浙江省宁波市高一上学期数学期中考试试卷
浙江省宁波市高一上学期数学期中考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共10题；共20分)
1. （2分）下列不等式中解集为∅的是（）
A . x2≤0
B . |x﹣5|＞0
C .
D .
2. （2分） (2019高一上·盘山期中) 已知函数的定义域为（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） (2017高一上·钦州港月考) 若函数，那么（）
A . 1
B . 3
C . 15
D . 30
4. （2分）已知三个数，则三个数的大小关系是（）
A . a>b>c
B . b>c>a
C . a>c>b
D . c>b>a
5. （2分）(2018·吉林模拟) 函数的零点所在的区间为（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2016高二下·普宁期中) 若函数为奇函数，则a=（）
A .
B .
C .
D . 1
7. （2分） (2016高一上·玉溪期中) 已知函数f（x）=4x2﹣kx﹣8在[2，10]上具有单调性，则k的取值范围是（）
A . （﹣∞，﹣80]∪[﹣16，+∞）
B . [﹣80，﹣16]
C . （﹣∞，16]∪[80，+∞）
D . [16，80]
8. （2分） (2015高三上·潍坊期中) 设函数f（x）= ，若f（f（））=4，则b=（）
A . ﹣1
B . ﹣
C . ﹣1或﹣
D . 2
9. （2分）函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（）
A . ab=0
B . a+b=0
C . a=b
D . =0
10. （2分）下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共5题；共9分)
11. （5分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（b＞a），且f（x）≥0恒成立，则的最小值是（）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
12. （1分） (2016高二下·芒市期中) 已知函数f（x）=ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a=________．
13. （1分） (2016高一上·石嘴山期中) 设a＞1，函数f（x）=logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=________．
14. （1分） (2016高一上·苏州期中) 已知满足对任意x1≠x2 ，都有＞0成立，那么a的取值范围是________．
15. （1分）已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，若对任意的x，y∈R，等式f（y﹣3）+f（）=0恒成立，则的取值范围是________．
三、解答题 (共6题；共65分)
16. （10分） (2016高一上·鼓楼期中) 解方程ln（2x+1）=ln（x2﹣2）；
求函数f（x）=（）2x+2×（）x（x≤﹣1）的值域．
17. （10分）(2018高一上·河南月考) 已知集合，若
，，求p＋q＋r的值
18. （10分） (2019高一上·翁牛特旗月考) 在某服装商场，当某一季节即将来临时，季节性服装的价格呈现上升趋势．设一种服装原定价为每件70元，并且每周(7天)每件涨价6元，5周后开始保持每件100元的价格平稳销售；10周后，当季节即将过去时，平均每周每件降价6元，直到16周末，该服装不再销售．（1）试建立每件的销售价格 (单位：元)与周次之间的函数解析式；
（2）若此服装每件每周进价 (单位：元)与周次之间的关系为，，试问该服装第几周的每件销售利润最大？(每件销售利润＝每件销售价格－每件进价)
19. （10分） (2019高一上·会宁期中) 已知函数f（x）＝x2﹣2（a﹣1）x+4．
（1）若f（x）为偶函数，求f（x）在[﹣1，2]上的值域；
（2）若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，求f（x）在[-1，a]上的最大值．
20. （15分） (2019高一上·安庆月考) 已知函数是奇函数．
（1）求实数b的值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
21. （10分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，f（1）=1，且若∀a、b∈[﹣1，1]，a+b≠0，恒有
＞0，
（1）证明：函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数；
（2）解不等式；
（3）若对∀x∈[﹣1，1]及∀a∈[﹣1，1]，不等式f（x）≤m2﹣2am+1恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案一、单选题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共5题；共9分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
三、解答题 (共6题；共65分)
16-1、
17-1、
18-1、
18-2、19-1、
19-2、20-1、
20-2、
21-1、21-2、21-3、。
浙江省宁波市高一上学期数学期中试试卷
浙江省宁波市高一上学期数学期中试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 设 x，y 满足约束条件 的最小值为（ ）.，若目标函数 z=ax+by（a>0，b>0）的最大值是 12，则A.B.C. D.4 2. （2 分） 已知全集 U=R，集合 M=，集合，则集合等于（ ）A.B.C. D.3. （2 分） (2019 高一上·东台期中) 已知，A . 16 B.4 C . 15 D.8第 1 页 共 12 页，则集合的真子集的个数是（ ）4. （2 分） (2019 高一上·东台期中) 已知一个偶函数的定义域为 A. B. C. D.,则的值为（ ）5. （2 分） (2019 高一上·东台期中) 若集合 值范围为（ ），，且，则 的取A.B.C.D.6. （2 分） (2019 高一上·东台期中) 下列函数中，既是奇函数又在区间是增函数的是（ ）A. B.C. D . y=|x﹣1|7. （2 分） (2019 高一上·东台期中) 函数的图象的大致形状是（ ）A.第 2 页 共 12 页B.C.D. 8. （2 分） (2019 高一上·东台期中) 下列各组函数中表示同一函数的是（ ）A.与B.与C.与D.与9. （2 分） (2019 高一上·东台期中) 若函数 域是（ ）A.B.C. D.的定义域是,则函数第 3 页 共 12 页的定义10.（2 分）(2019 高一上·东台期中) 设 A. B. C. D.,,,则下列选项中正确的是（ ）11. （2 分） (2019 高一上·东台期中) 已知函数 调递减，则 的取值范围是（ ）A.，若在上单B.C.D.12. （2 分） (2019 高一上·东台期中) 已知集合 的元素个数为分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合，即个且元素为正整数，将集合，，，，其中，，，若集合中的元素满足，，,则称集合 为“完美集合”例如:“完美集合”,此时．若集合，为“完美集合”,则 的所有可能取值之和为（ ）A.B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)第 4 页 共 12 页13. （1 分） (2017 高二下·洛阳期末) 若函数 h（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）图象的对称中心为 M（x0 ， h （x0）），记函数 h（x）的导函数为 g（x），则有 g′（x0）=0，设函数 f（x）=x3﹣3x2+2，则 f（ ） +f （ ） +…+f（ ） +f（ ） =________．14. （1 分） 已知 a＞b＞1，且 2logab+4logba=9，则函数 f（x）=|b2x﹣a|的单调递增区间为________．15. （1 分） (2020 高一下·易县期中) 函数的定义域为________．16. （1 分） (2017 高一上·西城期中) 已知函数，则函数的零点是________．三、 解答题 (共 6 题；共 65 分)17. （10 分） 已知函数 f（x）=﹣x2+2|x|．（Ⅰ）判断并证明函数的奇偶性；（Ⅱ）写出函数 f（x）的单调区间（不需证明）；（Ⅲ）求 f（x）在[﹣3，2]上的最大值和最小值．18. （10 分） (2020·如东模拟) 某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示.圆 O 的圆心与矩形 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E 为上切点），与左右两边相交（F，G 为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域.已知圆的半径为 1 积为 S.，且，设，透光区域的面（1） S 关于 的函数关系式，并求出定义域； （2） 根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好.当该比值最大时，求边 AB 的长度.19. （10 分） (2019 高二上·宾县月考) 已知命题 对数第 5 页 共 12 页且有意义；命题 实数 满足不等式，若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.20.（10 分）(2019 高一上·东台期中) 已知函数（1） 求函数的定义域；，（且）．（2） 求使函数的值为负数的 的取值范围．21. （10 分） (2019 高一上·东台期中) 已知函数是偶函数,且时,．（1） 求函数的解析式；（2） 若函数在区间上的最小值是 ,求实数 的值．22. （15 分） (2019 高一上·东台期中) 已知函数过点．（1） 求的值；(其中 为常量,且)的图像经（2） 当时,函数的图像恒在函数图像的上方,求实数 的取值范围；（3） 是否存在实数,使得函数的值；若不存在,则说明理由.的定义域为,值域为?若存在,求出第 6 页 共 12 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 12 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 65 分)17-1、18-1、第 8 页 共 12 页18-2、 19-1、 20-1、第 9 页 共 12 页20-2、 21-1、21-2、第 10 页 共 12 页22-1、22-2、22-3、。
2023-2024学年浙江省宁波市高一上学期期中数学模拟试题(含解析)
将不等式 b a 3b 的两边同时乘以 1 可得： 3 a 1 ，
b
b
所以 0 a 3 ， b
故选. B
5. 设集合 S y | y 9 3x ，T x | y 9 3x ，则 S T （
A. [0, 3]
B. 0, 2
C. (, 3)
）
D. ,3
【正确答案】C
【分析】根据题意求出集合 S,T，再用并集运算即得解.
从而 f x x ，有 f 2022 2022 .
故选：D
8. 已 知 函 数 f x 是 定 义 在 , 上 的 奇 函 数 . 并 且 当 x 0 时 ， f (x) 2x x . 若
f 8a2 b2 f a2 ab 0 对任意的 b a 0 恒成立，则 的最大值是（ ）
1 x
2 y
的最小值为 4
2
D. 若 x2 xy 2 0, x 0, y 0 ，则 3x y 的最小值为 4
【正确答案】ABD
【分析】利用或构造基本不等式逐项分析即可.
【详解】对 A，因为 x 1 ，所以 x 1 0 ，
所以 x 1 1 2 x 1 1 2 ，
x 1
x 1
当且仅当
关于直线 x 1 对称，故选项 B 错误；
对于 C ，将函数 f x 的图象向右平移一个单位得到函数 f x 1 的图象，因为函数 f x 为奇函数，
则其图象关于原点 (0, 0) 对称，则函数 f x 1 的图象关于点 (1, 0) 中心对称，故选项 C 正确；
对于 D ，因为 f (1 x) f (x 3) 2 ，即 f (1 x) 1 [ f (3 x) 1]，则函数 f x 的图象关 于点 2,1 中心对称，故选项 D 正确，
浙江省宁波2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷含答案
浙江省宁波2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（答案在最后）1.已知集合{||11},{14}A x x B x x =-<=≤≤∣∣，则A B = （）A.{12}x x <<∣B.{12}xx ≤<∣C .{04}xx <<∣ D.{04}xx <≤∣【答案】B 【解析】【分析】先求集合A ，再根据交集运算求解即可.【详解】由题意，因为集合{|02},{|14}A x x B x x =<<=≤≤所以{|12}A B x x =≤< .故选：B.2.已知命题2000:1,0p x x x ∃≥-<，则命题p 的否定为（）A.200010x ,x x ∃≥-≥ B.200010x ,x x ∃<-≥C.210x ,x x ∀<-≥ D.210x ,x x ∀≥-≥【答案】D 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定方法对命题p 否定即可.【详解】由命题否定的定义可知，命题2000:1,0p x x x ∃≥-<的否定是：210x ,x x ∀≥-≥．故选：D.3.对于实数a ，b ，c ，下列结论中正确的是（）A.若a b >，则22>ac bcB.若>>0a b ，则11>a bC.若<<0a b ，则<a b b aD.若a b >，11>a b，则<0ab 【答案】D 【解析】【分析】由不等式的性质逐一判断．【详解】解：对于A ：0c =时，不成立，A 错误；对于B ：若>>0a b ，则11<a b，B 错误；对于C ：令2,a =-1b =-，代入不成立，C 错误；对于D ：若a b >，11>a b，则0a >，0b <，则<0ab ，D 正确；故选：D ．4.已知0x 是函数1()33xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的一个零点，则0x ∈（）A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由条件可得函数单调递减，再由零点存在定理即可得到结果.【详解】根据题意知函数1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间1,+∞上单调递减，函数()3f x x =-+在区间()1,∞+单调递减，故函数1()33xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间1,+∞上单调递减，又因1>2>3>0,4<0，又因()133xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()1,∞+上是连续不中断的，所以根据零点存在定理即可得知存在()03,4x ∈使得()00f x =.故选：C5.“2a ≤”是“函数()2()ln 1f x x ax =-+在区间[)2,+∞上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据复合函数的单调性求函数()2()ln 1f x x ax =-+在区间[)2,+∞上单调递增的等价条件，在结合充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】二次函数21y x ax =-+图象的对称轴为2a x =，若函数()2()ln 1f x x ax =-+在区间[)2,+∞上单调递增，根据复合函数的单调性可得2≤24−2+1>0，即52a <，若2a ≤，则52a <，但是52a <，2a ≤不一定成立，故“2a ≤”是“函数()2()ln 1f x x ax =-+在区间[)2,+∞上单调递增”的充分不必要条件．故选：A 6.函数22()1xf x x =+的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，即可判断A 、B ，再根据0x >时函数值的特征排除C.【详解】函数22()1x f x x =+的定义域为R ，且()()2222()11x x f x f x x x --==-=-+-+，所以22()1xf x x =+为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A 、B ；又当0x >时()0f x >，故排除C.故选：D7.已知42log 3x =，9log 16y =，5log 4z =，则x ，y ，z 的大小关系为（）A.y x z >>B.z x y >>C.x y z >>D.y z x>>【答案】C 【解析】【分析】利用对数运算法则以及对数函数单调性可限定出x ，y ，z 的取自范围，即可得出结论.【详解】根据题意可得2222log 3log 3x ==，2233log 4log 4y ==，5log 4z =利用对数函数单调性可知32223log 3log log log 22x ===，即32x >；又323333331log 3log 4log log log 32y ====<，可得312y <<；而55log 4log 51z ==<，即1z <；综上可得x y z >>.故选：C8.已知函数323log ,03()1024,3x x f x x x x ⎧<≤=⎨-+>⎩，若方程()f x m =有四个不同的实根()12341234,,,x x x x x x x x <<<，则()()3412344x x x x x --的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,0)- C.(4,2)- D.(2,0]-【答案】B 【解析】【分析】根据图象分析可得121x x =，()()343410,3,4,6,7x x x x +=∈∈，整理得3431233(4)(4)2410x x x x x x x ⎛⎫--=-++ ⎪⎝⎭，结合对勾函数运算求解.【详解】因为op =3log 3,0<≤32−10+24,>3，当3x >时()22()102451f x x x x =-+=--，可知其对称轴为5x =，令210240x x -+=，解得4x =或6x =；令210243x x -+=，解得3x =或7x =；当03x <≤时3()3log f x x =，令33log 3x =，解得13x =或3x=，作出函数=的图象，如图所示，若方程()f x m =有四个不同的实根12341234,,,()x x x x x x x x <<<，即()y f x =与y m =有四个不同的交点，交点横坐标依次为12341234,,,()x x x x x x x x <<<，则12341134673x x x x <<<<<<<<<，对于12,x x ，则3132log log x x =，可得3132312log log log 0x x x x +==，所以121x x =；对于34,x x ，则()()343410,3,4,6,7x x x x +=∈∈，可得4310x x =-；所以()()3434333431233334161024(4)(4)2410x x x x x x x x x x x x x x x -++--⎛⎫--===-++ ⎪⎝⎭，由对勾函数可知332410y x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在()3,4上单调递增，得()3324101,0x x ⎛⎫-++∈- ⎪⎝⎭，所以34123(4)(4)x x x x x --的取值范围是()1,0-.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是画出函数图象，结合函数图象分析出121x x =，()()343410,3,4,6,7x x x x +=∈∈，从而转化为关于3x 的函数；二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.函数1()21x f x -=+恒过定点(1,1)B.函数3x y =与3log y x =的图象关于直线y x =对称C.0x ∃∈R ，当0x x >时，恒有32x x >D.若幂函数()f x x α=在(0,)+∞单调递减，则0α<【答案】BCD 【解析】【分析】由指数函数的性质可判断A ；由反函数的性质可判断B ；由指数函数的增长速度远远快于幂函数，可判断C ；由幂函数的性质可判断D .【详解】对于A ，函数1()21x f x -=+恒过定点(1,2)，故A 错误；对于B ，函数3x y =与3log y x =的图象关于直线y x =对称，故B 正确；对于C ，因为指数函数的增长速度远远快于幂函数，所以0x x >时，恒有32x x >，故C 正确；对于D ，当0α<时，幂函数()f x x α=在(0,)+∞单调递减，故D 正确；故选：BCD .10.已知函数e 1()e 1x x f x +=-，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 的定义域为RB.函数()f x 的值域为(,1)(1,)-∞-+∞C.()()0f x f x +-=D.函数()f x 为减函数【答案】BC 【解析】【分析】根据分母不为0求出函数的定义域，即可判断A ；再将函数解析式变形为2()1e 1xf x =+-，即可求出函数的值域，从而判断B ；根据指数幂的运算判断C ，根据函数值的特征判断D.【详解】对于函数e 1()e 1x x f x +=-，则e 10x -≠，解得0x ≠，所以函数的定义域为{}|0x x ≠，故A 错误；因为e 1e 122()1e 1e 1e 1x x x x xf x +-+===+---，又e 0x >，当e 10x ->时20e 1x >-，则()1f x >，当1e 10x -<-<时22e 1x<--，则()1f x <-，所以函数()f x 的值域为(,1)(1,)-∞-+∞ ，故B 正确；又11e 1e 1e 1e 1e 1e ()()01e 1e 1e 11e e 11e xxxx x x x x x xx xf x f x --++++++-+=+=+=+------，故C 正确；当0x >时()0f x >，当0x <时()0f x <，所以()f x 不是减函数，故D 错误.11.已知0,0a b >>，且1a b +=，则（）A.22log log 2a b +≥- B.22a b +≥C.149a b +≥ D.33114a b ≤+<【答案】BCD 【解析】【分析】利用基本不等式求出ab 的范围，即可判断A ；利用基本不等式及指数的运算法则判断B ；利用乘“1”法及基本不等式判断C ；利用立方和公式及ab 的范围判断D.