数．由此解答．解：10.2，个位上是0，但不是2的倍数．故个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数的说法是错误的．故答案为：×．【点评】此题主要考查2的倍数的特征．19.√【解析】19.试题分析：根据一个数乘分数的意义，分别求出1吨的和2吨的；然后进行比较即可．解：1×=（吨）；2×=（吨）；吨=吨；答：1吨的和2吨的同样重说法正确．故答案为：√．【点评】此题主要考查一共数乘分数的意义，和分数的大小比较．20.×【解析】20.试题分析：根据质数、偶数的意义：一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数．在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数．据此解答．解：如：2+3=5，5是奇数，2+5=7，7也是奇数；所以，两个质数相加的和一定是偶数．此说法错误．故答案为：×．【点评】此题考查的目的是理解质数、偶数的意义．21.√【解析】21.试题分析：先化简方程，再依据等式的性质，方程两边同时除以6，求出方程的解即可解答．解：8x﹣2x=3.6，6x=3.6，6x÷6=3.6÷6，x=0.6，故答案为：√．【点评】解答本题的关键是求出方程8x﹣2x=3.6的解．22.8=2×2×212=2×2×3最大公约数是2×2=4，最小公倍数是2×2×2×3=24；5和25是倍数关系，最大公约数是5，最小公倍数是25；10=2×518=2×3×3最大公约数是2，最小公倍数是2×3×3×5=90．【解析】22.解：8=2×2×212=2×2×3最大公约数是2×2=4，最小公倍数是2×2×2×3=24；5和25是倍数关系，最大公约数是5，最小公倍数是25；10=2×518=2×3×3最大公约数是2，最小公倍数是2×3×3×5=90．【点评】考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．23.【解析】23.解：①（x﹣3）÷2=7.5（x﹣3）÷2×2=7.5×2x﹣3=15x﹣3+3=15+3x=18②x﹣0.36x=32.80.64x=32.80.64x÷0.64=32.8÷0.64x=51.25③5x﹣61=38.55x﹣61+61=38.5+615x=99.55x÷5=99.5÷5x=19.9④2（x+1.7）=4.82（x+1.7）÷2=4.8÷2x+1.7=2.4x+1.7﹣1.7=2.4﹣1.7x=0.7【点评】此题考查了运用等式的性质解方程，即等式两边同加上或同减去、同乘上或同除以一个数（0除外），两边仍相等，同时注意“=”上下要对齐．24.8【解析】24.试题分析：已知三角形的面积是1.6厘米，底是0.4厘米，根据等量关系：三角形的面积=底×高÷2，可列出方程进行解答．解：设三角形的高是x厘米0.4x÷2=1.60.4x÷2×2=1.6×20.4x÷0.4=3.2÷0.4x=8答：三角形的高是8厘米．【点评】本题主要考查了学生对三角形面积公式的掌握．25.8a=300；2x﹣6=20；50﹣x=20【解析】25.解：根据分析，可得①8a=3008a÷8=300÷8a=37.5②2x﹣6=202x﹣6+6=20+62x=262x÷2=26÷2x=13③50﹣x=2050﹣x+x=20+x20+x=5020+x﹣20=50﹣20x=30故答案为：8a=300；2x﹣6=20；50﹣x=20．【点评】（1）此题主要考查了根据等式的性质解方程的能力，即等式两边同时加上或同时减去、同时乘以或同时除以一个数（0除外），两边仍相等．（2）解答此题的关键还要弄清楚先求什么，再求什么，最后求什么，找清楚等量关系．26.（1）3.14（2）3【解析】26.试题分析：（1）根据等式的性质，方程两边同时加2，再同时除以2.5求解；（2）先根据比例的基本性质，把原式转化为6x=18，然后根据等式的性质，在方程两边同时除以6求解．解：（1）2.5x﹣2=5.852.5x﹣2+2=5.85+22.5x=7.852.5x÷2.5=7.85÷2.5x=3.14（2）=6x=3.6×56x÷6=18÷6x=3【点评】此题考查了根据等式的性质解方程，即等式两边同加上、同减去、同乘上或同除以一个不为0的数，等式仍相等．同时注意“=”上下要对齐．27.48．【解析】27.试题分析：一个数既是12的倍数又是48的因数，即求48以内的12的倍数，那就先求出48的因数和12的倍数，再找共同的数即可，进而找出这个数最大是多少．解：48的因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；48以内的12的倍数有：12、24、48；既是12的倍数又是48的因数的是：12、24、48，这个数最大为48；答：这个数最大是48．【点评】解答此题应根据找一个数的因数的方法和找一个数倍数的方法进行分别列举，进而得出结论．28.看过的占总页数的，没看过的占总页数的．【解析】28.试题分析：先求出总页数，看的页数除以总页数就是看的占总页数的几分之几；没看的页数除以总页数就是没看的占总页数的几分之几．解：50+31=81（页）；50÷81=；31÷81=．答：看过的占总页数的，没看过的占总页数的．【点评】此题属于分数除法应用题中的一个基本类型：已知两个数，求一个数是另一个数的几分之几．29.：150个.【解析】29.：这道题要求这批玩具最少有多少个，就是要求30和50的最小公倍数，30和50的最小公倍数是150.【解析】30.可以把分数化成小数来比较，用的时间少的速度快，根据此解答即可.31.1.5x÷1.2=0.25.【解析】31.根据题意，x的1.5倍表示为1.5x，1.5x除以1.2即：1.5x÷1.2，根据此列出方程即可.。
数学丨江苏省无锡市2025届高三上学期11月期中教学质量调研测试数学试卷及答案
江苏省无锡市2024-2025学年高三上学期期中教学质量调研测试数学试题2024.11命题单位：无锡市教育科学研究院制卷单位：无锡市教育科学研究院注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.若集合{}2{11},20A x xB x x x =-<<=-+≤∣∣，则A B = （）A.[0,1)B.(1,1)- C.(1,2]- D.(1,0]-2.若复数12i34iz +=-（i 为虚数单位），则在复平面内z 所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知函数1sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象为C ，为了得到函数1sin 25y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只要把C 上所有的点（）A.向右平行移动15个单位长度 B.向左平行移动15个单位长度C.向右平行移动25个单位长度 D.向左平行移动25个单位长度4.一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费1y （单位：元）与仓库到车站的距离x （单位：km ）成反比，每月库存货物费2y （单位：元）与x 成正比；若在距离车站6km 处建仓库，则214y y =.要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站（）A.2kmB.3kmC.4kmD.5km5.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“20240S >且20250S <”是“101210130a a <”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数2()ln 1x xf x x x -=+-，则下列函数是奇函数的是（）A.(1)1f x ++B.(1)1f x -+C.(1)1f x -- D.(1)1f x +-7.若π3ππsin 24322θθ⎛⎫⎛⎫+=-<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 2θ的值为（）A. B.255C.427-D.4278.在ABC V 中，已知3,1,60BC AC ACB ︒==∠=，点D 是BC 的中点，点E 是线段AD 上一点，且13AE AD =，连接CE 并延长交边AB 于点P ，则线段CP 的长度为（）A.75B.375C.65D.355二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数中，在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的函数是（）A.πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.2πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.|sin 2|y x = D.2sin y x=10.下列说法中正确的有（）A.若0a b >>，0c d <<，则ac bd <B.若0a b >>，0c <，则c c a b>C.若13a <<，10b -<<，则23a b <-<D.若0a <，2ab a >，则22b a >11.函数32()1f x x ax bx =++-.下列说法中正确的有（）A.当3,1a b ==时，有(2)()0f x f x --+=恒成立B.,a b ∃∈R ，使()f x 在(,1)-∞上单调递减C.当0b =时，存在唯一的实数a ，使()f x 恰有两个零点D.当0,[2,0]b x =∈-时，6()x f x x -≤≤恒成立，则1,14a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.12.已知(0,2),a b == ，则向量a 在向量b上的投影向量的坐标为______.13.已知实数,,a b c 满足924a b c ==且113a b+=，则c =__________.14.任何有理数m n 都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为mn的形式，从而是有理数.则1.4=__________（写成mn的形式，m 与n 为互质的具体正整数）；若1.4,1.44,1.444, 构成了数列{}n a ，设数列()()111011n n n b a +=-⋅-，求数列{}n b 的前n项和n S =__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量a 与b 的夹角为135︒，且||1,||a b == (1),c a b λλλ=+-∈R .（1）当b c ⊥时，求实数λ的值;（2）当||c 取最小值时，求向量b 与c夹角的余弦值.16.已知函数2()ln(1),f x x a x a =++∈R .（1）若函数()f x 有两个不同的极值点，求a 的取值范围;（2）求函数()()22a g x f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间.17.在ABC V 中，已知)114A B --=.（1）若ABC V 为锐角三角形，求角C 的值，并求22sin cos A B -的取值范围;（2）若AB =，线段AB 的中垂线交边AC 于点D ，且1CD =，求A 的值.18.已知函数()e xf x =.（1）若x ∀∈R ，不等式()0mf x x ->恒成立，求实数m 的取值范围；（2）过点(,1)T t 可以作曲线()y f x =的两条切线，切点分别为()(),e ,,e abA aB b .