第九章第2课时知能演练轻松闯关
第一章第2课时知能演练轻松闯关
一、选择题1.与命题“若a ∈M ，则b ∈/ M ”等价的命题是( )A ．若a ∈/M ，则b ∈/MB ．若b ∈/M ，则a ∈MC ．若a ∈/M ，则b ∈MD ．若b ∈M ，则a ∈/M解析：选D.与原命题等价的命题为原命题的逆否命题．“若a ∈M ，则b ∈/M ”的逆否命题为“若b ∈M ，则a ∈/M ”．故选D.2.设集合M ＝{x |0＜x ≤3}，N ＝{x |0＜x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.M ＝{x |0＜x ≤3}，N ＝{x |0＜x ≤2}，所以NM ，故“a ∈M ”是“a ∈N ”的必要不充分条件．3.(2012·高考陕西卷)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋b i为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.∵a ＋b i＝a －b i 为纯虚数， ∴必有a ＝0，b ≠0，而ab ＝0时，有a ＝0或b ＝0，∴由a ＝0，b ≠0⇒ab ＝0，反之不成立．∴“ab ＝0”是“复数a ＋b i为纯虚数”的必要不充分条件． 4.(2013·潍坊调研)命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( )A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题．故选D. 5.(2012·高考浙江卷)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.若l 1∥l 2，则2a －2＝0，∴a ＝1. 故“a ＝1”是“l 1∥l 2”的充要条件．二、填空题6.已知p ：x ≤1，q ：1x＜1，则p 是¬q 成立的________条件． 解析：¬q ：0≤x ≤1.答案：必要不充分7.在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：原命题为假命题，逆否命题也为假命题，逆命题也是假命题，否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：38.(2013·南京模拟)有下列几个命题：①“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2＜4，则－2＜x ＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”，错误．②原命题的逆命题为：“x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，正确．③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”，正确．答案：②③三、解答题9.(2013·开封调研)已知命题p ：“若ac ≥0，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”．(1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p 的否命题的真假，并证明你的结论．解：(1)命题p 的否命题为：“若ac <0，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”．(2)命题p 的否命题是真命题．证明如下：∵ac <0，∴－ac >0⇒Δ＝b 2－4ac >0⇒一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根．∴该命题是真命题．10.指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件？(1)p ：a ＋b ＝2，q ：直线x ＋y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切；(2)p ：|x |＝x ，q ：x 2＋x ≥0；(3)设l ，m 均为直线，α为平面，其中l ⊄α，m ⊂α，p ：l ∥α，q ：l ∥m .解：(1)若a ＋b ＝2，则圆心(a ，b )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a ＋b |2＝2＝r ，所以直线与圆相切．反之，若直线与圆相切，则|a ＋b |＝2，∴a ＋b ＝±2，故p 是q 的充分不必要条件．(2)若|x |＝x ，则x 2＋x ＝x 2＋|x |≥0成立．反之，若x 2＋x ≥0，即x (x ＋1)≥0，则x ≥0或x ≤－1.当x ≤－1时，|x |＝－x ≠x ，因此，p 是q 的充分不必要条件．(3)∵l ∥αl ∥m ，但l ∥m ⇒l ∥α，∴p 是q 的必要不充分条件.一、选择题1.已知p ：x 1，x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根，q ：x 1＋x 2＝－5，则p 是q 的( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由题意知命题p 中方程x 2＋5x －6＝0的两根为－6，1，即x 1＋x 2＝－5，但若x 1＋x 2＝－5，则此处的x 1，x 2并不一定是方程x 2＋5x －6＝0的根．故p ⇒q ，但q ≠p .故选A.2.下列命题中为真命题的是( )A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题B ．命题“x >1，则x 2>1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题解析：选A.对于A ，其逆命题是：若x >|y |，则x >y ，是真命题，这是因为x >|y |≥y ，必有x >y ；对于B ，否命题是：若x ≤1，则x 2≤1，是假命题．如x ＝－5，x 2＝25>1；对于C ，其否命题是：若x ≠1，则x 2＋x －2≠0，由于x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；对于D ，若x 2>0，则x >0或x <0，不一定有x >1，因此原命题的逆否命题是假命题．二、填空题3.若命题“ax 2－2ax －3＞0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a ＜0，故－3≤a ≤0.答案：[－3，0]4.已知集合A ＝{x |12＜2x ＜8，x ∈R }，B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．解析：A ＝{x |12＜2x ＜8，x ∈R }＝{x |－1＜x ＜3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，∴A B ，∴m ＋1＞3，即m ＞2.答案：(2，＋∞)三、解答题5.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围．解：化简集合A ，由y ＝x 2－32x ＋1， 配方，得y ＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴y min ＝716，y max ＝2. ∴y ∈⎣⎡⎦⎤716，2.∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |716≤y ≤2. 化简集合B ，由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，B ＝{x |x ≥1－m 2}． ∵命题p 是命题q 的充分条件， ∴A ⊆B .∴1－m 2≤716，解得m ≥34，或m ≤－34. ∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞.。
第九章第4课时知能演练轻松闯关