【详解】因为0,0a b >>，且1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等号，所以()22221log log log log 24a b ab +=≤=-，当且仅当12a b ==时取等号，故A 错误；22a b +≥=22a b =，即12a b ==时取等号，故B 正确；()14144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即13a =，23b =时取等号，故C 正确；()()()2332222313a b a b a ab b a ab b a b ab ab +=+-+=-+=+-=-，因为104ab <≤，所以3034ab <≤，所以11314ab ≤-<，即33114a b ≤+<，故D 正确.故选：BCD12.对于定义在[]0,1上的函数()f x 如果同时满足以下三个条件：①()11f =；②对任意[]()0,1,0x f x ∈≥成立；③当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有()()()1212f x f x f x x +≤+成立，则称()f x 为“天一函数”.若()f x 为“天一函数”，则下列选项正确的是（）A.()00f =B.()0.50.5f ≤C.()f x 为增函数 D.对任意[0,1]x ∈，都有()2f x x ≤成立【答案】ABD【分析】对于A ，令120x x ==，结合题中条件即可求解；对于B ，令120.5x x ==，结合题中条件即可求解；对于C ，令2121101X x x x X +>≥=≥=，结合性质②③可得()()21f X f X ≥，因此有()f x 在[]0,1x ∈上有递增趋势的函数(不一定严格递增)，即可判断；对于D ，应用反证法：若存在[]00,1x ∈，使0>20成立，讨论1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，结合递归思想判断0x 的存在性.【详解】对于A ，令120x x ==，则()()()000f f f +≤，即()00f ≤，又对任意[]()0,1,0x f x ∈≥成立，因此可得()00f =，故A 正确；对于B ，令120.5x x ==，则()()()0.50.51f f f +≤，又()11f =，则()0.50.5f ≤，故B 正确；对于C ，令2121101X x x x X +>≥=≥=，则221(0,1]x X X -∈=，所以()()()()()()12122121f X f X X f X f X f X f X X +-≤⇒-≥-，又对任意[]()0,1,0x f x ∈≥成立，则()221()0f x f X X =-≥，即()()210f X f X -≥，所以()()21f X f X ≥，即对任意1201x x ≤<≤，都有()()12f x f x ≤，所以()f x 在[]0,1x ∈上非递减，有递增趋势的函数(不一定严格递增)，故C 错误；对于D ，由对任意1201x x ≤<≤，都有()()12f x f x ≤，又()00f =，()11f =，故()[]0,1f x ∈，反证法：若存在[]00,1x ∈，使0>20成立，对于1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()1f x ≤，而21x ≥，此时不存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使0>20成立；对于10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，若存在010,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭使0>20成立，则()()()002f f x f x ≥，而[)020,1x ∈，则()()()()000022f x f x f x f x ≥+=，即0≥20>40，由()[)00,1f x ∈，依次类推，必有[)0,1∈t ，0()2nf t x >且*n ∈N 趋向于无穷大，此时()[0,1)f t ∈，而02nx 必然会出现大于1的情况，与>20矛盾，所以在10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上也不存在010,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭使0>20成立，综上，对任意[]0,1x ∈，都有()2f x x ≤成立，故D 正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：对于D ，应用反证及递归思想推出1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭情况下与假设矛盾的结论.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若23(1)()log (1)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则(0)(8)f f +=______.【答案】4【解析】【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】因为23(1)()log (1)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，所以()0031f ==，()32228log 8log 23log 23f ====，所以(0)(8)4f f +=.故答案为：414.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()22xf x x =-，则()()10f f -+＝__________．【答案】1-【解析】【分析】根据()f x 是定义在R 上的奇函数，可得(1)(1)f f -=-，(0)0f =，只需将1x =代入表达式，即可求出(1)f 的值，进而求出(1)(0)f f -+的值．【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，可得(1)(1)f f -=-，(0)0f =，又当0x >时，()22xf x x =-，所以12(1)211f =-=，所以(1)(0)101f f -+=-+=-．故答案为：1-【点睛】本题主要考查利用奇函数的性质转化求函数值，关键是定义的灵活运用，属于基础题．15.定义在R 上的偶函数()f x 满足：在[)0,+∞上单调递减，则满足()()211f x f ->的解集________.【答案】()0,1【解析】【分析】利用偶函数，单调性解抽象不等式【详解】因为()f x 为定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递减，所以()()()()211211f x f fx f ->⇔->，所以2111211x x -<⇔-<-<，即01x <<，故答案为：()0,116.设函数31()221x f x =-+，正实数,a b 满足()(1)2f a f b +-=，则2212b aa b +++的最小值为______.【答案】14##0.25【解析】【分析】首先推导出()()2f x f x +-=，再说明()f x 的单调性，即可得到1a b +=，再由乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】因为31()221x f x =-+，所以3132()221221xx xf x --=-=-++，所以331()()22221221x x x f x f x +-=-+-=++，又21x y =+在定义域R 上单调递增，且值域为()1,+∞，1y x =-在()1,+∞上单调递增，所以31()221x f x =-+在定义域R 上单调递增，因为正实数,a b 满足()(1)2f a f b +-=，所以10a b +-=，即1a b +=，所以()()222211212412b a b a a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()()2222211412b b a a b a a b ⎡⎤++=+++⎢⎥++⎣⎦()()22222111124444b a b a ab a b ⎡⎢≥++=++=+=⎢⎣，当且仅当()()222112b b a a a b ++=++，即35a =，25b =时取等号，所以2212b a a b +++的最小值为14.故答案为：14四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.计算下列各式的值.（1）20.5233727228)9643-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）2log 3223(lg5)lg2lg50log 3log 22+⨯+⋅+【答案】（1）229（2）5【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得；（2）根据对数的运算性质及换底公式计算可得.【小问1详解】20.5233727229643-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2223333212139245-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦2323332521334⎛⎫⨯- ⎪⨯⎝⎭⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭5162221399=+-+=.【小问2详解】2log 3223(lg5)lg2lg50log 3log 22+⨯+⋅+()210lg 3lg 2(lg 5)lg lg 10535lg 2lg 3⎛⎫=+⨯⨯+⋅+ ⎪⎝⎭()()2(lg5)1lg51lg513=+-⨯+++()()22lg 51lg 5135=+-++=.18.设全集为R ，已知集合{}2|280A x R x x =∈--≤，(){}2|550B x R x m x m =∈-++≤.（1）若3m =，求A B ，R A ð；（2）若R B A ⊆ð，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}25A B x R x ⋃=∈-≤≤；{2R A x x =<-ð或}4x >；（2）4m >.【解析】【分析】（1）先解不等式求出集合A ，B ，根据补集的概念，以及并集的概念，即可得出结果；（2）由（1）得出R A ð，再对m 分类讨论，即可得出结果.【详解】（1）因为{}{}228024A x R x x x R x =∈--≤=∈-≤≤，则{2R A x x =<-ð或}4x >；若3m =，则{}{}2815035B x R x x x R x =∈-+≤=∈≤≤，所以{}25A B x R x ⋃=∈-≤≤.（2）由（1）{2R A x x =<-ð或}4x >，()(){}|50B x R x x m =∈--≤，当5m =时，则{5}B =，满足R B A ⊆ð；当5m >时，则[5,]B m =，满足R B A ⊆ð；当5m <时，则[,5]B m =，为使R B A ⊆ð，只需4m >，所以45m <<.综上，4m >.19.为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年旳太阳能供电设备．使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C （单位：万元）与太阳能电池面积x （单位：平方米）之间的函数关系为4,0105(),10m xx C x m x x-⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，（m 为常数），已知太阳能电池面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元．安装这种供电设备的工本费为0.5x （单位：1万元），记()F x 为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和（1）写出()F x 的解析式；（2）当x 为多少平方米时，()F x 取得最小值？最小值是多少万元？【答案】（1）1607.5,010()8000.5,10x x F x x x x-≤≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩；（2）40平方米，最小值40万元.【解析】【分析】（1）根据给定的条件，求出m 值及()C x 的解析式，进而求出()F x 的解析式作答.（2）结合均值不等式，分段求出()F x 的最小值，再比较大小作答.【小问1详解】依题意，当5x =时，()12C x =，即有45125m -⨯=，解得80m =，则804,0105()80,10xx C x x x -⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，于是得1607.5,010()10()0.58000.5,10x x F x C x x x x x -≤≤⎧⎪=+=⎨+>⎪⎩，所以()F x 的解析式是1607.5,010()8000.5,10x x F x x x x-≤≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩.【小问2详解】由（1）知，当010x ≤≤时，()1607.5F x x =-在[0,10]上递减，min ()(10)85F x F ==，当10x >时，800()402x F x x =+≥=，当且仅当8002x x =，即40x =时取等号，显然4085<，所以当x 为40平方米时，()F x 取得最小值40万元.【点睛】方法点睛：在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．20.已知函数1()2(R)2xx m f x m -=-∈是定义在R 上的奇函数.（1）求m 的值；（2）根据函数单调性的定义证明()f x 在R 上单调递增；（3）设关于x 的函数()()()9143xxg x f m f =++-⋅有零点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2m =（2）证明见解析（3）(],3-∞【解析】【分析】（1）由奇函数性质(0)0f =求得参数值，再验证符合题意即可；（2）根据单调性的定义证明；（3）令()0g x =，结合()f x 的单调性得到9431x x m +=⋅-，参变分离可得1943x x m =-+-⨯，依题意可得关于x 的方程1943x x m =-+-⨯有解，令()1943xxh x =-⨯+-，则y m =与()y h x =有交点，利用换元法求出()h x 的值域，即可得解.【小问1详解】因为1()2(R)2xxm f x m -=-∈是定义在R 上的奇函数，所以(0)1(1)0f m =--=，解得2m =，当2m =时，1()2222xx xx f x -=-=-，满足()()f x f x -=-，()f x 是奇函数，所以2m =；【小问2详解】由（1）可得1()22x x f x =-，设任意两个实数12,R x x ∈满足12x x <，则1212121212111()()22(22)(1)2222xx x x x x x x f x f x -=--+=-+⋅，∵12x x <，∴12022x x <<，1211022x x +>⋅，∴12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 在R 上为单调递增；【小问3详解】令()0g x =，则()()9143xxf m f +=--⋅，又()f x 是定义在R 上的奇函数且单调递增，所以()()1943xxf m f +=⋅-，则9431x x m +=⋅-，则1943x x m =-+-⨯，因为关于x 的函数()()()9143xxg x f m f =++-⋅有零点，所以关于x 的方程1943x x m =-+-⨯有解，令()1943xxh x =-⨯+-，则y m =与()y h x =有交点，令3x t =，则()0,t ∈+∞，令()214H t t t +--=，()0,t ∈+∞，则()()222314H t t t t +-==---+，所以()H t 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减，所以()(],3H t ∈-∞，所以()(],3h x ∈-∞，则(],3m ∈-∞，即实数m 的取值范围为(],3-∞.21.设R a ∈，已知函数()y f x =的表达式为21()log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）当3a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）设0a >，若存在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得函数()y f x =在区间[],2t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(,1)(0,)-∞-⋃+∞（2）1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可；（2）根据函数的单调性求出最值，根据不等式有解分离参数求取值范围.【小问1详解】当3a =时，21()log 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，不等式()1f x >，即21log 31x ⎛⎫+>⎪⎝⎭，所以132x +>，即10x x +>，等价于()10x x +>，解得1x <-或0x >；所以不等式()1f x >的解集为(,1)(0,)-∞-⋃+∞；【小问2详解】因为0a >，1[,1]2t ∈，所以当[,2]x t t ∈+时，函数1y a x=+为减函数，所以函数()21log f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间[],2t t +上单调递减，又函数()y f x =在区间[],2t t +上最大值和最小值的差不超过1，所以()()21f t f t -+≤，即2211log ()log ()12a a t t +-+≤+，即222111log ()1log ()log 2()22a a a t t t +≤++=+++所以112()2a a t t +≤++，即存在1[,1]2t ∈使122a t t ≥-+成立，只需min122a t t ⎛⎫≥- ⎪+⎝⎭即可，考虑函数121,[,1]22y t t t =-∈+，221,[,1]22t y t t t -=∈+，令321,2r t ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，213,1,86826r y r r r r r⎡⎤==∈⎢⎥-+⎣⎦+-，设()8g r r r =+，其中31,2r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，任取123,1,2r r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且12r r <，则()()()212121212121888r r g r g r r r r r r r r r ⎛⎫--=+--=- ⎪⎝⎭，因为12r r <，所以210r r ->，因为123,1,2r r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2180r r -<，所以()()21g r g r <，所以函数()g r 在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以86y r r =+-在31,2r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，所以856,36r r ⎡⎤+-∈⎢⎥⎣⎦，116,8356r r⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+-，所以13a ≥，所以a 的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.22.已知函数43()21x x f x +=+，函数2()||1g x x a x =-+-.（1）若[0,)x ∈+∞，求函数()f x 的最小值；（2）若对1[1,1]x ∀∈-，都存在2[0,)x ∈+∞，使得()()21f x g x =，求a 的取值范围.【答案】（1）2（2）1313,,44⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】（1）首先利用指数运算，化简函数()()421221xx f x =++-+，再利用换元，结合对勾函数的单调性，即可求解函数的最值；（2）首先将函数()f x 和()g x 在定义域的值域设为,A B ，由题意可知B A ⊆，()02g ≥，确定a 的取值范围，再讨论去绝对值，求集合B ，根据子集关系，比较端点值，即可求解.【小问1详解】若[)0,x ∈+∞，()()()()221221442122121x x x x xf x +-++==++-++，因为[)0,x ∈+∞，令212x t =+≥，则()42,2y t t t=+-≥，又因为42y t t=+-在[)2,+∞上单调递增，当2t =，即0x =时，函数取得最小值2；【小问2详解】设()f x 在[)0,+∞上的值域为A ，()g x 在[]1,1-上的值域为B ，由题意可知，B A ⊆，由（1）知[)2,A =+∞，因为()012g a =-≥，解得：3a ≥或3a ≤-，当3a ≥时，且[]11,1x ∈-，则10x a -<，可得()222111111151124g x x a x x x a x a ⎛⎫=-+-=-+-=-+- ⎪⎝⎭，可得()1g x 的最大值为()11g a -=+，最小值为1524g a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即5,14B a a ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，可得524a -≥，解得：134a ≥，当3a ≤-时，且[]11,1x ∈-，10x a ->，可得()222111111151124g x x a x x x a x a ⎛⎫=-+-=+--=+-- ⎪⎝⎭，可知，()1g x 的最大值为()11g a =-，最小值为1524g a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即5,14B a a ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦，可得524a --≥，解得：134a ≤-，综上可知，a 的取值范围是1313,,44⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求函数()g x 的值域，根据()02g ≥，缩小a 的取值范围，再讨论去绝对值.。