①求实数t 的取值范围；②证明：若a b >，则||||AT BT >.19.在下面n 行、n 列()*Nn ∈的表格内填数：第一列所填各数自上而下构成首项为1，公差为2的等差数列；第一行所填各数自左向右构成首项为1，公比为2的等比数列；其余空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写.设第2行的数自左向右依次记为123,,,,n c c c c .第1列第2列第3列…第n 列第1行1222…12n -第2行359第3行510……第n 行21n -（1）求数列{}n c 通项公式;（2）对任意的m *∈N ，将数列中落入区间[],m m b c 内项的个数记为m d ，①求1d 和10d 的值;②设数列{}m m a d ⋅的前m 项和m T ；是否存在*m ∈N ，使得()19253m m T m -+=⋅，若存在，求出所有m 的值，若不存在，请说明理由.江苏省无锡市2024-2025学年高三上学期期中教学质量调研测试数学试题2024.11命题单位：无锡市教育科学研究院制卷单位：无锡市教育科学研究院注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.若集合{}2{11},20A x xB x x x =-<<=-+≤∣∣，则A B = （）A.[0,1)B.(1,1)- C.(1,2]- D.(1,0]-【答案】D 【解析】【分析】解一元二次不等式可得集合B ，根据集合的交集运算，即可求得答案.【详解】由题意知(){}2{11}1,1,20(,0][2,)A xx B x x x =-<<=-=-+≤=-∞+∞ ∣∣，故(1,0]A B =- ，故选：D 2.若复数12i34iz +=-（i 为虚数单位），则在复平面内z 所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据复数除法化简12i 55z =-+，进而可得点的坐标，即可求解.【详解】复数2212i (12i)(34i)386i 4i 510i 12i 34i (34i)(34i)342555z +++-++-+=====-+--++，对应点为12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限，故选：B3.已知函数1sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象为C ，为了得到函数1sin 25y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只要把C 上所有的点（）A.向右平行移动15个单位长度 B.向左平行移动15个单位长度C.向右平行移动25个单位长度 D.向左平行移动25个单位长度【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的图象变换计算即可.【详解】易知1sin 25y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭向右平行移动15个单位长度可得111sin 2sin 2555y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：A4.一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费1y （单位：元）与仓库到车站的距离x （单位：km ）成反比，每月库存货物费2y （单位：元）与x 成正比；若在距离车站6km 处建仓库，则214y y =.要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站（）A.2km B.3kmC.4kmD.5km【答案】B 【解析】【分析】设112212,,(0,0)k y y k x k k x==>>，结合题意求出129k k =，从而求出两项费用之和的表达式，利用基本不等式，即可求得答案.【详解】由题意设112212,,(0,0)k y y k x k k x==>>，仓库到车站的距离0x >，由于在距离车站6km 处建仓库，则214y y =，即121246,96kk k k =∴=，两项费用之和为2122296k y y y k x k x =+=+≥=，当且仅当229k k x x=，即3x =时等号成立，即要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站3km.故选：B5.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“20240S >且20250S <”是“101210130a a <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的单调性以及等差数列的性质即可判断101210130,0a a ><，说明充分性，由101210130,0a a <>时，即可说明不必要性.【详解】因为20240S >且20250S <，所以等差数列{}n a 单调递减，且公差小于0，故20230S >，()()120231202520232025202320250,022S a a a S a +⨯+⨯=>=<，则12023101212025101320,20a a a a a a +=>+=<，即101210130,0a a ><，所以101210130a a <，由101210130a a <，当101210130,0a a <>时，等差数列{}n a 单调递增，则不可能满足20240S >且20250S <，因此“20240S >且20250S <”是“101210130a a <”的充分不必要条件.故选：A.6.已知函数2()ln 1x xf x x x -=+-，则下列函数是奇函数的是（）A.(1)1f x ++B.(1)1f x -+C.(1)1f x --D.(1)1f x +-【答案】D 【解析】【分析】利用函数的奇偶性计算即可.【详解】易知()21111(1)ln ln 111x x x f x x x x x-++-+=+=++++，所以()()()()1111ln1,00,11x f x x x x-+-=+∈-+ ，令()11ln1x g x x x -=++，则()11ln 1x g x x x+-=--，显然()()0g x g x +-=，所以()g x 为奇函数，即D 正确.故选：D 7.若π3ππsin 24322θθ⎛⎫⎛⎫+=-<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 2θ的值为（）A .5-B.255C.427-D.427【答案】C 【解析】【分析】利用倍角公式可求πcos 2θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据诱导公式得到sin θ，利用同角三角函数的基本关系求出cos θ和tan θ，进而求出tan 2θ.【详解】∵πsin 243θ⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴22πππ31cos cos 212sin 122242433θθθ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭，∵πcos sin 2θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴1sin 3θ=-，∵ππ22θ-<<，∴22cos 3θ==，∴sin 2tan cos 4θθθ==-，∴22tan 42tan 21tan 7θθθ==--.故选：C.8.在ABC V 中，已知3,1,60BC AC ACB ︒==∠=，点D 是BC 的中点，点E 是线段AD 上一点，且13AE AD =，连接CE 并延长交边AB 于点P ，则线段CP 的长度为（）A.75B.5C.65D.5【答案】B 【解析】【分析】首先根据平面向量基本定理的推论求得AB 与AP的关系，即可利用基底CA CB ,表示CP ，再两边平方，利用平面向量数量积公式，即可求解.【详解】11111332266AE AD AB AC AP AC λ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭,因为点,,P E C 三点共线，所以1166λ+=，得5λ=，即5AB AP =，4155CP CA CB =+ ，两边平方2221618252525CP CA CB CB =++⋅ ，169817413252525250=++⨯⨯⨯=，所以5CP =.故选：B二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数中，在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的函数是（）A.πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B.2πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.|sin 2|y x = D.2sin y x=【答案】BC 【解析】【分析】利用正弦函数和余弦函数的性质判断；【详解】A.因为π3π,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以π3π5π2,444x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin y t =在3π5π,44⎛⎫⎪⎝⎭上递减，故错误；B.因为π3π,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以2π7π17π,3612x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，cos y t =在7π17π,612⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，故正确；C.因为π3π,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以3π2π,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin y t =在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭上递增，故正确；D.21cos 2sin 2x y x -==，因为π3π,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3π2π,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 2y x =在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭上递增，则2sin y x =在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭上递减，故错误；故选：BC10.下列说法中正确的有（）A.若0a b >>，0c d <<，则ac bd <B.若0a b >>，0c <，则c c a b>C.若13a <<，10b -<<，则23a b <-<D .