函数极值最值资料讲解
函数的极值与最值
函数的极值与最值函数是数学中常见的概念，它描述了一种输入与输出之间的关系。
在数学的研究中，我们经常需要探讨函数的极值与最值，这些信息对于理解函数性质以及解决实际问题非常重要。
一、极值的概念及求解方法极值是函数在定义域内取得的最大值或最小值。
函数的极大值对应于其图像的局部最高点，而极小值对应于其图像的局部最低点。
要找到一个函数在定义域内的极值，我们可以通过以下步骤进行求解：1. 找到函数的导数，导数可以帮助我们找到函数的增减性以及临界点。
2. 求解导数为零的点，这些点即为函数的可能的极值点。
3. 利用导数的符号确定这些临界点是极大值还是极小值。
4. 在临界点以及函数定义域的端点处进行比较，找到函数的极值。
举个例子来说明。
考虑函数f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 1在定义域[-3, 4]上的极值问题：1. 首先求解导数f'(x) = 6x^2 - 18x + 12。
2. 将导数置为零并解方程，得到6x^2 - 18x + 12 = 0，化简后得到x = 1。
3. 利用导数的符号，可以得出当x < 1时，导数为负，即函数单调递减；当x > 1时，导数为正，即函数单调递增。
所以x = 1是函数的极小值点。
4. 比较临界点x = 1以及函数定义域的端点x = -3和x = 4处的函数值，找到函数的极小值为f(1) = 6。
二、最值的概念及求解方法最值是函数在整个定义域内取得的最大值或最小值。
与极值不同的是，最值不要求在一定的区间内取得，而是考虑了整个定义域。
要找到一个函数在定义域内的最值，我们可以通过以下步骤进行求解：1. 首先找到函数的定义域，即函数取值的范围。
2. 在定义域内比较函数取值，找到最大值与最小值。
继续以函数f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 1为例：1. 函数f(x)的定义域为整个实数集，因此我们需要在全局范围内找到最值。
2. 比较函数在定义域内的取值，可以通过求导并求解导函数为零的点，或者观察函数的图像来找到最大值与最小值。
函数的极值与最值问题
函数的极值与最值问题函数的极值与最值问题是数学分析中的重要内容。
在实际问题中，我们常常需要求解函数的极值或最值，来确定某一变量的最佳取值或最大最小值。
本文将介绍函数的极值与最值问题的定义、求解方法以及实际应用。
一、函数的极值与最值的定义在数学中，给定一个函数f(x)，若存在一个区间I，使得对于该区间内的任意x值，f(x)的值都比f(x)在I的其它点处的值小（大），则称f(x)在I内存在极大（小）值，同时称该点为函数的极值点。
而函数在区间I内最大（小）的极值点则称为函数的最大（小）值。
二、求解函数的极值与最值的方法1. 寻找驻点首先，我们需要寻找函数的驻点。
驻点即为函数在该点的导数为零的点，也就是函数的极值点可能位于驻点处。
2. 列出极值点及临界点的值将驻点的值以及函数的定义域内的临界点的值列出，并计算出相应的函数值。
3. 比较并确定极值点及最值比较驻点和临界点的函数值，找出函数的极大值和极小值，即为函数的极值点。
同样地，比较所有极值点的函数值，找出函数的最大值和最小值。
4. 确定函数的定义域在比较极值点和临界点的函数值时，需要注意函数定义域的边界条件。
确保所比较的点处于函数的定义域内。
三、函数极值与最值问题的应用函数的极值与最值问题在实践中具有广泛的应用。
以经济学为例，函数的极值与最值问题常用于优化问题的求解。
例如，确定成本最低的生产方案或利润最大化的销售策略等。
在工程学中，函数的极值与最值问题可应用于优化设计。
比如求解最节能的物流路径、最优化的结构参数以及最大功率输出的电子电路布局等。
此外，函数的极值与最值问题还可用于求解几何问题中的最优解。
在数学建模、各类优化理论以及应用数学的研究中都有广泛的应用。
结论函数的极值与最值问题是数学分析中一个重要且常见的问题。