2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A ＝{x ∈Z |﹣7＜2x ﹣3＜4}，B ＝{﹣1，3，5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1}B ．{﹣1，3}C ．{3，5}D ．{﹣1，3，5}2．设a ＝30.5，b =(13)−0.4，c ＝log 0.30.4，则（ ） A ．a ＞b ＞c B ．c ＞a ＞bC ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c3．函数f(x)=2x 32x −2−x 的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．4．已知a ，b 为正实数，且满足1a+2b+1a+3=12，则a +b 的最小值为（ ） A ．12B ．1C ．52D ．25．已知函数f(x)=log 12(x 2+ax −2a)在[1，+∞）上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，1）B ．[﹣2，+∞）C ．[﹣2，1）D ．（﹣∞，﹣2]6．已知x ，y ∈R ，则“x +|x ﹣1|＜y +|y ﹣1|”是“x ＜y ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数f(x)=x −√x 2−4x +3的值域为（ ） A ．（﹣∞，3]B ．[1，3]C ．（﹣∞，1]∪[3，+∞）D ．（﹣∞，1]∪（2，3]8．已知f （x ）＝﹣x 2+2|x |+1，若方程[f （x ）]2+mf （x ）+n ＝0（m ，n ∈R ）恰好有三个互不相等的实根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．m ＜﹣3B ．m ≤﹣2C ．m ＜﹣3或m ＞﹣2D ．m ＝﹣2或m ＜﹣3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
2022-2023学年浙江省宁波中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年浙江省宁波中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}{}|20,2,1,0,1A x x B =-≤≤=-- ，则 A B =（ ） A ．{2,1,0,1}-- B ．{1,0,1}-C ．{2,1}--D ．{2,1,0}--【答案】D【分析】根据集合交集运算规则运算即可.【详解】对于集合A ，20x -≤≤ ，集合B 中的元素10> ，{}2,1,0A B ∴=-- ； 故选：D.2．命题“21,10x x ∀≥-<”的否定是（ ） A ．21,10x x ∃≥-≥ B ．21,10x x ∃<-≥ C ．21,10x x ∃<-≥ D ．21,10x x ∀<-<【答案】A【分析】根据全称命题的否定直接求解判断即可.【详解】解：命题“21,10x x ∀≥-<”的否定是“21,10x x ∃≥-≥”. 故选：A.3．下列哪组中的两个函数是同一函数（ ）A ．2y =与y x =B ．0y x =与1y =C ．211x y x -=-与1y x =+D ．y y x =【答案】D【解析】根据同一函数的概念，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，2y =的定义域为[)0,∞+，y x =的定义域为R ，定义域不同，故A 错；B 选项，0y x =的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，1y =的定义域为R ，定义域不同，故B 错；C 选项，211x y x -=-的定义域为()(),11,-∞+∞，1y x =+的定义域为R ，定义域不同，故C 错；D 选项，y =y x =的定义域都为R ，且y x =，对应关系一致，故D 正确. 故选：D.4．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式2a a >可得：1a >或a<0， 据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 5．设121333211,,333a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】A【分析】利用函数()13f x x =与()13xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调性可比较a ，b ，c 的大小.【详解】因()13f x x =在()0+∞，上单调递增，则11332133⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得a c >. 因()13xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0+∞，上单调递减，则21331133⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得b c <.则a c b >>. 故选：A6．已知函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，若(4)()f a f a ->，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(－∞，2) B ．(2，＋∞) C ．(－∞，－2) D ．(－2，＋∞)【答案】A【分析】先判断函数单调性，然后利用其单调性解不等式.【详解】解：当0x ≥时，2()4f x x x =+，其对称轴为2x =-且函数图像开口向上，所以2()4f x x x =+在[0,)+∞上为增函数，且()(0)0f x f ≥=当0x <时，2()4f x x x =-，其对称轴为2x =且函数图像开口向下，所以2()4f x x x =-在(,0)-∞上为增函数，且()(0)0f x f <=，所以()f x 在R 上为增函数， 因为(4)()f a f a ->， 所以4a a ->，解得2a <， 故选：A【点睛】此题考查了分段函数的单调性，由函数的单调性解不等式，属于基础题. 7．已知0x >，0y > ，满足2210x xy +-=，则2x y +的最小值是（ ）AB C D 【答案】D【分析】由条件可得122xy x =-，代入11232x y x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求出最值.【详解】正实数x ，y 满足2210x xy +-=， 122xy x ∴=-，13111122323222222x x y x x x x x x x ⎛⎫∴+=+-=+=+⨯= ⎪⎝⎭x = 2x y ∴+故选D【点睛】本题考查了基本不等式的应用问题，解题的关键是31222x y x x+=+，使它能利用基本不等式，是基础题目．8．已知函数()()2,f x x ax b a b R =++∈，记集合(){}|0A x R f x =∈≤，()(){}|10B x R f f x =∈+≤，若A B =≠∅，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]4,4- B ．[]22-, C ．[]2,0- D ．[]0,4【答案】B【分析】设集合{|()0}[A x R f x m =∈=，]n ，利用{|(()1)0}B x R f f x =∈+，若A B =≠∅，求出m ，n ，即可求出实数a 的取值范围．【详解】解：设集合{|()0}[A x R f x m =∈=，]n ， 则由(()1)0f f x +，()1m f x n +，1()1m f x n ∴--，10n ∴-=，1n ∴=，()(1)(1)f x x a x ∴=++-，(1)m a ∴=-+， 1()min m f x -，2214a a a ∴-----且(1)1a -+， 22a ∴-． 故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的性质，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、多选题9．若函数()f x 同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；②对于定义域上的任意12,x x ，当12x x ≠时，恒()()12120f x f x x x -<-，则称函数()f x 为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（ ）A ．()f x x =-B ．()f x =C ．()3f x x x =+D ．()23f x x =-【答案】AB【分析】根据①②知“理想函数”()f x 是定义域上的奇函数且在定义域内单调递减，依次判断各个选项即可得到结果.【详解】由①知：()f x 为定义域上的奇函数；由②知：()f x 在定义域内单调递减； 对于A ，()f x x =-为R 上的奇函数且在R 上单调递减，符合“理想函数”定义，A 正确； 对于B ，()13f x x ==-为R 上的奇函数且在R 上单调递减，符合“理想函数”定义，B 正确；对于C ，()3f x x x =+为R 上的奇函数且在R 上单调递增，不符合“理想函数”定义，C 错误；对于D ，()23f x x =-是R 上的非奇非偶函数，不符合“理想函数”定义，D 错误. 故选：AB.10．下列选项中正确的是（ ）A ．不等式a b +≥B ．存在实数a ，使得不等式12a a+≤成立 C ．若a ，b 为正实数，则2b aa b+≥D ．若正实数x ，y 满足21x y +=，则218x y+≥【答案】BCD【分析】根据基本不等式的条件与“1”的用法等依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，当0,0a b <<时不成立，故错误； 对于B 选项，当a<0时，()112a a a a ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当且仅当1a =-等号成立，故正确；对于C 选项，若a ，b 为正实数，则0,0b a a b >>，所以2b a a b +≥=，当且仅当a b =时等号成立，故正确；对于D 选项，由基本不等式“1”的用法得()212142448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =时等号成立，故正确. 故选：BCD11．已知实数,x y 满足3311log log 33x yx y ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．11x y> B ．33x y < C ．21x y -< D ．ln()0y x ->【答案】ABC【解析】构造函数31()log ()3xf x x =-，判断其在()0,∞+上单调递增，可得0x y <<，再利用单调性逐一分析选项中的不等式是否成立即可.【详解】因为3311log log 33x yx y ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，所以,x y R +∈，由3311log log ()()33x y x y -<-变形得3311log ()log ()33x yx y -<-，令函数31()log ()3xf x x =-，因为31log ,()3xy x y ==-都在()0,∞+递增，所以函数31()log ()3xf x x =-在()0,∞+上单调递增，3311log ()log ()33x y x y -<-即()()f x f y <，所以0x y <<，因为函数1y x=在()0,∞+上单调递减，所以11x y>，A 正确； 因为函数3y x =在()0,∞+上单调递增，所以33x y <，B 正确；因为0x y -<，函数2x y =在(),-∞+∞上单调递增，所以0221x y -<=，C 正确； 0y x ->，ln()y x -的符号可正可负，D 错.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是构造函数31()log ()3xf x x =-，并判断其单调性，再根据单调性得到0x y <<.12．已知函数2e ,0()4,0x x f x x x x ⎧≥=⎨--<⎩，方程2()()0f x t f x -⋅=有四个实数根1234,,,x x x x ，且满足1234x x x x <<<，下列说法正确的是（ ）A ．14(6ln2,0]x x ∈-B ．1234x x x x +++的取值范围为[8,82ln 2)--+C ．t 的取值范围为[1,4)D ．23x x 的最大值为4 【答案】BC【分析】2()()0()[()]0()0f x t f x f x f x t f x -⋅=⇒-=⇒=或()=f x t ，作出函数f (x )图像，数形结合即可求解.【详解】2()()0()[()]0()0f x t f x f x f x t f x -⋅=⇒-=⇒=或()=f x t ， 作出()y f x =的图象，当()0f x =时，14x =-，有一个实根；当1t =时，有三个实数根，∴共四个实根，满足题意；当4t =时，()f x t =只有两个实数根，所以共三个实根，不满足题意，此时与e x y =的交点坐标为(2ln 2,4).要使原方程有四个实根，等价于()f x t =有三个实根，等价于y ＝f (x )与y ＝t 图像有三个交点，故[1,4)t ∈，4[0,2ln 2)x ∈，所以14(8ln 2,0]x x ∈-，故A 错误，C 正确；又因为234x x +=-，所以123448x x x x x +++=-+的取值范围为[8,82ln 2)--+），B 正确；因为23234,0x x x x +=-<<，所以()()()223232342x x x x x x -+⎡⎤=-⋅-<=⎢⎥⎣⎦，故D 错误．故选：BC.三、填空题 13．求值：2213log 42728⎛⎫-= ⎪⎝⎭_____________． 【答案】2-【分析】根据对数的运算性质以及分数指数幂的运算，化简、计算可得答案.【详解】2223133log 42711223924844⨯⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪=⎪⎝⎭⎝⎭, 故答案为：2-.14．已知函数()32bf x x ax x=+++，若()106f =，则()10f -=______．【答案】2-【分析】根据题意，求出()f x -的表达式，分析可得()()4f x f x +-=，则有(10)(10)4f f +-=，又由()10f 的值，计算可得答案．【详解】根据题意，函数()32b f x x ax x =+++，则()32b f x x ax x ⎛⎫-=-+++ ⎪⎝⎭，则()()4f x f x +-=，故(10)(10)4f f +-=， 因为()106f =，所以()102f -=-， 故答案为：2-15．若实数x ，y 满足x ＞y ＞0，且log2x ＋log2y ＝1，则22x y x y+-的最小值为__________．【答案】4【详解】由log 2x ＋log 2y ＝1，得xy ＝2，＝＝＝x －y ＋≥4，则的最小值为4.16．已知0a >，b ∈R ，当0x >时，()1102ax x b x ⎛⎫---≥ ⎪⎝⎭恒成立，则a b +的最小值是_____________． 2【解析】根据题中条件，先讨论10x a<<，根据不等式恒成立求出12a b a ≥-；再讨论1x a ≥，根据不等式恒成立，求出12a b a ≤-，结合题意，得到12ab a =-，再由基本不等式，即可求出结果.【详解】因为0a >，（1）当10x a <<时，10ax ；不等式()1102ax x b x ⎛⎫---≥ ⎪⎝⎭恒成立，可化为102x b x --≤在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，即12b x x ≥-在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，因为12y x x =-在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上显然单调递增，所以1122a x x a -<-， 因此只需12ab a ≥-；（2）当1x a ≥时，10ax -≥；不等式()1102ax x b x ⎛⎫---≥ ⎪⎝⎭恒成立，可化为102x b x --≥在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即12b x x ≤-在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立， 因为12y x x =-在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上显然单调递增，所以1122a x x a ->-， 因此只需12a b a ≤-； 综上，只能12a b a =-，所以12a b a a b =+≥==+当且仅当12a a=，即a =..【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方四、解答题17．已知集合{}21A x m x m =-<<+，{}|05B x x =<<. (1)若1m =，求A B ⋂；(2)若A B A =，求实数m 的取值范围. 【答案】(1){}|02x x << (2)[]2,4【分析】（1）{}|12A x x =-<<，{}|05B x x =<<，计算交集得到答案.（2）A B A =，故A B ⊆，得到2015m m -≥⎧⎨+≤⎩，解得答案.【详解】（1）当1m =时，{}|12A x x =-<<，{}|05B x x =<< 所以{}{}{}|2|02|510A x x B x x x x =-<<<=<<<.（2）因为A B A =，所以A B ⊆，所以2015m m -≥⎧⎨+≤⎩，解得24m ≤≤，所以实数m 的取值范围为[]2,4.18．已知函数()2f x x ax b =-+(),a b ∈R .（1）若不等式()0f x >的解集为()(),12,-∞-+∞，求实数a ，b 的值.（2）当0b =时，解关于x 的不等式()0≤f x . 【答案】（1）1,2a b ==-；（2）详见解析 【解析】（1）由()0f x >的解集为()(),12,-∞-+∞，可知1-和2是方程20x ax b -+=的两实数根，根据韦达定理，可得到关于,a b 的方程组，求解即可；（2）当0b =时，()2f x x ax =-，进而分0a =，0a >和a<0三种情况，分别解不等式()0≤f x ，即可求出答案.【详解】（1）因为不等式()0f x >的解集为()(),12,-∞-+∞，所以1-和2是方程20x ax b -+=的两实数根，则2112a b -=⎧⎨-⨯=⎩，即1,2a b ==-.（2）当0b =时，()2f x x ax =-.若0a =，则()20f x x =≤，解得0x =；若0a >，则()()0f x x x a =-≤，解得0x a ≤≤； 若a<0，则()()0f x x x a =-≤，解得0a x ≤≤.19．2020年初，武汉爆发了新冠肺炎交情，在全国人民的一起势力下得到了有效的控制．为进一步做好预防工作，市场上大型空气净化设备的品求量急剧上升．金华某企业生产大型空气净化设备，年固定成本300万元，每生产N (*)x x ∈台设备，另需投入成本t 万元，若年产量不足100台，则21602t x x =+；若年产量不小于100台，则242001524700t x x =+-，每台设备售价150万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完．(1)写出年利润y （万元）关于年产量x （台）的关系式； (2)年产量为多少台时，该企业所获利润最大？【答案】(1)()()2**190300,0100,N 22420024400,100,N x x x x y x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎪--+≥∈⎪⎩ (2)年产量为110台时【分析】（1）分年产量不足100台和年产量不小于100台两种情况进行分析，结合利润=总收入-总投入，即得结果；（2）讨论分段函数最值，即得结果.【详解】（1）解：依题意，若年产量不足100台， 另外投本21602t x x =+，固定投本300万，总收入150x 万元， 故利润2211150603009030022y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭； 若年产量不小于100台， 另外投本242001524700t x x=+-，固定投本300万，总收入150x 万元， 故利润2420024200150152470030024400y x x x x x ⎛⎫=-+--=--+ ⎪⎝⎭， 故()()2**190300,0100,N 22420024400,100,N x x x x y x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎪--+≥∈⎪⎩； （2）解：当*0100,N x x <<∈时，21903002y x x =-+-， 当90x =时，max 3750y =，当*100,N x x ≥∈时，2420024400y x x =--+，242002440044003960x x --+≤-=， 当且仅当242002x x=，即110x =时，取等号， 所以此时max 3960y =，因为39603750>，所以当年产量为110台时，该企业所获利润最大.20．已知函数2()log (1)=+f x x ，2()log (1)g x x =-．(1)求函数()()()h x f x g x =-的定义域；(2)若不等式2()log (1)m h x x x >-在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 取值范围． 【答案】(1)()1,1- (2)409m <<【分析】（1）利用对数的函数的性质可求得函数()()()h x f x g x =-的定义域；（2）利用对数的函数的性质去掉对数符号，转化为含参不等式恒成立问题，参变分离后求最值可得答案．【详解】（1）解：2221()log (1)log (1)log 1x h x x x x+=+--=-， 函数定义域满足1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<， ∴函数()()()h x f x g x =-的定义域为()1,1-；（2）解：21()log 1x h x x+=-，所以2()log (1)m h x x x >-，即221log log 1(1)x m x x x +>-- 因为函数2log y x =在()0,∞+上单调递增 所以11(1)x m x x x +>--在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，又(1)0x x ->，所以20m x x <<+ 又函数221124y x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()2min 49x x += 则409m <<. 21．已知函数()x xa ka f x k--=（0a >，且1a ≠）是奇函数. (1)求实数k 的值；(2)若2a =，()()222x x g x a a mf x -=+-，且()g x 在[]01，上的最小值为1，求实数m 的值. 【答案】(1)1(2)1【分析】(1)利用在0x =处有意义的奇函数的性质即可求解；(2)结合已知条件，利用换元法和一元二次函数性质，并对参数m 分类讨论即可求解.