一、选择题1．(2013·佛山模拟)某学校为调查高三年级的240名学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取24名同学进行调查；第二种由教务处对高三年级的学生进行编号，从001到240，抽取编号最后一位为3的同学进行调查，则这两种抽样方法依次为( )A ．分层抽样，简单随机抽样B ．简单随机抽样，分层抽样C ．分层抽样，系统抽样D ．简单随机抽样，系统抽样解析：选D.结合简单随机抽样、系统抽样与分层抽样的定义可知，第一种抽样方法为简单随机抽样，第二种为“等距”抽样，故为系统抽样．2．从2 014名学生中选取10名学生参加全国数学联赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样法从2 014人中剔除4人，剩下的2 010人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率( )A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等，且为51 007D ．都相等，且为1201解析：选C.从N 个个体中抽取M 个个体，则每个个体被抽到的概率都等于M N. 3．(2013·江西省盟校联考)在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本：①采用随机抽样法，将零件编号为00,01,02，…，99，从中抽出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；③采用分层抽样法，随机从一级品中抽取4个，二级品中抽取6个，三级品中抽取10个．则( )A ．不论采取哪种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是15B ．①②两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是15，③并非如此 C ．①③两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是15，②并非如此 D ．采用不同的抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率各不相同解析：选A.由于随机抽样法、系统抽样法与分层抽样法均是等可能性抽样，因此不论采取哪种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是15，故选A. 4．某单位有职工52人，现将所有职工随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号，32号，45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是( )A ．19B ．20C ．18D ．21解析：选A.系统抽样的特点是“等距”，所以另外一个职工编号是6＋(45－32)＝19.5．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁及以上的人，用分层抽样法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为( )A ．7,5,8B ．9,5,6C ．6,5,9D ．8,5,7解析：选B.∵抽样比例为15， ∴35岁以下应抽45×20100＝45×15＝9(人)，35岁到49岁的应抽25×15＝5(人)，50岁及以上的应抽30×15＝6(人)． 二、填空题6．(2012·高考湖北卷)一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人，现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有________人．解析：设抽取的女运动员有x 人，则x 42＝856，解得x ＝6. 答案：67．(2012·高考浙江卷)某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．解析：男生人数为560×280560＋420＝160. 答案：1608．(2013·兰州模拟)最近网络上流行一种“QQ 农场游戏”，这种游戏通过虚拟软件模拟种植与收获的过程．为了了解本班学生对此游戏的态度，高三(6)班计划在全班60人中展开调查，根据调查结果，班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈，为此先对60名学生进行编号为：01,02,03，…，60，已知抽取的学生中最小的两个编号为03,09，则抽取的学生中最大的编号为________．解析：由最小的两个编号为03,09可知，抽取人数的比例为16，即抽取10名同学，其编号构成首项为3，公差为6的等差数列，故最大编号为3＋9×6＝57.答案：57三、解答题9．一工厂生产了某种产品16 800件，它们来自甲、乙、丙三条生产线，为检验这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知在甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数依次组成一个等差数列，求乙生产线生产的产品数．解：因为在甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数依次组成一个等差数列，则可设三项分别为a －x 、a 、a ＋x .故样本容量为(a －x )＋a ＋(a ＋x )＝3a ，因而每个个体被抽到的概率为3a 16 800＝a 5 600，所以乙生产线生产的产品数为a a 5 600＝5 600. 10．已知某校高三理科班学生的化学与物理的水平测试成绩抽样统计如下表，若抽取学生n 人，成绩分为A (优秀)，B (良好)，C (及格)三个等级，设x ，y 分别表示化学成绩与物理成绩．例如：表中化学成绩为B 等级的共有20＋18＋4＝42人，已知x 与y 均为B 等级的概率是0.18.(1)求抽取的学生人数；(2)设在该样本中，化学成绩优秀率是30%，求a ，b 的值；(3)在物理成绩为C 等级的学生中，已知a ≥10，b ≥8，求化学成绩为A 等级的人数比C 等级的人数少的概率．解：(1)由题意可知18n＝0.18，得n ＝100. 故抽取的学生人数是100.(2)由(1)知n ＝100，所以7＋9＋a 100＝0.3，故a ＝14， 而7＋9＋a ＋20＋18＋4＋5＋6＋b ＝100，故b ＝17.(3)由(2)易知a ＋b ＝31，且a ≥10，b ≥8，满足条件的(a ，b )有(10,21)，(11,20)，(12,19)，…，(23,8)，共有14组，其中b >a 的有6组，则所求概率为P ＝614＝37.一、选择题1．利用简单随机抽样，从n 个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为13，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( ) A.13 B.514C.14D.1027解析：选B.由题意知9n －1＝13，∴n ＝28.∴P ＝1028＝514. 2．某高中在校学生2 000人，高一年级与高二年级人数相同并都比高三年级多1人．为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了跑步和登山比赛活动．每人都参加而且只参加了其中a ∶b ∶c ＝2∶3∶5，全校参加登山的人数占总人数的25.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参加跑步的学生中应抽取( )A ．24人B ．30人C ．36人D ．60人解析：选C.∵登山的占总数的25，故跑步的占总数的35. 又跑步中高二年级占32＋3＋5＝310， ∴高二年级跑步的占总人数的35×310＝950. 设从高二年级参加跑步的学生中应抽取x 人，由950＝x 200，得x ＝36，故选C. 二、填空题3．某地有居民100 000户，其中普通家庭99 000户，高收入家庭1 000户．从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取100户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收入家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是________．解析：该地拥有3套或3套以上住房的家庭估计约有：99 000×50990＋1 000×70100＝5 700(户)，所以所占比例的合理估计约是5 700÷100 000＝5.7%.答案：5.7%4．某企业三月中旬生产A 、B 、C 三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统统计员只记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 产品的数量是________件．解析：设样本容量为x ，则x 3 000×1 300＝130，∴x ＝300. ∴A 产品和C 产品在样本中共有300－130＝170(件)．设C 产品的样本容量为y ，则y ＋y ＋10＝170，∴y ＝80.∴C 产品的数量为3 000300×80＝800(件)． 答案：800三、解答题5．某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n 个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求n .解：总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n， 分层抽样的比例是n 36，抽取的工程师人数为n 36·6＝n 6， 技术员人数为n 36·12＝n 3，技工人数为n 36·18＝n 2， 所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6,12,18.当样本容量为n ＋1时，总体容量为35人，系统抽样的间隔为35n ＋1，因为35n ＋1必须是整数，所以n 只能取6.即样本容量为6.。
3.2第二课时知能演练轻松闯关
