最新人教版高中数学选修2-2第一章《定积分在几何中的应用》课后训练1
高中数学 1.7.1定积分在几何中的应用课后习题 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学
定积分在几何中的应用课时演练·促提升A组1.如图,阴影部分的面积为()A.9B.C.D.解析:由求得两曲线交点为A(-2,-4),B(1,-1).结合图形可知阴影部分的面积为S=[-x2-(x-2)]d x=(-x2-x+2)d x=.答案:B2.若y=f(x)与y=g(x)是[a,b]上的两条光滑曲线的方程,则这两条曲线及直线x=a,x=b所围成的平面图形的面积为()A.[f(x)-g(x)]d xB.[g(x)-f(x)]d xC.|f(x)-g(x)|d xD.解析:因为f(x),g(x)两条曲线上下位置关系不确定,故选C.答案:C3.已知函数y=x2与y=kx(k>0)的图象所围成的封闭区域的面积为,则k=()A.3B.2C.1D.解析:由消去y得x2-kx=0,所以x=0或x=k,则所求区域的面积为S=(kx-x2)d x=,则k3=27,解得k=3.答案:A4.由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形面积S为()A. B. C. D.解析:作出曲线y=x2,y=x3的草图,所求面积即为图中阴影部分的面积.解方程组得曲线y=x2,y=x3交点的横坐标为x=0及x=1.因此,所求图形的面积为S=(x2-x3)d x=.答案:A5.由曲线y=x2+2与y=3x,x=0所围成的平面图形的面积为()A.4B.3C.2D.1解析:如图,由x2+2=3x,得x=1,或x=2,直线y=3x与抛物线y=x2+2的交点坐标为(1,3),(2,6), 所求的面积为S=(x2+2-3x)d x+(3x-x2-2)d x==1.答案:D6.曲线y=e x,y=e-x及x=1所围成的图形的面积为.解析:作出图形,如图所示.S=(e x-e-x)d x=(e x+e-x)=e+-(1+1)=e+-2.答案:e+-27.由正弦曲线y=sin x,x∈和直线x=π及x轴所围成的平面图形的面积等于.解析:如图,所围成的平面图形(阴影部分)的面积S=|sin x|d x=sin x d x-sin x d x=-cos x+cos x=2+1=3.答案:38.计算由抛物线y2=x与直线x-2y-3=0所围成的平面图形的面积.解法一:由得抛物线与直线的交点为P(1,-1),Q(9,3)(如图所示),所以S=-(-)]d x+d x=2d x+d x===10.解法二:抛物线和直线方程可改写为x=y2,x=2y+3,则S=(2y+3-y2)d y==10.9.计算由曲线y=x2+1,直线x+y=3以及两坐标轴所围成的图形的面积S.解:画出两函数的图象,如图所示:由又直线x+y=3与x轴交于点(3,0),∴S=(x2+1)d x+(3-x)d x==+1+.B组1.曲线y=sin x(0≤x≤π)与直线y=围成的封闭图形的面积为()A. B.2-C.2-D.解析:因为曲线y=sin x(0≤x≤π)与直线y=的交点的横坐标分别为x=及x=,所以所求图形的面积为d x=.答案:D2.由y=x2,y=,y=1所围成的图形的面积为()A. B. C.2 D.1解析:如图,y=1与y=x2交点A(1,1),y=1与y=交点B(2,1),由对称性可知面积S=2.答案:A3.已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象如图所示,它与直线y=0在原点处相切,此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为,则a的值为.解析:f'(x)=3x2+2ax+b⇒f'(0)=b⇒b=0,令f(x)=0⇒x=-a(a<0),=S==⇒a=-3.答案:-34.椭圆=1围成的面积是.解析:设椭圆在第一象限内围成图形的面积为S1,则由对称性,得椭圆面积S=4S1.在第一象限内椭圆方程可化为y=,故S1=d x=d x.而d x表示以5为半径的圆的面积,如图.从而d x=π·52=.故S1==5π,从而S=20π.答案:20π5.求正弦曲线y=sin x与余弦曲线y=cos x与直线x=-,x=围成的图形的面积.解:如图,画出y=sin x与y=cos x在上的图象,它们共有三个交点,分别为.在上,cos x>sin x,在上,sin x>cos x.∴面积S=(cos x-sin x)d x+(sin x-cos x)d x=2(sin x-cos x)d x=-2(sin x+cos x)=4.6.