人教版八年级数学分式知识点和典型例题(最新整理)
人教版八年级数学上册《分式》知识点复习及典例解析
人教版八年级数学上册《分式》知识点复习及典例解析《分式》知识点复习及典例解析一、复习目标1.理解并记住分式的乘法法则、除法法则，会进行简单的分式乘除法计算．能解决一些与分式的乘除运算有关的简单的实际问题.2.了解同分母分式的加减法法则，会进行同分母分式的加减运算，理解通分的意义，会通过通分把异分母的分式加减转化为同分母的分式加减.3.能熟练地进行分式的加减乘除混合运算，提高类比的能力和代数化归的能力.4.了解分式方程的概念，掌握解一元一次方程的分式方程的方法，了解产生增根的原因，会检捡一个数是不是分式方程的增根．5.能够列出可化为一元一次方程的分式方程解简单实际问题．二、重点难点重点：分式乘除法、加减法法则的应用. 分式方程的概念，分式方程的解法难点：异分母分式加减法. 解分式方程时，去分母可能会出现增根。
三、知识概要1. 分式的乘除乘法法则：分式乘分式时，分子的积作积的分子，分母的积作积的分母. 除法法则：分式除以分式，把除式的分子和分母颠倒位置后与被除式相乘. 式子表示：.;bcad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=? 2. 分式的加减（1）分式的通分：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫通分.（2）法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减.异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.式子表示：;c b a c b c a ±=±.bdbc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=± 3.分式方程的概念分式是一种表示具体情境中数量的模型，分式方程则是表示这些数量关系之间相等关系的模型，分式方程是分母中含有未知数的方程．4.分式方程的解法分式方程是转化为一元一次方程来求解，它是通过去分母实现转化的．主要步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验．因为分式方程可能产生增根，所以解分式方程最后一步“检验”，检查所解整式方程的根到底是不是分式方程的根．5.去分母的技巧解分式方程的基本思路是“转化”，即把分式方程化为我们熟悉的整式方程，转化的途径是“去分母”，即方程两边都乘以最简公分母．去分母是解分式方程的第一步，也是关键的一步，当分式方程中分式的分母是一次式时，可直接确定最简公分母，方程两边同乘以最简公分母后实现去分母，当各分式的分母中有二次式时，要先进行因式分解，再确定最简公分母，然后再去分母．6.验根的方法因为解分式方程可能出现增根，所以验根是必要的，验根的方法有两种，一种是把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法道理简单，而且可以检查解方程时有无计算错误，另一种是把求得的末知数的值代入最简公分母，看分母的值是否为零，这种方法比较简便，但不能检查解方程过程中出现的计算错误．7.列分式方程解决实际问题的方法步骤（1）、审：分析问题，寻找已知、未知及相相等关系，（2）、设：设恰当的未知数（3）、列：根据相等关系列出分式方程（4）、解：求出所列方程的解（5）、验：首先检验所求的解是不是分式方程的解，然后检验所求的解是否与实际符合（6）、答：写出答案．四、典例解析考点一、分式概念的运用例1．若分式||33x x --的值为零，则x 的值等于。
人教版八年级数学分式知识点及典型例题2
分式的知识点及典型例题分析1、分式的定义：例：下列式子中，y x +15、8a 2b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、y x +3、ma 1+中分式的个数为（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 (D) 5 练习题：（1）下列式子中，是分式的有 .⑴275x x -+； ⑵ 123x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹222xy x y +. （2）下列式子，哪些是分式？5a -； 234x +；3y y； 78x π+；2x xy x y +-；145b -+.2、分式有，无意义，总有意义：（1）使分式有意义：令分母≠0按解方程的方法去求解； （2）使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解； 注意：（12+x ≠0）例1：当x 时，分式51-x 有意义； 例2：分式xx -+212中，当____=x 时，分式没有意义 例3：当x 时，分式112-x 有意义。