3.2第二课时知能演练轻松闯关C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞，1a ∪(－1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ，＋∞ 解析：选 D.原不等式变形得：(ax －1)(x ＋1)<0又a <－1，∴⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －1a (x ＋1)>0 解得：x <－1或x >1a ，则原不等式的解集为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎪⎪⎫1a ，＋∞. 4．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式为y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240，x ∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台 解析：选C.3 000＋20x －0.1x 2≤25x ⇔x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≤－200(舍去)或x ≥150.5．在R 上定义运算×：A ×B ＝A (1－B )，若不等式(x －a )×(x ＋a )<1对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．－1<a <1B ．0<a <2C ．－12<a <32D ．－32<a <12解析：选 C.(x －a )×(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＝－x 2＋x ＋a 2－a ，∴－x 2＋x ＋a 2－a <1，即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对x ∈R 恒成立，∴Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＝4a 2－4a －3<0，∴(2a －3)(2a ＋1)<0，即－12<a <32. 6．已知A ＝{x |ax 2－2x －1＝0}，如果A ∩R ＋＝∅则a 的取值范围是________．解析：(1)若a ＝0时，则A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－12，满足A ∩R ＋＝∅.(2)若a ≠0时，①Δ＝4＋4a <0时，即a <－1，A ＝∅，满足A ∩R ＋＝∅.②Δ≥0时，即a ≥－1，要使A ∩R ＋＝∅.只得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ Δ≥02a <0－1a >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1a <0⇒－1≤a <0. 综上所述，a 的取值范围为{a |a ≤0}．答案：{a |a ≤0}7．(2019·银川质检)不等式x 2＋mx ＋m 2＞0恒成立的条件是________．解析：x 2＋mx ＋m 2＞0恒成立，等价于Δ＜0， 即m 2－4×m 2＜0⇔0＜m ＜2. 答案：0＜m ＜28．有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________． 解析：设桶的容积为x 升，那么第一次倒出8升纯农药液后，桶内还有(x －8)，(x >8)升纯农药液，用水补满后，桶内纯农药液的浓度x －8x .第二次又倒出4升药液，则倒出的纯农药液为4(x －8)x升，此时桶内有纯农药液⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤(x －8)－4(x －8)x 升． 依题意，得(x －8)－4(x －8)x ≤28%·x .由于x >0，因而原不等式化简为9x 2－150x＋400≤0，即(3x －10)(3x －40)≤0.解得103≤x ≤403.又x >8，∴8<x ≤403. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤8，403 9．不等式3x 2＋6≤19x 的解集为A ，不等式1－x 2＋x＜0的解集为B ，求A ∩B . 解：解不等式3x 2＋6≤19x ，得13≤x ≤6， ∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪13≤x ≤6. 解不等式1－x 2＋x＜0，得x ＜－2或x ＞1， ∴B ＝{x |x ＜－2或x ＞1}．∴A ∩B ＝{x |1＜x ≤6}．10．不等式(m －2)x 2＋2(m －2)x －4＜0对一切实数x 都成立，求实数m 的取值范围．解：(1)若m －2＝0，即m ＝2时，不等式可化为－4＜0，这个不等式与x 无关，即对一切x ∈R 都成立．(2)若m －2≠0，即m ≠2时，不等式为一元二次不等式．由解集为R ，知抛物线y ＝(m －2)x 2＋2(m －2)x －4开口向下，且与x 轴无交点，故有⎩⎨⎧ m －2＜0，Δ＜0，即⎩⎨⎧m －2＜0，4(m －2)2－4(m －2)·(－4)＜0， 解得－2＜m ＜2.综上所述，m 的取值范围是(－2,2]．1．若规定⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则不等式0<⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 11 x <1的解集是( ) A ．(－1,1) B ．(－1,0)∪(0,1)C ．(－2，－1)∪(1，2)D ．(1, 2) 解析：选C.依题意有0<x 2－1<1，即1<x 2<2 ∴⎩⎨⎧x 2>1⇒x <－1或x >1x 2<2⇒－2<x <2∴原不等式的解集为(－2，－1)∪(1，2)．2．若不等式x 2－2ax ＋a >0对一切实数x ∈R 恒成立，则关于t 的不等式at 2＋2t －3<1的解集为________．解析：若不等式x2－2ax＋a>0对一切实数x ∈R恒成立，则Δ＝(－2a)2－4a<0，即a2－a<0，解得0<a<1，∴不等式at2＋2t－3<1转化为t2＋2t－3>0，解得t<－3或t>1.答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)3．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，应怎样制订这批台灯的销售价格？解：设这批台灯的销售价定为x元，则[30－(x－15)×2]·x＞400，即x2－30x＋200＜0，因方程x2－30x＋200＝0的两根为x1＝10，x2＝20，所以x2－30x＋200＜0的解为10＜x＜20，又因为x≥15，所以15≤x＜20.故应将这批台灯的销售价格制订在15元到20元之间(包括15元但不包括20元)，才能使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．。
第九章第1课时知能演练轻松闯关
一、选择题1．在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车)，有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为()A．0.20B．0.60C．0.80 D．0.12解析：选C.令“能上车”记为事件A，则3路或6路车有一辆路过即事件发生，故P(A)＝0.20＋0.60＝0.80.2．从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在[30,40]克的概率为0.5，那么重量不小于30克的概率为()A．0.3 B．0.5C．0.8 D．0.7解析：选D.由互斥事件概率加法公式知，重量大于40克的概率为1－0.3－0.5＝0.2.又∵0.5＋0.2＝0.7，∴重量不小于30克的概率为0.7.3．(2013·西安模拟)袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是对立事件的为()A．①B．②C．③D．④解析：选B.由对立事件的定义，可知“至少有一个白球”和“全是黑球”为对立事件．4．(2013·莆田模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝“抽到一等品”，事件B ＝“抽到二等品”，事件C＝“抽到三等品”，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为()A．0.65 B．0.35C．0.3 D．0.005解析：选B.由对立事件的概率公式知，“抽到的不是一等品”的概率为1－P(A)＝1－0.65＝0.35.5．(2013·临沂模拟)掷一颗质地均匀的骰子，观察所得的点数a，设事件A＝“a为3”，事件B＝“a为4”，事件C＝“a为奇数”，则下列结论正确的是()A．A与B为互斥事件B．A与B为对立事件C．A与C为对立事件D．A与C为互斥事件解析：选A.依题意得，事件A、B为互斥事件，A、C不是互斥事件，A、C不是对立事件．