通过寻找函数的极值点和最值点，可以确定变量的最佳取值或者确定函数在某个区间内的最大最小值。
本文介绍了函数极值与最值问题的定义、求解方法以及应用，并指出了其在实际问题中的重要性。
函数的极值和最值
函数的极值和最值函数的极值和最值是数学中重要的概念，可以帮助我们研究函数的特性和解决实际问题。
本文将介绍函数的极值和最值的定义、求解方法以及应用。
一、函数的极值函数的极值即函数在某个区间内的最大值或最小值。
极值分为两种情况：局部极值和全局极值。
1. 局部极值局部极值是指函数在某个开区间内的最值。
设函数f(x)在点x=a处连续，如果在a的某个邻域内，对于任意的x，有f(x)≤f(a)（或f(x)≥f(a)），则称f(a)是f(x)在该邻域内的局部最小值（或局部最大值）。
其中，f(a)是该局部极值的函数值，a是极值点。
2. 全局极值全局极值是指函数在整个定义域上的最值。
设函数f(x)在[a, b]上连续，如果对于任意的x∈[a, b]，有f(x)≤f(a)（或f(x)≥f(a)），则称f(a)是f(x)在[a, b]上的全局最小值（或全局最大值）。
其中，f(a)是该全局极值的函数值，a是极值点。
二、函数极值的求解方法根据函数的极值定义，我们可以通过以下方法求解函数的极值：1. 导数法导数法是一种常用的求解函数极值的方法。
首先，我们计算函数f(x)的导数f'(x)，然后找出导数为零或不存在的点。
这些点就是可能的极值点。
接下来，对每个可能的极值点进行二阶导数检查，确认是否为极值。
当二阶导数大于0时，该点为局部最小值；当二阶导数小于0时，该点为局部最大值。
2. 区间法区间法适用于离散函数或无法通过导数法求解的情况。
首先，我们将定义域分为若干个区间，并计算每个区间的函数值。
然后，通过比较函数值得出极值。
例如，当函数值最大时，该点为局部最大值；当函数值最小时，该点为局部最小值。
三、函数极值的应用函数的极值在数学和实际问题中具有广泛的应用。
以下是几个典型的应用场景：1. 优化问题函数的极值在优化问题中起到重要作用。
例如，在生产过程中，我们希望找到产量最大或成本最低的方式，这就需要求解函数的最值。
2. 经济学经济学中的需求、供给、收益等问题通常涉及函数的极值。
函数的极值与最大、最小值
例如
x =1 为极大值点 ,
f (1)=2是极大值;
x =2 为极小值点 ,
f (1)=2是极小值.
例如
x =0为极小值点 ,
f (0)=0是极小值.
注意:
函数的极值是函数的局部性质.
x1 , x4 , x6 为极小值点,
x2 , x5 为极大值点,
二、最大与最小值问题
第十节 函数的极值与最大、最小值
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一、函数的极值及其求法
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一、函数的极值及其求法 1.函数极值的定义
设 f(x) 在区间 (a,b) 内有定义 , x0 (a,b) ,
若对任意的 xU(x0, ) (a,b) 且 x x0 , 有
练习题答案
第二充分条件;
(注意使用条件)
注意最值与极值的区别.
最值是整体概念而极值是局部概念.
实际问题求最值的步骤.
利用最大、小值证明不等式
则:
1
且
2
当 n 为偶数时,x = x0 为极值点 , 且
3
x = x0 为极小值点 ;
4
= x0 为极大值点 .
5
当 n 为奇数时,
6
= x0 不是极值点 .
7
但点 (x0 , f (x0 ) ) 是曲线 y=f(x)的拐点 .
最大值, 最小值的特殊情形:
1)如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)
3)对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出 的可疑点是否为最大值点或最小值点 .