【详解】（1）因为()f x 是定义域为R 得奇函数，所以()00f =，即10k k -=，解得1k =. （2）当2a =时，22()222(22)x x x x g x m --=+--()2222(22)2x x x x m --=---+令()22x x t f x -==-，因为()22x x f x -=-在[0,1]x ∈是增函数，所以3[0,]2t ∈.令2()22h t t mt =-+22()2t m m =-+-，3[0,]2t ∈，①若0m ≤，()h t 在3[0,]2上单调递增， 故()(0)21min h t h ==≠，不合题意；②若302m <<，()h t 在[0,)t 上单调递减，在3[,]2t 上单调递增， 故2()()21min h t h m m ==-=，解得1m =±， 因为302m <<，所以1m =； ③若32m ≥，()h t 在3[0,]2上单调递减， 故317()()3124min h t h m ==-=解得133122m =<，舍去. 综上所述，1m =.22．已知函数()()21f x x x x a =+--（1）若1a =，解不等式()1f x ≤；（2）若函数()f x 在[22]-，上单调递增，求实数a 的取值范围； （3）记函数()f x 在[22]-，上最大值为()g a ，求()g a 的最小值. 【答案】（1）{}|1x x ≤；（2）13a ≥或9a ≤-；（3）4. 【解析】（1）由1a =，先化简函数解析式，再讨论1x ≥和1x <两种情况，分别解所求不等式，即可得出结果；（2）先将函数解析式，写出分段函数的形式，分别讨论14a a +=，14a a +<，14a a +>三种情况，根据函数单调性，即可求出结果； （3）讨论13a ≥或9a ≤-，92a -<≤-，21a -<<-，113a -≤<四种情况，结合函数单调性，即可得出最大值()g a ，进而可求出()g a 最小值.【详解】（1）1a =时，()2221,121,1x x x f x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩， 当1x ≥时，()1f x ≤可化为22211x x -+≤，解得1x =：当1x <时，()1f x ≤可化为211x -≤，解得1x <，综上，不等式的解集为{}|1x x ≤.（2）()()()221,1,x a x a x a f x a x a x a ⎧-++≥⎪=⎨+-<⎪⎩，因为()()221f x x a x a =-++是开口向上，对称轴为14a x +=的二次函数， 当14a a +=，即13a =时，()f x 在R 上显然单调递增，满足题意； 当14a a +<，即13a >时，()f x 在R 上为增函数，满足题意； 当14a a +>，即13a <时，为使函数()f x 在[22]-，上单调递增，需满足：124a +≤-，解得9a ≤-； 综上，13a ≥或9a ≤-； （3）由（2）知：当13a ≥或9a ≤-，则()f x 在[]2.2-上单调递增，所以()()242g a f a ==+-； 当92a -<≤-，则()()221f x x a x a =-++，对称轴104a x +=<，所以()()242g a f a ==+-； 当21a -<<-时， ()()(){}{}max 2,2max 432,4242g a f f a a a =-=-++-=+-； 当113a -≤<时，()()(){}{}2max ,2max ,42g a f a f a a ==+-， 因()()()2242632<0a a a a a a -+-=+-=+-，所以()()242g a f a ==+-.综上，()()242g a f a ==+-，当2a =时，()min 4g a =.【点睛】方法点睛：求解含参二次函数在给定区间的最值问题时，通常需要利用分类讨论的的方法进行求解，考虑对称轴在给定区间左侧、右侧或位于区间内的情况，结合函数单调性，即可求解.。
2023-2024学年浙江省宁波市余姚中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省宁波市余姚中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M ＝{﹣1，0，2，4}，N ＝{0，2，3，4}，则M ∪N 等于（ ） A ．{0，2} B ．{2，4}C ．{0，2，4}D ．{﹣1，0，2，3，4}2．设x ∈R ，则“x 2﹣5x ＜0”是“|x ﹣1|＜1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知扇形的周长为30cm ，圆心角为3rad ，则此扇形的面积为（ ） A ．9cm 2 B ．27cm 2C ．48cm 2D ．54cm 24．函数f(x)=|x 2−1|x的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．5．已知函数f （x ）＝log 2（2﹣x ）的值域为（﹣∞，1]，则函数f （2x ）的定义域为（ ） A ．[0，+∞）B ．[0，2）C ．[0，1）D ．（﹣∞，1）6．某工厂引用某海水制盐需要对海水过滤某杂质，按市场要求，该杂质含量不能超过0.01%，若初时含杂质0.2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，为使产品达到市场要求，至少应过滤的次数为（ ）提示：lg 2≈0.3010、lg 3≈0.4771． A ．6B ．7C ．8D ．97．已知函数y ＝f （x ）是定义在R 上的偶函数，对任意x 1，x 2∈[0，+∞），且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0成立，若a ＝f （log 153•log 155），b =f(cos 11π4)，c ＝f （50.1），则（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b8．已知函数f(x)={ln(x +1)+m ，x ≥0ax −b +1，x ＜0(m ＜−1)，对于任意s ∈R ，且s ≠0，均存在唯一实数t ，使得f（s ）＝f （t ），且s ≠t ，若关于x 的方程|f(x)|=f(m 2)有3个不相等的实数根x 1，x 2，x 3（x 1＜x 2＜x 3），则x 1+x 2﹣x 3的取值范围是（ ） A ．（1﹣e 2，+∞） B ．（﹣∞，1﹣e 2） C ．(12−e 2，0)D ．(−∞，12−e 2)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的0分. 9．下列说法正确的是（ ） A ．π10化成角度是18° B ．﹣120°化成弧度是−56π C ．﹣330°与750°的终边相同D ．若sinθ⋅cosθ=12，则tanθ+cosθsinθ=2 10．用二分法求函数f （x ）＝x 3+x 2﹣2x ﹣2的一个零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：f （1）＝﹣2，f （1.5）＝0.625，f （1.25）≈﹣0.984，f （1.375）≈﹣0.260，则下列说法正确的是（ ） A ．函数f （x ）在（1.25，1.5）上有零点 B ．已经达到精确度，可以取1.375作为近似值 C ．没有达到精确度，应该接着计算f （1.3125）D ．没有达到精确度，应该接着计算f （1.4375）11．函数f(x)=x1+|x|(x ∈R)，以下四个结论正确的是（ ） A ．f （x ）的值域是（﹣1，1）B ．函数y ＝f （x ）的图像与函数g(x)=log 2x+1x−1图像的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3），…，（x m ，y m ），则x 1+x 2+x 3+…+x m ＝2C ．若规定f 1（x ）＝f （x ），f n +1（x ）＝f （f n （x ）），则对任意的n ∈N *，f n (x)=x1+n|x| D ．对任意的x ∈[﹣1，1]，若函数f(x)≤t 2−2at +12恒成立，则当a ∈[﹣1，1]时，t ≤﹣2或t ≥2 12．已知x ，y ＞0，x +2y +xy ﹣6＝0，则（ ） A ．xy 的最大值为√2B ．x +2y 的最小值为4C ．x +y 的最小值为4√2−3D ．（x +2）2+（y +1）2的最小值为16三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知角α的终边经过点（m ，2m ）（m ＞0），则sin α＝ ． 14．lg25+23lg8−3log 23×log 32+2log 23= ． 15．已知函数f(x)=(10−3a)(a2−6a+8)x（a ＜103且a ≠3）是定义在R 上的增函数，则实数a 的取值范围为 ．16．若定义在区间[﹣2021，2021]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2021，2021]，都有f （x 1+x 2）＝f （x 1）+f （x 2）﹣2023，且x ＞0时，有f （x ）＞2023，f （x ）的最大值为M ，最小值为N ，则f （0）＝ ，M +N 的值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合M ={x|18＜2x ＜32}，N ＝{x |0＜x ＜8}，C ＝{x |a ＜x ＜2a ﹣1}． （1）求M ∩N ；（2）若M ∪C ＝M ，求实数a 的取值范围． 18．（12分）已知tanα+1tanα=52，α∈(0，π4)． （1）求tan α的值；（2）求2sin 2(3π−α)−3cos(π2+α)sin(3π2−α)+2的值． 19．（12分）已知函数f(x)={1−1x ，x ≥1，1x−1，0＜x ＜1．（1）若关于f （x ）的方程f （x ）＝a 有解，求实数a 的取值范围；（2）若存在正实数a ，b （a ＜b ），使得函数f （x ）的定义域为[a ，b ]时，值域为[ma ，mb ]（m ≠0），求实数m 的取值范围．20．（12分）某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，如表显示的是某企业几年来利润y （百万元）与年投资成本x （百万元）变化的一组数据：给出以下3个函数模型：①y ＝﹣x +b ；②y ＝ab x （a ≠0，b ＞0，且b ≠1）；③y ＝log a （x +b ）（a ＞0，且a ≠1）．（1）选择一个恰当的函数模型来描述x ，y 之间的关系，并求出其解析式； （2）试判断该企业年利润6百万元时，该企业是否要考虑转型．21．（12分）已知函数f（x）＝log2（4x+1）．（1）解关于x的方程[f（x）+1][f（x）﹣1]＝3；（2）设函数g（x）＝2f（x）+12f(x)−1−2b(2x+2−x)−1+b2(b∈R)，若g（x）在1≤x≤2上的最小值为2，求b的值．22．（12分）已知函数g(x)=lg(√x2+a−x)，若g（x）是定义在R上的奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断函数g（x）的单调性，若g（bx2+2）＞g（2x+1）在[2，3]上有解，求实数b的取值范围；（3）若函数f(x)=1−2|x−12|，判断函数y＝f[f（x）]﹣g（﹣x）在区间[0，1]上的零点个数，并说明理由．2023-2024学年浙江省宁波市余姚中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M ＝{﹣1，0，2，4}，N ＝{0，2，3，4}，则M ∪N 等于（ ） A ．{0，2} B ．{2，4}C ．{0，2，4}D ．{﹣1，0，2，3，4}解：∵集合M ＝{﹣1，0，2，4}，N ＝{0，2，3，4}，∴M ∪N ＝{﹣1，0，2，3，4}． 故选：D ．2．设x ∈R ，则“x 2﹣5x ＜0”是“|x ﹣1|＜1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：由x 2﹣5x ＜0，得0＜x ＜5；由|x ﹣1|＜1，得﹣1＜x ﹣1＜1，即0＜x ＜2． ∵（0，5）⊃（0，2），由“|x ﹣1|＜1”⇒“x 2﹣5x ＜0”，反之不成立． ∴“x 2﹣5x ＜0”是“|x ﹣1|＜1”的必要不充分条件． 故选：B ．3．已知扇形的周长为30cm ，圆心角为3rad ，则此扇形的面积为（ ） A ．9cm 2B ．27cm 2C ．48cm 2D ．54cm 2解：令扇形的半径为r ，则2r +3r ＝5r ＝30⇒r ＝6cm ， 所以此扇形的面积为12×3×62=54cm 2．故选：D ． 4．函数f(x)=|x 2−1|x的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．解：因为函数f(x)=|x 2−1|x的定义域{x |x ≠0}， f （﹣x ）=−|x 2−1|x=−f （x ）， 所以f （x ）为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A ； 当x ＞0时，f （x ）＞0，排除选项C ； 当x →+∞时，f （x ）→+∞，排除选项B ． 故选：D ．5．已知函数f （x ）＝log 2（2﹣x ）的值域为（﹣∞，1]，则函数f （2x ）的定义域为（ ） A ．[0，+∞）B ．[0，2）C ．[0，1）D ．（﹣∞，1）解：由f （x ）＝log 2（2﹣x ）值域为（﹣∞，1]，得0＜2﹣x ≤2， 故0≤x ＜2，即f （x ）的定义域为[0，2），令0≤2x ＜2得0≤x ＜1，故f （2x ）的定义域为[0，1）． 故选：C ．6．某工厂引用某海水制盐需要对海水过滤某杂质，按市场要求，该杂质含量不能超过0.01%，若初时含杂质0.2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，为使产品达到市场要求，至少应过滤的次数为（ ）提示：lg 2≈0.3010、lg 3≈0.4771． A ．6B ．7C ．8D ．9解：由题意可知0.2%×(23)n ≤0.01%，即(23)n ≤120， 两边取对数化为：n ≥lg 120lg 23=−1−lg2lg2−lg3≈7.4，则至少应过滤8次才能使产品达到市场要求． 故选：C ．7．已知函数y ＝f （x ）是定义在R 上的偶函数，对任意x 1，x 2∈[0，+∞），且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0成立，若a ＝f （log 153•log 155），b =f(cos 11π4)，c ＝f （50.1），则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b解：因为0＜log 153＜12，0＜log 155＜log 1515＝1， 所以0＜log 153•log 155＜12， 因为cos11π4=cos(2π+3π4)=cos 3π4=−√22，50.1＞50＝1， 又因为函数y ＝f （x ）是定义在R 上的偶函数， 所以b =f(cos 11π4)=f(−√22)=f(√22)， 又因为对任意 x 1，x 2∈[0，+∞），且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1＞0成立，所以函数y ＝f （x ）在[0，+∞）上单调递增，且 50.1＞√22＞log 153•log 155， 所以a ＜b ＜c ． 故选：A ．8．已知函数f(x)={ln(x +1)+m ，x ≥0ax −b +1，x ＜0(m ＜−1)，对于任意s ∈R ，且s ≠0，均存在唯一实数t ，使得f（s ）＝f （t ），且s ≠t ，若关于x 的方程|f(x)|=f(m2)有3个不相等的实数根x 1，x 2，x 3（x 1＜x 2＜x 3），则x 1+x 2﹣x 3的取值范围是（ ） A ．（1﹣e 2，+∞） B ．（﹣∞，1﹣e 2） C ．(12−e 2，0)D ．(−∞，12−e 2)解：由题意可知f （x ）在[0，+∞）上单调递增，值域为[m ，+∞），∵对于任意s ∈R ，且s ≠0，均存在唯一实数t ，使得f （s ）＝f （t ），且s ≠t ， ∴f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，值域为（m ，+∞）， ∴a ＜0，且﹣b +1＝m ，即b ＝1﹣m ．∵|f(x)|=f(m2)有3个不相等的实根x 1，x 2，x 3（x 1＜x 2＜x 3）， ∴f(m2)=−m⇒a •m 2+m ＝﹣m ⇒a ＝﹣4，x 1=m2，x 2＝0，ln （x 3+1）+m ＝﹣m ⇒x 3=e −2m −1，∴x 1+x 2−x 3=m 2−1e2m +1， 又h （m ）=m 2−1e 2m +1(m ＜−1)是增函数，ℎ(−1)=12−e 2， ∴x 1+x 2﹣x 3的取值范围是(−∞，12−e 2)． 故选：D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的0分. 9．下列说法正确的是（ ） A ．π10化成角度是18° B ．﹣120°化成弧度是−56π C ．﹣330°与750°的终边相同D ．若sinθ⋅cosθ=12，则tanθ+cosθsinθ=2 解：因为π10rad =18°，所以选项A 正确；因为−120°=−2π3rad ，所以选项B 不正确； 750°﹣（﹣330°）＝3×360°，所以两个角的终边相同，故C 正确； 原式=sinθcosθ+cosθsinθ=sin 2θ+cos 2θsinθcosθ=112=2，故D 正确． 故选：ACD ．10．用二分法求函数f （x ）＝x 3+x 2﹣2x ﹣2的一个零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：f （1）＝﹣2，f （1.5）＝0.625，f （1.25）≈﹣0.984，f （1.375）≈﹣0.260，则下列说法正确的是（ ） A ．函数f （x ）在（1.25，1.5）上有零点 B ．已经达到精确度，可以取1.375作为近似值 C ．没有达到精确度，应该接着计算f （1.3125）D ．没有达到精确度，应该接着计算f （1.4375） 解：∵f （1.25）f （1.5）≈﹣0.984×0.625＜0，∴由函数零点存在定理知，方程x 3+x 2﹣2x ﹣2＝0在区间（1.25，1.5）有实根， 而1.5﹣1.375＝0.125＞0.1，没有达到精确度的要求，应该接着计算f （1.4375）． 故选：AD ．11．函数f(x)=x1+|x|(x ∈R)，以下四个结论正确的是（ ） A ．f （x ）的值域是（﹣1，1）B ．函数y ＝f （x ）的图像与函数g(x)=log 2x+1x−1图像的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3），…，（x m ，y m ），则x 1+x 2+x 3+…+x m ＝2C ．若规定f 1（x ）＝f （x ），f n +1（x ）＝f （f n （x ）），则对任意的n ∈N *，f n (x)=x1+n|x|D ．对任意的x ∈[﹣1，1]，若函数f(x)≤t 2−2at +12恒成立，则当a ∈[﹣1，1]时，t ≤﹣2或t ≥2 解：A ．∵0≤|x |＜1+|x |，∴0≤|x|1+|x|＜1， ∴x 1+|x|∈(−1，1)，∴f （x ）的值域为（﹣1，1），故A 正确；B ．f(x)=x1+|x|的定义域为R ，关于原点对称， 又f(−x)=−x 1+|−x|=−x1+|x|=−f(x)，∴f(x)=x1+|x|为奇函数，g(x)=log 2x+1x−1也是奇函数， ∴x 1+x 2+x 3+⋯+x m ＝0，故B 错误； C ．当n ＝1时，f 1(x)=f(x)=x 1+|x|，f 2(x)=x1+2|x|， f 3(x)=x1+3|x|，以此类推，则f n (x)=x1+n|x|，故C 正确； D ．由B 可知，∀x ∈[﹣1，1]，f （x ）为增函数，∴f （x ）max =f(1)=12，要使f(x)≤t 2−2at +12恒成立， 则t 2−2at +12≥12，∴t 2﹣2at ≥0． 设h （a ）＝﹣2ta +t 2，当a ∈[﹣1，1]时，{ℎ(1)=−2t +t 2≥0ℎ(−1)=2t +t 2≥0，则{t ≥2或t ≤0t ≥0或t ≤−2，∴t ≤﹣2或t ＝0或t ≥2，故D 错误．故选：AC ．12．已知x ，y ＞0，x +2y +xy ﹣6＝0，则（ ） A ．xy 的最大值为√2B ．x +2y 的最小值为4C ．x +y 的最小值为4√2−3D ．（x +2）2+（y +1）2的最小值为16解：A ，由x +2y +xy ﹣6＝0，得x +2y ＝6﹣xy ≥2√2xy ，当且仅当x ＝2y 时等号成立， 令√xy =t （t ＞0），则t 2+2√2t ﹣6≤0，解得0＜t ≤√2． 所以√xy ≤√2，即xy ≤2．所以xy 的最大值为2，A 错误， B ，由基本不等式得x +2y ≥2√2xy ，则(x+2y)28≥xy ，又x +2y +xy ﹣6＝0，得xy ＝6﹣（x +2y ），所以(x+2y)28≥6﹣（x +2y ），所以（x +2y ）2+8（x +2y ）﹣48≥0，解得x +2y ≥4或x +2y ≤﹣12（舍去），当且仅当x ＝2、y ＝1时等号成立，则x +2y 的最小值为4，B 正确，C ，令x +y ＝m ，则m ＞0，所以y ＝m ﹣x ，故x +2y +xy ﹣6＝0可化为x +2（m ﹣x ）+x （m ﹣x ）﹣6＝0，整理得x 2+（1﹣m ）x +6﹣2m ＝0，由Δ≥0，得（1﹣m ）2﹣4×（6﹣2m ）≥0，即m 2+6m ﹣23≥0，解得m ≥4√2−3或m ≤﹣4√2−3（舍去），C 正确，D ，∵（x +2）2+（y +1）2≥2（x +2）（y +1）＝2（xy +x +2y +2）＝16，当且仅当y ＝x +1时等号成立，D 正确， 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知角α的终边经过点（m ，2m ）（m ＞0），则sin α＝ 2√55．解：∵角α的终边经过点P （m ，2m ），∴x ＝m ，y ＝2m ，r =|OP|=√m 2+(2m)2=√5m ， ∴sinα=y r =2√55． 故答案为：2√55．14．lg25+23lg8−3log 23×log 32+2log 23= 2 ． 解：原式＝lg 25+lg 4﹣3log 23×log 32+3＝lg 100﹣3+3＝2． 故答案为：2．15．已知函数f(x)=(10−3a)(a2−6a+8)x（a ＜103且a ≠3）是定义在R 上的增函数，则实数a 的取值范围为 {a |a ＜2或3＜a ＜103} ． 解：因为函数f(x)=(10−3a)(a2−6a+8)x(a ＜103)是定义在R 上的增函数，所以{10−3a ＞1a 2−6a +8＞0或{0＜10−3a ＜1a 2−6a +8＜0，解得a ＜2或3＜a ＜103，故实数a 的取值范围为{a |a ＜2或3＜a ＜103}． 故答案为：{a |a ＜2或3＜a ＜103}．16．若定义在区间[﹣2021，2021]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2021，2021]，都有f （x 1+x 2）＝f （x 1）+f （x 2）﹣2023，且x ＞0时，有f （x ）＞2023，f （x ）的最大值为M ，最小值为N ，则f （0）＝ 2023 ，M +N 的值为 4046 ．