二、填空题6．下列事件是不可能事件的是________．①三角形内角和为180°；②在同一个三角形中大边对大角；③锐角三角形中两个内角的和小于90°；④三角形中任意两边的和大于第三边．解析：由三角形的内角和定理知，任意两个内角之和等于180°减去第三个内角，故锐角三角形中任意两个内角之和应大于90°，因此③是不可能事件．答案：③解析：由表中可知这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数为20－1－2－3＝14，故约占苹果总数的1420＝0.70，即70%. 答案：708．甲、乙两人进行击剑比赛，甲获胜的概率为0.41，两人战平的概率为0.27，那么甲不输的概率为________，甲不获胜的概率为________．解析：甲获胜的概率为0.41，两人战平的概率为0.27，甲不输包括战平和获胜，那么甲不输的概率为0.41＋0.27＝0.68，甲不获胜的对立事件是甲获胜，概率是1－0.41＝0.59.答案：0.68 0.59三、解答题9．某战士甲射击一次，问：(1)若事件A (中靶)的概率为0.95，事件A (不中靶)的概率为多少？(2)若事件B (中靶环数大于6)的概率为0.7，那么事件C (中靶环数不大于6)的概率为多少？解：(1)∵事件A (中靶)的概率为0.95，根据对立事件的概率公式得到A 的概率为1－0.95＝0.05. (2)由题意知中靶环数大于6与中靶环数不大于6是对立事件，∵事件B (中靶环数大于6)的概率为0.7，∴事件C (中靶环数不大于6)的概率为1－0.7＝0.3.10．(2013·任何人的血都可以输给AB 型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B 型血，若小明因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解：(1)对任一人，其血型为A ，B ，AB ，O 型血的事件分别记为A ′，B ′，C ′，D ′，它们是互斥的．由已知，有P (A ′)＝0.28，P (B ′)＝0.29，P (C ′)＝0.08，P (D ′)＝0.35.因为B ，O 型血可以输给B 型血的人，故“可以输给B 型血的人”为事件B ′＋D ′.根据互斥事件的加法公式，有P (B ′＋D ′)＝P (B ′)＋P (D ′)＝0.29＋0.35＝0.64.故任找一个人，其血可以输给小明的概率是0.64.(2)法一：由于A ，AB 型血不能输给B 型血的人，故“不能输给B 型血的人”为事件A ′＋C ′，且P (A ′＋C ′)＝P (A ′)＋P (C ′)＝0.28＋0.08＝0.36.法二：因为事件“其血可以输给B 型血的人”与事件“其血不能输给B 型血的人”是对立事件，故由对立事件的概率公式，有P (B ′＋D ′)＝1－P (B ′＋D ′)＝1－0.64＝0.36.故任找一人，其血不能输给小明的概率为0.36.一、选择题1．已知集合A ＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A 中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件A ＝{点落在x 轴上}与事件B ＝{点落在y 轴上}的概率关系为( )A ．P (A )＞P (B ) B ．P (A )＜P (B )C ．P (A )＝P (B )D ．P (A )、P (B )大小不确定解析：选C.横坐标与纵坐标为0的可能性是一样的，故P (A )＝P (B )．2．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( )A ．A ＋B 与C 是互斥事件，也是对立事件B ．B ＋C 与D 是互斥事件，也是对立事件C ．A ＋C 与B ＋D 是互斥事件，但不是对立事件D ．A 与B ＋C ＋D 是互斥事件，也是对立事件解析：选D.由于A ，B ，C ，D 彼此互斥，且A ＋B ＋C ＋D 是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的Venn 图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．二、填空题3．已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8、0.12、0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为__________，__________.解析：断头不超过两次的概率P 1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97，于是，断头超过两次的概率P 2＝1－P 1＝1－0.97＝0.03.答案：0.97 0.03 4.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39、32、33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________．解析：“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为P ＝11＋10＋7＋86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝35. “不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”． 故他属于不超过2个小组的概率是P ＝1－86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝1315. 答案：35 1315三、解答题5(1)(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y，z的值．解：(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，得0.1＋0.16＋x＝0.56，∴x＝0.3.(2)由派出医生最多4人的概率为0.96，得0.96＋z＝1，∴z＝0.04.由派出医生最少3人的概率为0.44，得y＋0.2＋0.04＝0.44，∴y＝0.44－0.2－0.04＝0.2.。
第四章第2课时知能演练轻松闯关
第四章第2课时知能演练轻松闯关1．已知向量a ＝(1，－m )，b ＝(m 2，m )，则向量a ＋b 所在的直线可能为( )A ．x 轴B ．第一、三象限的角平分线C ．y 轴D ．第二、四象限的角平分线解析：选A.a ＋b ＝(1，－m )＋(m 2，m )＝(m 2＋1,0)，其横坐标恒大于零，纵坐标等于零，故向量a ＋b 所在的直线可能为x 轴，选A.2．已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4，设OC →＝λOA →＋OB →(λ∈R)，则λ的值为( )A ．1 B.13C.12D.23解析：选D.过C 作CE ⊥x 轴于点E (图略)．由∠AOC ＝π4，知|OE |＝|CE |＝2， 所以OC →＝OE →＋OB →＝λOA →＋OB →，即OE →＝λOA →，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝23. 3．(2011·高考北京卷)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________.解析：a －2b ＝(3，1)－2(0，－1)＝(3，3)，又∵a －2b 与c 共线，∴a －2b ∥c ，∴3×3－3×k ＝0，解得k ＝1.答案：14．(2012·宜昌调研)已知边长为1的正方形ABCD ，若A 点与坐标原点重合，边AB ，AD 分别落在x 轴，y 轴的正方向上，则向量2AB →＋3BC →＋AC →的坐标为________．解析：由已知得A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，则AB →＝(1,0)，BC →＝(0,1)，AC →＝(1,1)，∴2AB →＋3BC →＋AC →＝2(1,0)＋3(0,1)＋(1,1)＝(3,4)．答案：(3,4)一、选择题1．已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2,2)，且a ＋b 与a 共线，那么a ＋b ＝( )A ．(3,0)B ．(3,1)C ．(3,2)D ．(3,3)解析：选D.a ＋b ＝(1，k )＋(2,2)＝(3，k ＋2)．∵a ＋b 与a 共线，∴k ＋2－3k ＝0，解得k ＝1.∴a ＋b ＝(3,3)．2．(2012·绵阳质检)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝( )A.23b ＋13cB.53－23bC.23b －13cD.13＋23c 解析：选A.由BD →＝2 DC →得AD →－AB →＝2(AC →－AD →)，3AD →＝AB →＋2AC →＝c ＋2b ，AD →＝13c ＋23b . 3．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )A ．