例4：当x 时，分式12+x x有意义例5：x ，y 满足关系 时，分式x yx y-+无意义； 例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ）A ．122+x x B.12+x x C.133+x x D.25x x -例7：使分式2+x x有意义的x 的取值范围为（ ）A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x D ．2<x例8：要是分式)3)(1(2-+-x x x 没有意义，则x 的值为（ ）A. 2 或-3 C. -1同步练习题：3、分式的值为零：使分式值为零：令分子=0且分母≠0，注意：当分子等于0使，看看是否使分母=0了，如果使分母=0了，那么要舍去。
例1：当x 时，分式121+-a a的值为0 例2：当x 时，分式112+-x x 的值为0例3：如果分式22+-a a 的值为为零,则a 的值为( ) A. 2± C. 2- D.以上全不对例4：能使分式122--x xx 的值为零的所有x 的值是 （ ）A 0=xB 1=xC 0=x 或1=xD 0=x 或1±=x例5：要使分式65922+--x x x 的值为0，则x 的值为（ ）或-3D 24、分式的基本性质的应用：分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
人教版八年级数学分式知识点及典型例题[1]
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分式的知识点及典型例题分析1、分式的定义:例：下列式子中，y x +15、8a 2b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2—a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy3、y x +3、ma 1+中分式的个数为( ） （A ） 2 (B) 3 (C) 4 （D ） 5练习题：（1）下列式子中，是分式的有 .⑴275x x -+； ⑵ 123x -；⑶25a a -；⑷22x x π--;⑸22b b -；⑹222xy x y +。
（2）下列式子，哪些是分式？5a -； 234x +；3y y； 78x π+；2x xy x y +-;145b -+。
2、分式有，无意义，总有意义：（1)使分式有意义：令分母≠0按解方程的方法去求解； （2)使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解; 注意：(12+x ≠0）例1：当x 时，分式51-x 有意义; 例2:分式xx -+212中，当____=x 时，分式没有意义例3：当x 时，分式112-x 有意义。
例4:当x 时，分式12+x x有意义例5：x ，y 满足关系 时，分式x yx y-+无意义； 例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是( ） A ．122+x x B 。
分式知识点及典型例题
分式知识点及典型例题一、分式的定义如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A/B 就叫做分式。
其中 A 叫做分子，B 叫做分母。
需要注意的是，分母 B 的值不能为零，如果 B 的值为零，那么分式就没有意义。
例如：1/x ，（x ＋ 1)／（x 2) 都是分式，而 1/2 （分母 2 为常数，不含字母）就不是分式。
二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为零。
即对于分式 A/B，B ≠ 0 时，分式有意义。
例如：对于分式 1/（x 1) ，要使其有意义，x 1 ≠ 0 ，解得x ≠ 1 。
三、分式的值为零的条件分式的值为零需要同时满足两个条件：分子为零，分母不为零。
即当 A ＝ 0 且B ≠ 0 时，分式 A/B 的值为零。
例如：若分式(x 2)／（x ＋ 2)的值为零，则 x 2 ＝ 0 且 x ＋2 ≠ 0 ，解得 x ＝ 2 。
四、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。
即：A/B ＝（A×C)／（B×C) ，A/B ＝（A÷C)／（B÷C)（C 为不等于零的整式）例如：化简分式 2a/（3b) ，可以将分子分母同时乘以 2 ，得到 4a/（6b) ；或者将分子分母同时除以 a ，得到 2/（3b/a) 。
五、约分把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。
确定公因式的方法：1、如果分子分母都是单项式，先找出系数的最大公因数，再找相同字母的最低次幂。
2、如果分子分母是多项式，先因式分解，再找公因式。
例如：约分（2x ＋ 2)／（x²＋ 2x ＋ 1) ，先将分子因式分解为 2(x ＋ 1) ，分母因式分解为（x ＋ 1)²，然后约去公因式 x ＋ 1 ，得到 2/（x ＋ 1) 。
六、通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
初二数学分式知识点
初二数学分式知识点一、引言分式是初中数学中的重要概念，它在代数运算、方程求解以及后续的高中数学学习中都扮演着关键角色。