解：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2021，2021]，都有f （x 1+x 2）＝f （x 1）+f （x 2）﹣2023， 令x 1＝x 2＝0，得f （0）＝2023，再令x 1+x 2＝0，则f （x ）+f （﹣x ）＝f （0）+2023＝4046， 设x 1＜x 2，x 1，x 2∈[﹣2021，2021]，则x 2﹣x 1＞0，f （x 2﹣x 1）＝f （x 2）+f （﹣x 1）﹣2023， 所以f （x 2）+f （﹣x 1）﹣2023＞2023， 又f （﹣x 1）＝4046﹣f （x 1），所以可得f （x 2）＞f （x 1），即函数f （x ）是严格增函数， 所以f （x ）max ＝f （2021），f （x ）min ＝f （﹣2021）， 又因为f （2021）+f （﹣2021）＝4046， 所以M +N 的值为4046． 故答案为：2023；4046．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合M ={x|18＜2x ＜32}，N ＝{x |0＜x ＜8}，C ＝{x |a ＜x ＜2a ﹣1}． （1）求M ∩N ；（2）若M ∪C ＝M ，求实数a 的取值范围．解：（1）因为M ={x|18＜2x ＜32}={x|−3＜x ＜5}， 又因为N ＝{x |0＜x ＜8} 所以M ∩N ＝{x |0＜x ＜5}； （2）由M ∩C ＝C ，可得C ⊆M ， 当C ＝∅时，a ≥2a ﹣1，解得a ≤1， 当C ≠∅且C ⊆M 时，∴{a ≥−3a ＜2a −1，2a −1≤5解得1＜a ≤3，综上所述：a 的取值范围是{a |a ≤3}．18．（12分）已知tanα+1tanα=52，α∈(0，π4)． （1）求tan α的值；（2）求2sin 2(3π−α)−3cos(π2+α)sin(3π2−α)+2的值．解：（1）因为tanα+1tanα=52，所以2tan 2α﹣5tan α+2＝0，解得tanα=12或tan α＝2， 又α∈(0，π4)，0＜tan α＜1， 所以tanα=12；（2）2sin 2(3π−α)−3cos(π2+α)sin(3π2−α)+2 =2sin 2(π−α)+3cos(π2+α)sin(π2−α)+2 ＝2sin 2α﹣3sin αcos α+2=2sin 2α−3sinαcosαsin 2α+cos 2α+2=2tan 2α−3tanαtan 2α+1+2=2×(12)2−3×12(12)2+1+2=65．19．（12分）已知函数f(x)={1−1x ，x ≥1，1x−1，0＜x ＜1．（1）若关于f （x ）的方程f （x ）＝a 有解，求实数a 的取值范围；（2）若存在正实数a ，b （a ＜b ），使得函数f （x ）的定义域为[a ，b ]时，值域为[ma ，mb ]（m ≠0），求实数m 的取值范围．解：（1）当x ≥1时，y =1−1x在[1，+∞）单调递增，所以y ≥0， 当0＜x ＜1时，y =1x −1在（0，1）单调递减，所以y ＞0， 所以f （x ）的值域为[0，+∞），故a ∈[0，+∞）．（2）若存在实数a ，b （a ＜b ），使得函数y ＝f （x ）的定义域为[a ，b ]时，值域为[ma ，mb ]． 则a ＞0，m ＞0．当此时得a ，b 异号，不符合题意，所以a ，b 不存在．a ，b ∈（0，1）时，由于f （x ）在（0，1）上是减函数，故{31a −1=mb41b −1=ma，当a ∈（0，1），b ∈[1，+∞）时，易知0在值域内，值域不可能是[ma ，mb ]，所以a ，b 不存在．故只有a ，b ∈[1，+∞）∵f （x ）在[1，+∞）上是增函数， ∴{f(a)=maf(b)=mb即{1−1a =ma 1−1b =mb，1，b 是方程mx 2﹣x +1＝0的两个根．即关于x 的方程mx 2﹣x +1＝0有两个大于1的实根．设这两个根为x 1，x 2． 则x 1+x 2=1m ，x 1x 2=1m∴{Δ＞0(x 1−1)+(x 2−1)＞0(x 1−1)(x 2−1)＞0即{1−4m ＞01m−2＞0解得0＜m ＜14，故m 的取值范围是（0，14）．20．（12分）某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，如表显示的是某企业几年来利润y （百万元）与年投资成本x （百万元）变化的一组数据：给出以下3个函数模型：①y ＝﹣x +b ；②y ＝ab x （a ≠0，b ＞0，且b ≠1）；③y ＝log a （x +b ）（a ＞0，且a ≠1）．（1）选择一个恰当的函数模型来描述x ，y 之间的关系，并求出其解析式； （2）试判断该企业年利润6百万元时，该企业是否要考虑转型．解：（1）由表格中的数据可知，年利润y 是随着投资成本x 的递增而递增， 而①y ＝﹣x +b 是单调递减， 所以不符合题意，将（3，1），（5，2）代入y ＝ab x （a ≠0，b ＞0，且b ≠1），得{ab 3=1ab 5=2，解得{a =√24b =√2，∴y =√24⋅(√2)x =2x−32．当x ＝9时，y ＝23＝8， 所以不符合题意，将（3，1），（5，2）代入y ＝log a （x +b ）（a ＞0，且a ≠1）， 得{log 2(3+b)=1log a (5+b)=2， 解得{a =2b =−1，∴y ＝log 2（x ﹣1）， 当x ＝9时，y ＝log 28＝3， 当x ＝17时，y ＝log 216＝4， 所以符合题意，故可用③来描述x ，y 之间的关系； （2）令log 2（x ﹣1）＝6， 则x ＝65， ∵年利润665≈9.2%＜10%，即年利润低于10%， ∴该企业要考虑转型．21．（12分）已知函数f （x ）＝log 2（4x +1）． （1）解关于x 的方程[f （x ）+1][f （x ）﹣1]＝3； （2）设函数g （x ）＝2f （x ）+12f(x)−1−2b(2x +2−x )−1+b 2(b ∈R)，若g （x ）在1≤x ≤2上的最小值为2，求b 的值．解：（1）∵f(x)=log 2(4x +1)≥0．∴由方程[f （x ）+1][f （x ）﹣1]＝3，可得f （x ）＝2， ∴log 2(4x +1)=2，则4x ＝3，得x ＝log 43； （2）∵2f（x ）＝4x +1，∴函数g(x)=2f(x)+12f(x)−1−2b(2x +2−x )−1+b 2(b ∈R)=4x +14x −2b(2x +12x )+b 2=(2x +12x )2−2b(2x +12x )+b 2−2，令t =2x +12x ，（1≤x ≤2），则t ∈[52，174]， 则h （t ）＝t 2﹣2bt +b 2﹣2＝（t ﹣b ）2﹣2，t ∈[52，174]． 当b ≤52时，g （x ）在[1，2]上的最小值为ℎ(52)=2， 整理可得4b 2﹣20b +9＝0，解答b =92（舍）或b =12； 当b ≥174时，g （x ）在[1，2]上的最小值为ℎ(174)=2， 整理可得16b 2﹣136b +225＝0，解得b =94（舍）或b =254； 当2＜b ＜52时，g （x ）在[1，2]上的最小值为h （b ）＝﹣2≠2． 综上所述，实数b 的值为12或254．22．（12分）已知函数g(x)=lg(√x 2+a −x)，若g （x ）是定义在R 上的奇函数． （1）求实数a 的值；（2）判断函数g （x ）的单调性，若g （bx 2+2）＞g （2x +1）在[2，3]上有解，求实数b 的取值范围； （3）若函数f(x)=1−2|x −12|，判断函数y ＝f [f （x ）]﹣g （﹣x ）在区间[0，1]上的零点个数，并说明理由．解：（1）∵g （x ）是定义在R 上的奇函数， ∴g （0）＝0，∴lg √a =0，解得a ＝1．（2）g （x ）在R 上单调递减，证明如下：令u(x)=√x 2+1−x ，易知u （x ）＞0恒成立，则g （x ）＝lgu （x ）， 设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2， 则u(x 1)−u(x 2)=√x 12+1−x 1−√x 22+1+x 2=(√x 12+1−√x 22+1)−(x 1−x 2)=1222√x 1+1+√x 2+1−(x 1−x 2)=(x 1−x 2)(12√x 1+1+√x 2+1−1)，∵x 1＜x 2，∴x 1﹣x 2＜0，又∵√x 12+1＞|x 1|，√x 22+1＞|x 2|，∴12√x 12+1+√x 22+1≤12√x 12+1+√x 22+11，12√x 12+1+√x 22+1−1＜0，∴(x 1−x 2)(12√x 1+1+√x 2+1−1)＞0，∴u （x 1）﹣u （x 2）＞0，即u （x 1）＞u （x 2）， 又∵x 1＜x 2，∴u(x)=√x 2+1−x 在R 上单调递减． 又∵lgu 在（0，+∞）上单调递增，u （x ）∈（0，+∞）， ∴g （x ）在R 上单调递减．由g （bx 2+2）＞g （2x +1），且g （x ）在R 上单调递减， 可得bx 2+2＜2x +1，即bx 2＜2x ﹣1， 也即b ＜2x −1x 2有解，令1x=t ，由x ∈[2，3]可知t ∈[13，12]． ∴b ＜2t ﹣t 2≤（2t ﹣t 2）max 2t ﹣t 2＝﹣（t ﹣1）2+1， ∵t ∈[13，12]， ∴(2t −t 2)max =34， ∴{b |b ＜34}；（3）易知g(−x)=lg(√x 2+1+x)，f(x)=1−2|x −12|={2−2x ，x ≥12，2x ，x ＜12．， f(f(x))=1−2|f(x)−12|={2−2f(x)，f(x)≥122f(x)，f(x)＜12．∴当x ∈[0，1]时可知：f(f(x))={ 4x ，0≤x ≤14，2−4x ，14＜x ≤12，4x −2，12＜x ≤34，4−4x ，34＜x ≤1． ∵f （f （0））＝g （0）＝0，f(f(34))=1，而g(−34)=lg2＜1． 易知：两个函数图像之间有四个公共点．∴函数y ＝f [f （x ）]﹣g （﹣x ）在[0，1]上有且只有四个零点．。
浙江省宁波市2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷含解析
宁波2023学年第一学期高一数学期中考试卷（答案在最后）考生须知：1．本卷满分100分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷．第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本题共8小题．每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.命题“x ∀∈Z ，20x >”的否定为（）A.x ∀∈Z ，20x ≤B.x ∀∉Z ，20x ≤ C.x ∃∈Z ，20x ≤ D.x ∃∉Z ，20x ≤【答案】C 【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断.【详解】由题意可得：命题“x ∀∈Z ，20x >”的否定为“x ∃∈Z ，20x ≤”.故选：C.2.“1x >-”是“2230x x -++<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】解一元二次不等式，再由充分条件、必要条件判断即可.【详解】由2230x x -++<可得2230x x -->，解得3x >或1x <-，因为1x >-成立推不出3x >或1x <-，而3x >或1x <-成立不能推出1x >-，故“1x >-”是“2230x x -++<”的既不充分也不必要条件.故选：D 3.函数()11x f x a +=-（1a >）的图象必经过点（）A.()0,1- B.()1,1-- C.()0,0 D.()1,0-【答案】D【分析】令10x +=即可求解.【详解】令10x +=，则=1x -，代入函数()11x f x a +=-，解得0y =，则函数()11x f x a +=-（1a >）的图象必经过点()1,0-.故选：D4.设1lg 202a =+4log 5b =，则2b a +的值为（）A.2+B.1+C.27D.26【答案】B 【解析】【分析】根据对数的运算法则及性质化简求值即可.【详解】因为1lg 202a =+4log 5b =，所以41log 5log 24lg10412b a =++==++，故选：B5.函数()321y x =+的图象可以看成将某个奇函数的图象（）A .向左平移1个单位得到B.向左平移12个单位得到C.向右平移1个单位得到 D.向右平移12个单位得到【答案】B 【解析】【分析】根据函数的平移变换规则判断即可.【详解】()321y x =+可以由()32y x =向左平移12个单位得到，其中()()32y g x x ==定义域为R 且()()()()3322g x x x g x -=-=-=-，即()32y x =为奇函数.故选：B6.函数()f x =）A.(]2,3 B.[][)1,23,⋃+∞ C.()[),23,-∞⋃+∞ D.[)[)1,23,+∞【解析】【分析】根据题意结合分式不等式运算求解.【详解】由题意可得：()()21302--≥-x x x ，因为()210x -≥，原不等式等价于302x x -≥-，等价于()()32020x x x ⎧--≥⎨-≠⎩，解得3x ≥或2x <，所以函数()f x 的定义域为()[),23,-∞⋃+∞.故选：C.7.若不等式240x ax ++≤对任意实数[]3,1x ∈--恒成立，则实数a 的最小值为（）A.0B.4C.133D.5【答案】D 【解析】【分析】通过分离常量，将恒成立问题转化成求最值，利用函数的单调性求解即可．【详解】当[]3,1x ∈--时，240x ax ++≤恒成立，即4a x x ⎛⎫≥-+⎪⎝⎭恒成立，令4(),[3,1]g x x x x ⎛⎫=-+∈-- ⎪⎝⎭，1212122112124()()((4)4x x g x g x x x x x x x x x ⎛⎫--=-+++=- ⎪⎝⎭当[]12,3,2x x ∈--且12x x <时，2112120,40,0x x x x x x ->->>，则12()()0g x g x ->，当[)121,2,x x --∈且12x x <时，2112120,40,0x x x x x x ->-<>，则12()()0g x g x -<，可得()g x 在[]3,2--上单调递减，在(]2,1--上单调递增，又13(3),(2)4,(1)53g g g -=-=-=，所以()g x 最大值为(1)5g -=，∴5a ≥，则实数a 的最小值为5．故选：D ．8.已知函数()f x =，()()g x f x =，则使()25204g m g m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≥成立的实数m 的取值范围为（）A.11,28⎡⎤--⎢⎣⎦B.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.11,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】跟函数的单调性、奇偶性化简不等式()25204g m g m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≥，由此求得m 的取值范围.【详解】依题意，()f x =，由12010x x +≥⎧⎨-≥⎩解得112x -≤≤，所以()f x 的定义域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.由112x -≤≤，解得11x -≤≤，所以()()g x f x =的定义域为[]1,1-，由于()()()()g x fx f x g x -=-==，所以()g x 是偶函数.当01x ≤≤时，()()()g x fx f x ===所以当10x -≤≤时，()g x 为减函数.由()25204g m g m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≥得()2524g m g m ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以225245121411m m m m ⎧+≥⎪⎪⎪-≤+≤⎨⎪-≤≤⎪⎪⎩，解得11,28m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.故选：A【点睛】求解含有函数符号的不等式的方法，主要是考虑奇偶性、单调性、定义域等方面，特别是定义域是很容易忽略的地方，求解函数的性质前，首先必须求得函数的定义域，要在函数的定义域的范围内来对函数进行研究.二、选择题：本题共4小题．每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列函数与,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩表示同一函数的是（）A.y x =B.y =C.2y =D.2x y x=【答案】AB 【解析】【分析】根据同一函数的概念判断即可．【详解】,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩的定义域为R ．,0,0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩，与,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩定义域与对应关系均相同，故A 正确；,0,0x x y x x x ≥⎧===⎨-<⎩，与,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩定义域与对应关系均相同，故B 正确；2y =的定义域为[0,)+∞，与,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩定义域不同，故C 错误；2x y x =的定义域为{}|0x x ≠，与,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩定义域不同，故D 错误．故选：AB ．10.下列说法中正确的是（）A.若a b >，则22a b >B.若0a b >>，则11a b b a+>+C.若a b >，c d >，则ac bd > D.若0a b >>，0c <，则c ca b>【答案】ABD 【解析】【分析】根据不等式的性质，即可判断.【详解】对A ，若a b >，则22a b >，A 正确；对B ，若0a b >>，则110b a >>，则11a b b a+>+，B 正确；对C ，若a b >，c d >，设2,1,1,2a b c d ===-=-，此时ac bd =，C 错误；对D ，若0a b >>，0c <，则110b a >>，则c cb a<，D 正确.故选：ABD11.已知正实数a ，b 满足1a b +=，则下列选项中正确的是（）A.ab 的最大值为12 B.11a b+的最小值为4C.22a b +的最大值为12 D.22a b +的最小值为【答案】BD 【解析】【分析】根据基本不等式，结合已知条件判断ab 、11a b+、22a b +、22a b +的最值，注意不等式等号成立的条件，进而判断各项的正误.【详解】对A ，由a b +≥，又1a b +=，所以14ab ≤，当且仅当12a b ==时等号成立，A 错误；对B ，1111()224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立，B 正确；对C ，由22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭得()2222()a b a b +≥+，即2212a b +≥，当且仅当12a b ==时等号成立，C 错误；对D ，由22a b +≥=，当且仅当12a b ==时等号成立，D 正确.故选：BD12.已知函数()22f x x x =--，()2g x x =-，用{}max ,m n 表示m ，n 中的最大值，x ∀∈R ，记函数()()(){}max ,h x f x g x =，则下列选项中正确的是（）A.方程()2h x =有3个解B.方程()()f h x k =最多有4个解C.()1h x x >+的解集为⎪()1,3,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭D.方程()()h h x x =在[)0,x ∈+∞上的根为1+【答案】ABC 【解析】【分析】根据定义求得()h x 的表达式，作出()h x 的图象，利用图象可判断ABD ，结合()y h x =的图象分类讨论解不等式()1h x x >+判断C ．【详解】由222x x x -->-得0x <或2x >，即此时2()2h x x x =--，02x ≤≤时，()2h x x =-，作出()h x 的图象，如图，由图象可知，()2h x =有两个解，()2h x =-有一个解，即()2h x =有3个解，A 正确；例如0k =时，由2()20f x x x =--=得=1x -或2x =，显然()1h x =-与()2h x =都有2个解，因此(())0f h x =有4个解，又()f x m =与()h x n =都最多有2个解，因此B 正确；作出()y h x =的图象和直线1y x =+，如下图，由21x x -=+得12x =，由221x x x -->+，解得1x <-或3x >，结合()y h x =的图象与直线1y x =+知C 正确；02x ≤≤时，()2h x x =-，由(())h h x x =得2(2)(2)2x x x ----=的解是35x =35x =+舍去），2x >时，2()2h x x x =--，由222x x --=得1172x +=（1172舍去），11722x +<≤时，由(())h h x x =得2(2)2x x x ---=，无解，1172x +>时，由(())h h x x =得222(2)(2)2x x x x x ------=，化简22x x x --=或22x x x --=-，2x =±13x =±，只有13x =符合题意，其它均舍去，因此在[0,)+∞上的解是35-13+D 错．故选：ABC ．第Ⅱ卷（非选择题部分，共60分）三、填空题：本题共4小题．每小题3分，共12分．13.已知12x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则()f x 的解析式为______________．【答案】22x -【解析】【分析】利用换元法求函数解析式.【详解】令12=+xt ，则22x t =-，可得()22=-f t t ，所以()22f x x =-.故答案为：22x -.14.已知集合{}2,2,1A a a a a =---，若1A -∈，则实数a 的值为______________．【答案】1-或0【解析】【分析】根据元素与集合关系列式求解，利用元素的互异性进行验证.【详解】由题意，1A -∈，若1a =-，此时223,11a a a -=---=，符合题意；若21a -=-，则1a =，此时211a a --=-，不符合题意；若211a a --=-，则1a =或0a =，1a =时，221,11a a a -=---=-，不符合题意；0a =时，222,11a a a -=---=-，符合题意，综上，1a =-或0a =.故答案为：1-或0.15.设函数()22x axf x +=在区间()0,1上单调递增，则a 的取值范围是______________．【答案】[0,)+∞【解析】【分析】根据题意，由复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】函数2x y =在R 上单调递增，而函数()22x axf x +=在区间()0,1上单调递增，故需2y x ax =+在区间()0,1上单调递增，即02a-≤，即0a ≥.