bezier曲线
bezier曲线
Bezier 曲线什么是 Bezier 曲线？Bezier 曲线是一种数学曲线，由法国工程师 Pierre Bézier 于20世纪50年代发明。
它是计算机图形学中最基本和最常用的曲线之一。
由于其简单性和灵活性，Bezier 曲线被广泛应用于计算机图形、工业设计、动画制作等领域。
Bezier 曲线的特点Bezier 曲线由一系列控制点确定，并通过调整这些控制点的位置和参数来定义曲线的形状。
以下是 Bezier 曲线的一些特点：1.可调节性：调整控制点的位置和参数可以改变曲线的形状、弯曲程度和速度。
2.平滑性：Bezier 曲线能够平滑连接控制点，使得曲线在控制点之间呈连续曲率。
3.参数化形状：Bezier 曲线可以通过调整参数来生成无限多种形状，从简单的直线到复杂的曲线。
4.逼近性：Bezier 曲线可以用来逼近其他复杂的曲线，如圆弧、椭圆等。
Bezier 曲线的数学表达Bezier 曲线是通过插值和多项式生成的数学曲线。
根据控制点的个数，可以确定 Bezier 曲线的阶数。
一般情况下，Bezier 曲线的阶数等于控制点数减1。
对于一维的 Bezier 曲线，它可由以下公式表示：Bezier 1DBezier 1D其中，n 为阶数，t 为参数，Pi 为控制点，Bi, n(t) 为 Bezier 基函数。
对于二维的 Bezier 曲线，它可由以下公式表示：Bezier 2DBezier 2D其中，n 为阶数，t 为参数，Pi 为控制点，Bi, n(t) 为 Bezier 基函数。
Bezier 曲线的应用Bezier 曲线的应用非常广泛，以下是一些常见的应用场景：1.计算机图形学：Bezier 曲线可以用来绘制平滑的曲线和曲面，用于构建2D和3D图形。
2.工业设计：Bezier 曲线可以用来设计平滑的汽车车身、家具等产品。
3.动画制作：Bezier 曲线可以用来定义动画路径，使得动画流畅而自然。
计算机图形学--第十一讲 Bezier曲线
任课教师：李陶深教授tshli@任课教师：李陶深教授tshli@12 曲线的基本概念Bézier 曲线5曲线与曲面的概述 4 3 6 B 样条曲线NURBS 曲线 常用的曲面Bézier曲线是由法国雷诺汽车公司工程师的Pierre Bézier在1971年发明的一种构造样条曲线和曲面的方法, 用来进行雷诺汽车的车身设计, 现在Bézier曲线曲面广泛应用在计算机图形学中的外形设计, 以及字体表示中.◆Bé◆在折线的各顶点中，只有第一点和最后一点在曲线上且作为曲线的起始处和终止处，其他的点用于控制曲线的形状及阶次。
◆曲线的形状趋向于多边形折线的形状，要修改曲线，只要修改折线的各顶点就可以了。
多边形折线又称的控制多边形，其顶点称为控制点。
6.3 Bézier 曲线—曲线的定义Bézier 曲线是由一组控制顶点和Bernstein 基函数混合(blending)得到的曲线.()[],0(), 0,1n i i n i t B t t ==∈∑C P 其中, P i (i =0,1,…,n)称为控制顶点; 顺序连接控制顶点生成控制多边形.()()[],1,0,1n i i i i n n B t C t t t -=-∈为Bernstein 基函数.Bézier 曲线的次数, 就是Bernstein 基函数的次数; Bézier 曲线的阶数, 就是控制顶点的个数. 阶数为次数加1.6.3 Bézier曲线—定义（2）给定空间n+1个点的位置矢量P i（i=0，1，2，…，n），则n次Bézier曲线上各点坐标的插值公式定义为：B i,n(t)是n次Bernstein基函数P i构成该Bézier曲线的特征多边形6.3 Bézier曲线—曲线的定义（3）Bézier曲线曲线的形状趋于特征多边形的形状①正性②权性由二项式定理可知：③对称性: 若保持原全部顶点的位置不变, 只是把次序颠倒过来, 则新的Bézier曲线形状不变, 但方向相反。
贝塞尔曲线——精选推荐