本文旨在总结初二数学中分式的基本概念、性质、运算规则以及应用实例，帮助学生掌握分式相关知识点。
二、分式的定义1. 分式：形如 \(\frac{a}{b}\) 的代数式，其中 \(a\) 称为分子，\(b\) 称为分母，\(b \neq 0\)。
2. 条件：分母不能为零，因为除以零没有定义。
三、分式的基本性质1. 等值变换：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个非零数，分式的值不变。
2. 符号规则：分式的符号由分子和分母的符号决定，分子分母同号结果为正，异号结果为负。
3. 约分：通过找出分子和分母的最大公约数并约去，简化分式。
4. 通分：将多个分式转化为具有相同分母的分式，便于进行加减运算。
四、分式的运算规则1. 加减法：- 同分母分式相加减：分子相加减，分母不变。
- 异分母分式相加减：先通分，再按照同分母分式进行加减。
2. 乘法：- 分式的乘法：分子乘分子，分母乘分母。
3. 除法：- 分式的除法：将除数的分式取倒数，然后进行乘法运算。
4. 乘方：- 分式的乘方：分子和分母分别取方。
五、分式的解方程1. 一元一次方程：通过移项和化简分式，求解未知数。
2. 一元二次方程：在解一元二次方程时，要注意分式的化简和检验根。
六、分式的应用题1. 比例问题：利用分式表示比例关系，解决实际问题。
2. 工作问题：通过分式方程解决工作效率和工作时间的问题。
3. 浓度问题：使用分式计算溶液的稀释和浓缩。
七、常见题型与解题技巧1. 化简求值：熟练掌握分式的化简方法，准确求出分式的值。
2. 分式方程：注意检验解的有效性，避免出现除以零的情况。
3. 应用题：理解题意，找出等量关系，建立分式方程求解。
八、总结分式是初中数学的重要内容，掌握分式的性质和运算规则对于提高数学成绩至关重要。
通过不断的练习和应用，可以加深对分式概念的理解，提高解题能力。
分式典型知识点与例题总结
人教版八年级下册分式全章 知识点和典型例习题 知识点回顾知识点一：分式形如 的式子叫做分式 。
知识点二：分式B A 的值1.当 时,分式有意义;2.当 时,分式无意义;3.当 时,分式的值为0;4.当 时,分式的值为1;5.当 时, 分式的值为正;6.当 时,分式的值为负; 知识点三：分式的基本性质用式子表示 知识点四：分式中的符号法则用式子表示 知识点五： 分式的约分 约去分子、分母的最大公因式，使分式变成最简分式或者整式 1.最大公因式= 。
2.当分式的分子和分母为多项式时， 知识点六：分式的通分把异分母分式变成同分母分式的过程。
1.最简公分母= 。
2.当分式的分子和分母为多项式时，知识点七：分式的乘除法法则（用式子表示）乘法法则：用式子表示 除法法则： 用式子表示 知识点八：回顾因式分解总步骤：一提二套三分组1. 提公因式： 套 平方差公式： 2 . 公 完全平方和：式 完全平方差：知识点九：分式的加减法法则 加法法则：减法法则：知识点十：分式的混合运算先 再 最后再 。
知识点十一：整数指数幂七大公式1.同底数幂的乘法2.同底数幂的乘法3.幂的乘方4.积的乘方5.分式的乘方法则6.0指数幂7.负整数指数幂 知识点十二：科学计数法1.绝对值大于1数都可表示成2. 绝对值小于1数都可表示成 其中101<≤a 。
知识点十三：分式方程 1. 概念 2. 解法:①去分母:② ③知识点十四：分式方程解应用题的步骤 、 、 、 、【例题】下列有理式中是分式的有(1)－3x ；(2)yx ；(3)22732xy y x -；(4)x 81-；(5)35+y ； (6)112--x x ；(7)π12--m ； (8)5.023+m ；【练习】1、在下列各式ma m x xb a x xa,),1()3(,43,2,3222--÷++π中，是分式的有 个2.找出下列有理式中是分式的代号(1)－3x ；(2)yx ；(3)22732xyy x -；(4)－x 81；(5) 35+y ； (6)112--x x ；(7) π-12m ； (8)5.023+m .二．分式的值 【例题】 1.当a 时，分式321+-a a 有意义；2.当_____时,分式4312-+x x 无意义；3.若分式33x x --的值为零，则x = ；4.当_______时,分式534-+x x 的值为1；5.当______时,分式51+-x 的值为正；6.当______时分式142+-x 的值为负.【练习】1．①分式36122--x x 有意义，则x ；②当x_____时，分式1x x x-- 有意义；③当x ____时分式x x 2121-+有意义；④当x_____时,分式11x x +-有意义；⑤使分式9x 1x 2-+有意义的x 的取值范围是 ； 2.当x = 3时，分式bx a x +-无意义，则b ______ 3. ①若分式11x x -+的值为零，则x 的值为 ；②若分式)1x )(3x (1|x |=-+-，则x 的值为_________________； ③分式392--x x 当x __________时分式的值为0；④当ｘ= ＿时，分式22943x x x --+的值为0；⑤当a=______时,分式2232a a a -++ 的值为零；4.当x __ 时，分式x -51的值为正.5.当x=_____时,分式232x x --的值为1.6.若分式231-+x x 的值为负数，则x 的取值范围是__________。