例3 三角形 ABC 的底为 a , 高为 h ,求内接
导数与函数的极值、最值
导数与函数的极值、最值一、基础知识1．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.①函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f′(x0)＝0，极值点是f′(x)＝0的根，但f′(x)＝0的根不都是极值点(例如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点).②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间内部的点，不会是端点.2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．二、常用结论(1)若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．(2)若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．(3)若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．考点一利用导数解决函数的极值问题考法(一)利用导数求函数的极值或极值点[典例](优质试题·天津高考改编)设函数f(x)＝(x－t1)·(x－t2)(x－t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．(1)若t2＝0，d＝1，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若d＝3，求f(x)的极小值点及极大值．[解](1)由已知，可得f(x)＝x(x－1)(x＋1)＝x3－x，故f′(x)＝3x2－1.因此f(0)＝0，f′(0)＝－1.因此曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)(x－0)，故所求切线方程为x＋y＝0.(2)由已知可得f(x)＝(x－t2＋3)(x－t2)(x－t2－3)＝(x－t2)3－9(x－t2)＝x3－3t2x2＋(3t22－9)x－t32＋9t2.故f′(x)＝3x2－6t2x＋3t22－9.令f′(x)＝0，解得x＝t2－3或x＝t2＋ 3.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以函数f (x )的极小值点为x ＝t 2＋3，极大值为f (t 2－3)＝(－3)3－9×(－3)＝6 3.[解题技法] 求函数的极值或极值点的步骤 (1)求导数f ′(x )，不要忘记函数f (x )的定义域； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查在方程的根的左右两侧f ′(x )的符号，确定极值点或函数的极值． 考法(二) 已知函数极值点或极值求参数的值或范围[典例] (优质试题·北京高考节选)设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ，若f (x )在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围．[解] 由f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ， 得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ＝(ax －1)(x －1)e x . 若a >1，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值．若a ≤1，则当x ∈(0,1)时，ax －1≤x －1<0， 所以f ′(x )>0.所以1不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞)． [解题技法]已知函数极值点或极值求参数的2个要领[专题训练]1．设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点 C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点解析：选D ∵f (x )＝2x ＋ln x (x >0)， ∴f ′(x )＝－2x 2＋1x ，令f ′(x )＝0，则x ＝2. 当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0. 所以x ＝2为f (x )的极小值点．2．(优质试题·广州高中综合测试)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处的极值为10，则数对(a ，b )为( )A ．(－3,3)B ．(－11,4)C ．(4，－11)D ．(－3,3)或(4，－11)解析：选C f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＋a 2＝10，消去b 可得a 2－a －12＝0，解得a ＝－3或a ＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，这时f (x )无极值，不合题意，舍去，故选C.3．设函数f (x )＝ax 3－2x 2＋x ＋c (a >0)．(1)当a ＝1，且函数f (x )的图象过点(0,1)时，求函数f (x )的极小值； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1.(1)函数f (x )的图象过点(0,1)时，有f (0)＝c ＝1.当a ＝1时，f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋1，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1， 由f ′(x )>0，解得x <13或x >1； 由f ′(x )<0，解得13<x <1.所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13和(1，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1上单调递减，所以函数f (x )的极小值是f (1)＝13－2×12＋1＋1＝1. (2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点， 则f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，即f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≥0或f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≤0恒成立． 因为a >0，所以f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 则有Δ＝(－4)2－4×3a ×1≤0，即16－12a ≤0，解得a ≥43. 故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞.考点二 利用导数解决函数的最值问题[典例] (优质试题·北京高考)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值． [解] (1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0. 又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x .当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，h ′(x )＜0，所以h (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．所以对任意x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，有h (x )＜h (0)＝0，即f ′(x )＜0.所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．因此f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2.[解题技法]导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤(1)求函数f (x )的导数f ′(x )；(2)求f (x )在给定区间上的单调性和极值； (3)求f (x )在给定区间上的端点值；(4)将f (x )的各极值与f (x )的端点值进行比较，确定f (x )的最大值与最小值； (5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范． [专题训练]1.(优质试题·珠海摸底)如图，将一张16 cm ×10 cm 的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则这个纸盒的最大容积是________ cm 3.解析：设剪下的四个小正方形的边长为x cm ，则经过折叠以后，糊成的长方体纸盒是一个底面是长为(16－2x ) cm ，宽为(10－2x ) cm 的长方形，其面积为(16－2x )(10－2x )cm 2，长方体纸盒的高为x cm ，则体积V ＝(16－2x )(10－2x )×x ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)cm 3，所以V ′＝12(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －203，由V ′>0，得0<x <2，则函数V ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)在(0,2)上单调递增；由V ′<0，得2<x <5，则函数V ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)在(2,5)上单调递减，所以当x ＝2时，V max ＝144(cm 3)．答案：1442．已知函数f (x )＝ln x －ax .(1)若a >0，试判断f (x )在定义域内的单调性； (2)若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求实数a 的值．解：(1)由题意得f (x )的定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x ＋ax 2， 因为a >0，所以f ′(x )>0， 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． (2)由(1)可得f ′(x )＝x ＋ax 2， 因为x ∈[1，e]，①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上单调递增， 所以f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32， 所以a ＝－32(舍去)．②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (e)＝1－a e ＝32， 所以a ＝－e2(舍去)．③若－e<a <－1，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ，当1<x<－a时，f′(x)<0，所以f(x)在(1，－a)上单调递减；当－a<x<e时，f′(x)>0，所以f(x)在(－a，e)上单调递增，所以f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝32，所以a＝－ e.综上，a＝－ e.[课时跟踪检测]A级1．(优质试题·辽宁鞍山一中模拟)已知函数f(x)＝x3－3x－1，在区间[－3,2]上的最大值为M，最小值为N，则M－N＝()A．20B．18C．3 D．0解析：选A∵f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，∴f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，又∵f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，∴M＝1，N＝－19，M－N＝1－(－19)＝20.2．(优质试题·梅州期末)函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是()A．(－1,3)为函数y＝f(x)的单调递增区间B．(3,5)为函数y＝f(x)的单调递减区间C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值解析：选C由函数y＝f(x)的导函数的图象可知，当x<－1或3<x<5时，f′(x)<0，y＝f(x)单调递减；当x>5或－1<x<3时，f′(x)>0，y＝f(x)单调递增．所以函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3,5)，单调递增区间为(－1,3)，(5，＋∞)．函数y＝f(x)在x＝－1,5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，故选项C 错误．3．(优质试题·湖北襄阳四校联考)函数f(x)＝12x2＋x ln x－3x的极值点一定在区间()A．(0,1)内B．(1,2)内C．(2,3)内D．(3,4)内解析：选B函数的极值点即导函数的零点，f′(x)＝x＋ln x＋1－3＝x＋ln x －2，则f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln 2>0，由零点存在性定理得f′(x)的零点在(1,2)内，故选B.4．已知函数f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，若f(x)在区间[k,2]上的最大值为28，则实数k的取值范围为()A．[－3，＋∞) B．(－3，＋∞)C．(－∞，－3) D．(－∞，－3]解析：选D由题意知f′(x)＝3x2＋6x－9，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－3，所以f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：又f(－3)＝28，f(1)＝－4，f(2)＝3，f(x)在区间[k,2]上的最大值为28，所以k≤－3.5．