若0a <，2ab a >，则22b a >【答案】ABD 【解析】【分析】利用不等式的基本性质逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，因为0a b >>，0c d <<，则0c d ->->，由不等式的基本性质可得ac bd ->-，则ac bd <，A 对；对于B 选项，因为0a b >>，不等式的两边同时除以ab 可得11a b<，因为0c <，由不等式的基本性质可得c ca b>，B 对；对于C 选项，因为13a <<，10b -<<，则01b <-<，由不等式的基本性质可得14a b <-<，C 错；对于D 选项，因为0a <，2ab a >，由不等式的基本性质可得0b a <<，则0b a ->->，由不等式的基本性质可得22a b <，D 对.故选：ABD.11.函数32()1f x x ax bx =++-.下列说法中正确的有（）A.当3,1a b ==时，有(2)()0f x f x --+=恒成立B.,a b ∃∈R ，使()f x 在(,1)-∞上单调递减C.当0b =时，存在唯一的实数a ，使()f x 恰有两个零点D.当0,[2,0]b x =∈-时，6()x f x x -≤≤恒成立，则1,14a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】ACD 【解析】【分析】利用函数表达式计算(2)f x --，可得选项A 正确；求()f x '，可知()f x '为开口向上的二次函数，在(,1)-∞上()0f x '≤不可能恒成立，选项B 错误；零点问题转化为函数图象交点个数问题可得选项C 正确；分离参数a ，恒成立问题转化为a 大于等于函数的最大值或小于等于函数的最小值，分析函数即可得到选项D 正确.【详解】A.当3,1a b ==时，32()31f x x x x =++-,32(2)31f x x x x --=---+,∴(2)()0f x f x --+=，选项A 正确.B.由题意得，2()32f x x ax b '=++，为开口向上的二次函数，故0x ∃∈R ，使得0(,)x x ∈-∞时，()0f x '>，此时()f x 为增函数，所以不存在,a b ∈R ，使()f x 在(,1)-∞上单调递减.C.当0b =时，32()1f x x ax =+-，由(0)1f =-得，0不是函数()f x 的零点.当0x ≠时，由3210x ax +-=得，21a x x =-，令21()(0)g x x x x =-≠，则332()x g x x+'=-，由()0g x '=得x =，当(,x ∈-∞时，330,20,()0x x g x '<+<<，()g x 为减函数，当(x ∈时，330,20,()0x x g x '<+>>，()g x 为增函数，当(0,)x ∈+∞时，330,20,()0x x g x '>+><，()g x 为减函数，()g x 图象如图所示：由图象可知，存在唯一的实数a ，使直线y a =与()g x 图象恰有两个交点，即()f x 恰有两个零点，选项C 正确.D.当0b =时，32()1f x x ax =+-，∵[2,0]x ∈-，6()x f x x -≤≤恒成立，∴3250x ax x +-+≥恒成立且3210x ax x +--≤.对于不等式325[2,00,]x a x x x ≥∈-+-+，当0x =时，不等式成立，当[2,0)x ∈-时，215a x x x ≥-+-恒成立，即2max 15a x x x ⎛⎫≥-+- ⎪⎝⎭，令2)15(2,0)[,h x x x x x ∈-=-+-，则3310()x x h x x--+'=，∵[2,0)x ∈-，∴33100,0x x x --+><，∴()0h x '<，∴()h x 在[2,0)-上为减函数，max 1()(2)4h x h =-=，∴1a 4≥.对于不等式321[2,00,]x a x x x ≤∈-+--，当0x =时，不等式成立，当[2,0)x ∈-时，211a x x x ≤-++恒成立，即2min 11a x x x ⎛⎫≤-++⎪⎝⎭，令2)11[2(,),0x x x xx ϕ∈-=-++，则332()x x x xϕ---'=，当(2,1)x ∈--时，3(2,10)x x --∈，3320,0x x x ---><，()0x ϕ'<，当(1,0)x ∈-时，3(0,2)x x --∈，3320,0x x x ---<<，()0x ϕ'>，∴()ϕx 在(2,1)--上为减函数，在(1,0)-上为增函数，∴min ()(1)1x ϕϕ=-=，∴1a ≤.综上得，1,14a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，选项D 正确.故选：ACD.【点睛】思路点睛：本题考查函数零点、函数与不等式综合问题，具体思路如下：（1）对于函数零点个数问题，先说明0不是函数()f x 的零点，再根据0x ≠时，由()0f x =分离出参数21a x x=-，问题转化为“存在唯一的实数a ，使得直线y a =与21()g x x x=-恰有两个交点”，通过求导分析单调性画出函数图象，通过图象即可得到结果.（2）对于不等式恒成立问题，分离参数a ，问题转化为max ()a h x ≥且min ()a x ϕ≤，对两个函数分别求导分析单调性，即可得到a 的取值集合.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.12.已知(0,2),a b == ，则向量a 在向量b上的投影向量的坐标为______.【答案】31,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据投影向量的定义计算即可求解.【详解】向量a 在向量b上的投影向量为)31,22a b b b b⎛⎫⋅⋅== ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：31,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭13.已知实数,,a b c 满足924a b c ==且113a b+=，则c =__________.【答案】6【解析】【分析】利用指数与对数的换算结合换底公式计算即可.【详解】由924a b c ==可知9240,log ,log c a c b c >==，所以11log 9log 24log 2163c c c a b+=+==，即332166c ==，所以6c =.故答案为：614.任何有理数m n 都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为mn的形式，从而是有理数.则1.4=__________（写成m n的形式，m 与n 为互质的具体正整数）；若1.4,1.44,1.444, 构成了数列{}n a ，设数列()()111011n n n b a +=-⋅-，求数列{}n b 的前n项和n S =__________.【答案】①.139②.()111364101n +--【解析】【分析】利用无限循环小数的性质设0.04t = ，然后建立等式求解即可；利用题中给出的规律先求出{}n a 的通项公式，然后得到{}n b 的通项公式，然后列项相消求解即可.【详解】令0.04t = ，则1.4110 1.4t t =+=+，解得245t =，所以131.41109t =+= 易知()()()23410.1410.1410.11 1.4,1 1.44,1 1.444,999---+=+=+=所以()410.11341199910n nna -=+=-⨯所以()()()111191114101101410111013419910110110n n n n n n n n b +++⨯⎛⎫===- ⎪--⎛⎫--⎝⎭-⋅- ⎪-⎝⎭⨯所以1211231111111110110110110110110110110141n n n n n S -+-+-++-+---------⎛⎫=⎪⎝⎭()111111101101414601113n n ++⎛⎫==-⎪⎝⎭----所以答案为：139；()114113601n +--【点睛】关键点点睛：若0.04t = ，则0.410t = ，借此建立等式；()()244440.40.910.1;0.440.9910.19999=⨯=⨯-=⨯=⨯- ，借此求得{}n a 的通项公式；同样的道理()()2444449101;44991019999=⨯=⨯-=⨯=⨯- .四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量a 与b 的夹角为135︒，且||1,||a b == (1),c a b λλλ=+-∈R .（1）当b c ⊥时，求实数λ的值;（2）当||c 取最小值时，求向量b 与c夹角的余弦值.【答案】（1）23（2）1010【解析】【分析】（1）由b c ⊥ ，所以0b c ⋅=，将(1)c a b λλ=+-代入可得()210a b b λλ⋅+-=，再由数量积的定义求得1a b ⋅=-，代回即可求解；（2）根据向量的模和二次函数求最值的方法求出λ的值，再根据向量的夹角公式计算即可.【小问1详解】因为b c ⊥ ，所以0b c ⋅=，即(1)0b a b λλ⎡⎤⋅+-=⎣⎦ ，所以()210a b b λλ⋅+-=，因为向量a 与b 的夹角为135︒，且||1,||a b ==所以cos135112a b a b ⎛⎫⋅=⋅⋅︒=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()210λλ-+-=，所以23λ=.【小问2详解】因为(1)c a b λλ=+-，所以222222(1)2(1)(1)c a b a a b b λλλλλλ=+-=+-⋅+- ，由（1）知1a b ⋅=-，且||1,||a b == 所以222222(1)(1)562a a b b λλλλλλ+-⋅+-=-+ ，则2231562555λλλ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，故当35λ=时，c 最小为55，此时3255c a b =+ ，则232323415555555b c b a b a b b ⎛⎫⋅=⋅+=⋅+=-+= ⎪⎝⎭ ，又55510c b ⋅=⨯=，所以1105cos ,105c b c b c b⋅===，所以向量b 与c夹角的余弦值为1010.16.已知函数2()ln(1),f x x a x a =++∈R .（1）若函数()f x 有两个不同的极值点，求a 的取值范围;（2）求函数()()22a g x f x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的单调递减区间.【答案】（1）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求导222()1x x af x x '++=+，可得2220x x a ++=有两个大于1-的不等实根，进而可得222122212(1)0Δ2420a a ⎧->-⎪⨯⎪⨯+⨯-+>⎨⎪=-⨯>⎪⎩，求解即可；（2）求导数，对a 分类讨论可求得单减区间.【小问1详解】函数2()ln(1)f x x a x =++的定义域为{|1}x x >-，求导得222()211a x x af x x x x ++'=+=++，令()0f x '=，可得2220x x a ++=，因为函数()f x 有两个不同的极值点，所以2220x x a ++=有两个大于1-的不等实根，所以222122212(1)0Δ2420a a ⎧->-⎪⨯⎪⨯+⨯-+>⎨⎪=-⨯>⎪⎩，解得102a <<.