求曲线y=x2和直线x=0,x=1,y=t2,t∈(0,1)所围成的图形(如图阴影部分)的面积的最小值.解:由定积分的性质与微积分基本定理,得S=S1+S2=(t2-x2)d x+(x2-t2)d x==t3-t3+-t2-t3+t3=t3-t2+,t∈(0,1),所以S'=4t2-2t,所以t=或t=0(舍去).当t变化时,S',S变化情况如下表tS'-0 +S↘极小值↗所以当t=时,S最小,且S min=.7.过原点的直线l与抛物线y=x2-4x所围成图形的面积为36,求l的方程.解:由题意可知直线的斜率存在,故设直线l的方程为y=kx, 则由(1)当k+4>0,即k>-4时,面积S=(kx-x2+4x)d x==k(k+4)2-(k+4)3+2(k+4)2=(k+4)3=36,∴k=2,故直线l的方程为y=2x.(2)当k+4<0,即k<-4时,S=(kx-x2+4x)d x==-=-(k+4)3=36,∴k=-10,∴直线l的方程为y=-10x.综上,所求直线l的方程为y=2x或y=-10x.。
新课程人教版高中数学选修2-2课后习题解答(全)(20201130151731)
第一章导数及其应用3. 1变化率与导数练习（P6）在第3 h和5 h时，原油温度的瞬时变化率分别为1和3.它说明在第3 h附近，原油温度大约以1 C/ h的速度下降；在第 5 h时，原油温度大约以 3 C/ h的速率上升.练习（P8）函数h（t ）在t - t3附近单调递增，在t~t4附近单调递增.并且，函数h（t ）在t4附近比在t3附近增加得慢•［说明：体会“以直代曲”的思想练习（P9）因此，物体在第5 s 时的瞬时速度为10 m / s ,它在第5 s 的动能Ek =—1 3X 102 = 150 J. 2 4、设车轮转动的角度为'，时间为t ，则'"kt 2（「0）.由题意可知，当 t -0.8时，.-2 '-.所以k ^2^ ，于是'心二"斫t 2 .8 8函数r (V )根据图象，估算出 r (0.6) 0.3, r (1.2) 0.2说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意 义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组(P10 )1、在t 处，虽然W (t ) W (t0 10 2 0)，然w W 1(t 0 ^W 1(t^ t )4t W 2 (t 0 r W 2 (t(f t ).所以，企业甲比企业乙治理的效率高 .说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵2、h -h(1t )一 h ⑴…St 33,所以, t ； th ⑴二 3.3这说明运动员在t Ms 附近以3.3 m /s 的速度下降3、物体在第 5 s 的瞬时速度就是函数 s （t ）在「5时的导数t ) s ( 5i t 10，所以, ts (5) 二 10 .（0 V 5）的图象为-s( 5车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数 「⑴在t 另.2时的导数A ( 3. 2+U ) &(3幵2) 25- 八一 -t 20，所以 一 (3.2)_ 20..处t 8因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为 20 s -1 .说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固 5、由图可知，函数f (x)在x - 5处切线的斜率大于零，所以函数在x =.「5附近单调递增.同理可得，函数f ( x)在x - -4，-2，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调 递减. 说明：“以直代曲”思想的应用6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数 f (x)的图象如图(1)所示；第二个函数的导数 f ( X )恒大于零，并且随着x 的增加，f ( x)的值也在增加；对于第三个函数，当X 小于零时，f ( x)小于零，当x 大于零时，f ( x)大于零，并且随着 x 的增加，f ( x)的值也在增加.以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种说明：由给出的 v( t)的信息获得s(t )的相关信息，并据此画出 s(t )的图象的大致形状.