人教版八年级数学分式知识点及典型例题
分式的知识点及经典题型1、分式的定义： 例：下列式子中，y x +15、8a 2b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、y x +3、ma 1+中分式的个数为（ ） （A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 (D) 8 2、分式有，无意义，总有意义：注意：（12+x ≠0）例1：当x 时，分式51-x 有意义； 例3：当x 时，分式112-x 有意义。
例4：当x 时，分式12+x x 有意义； 例5：x ，y 满足关系 时，分式x y x y -+无意义； 3、分式的值为零：例1：当x 时，分式112+-x x 的值为0 例2：如果分式22+-a a 的值为为零,则a 的值为( ) A. 2± B.2 C. 2- D.以上全不对例3：能使分式122--x x x 的值为零的所有x 的值是 （ ） A 0=x B 1=x C 0=x 或1=x D 0=x 或1±=x例4：要使分式65922+--x x x 的值为0，则x 的值为（ ）A.3或-3 B.3 C.-3 D 2 例5：若01=+aa ,则a 是( ) A.正数 B.负数 C.零 D.任意有理数 4、分式的基本性质的应用：分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
例1:c b c b --=+- C B C A B A ⋅⋅=C B C A B A ÷÷=()0≠C例2：如果把分式yx xy +中的x 和y 都扩大2倍，即分式的值（ ） A 、扩大2倍； B 、扩大4倍； C 、不变； D 缩小2倍例3：如果把分式yx y x +-中的x 和y 都扩大2倍，即分式的值（ ） A 、扩大2倍； B 、扩大4倍； C 、不变； D 缩小2倍例4：若把分式x y x 23+的x 、y 同时缩小12倍，则分式的值（ ）A ．扩大12倍B ．缩小12倍C ．不变D ．缩小6倍 例5： 不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数，=---05.0012.02.0x x ； 5、分式的约分及最简分式：例1：下列式子（1）y x y x y x -=--122；（2）ca b a a c a b --=--；（3）1-=--b a a b ；（4）y x y x y x y x +-=--+-中正确的是（ ）A 、1个 B 、2 个 C 、 3 个 D 、 4 个例2：约分： =--2)(y x y x =-+22y x ay ax ；=++-1681622x x x ；=+-6292x x 23314___________21a bc a bc -= 232()3y x = （3222⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛a b = 例3：分式3a 2a 2++，22b a b a --，)b a (12a 4-，2x 1-中，最简分式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6、分式的乘，除，乘方： 乘法法测：b a ·d c =bd ac . 除法法则：b a ÷d c =b a ·c d =bcad 分式的乘方：求n 个相同分式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就是(b a )n .分式的乘方，是把分子、分母各自乘方.用式子表示为：(ba )n =n nb a (n 为正整数) 7、分式的化简、求值12.，其中2m =-．3．然后从22x -≤≤范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值．45x=26范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值．7.化简，再求值：x 满足2320x x -+=．8、已经两未知量的关系求代数式的值1.已知：43=y x ，求xyx y xy y xy x y x -+÷+--2222222的值。
人教版八年级数学上册第十五章 分式知识点总结和题型归纳
人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和题型归纳分式知识点总结和题型归纳第一部分分式的运算一）分式的定义及有关题型考查分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子A/B为分式。
例1：下列代数式中是分式的有：(x- y)/(2x+ y)，π/(2x- y)，(x+ y)/(a+ b)。