所以a 的取值范围为1(0,2；【小问2详解】2()()2ln(1)222a a g x f x x x a x x ⎛⎫⎛⎫=-+=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求导得2442(1)4(1)()22122(1)a a x x a a x x g x x x x '++-+-+⎛⎫=+-+= ⎪++⎝⎭244(44)(1)2(1)2(1)x ax a x a x x x -+-+--==++，令()0g x '=，解得14ax =-或1x =，当8a >时，114a ->，由()0g x '<，可得114ax <<-，函数()g x 在(1,1)4a-上单调递减，当8a =，114a-=，由()0g x '<，可得x ∈∅，函数()g x 无单调递减区间，当08a <<，1114a -<-<，由()0g x '<，可得114ax -<<，函数()g x 在(1,1)4a-上单调递减，当0a ≤时，114a-≤，由()0g x '<，可得11x -<<，函数()g x 在(1,1)-上单调递减，综上所述：当8a >时，函数()g x 在(1,1)4a-上单调递减，当8a =时，函数()g x 无单调递减区间，当08a <<时，函数()g x 在(1,1)4a-上单调递减，当0a ≤时，函数()g x 在(1,1)-上单调递减.17.在ABC V 中，已知)114A B --=.（1）若ABC V 为锐角三角形，求角C 的值，并求22sin cos A B -的取值范围;（2）若AB =，线段AB 的中垂线交边AC 于点D ，且1CD =，求A 的值.【答案】（1）π3C =；11,42⎛⎤ ⎥⎝⎦；（2）π18A =【解析】【分析】（1）利用正切的和角公式可得C ，再利用余弦的差角公式，辅助角公式结合三角函数的性质计算范围即可；（2）设AB 中点为E ，由正弦定理解三角形结合诱导公式计算即可.【小问1详解】由题意))113tan tan tan tan 14A B A B A B --=-++=，)tan tan 1tan tan A B A B -=+，所以()()tan tan tan tan π1tan tan A BA B C A B++===--，所以tan C =，易知()0,πC ∈，所以π3C =，则2π3A B +=，因为ABC V 为锐角三角形，所以π2ππ0,,0,232A B A ⎛⎫⎛⎫∈=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2222222π1sin cos sin cos sin cos sin 322A B A A A A A ⎛⎫⎛⎫-=--=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2213113sin sin cos cos cos 2sin 242444A A A A A A =+-=-+1πsin 226A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由ππ,62A ⎛⎫∈⎪⎝⎭知ππ5π2,666A ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以1π11sin 2,2642A ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，即22sin cos A B -的取值范围为11,42⎛⎤⎥⎝⎦；【小问2详解】设AB 中点为E ，则2π3,2,3cos 2cos AE DBA A CBD A DB AD A A∠=∴∠=-===，在CBD △中，由正弦定理得π2πsin sin 233DB CD A =⎛⎫- ⎪⎝⎭，即112πcos sin 23A A =⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2ππsin 2cos sin 32A A A ⎛⎫⎛⎫-==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为线段AB 的中垂线交边AC 于点D ，可知A B <，所以π02A <<，则2ππ232A A -=-，解之得π6A =，此时π2B =，正切不存在，舍去；或2ππ2π32A A -+-=，解之得π18A =；综上π18A =.18.已知函数()e xf x =.（1）若x ∀∈R ，不等式()0mf x x ->恒成立，求实数m 的取值范围；（2）过点(,1)T t 可以作曲线()y f x =的两条切线，切点分别为()(),e ,,e abA aB b .①求实数t 的取值范围；②证明：若a b >，则||||AT BT >.【答案】（1）1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）()0,∞+；证明见解析.【解析】【分析】（1）分离参数结合导数研究函数的单调性与最值计算即可；（2）①利用导数的几何意义，统一设切点()00,ex x ，将问题转化为0011e x t x =+-有两个解，构造函数利用导数研究函数的单调性计算即可；②利用①的结论得出e e a b a b --+=+，根据极值点偏移证得0a b >->，再根据弦长公式得))1e e 1a bAT BT --⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，构造函数())()1e 0x m x x -=->判定其单调性即可证明.【小问1详解】易知e 0e xx x m x m ->⇔>，令()e x x g x =，则()1e xxg x ='-，显然1x <时，()0g x '>，1x >时，()0g x '<，即()e xxg x =在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，则()()max 11e g x g m ==<，即1,e m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭；【小问2详解】①设切点()0,e x x ，易知0x t ≠，()e xf x '=，则有000e 1e x x x t-=-，即0011e x t x =+-，令()e 1xh x x -=+-，则(),y t y h x ==有两个交点，横坐标即分别为,a b ，易知()1e xh x -=-'，显然0x >时，()0h x '>，0x <时，()0h x '<，则()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，且x →-∞时有()h x →+∞，x →+∞时也有()h x →+∞，()()00h x h ≥=，则要满足题意需0t >，即()0,t ∈+∞；②由上可知：()e 10e 1a b a tb a b t --⎧+-=<<⎨+-=⎩，作差可得e e 0a b a b ---+-=，即e e a b a b --+=+，由①知：()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，令()()()()()ee 22e e 0xx x x H x h x h x x H x --'=--=-+⇒=-+≤，则()H x 始终单调递减，所以()()()()00H a h a h a H =--<=，即()()()h a h b h a =<-，所以b a >-，所以0a b >->，不难发现e 11e a aa t a t t --+-=⇒=+->，e e aAT bBTk k ⎧=⎨=⎩，所以由弦长公式可知))AT a t BT t b ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，所以))1e e 1abAT BT --⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，设())()()21e 0ex xxm x x m x --'=->⇒=⋅所以由))01e1eaba b ->->⇒--=)1e e 1ebb b --=+，即AT BT >，证毕.【点睛】思路点睛：对于切线个数问题，可设切点利用导数的几何意义建立方程，将问题转化为解的个数问题；对于最后一问，弦长的大小含有双变量，常有的想法是找到两者的等量关系，抑或是不等关系，结合图形容易想到化为极值点偏移来处理.19.在下面n 行、n 列()*Nn ∈的表格内填数：第一列所填各数自上而下构成首项为1，公差为2的等差数列；第一行所填各数自左向右构成首项为1，公比为2的等比数列；其余空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写.设第2行的数自左向右依次记为123,,,,n c c c c .第1列第2列第3列…第n 列第1行1222…12n -第2行359第3行510……第n 行21n -（1）求数列{}n c 通项公式;（2）对任意的m *∈N ，将数列中落入区间[],m m b c 内项的个数记为m d ，①求1d 和10d 的值;②设数列{}m m a d ⋅的前m 项和m T ；是否存在*m ∈N ，使得()19253m m T m -+=⋅，若存在，求出所有m 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）21nn c =+；（2）①12d =，10257d =；②4m =.【解析】【分析】（1）移项得12n n n c c +-=，运用累加法即可得到{}n c 通项公式；（2）①令m n m b a c ≤≤，解得1212222m m n -++≤≤，代入1m =得12d =，当2m ≥时，作差得221m m d -=+，代入即可得到10d ；②()22,1(21)21,2m m m m a d m m +=⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，利用错位相减法得12(23)22m m T m m -=-⋅++，再验证m 值即可.【小问1详解】由题意知112,3n n n c c c +=+=，12nn n c c +∴-=，当2n ≥时，()()()1211122112223n n n n n n n c c c c c c c c -----=-+-++-+=++++ ()121232112n n --=+=+-，而13c =也满足上式，21n n c ∴=+.【小问2详解】①111122,12(1)21,2,21n n m m n n m m b a n n b c ---=⋅==+-=-==+，令1121222212122m m m mm n m b a c n n --++≤≤⇒≤-≤+⇒≤≤，当1m =时，12n ≤≤，此时12d =，当2m ≥时，212121m m n --+≤≤+，此时1228102212121257m m m m d d ---=-+=+∴=+=，.②()22,1(21)21,2m m m m a d m m +=⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，记{}12m m -⋅从第2项到第m 项的和为m S ，12321223242(1)22m m m S m m --∴=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ，232122232(2)2(1)22m m m m S m m m --=⋅+⋅++-⋅+-⋅+⋅ ，上述两式作差得214222m mm S m --=+++-⋅ ()241242(1)212m m m m m --=+-⋅=-⋅-，(1)2m m S m ∴=-，当1m =时，2m T =；当2m ≥时，()1112(321)(1)2(1)2212m m m m m T m -⋅-+--=+-⋅+--12(23)22m m m -=-⋅++，1m =也满足上式，12(23)22m m T m m -∴=-⋅++，1211239(23)2453(23)2453m m m m m m m m m m ----⎡⎤∴-⋅++=⋅⇒-⋅++=⋅⎣⎦，()3125323240m m m m m --⇒⋅-+⋅--=，当1,2,3m =时，左边0<，舍去，当4m =时，经检验符合；当5m ≥时，左边恒0>，无解，综上:4m =.【点睛】关键点点睛：本题第二问的第二小问关键是利用错位相减法得(1)2m m S m =-，再计算得12(23)22m m T m m -=-⋅++.。