这个说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系 习题3.1 B 组(P11)1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度; 速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度 速度关于时间的导数刻画的是2、过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换3、由(1)的题意可知，函数f ( x)的图象在点(1, 5)处的切线斜率为_1，所以此点附近曲线呈下降趋势.首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象点处函数图.同理可得(2)( 3 )某象的大致形状.下面是一种参考答案.1、 f ( x) -2x -7，所以，f (2) 3, f (6) - 5.2、 (1)y 1 - (2) y — 2e x ；xln 2(3) y 二 10 x 4-6x ;(4) y 二-3sin x -1x(5) y 二 _ _ sin ；(6y 「— 13 32心-1习题1.2 A 组(P18)S S(r 阳播;r ) S(r ) r , 所以，S (r )-1、«— •一 nrr A 1A rr2、T h (t) -9.8t 6.5 .十3f ■=1 J 33、 r (V )3 '4 V 24、 (1) y - 3x 21 ;(2) y - i 说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思 想的领悟.本题的答案不唯一. 1 . 2导数的计算 练习(P18)xln 2(3) 4cos x ;nx n=e xIim(2 低 r + A r ) = 2i r .r 0"x n e x;(5)f (x)6y =—x 3cosx _cos x；( 4)sin 2 xy ^99(x 学 1)98 ；-2'x ;(6)e8 2 2x .由 f (x o ) ~ 4 有 4~ 8y 2si n(2 x 5)4 xcos(2x 5)2 2x o ，解得 x o 一 3' 2 .7、 y 1.8、 ( 1)氨气的散发速度 A (t ) ~500 In0.8340.834：(2) A (7) 一 25.5，它表示氨气在第 7天左右时，以25.5克/天的速率减少(3)y -sin x 的导数为y - cos x .就越来越逼近函数y cos x .-0时，x-0.所以函数图象与x轴交于点P(0,0).x，所以y e y所以，曲线在点P处的切线的方程为d (t) - -4sin t .所以，上午6:00时潮水的速度为0.42 m / h ;上午9:00时潮水的速度为0.63 m / h;中午12:00时潮水的速度为1 . 3导数在研究函数中的应用练习(P26)0.83 m/h ;下午6:00时潮水的速度为 1.24 m /h.1、亠44 ,所以*f ( X)-2x1时，函数f ( X)二X21时，函数 f ( X尸X2所以 f (X) -e x 1 .时，函数 f ( x)- -e x时，函数 f ( x)- -e x(1)因为f ( x)_x2— 2x-2 .-2 x 4单调递增;当f (x) 0 ,即x2x 4单调递减.x单调递增;-x单调递减.(2)因为f ( x) v e x x ,当 f (x) 0，即x,所以f ( x)二3 3x2.jf,当 f (x) 0，即x :当 f (x) 0，即x(3)因为f ( x) =3x x3当f (X) 0 ,即一1 X 1时，函数f (x) -3x x3单调递增;3(4)因为f ( x) 一x3一x2…x，所以f ( x) — 3x2一2x 一1.1当f(X)0，即X —•或x . 1时，函数f ( X)- X3 - X2- X单调递增;3当f (x).0,即—1 x 1时，函数f ( x) _ x 3x 2x 单调递减轧_ M w亠 _ _32、 絆- 匕・ ------ ・---- V* a Pi［砾號\: 注：图象形状不唯一.bx c(a - 0)，所以 f ( x)- 2ax b .(2) 当 a <0 时，因此函数f ( x) ~2x 3 - 6x 2 7在(0, 2)内是减函数练习(P29)1、X 2 , X 4是函数y 一 f ( x)的极值点，其中x x 2是函数 y — f (x)的极大值点，x " x 4是函数y — f ( x)的极小值点. 2、( 1)因为 f ( x)— 6 x 2 x 2，所以 f ( x) -12x 1 .