考查分式有意义的条件：分式有意义：分母不为0 (B≠0)分式无意义：分母为0 (B=0)例1：当x有何值时，下列分式有意义：1) (x-4)/(13x2-6x)2) 2/x3) 2/(x-4)4) (x+4|x|-3x+2)/(x-1)5) x/(x2-2x-3)考查分式的值为的条件：分式值为：分子为A且分母不为0 (A/B) 例1：当x取何值时，下列分式的值为0.1) (x-1)/(x+3)2) |x|-23) (x2-2x-3)/(x-5)(x+6)例2：当x为何值时，下列分式的值为零：1) 5-|x-1|/(x+4)2) (25-x2)/(x-6)(x+5)考查分式的值为正、负的条件：分式值为正或大于0：分子分母同号 (A/B>0) 分式值为负或小于0：分子分母异号 (A/B<0) 例1：(1) 当x为何值时，分式4/(8-x)为正；2) 当x为何值时，分式5-x/(5+x)为负；3) 当x为何值时，分式(x-2)/(x+3)为非负数.例2：解不等式|x|-2≤(x+1)/(x+5)考查分式的值为1，-1的条件：分式值为1：分子分母值相等 (A/B=1)分式值为-1：分子分母值互为相反数 (A+B=0)例1：若分式|x-2|/(x+2)的值为1，-1，则x的取值分别为3和-1.思维拓展练题：1、若a>b>0,a2＋b2－6ab=0，则(a+b)/(a-b)=9/5.2、一组按规律排列的分式：-b/2.5/b。
-8/b。
11/b。
则第n 个分式为(3n-1)/b。
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a● ÷ 第十六章分式知识点和典型例习题【知识网络】【思想方法】1. 转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等．2. 建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题— ——分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义．3. 类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．第一讲 分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2. 与分式运算有关的运算法则3. 分式的化简求值(通分与约分)4. 幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则: b ± c = b ± c(a ≠ 0)aa ab d bcda bc ± da 2. 异分母加减法则:± = ± = a c ac ac ac(a ≠ 0, c ≠ 0) ; 3. 分式的乘法与除法: b • d =bd a c ac , b ÷ c = b • d = bda d a c ac4. 同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5. 同底数幂的乘法与除法;ama n =a m+n ; a ma n =a m －n6. 积的乘方与幂的乘方:(ab)m= amb n , (a m )n = mn7. 负指数幂: a -p = 1a pa 0=1a -b a + b 8. 乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)= a2- b 2 ;(a±b)2= a 2±2ab+b 2（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例 1】下列代数式中： x , 1x - y , , 2 题型二：考查分式有意义的条件【例 2】当 x 有何值时，下列分式有意义x 2 - y 2 x + y1 , x + y ，是分式的有：.x - y（1）x - 4 x + 4（2） 3xx 2 + 2（3） 2x 2 - 1 （4） 6 - x | x | -3（5） 1x - 1x题型三：考查分式的值为 0 的条件【例 3】当 x 取何值时，下列分式的值为 0.（1）x - 1 x + 3（2）| x | -2 x 2 - 4x 2 - 2x - 3（3）x 2 - 5x - 6题型四：考查分式的值为正、负的条件 【例 4】（1）当 x 为何值时，分式 4为正；（2）当 x 为何值时，分式8 - x 5 - x 3 + (x - 1)2为负；练习：（3） 当 x 为何值时，分式 x - 2 为非负数.x + 31. 当 x 取何值时，下列分式有意义：（1）1 6 | x | -3（2）3 - x(x + 1)2+ 1（3）1 1 + 1x2. 当 x 为何值时，下列分式的值为零：（1）5- | x - 1 | x + 425 - x 2（2） x 2- 6x + 53. 解下列不等式 （1）| x | -2 ≤ 0x + 1（2）x + 5> 0x 2 + 2x + 3（二）分式的基本性质及有关题型1. 分式的基本性质： A=A ⨯ M =A ÷ MBB ⨯ M B ÷ M2. 