江苏省苏州市2023-2024学年高三上学期期中数学试题(解析版)
2023～2024学年第一学期高三期中调研试卷数学2023.11注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.下列条件中，使得“a b >”成立的充分不必要条件是（）A.a b >B.11a b> C.22a b > D.ln ln a b>【答案】D 【解析】【分析】逐个判断是否为a b >的充分不必要条件即可.【详解】对于A ：当3,2a b =-=时满足a b >，此时不满足a b >，所以A 错误；对于B ：当2,3a b ==时满足11a b>，此时不满足a b >，所以B 错误；对于C ：当3,2a b =-=时满足22a b >，此时不满足a b >，所以C 错误；对于D ：ln ln 0a b a b >⇒>>，所以ln ln a b >是a b >的充分不必要条件，故选：D2.已知集合2{650}A x x x =-+<，{}B x x a =<，且A B A = ，则实数a 的取值范围为（）A.(1,)+∞B.[3,)+∞C.[5,)+∞D.(5,)+∞【答案】C 【解析】【分析】先化简集合A ，再由A B A = ，则A B ⊆，应用集合间的包含关系即可.【详解】{}(,)A x x x =-+<=∣265015，且A B A = ，则A B ⊆，则5a ≥.故选：C3.已知π4cos 35α-（）=，则πsin 6α+（）的值为（）A.45-B.35-C.35D.45【答案】D 【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式求解.【详解】解：因为π4cos35α-（）=，所以πππππ4sin cos cos cos 626335αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫++==-= ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭（）=-（）-，故选：D4.已知,a b 是两个单位向量，且,a b ︒=60 ，若2c a b =- ，则cos ,a c = （）A.12B.2C.13D.33【答案】B 【解析】【分析】先求a c ⋅，再求||c ，则cos ,||||a c a c a c ⋅=⋅即可求.【详解】已知,a b 是两个单位向量，11cos6012a b ︒⋅=⨯⨯= ，若2c a b =- ，则()a c a a b a a b ⋅=⋅-=-⋅=-=21322222，||c == ，故cos ,||||a c a c a c ⋅==⋅2.故选：B5.在ABC 中，π3A =，AB边上的高等于3AB ，则sin C =（）A.714 B.2114C.3714D.32114【答案】D 【解析】【分析】先利用AB 表示CA ，CB ，然后利用正弦定理求解即可.【详解】过C 作CE AB ⊥，垂足为E，则3CE AB =，因为π3A =，所以1π3tan 3CE AE AB ==，2π3sin 3CEAC AB ==，23BE AB AE AB =-=，3BC AB ===，所以在ABC 中由正弦定理可得sin sin AB BCC A=即3sin 2sin 14AB AB A C BC ⨯===，故选：D6.已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则A.,1a e b ==- B.,1a eb == C.1,1a eb -== D.1,1a eb -==-【答案】D 【解析】【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ．【详解】详解：ln 1,x y ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y xb =+得21,1b b +==-，故选D ．【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．7.满足2{}{,}x m x n y y x m x n ≤≤==≤≤的实数对m ，n 构成的点(,)m n 共有（）A.1个B.2个C.3个D.无数个【答案】C 【解析】【分析】结合集合相等及二次函数的单调性即可求.【详解】由2{}{,}x m x n y y x m x n ≤≤==≤≤，又20y x =≥，则0m ≥，所以2y x =在[,]m n 单调递增，故值域为[(),()]f m f n ，即,m n 是2x x =的两根，解得120,1x x ==，当0m n ==时，点(,)m n 为(0,0)，当1m n ==时，点(,)m n 为(1,1)，当0,1m n ==时，点(,)m n 为(0,1).故选：C 8.已知ππsin cos 1313a =+，114233b -=+，34log 2log 3c =+，则（）A.a b c <<B.a c b <<C.c b a <<D.c a b<<【答案】B 【解析】【分析】依题意分别根据各式特点，利用辅助角公式和三角函数单调性可得12a <<，利用近似值可得1.87b >，再利用对数函数单调性即可得522,415c ⎛⎫∈⎪⎝⎭，即可比较得出结论.【详解】根据题意可知，πππππππsincos 131********a ⎛⎫⎛⎫=+=++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππ14134a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即可得12a <<；由114233b -=+可得)()1122 1.711.69 1.30.57 1.873b =++=+=，即 1.87b >；易知3223<，即2323<，所以23333log log 2log 3<，即312log 223<<；又4338164=>4=，即3434>，又5432434256==<，可得4534<；所以4544434log log 3log 44<<，可得45log 4433<<；可得341324log 2log 32435c +=++<<，所以522,415c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭显然2421.87254415a cb ==<<<<，即ac b <<.故选：B【点睛】关键点点睛：求解本题关键在于通过观察式子特征可知，三个式子各不相同，构造函数的方法失效，所以只能通过限定,,a b c 的取值范围使其落在不同的区间内即可得出结论.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9.已知复数z满足i )i 2z +=-，则（）A.||1z =B.z 的虚部为32C.310z +=D.2z z =【答案】AD 【解析】【分析】先求出复数z ，再结合复数的运算即可.【详解】由i )i 2z =-，得13i 22z =--，||1z ==，A 正确；z 的虚部为2-，B 错误；331i)112(221z --=++==，C 错误；221313i)(i=2222z z =--=-+，D 正确；故选：AD10.函数π()tan(2)4f x x =-，则（）A.()f x 的一个周期为π2B.()f x 是增函数C.()f x 的图象关于点3(,0)8π对称D.将函数tan 2y x =的图象向右平移π4个单位长度可得到()f x 的图象【答案】AC 【解析】【分析】根据()f x 的周期性，单调区间，对称中心，及平移逐项判断.【详解】对A ：π()tan(2)4f x x =-的最小正周期为π2，故A 正确；对B ：()f x 的递增应满足：ππππ2π242k x k -<-<+，即增区间为πππ3π,,Z 2828k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，故B 错误.对C ：()f x 的对称中心满足：πππ2422k x -=+，即中心为3ππ,084k ⎛⎫+⎪⎝⎭，Z k ∈，故C 正确；对D ：将函数tan 2y x =的图象向右平移π4个单位长度可得到ππtan 2tan 244y x x ⎛⎫⎛⎫=-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误.故选：AC11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AB ，1AA的中点，点P 在对角线1A B 上，则（）A.三棱锥P CEF -体积为16B.点P 到平面CEF 的距离为23C.1AP D P +的最小值为D.四面体BCEF 外接球的表面积为14π【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，根据正方体的性质，明确三棱锥的底面以及底面上的高，可得答案；对于B ，利用A 求得的三棱锥的体积，利用勾股定理求得CEF △的三边长，结合余弦定理以及面积公式，可得答案；对于C ，根据正方体的性质，将点1D 旋转使得1,,A P D 共面，利用三角形的余弦定理，可得答案；对于D ，根据三棱锥的性质，设出外接球的球心，利用勾股定理，建立方程，结合球的面积公式，可得答案.【详解】根据题意，可作图如下：对于A ，在正方体ABCD 中，CB AB ⊥，CB ⊥平面11ABB A ，在三棱锥P CEF -中，以PEF !为底面，则CB 为其高，因为1P A B ∈，易知1ABA △为等腰直角三角形，且,E F 分别为1,AA AB 的中点，所以1//EF A B ，且P 到EF 的距离为1112442A B AB ==，1111233223P CEF PEF V CB S -=⋅⋅=⨯⨯=V ，故A 错误；对于B ，在Rt BCE 中，易知1BE =，2BC =，则CE ==，在Rt AEF 中，易知1AE AF ==，则EF =，在Rt ACF中，易知AC =，1AF =，则3CF =，在CEF △中，由余弦定理，222cos 210CE EF CFCEF CE EF+-∠==-⋅⋅，则sin 10CEF ∠=，所以13sin 22CEF S EF CE CEF =⋅⋅⋅∠=V ，点P 到平面CEF 的距离为13323332P CEFCEFV S -⨯==V ，故B 正确；对于C ，在正方体ABCD 中，易知11A D ⊥平面11ABB A ，因为1A B ⊂平面11ABB A ，所以111A D B A ⊥，将1D 绕1A 旋转得到1D '，使得1,,A P D '共面，如下图：易知11D P D P '=，且11AP D P AD ''+≥，在11AA D 'V 中，易知11135AA D '∠=o ，由余弦定理，2221111111112cos AD AA A D AA A D AA D ''''=+-⋅⋅∠24422282⎛⎫=+-⨯⨯⨯-=+ ⎪⎝⎭，则1AD '=，故C 正确；对于D ，取EC 的中点M ，易知M 为Rt BCE 为外接圆圆心，连接AM ，作1//NM AA ，//FN AM ，取O MN ∈，连接,OE OF ，如下图：因为1MN AA //，所以MN ⊥平面BCE ，由M 为Rt BCE 为外接圆圆心，则可设O 为三棱锥F BCE -的外接球球心，即OE OF R ==，因为//FN AM ，所以易知四边形AMNF 为矩阵，则AM FN =，MN FN ⊥，在Rt BCE 中，5cos 5BE CEB CE ∠==，易知πAEC CEB ∠=-∠，则5cos 5AEC ∠=-，在AEM △中，由余弦定理，222132cos 4AMAE EM AE EM AEM =+-∠=，在Rt MOE △中，222OE ME MO =+，22254OM OE ME R =-=-在Rt FOM 中，222OFON FN =+，()2221OF FN OM=+-，则222135144R R ⎛=+-- ⎝，解得272R =，则球的表面积为24π14πR =，故D 正确.