－12a ＋32b B.12－32b C ．－32a －12b D ．－32a ＋12b 解析：选B.设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1＝λ＋μ2＝λ－μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝12μ＝－32，∴c ＝12a －32b . 4．已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1解析：选D.∵A 、B 、C 三点共线，∴存在实数t ，满足AB →＝tAC →，即λa ＋b ＝ta ＋μtb ，又a ，b 是不共线的向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝t 1＝μt ，∴λμ＝1.5．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝( )A ．(－6,21)B ．(－2,7)C ．(6，－21)D ．(2，－7)解析：选A.如图，QC →＝AQ →＝PQ →－PA →＝(1,5)－(4,3)＝(－3，2)，PC →＝PQ →＋QC →＝(1,5)＋(－3,2)＝(－2,7)，BC →＝3PC →＝(－6,21)．二、填空题6．设向量a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －2a )共线，则λ＝________. 解析：由题意，设a ＋λb ＝－μ(b －2a )＝－μb ＋2μa ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2μ＝1λ＝－μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ μ＝12λ＝－12.答案：－127．已知向量OA →＝(0,1)，OB →＝(1,3)，OC →＝(m ，m )，若AB →∥AC →，则实数m ＝________.解析：AB →＝(1,2)，AC →＝(m ，m －1)．∵AB →∥AC →，∴1×(m －1)－2m ＝0，得m ＝－1.答案：－18．(2012·合肥调研)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 、C 三点满足OC →＝23OA →＋13→，则|AC →||AB →|＝________ . 解析：∵OC →＝23OA →＋13OB →， ∴OC →－OA →＝－13OA →＋13OB →＝13OB →－OA →)， ∴AC →＝13AB →，∴|AC →||AB →|＝13. 答案：13三、解答题9．已知A (1，－2)，B (2,1)，C (3,2)和D (－2,3)，试以AB →、AC →为一组基底来表示AD →＋BD →＋CD →.解：由已知得：AB →＝(1,3)，AC →＝(2,4)，AD →＝(－3,5)，BD →＝(－4,2)，CD →＝(－5,1)，∴AD →＋BD →＋CD →＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)．设AD →＋BD →＋CD →＝λ1AB →＋λ2AC →，则(－12,8)＝λ1(1,3)＋λ2(2,4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋2λ2＝－12，3λ1＋4λ2＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝32，λ2＝－22. ∴AD →＋BD →＋CD →＝32AB →－22AC →.10．已知O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，试问：(1)t 为何值时，P 在x 轴上？在y 轴上？在第三象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．解：(1)∵OA →＝(1,2)，AB →＝(3,3)，∴OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )．若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，解得t ＝－23若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，解得t ＝－13若点P 在第三象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t <0. 解得t <－23. (2)若四边形OABP 为平行四边形，则OP →＝AB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＝3，2＋3t ＝3. ∵该方程组无解，∴四边形OABP 不能成为平行四边形．11.在△AOB 中，OC →＝14→，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b ，以a ，b 为基底表示OM →.解：设OM →＝ma ＋nb (m 、n ∈R)，则AM →＝OM →－OA →＝(m －1)a ＋nb ，AD →＝OD →－OA →＝12b －a ，∵A 、M 、D 三点共线， ∴m －1－1＝n 12，即m ＋2n ＝1. 而CM →＝OM →－OC →＝(m －14)a ＋nb ， CB →＝OB →－OC →＝b －14a ， 又C 、M 、B 三点共线，∴m －14－14＝n 1，即4m ＋n ＝1. 联立⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2n ＝14m ＋n ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝17n ＝37，所以OM →＝17a ＋37b .。
【优化方案】2021-2021学年高中数学 4.4知能演练轻松闯关 湘教版选修2-2(1)
【优化方案】2021-2021学年高中数学 知能演练轻松闯关 湘教版选修2-21.用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能够焊成一个铁盒．那么所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( ) A ．6 cm B ．8 cmC ．10 cmD ．12 cm解析：选B.设截去小正方形的边长为x cm ，铁盒的容积为V cm 3.因此V ＝x (48－2x )2(0<x <24)，V ′＝12(x －8)(x －24)．令V ′＝0，则x ＝8∈(0，24)，且此是所做铁盒的容积最大．2.(2021·渝北检测)某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2(x ＞0)；生产本钱y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，那么应生产( )A ．6千台B ．7千台C ．8千台D ．9千台解析：选A.设利润为y (万元)，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝－2x 3＋18x 2(x ＞0)，∴y ′＝－6x 2＋36x ＝－6x ·(x －6)．令y ′＝0，解得x ＝0或x ＝6，经查验知x ＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．应选A. 3.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，若是第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时转变率的最小值是( ) A ．8 C ．－1D ．－8解析：选C.原油温度的瞬时转变率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，因此当x ＝1时，原油温度的瞬时转变率取得最小值－1.4.(2021·梁平质检)某车间靠墙壁要盖一间地面为长方形的小屋，现有存砖只够砌20 m 长的墙壁，那么应围成长为________m ，宽为____________m 的长方形才能使小屋占地面积最大．解析：设长为x m ，宽为y m ，面积为S m 2，则x ＋2y ＝20，即y ＝10－x2，S ＝x ·y ＝x (10－x 2)＝10x －x 22.S ′＝10－x ，因此当x ＝10时，小屋占地面积最大，因此x ＝10，y ＝5. 答案：10 5 一、选择题1.某商品一件的本钱为30元，在某段时刻内，假设以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．( ) A ．105 B ．110 C ．115D ．120解析：选C.利润为S (x )＝(x －30)(200－x )＝－x 2＋230x －6000，S ′(x )＝－2x ＋230，由S ′(x )＝0得x ＝115，这时利润最大为7225元．2.