则a 的取值范围是[0,)+∞.故答案为：[0,)+∞16.函数2167x y x x -=-+，0x >的值域为______________．【答案】21,,47∞∞⎛⎤+⎛⎫--⋃-+ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦【解析】【分析】由题意分析可得关于x 的方程()261710-+++=yx y x y 有正根，分0y =和0y ≠两种情况，结合二次函数分析求解.【详解】因为2167x y x x -=-+，整理得()261710-+++=yx y x y ，可知关于x 的方程()261710-+++=yx y x y 有正根，若0y =，则10x -+=，解得1x =，符合题意；若0y ≠，则211670⎛⎫-+++= ⎪⎝⎭x x y y ，可得1602170y y ⎧+⎪≤⎪⎨⎪+<⎪⎩或2160211Δ6470y y y ⎧+⎪>⎪⎪⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎪=+-+≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得17<-y或14≥y 且10≠y ，则107-<<y 或0y >或224y +≤-；综上所述：17>-y 或224y +<-，即函数2167x y x x -=-+，0x >的值域为21,,47∞∞⎛⎤+⎛⎫--⋃-+ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦.故答案为：21,,47∞∞⎛⎤+⎛⎫--⋃-+ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦.四、解答题：本题共6小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：（110.7531160.1258-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭；（2）已知11222a a -+=，求133a a a a --++的值．【答案】（1）298（2）1【解析】【分析】（1）指数的运算法则及性质化简求解；（2）根据式子的结构特征，利用完全平方公式及立方和公式化简即可得解.【小问1详解】10.7531160.1258-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭213334(0.75)2712182⨯⨯-⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3912142-=-++298=【小问2详解】因为11222a a -+=，所以21112224a a a a --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，即12a a -+=，所以()212224a a a a --+=++=，即222a a -+=，所以1133122221111(21)()1a a a a a a a a a a a a -------+-+++====++-.18.设集合{}52A x x =-<，{}121B x m x m =+≤≤-．（1）当5m =时，求A B ⋃R ð；（2）若A B B = ，求实数m 的取值范围．【答案】18.{R |7A B x x ⋃=<ð或9}x ≥19.{|4m m <且2}m ≠【解析】【分析】（1）求集合A 与R B ð，再结合并集的概念计算即可；（2）因为A B B = ，所以B A ⊆，分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，由B A ⊆列不等式组，求解集即可.【小问1详解】由题意得{}{}|52|37A x x x x =-<=<<，当5m =时，{}|69B x x =≤≤，所以{R |6B x x =<ð或}9x >，所以{R |7A B x x ⋃=<ð或}9x >.【小问2详解】因为A B B = ，所以B A ⊆，当121m m +>-，即2m <时，B =∅，满足B A ⊆.当2m =时，{}3B =，不满足题意，当121m m +<-，即m>2时，要使B A ⊆成立，只需13,217,m m +>⎧⎨-<⎩即24m <<.综上，当B A ⊆时，m 的取值范围是{|4m m <且}2m ≠.19.已知函数()3131-=+x x f x ．（1）判断()f x 在R 上单调性并证明；（2）当1x ≥时，()()g x f x =，且x ∀∈R ，()()11g x g x +=-，求()g x 的解析式．【答案】（1）证明见解析；（2）31,131()93,193x x x xx g x x ⎧-≥⎪⎪+=⎨-⎪<⎪+⎩.【解析】【分析】（1）根据单调性的定义证明，设12,R x x ∈，且12x x <，()()120f x f x -<；（2）由()()11g x g x +=-转化为()()2g x g x =-，设1x <时，则21x ->，代入解析式，即可求解.【小问1详解】设12,R x x ∈，且12x x <，()()()()()x x x x x x x x f x f x ----=+++=+-1212121212313123331313131，12x x < ，,,x x x x ∴<>>1212333030，则()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在R 上单调递增.【小问2详解】当1x ≥时，()3131x x g x -=+，由x ∀∈R ，()()11g x g x +=-，即()()2g x g x =-，当1x <时，则21x ->，则()22319331932x xx x g x ---=--=++，则当1x <时，()xx g x -=+9393，故函数()g x 的解析式为31,131()93,193x x x xx g x x ⎧-≥⎪⎪+=⎨-⎪<⎪+⎩.20.（1）若x ∀∈R ，210ax ax -+>，求实数a 的取值范围；（2）若[]2,1a ∃∈--，210ax ax -+>，求实数x 的取值范围．【答案】（1）[0,4)（2）11,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据全称命题为真，分类讨论不等式恒成立即可；（2）根据存在性命题为真，转化为不等式有解，求最大值后解不等式即可.【详解】（1）因为x ∀∈R ，210ax ax -+>，①当0a =时，不等式10>对x ∀∈R 成立，符合题意.②当0a ≠时，若不等式210ax ax -+>对x ∀∈R 恒成立，则20Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解得04a <<，综上，实数a 的取值范围[0,4).（2）[]2,1a ∃∈--，210ax ax -+>，即[]2,1a ∃∈--，21x x a-<-，所以2max1x x a ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，而1y x =-在[]2,1x ∈--上单调递增，所以21x x -<，解得1122x -+<<，故实数x的取值范围11,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.21.已知函数()()211,022,0a x x f x ax x a x ⎧--<⎪=⎨⎪+-≥⎩．（1）若()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）求()f x 在区间[]1,2上的最大值．【答案】（1）10,2⎡⎤⎢⎣⎦（2）答案见解析【解析】【分析】（1）分0a =和0a ≠两种情况，结合分段函数单调性分析求解；（2）分类讨论()f x 在区间[]1,2上的单调性，结合单调性求最值.【小问1详解】因为()f x 在R 上单调递增，则有：若0a =，则()1,022,0x x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，因为1,22=-=y x y x 在定义域内单调递增，且102-<，所以0a =符合题意；若0a ≠，则1001012a a a a ->⎧⎪>⎪⎪⎨-≤⎪⎪-≤-⎪⎩，解得102a <≤，综上所述：实数a 的取值范围10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】因为[]1,2x ∈，则()22=+-f x ax x a ，（i ）若0a =，可知()2f x x =在[]1,2上单调递增，最大值为()24f =；（ⅱ）若0a >，则()22=+-f x ax x a 开口向上，对称轴10x a=-<，可知()f x 在[]1,2上单调递增，最大值为()234=+f a ；（ⅲ）若a<0，则()22=+-f x ax x a 开口向下，对称轴10x a =->，①当101a <-≤，即1a ≤-时，可知()f x 在[]1,2上单调递减，最大值为()12f =；②当12a -≥，即102a -≤<时，可知()f x 在[]1,2上单调递增，最大值为()234=+f a ；③当112a <-<，即112a -<<-时，可知()f x 在11,⎡⎫-⎪⎢⎣⎭a 上单调递增，在1,2a ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递减，所以最大值为11⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭f a a a ；综上所述：若12a ≥-，()f x 在区间[]1,2上的最大值为()234=+f a ；若112a -<<-，()f x 在区间[]1,2上的最大值为11⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭f a a a ；若1a ≤-，()f x 在区间[]1,2上的最大值为()12f =.22.黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用．黎曼函数定义在[]0,1上，()()1,(,N ,)0,010,1p p x p q q q q R x x +⎧=∈⎪=⎨⎪=⎩为既约真分数或或内的无理数．（1）请用描述法写出满足方程(),(0)R x x x =≠的解集；（直接写出答案即可）（2）解不等式()1155R x x >+；（3）探究是否存在非零实数,k b ，使得()y R kx b =+为偶函数？若存在，求k ，b 应满足的条件；若不存在，请说明理由．【答案】（1）{|x 1,x q=q 为大于1的正整数}（2）11,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭（3）存在，11,2k b ==【解析】【分析】（1）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解；（2）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解；（3）根据黎曼函数的定义，分类讨论可证得()(1)R x R x =-，则()R x 关于12x =对称，即1122R x R x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12R x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，即可得解.【小问1详解】依题意，0x ≠，当1x =时，()0R x =，则方程()R x x =无解，当x 为()0,1内的无理数时，()0R x =，则方程()R x x =无解，当p x q =(,N ,p p q q +∈为既约真分数)时，则()1R x q=，q 为大于1的正整数，则由方程()R x x =，解得1x q=，q 为大于1的正整数，综上，方程(),(0)R x x x =≠的解集为{|x 1,x q =q 为大于1的正整数}.【小问2详解】若0x =或1x =或x 为()0,1内无理数时，()0R x =，而11055x +>，此时()1155x x R <+，若p x q =(,N ,p p q q +∈为既约真分数)，则()1R x q=，q 为大于1的正整数，由()1155R x x >+，得11155q p q >⋅+，解得5p q +<，又因为p x q =(,N ,p p q q+∈为既约真分数)，所以11,23x =，综上，不等式()1155R x x >+的解为11,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【小问3详解】存在非零实数11,2k b ==，使得()y R kx b =+为偶函数，即12y R x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数，证明如下：当0x =或1x =时，有(0)(1)0R R ==成立，满足()(1)R x R x =-，当x 为(0,1)内的无理数时，1x -也为(0,1)内的无理数，所以()(1)0R x R x =-=，满足()(1)R x R x =-，当p x q =(,N ,p p q q +∈为既约真分数)，则11p q p x q q--=-=为既约真分数，所以1()(1)R x R x q =-=，满足()(1)R x R x =-，综上，对任意[0,1]x ∈，都有()(1)R x R x =-，所以()R x 关于12x =对称，即1122R x R x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12R x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，所以，存在非零实数11,2k b ==，使得()y R kx b =+为偶函数.。
2023-2024学年浙江省宁波市金兰教育合作组织高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省宁波市金兰教育合作组织高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合P ＝{x |x 2﹣3x ≥0}，Q ＝{x |1＜x ≤3}，则（∁R P ）∩Q 等于（ ） A ．[0，1）B ．（0，3]C ．（1，3）D ．[1，3]2．命题“∀x ＜5，﹣x 2+2x ≥3“的否定是（ ） A ．∀x ＜5，﹣x 2+2x ＜3 B ．∃x ≥5，﹣x 2+2x ＜3 C ．∃x ＜5，﹣x 2+2x ＜3D ．∃x ＜5，﹣x 2+2x ≤33．已知函数f(x)={2−x 2，x ≤1x 2+2x −2，x ＞1，则f(2f(2))的值为（ ）A ．7136B ．6C ．74D ．1794．可以表示以x 为自变量的函数图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5．函数y =x−1√4−x 2的定义域是（ ）A ．[﹣2，2]B ．（﹣2，2）C ．（﹣2，1）∪（1，2）D ．[﹣2，1）∪（1，2]6．设a =(54)14，b =(45)−15，c =(34)−13，则（ ） A ．c ＜b ＜a B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a7．某家医院成为病毒检测定点医院，在开展检测工作的第n 天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时t （n ）（单位：小时）大致服从的关系为t(n)={√n n ＜N 0√0n ≥N 0（t 0，N 0为常数）．已知第16天检测过程平均耗时为10小时，第65天和第68天检测过程平均耗时均为5小时，那么可得到第36天检测过程平均耗时约为（ ） A ．6小时 B ．7小时C ．9小时D ．5小时8．已知函数f(x)=x+mx+1(1≤x ≤2)，函数g （x ）＝（m ﹣1）x （1≤x ≤2），若任意的x 1∈[1，2]，存在x 2∈[1，2]，使得f （x 1）＝g （x 2），则m 的取值范围是（ ） A ．(1，53]B ．（1，+∞）C ．[2，52]D ．[53，52]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．设f （x ）是定义在R 上的奇函数且在（0，+∞）上单调递减，f （﹣4）＝0，则（ ） A ．f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减 B ．f （8）＞0C ．不等式f （x ）＞0的解集为（﹣∞，﹣4）∪（0，4）D ．f （x ）的图象与x 轴只有2个公共点 10．下列命题中正确的是（ ） A ．√x 2+42√x 2+4的最小值为2√2B ．已知a ，b ∈R ，则“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件C ．已知f （x ）为定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝﹣x 2+x ，则x ＜0时，f （x ）＝x 2+xD ．f （x ）＝|x |与g(x)=√x 2是两个相同的函数11．已知函数y ＝f （x ﹣1）的图象关于x ＝1对称，当x 1，x 2∈（﹣∞，0]，且x 1≠x 2时，f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜0成立，若f （4bx ）＜f （2x 2+1）对任意x ∈R 恒成立，则实数b 的可能取值为（ ） A ．0B ．−12C ．﹣1D ．1212．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数f （x ）={1，x 为有理数0，x 为无理数，称为狄利克雷函数，则关于f （x ）下列说法正确的是（ ）A ．函数f （x ）的值域是[0，1]B ．∀x ∈R ，f （f （x ））＝1C ．f （x +2）＝f （x ）对任意x ∈R 恒成立D ．存在三个点A （x 1，f （x 1）），B （x 2，f （x 2）），C （x 3，f （x 3）），使得△ABC 为等腰直角三角形 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣2m ﹣2）x m 在第一象限单调递减，则f （m ）＝ ．14．0.125−13−(98)0+[(−2)2]32+(√2×√33)6= ．15．函数f （x ）＝ax 2﹣（3+a ）x +1在（﹣∞，a ）上是减函数，则实数a 的取值范围是 ． 16．已知函数f （x ）＝x 2﹣（a +4）x +a 2+a +10（a ＞0），且f （a 2+3）＝f （3a ﹣2），则f(n)+6a n+1(n ∈N ∗)的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |x ≤﹣4或x ≥3}，B ＝{x |1＜x ≤5}，C ＝{x |m ﹣1≤x ≤2m }． （1）求A ∩B ，（∁R A ）∪B ；（2）若B ∩C ＝C ，求实数m 的取值范围． 18．（12分）已知正数a 、b 满足1a +2b=2．（1）求a +b 的最小值； （2）求4a 2a−1+2bb−1的最小值．19．（12分）已知函数f(x)=1−42a x +a （a ＞0且a ≠1）的定义域为R ，且f （0）＝0． （1）求函数f （x ）的解析式，并判断其奇偶性；（2）判断函数f （x ）在R 上的单调性，并利用单调性定义法证明． 20．（12分）已知二次函数f （x ）＝x 2﹣2（t ﹣1）x +4． （1）若t ＝1，求f （x ）在[﹣1，3]上的值域；（2）若存在x ∈[4，10]，使得不等式f （x ）＜tx 有解，求实数t 的取值范围．21．（12分）2020年初新冠肺炎袭击全球，严重影响人民生产生活．为应对疫情，某厂家拟加大生产力度．已知该厂家生产某种产品的年固定成本为200万元，每年生产x 千件，需另投入成本C （x ）．当年产量不足50千件时，C(x)=12x 2+20x （万元）；年产量不小于50千件时，C(x)=51x +3600x−600（万元）．每千件商品售价为50万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． （1）写出年利润L （x ）（万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 22．（12分）已知函数f(x)=|x −a|−9x+a ，a ∈R ． （1）若a ＝0，求f （x ）的单调递增区间；（2）若函数f （x ）在[1，a ]上单调，且对任意x ∈[1，a ]，f （x ）＜﹣2恒成立，求a 的取值范围； （3）当a ∈（3，6）时，函数f （x ）在区间[1，6]上的最大值为M （a ），求M （a ）的函数解析式．2023-2024学年浙江省宁波市金兰教育合作组织高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合P ＝{x |x 2﹣3x ≥0}，Q ＝{x |1＜x ≤3}，则（∁R P ）∩Q 等于（ ） A ．[0，1）B ．（0，3]C ．（1，3）D ．[1，3]解：解不等式x 2﹣3x ≥0可得x ≥3或x ≤0， 即P ＝{x |x ≥3或x ≤0}，则∁R P ＝{x |0＜x ＜3}，又Q ＝{x |1＜x ≤3}， 所以（∁R P ）∩Q ＝{x |1＜x ＜3}＝（1，3）． 故选：C ．2．命题“∀x ＜5，﹣x 2+2x ≥3“的否定是（ ） A ．∀x ＜5，﹣x 2+2x ＜3 B ．∃x ≥5，﹣x 2+2x ＜3 C ．∃x ＜5，﹣x 2+2x ＜3D ．∃x ＜5，﹣x 2+2x ≤3解：命题“∀x ＜5，﹣x 2+2x ≥3“的否定是“∃x ＜5，﹣x 2+2x ＜3“． 故选：C ．3．已知函数f(x)={2−x 2，x ≤1x 2+2x −2，x ＞1，则f(2f(2))的值为（ ）A ．7136B ．6C ．74D ．179解：函数f(x)={2−x 2，x ≤1x 2+2x −2，x ＞1，则f （2）＝22+2×2﹣2＝6， 故f(2f(2))=f(13)=1−(13)2=179． 故选：D ．4．可以表示以x 为自变量的函数图象是（ ）A ．B ．C．D．解：由函数的定义可知，每一个x有且只有一个函数值与之对应，故选：C．5．函数y=x−1√4−x2的定义域是（）A．[﹣2，2]B．（﹣2，2）C．（﹣2，1）∪（1，2）D．[﹣2，1）∪（1，2]解：由题意得：4﹣x2＞0，解得：﹣2＜x＜2，故函数的定义域是（﹣2，2）．故选：B．6．设a=(54)14，b=(45)−15，c=(34)−13，则（）A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a解：b=(45)−15=(54)15，因为函数y=(54)x是增函数，所以(54)15＜(54)14，即b＜a，又c=(34)−13=(43)13＞(54)13＞(54)14=a，所以b＜a＜c．故选：C．7．某家医院成为病毒检测定点医院，在开展检测工作的第n天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时t（n）（单位：小时）大致服从的关系为t(n)={t0√n n＜N0t0√0n≥N0（t0，N0为常数）．