2．2．3 Bezier曲线在工程设计中，由给定型值点进行曲线设计往往由于型值点的误差而得不到满意的结果。
另一方面，在一些更注重外观的设计中，型值点的精度又不很重要。
从1962年起，法国雷诺汽车公司的Bezier开始构造他的以“逼近”为基础的参数曲线表示法。
以这种方法为基础，完成了一种自由型曲线和曲面的设计系统UNIS-URF，1972年在雷诺汽车公司正式使用。
Bezier曲线的形状是通过一组多边折线（称为特征多边形）的各顶点唯一地定义出来的。
在多边形的各顶点中，只有第一点和最后一点在曲线上，其余的顶点则使用控制曲线的导数、阶次和形式。
第一条和最后一条折线则表示出曲线在起点和终点处的切线方向。
曲线的形状趋向仿效多边折线的形状。
改变控制点与改变曲线形状有着形象生动的直接联系。
如图2．6所示。
1）Bezier曲线的定义给定 n＋ l个空间向量bi(i= 0，l，…，n），称 n次参数曲线段为Bezier曲线。
式中使用了Bernstein多项式Bi，n（u）作为基函数：u是局部参数，u∈[0，1]。
我们给出n＝3的Bezier曲线的矩阵表示：则有 P(u)=UMB2）Bezier曲线的性质Bezier曲线的基本数学表达式：这说明Bezier曲线在始点和终点处的切线方向是与Bezier控制多边形的第一边及最后一边的走向一致。
这说明曲线在起点和终点处的二阶导数仅与相邻的二点位置有关，而与其余各点的位置关。
Bezier曲线的这一特性说明，只需适当移动控制点就能获得满意的曲线位置和形状。
利用这个特性，当采用分段Bezier 曲线时，只要保证曲线在接点处的折线共线，就可以得到C1连续性。
如图2．7所示的一个公共端点的二条Bezier曲线，当两段曲线的控制折线在接点处共线时，就保证了它们连成的曲线在公共端点的一阶连续。
Bezier曲线还具有凸包性，即B6zier曲线均落在由它的控制点形成的凸壳内。
所谓凸壳是指用橡皮图从外面去套所有控制点所形成的凸多边形。
贝塞尔曲线
贝塞尔曲线：贝塞尔曲线又称贝兹曲线或贝济埃曲线，一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线，贝兹曲线由线段与节点组成，节点是可拖动的支点，线段像可伸缩的皮筋，我们在绘图工具上看到的钢笔工具就是来做这种矢量曲线的。
当然在一些比较成熟的位图软件中也有贝塞尔曲线工具，如PhotoShop等。
在Flash4中还没有完整的曲线工具，而在Flash5里面已经提供出贝塞尔曲线工具。
贝塞尔曲线是应用于二维图形应用程序的数学曲线。
曲线的定义有四个点：起始点、终止点（也称锚点）以及两个相互分离的中间点。
滑动两个中间点，贝塞尔曲线的形状会发生变化。
十九世纪六十年代晚期，Pierre Bézier应用数学方法为雷诺公司的汽车制造业描绘出了贝塞尔曲线。
贝塞尔曲线就是这样的一条曲线，它是依据四个位置任意的点坐标绘制出的一条光滑曲线。
在历史上，研究贝塞尔曲线的人最初是按照已知曲线参数方程来确定四个点的思路设计出这种矢量曲线绘制法。
贝塞尔曲线的有趣之处更在于它的“皮筋效应”~也就是说，随着点有规律地移动，曲线将产生皮筋伸引一样的变换，带来视觉上的冲击。
19世纪70年代，法国数学家Pierre Bézier第一个研究了这种矢量绘制曲线的方法，并给出了详细的计算公式，因此按照这样的公式绘制出来的曲线就用他的姓氏来命名~是为贝塞尔曲线。
【作用】由于用计算机画图大部分时间是操作鼠标来掌握线条的路径，与手绘的感觉和效果有很大的差别。
即使是一位精明的画师能轻松绘出各种图形，拿到鼠标想随心所欲的画图也不是一件容易的事。
这一点是计算机万万不能代替手工的工作，所以到目前为止人们只能颇感无奈。
使用贝塞尔工具画图很大程度上弥补了这一缺憾。
【发现者】“贝赛尔曲线”是由法国数学家Pierre Bézier所发现，由此为计算机矢量图形学奠定了基础。
它的主要意义在于无论是直线或曲线都能在数学上予以描述。
【贝赛尔工具】“贝赛尔”工具在photoshop中叫“钢笔工具”；在CorelDraw中翻译成“贝赛尔工具”；而在Fireworks中叫“画笔”。