设底为等边三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( )D ．23V解析：选C.设该直棱柱的底面边长为x ，高为h ，表面积为S ，则V ＝34x 2·h ，h ＝4V 3x 2，表面积S ＝32x 2＋3·x ·4V 3x 2，S ′＝3x ＋－12V 3x2，令S ′＝0，得x ＝34V .应选C.3.(2021·南开调研)已知某生产厂家的年利润y (单元：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，那么使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件解析：选C.因为y ′＝－x 2＋81，因此当x >9时，y ′<0；当x ∈(0，9)时，y ′>0，因此函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，因此x ＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，因此函数在x ＝9处取得最大值． 4.某公司生产一种产品，固定本钱为20000元，每生产一单位的产品，本钱增加100元，假设总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )＝－x 3900＋400x ，0≤x ≤390，那么当总利润最大时，每一年生产的产品单位数是( ) A ．150 B ．200 C ．250D ．300解析：选D.由题意可得总利润P (x )＝－x 3900＋300x －20000，0≤x ≤390.由P ′(x )＝－x 2300＋300，令P ′(x )＝0，得x ＝300.当0≤x <300时，P ′(x )>0，当300<x ≤390时，P ′(x )<0，因此当x ＝300时，P (x )最大．5.假设一球的半径为r ，那么内接于球的圆柱的侧面积最大为( ) A ．2πr 2 B ．πr 2 C ．4πr 2πr 2解析：选A.如图，设内接圆柱的底面半径为R ，母线长为l ， 则R ＝r cos θ，l ＝2r sin θ. ∴S 侧＝2πR ·l ＝2πr cos θ×2r sin θ ＝4πr 2sin θcos θ.∴由S ′＝4πr 2(cos 2θ－sin 2θ)＝0，得θ＝π4.∴当θ＝π4，即R ＝22r 时，S 侧最大，且S 侧最大值为2πr 2.6.(2021·涪陵调研)某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边能够利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽别离为( ) A ．32米，16米 B ．30米，15米 C ．40米，20米 D ．36米，18米解析：选A.要求材料最省确实是要求新砌的墙壁总长度最短，如下图，设场地宽为x 米，那么长为512x米，因此新墙总长度L ＝2x ＋512x(x >0)，则L ′＝2－512x2.令L ′＝0，得x ＝±16.∵x >0，∴x ＝16.当x ＝16时，L 极小值＝L min ＝64， ∴堆料场的长为51216＝32(米)．二、填空题7.用总长为14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，假设所制作容器的底面的一边比高长0.5 m ，那么当高为______ m 时，容器的容积最大．解析：由题意直接列出函数表达式，再用导数求最值，设高为x m ， 则V ＝x (x ＋－2x )， 令V ′＝－6x 2＋＋＝0， 即解15x 2－11x －4＝0， 得x ＝1，x ＝－415(舍去)．答案：18.把长60 cm的铁丝围成矩形，当长为________cm，宽为________cm时，矩形面积最大．解析：设长为x cm ，那么宽为(30－x ) cm ， 因此面积S ＝x (30－x )＝－x 2＋30x . 由S ′＝－2x ＋30＝0，得x ＝15. 答案：15 159.(2021·沙坪坝质检)做一个容积为256 dm 3的方底无盖水箱，它的高为______dm 时最省料．解析：设底面边长为x dm ，那么高为h ＝256x2dm ，其表面积为S ＝x 2＋4×256x 2×x ＝x 2＋256×4x， S ′＝2x －256×4x2，令S ′＝0，则x ＝8， 那么高h ＝25664＝4 (dm)．答案：4 三、解答题10.(创新题)已知矩形的两个极点A 、D 位于x 轴上，另两个极点B 、C 位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，求那个矩形的面积最大时的边长．解：设矩形边长AD ＝2x ， 则AB ＝4－x 2，∴矩形面积为S ＝2x (4－x 2)＝8x －2x 3(0<x <2)． ∴S ′＝8－6x 2.令S ′＝0，解之得x 1＝233，x 2＝－233(舍去)．当0<x <233时，S ′>0；当233<x <2时，S ′<0.当x ＝233时，S 取最大值为3239. 即矩形的边长别离是433、83时，矩形的面积最大．11.(2020·高考福建卷)某商场销售某种商品的体会说明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价钱x (单位：元/千克)知足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价钱为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)假设该商品的本钱为3元/千克，试确信销售价钱x 的值，使商场每日销售该商品所取得的利润最大．解：(1)因为x ＝5时，y ＝11，因此a2＋10＝11，因此a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2，因此商场每日销售该商品所取得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10（x －6）2＝2＋10(x －3)(x －6)2，3<x <6.从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 转变时，f ′(x )，f (x )的转变情形如下表：x (3，4) 4 (4，6) f ′(x ) ＋ 0 － f (x )单调递增极大值42单调递减由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点．因此，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.即当销售价钱为4元/千克时，商场每日销售该商品所取得的利润最大． 12.(2020·高考山东卷)某企业拟建如下图的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两头均为半球形，依照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l ≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部份每平方米建造费用为3千元，半球形部份每平方米建造费用为c (c >3)千元．设该容器的建造费用为y 千元．(1)写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的概念域；(2)求该容器的建造费用最小时的r .解：(1)设容器的容积为V ，由题意知V ＝πr 2l ＋43πr 3，又V ＝80π3， 故l ＝V －43πr 3πr 2＝803r 2－43r ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r . 由于l ≥2r ，因此0<r ≤2.因此建造费用y ＝2πrl ×3＋4πr 2c＝2πr ×43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r ×3＋4πr 2c ， 因此y ＝4π(c －2)r 2＋160πr，0<r ≤2. (2)由(1)得y ′＝8π(c －2)r －160πr 2 ＝8π（c －2）r 2⎝ ⎛⎭⎪⎫r 3－20c －2，0<r ≤2. 由于c >3，因此c －2>0.当r 3－20c －2＝0时，r ＝ 320c －2.令 320c －2＝m ，则m >0，因此y ′＝8π（c －2）r2(r －m )(r 2＋rm ＋m 2)． ①当0<m <2，即c >92时， 当r ＝m 时，y ′＝0；当r ∈(0，m )时，y ′<0；当r ∈(m ，2)时，y ′>0，因此r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点．②当m ≥2，即3<c ≤92时， 当r ∈(0，2)时，y ′<0，函数单调递减， 因此r ＝2是函数y 的最小值点．综上所述，当3<c ≤92时，建造费用最小时r ＝2； 当c >92时，建造费用最小时r ＝ 320c －2.。
高三数学第九章第2课时精品课件
解析：选 A.从茎叶图中可以看出样本数据的中位数为中间 45＋47 两个数的平均数，即 ＝46，众数为 45，极差为 68－ 2 12＝56，故选 A.