令 f (x) 12- x-1 £，得 x 尸■ 1 .121当x 严一时，f (x)0， f ( x)单调递增；当x 凉；1时，f (x):0， f ( x)单调递减.12 12所以，当x -r 时，f (x)有极小值，并且极小值为f (r i 6(r)2-”r -.3、因为 f (x)ax 2 (1 )当 a 「0 时，即x —b时，2a即x — 时，f (x) 0， f (x) 0，函数 函数f ( x) = ax 2bx 2f ( x) _ ax bx• c(a - 0)单调递增; c( a 二0)单调递减.f(x) 0 ， 函数2f ( x) _ ax bxf (x)0， 4、证明：因为f ( x) 2x 3即x 弓一“b 时， 2a 即x b 时，2a6x 27，所以'f (x)—6x 2c( a-0)单调递增; 函数 2f ( x)ax bxc(a 辱0)单调递减.12x .当 x (0, 2)时，f ( x) £x 2 12 x : 0，12 12 12 12 24 (2) 因为f ( x) — x327x，所以f ( x) — 3x227 .令f (x) 3x2一27 一0，得x 一：3 .下面分两种情况讨论：①当f (；)讥，即x V—3或x --3时；②当f "(x) V 0，即3 V X* 3时.if当x变化时，f (x)，f (x)变化情况如下表：因此，当x壬鼻3时，f ( x)有极大值，并且极大值为54 ;当x - 3时，f (x)有极小值，并且极小值为—54 .(3) 因为f ( x) -6 12x x3，所以f ( x) - 12 3x2.令f (x) 12 - 3x2-0，得x -匚2 .下面分两种情况讨论：①当f ( x) ■ 0，即卩2 x :: 2时；②当f(X)： 0，即x匚2或x「2时. 当x变化时，f (x)， f (x)变化情况如下表:因此，当S2时，f ( x)有极小值，并且极小值为=10 ；当x -2时，f ( x)有极大值，并且极大值为22(4) 因为f ( x)_3x_x3，所以f( x)— 3 3x2.令f (x) 3二3x2二0，得x 1 .下面分两种情况讨论：①当f ( 1)哀・0，即卩彳东＜1时；②当f '( x)弋0，即x V F或x洁1时. 当x变化时，f (x)，f (x)变化情况如下表:因此，当x二-1时，f ( x)有极小值，并且极小值为"2 ；当x _1时，f (x)有极大值，并且极大值为2练习(P31 )11(1 )在［0, 2］上，当x _ 时，f ( X )_6X 2_X _2有极小值，并且极小值为f ()1212又由于 f (0)冃一2 , f (2)- 20 .因此，函数f ( x) 6x 2x 2在［0, 2］上的最大值是20、最小值是 _49・24(2)在［-4,4］上，当x "=-3时，f (x)x^ - 27x 有极大值，并且极大值为 f ( 3): 当x 二3时，f (x) m x 3- 27 x 有极小值，并且极小值为f ⑶--又由于 f ( V) — 44， f (4)戸—』44.又由于f (丄__，f ⑶_15 .3271 55因此，函数f ( x) -6 12x _x 3在［—,3］上的最大值是 22、最小值是.327在［2,3］上，函数f (x) -3x - x 3无极值. 因为 f (2) - 2，f (3) - 18 .因此，函数f ( x) =3x_x 3在［2,3］上的最大值是 一2、最小值是一18习题1.3 A 组(P31)_ 49 24-54 ； 54 ；二 22 .因此，函数f ( x) - X 3-- 27 x 在卜4,4］上的最大值是 54、最小值是 54 .1,3］上，当x -2时，f ( x)二6 12x _ X 3有极大值，并且极大值为f (2)31 551、( 1)因为f (刈二一2 x 1，所以f ( x)二一2 0 .因此，函数f ( x)二「2x 1是单调递减函数.(2) 因为f ( x) = x cos x ，x (0, —)，所以f (x) = 1 sin x 0 ，x (0, —).2 2 因此，函数f ( x) - x cos x在(0, — )上是单调递增函数.2(3) 因为f ( x) 一-2x^4，所以f (x) 2一：0 .因此，函数 f ( x) -2x 4是单调递减函数.(4) 因为f ( x) -2 x3” 4x，所以f ( x)— 6x2 40 .因此，函数f ( x) - 2x3 4x是单调递增函数.2、( 1)因为f ( x)— x2• 2x 4，所以f ( x) —2x 2 .