已知第16天检测过程平均耗时为10小时，第65天和第68天检测过程平均耗时均为5小时，那么可得到第36天检测过程平均耗时约为（）A．6小时B．7小时C．9小时D．5小时解：因为第16天检测过程平均耗时为10小时，第65天和第68天检测过程平均耗时均为5小时，所以16＜N 0， 所以0√16=10，即t 0＝40， 所以√N 0=5，解得N 0＝64，所以t(n)={40√n n ＜645，n ≥64，所以第36天检测过程平均耗时t(36)=40√36=203≈7小时． 故选：B ．8．已知函数f(x)=x+mx+1(1≤x ≤2)，函数g （x ）＝（m ﹣1）x （1≤x ≤2），若任意的x 1∈[1，2]，存在x 2∈[1，2]，使得f （x 1）＝g （x 2），则m 的取值范围是（ ） A ．(1，53] B ．（1，+∞） C ．[2，52]D ．[53，52]解：f(x)=x+m x+1=x+1+m−1x+1=1+m−1x+1(1≤x ≤2)，g （x ）＝（m ﹣1）x （1≤x ≤2）， ①当m ＞1时，函数f （x ）在区间[1，2]上单调递减，函数g （x ）在区间[1，2]上单调递增， 可得f(x)∈[m+23，m+12]，g （x ）∈[m ﹣1，2m ﹣2]， 由题意，得m −1≤m+23＜m+12≤2m −2， 解得53≤m ≤52；②当m ＜1时，函数f （x ）在区间[1，2]上单调递增，函数g （x ）在区间[1，2]上单调递减， 可得f(x)∈[m+12，m+23]，g （x ）∈[2m ﹣2，m ﹣1]， 由题意，得2m −2≤m+12＜m+23≤m −1， 解得m ∈∅；③当m ＝1时，f （x ）＝1，g （x ）＝0，显然不满足， 故实数m 的取值范围为[53，52]． 故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．设f （x ）是定义在R 上的奇函数且在（0，+∞）上单调递减，f （﹣4）＝0，则（ ）A ．f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减B ．f （8）＞0C ．不等式f （x ）＞0的解集为（﹣∞，﹣4）∪（0，4）D ．f （x ）的图象与x 轴只有2个公共点解：对于A ，因为f （x ）是定义在R 上的奇函数且在（0，+∞）上单调递减，f （﹣4）＝0，根据奇函数特征，f （x ）在 （﹣∞，0）上单调递减，f （4）＝﹣f （﹣4）＝0，f （0）＝0，故A 正确； 对于B ，由奇偶性及单调性可知 f （8）＜0，故B 错误；对于C ，由题意可知，不等式f （x ）＞0的解集为 （﹣∞，﹣4）∪（0，4），故C 正确； 对于D ，由题意得f （4）＝f （﹣4）＝f （0）＝0，即函数图象与x 轴有3个交点，D 错误． 故选：AC ．10．下列命题中正确的是（ ） A ．√x 2+42√x 2+4的最小值为2√2B ．已知a ，b ∈R ，则“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件C ．已知f （x ）为定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝﹣x 2+x ，则x ＜0时，f （x ）＝x 2+xD ．f （x ）＝|x |与g(x)=√x 2是两个相同的函数 解：对于A ，√x 2+42√x 2+4≥2√√x 2+42√x 2+4=2√2，当且仅当x 2+4＝2时取“＝”，显然不成立，所以A 错误； 对于B ，由a ≠0不能推出ab ≠0，而ab ≠0⇒a ≠0， 所以“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件，所以B 正确； 对于C ，f （x ）为定义在R 上的奇函数，x ＞0时，f （x ）＝﹣x 2+x ， x ＜0时，﹣x ＞0，则f （﹣x ）＝﹣（﹣x ）2﹣x ＝﹣f （x ）， 所以f （x ）＝﹣x 2﹣x ，则C 正确；对于D ，f （x ）＝|x |，g(x)=√x 2=|x|，两个函数的定义域，对应关系都一样， 所以是两个相同的函数，则D 正确． 故选：BCD ．11．已知函数y ＝f （x ﹣1）的图象关于x ＝1对称，当x 1，x 2∈（﹣∞，0]，且x 1≠x 2时，f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜0成立，若f （4bx ）＜f （2x 2+1）对任意x ∈R 恒成立，则实数b 的可能取值为（ ） A ．0B ．−12C ．﹣1D ．12解：因为函数y ＝f （x ﹣1）的图象关于x ＝1对称，所以函数y ＝f （x ）的图象关于y 轴对称，则f （x ）为偶函数， 又因为当x 1，x 2∈（﹣∞，0]，且x 1≠x 2时，f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜0成立，所以f （x ）在（﹣∞，0]上递减，在[0，+∞）上递增， 则f （4bx ）＜f （2x 2+1）对任意x ∈R 恒成立， 即f （|4bx |）＜f （2x 2+1）对任意x ∈R 恒成立， 即|4bx |＜2x 2+1对任意x ∈R 恒成立， 当x ＝0时，0＜1成立；当x ≠0时，即|4b|＜2|x|+1|x|对任意x ∈R 恒成立， 而2|x|+1|x|≥2√2|x|⋅1|x|=2√2，当且仅当 2|x|=1|x|，即 |x|=√22时，等号成立， 所以 |4b|＜2√2，即 |b|＜√22．故选：ABD ．12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数f （x ）={1，x 为有理数0，x 为无理数，称为狄利克雷函数，则关于f （x ）下列说法正确的是（ ）A ．函数f （x ）的值域是[0，1]B ．∀x ∈R ，f （f （x ））＝1C ．f （x +2）＝f （x ）对任意x ∈R 恒成立D ．存在三个点A （x 1，f （x 1）），B （x 2，f （x 2）），C （x 3，f （x 3）），使得△ABC 为等腰直角三角形 解：对于A ，函数的值域为{0，1}，可知A 错误；对于B ，当x 为有理数时，f （x ）＝1，f （f （x ））＝f （x ）＝1， 当x 为无理数时，f （x ）＝0，f （f （x ））＝f （x ）＝1， ∴∀x ∈R ，f （f （x ））＝1，故B 正确；对于C ，当x 为有理数时，x +2为有理数，f （x +2）＝f （x ）＝1， 当x 为无理数时，x +2为无理数，f （x +2）＝f （x ）＝0， ∴f （x +2）＝f （x ）对任意x ∈R 恒成立，故C 正确； 对于D ，若△ABC 为等腰直角三角形，不妨设B 为直角，则f （x 1），f （x 2），f （x 3）的取值的可能性为：f （x 1）＝0，f （x 2）＝1，f （x 3）＝0， 或f （x 1）＝1，f （x 2）＝0，f （x 3）＝1，由等腰直角三角形的性质得|x 2﹣x 1|＝1， ∴f （x 1）＝f （x 2），这与f （x 1）≠f （x 2）矛盾，故D 错误．故选：BC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣2m ﹣2）x m 在第一象限单调递减，则f （m ）＝ ﹣1 ． 解：由幂函数定义可得m 2﹣2m ﹣2＝1， 即m 2﹣2m ﹣3＝0，解得m ＝3或m ＝﹣1，又函数f （x ）在第一象限单调递减，所以m ＝﹣1，即f （x ）＝x ﹣1，即可得f(m)=f(−1)=1−1=−1． 故答案为：﹣1． 14．0.125−13−(98)0+[(−2)2]32+(√2×√33)6= 81 ．解：0.125−13−(98)0+[(−2)2]32+(√2×√33)6=(18)−13−1+432+(212×313)6=813−1+23+23×32＝2﹣1+8+8×9 ＝81． 故答案为：81．15．函数f （x ）＝ax 2﹣（3+a ）x +1在（﹣∞，a ）上是减函数，则实数a 的取值范围是 [0，32] ． 解：当a ＝0时，f （x ）＝﹣3x +1在（﹣∞，0）上是减函数，符合题意； 当a ≠0时，f （x ）＝ax 2﹣（3+a ）x +1为一元二次函数，对称轴为x =3+a2a ， 因为函数f （x ）＝ax 2﹣（3+a ）x +1在（﹣∞，a ）上是减函数， 所以{a ＞03+a 2a≥a，解得0＜a ≤32，综上，0≤a ≤32，所以实数a 的取值范围是[0，32]． 故答案为：[0，32]．16．已知函数f （x ）＝x 2﹣（a +4）x +a 2+a +10（a ＞0），且f （a 2+3）＝f （3a ﹣2），则f(n)+6a n+1(n ∈N ∗)的最小值为145．解：函数f （x ）＝x 2﹣（a +4）x +a 2+a +10（a ＞0）的对称轴为x =a+42， 由题意可得a 2+3＝3a ﹣2或a 2+3+3a ﹣2＝2×a+42， 解得a ＝1或a ＝﹣3，由a ＞0，可得a ＝1， ∴f （x ）＝x 2﹣5x +12，即有f （n ）＝n 2﹣5n +12， ∴f(n)+6a n+1=n 2−5n+18n+1=n +1+24n+1−7≥2√24−7＝4√6−7， 当且仅当n +1=24n+1，即n ＝2√6−1时取等号， 但n 为正整数，且2√6−1∈（3，4）， 由n ＝3时，∴f(n)+6a n+1=3，n ＝4时，∴f(n)+6a n+1=145＜3，故当n ＝4时，原式取最小值为145．故答案为：145．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |x ≤﹣4或x ≥3}，B ＝{x |1＜x ≤5}，C ＝{x |m ﹣1≤x ≤2m }． （1）求A ∩B ，（∁R A ）∪B ；（2）若B ∩C ＝C ，求实数m 的取值范围．解：（1）因为集合A ＝{x |x ≤﹣4或x ≥3}，B ＝{x |1＜x ≤5}， 所以A ∩B ＝{x |3≤x ≤5}，∁R A ＝{x |﹣4＜x ＜3} 所以（∁R A ）∪B ＝{x |﹣4＜x ≤5}； （2）因为B ∩C ＝C ，所以C ⊆B ， ①当C ＝∅时，m ﹣1＞2m ，解得m ＜﹣1， ②当C ≠∅时，则{m −1≤2mm −1＞12m ≤5，解得2＜m ≤52，综上所述：m 的取值范围是(−∞，−1)∪(2，52]． 18．（12分）已知正数a 、b 满足1a +2b=2．（1）求a +b 的最小值； （2）求4a 2a−1+2bb−1的最小值．解：（1）因为a 、b 是正数，所以a +b =12(a +b)(1a +2b )=12(3+b a +2a b )≥32+√2当且仅当a =√2+12，b =2+√22时等号成立， 所以a +b 的最小值为32+√2．（2）因为1a+2b =2， 所以a ＞12，b ＞1，所以2a ﹣1＞0，b ﹣1＞0，（2a ﹣1）•（b ﹣1）＝1 则4a 2a−1+2b b−1=4+22a−1+2b−1≥4+2√22a−1⋅2b−1=8，当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立，所以4a 2a−1+2b b−1的最小值为8．19．（12分）已知函数f(x)=1−42a x +a （a ＞0且a ≠1）的定义域为R ，且f （0）＝0．（1）求函数f （x ）的解析式，并判断其奇偶性；（2）判断函数f （x ）在R 上的单调性，并利用单调性定义法证明．解：（1）∵函数f(x)=1−42a x +a （a ＞0且a ≠1）的定义域为R ，f(0)=1−42+a=0，解得：a ＝2， ∴f(x)=1−22x +1，f(x)=2x −12x +1，f(−x)=2−x −12−x +1=1−2x 2x +1∴f （﹣x ）＝﹣f （x ），∴f （x ）是奇函数．（2）设x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2，∴f(x 1)−f(x 2)=1−22x 1+1−1+22x 2+1=2(2x 1+1−2x 2−1)(2x 1+1)(2x 2+1)=2(2x 1−2x2)(2x 1+1)(2x 2+1)， ∵2x 1+1＞0，2x 2+1＞0，2x 1−2x 2＜0，∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即当x 1＜x 2时，f （x 1）＜f （x 2），∴f （x ）在R 上单调递增．20．（12分）已知二次函数f （x ）＝x 2﹣2（t ﹣1）x +4．（1）若t ＝1，求f （x ）在[﹣1，3]上的值域；（2）若存在x ∈[4，10]，使得不等式f （x ）＜tx 有解，求实数t 的取值范围．解：（1）根据题意，函数f （x ）＝x 2﹣2（t ﹣1）x +4，因为t ＝1，则f （x ）＝x 2+4，又由﹣1≤x ≤3，当x ＝0时，f （x ）有最小值4，当x ＝3时，f （x ）有最大值13，则有4≤f （x ）≤13，即函数f （x ）的值域为[4，13]（2）f （x ）＝x 2﹣2（t ﹣1）x +4＜tx 整理得x 2+2x +4＜3tx因为x ∈[4，10]，所以3t ＞x 2+2x+4x =x +4x+2 令g(x)=x +4x ，设x 1，x 2∈[4，10]，且x 1＞x 2，则g(x 1)−g(x 2)=x 1+4x 1−(x 2+4x 2)=(x 1x 2−4)(x 1−x 2)x 1x 2， 因为x 1x 2﹣4＞0，x 1﹣x 2＞0，所以g （x 1）﹣g （x 2）＞0，即g （x 1）＞g （x 2），所以g(x)=x +4x 在[4，10]单调递增，所以当x ＝4时，(x +4x +2)min =7，所以t 的范围为{t |t ＞73}．21．（12分）2020年初新冠肺炎袭击全球，严重影响人民生产生活．为应对疫情，某厂家拟加大生产力度．已知该厂家生产某种产品的年固定成本为200万元，每年生产x 千件，需另投入成本C （x ）．当年产量不足50千件时，C(x)=12x 2+20x （万元）；年产量不小于50千件时，C(x)=51x +3600x −600（万元）．每千件商品售价为50万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润L （x ）（万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解：（1）∵每千件商品售价为50万元，∴x 千件产品销售额为50x ，当0＜x ＜50时，L （x ）＝50x −(12x 2+20x)−200=−12x 2+30x −200，当x ≥50时，L （x ）＝50x −(51x +3600x −600)−200=400−(x +3600x )． 综上所述，L （x ）={−12x 2+30x −200，0＜x ＜50400−(x +3600x )，x ≥50． （2）当0＜x ＜50时，L （x ）=−12(x −30)2+250，则L （x ）≤L （30）＝250万元，当x ≥50时，L （x ）=400−(x +3600x )≤400−2√x ⋅360x =400﹣120＝280，当且仅当x =3600x，即x ＝60时，等号成立，由于280＞250， 则当年产量为60千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是280万元．22．（12分）已知函数f(x)=|x −a|−9x+a ，a ∈R ．（1）若a ＝0，求f （x ）的单调递增区间；（2）若函数f （x ）在[1，a ]上单调，且对任意x ∈[1，a ]，f （x ）＜﹣2恒成立，求a 的取值范围；（3）当a ∈（3，6）时，函数f （x ）在区间[1，6]上的最大值为M （a ），求M （a ）的函数解析式． 解：（1）当a ＝0时，f(x)=|x|−9x (x ≠0)，x ＞0时，f(x)=x −9x ，由y ＝x 与y =−9x 在（0，+∞）单调递增可知，此时f （x ）的单调增区间为（0，+∞），x ＜0时，f(x)=−x −9x ，此时由对勾函数的性质可知，f （x ）的单调增区间为（﹣3，0），∴此时f （x ）的单调增区间为（0，+∞），（﹣3，0）．（2）当x ∈[1，a ]时，f(x)=−x −9x +2a ，因为函数f （x ）在[1，a ]上单调，所以1＜a ≤3，此时f （x ）在[1，a ]上单调递增，f(x)max =f(a)=−9a +a ，由题意：f(x)max =−9a +a ＜−2恒成立，即a 2+2a ﹣9＜0，所以−√10−1＜a ＜√10−1，又1＜a ≤3，∴1＜a ＜√10−1，即a 的取值范围为（1，√10−1）．（3）当x ∈[1，6]时，f(x)={−x −9x +2a ，x ∈[1，a]x −9x ，a ∈(a ，6]， 又a ∈（3，6），由上式知，f （x ）在区间（a ，6]单调递增，当a ∈（3，6）时，f （x ）在[1，3）上单调递增，在[3，a ]上单调递减，所以，f （x ）在[1，3）上单调递增，在[3，a ]上单调递减，（a ，6]上单调递增，则f(x)max =max{f(3)，f(6)}=max{2a −6，92}={92，a ∈(3，214)2a −6，a ∈[214，6)，综上所述，函数f（x）的最大值的表达式为：M(a)={92，a∈(3，214)2a−6，a∈[214，6)．。
浙江省宁波市五校联盟2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题含解析
2023学年第一学期宁波五校联盟期中联考高一年级数学学科试题（答案在最后）考生须知：1．本卷共5页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,1,3,5,3,4,5U A B ===，则()U A B ⋃=ð（）A.{}2,6 B.{}3,5 C.{}1,3,4,5 D.{}1,2,4,6【答案】A 【解析】【分析】先求A B ⋃，再求补集可得答案.【详解】集合{}{}{}1,3,53,4,51,3,4,5== A B ，则(){}2,6U A B ⋃=ð.故选：A.2.=是“22=”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用充分必要条件的判断方法判断即可.=1,1a b =-=-，22=不成立，则充分性不成立；当22=时，0a b =≥，则220a b =≥，=综上：=是“22=”的必要不充分条件.故选：B.3.已知命题p ：“R x ∃∈，210x ax -+<”为假命题，则实数a 的取值范围为（）.A.(],2-∞ B.()2,2-C.()(),22,∞∞--⋃+ D.[]22-,【答案】D 【解析】【分析】由命题p ⌝为真命题，则0∆≤，解不等式得出实数a 的取值范围即可．【详解】命题2:,10p x R x ax ∃∈++<为假命题，所以2:,10p x R x ax ⌝∀∈++≥为真命题，则240a ∆=-≤，解得[]2,2a ∈-故选：D4.已知0x >，0y >，且21x y +=，下列结论中错误的是（）A.xy 的最大值是18B.24x y +的最小值是2C.12x y+的最小值是9 D.224x y +的最小值是12【答案】B 【解析】【分析】根据基本不等式判断各选项即可.【详解】对于A ，由0x >，0y >，且21x y +=，由2x y +≥，当且仅当122x y ==时，等号成立，所以1≤，解得18xy ≤，即xy 的最大值为18，故A 正确；对于B ，由22224x y x y =+≥=+=当且仅当122x y ==时，等号成立，所以24x y +最小值为B 错误；对于C ，()1212222559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当22y x x y =，即13x y ==时，等号成立，所以12x y +的最小值是9，故C 正确；对于D ，由()2222224212224x y x yx y +++⎛⎫=≥= ⎪⎝⎭，当且仅当122x y ==时，等号成立，所以224x y +的最小值是12，故D 正确.故选：B.5.设(,)a -∞是函数245y x x =-+的一个减区间，则实数a 的取值范围为（）A.2a ≤- B.2a ≥- C.2a ≥ D.2a ≤【答案】A 【解析】【分析】根据图象的翻折变换作出函数图象，观察图象可得.【详解】函数224545y x x x x =-+=-+，先作函数245y x x =-+的图象，如图：根据函数图象的翻折变换可得245y x x =-+的图象如图：由图可知，当2a ≤-时，(,)a -∞是函数245y x x =-+的一个减区间，所以，实数a 的取值范围为(,)a -∞.故选：A6.已知函数()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，满足2()()2f x g x x x +=+-，则(2)f =（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据奇偶性求得函数()f x ，然后再代入计算函数值．【详解】2()()2f x g x x x +=+-，则2()()2f x g x x x +-=---，又函数()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，则2()()2f x g x x x =---，所以()()()()()()22222222x x x x f x g x f x g x f x x +-+--⎡⎤⎡⎤++-⎣⎦⎣⎦===-，2(2)222f =-=，故选：B ．7.已知2535a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3525b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2525c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c <<B.c b a <<C.b<c<aD.c<a<b【答案】C 【解析】【分析】根据指数函数和幂函数的单调性即可比较.【详解】25y x= 在()0,+¥为增函数，22553255⎛⎫⎛⎫∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a c >，25xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，32552255⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即b c <，a c b ∴>>，故选：C.【点睛】本题考查了指数函数和幂函数的单调性，属于基础题.8.已知幂函数f （x ）=x a 的图象经过点（2），则函数f （x ）为（）A.奇函数且在()0,+∞上单调递增B.偶函数且在()0,+∞上单调递减C.非奇非偶函数且在()0,+∞上单调递增D.非奇非偶函数且在()0,+∞上单调递减【答案】C 【解析】【分析】根据已知求出a=12，从而函数f（x）=12x ，由此得到函数f（x）是非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递增．【详解】∵幂函数f（x）=x a），∴2a，解得a=12，∴函数f（x）=12x ，∴函数f（x）是非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递增．故选C．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9.下列各组函数中是同一函数的是（）A.()f x =()g x =B.()f x =，()g x =C.()||f x x =，()g t =D.()1f x x =+，()1g t t =-【答案】BC 【解析】【分析】逐一判断定义域和对应关系即可.