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4．在某次考试中，要对甲、乙两名同学的学习成绩进行检 查，甲同学的平均得分 x 甲＝76 分，方差 s2 ＝4 分 2，乙同 甲 学的平均得分 x 乙＝77 分，方差 s2 ＝10 分 2，则________ 乙 同学平均成绩好，________同学各科发展均衡．
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(2)样本方差、标准差 标准差 s＝ 1 [x1－ x 2＋x2－ x 2＋„＋xn－ x 2]， n
样本容量 其中 xn 是样本数据的第 n 项，n 是___________， x 是
平均数 ____________．
标准差 ________是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准 平方 差的_______．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量
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解：(1)茎叶图如下：
(2)由于每个品种的数据都只有 25 个，样本不大，画茎叶图 很方便；此时茎叶图不仅清晰明了地展示了数据的分布情 况，便于比较，没有任何信息损失，而且还可以随时记录 新的数据． (3)结合茎叶图可知：①品种 A 的亩产平均数(或均值)比品 种 B 高；②品种 A 的亩产标准差(或方差)比品种 B 大，故 品种 A 的亩产稳定性较差．
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考点2 例2
茎叶图的应用
(2012· 高考陕西卷)
从甲、乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机，对其销 售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲、 乙两组数据的平均数分别为 x 甲 、 x 乙 ，中位数分别为 m 甲、 m 乙 ，则( ) B. x 甲 ＜ x 乙，m 甲＜m 乙 D. x 甲 ＞ x 乙 ，m 甲＜m 乙
3.1第一课时知能演练轻松闯关
3.1第一课时知能演练轻松闯关故选B.3．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为()A．v≤120 km/h且d≥10 mB．v≤120 km/h或d≥10 mC．v≤120 km/hD．d≥10 m解析：选A.v的最大值为120 km/h即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m，故选A.4．若m≠2且n≠－1，则M＝m2＋n2－4m ＋2n的值与－5的大小关系为()A．M>－5 B．M<－5C．M＝－5 D．不确定解析：选A.∵m≠2，n≠－1，∴M＝(m－2)2＋(n＋1)2－5>－5.5．已知a，b分别对应于数轴上的A，B两点，且A点在原点右侧，B点在原点左侧，则下列不等式成立的是()A．a－b＝0 B.ab＞－abC．|a|＞|b| D．a2＋b2≥－2ab解析：选D.因为A在原点右侧，B在原点左侧，所以A在B右侧，故a＞b，A错；A，B 两点分别在原点两侧，所以a，b异号，B错；|a|，|b|分别表示A，B两点到原点的距离，由条件无法确定，C错；a2＋b2≥－2ab可化为(a＋b)2≥0，显然不等式恒成立，故选D.6．某工厂八月份的产量比九月份的产量少；甲物体比乙物体重；A容器不少于B容器的容积．若前一个量用a表示，后一个量用b表示，则上述事实可表示为_______；_______；________.解析：由题意易知三个不等关系用不等式可分别表示为a＜b，a＞b，a≥b.答案：a＜b a＞b a≥b7．(2019·青岛质检)已知a，b为实数，则(a ＋3)(a－5)________(a＋2)(a－4)．(填“＞”“＜”或“＝”)解析：因为(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7＜0，所以(a＋3)(a －5)＜(a＋2)(a－4)．答案：＜8．某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种邮票至少买两套，则买票面8角的x套与买票面2元的y 套应满足的条件为________．解析：若设买票面8角的x 套，买票面2元的y 套，直接根据题意列不等式组，注意x ，y ∈N.答案：⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x ∈N ，y ≥2，y ∈N ，0.8×5x ＋2×4y ≤509．设f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2 log x 2(x >0且x ≠1)，试比较f (x )与g (x )的大小．解：f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2 log x 2＝log x 3x －log x 4＝log x 34x . (1)当log x 34x >0时，即 ⎩⎨⎧ x >134x >1，或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，0<34x <1时， 也就是x >43或0<x <1时，f (x )>g (x )． (2)当log x 34x ＝0时，即34x ＝1，也就是x ＝43时，f (x )＝g (x )．(3)当log x 34x <0时，即⎩⎪⎨⎪⎧ x >1，0<34x <1，或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，34x >1. 也就是1<x <43时，f (x )<g (x )， 综上，x >43或0<x <1时，f (x )>g (x )； x ＝43时，f (x )＝g (x )； 1<x <43时，f (x )<g (x )． 10．某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应减少2 000本．若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入不低于20万元呢？解：设杂志的定价为x 元，则销售的总收入为(8－x －2.50.1×0.2)x 万元． ∵销售的总收入不低于20万元，∴(8－x －2.50.1×0.2)x ≥20.1．(2019·南充调研)若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A 、B 的大小关系是( )A ．A ≤B B ．A ≥BC ．A <B 或A >BD ．A >B解析：选B.∵A －B ＝a 2＋3ab －(4ab －b 2)＝(a －b 2)2＋34b 2≥0， ∴A ≥B .2．某公司有20名技术人员，计划开发A ，B 两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下： 产品种类 每件需要人员数 每件产值/万元A 类 127.5 B 类 136 今制定计划欲使总产值最高，则应开发A 类电子器件________件，能使产值最高为________万元．解析：设应开发A 类电子器件x 件，则开发B 类电子器件(50－x )件，则x 2＋50－x 3≤20，解得x ≤20.由题意，得总产值y ＝7.5x ＋6×(50－x )＝300＋1.5x≤330，当且仅当x＝20时，y取最大值330.所以应开发A类电子器件20件，能使产值最高为330万元．答案：203303．第三十届奥运会在英国伦敦召开，某公司急需将一批不易存放的蔬菜从A地运到英国伦敦，有汽车、火车、飞机三种运输工具可供选择，三种运输工具的主要参考数据如下：运输工具途中速度(千米/时)途中费用(元/千米)装卸时间(小时)装卸费用(元)汽车5082 1 000 火车10044 2 000 飞机200162 1 000 若这批蔬菜在运输过程(含装卸时间)中的损耗为300元/时，问采用哪种运输工具比较好，即运输过程中的费用与损耗之和最小．解：设从A地到英国伦敦的距离为s千米，则采用三种运输工具运输(含装卸)过程中的费用和时间可用下表给出：运输工具途中及装卸费用途中时间汽车8s＋1 s50＋2000火车 4s ＋2 000 s 100＋4飞机 16s ＋1 000 s 200＋2分别用F 1、F 2、F 3表示用汽车、火车、飞机运输时的总支出，则有F 1＝8s ＋1 000＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫s 50＋2×300＝14s ＋1 600，F 2＝4s ＋2 000＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫s 100＋4×300＝7s ＋3 200，F 3＝16s ＋1 000＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫s 200＋2×300＝17.5s ＋1 600.∵s >0，∴F 1<F 3恒成立．而F 1－F 2<0的解为s <1 6007， 则(1)当s <1 6007千米时，F 1<F 2，F 1<F 3，此时采用汽车运输较好；(2)当s ＝1 6007千米时，F 1＝F 2<F 3，此时采用汽车运输或火车运输较好；(3)当s >1 6007千米时，F 2<F 1<F 3，此时采用火车运输较好．第 11 页。