贝塞尔曲线B样条NURBS样条学习总结
Bezier曲线、B样条曲线和NURBS曲线0.概述1. 贝塞尔曲线（Bezier Curve）：贝塞尔曲线由一组控制点和控制点上的权重组成。
贝塞尔曲线的阶数由控制点的数量决定，阶数为n的贝塞尔曲线需要n+1个控制点。
贝塞尔曲线具有局部控制的特性，即曲线上的一段由相邻的几个控制点决定，不受其他控制点的影响。
贝塞尔曲线的计算相对简单，但在变形过程中可能会出现形状扭曲的问题。
2. B样条（B-Spline）： B样条曲线是一种基于分段多项式的曲线表示方法。
与贝塞尔曲线不同，B样条曲线的每个控制点都有一个关联的基函数。
这些基函数决定了曲线上每一点的形状。
B样条曲线的阶数可以是任意的，较高阶的B样条曲线能够更灵活地描述复杂的曲线形状。
B样条曲线具有良好的局部控制性和平滑性，可以很好地避免贝塞尔曲线的形状扭曲问题。
3. NURBS曲线（Non-Uniform Rational B-Spline Curve）：NURBS曲线是对B样条曲线的扩展，它引入了有理权重的概念。
NURBS曲线的每个控制点都有一个关联的权重，这些权重可以调节曲线上各个点的影响程度。
NURBS曲线能够表示更复杂的曲线形状，如圆弧和椭圆等。
总的来说Bezier曲线中的每个控制点都会影响整个曲线的形状，而B样条中的控制点只会影响整个曲线的一部分，显然B样条提供了更多的灵活性；Bezier和B样条都是多项式参数曲线，不能表示一些基本的曲线，比如圆，所以引入了NURBS，即非均匀有理B样条来解决这个问题；贝塞尔曲线适用于简单的曲线形状设计，B样条曲线具有更好的局部控制和平滑性，适用于复杂曲线的建模而NURBS曲线在B样条的基础上引入了有理权重，可以更准确地描述各种曲线形状Bezier曲线是B样条的一个特例，而B样条又是NURBS的一个特例1.Bezier曲线1.1 贝塞尔曲线的历史:贝塞尔曲线于 1962 年，由法国工程师皮埃尔·贝济埃（PierreBézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计,贝塞尔曲线最初由保尔·德·卡斯特里奥于1959年运用德卡斯特里奥算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。
Bezier曲线
x(t) a3xt 3 a2xt 2 a1xt a0x
y(t) a3yt3 a2yt2 a1yt a0y z(t) a3zt 3 a2zt 2 a1zt a0z
t [0,1]
• 矢量表示
P(t
)
a3t
3
a2t
2
a1t
a0
t [0,1]
• 已知P(0),P(1),P’(0),P’(1)
• n+1个控制点构成由n条边组成 的折线集，称为控制多边形
• 控制多边形起点、终点和曲线 起点、终点重合。
• 控制多边形第一条边和最后一 条边表示曲线起点、终点处切 向量方向。
• 曲线形状趋向于控制多边形形 状。
Bezier曲线插值公式
• 给次定Be空zie间r参n+数1个曲点线的上位各置点矢坐量标P的i（插i=值0，公1式，是…：，n），则n
• 由(n+1)个控制点Pi(i=0, 1, ..., n)定义的n次Bezier曲线Pn0 可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次 Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合：
Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法(IV)
一次Bezier曲线的生成
二次Bezier曲线的生成
例子：n=3时，用de Casteljeu算法 求3次Bezier曲线上的点
当n=3时，de casteljau 算法递推出的Pki呈直 角三角形，对应结果 如右图所示。从左向 右递推，最右边点P30 即为曲线上的点。