当f (x) 0 ,即x萨一1时，函数f (x)尸x2 1 2x 4单调递增当 f (x) f (x) - x22x i 4单调递减(2)因为f ( x)-2x2 - 3x^3，所以f (x) -4x - 3 .当f (x) 0，即x 3时，函数f ( x) - 2x2 _ 3x 3单调递增4当f (x) 0，即x 3时，函数f ( x) _2x2 3x 3单调递减4(3)因为f ( x)-3x x3，所以f ( x) 3 - 3x2 0 .因此，函数f ( x) _3x x3是单调递增函数.(4)因为f ( x) =x3 +x2 - x，所以f "( x) =3x2±2x -1.1当f (x) 0，即x^»1或x 时，函数f ( x) _ x3 x2一_ x单调递增.31当f (x) 0,即_1 x.：时，函数f ( x)=x3^x2= x单调递减.33、 ( 1)图略. (2)加速度等于0.4、 ( 1 )在X2处，导函数yf ( x)有极大值；(2)在x - X1和x—X4处，导函数y 一f (x)有极小值；(3)在x - X3处，函数y 一 f ( x)有极大值；(4)在x 一X5处，函数y— f ( x)有极小值.5、 ( 1)因为f ( x) -6 X2 x 2，所以f ( x) 12x 1 .令f (x) 12 x 1 -0，得x =「「1 .12当x啊■-时，f ( X) 0，f ( x)单调递增；12当x •-汁时，f ( x) 0， f ( x)单调递减.12所以，x 一十时，f (x)有极小值，并且极小值为 f ( 4)U夢6 (—1)2 F■12 12 12 12(2)因为f ( x) -x312x，所以f (x) 3x2 12.令f (x) "3x2 12 一0，得x「2 .下面分两种情况讨论：①当f ( x) - 0，即x 2或x 2时；②当f ( x) 0，即2 : x 2时.当x变化时，f (x) , f (x)变化情况如下表:因此，当x 一—2时，f ( x)有极大值，并且极大值为16; 当x -2时，f ( x)有极小值，并且极小值为-16 .(3)因为f ( x) -6 -12x x3，所以f ( x)— -12 3x2.令f (x) ^「12 3x2口0，得x 2 .下面分两种情况讨论：①当f ( x) • 0，即x二2或x 2时；②当f ( x) 一0，即卩2二x ： 2时.当x变化时，f (x)，f (x)变化情况如下表:因此，当x - 2时，f ( x)有极大值，并且极大值为22 ；当x 一2时，f ( x)有极小值，并且极小值为-10 .(4)因为f ( x) -48x x3，所以f (x) - 48 3x2.令f (x)二48— 3x2二0，得x「二4 .下面分两种情况讨论：①当f ( x) 0，即x ： -2或x 2时；②当f ( xp 0，即—2 x 2时. 当x变化时，f (x)，f (x)变化情况如下表:因此，当x _ 4时，f ( x)有极小值，并且极小值为128 ;当x -4时，f ( x)有极大值，并且极大值为 128.(1 )在［_1,1］上，当x =「丄 时，函数f (x) 6x 2+x 42有极小值，并且极小值为1247 24由于 f ( 1)一7 , f (1) 一 9 ,247所以，函数f ( x) _6x 2 x- 2在［_1,1］上的最大值和最小值分别为 9，24(2)在［3,3］上，当x »2时，函数f ( x) -x 312x 有极大值，并且极大值为16;当x =2时，函数f ( x) - X 3=12X 有极小值，并且极小值为-16 .由于 f ( —3) 一9 , f (3) - —9 ,所以，函数f ( x) - x 3-12x 在［-3,3］上的最大值和最小值分别为16， 16 .1 1(3)在［_ ,1］上，函数 f ( x) 6 12x. x 3在［—,1］上无极值.32693由于 f ( 1)，f (1)_ 5， 3271所以，函数f ( x) - 6 —12x ；方x 3在［,1］上的最大值和最小值分别为 326927(4 )当x 4时，f ( x)有极大值，并且极大值为128..由于 f ( 一3) 一 -117 , f (5) - 115 ,所以，函数f ( x) =48x_x 3在［-3,5］上的最大值和最小值分别为 128， 117 .习题3.3 B 组(P32)1、( 1 )证明：设 f ( x) _sin x x ， x (0,).因为 f ( X )- cos x 1 0， x (0,)所以f ( x) -sin x _x 在(0^ )内单调递减因此 f ( x) — sin x x ： f (0)一0， x (0/ )，即 sin x x ， x (0,). 