故选：BCD.12.对于数列{}n a ，若存在正数M ，使得对一切正整数n ，都有n a M ≤，则称数列{}n a 为有界数列；若这样的正数M 不存在，则称数列{}n a 为无界数列．下列说法正确的有（）A.等比数列{}n a 的公比为q ，若1q <，则{}n a 是有界数列B.若数列{}n a 的通项211==∑nk n a k ，则{}n a 是有界数列C.若正项数列{}n a 满足：12(3)3--=n n n a a n a ≥，则{}n a 是无界数列D.若数列{}n a 满足：12121111n na a a a a a +++= ，且()10,1a ∈，则{}n a 是有界数列【答案】ABD 【解析】【分析】根据新定义逐个判定是否正确，注重通项公式的求解过程中的技巧的应用.【详解】对于A ：不妨令首项为1a ，则11n n a a q -=，因为01q <<，则11111n n n a a q a q a --==<，所以此时{}n a 为有界数列，所以A 正确；对于B ：当2n ≥时，()2111111n n n n n<=---，又22211111111111211223112n a n n n n =+++<+-+-++-=-- ，所以02n a <<，当1n =时，112a =<，所以{}n a 是有界数列，B 正确；对于C ：不妨令()12,0,0a p a q p q ==>>，则23133a q a a p ==，342139a a a p==，453139a a a q ==，56433a pa a q==，6753a a p a ==，7863a a q a ==，所以数列{}n a 周期数列，所以数列{}n a 是有界数列，C 错误；对于D ：由12121111n n a a a a a a +++= ，得()12112111112n n n a a a a a a --+++=≥ ，两式相减得1211111n n n a a a a a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，化简可得1211n n a a a a -=- ，即1211n n a a a a -=- 用数学归纳法证明()0,1n a ∈，当1n =时由题知()10,1a ∈；假设n k =时结论成立，即()12110,1k k a a a a -=-∈ ，此时1211k k a a a a -=- ；则当1n k =+时()2211213111124k k k k kk k a a a a a a a a a +⎛⎫=-=--=-+=-+ ⎪⎝⎭ ，又因为()0,1k a ∈，所以()21130,124k k a a +⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，所以1n k =+时成立，根据①和②可知，该结论成立，故()0,1n a ∈，所以{}n a 是有界数列，所以D 正确，故选：ABD【点睛】方法点睛：用数学归纳法可以很好的证明数列在某个区间的问题，但是要注意数学归纳法的书写格式和数学逻辑.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，655630S S -=，则10a =_______．【答案】20【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质求出公差d 即可得结果.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由655630S S -=，得15655()5()302a a S S +--=，即有635530a a -=，于是6336d a a -==，解得2d =，所以101920a a d =+=.故答案为：2014.如图，由3个全等的钝角三角形与中间一个小等边三角形DEF 拼成的一个较大的等边三角形ABC ，若3AF =，sin 14ACF ∠=，则DEF 的面积为________．【解析】【分析】利用正弦定理以及余弦定理求得钝角三角形的三边长，根据等边三角形的性质以及面积公式，可得答案.【详解】因为EFD △为等边三角形，所以60EFD ∠= ，则120EFA ∠= ，在AFC △中，由正弦定理，则sin sin AF AC ACF AFC=∠∠，解得3sin 7sin 214AF AC AFC ACF =⋅∠==∠，由余弦定理，则2222cos AC AF FC AF FC AFC =+-⋅⋅∠，整理可得：21499232FC FC ⎛⎫=+-⨯⋅⋅- ⎪⎝⎭，则23400FC FC +-=，解得5FC =或8-（舍去），等边EFD △边长为532-=，其面积为122sin 602⨯⨯⋅=o .15.如图，一个半径为3的半圆，C 、D 两点为直径AB 的三等分点，E 、F 两点为弧AB 上的三等分点，则CF DE ⋅=________.【答案】12##0.5【解析】【分析】以线段AB 的中点O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，过点O 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得⋅CF DE 的值.【详解】以线段AB 的中点O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，过点O 且垂直于AB 的直线为y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，连接OE 、OF，由题意可知，60BOF ∠= ，120BOE ∠= ，则()1,0C -、()1,0D 、333,22E ⎛- ⎝⎭、333,22F ⎛ ⎝⎭，所以，5,22CF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，5,22DE ⎛=- ⎪⎝⎭，故25512222CF DE ⎛⎛⎫⋅=⨯-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭ .故答案为：12.16.已知函数2()33=--f x x ，若<m n ，且()()f m f n =，则m 的取值范围为____，mn 的取值范围为_________.【答案】①.(②.()3,3-【解析】【分析】画出函数图像，根据图像得到(m ∈，n ∈，确定2262m n mn +=≥，排除等号成立的条件，计算得到答案.【详解】()222,()336,,x x f x x x x ∞∞⎧⎡-∈⎣⎪=--=⎨-∈-⋃+⎪⎩，画出函数图像，如图所示：根据图像知：<m n 且()()f m f n =，故(m ∈，n ∈，故226m n -=-，即2262m n mn +=≥，33mn -≤≤，m n ≠，等号不成立，故33mn -<<，即),3(3mn ∈-.故答案为：(；()3,3-.四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数()2sin cos 442x x x f x =.（1）求()f x 的最小值及取得最小值时x 的取值集合；（2）若()f x 的图象向右平移m (0)m >个单位后得到的函数恰好为偶函数，求m 的最小值．【答案】（1）最小值为－2，此时5{|4,Z}3x x k k π=π-∈（2）min 53π=m ．【解析】【分析】（1）对三角函数合一后进行最小值得分析即可；（2）利用偶函数求出m 的值，再求出最小值即可.【小问1详解】因为()sin 2sin()2223π=+=+x x x f x ，所以当2,232ππ+=-+π∈x k k Z 即54,Z 3x k k π=π-∈时，()f x 取得最小值－2，所以()f x 的最小值为－2，此时x 的取值集合为5{|4,Z}3x x k k π=π-∈；【小问2详解】设()f x 的图象向右平移m (0)m >个单位后得到函数()g x ，则()2sin()23-π=+x m g x ，因为()g x 为偶函数，所以()()g x g x -=，即sin(sin(223223ππ-+=--+x m x m ，展开可得πsin cos 0223x m ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以sin cos()0223π-+=x m 恒成立，所以,Z 232m k k ππ-+=+π∈，所以2,Z 3m k k π=--π∈，又因为0m >，所以min 53π=m ．18.在①BAC ∠的平分线长为65；②D 为BC 中点，2AD =；③AH 为BC 边上的高，35719AH =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，已知2b =，2cos 3cos =-A a B .（1）求c ;（2）若，求BAC ∠的大小.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）3（2）2π3BAC ∠=.【解析】【分析】（1）根据题意由2b =，利用余弦定理即可求得3c =；（2）若选①：记2BAC θ∠=，利用等面积法即可求得1cos 2θ=，即可知2π3BAC ∠=；若选②：利用平面向量表示出()12AD AB AC =+ ，再根据2AD =利用数量积定义即可求得结果；若选③：分别在Rt BAH 和Rt CAH △中利用余弦定理即可求得BC =，再利用余弦定理可求得2π3BAC ∠=.【小问1详解】由2b =及2cos 3cos =-A a B 得cos 3cos b A a B =-，即cos cos 3b A a B +=，由余弦定理得222222322b c a a c b b a bc ac+-+-⋅+⋅=，所以3c =．【小问2详解】若选①：记2BAC θ∠=，BAC ∠的平分线交BC 于D ，则有ABC ABD ACD S S S =+ ，即111sin 2sin sin 222=⋅+⋅bc b AD c AD θθθ，即12186sin 2sin sin 55=+θθθ，即sin 2sin θθ=，所以2sin cos sin θθθ=，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0θ≠，从而1cos 2θ=，即π3θ=，所以2π3BAC ∠=.若选②：由于D 为BC 中点，所以()12AD AB AC =+ ，即22242AD AB AC AB AC =++⋅，又因为72AD = ，3AB = ，2AC = ，所以3AB AC ⋅=- ，即cos 3⋅⋅∠=-AB AC BAC ，所以1cos 2BAC ∠=-，又因为()0,πBAC ∠∈，所以2π3BAC ∠=.