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第九章第2课时知能演练轻松闯关
1．(2010·高考北京卷)8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为
( )
A ．A 88A 29
B ．A 88
C 29
C ．A 88A 27
D ．A 88C 27
解析：选A.不相邻问题用插空法，8名学生先排有A 88种方法，2位老师插空有A 29种方法，故
共有A 88A 29种排法．
2．(2011·高考大纲全国卷)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )
A ．4种
B ．10种
C ．18种
D ．20种
解析：选B.可分为两种情况：①画册2本，集邮册2本，则不同的赠送方法有C 24＝4×32
＝6(种)．
②画册1本，集邮册3本，则不同的赠送方法有C 14＝4(种)．
∴共有6＋4＝10(种)．
3．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有( )
A ．72种
B ．96种
C ．108种
D ．120种
解析：选B.若1,3不同色，则1,2,3,4必不同色，有3A 44＝72种涂色法；若1,3同色，有
C 14C 13A 22＝24种涂色法．根据分类加法计数原理可知，共有72＋24＝96种涂色法．
4．从0,2,4中取一个数字，从1,3,5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是________．
解析：若取出的数字含有0，则是2×A 23＝12，若取出的数字不含0，则是C 12C 23A 33＝36.根据分
类加法计数原理，得总数为48.
答案：48
一、选择题
1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( )
A ．42
B ．30
C ．20
D ．12
解析：选A.可分为两类：两个节目相邻或两个节目不相邻，若两个节目相邻，则有A 22A 16＝12
种排法；若两个节目不相邻，则有A 26＝30种排法．由分类计数原理知共有12＋30＝42种排
法．(或A 27＝42)
2．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )
A ．85
B ．56
C ．49
D ．28
解析：选C.甲、乙、丙都没入选，有C 37＝35(种)，丙没有入选有C 39＝84(种)，故甲、乙至
少有1人入选而丙没有入选的不同选法有84－35＝49(种)．
3．(2010·高考山东卷)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( )
A ．36种
B ．42种
C ．48种
D ．54种
解析：选B.由题意知，可以考虑分成两类计算，若甲排在第一位则有A 44种方案，若甲排在
第二位则有C 13A 33种方案，所以按照要求该台晚会节目演出顺序的编排方案共有A 44＋C 13A 33＝
42(种)，故选B.
4．把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在右图中的1,2,3,4,5,6,7所示的位置上，其中3盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法有( )
A ．2680种
B ．4320种
C ．4920种
D ．5140种
解析：选B.先将7盆花全排列，共有A 77种排法，其中3盆兰花排在一条直线上的排法有5A 33
A 44(种)，故所求摆放方法有A 77－5A 33A 44＝4320(种)．
5．(2012·宜昌调研)某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为( )
A ．72
B ．108
C ．180
D ．216
解析：选C.设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊，由题意，如果甲不参加“围棋苑”，有下列两种情况：
(1)从乙、丙、丁、戊中选一人(如乙)参加“围棋苑”，有C 14种方法，然后从甲与丙、丁、
戊共4人中选2人(如丙、丁)并成一组与甲、戊分配到其他三个社团中，有C 24A 33种方法，这
时共有C 14C 24A 33种参加方法；
(2)从乙、丙、丁、戊中选2人(如乙、丙)参加“围棋苑”，有C 24种方法，甲与丁、戊分配
到其他三个社团中有A 33种方法，这时共有C 24A 33种参加方法．
综合(1)(2)，共有C 14C 24A 33＋C 24A 33＝180种参加方法．
二、填空题
6．若3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x ，则x ＝________.
解析：原方程可化为：
3x (x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x (x －1)．
∵x ≥3，∴3(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)，
即3x 2－17x ＋10＝0，解得x ＝23
(舍去)或x ＝5. ∴原方程的解为x ＝5.
答案：5
7．某班由8名女生和12名男生组成，现要组织5名学生外出参观，若这5名成员按性别分层抽样产生，则参观团的组成方法共有________种．(用数字作答)
解析：由题意按分层抽样应抽2名女生和3名男生，则有C 28C 312＝6160种组成方法．
答案：6160
8．某公司计划在北京、上海、兰州、银川四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该公司不同的投资方案种数是________．(用数字作答)
解析：由题意知按投资城市的个数分两类：①投资3个城市即A34种．②投资2个城市即C23A24种，共有不同的投资方案种数是A34＋C23A24＝60.
答案：60
三、解答题
9．有2个a,3个b,4个c共9个字母排成一排，共有多少种排法？
解：因为a与a，b与b，c与c无区别，所以排法取决于9个位置中哪几个排a，哪几个排b，剩下的再排c，故共有C29C37C44＝1260种不同的排法．
10．(2012·黄冈质检)按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本．
解：(1)无序不均匀分组问题．先选1本有C16种选法；再从余下的5本中选2本有C25种选法；最后余下3本全选有C33种选法．故共有C16C25C33＝60种不同的分配方式．
(2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同三人，在第(1)题的基础上，还应考虑再分配，故共有C16C25C33A33＝360种不同的分配方式．
11．已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．
(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
解：(1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C24·A22＝A24种测试方法，再排余下4件的测试位置，有A44种测试方法．
所以共有不同的测试方法A46·A24·A44＝103680(种)．
(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同的测试方法A14·(C16·C33)A44＝576(种)．。