分式的变号法则：-a= --a= - a = a- b + b - b b题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例 1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.1x - 2 y （1） 2 3 1 x + 1 y （2）0.2a - 0.03b0.04 a + b3 4题型二：分数的系数变号【例 2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）-x + y - x - y题型三：化简求值题（2） --aa - b（3） --a- b【例 3】已知： 1 + 1 = 5 ，求 2x - 3xy + 2 y的值.x y x + 2xy + y提示：整体代入，① x + y = 3xy ，②转化出 1 + 1 .【例 4】已知： x - 1 = 2 ，求 x 2+ 1 x x 2xy 的值.【例 5】若| x - y + 1 | +(2x - 3) 2= 0 ，求 练习：14x - 2 y的值.1. 不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.0.4a + 3 b（1）0.03x - 0.2 y 0.08x + 0.5 y（2） 5 1 a - 1 b 4 101x 22. 已知： x +x = 3 ，求 的值.x 4 + x 2 + 13．已知： 1 - 1 = 3 ，求 2a + 3ab - 2b的值.a b b - ab - a4．若 a 2 + 2a + b 2 - 6b + 10 = 0 ，求 2a - b 3a + 5b的值.5．如果1 < x < 2 ，试化简| x - 2 | - x - 1 + | x | .2 - x | x - 1 | x（三）分式的运算1. 确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2. 确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.题型一：通分【例 1】将下列各式分别通分.（1） c - 2ab , b , 3a 2c a- 5b 2c； （2）a , a -b b ；2b - 2a（1）（3） 1 x 2 - x , x 1 - 2x + x 2 , 2 x 2 - x - 2；（4） a + 2,1 2 - a题型二：约分【例 2】约分：（1） - 16x 2 y20xy 3；（3） n 2 - m 2m - n x 2 + x - 2 ；（3） x 2 - x - 6.题型三：分式的混合运算【例 3】计算：（1） ( a 2b 3 - c ) c 2 2 (- ab ) ÷ ( bc ) 4 a； （2） (3a 3 3 x + y ) ⋅ (x 2 - y 2 ) ÷ ( y - x ) 2 ； y + xm + 2n +n - 2ma 2- -（3） ；（4） a 1 ；（5） n - m 1 - m - n 1 - n - m 2x - 4x 38x 7；a - 1（6） 1 - x 1 + x 1 1 + x 2 + 1 1 + x 4 + 1 + x 81 ；(x - 1)(x + 1) (x + 1)(x + 3) (x + 3)(x + 5)（7） ( x 2 - 4 - x 2 - 4x + 4 1 x - 2) ⋅ ( x 2 - 2xx + 1 )题型四：化简求值题【例 4】先化简后求值（1）已知： x = -1 ，求分子1 -8[( x 2 - 4x 2 + 4 4x- 1) ÷ ( 1 - 21)] 的值；x （2）已知： x = y = z，求xy + 2 yz - 3xz的值；234x 2 + y 2 + z 2（3）已知： a 2 - 3a + 1 = 0 ，试求(a 2 -题型五：求待定字母的值1 )(a - 1) 的值. a2 a 【例 5】若1 - 3x= x 2 - 1 M + x + 1 N x - 1，试求 M , N 的值.练习：1. 计算⋅ -2a + 5 -a - 1 + 2a - 3a 2 -b 2 - 2ab（1）； （2） ；2(a + 1) 2(a + 1) 2(a + 1)a -b b - aa -b +c - a - 2b + 3c +b - 2c2b 2a -（3） ；（4） b + ；a +b -c b - c + a c - a - ba +b （5） (a - b + 4ab )(a + b - 4ab) ；（6） 1 + 1 + 2；（7）a -b 1 - a + b2 + 1 - x 1 .1 + x 1 + x 2(x - 2)(x - 3) (x - 1)(x - 3) (x - 1)(x - 2)2. 先化简后求值（1） a - 1 ⋅ a + 2 a 2 - 4 ÷ a 2 - 2a + 1 1a 2 - 1，其中 a 满足 a 2- a = 0 .（2）已知 x : y = 2 : 3 ，求(x 2- y 2xy ) ÷[(x + y ) ⋅ (x - y x )3] ÷ x y 2的值.3. 已知： 5x - 4 = (x - 1)(2x - 1) A - x - 1B 2x - 1，试求 A 、 B 的值.4. 