若选③：由于AH 为BC 边上的高，在Rt BAH 中，2229571449191919⨯=-=-=⨯BH AB AH ，所以121919=BH ，在Rt CAH △中，222957494191919⨯=-=-=⨯CH AC AH ，所以71919=CH ，所以19=+=BC BH CH ，由余弦定理得22294191cos 22322+-+-∠===-⋅⨯⨯AB AC BC BAC AB AC ，又因为()0,πBAC ∠∈，所以2π3BAC ∠=.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，2AD BC =，90DAB ∠= ，平面PDB ⊥平面ABCD ，AC BD ⊥，AB PD ⊥，1BC =，2PD =（1）求证：PD ⊥平面ABCD ；（2）求二面角D PC B --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）66-.【解析】【分析】（1）根据面面垂直性质定理以及线面垂直判定定理，可得答案；（2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用面面角向量公式，可得答案.【小问1详解】因为平面PDB ⊥平面ABCD ，平面PDB 平面ABCD BD =，AC BD ⊥，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥平面PDB ，又因为PD ⊂平面PDB ，所以AC PD ⊥，又因为AB PD ⊥，AC AB A ⋂=，AC ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥平面ABCD .【小问2详解】由（1）知PD ⊥平面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥，PD AB ⊥，过A 引//AZ PD ，则有AZ AD ⊥，AZ AB ⊥，又因为90DAB ∠= ，即AB AD ⊥，以A 为原点，以AB 为x 轴，以AD 为y 轴，以AZ 为z 轴建立空间直角坐标系设(0)AB t t =>，则(0,0,0)A ，(,0,0)B t ，(,1,0)C t ，(0,2,0)D，(0,P ，所以(),1,0AC t =uuu r ，(),2,0BD t =-uu u r，DP = ，由于AC BD ⊥，所以0AC BD ⋅= ，所以22t =，即t =，从而C，则)1,0DC =-uuu r，2,PB =-uu r，1,PC =-uu u r ，设平面PDC 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则有00n DP n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y =-=，取1x =，解得0y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即(1,0)=n ，设平面PBC 的一个法向量为(),,m a b c = ，则有00m PB m PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200b b ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，取1a =，解得01bc =⎧⎨=⎩，即(1,0,1)m = ，所以|cos ,||<>== m n设二面角D PC B --的平面角为θ，θ为钝角，所以二面角D PC B --的平面角余弦值为6-.20.已知函数()f x 满足2()e 2x f x x x =-+．（1）求()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()(2)1>-+f x a x 在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间（2）()2e,-+∞【解析】【分析】（1）先对函数()f x 求导，进而构造函数()e 22x m x x =-+，利用导数分析其单调性，进而可得min ()0m x >，进而得到()0f x '>恒成立，从而求解；（2）转化问题为1e x a x x x >+-在区间(0,)+∞上恒成立，令()1e xg x x x x =+-，,()0x ∈+∞，只需max ()a g x >，进而利用导数分析()g x 单调性进行求解即可.【小问1详解】因为2()e 2x f x x x =-+，所以()e 22x f x x '=-+，令()e 22x m x x =-+，则()e 2xm x '=-，当(,ln 2)x ∈-∞时，()0m x '<；当(ln 2,)x ∈+∞时，()0m x '>．所以()m x 在(,ln 2)-∞上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增．所以min ()(ln 2)2(2ln 2)0==->m x m ，即()0f x '>恒成立，所以()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间．【小问2详解】由题意()(2)1>-+f x a x 在区间(0,)+∞上恒成立，即21e 22x x x x ax >-+-+恒成立，即1e xa x x x >+-在区间(0,)+∞上恒成立，令()1e x g x x x x=+-，,()0x ∈+∞，只需max ()a g x >，因为()()()22211e 1e e 1x x x x x x g x x x x-+-⋅-'=-+-=，令()1e x h x x =+-，()0,x ∈+∞，有()10e x h x '=-<，所以函数()h x 在()0,∞+上单调递减，所以()(0)0h x h <=，即1e 0x x +-<，所以当(0,1)x ∈时，()0g x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，所以函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()()max 12e g x g ==-，即2e a >-，所以实数a 的取值范围为()2e,-+∞．21.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，21221++=++n n S S n n ．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若11b =，1(1)++-=n n n n b b a ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =-（2）22111,21,N 2211,2,N 22n n n n k k T n n n k k **⎧-+=-∈⎪⎪=⎨⎪+=∈⎪⎩【解析】【分析】（1）法一：根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩得到14(2)++=n n a a n n ≥，从而得到114(2)n n a a n +--=≥，可得{}n a 的奇数项和偶数项分别为等差数列，求出奇数项和偶数项的通项公式，得到答案；法二：变形得到22211(1)()(1)(1)+-+=--==-- n n n S n S n S ，结合2110-=S ，得到2n S n =，利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出答案；（2）变形得到21212(1)+-+=k k b b k ≥，当n 为奇数时，1n b =，当n 为偶数时，1123122n n b a n n -=+=-+=-，分n 为奇数和偶数两种情况，求和，得到答案.【小问1详解】法一:当1n =时，215S S +=，即2125a a +=，由11a =，得23a =，由21221++=++n n S S n n ，得212(1)2(1)1n n S S n n -+=-+-+(2)n ≥，两式相减得：14(2)++=n n a a n n ≥．又214a a +=，满足上式．所以当*n ∈N 时，14n n a a n ++=，又当2n ≥时，14(1)n n a a n -+=-，两式相减得：114(2)n n a a n +--=≥，所以数列{}n a 的奇数项是以11a =为首项，4为公差的等差数列，所以11412(1)212-=+⨯=+-=-n n a a n n （n 为奇数），数列{}n a 的偶数项是以23a =为首项，4为公差的等差数列，所以11412(1)212-=+⨯=+-=-n n a a n n （n 为偶数），所以21n a n =-，即{}n a 的通项公式是21n a n =-．法二：因为21221++=++n n S S n n ，所以221(1)()n n S n S n +-+=--，同理可得()2211n n S n S n -⎡⎤-=---⎣⎦，故22211(1)()(1)(1)+-+=--==-- n n n S n S n S ，因为2110-=S ，所以20n S n -=，即2n S n =，当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，11a =适合上式，所以{}n a 的通项公式是21n a n =-.【小问2详解】因为1(1)++-=n n n n b b a ，故当()21N n k n *=-∈时，221212(21)143k k k b b a k k ---==--=-①，当()2N n k n *=∈时，212222141k k k b b a k k ++==⨯-=-②，①、②两式相减得：21212(1)+-+=k k b b k ≥，因为11b =，312b b +=，所以31b =，因为21212(1)+-+=k k b b k ≥，所以当n 为奇数时，1n b =，当n 为偶数时，112(1)123n n n b b a n n ---==--=-，所以1123122n n b a n n -=+=-+=-，所以1,21,N 22,2,Nn n k k b n n k k **⎧=-∈=⎨-=∈⎩；当n 为偶数时，213124(222)112()()12222-+-=+++++++=⨯+=+ n n n n n n T b b b b b b n n ,当n 为奇数时，2111111[(1)(1)][2(1)2]22++++=-=-=+++-+-n n n n n T T b T b n n n 211122n n =-+，综上，22111,21,N 2211,2,N 22n n n n k k T n n n k k **⎧-+=-∈⎪⎪=⎨⎪+=∈⎪⎩.22.已知函数2()+(2)ln =--f x ax a x x ．（1）若()f x 在区间(1,2)上有极值，求实数a 的取值范围；（2）当01a <<时，求证：()f x 有两个零点1x ，2x 12()x x ≠，且12()()0''+<f x f x ．【答案】（1）112a <<（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出导函数，分0a ≤以及0a >，根据导函数得出函数的单调性，进而得出函数极值情况；（2）先根据导函数以及零点存在定理，证明函数存在两个零点.代入求出()()12,f x f x ，作差然后推得112212122()ln()(1)-+=-++x x x x a x x x x .