(优质试题·皖南八校联考)已知函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc 在x ＝1处有极值－43，则b ＝( )A ．－1B ．1C ．1或－1D ．－1或3解析：选A f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，因为f (x )在x ＝1处有极值－43，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝－1＋2b ＋c ＝0，f (1)＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－43，Δ＝4b 2＋4c >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝3，故选A.6．设直线x ＝t 与函数h (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52D.22解析：选D 由已知条件可得|MN |＝t 2－ln t ， 设f (t )＝t 2－ln t (t >0)，则f ′(t )＝2t －1t ， 令f ′(t )＝0，得t ＝22，当0<t <22时，f ′(t )<0；当t ＞22时，f ′(t )＞0.∴当t ＝22时，f (t )取得最小值，即|MN |取得最小值时t ＝22.7．(优质试题·江西阶段性检测)已知函数y ＝ax －1x 2在x ＝－1处取得极值，则a ＝________.解析：因为y ′＝a ＋2x 3，所以当x ＝－1时，a －2＝0，所以a ＝2，经验证，。
函数的极值和最值
函数的极值和最值函数是数学中的一种重要概念，它描述了不同变量之间的关系。
在函数中，极值和最值是十分重要的概念，它们能够帮助我们找到函数的最高点和最低点，从而更好地理解函数的性质和特点。
本文将介绍函数的极值和最值的概念及其求解方法。
一、函数的极值在数学中，函数的极值是指函数在某个点上取得的最大值或最小值。
根据极值的概念，我们可以将其分为两种类型：极大值和极小值。
当函数在某点的函数值比其邻近的其他点都大时，该点上的极值称为极大值；当函数在某点的函数值比其邻近的其他点都小时，该点上的极值称为极小值。
为了找到函数的极值，我们可以通过求函数的导数来实现。
首先，我们需要求函数的导数，然后将导数为零的点找出来。
这些点就是函数可能存在极值的点。
接下来，我们可以通过求二阶导数来判断这些点是否是极值点，也就是通过判断导数的变化来确定函数的极值。
二、函数的最值函数的最值是指函数在某个区间或整个定义域上取得的最大值或最小值。
与极值相似，最值也可以分为最大值和最小值两种类型。
当函数在某个区间或整个定义域上的函数值比其他区间或整个定义域上的其他函数值都大时，该函数值称为最大值；当函数在某个区间或整个定义域上的函数值比其他区间或整个定义域上的其他函数值都小时，该函数值称为最小值。
要求解函数的最值，我们需要先找到函数的临界点和边界点。
临界点是指导数为零或导数不存在的点，而边界点是指函数定义域的端点。
然后，我们将这些点代入函数式中计算函数值，最后找到其中的最大值和最小值。
综上所述，函数的极值和最值是函数分析中的重要内容。
通过求导数和二阶导数，我们可以找到函数可能存在极值的点，并通过判断导数的变化来确定函数的极值。
而求解函数的最值则需要找到临界点和边界点，通过计算函数值来确定最大值和最小值。
这些方法可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。
最后，需要提醒的是，在实际问题中，函数的极值和最值往往对应着一些有意义的物理量或经济量，通过求解函数的极值和最值，我们能够找到最优解或者最优方案，为实际问题的解决提供有力的理论基础。
函数的极值和最值
函数的极值和最值在微积分中，函数的极值和最值是常见的概念。
极值指的是函数在某一区间内取得的最大值或最小值，而最值则是函数在定义域内取得的最大值或最小值。
一、极值的定义对于一个函数f(x)，如果存在某个数a使得在a的邻域内的任意x，都有f(x)≤f(a)或者f(x)≥f(a)，那么称函数f(x)在点a处有极大值或极小值。
极大值和极小值统称为极值。
二、求解极值的方法为了求解函数的极值，我们需要采用求导的方法。
具体步骤如下：1. 对函数f(x)求导，得到f'(x)。
2. 找出f'(x)的零点，即解方程f'(x)=0。
3. 将零点代入f''(x)，判断它们的正负性。
- 如果f''(x)>0，则在该点处取得极小值。
- 如果f''(x)<0，则在该点处取得极大值。
- 如果f''(x)=0，则无法判断，需要进行其他方法的检验。
三、最值的定义函数的最大值和最小值是函数在定义域内取得的最大值和最小值。
最大值用符号"max"表示，最小值用符号"min"表示。
四、求解最值的方法求解函数的最值需要考虑函数的定义域，并结合求导和极值的方法。
1. 函数定义域的判断- 如果函数是一个有限闭区间上的连续函数，则最值必然存在。
- 如果函数的定义域是整个实数集，则最值可能不存在。
2. 求解最值的步骤- 首先，对函数f(x)求导，得到f'(x)。
- 然后，找出f'(x)的零点。
- 接着，将零点和函数的端点代入f(x)，求出这些点对应的函数值。
- 最后，比较这些函数值，找出最大值和最小值。
需要注意的是，在求解最值时，还需要考虑函数的边界特性和特殊点，如间断点、开区间端点以及无界区间的端点等。
总结：函数的极值和最值是微积分中的重要概念，通过对函数的导数、零点和二阶导数的分析，可以求解函数的极值和最值。
函数的极值与最值知识点
函数的极值与最值知识点函数是数学中非常重要的概念，它描述了变量之间的关系。
在函数中，经常会遇到极值与最值的问题。
本文将介绍与函数的极值与最值相关的知识点。
一、函数的极值函数的极值指的是在函数曲线上存在的最高点或最低点。
根据函数的定义域和值域，可以分为两种极值：最大值和最小值。
1. 定义域与值域在讨论函数的极值之前，首先需要明确函数的定义域和值域。
定义域是指函数的自变量的取值范围，而值域则是函数的因变量的取值范围。
2. 局部极值对于实数域上的函数，如果在某个区间内存在一个点，使得这个点左右两侧的函数值都比它小（或都比它大），那么这个点就是函数在该区间内的局部最小值（或最大值）。
3. 单调性与极值单调性是指函数在定义域内的变化趋势。
如果函数在某个区间内单调递增，那么在这个区间内，函数的最小值一定在区间的起点上；如果函数在某个区间内单调递减，那么在这个区间内，函数的最大值一定在区间的终点上。
二、函数的最值函数的最值指的是函数在定义域内可能取得的最大值或最小值。
1. 最大值与最小值对于连续函数，在有限闭区间上一定存在最大值和最小值。
根据最值的性质，最大值是函数图像上的“最高点”，最小值是函数图像上的“最低点”。
2. 最值的求解方法为了找到函数的最值，可以使用以下方法：（1）导数法：通过求函数的导数，找到导数为零的点，并且通过二阶导数的符号判断这些点是极值点还是驻点。
（2）边界法：当函数定义域为闭区间时，极值可能出现在端点上。
三、综合例题为了更好的理解函数的极值与最值，下面给出一个综合例题：例题：已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求其在定义域[-2,2]上的最大值和最小值。
解答：首先，将函数f(x)对x求导，得到f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。
令f'(x) = 0，解得x = 1/3。
然后，计算f''(1/3) = 4，由于f''(1/3)大于0，所以x = 1/3是函数f(x)的一个局部最小值点。