当 a 为何整数时，代数式399a + 805 的值是整数，并求出这个整数值.a + 2（四）、整数指数幂与科学记数法题型一：运用整数指数幂计算【例 1】计算：（1） (a -2 ) -3⋅ (bc -1)3（2） (3x 3 y 2 z -1) -2 ⋅ (5xy -2 z 3 ) 2(a + b ) -3 (a - b )5 2（3）[(a - b ) -2 (a + b ) 4 ]（4）[(x + y )3⋅ (x - y ) -2 ]2⋅ (x + y ) -6题型二：化简求值题【例 2】已知 x + x -1 = 5 ，求（1） x 2 + x -2 的值；（2）求 x 4 + x -4 的值.题型三：科学记数法的计算【例 3】计算：（1） (3 ⨯10-3 ) ⨯ (8.2 ⨯10-2 ) 2 ；（2） (4 ⨯10-3 ) 2 ÷ (2 ⨯10-2 )3 .练习：1．计算：（1） (1 - 1 ) ⋅ ( 1 ) -2 ÷ | - 1 | +(1 -3)0 + (-0.25) 2007 ⋅ 42008 3 553（2） (3-1 m 3 n -2 ) -2 ⋅ (m -2 n ) -3(2ab 2 ) -2 ⋅ (a 2b ) 2 （3）(3a 3b 2 ) ⋅ (ab 3 ) -2[4(x -y) 2 (x +y) -2 ]2（4）[2(x +y) -1 (x -y)]-22．已知x 2- 5x + 1 = 0 ，求（1）x +x -1，（2）x 2+x -2的值.第二讲分式方程【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程产生增根的原因3.分式方程的应用题【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程（1）1=3；（2）2-1= 0 ；（3）x + 1-4= 1 ；（4）5 +x=x + 5 x -1 x x - 3 x x - 1 x 2-1x + 3 4 -x提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.题型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程（1）x+4x + 4= 4 ；（2）x + 7+x + 9=x + 10+x + 6 x + 1 x x + 6 x + 8 x + 9 x + 5提示：（1）换元法，设x=y ；（2）裂项法，x + 7=1 +1.【例3】解下列方程组x + 1 x + 6 x + 6⎧1+1=1(1)⎪⎪⎪ 1+1=1 (2)⎨⎪ ⎪1+1=1 (3)⎪⎩题型三：求待定字母的值【例4】若关于x 的分式方程 2x - 3 =1 -mx - 3有增根，求m 的值.【例5】若分式方程2x +a=-1 的解是正数，求 a 的取值范围. x - 2提示： x =2 -a> 0 且 x ≠ 2 ，∴a < 2 且 a ≠-4 . 3x y z y 2 z 3 x 4题型四：解含有字母系数的方程【例6】解关于x 的方程x -a=c(c +d ≠ 0)b -x d提示：（1）a, b, c, d 是已知数；（2）c +d ≠ 0 . 题型五：列分式方程解应用题练习：1.解下列方程：（1）x - 1+x + 12x1 -2x= 0 ；（2）xx - 3- 2 =4；x - 3（3 2x-3= 2 7 3 7 -x 2）；（4）-=1 +x + 2 x - 2 x 2+x x -x 2x 2- 1（5）5x - 4=2x + 5-1 （6） 1 + 1 = 1 +12x - 4 3x - 2 2 x +1 x + 5 x + 2 x + 4（7）x+x - 9=x + 1+x - 8x - 2 x - 7 x -1 x - 62.解关于x 的方程：（1）1=1+2(b ≠ 2a) ；（2）1+a=1+b(a ≠b) .a xb a x b x3.如果解关于x 的方程kx - 2+ 2 =xx - 2会产生增根，求k 的值.4.当k 为何值时，关于x 的方程x + 3=x + 2k(x -1)(x + 2)+1 的解为非负数.5.已知关于x 的分式方程2a + 1=a 无解，试求a 的值.x + 1（二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：一、交叉相乘法例1．解方程：1=x3x + 2二、化归法例2．解方程：三、左边通分法1-x - 12= 0x 2- 1例3：解方程：x - 8-x - 71= 87 -x四、分子对等法例 4．解方程：1+a=1+b(a ≠b)a xb x五、观察比较法例 5．解方程： 4x+ 5x - 2 = 175x - 2 4x 4六、分离常数法例 6．解方程：x + 1 + x + 8 = x + 2 +x + 7七、分组通分法例 7．解方程： x + 2 1 + x + 2 x + 9 1 = x + 5 x + 3 1 + x + 3 x + 81x + 4（三）分式方程求待定字母值的方法例 1．若分式方程 x - 1= x - 2 m 2 - x无解，求 m 的值。