分式知识点及例题

分式知识点一：分式的定义一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式，A 为分子，B 为分母。

知识点二：与分式有关的条件1、分式有意义：分母不为0（0B ≠）2、分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=00B A ）3、分式无意义：分母为0（0B =）4、分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ） 5、分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><0B A ）知识点三：分式的基本性质【分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

字母表示：C B C ••=A B A ，CB C÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。

拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即BB A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。

知识点四：分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

`步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。

知识点四：最简分式的定义一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

知识点五：分式的通分①分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

②@③分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。

最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

确定最简公分母的一般步骤：Ⅰ取各分母系数的最小公倍数；Ⅱ单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；Ⅲ相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。

Ⅳ保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。

%注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。

知识点六：分式的四则运算与分式的乘方1、分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

式子表示为：db ca d cb a ••=• 分式除以分式：式子表示为cc ••=•=÷b da db a dc b a 2、分式的乘方：把分子、分母分别乘方。

式子n n nb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛3、 分式的加减法则：[同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。

式子表示为cba cb ±=±c a 异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。

式子表示为bdbcad d c ±=±b a 注意：加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。

知识点七：整数指数幂★nm nmaa +=⋅a ★()mn nma a = ★()n n nb b a a =★n m n m a a -=÷a （0≠a ） ★n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛n★n a 1=-n a （0≠a ）★10=a （0≠a ） （任何不等于零的数的零次幂都等于1） 其中m ，n 均为整数。

【知识点八：分式方程的解的步骤⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。

（产生增根的过程） ⑵解整式方程，得到整式方程的解。

⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。

分式方程应用题解题基本步骤1、审—仔细审题，找出等量关系。

2、设—合理设未知数。

3、列—根据等量关系列出方程（组）。

4、解—解出方程（组）。

注意检验—（一）分式知识点总结（题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：yx yx y x y x b a b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件|【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x（2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x-84为正；（2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；?（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- @题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. （1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）yx yx --+- （2）ba a---（3）ba---\题型三：化简求值题【例1】已知：21=-x x ，求221x x +的值.【例2】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.（三）分式的运算1．确定最简公分母的方法：，①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.题型一：通分【例1】将下列各式分别通分. （1）cb ac a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--； "题型二：约分【例2】约分：（1）322016xy y x -；（3）n m m n --22；（3）6222---+x x x x .:题型三：分式的混合运算【例3】计算：（1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；（2）22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+； （3）mn mn m n m n n m ---+-+22；（4）112---a a a ；（5）（6）874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--；！（6）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ；（7）)12()21444(222+-⋅--+--x xx x x x x【题型四：化简求值题【例4】先化简后求值（1）已知：1-=x ，求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；（2）已知：432z y x ==，求22232zy x xzyz xy ++-+的值；-题型五：求待定字母的值【例5】若111312-++=--x Nx M x x ，试求N M ,的值.、（四）、整数指数幂与科学记数法题型一化简求值题【例2】已知51=+-x x ，求（1）22-+x x 的值；（2）求44-+x x 的值.?第二讲分式方程\【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程产生增根的原因3.分式方程的应用题【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.（一）分式方程题型分析,题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程（1）x x 311=-； （2）0132=--xx ；~（3）114112=---+x x x ；（4）x x x x -+=++4535题型二：增根【例4】若关于x 的分式方程3132--=-x m x 有增根，求m 的值.~题型三：列分式方程解应用题练习：1．解下列方程：（1）021211=-++-x x x x ； （2）3423-=--x x x ；（3）22322=--+x x x ； （4）171372222--+=--+x x x x x x#（5）2123524245--+=--x x x x （6）41215111+++=+++x x x x2.如果解关于x 的方程222-=+-x x x k 会产生增根，求k 的值.）3．已知关于x 的分式方程a x a =++112无解，试求a 的值.（二）分式方程的特殊解法！解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：一、交叉相乘法例1．解方程：231+=x x二、化归法例2．解方程：012112=---x x三、左边通分法例3：解方程：87178=----xx x四、分子对等法例4．解方程：)(11b a x b b x a a ≠+=+五、观察比较法例5．解方程：417425254=-+-x x x x六、分离常数法例6．解方程：87329821+++++=+++++x x x x x x x x七、分组通分法例7．解方程：41315121+++=+++x x x x （三）分式方程求待定字母值的方法例1．若分式方程xm x x -=--221无解，求m 的值。