然后求出1()22f x ax a x '=-+-，代入化简11212212112ln )()(()(x x f x f x x x x x '+=-+-'.转化为证明12212102ln -+>x x x x x x ，换元令12,(0,1)x t t x =∈，证明12ln 0t t t -+>，(0,1)t ∈即可.【小问1详解】因为2()(2)ln f x ax a x x =+--，(1,2)x ∈，所以22(2)1(21)(1)1()22+--+-'=+--==ax a x x ax f x ax a x x x.①当0a ≤时，()0f x '<在(1,2)上恒成立，所以()f x 在(1,2)上单调递减，()f x 在(1,2)上无极值点；②当0a >时，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，所以()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．所以()f x 的极小值点为1a ，无极大值点.因为()f x 在(1,2)上有极值，所以1(1,2)∈a，所以112a <<.综上所述，当112a <<时，()f x 在区间(1,2)上有极值.【小问2详解】由已知，()f x 定义域为()0+∞，.当01a <<时，(21)(1)()+-'=x ax f x x，0x >由（1）知：()111()ln 1f x f a a a==--+极小，因为01a <<，所以11a>.令1t a =，1t >，则()ln 1f t t t =--+.因为1()10'=--<f t t在(1,)t ∈+∞上恒成立，所以()f t 在(1,)+∞上单调递减，所以()(1)0f t f <=，即()1()0f x f a =<极小.因为，221212ln 10e e e e e e ea a a a f -⎛⎫=+-=++-> ⎪⎝⎭，由（1）知：()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且110e f f a ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据零点存在定理，可知()f x 在11,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一的零点1x ，使1()0f x =，.因为()3(2)39333ln 3ln a f a a a a a a-=+-=+-.令()ln 1g x x x =-+，0x >，则()111x g x x x-'=-=.当01x <<时，有()0g x '>，所以()g x 在()0,1上单调递增；当1x >时，有()0g x '<，所以()g x 在()1,+∞上单调递减.所以，()g x 在1x =处取得唯一极大值，也是最大值()10g =.因为01a <<，所以33a >，所以30g a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即33ln 10a a --<，所以33ln 10a a -+>，所以()33140f a>+=>.由（1）知()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且()()130f f a a ⋅<，所以()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上存在唯一的零点2x ，使2()0f x =．所以()f x 有两个零点1x ，212()x x x ≠.下面证明12()()0''+<f x f x ：设120x x <<，则()()()()()()111111111111222222222ln 2ln 02ln 2ln 0f x ax a x x a x x x x f x ax a x x a x x x x ⎧=+--=+--=⎪⎨=+--=+--=⎪⎩．两式相减：2212121212[()()]2()(ln ln )0a x x x x x x x x -+-----=，即11212122()(1)2()ln 0-++---=x a x x x x x x x ，所以112212122()ln()(1)-+=-++x x x x a x x x x .因为22(2)11()22+--'==-+-ax a x f x ax a x x，所以12121212121111()()2()()2(2)2(1)()4''+=+-++-=++-+-f x f x a x x a a x x x x x x 1112221212112121222()ln2ln ()(1)(11112(1)()4())-+-++-=++-+-=-+x x x x x x x x x x x x x x x x x x .要证：12()()0''+<f x f x ，即证：1211212211(0()02()ln-+<<<-x x x x x x x x ，只要证：122211112ln(()0)--+>x x x x x x ，即证：12212102ln-+>x x x x x x .令12,(0,1)x t t x =∈，即证：12ln 0t t t -+>，(0,1)t ∈．令()2ln 1-=+m t t t t，(0,1)t ∈，则222(1)112(0)----='=<m t t t t t 在(0,1)t ∈上恒成立，所以()m t 在()0,1上单调递减，所以()(1)0m t m >=．即12212102ln -+>x x x x x x 成立，故()f x 有两个零点1x ，2x 12()x x ≠，且12()()0''+<f x f x .【点睛】关键点睛：求出()f x '，代入化简11212212112ln)()(()(x x f x f x x x x x '+=-+-'.转化为证明12212102ln -+>x x x x x x ，换元求导即可.。
2024年人教版小学二年级英语(上册)期中试卷及答案
2024年人教版小学二年级英语(上册)期中试卷及答案一、选择题（每题1分，共5分）1. Which word means "hello" in English?A. GoodeB. Thank youC. HelloD. Good morning2. What color is the sky?A. RedB. BlueC. GreenD. Yellow3. Which animal says "woof"?A. CatB. DogC. CowD. Chicken4. How many days are there in a week?A. 5B. 6C. 7D. 85. Which word means "big" in English?A. SmallB. TallC. BigD. Short二、判断题（每题1分，共5分）1. The sun is yellow. ( )2. Apples are red. ( )3. Elephants have four legs. ( )4. There are 12 months in a year. ( )5. The moon is round. ( )三、填空题（每题1分，共5分）1. The sky is ________.2. A ________ says "moo".3. I have two ________.4. There are ________ days in a week.5. A ________ is a big animal.四、简答题（每题2分，共10分）1. What is your favorite color? Why?2. How many fingers do you have on one hand?3. What do you like to eat for breakfast?4. Can you count from 1 to 10?5. What is your favorite animal? Why?五、应用题（每题2分，共10分）1. If you have 3 apples and I give you 2 more, how many apples do you have?2. If there are 5 birds in the tree and 3 more fly away, how many birds are left?3. If you have 4 pencils and I take 1 away, how many pencils do you have left?4. If there are 7 flowers and you give 3 to your friend, how many flowers do you have left?5. If you have 6 books and I give you 2 more, how many books do you have?六、分析题（每题5分，共10分）1. Look at the picture and describe what you see.2. Listen to the sound and tell me what animal it is.七、实践操作题（每题5分，共10分）1. Draw a picture of your favorite animal.2. Write the alphabet from A to Z.八、专业设计题（每题2分，共10分）1. 设计一张关于“我的家庭”的英语海报，包括家庭成员的名称和对应的英语单词。
2022-2023学年度小升初部编版数学期中考试卷(附答案)
2022-2023学年度小升初期中考试卷数学第I卷（选择题）一、选择题(共5分）1．(本题1分)把米长的铁丝锯成相等的4段，每段是原长的（）。
A．米B．米C．D．2．(本题1分)在一个棱长为1分米的正方体的8个角上，各锯下一个棱长为1厘米的正方体，现在它的表面积和原来比（）A．不变B．减少C．增加D．无法确定3．(本题1分)一段重12千克的圆柱体钢柱，锻压成等底的圆锥，这个圆锥的高和圆柱的高相比（）。
A．圆锥的高是圆柱的3倍B．相等C．圆锥的高是圆柱的13D．圆锥的高是圆柱的234．(本题1分)一个圆的直径增加2倍后，面积是原来的（）。
A．9倍B．8倍C．4倍D．2倍5．(本题1分)当a是一个大于0的数时，下列算式中计算结果最小的是（）。
A．a×B．a÷C．a÷D．无法确定第II卷（非选择题）二、填空题(共18分）6．(本题2分)在比例尺是1：600000的地图上，量的甲、乙两地之间的距离是15厘米，甲乙两地的实际距离是_____千米。
7．(本题2分)一个圆柱和一个圆锥等底等高，体积相差36立方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米，圆锥的体积是( )立方厘米。
8．(本题2分)一本故事书共160页，第一天看了全书的，第二天看了全书的，若第三天接着看，应从第_____页看起。
9．(本题2分)一种树的成活率是96%，植树3600棵成活了_____棵，要种活2400棵树需要种树_____棵。
10．(本题2分)A=2×3×5，B=3×5×7，A和B的最大公因数是________，最小公倍数是________．11．(本题2分)小明今年a岁，爸爸今年（a＋27）岁，3年后爸爸比小明大_____岁。
13．(本题2分)一个9位数，最高位是5，十万位上既是质数又是偶数，千位上是最小的合数，其余各位都是0，这个数写作_____，改写成万作单位的数是_____．14．(本题2分)甲、乙两袋米，由甲袋倒出110去给乙袋后，两袋米的重量相等，原来甲袋米比乙袋多_____%。