图略(2)证明：设 f ( x) - x x 2， x (0,1). 因为 f ( x) — 1 2x ，x (0,1)所以，当x (0, 1 )时，f (x) _1_2x 0 , f (x)单调递增，2f ( x)r x x2嚣f (0) - 0 ;,1)时，f ( x) _ 1 _ 2x 0 , f ( x)单调递减，f (X)EX-X2 f (1尸0 ;1又f(__) 0 .因此，x _x20 , x (0,1).2 4()一x_1 一，x - 0 .x e x因为f ( x) - e x 1, x - 0所以，当x 0时，f ( x) - e x T 0 , f (x)单调递增，f (x)二e x 1 x f (0)二0 ；当x 0时，f ( x) i e x 1 0 , f (x)单调递减，f (x) = e x-1 - x > f (0)=0 ;综上，e x-1 x , x - 0 . |图略(4)证明：设 f (x) J|n x - x , x 0 .因为 f ( x) - 11，X = 0x所以，当0-C X V1时，f Yx) z斗一1刃，f ( x)单调递增，xf ( x)二In x i x f (1)二一1 0 ；当x 1 时，f ( x)--1-1 0，f ( x)单调递减，xf ( x) — In x x ： f (1) —10 ；当x "1时，显然In1 : 1 . 因此，In x x .由(3)可知，e x x 1 x，x 0 . 图略(3 )证明：设. 综上，In x x e x，x 0 图略2、( 1)函数f ( x) 一ax3 bx2 cx d的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或的形状.若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.(2)因为f ( x) -ax3 bx2 cx d，所以f ( x)」3ax2 2bx c .下面分类讨论：当a -0时，分a 0和a 0两种情形:①当a 0 ,且b? -3ac 0时，设方程f ( x) 一3ax2 2bx c "0的两根分别为x i, X2，且x i ' X2 ,当f (x) -3ax2 2bx 0，即x x i 或x X2 时，函数f (x) - ax3 ' bx2 ex ' d 单调递增;当f (x) _3ax2 2bx c 0，即x i，x X2 时，函数f ( x)「「ax3 bx2 ex d 单调递减.当a 0，且b23ac-0 时，此时f ( x) =3ax2 ' 2bx ' c 0，函数f ( x)二ax3 ' bx2 c^ d 单调递增②当a 0，且b2- 3ac 0时，设方程f ( x) 一3ax2 2bx c 0的两根分别为x i, X2，且x i x2，当f (x) =3ax2 2bx c ' 0，即x i x ； X2 时，函数f ( x)二ax3 bx2 cx d 单调递增;当f (x)…3ax22bx c 0，即x ：x i 或x X2 时，函数f (x) ax 3bx2 cx d 单调递减当 a 0，且b23ac—0 时，此时f ( x) "3ax2 ' 2bx ' c 0，函数f ( x) 一ax3 bx2 c^ d 单调递减i . 4生活中的优化问题举例习题i.4 A组(P37 )i、设两段铁丝的长度分别为x , l x，则这两个正方形的边长分别为x , L A，两个正方1- 4 4形的面积和为S f (x) - (-"X )2( - x)2 -亍(2 x2- 2lx T 2 ) , 0二x "1 .4 4 i6令 f ( x)二0，即4x 21 =0, x =十.2当X 和，1厂时，f '(X)W0 ；当X J )时，f ( X) 0 >2 2因此，X --是函数f ( X)的极小值点，也是最小值点.2所以，当两段铁丝的长度分别是-时，两个正方形的面积和最小2、如图所示，由于在边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长为x的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面为正方形，且边长为 a 2x，高为x .(i )无盖方盒的容积V ( x)」(a 一2x)2 x , 0 • x ' a .2(2)因为V (x) 4x 3 _4ax2 a2 x ,(第2 题)Rh42R 0222222 8 n i i a i )当R—+ 2V x 2 m 2 (x所以 V ( x)二 12x 2 8ax a 2 . 