• 这一算法可用简单的几何 作图来实现。给定参数t， 就把定义域分成长度为的 两段。依次对原始控制多 边形每一边执行同样的定 比t：(1-t)分割，所得分点 就是第一级递推生成的中 间顶点。
ae中贝塞尔曲线
AE中贝塞尔曲线在Adobe After Effects（AE）中，贝塞尔曲线是一个非常重要的概念，它用于创建和编辑动画和运动路径。
在这篇文章中，我们将来详细介绍AE中的贝塞尔曲线。
一、贝塞尔曲线的基本概念贝塞尔曲线是一种数学曲线，由法国数学家Pierre Bézier创建。
它被广泛应用于计算机图形学、计算机动画和计算机视觉等领域。
在AE中，贝塞尔曲线用于定义物体的运动路径、形状和动画。
二、贝塞尔曲线的构成贝塞尔曲线由一系列点组成，这些点被称为控制点。
每个控制点都有两个“把手”，一个在控制点的左边，一个在右边。
通过调整控制点的位置和把手的角度和长度，可以改变贝塞尔曲线的形状。
三、贝塞尔曲线的类型在AE中，有两种类型的贝塞尔曲线：Bezier曲线和B-spline曲线。
1. Bezier曲线：Bezier曲线是最常用的贝塞尔曲线类型。
它由两个端点和两个控制点组成。
这两个控制点定义了曲线的形状，而两个端点则确定了曲线的起点和终点。
在AE中，Bezier曲线通常用于创建动画和运动路径。
2. B-spline曲线：B-spline曲线是一种更复杂的贝塞尔曲线类型。
它由多个控制点组成，这些控制点可以沿着曲线移动，从而改变曲线的形状。
B-spline曲线在处理复杂形状和动画时非常有用。
四、如何创建和编辑贝塞尔曲线1. 创建贝塞尔曲线：在AE中，可以通过以下步骤创建贝塞尔曲线：a. 选择一个图层或物体，然后按下“Ctrl”键并单击时间轴中的空白区域。
这将创建一个新的空对象。
b. 在时间轴中选择空对象，然后按下“Ctrl”键并单击时间轴中的空白区域。
这将创建一个新的贝塞尔曲线。
c. 在时间轴中选择贝塞尔曲线，然后使用“Ctrl”键拖动控制点以调整曲线的形状。
2. 编辑贝塞尔曲线：在AE中，可以使用以下方法编辑贝塞尔曲线：a. 拖动控制点：选择控制点并拖动它们可以改变曲线的形状。
当鼠标放在控制点的把手上时，会出现一个红色线条，表示可以调整把手的角度和长度。
cubic bezier 计算公式
cubic bezier 计算公式
摘要：
1.贝塞尔曲线简介
2.立方贝塞尔曲线计算公式
3.立方贝塞尔曲线应用示例
正文：
1.贝塞尔曲线简介
贝塞尔曲线（Bezier Curve）是一种以四个控制点定义的平滑曲线。
它由法国数学家皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bezier）于1964 年提出，被广泛应用于计算机图形学、动画制作等领域。
贝塞尔曲线具有很好的局部性和凸包特性，可以精确地表示各种复杂的曲线形状。
2.立方贝塞尔曲线计算公式
立方贝塞尔曲线（Cubic Bezier Curve）是贝塞尔曲线的一种，它使用三个控制点来定义一个平滑曲线。
其计算公式如下：
C(u) = P0 + (P1 - P0) * u^3 + (P2 - 2 * P1 + P0) * u^2 + (P3 - 3 * P2 + 3 * P1 - P0) * u + (P4 - 4 * P3 + 6 * P2 - 4 * P1 + P0) * u^(-1) 其中，C(u) 表示曲线上某一点的坐标，P0、P1、P2、P3、P4 分别为曲线上的五个点（包括起点和终点），u 为参数值，范围为[0, 1]。
3.立方贝塞尔曲线应用示例
立方贝塞尔曲线在计算机图形学和动画制作等领域具有广泛的应用。
例如，在Adobe Photoshop 和Illustrator 等软件中，用户可以使用贝塞尔曲线工具绘制平滑的曲线路径。
在3D 建模和动画制作中，立方贝塞尔曲线可以
用于创建复杂的形状和运动轨迹。
此外，贝塞尔曲线还被应用于计算机视觉、机器人路径规划等领域。
总之，立方贝塞尔曲线作为一种重要的数学模型，具有广泛的应用价值。