【详解】A 选项：由1010x x +≥⎧⎨-≥⎩得()f x 的定义域为[)1,+∞，由()()110x x +-≥解得()g x 的定义域为(][),11,-∞-⋃+∞，A 错误；B 选项：由1010x x +≥⎧⎨-≥⎩得()f x 的定义域为[]1,1-，由()()110x x +-≥解得()g x 的定义域为[]1,1-，且()f x ==，故B 正确；C 选项：()f x 和()g x 的定义域都是R ，()g t t ==，对应关系相同，故C 正确；D 选项：对应关系不同，故D 错误.故选：BC10.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，则下列说法正确的是（）A.0a >B.不等式0bx c +>的解集是{}6x x <C.0a b c ++<D.不等式20cx bx a -+<的解集是{1|3x x <-或12x ⎫>⎬⎭【答案】ACD 【解析】【分析】由不等式20ax bx c ++>与方程20ax bx c ++=之间的关系及题设条件得到,,a b c 之间的关系，然后逐项分析即可得出正确选项.【详解】由题意不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，则可知0a >，即A 正确；易知，2-和3是方程20ax bx c ++=的两个实数根，由韦达定理可得2323b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，则,6b a c a =-=-；所以不等式0bx c +>即为60ax a -->，解得6x <-，所以B 错误；易知60a b c a ++=-<，所以C 正确；不等式20cx bx a -+<即为260ax ax a -++<，也即2610x x -->，解得{1|3x x <-或12x ⎫>⎬⎭，所以D 正确.故选：ACD11.如果函数()f x 在[],a b 上是增函数，对于任意的[]()1212,,x x a b x x ∈≠，则下列结论中正确的是（）A.()()1212f x f x x x ->- B.()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦C.()()()()12f a f x f x f b ≤<≤ D.()()12f x f x >【答案】AB 【解析】【分析】根据函数单调性的等价条件进行判断即可．【详解】由函数单调性的定义可知，若函数()f x 在给定的区间上是增函数，则12x x -与()()12f x f x -同号，由此可知，选项A ，B 正确；对于选项C ，D ，因为12,x x 的大小关系无法判断，则()()12,f x f x 的大小关系确定也无法判断，故C ，D 不正确.故选：AB【点睛】结论点睛：若函数()f x 在[],a b 上是增函数，对于任意的[]()1212,,x x a b x x ∈≠，则有()()12120f x f x x x ->-（或者()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦）；若函数()f x 在[],a b 上是减函数，对于任意的[]()1212,,x x a b x x ∈≠，则有()()12120f x f x x x -<-（或者()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦）；12.形如()()0af x x a x=+>的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在(上单调递减，在)+∞上单调递增.已知函数()()0af x x a x=+>在[]2,4上的最大值比最小值大1，则a 的值可以是（）A.4B.12C.6-D.6+【答案】AD 【解析】2≤、4≥、24<<三种情况讨论，分别求出函数的最值，即可得到方程，解得即可.【详解】依题意可得()()0af x x a x=+>在(上单调递减，在)+∞上单调递增，2≤，即04a <≤时()f x 在[]2,4上单调递增，所以()()max 444a f x f ==+，()()min 222a f x f ==+，所以()()max min 4221424a a af x f x ⎛⎫-=+-+=-= ⎪⎝⎭，解得4a =；4≥，即16a ≥时()f x 在[]2,4上单调递减，所以()()min 444af x f ==+，()()max 222a f x f ==+，所以()()max min 2421244a a af x f x ⎛⎫-=+-+=-= ⎪⎝⎭，解得12a =（舍去）；当24<<，即416a <<时()f x 在⎡⎣上单调递减，在4⎤⎦上单调递增，所以()min f x f ==，()()(){}max max 2,4f x f f =，若4242a a +>+且416a <<，即48a <<，()()max 444af x f ==+，所以()()max min 414af x f x -=+-=，解得4a =或36a =（舍去）；若4242a a +≤+且416a <<，即816a ≤<，()()max 222a f x f ==+，所以()()max min 212af x f x -=+-=，解得6a =+或6a =-（舍去）；综上可得6a =+或4a =.故选：AD非选择题部分三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.221302182********--⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______．【答案】54-【解析】【分析】根据幂的运算法则计算．【详解】222133()03218295202316144()1227344--⨯-⎛⎫⎛⎫+--=+--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：54-．14.集合{}Z |23A x x =∈-≤<的子集个数是______．【答案】32【解析】【分析】确定出集合A 中元素个数，由子集的概念可得．【详解】由已知{2,1,0,1,2}A =--，A 有5个元素，它的子集个数为5232=．故答案为：32.15.若函数()f x x x a =-在区间(0,2]上既有最小值又有最大值，那么实数a 的取值范围是______．【答案】(0,2]【解析】【分析】当a<0，0a =讨论函数单调性，当0a >时，利用函数图象分析可得.【详解】当a<0时，在(0,2]上2()f x x ax =-，对称轴为2ax =，所以，函数()f x 在(0,2]上单调递增，所以()f x 有最大值，无最小值；当0a =时，在(0,2]上2()f x x =，在(0,2]上单调递增，所以()f x 有最大值，无最小值；当0a >时，22,(),x ax x af x ax x x a ⎧-≥=⎨-<⎩，函数图象如图所示，()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和(),a +∞上单调递增，在,2a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，要使()f x 在(0,2]上既有最小值又有最大值，则02a <≤，即实数a 的取值范围为(0,2].故答案为：(0,2]16.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的最小值是______．【答案】2【解析】【分析】由奇偶性求得()f x 的解析式，从而可得2())f x f =，然后由函数的单调性求解不等式．【详解】由已知0x <时，22()()()f x f x x x =--=--=-，即22,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，所以()f x 在R 上是增函数，且2())f x f =，不等式()2()f x t f x +≥化为())f x t f +≥，所以x t +≥，1)x t -≤，所以1)x t ≤，在[,1]x t t ∈+时恒成立，1)(1)t t -+≤，2t ≥，所以t 的最小值是2，故答案为：2．四、解答题（共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知集合A x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩，{|123}B x m x m =-≤≤+．（1）当0m =时，求A B ⋂，A B ⋃；（2）若B A ⊆时，求实数m 的取值范围．【答案】（1）[1,2)A B ⋂=，(1,3]A B =- .（2）1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）先解一元二次不等式得集合A ，然后由集合的运算可得；（2）根据集合的包含关系可解.【小问1详解】由220-++>x x 解得(1,2)A =-，当0m =时，[1,3]B =，故[1,2)A B ⋂=，(1,3]A B =- .【小问2详解】由题知B A ⊆，（ⅰ）当123m m ->+，即23m <-时，B =∅符合题意；（ⅱ）当123m m -≤+，即23m ≥-时，B ≠∅，因为B A ⊆，所以11232m m -<-⎧⎨+<⎩，解得12m <-，所以2132m -≤<-．综上所述，实数m 的取值范围为12∞⎛⎫--⎪⎝⎭.18.已知命题2:23,0p x x a ∀≤≤-≥，命题2:R,220q x x ax a ∃∈++=.（1）若命题p ⌝为假命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题p 和q ⌝均为真命题，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(],4∞-（2）()0,2【解析】【分析】（1）根据题意，由条件可得命题p 为真命题，列出不等式，即可得到结果；（2）根据题意，先求得当命题q 为真命题时a 的范围，即可得到q ⌝为真命题时a 的范围，再结合（1）中的结论，即可得到结果.【小问1详解】若命题p ⌝为假命题，则命题p 为真命题，即2a x ≤在[]2,3x ∈恒成立，所以()2min 4a x≤=，即实数a 的取值范围是(],4∞-.【小问2详解】当命题q 为真命题时，因为2R,220x x ax a ∃∈++=，所以2480a a ∆=-≥，解得0a ≤或2a ≥，因为q ⌝为真命题，则02a <<，又由（1）可知，命题p 为真命题时4a ≤，所以4a ≤且02a <<，即实数a 的取值范围是()0,2.19.已知二次函数2()(24)3(15)f x x a x a x =--++≤≤．（1）记()f x 的最小值为()g a ，求()g a 的解析式；（2）记()f x 的最大值为()h a ，求()h a 的解析式．【答案】（1）28,3()51,37489,7a a g a a a a a a -<⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪->⎩（2）489,5()8,5a a h a a a -<⎧=⎨-≥⎩【解析】【分析】（1）结合二次函数()f x 的图像和性质，分类讨论单调性和最小值，求出()g a ，最后写成分段函数的形式即可；（2）结合二次函数()f x 的图像和性质，分类讨论函数最大值，求出()h a ，最后写成分段函数的形式即可．【小问1详解】二次函数()f x 的图像抛物线开口向上，对称轴为直线2=-x a ，（ⅰ）当21a -≤，即3a ≤时，此时()f x 在区间[1,5]上单调递增，所以()f x 的最小值()(1)8g a f a ==-；（ⅱ）当25a -≥，即7a ≥时，此时()f x 在区间[1,5]上单调递减，所以()f x 的最小值()(5)489g a f a ==-；（ⅲ）当125a <-<，即37a <<时，函数()f x 在[]1,2a -上单调递减，在(]25a -,上单调递增，此时()f x 的最小值2()(2)51g a f a a a =-=-+-；综上所述，()28,351,37489,7a a g a a a a a a -≤⎧⎪=-+-<<⎨⎪-≥⎩.【小问2详解】二次函数()f x 的图像抛物线开口向上，对称轴为直线2=-x a ，（ⅰ）当23a -<，即5a <时，右端点5x =距离对称性较远，此时()f x 的最大值()(5)489h a f a ==-；（ⅱ）当23a -≥，即5a ≥时，左端点1x =距离对称轴较远，此时()f x 的最大值()(1)8h a f a ==-；综上所述，489,5()8,5a a h a a a -<⎧=⎨-≥⎩.20.（1）已知正数,a b 满足121a b+=，求8a b +的最小值；（2）已知正数,a b 满足21a b +=，求11a ab+的最小值．【答案】（1）25；（2）5+.【解析】【分析】（1）（2）妙用“1”求解即可.【详解】（1）因为121a b+=，所以128(8)a b a b a b ⎛⎫+=++⎪⎝⎭281161717825a b b a =+++≥+=+=，当且仅当28121a b b a a b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即552a b =⎧⎪⎨=⎪⎩时，取得最小值，最小值为25.（2）因为21a b +=，所以111231a b a ab a ab a b++=+=+316(2)32552b a a b a b a b ⎛⎫=++=+++≥++ ⎪⎝⎭，当且仅当621b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即312a b ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩时，取得最小值，最小值为5+.21.“绿色低碳、节能减排”是习近平总书记指示下的新时代发展方针.某市一企业积极响应习总书记的号召，采用某项新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，以达到减排效果.已知该企业每月的二氧化碳处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系式可近似地表示为213001250002y x x =-+，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.（1）该企业每月处理量为多少吨时，才能使其每吨的平均处理成本最低？（2）该市政府也积极支持该企业的减排措施，试问该企业在该减排措施下每月能否获利？如果获利，请求出最大利润；如果不获利，则该市政府至少需要补贴多少元才能使该企业在该措施下不亏损？【答案】（1）500（2）不能获利，该市政府需要补贴45000元【解析】【分析】（1）由题意列出每吨二氧化碳的平均处理成本的表达式，进而结合基本不等式求解即可；（2）由题意列出该企业每月的利润的函数表达式，进而结合二次函数的性质求解即可.【小问1详解】由题意，()213001250003006002y x x x =-+≤≤，所以每吨二氧化碳的平均处理成本为11250003003002002y x x x =-+≥=元，当且仅当11250002x x=，即500x =时，等号成立，所以该企业每月处理量为500吨时，才能使其每吨的平均处理成本最低.【小问2详解】设该企业每月的利润为()P x ，则()()22211130012500040012500040045000022210x P x x x x x x -++-=⎛⎫=-=- -⎪⎝⎭--，因为300600x ≤≤，所以当400x =时，函数()P x 取得最大值，即()()max 40045000P x P ==-，所以该企业每月不能获利，该市政府至少需要补贴45000元才能使该企业在该措施下不亏损.22.已知函数21()x f x ax b+=+是定义域上的奇函数，且(1)2f -=-．（1）判断并用定义证明函数()f x 在(0,)+∞上的单调性；（2）设函数()()g x f x m =-，若()g x 在(0,)+∞上有两个零点，求实数m 的取值范围；（3）设函数221()2()(0)h x x t f x t x =+-⋅<，若对121,,22x x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，都有()()12154h x h x -≤，求实数t 的取值范围．【答案】（1）()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，证明见解析（2）m>2（3）3,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据奇函数性质和已知列方程求出a ，b ，然后按照定义法证明单调性的步骤取值、作差、化简、定号、下结论即可；（2）利用一元二次方程根的分布列不等式组求解可得；（3）令1z x x =+换元得222y z tz =--，将问题转化为求最值问题，然后由()()max min 154h z h z -≤求解可得.【小问1详解】由(1)2f -=-，且()f x 是奇函数，得(1)2f =，于是2222a b a b ⎧=-⎪⎪-+⎨⎪=⎪+⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩，即1()f x x x =+．经检验，()f x 是奇函数，满足题意.函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，证明如下：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则()()()()121212121212121211111x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当12,(0,1)x x ∈，且12x x <，则120x x -<，1201x x <<，∴1210x x -<，∴12())0(f x f x ->，即()()12f x f x >，所以，函数()f x 在(0,1)上单调递减．当()12,1,x x ∈+∞，且12x x <，则120x x -<，121x x >，∴1210x x ->，∴12())0(f x f x -<，即()()12f x f x <所以，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增．【小问2详解】函数()g x 在(0,)+∞上有两个零点，即方程10x m x+-=在(0,)+∞上有两个不相等的实数根，所以210x mx -+=在(0,)+∞上有两个不相等的实数根，则21212Δ400210m m x x x x ⎧=->⎪⎪+=>⎨⎪=>⎪⎩，解得m>2．【小问3详解】由题意知2221111()222h x x t x x t x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令1z x x=+，则222y z tz =--，由（1）可知函数1z x x =+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[1,2]上单调递增，∴52,2z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，因为函数222y z tz =--的对称轴方程为0z t =<，∴函数222y z tz =--在52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，当2z =时，222y z tz =--取得最小值，min 42y t =-+；当52z =时，222y z tz =--取得最大值，max 1754y t =-+．所以min ()42h x t =-+，max 17()54h x t =-+，又因为对任意的1x ∀，21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()()12154h x h x -≤恒成立，∴max min 15()()4h x h x -≤，即17155(42)44t t -+--+≤，解得32t ≥-，。
2022-2023学年浙江省宁波市鄞州中学高一上学期期中数学试题
2022-2023学年浙江省宁波市鄞州中学高一上学期期中数学试题1.已知全集，，则（）A ．B．C ．D ．2.命题“，”的否定是（）A ．，B ．，C．，D．，3.设，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．4.下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若则5.已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（）B．不等式的解集为A．C．D．不等式的解集为6.已知，若，则（）A．5 B．C．2 D．2或7.已知函数，则的图象大致是（）A．B．C．D．8.函数的定义域为，若为偶函数，且当时，，则（）A．B．C ．D ．9.已知幂函数的图象经过点，则（）A ．函数为增函数B ．函数为偶函数D ．当时，C ．当时，10.已知，且，则下列说法正确的是（）A．B．C．的最小值为D．11.已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是（）A．B．函数在上是减函数C．D．不等式的解集为12.给出定义：若，则称为离实数最近的整数，记作．在此基础上给出下列关于函数的四个结论，其中正确的是（）A．函数的定义域为R，值域为B．函数的图象关于直线对称C．函数是偶函数D．函数在上单调递增13.若函数的定义域为，则函数的定义域为__________．14.已知函数定义域为，对任意的，都有，，则的解集为___________.15.已知实数满足，则的最大值为___________.16.设函数，若存在最小值，则的最大值为_____.17.（1）求值：（2）已知非零实数a满足，求的值.18.已知命题：“，都有不等式成立”是真命题.(1)求实数的取值集合；(2)设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.19.两县城和相距km ，现计划在县城外以为直径的半圆弧(不含两点)上选择一点建造垃圾处理站，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为；对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为，对城市和城市的总影响度为城市和城市的影响度之和，记点到城市的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为，统计调查表明：当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为.（1）将表示成的函数；（2）判断弧上是否存在一点，使得建在此处的垃圾处理厂对城市和城的总信影响度最小？若存在，求出该点到城的距离；若不存在，说明理由.20.对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”.(1)已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”，并说明理由：(2)若为定义在上的“局部奇函数”，求实数的取值范围.21.已知.(1)用定义证明的单调性，并求在区间上的最大值和最小值；(2)已知集合，其中且，且对任意，都有，求的值.22.已知函数,.（1）若，求的单调区间；（2）求函数在上的最值；（3）当时，若函数恰有两个不同的零点，求的取值范围.。