2—2第一章课后习题解答 沖j一 T令 f (x) 0，得 x - a i ， 1 'n可以得到，x- a i 是函数f ( x)的极小值点，也是最小值点 5、设矩形的底宽为 x m ，则半圆的半径为 (第 3 题).此时，h VR 2所以，当罐咼与底面直径相等时，所用材料最省 =r z rf - 24、证明：由于 f ( x) =( x ai)，所以f (x)n i in i i这个结果说明，用 n 个数据的平均值 1-n a i 表示这个物体的长度是合理的，m ，半圆的面积为 63、如图，设圆柱的高为.-.h ，底半径为R , 则表面积S 2 Rh 2 R 2I ----- ---23 V 2R . 这就是最小二乘法的基本原理 71二厂 ----------R 2 h ，得 h V 2 'R—兀 ---------------------+ TT o — S(R) 2 R V 2 R 2 R 22V 2 R 2, R 0 . R —当R因此，二 VR 3 ；-是函数S(R)的极小值点，也是最小值点由V 因此，令 S(R)R_ 0，解得 R _ I VS(R)V ］时)时，S(R)令V (x)0 ,得x a (舍去)，或 x a .26a a a」当 x (0,)时，V (x) 0 ;当x e (- 一 )时，V ( x/0 .66 2因此，xa是函数V ( x)的极大值点，也是最大值点6 —所以，当x a 时，无盖方盒的容积最大.r °2a x矩形的面积为ax 2 m 2，矩形的另一边长为 — ) m8x 8因此铁丝的长为 I (x)冷 _xx Na -— 二(「•： =) x_2a, 0 x 8a2 x 4 4 x'■ ~令 I ( x) ] 2a _0，得 x_ 8a(负值舍去).4 x 2 丫4 械因此，所以，当底宽为8a m 时，所用材料最省.56、利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘单价. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.1 彳收入 R _q p 一 q (25 _ q) - 25q_ 1q 2，8 8利润 L _ R =C _(25q =1 q 2)_ (100 4q)q 221q =100， 0 : q 厂 200 .8 8求导得L * =+ 214令 L —0，即卩—1 q 21 0， q _84 .4当 q (0,84)时，L 0 ；当 q (84,200)时，L 0 ；因此，q 84是函数L 的极大值点，也是最大值点所以，产量为 84时，利润L 最大，当 x (0, 8a )时，V 4仕I ( x). 0 .x_ 8a 是函数I (x)的极小值点，也是最小值点I 4习题1.4 B组(P37)1、设每个房间每天的定价为x元，那么宾馆利润L (x)二(50 -x—)( x 20)二一1 X2 70x 1360，180 x : 680 .10 10令L (x) 1 x 70- 0，解得x -350 .5当x (180,350)时，L ( x) 0 ;当乂(350,680)时，L ( x) 0.因此，x ~ 350是函数L( x)的极大值点，也是最大值点所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大2、设销售价为x元/件时，利润L (x) =( x_a)(c #C b ~x x4)_p( x _ a)(5 —呂x) , a”.F~l«^T.b b 4令L (x) _ _ 8c x 4ac 5bc ― 0，解得x _ 4a 5b .当x _4a 5b是函数L（ x）的极大值点，也是最大值点84a所以，销售价为4a 5b元/件时，可获得最大利润81 . 5定积分的概念练习（P42）说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想练习（P45）1、S i S i --v()『二t - [ - ( ' ) 2& 2] -1 —-( i)2 1爼■nn n于是S L工/：.,s i達？止S ii T 行n[_(i )2 1 i卜n n-()2-1n n1 23 [1 22'n1 n(n 1)(23n1 1 土一占(1 )(13取极值，得n s - limn—九i 叶)] n说明：进一步体会22 kkm.3说明：进一步体会和步骤.练习（P48）x3dx 4.“以不变代变“以不变代b b⑴/ 4a」*5b 口」当x (a, )时，L (x)88r/ +5b 5b □斗0 ;当x ( 4a ,)时，8 4L ( x) 0 .从几何上看，表示由曲线 y x 3与直线x0 , x 2 , y 0所围成的曲边梯形的面积n nnnr 2^ ii'三£ v( ) ti Tn2]n(^_-1 )2」 （』）n n nn 2 ]2n 1)21 ) !n2n1 1-lim •「[-(1 -n • 厂13 n”和“ '逼近” 的思想 ”和“ '逼近” 的思想，21 n 1)(1 )2ni =1,2, ” ；»n .熟悉求变速直线运动物体路程的方法说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义习题1.5 A 组（P50 ）1、（ 1） (x 1)dx100i 1)1]10.495 ；1 2-H -- --t -------- =■i 11001002 500(2)(x __1)dx ■ -[(1i _1k_1]1 — 0.499 ；1i 怎5005002 10001(3)(X _1)dx-[(1i 」)」.<■ 1 -0.4995 .1i 110001000说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法 2、距离的不足近似值为：18 V 12 17 13 V 0 1 40（ m ）;距离的过剩近似值为： 271 18 1 12 V 7 V3 1 - 67 （ m ）3、证明：令f （ x ）匸1 .用分点a 二x o * X 1作和式i1i1y x 3所围成的曲边梯形的面积的相反数（2）根据定积分的性质，得1 qx 3dx1由于在区间［1,0］上x 30，在区间［0,1］仔x 3dx1> 上x 31x 3 dx1 1 0 .4£，所以定积分 1x 3dx 等于位于x 轴上方的将区间 ［a, b ］等分成 n个小区间，在每个小区间［X i 1 , x i ］上任取一点 i (i 1,2, , n)X i 1 X i X n — b从而「b. ； b -a 1dx i im b - a ，a 7冕斗n说明：进一步熟悉定积分的概念 4、根据定积分的几何意义，-1 x 2 dx 表示由直线沪0，x=，尸0以及曲线所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此(1)x 3 dx4<由于在区间［1,0］上x 30，所以定积分[ ~ =—"—x 3 dx 表示由直线 x 0 ， x 1 ， y1二0和曲说明：在（3）中，由于x 3在区间［1,0］上是非正的，曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积 . I 0 3x 3dx1上x 3（3）根据定积分的性质，得2 x 3dx1一 空由于在区间［1,0］ 上 x 30，在区间［0, 2］曲边梯形面积减去位于 X 轴下方的曲边梯形面积2 — — ' — ---------------------------------x 3dx1 4 15 04 4）_2，所以定积分 1x 3dx 等于位于x 轴上方的在区间 ［0, 2］上是非负的，如果直接利用定义把区间［1,2］分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵「X - il - (i 1)1-1 .n则细棒的质量挡一些项，求和会非常麻烦 .利用性质3可以将定积分2 0x 3dx 化为x 3dx.12x 3dx ，这样，x 3在区间［1,0］和区间［0, 2］ 上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出r °x 3dx ，12;x 3dx ，进而得到定积分2I x 3dx 的值.由此可见，利用定积分的性质可以化简运算--1在（2）（ 3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分 的几何意义.习题1.5 B 组（P50 ）1、 该物体在t - 0到t - 6 （单位： 说明：根据定积分的几何意义， 的路程.2、 （ 1） v — 9.81t .s ）之间走过的路程大约为 145 m.通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过（2）过剩近似值:丄1…9.81- 空-88.29 ( m )； 2 24 2不足近似值:8i 1 1 1 8 7 '9.81 ---------- 「一 9.81 一 ： ------- 68.67------------------ ( m )4(3)9.81tdt49.81tdt 二 78.48( m ).■ 0（1）分割在区间［0, l ］上等间隔地插入 l［0,-］， n 记第i 个区间为［（i-1）| , -iL ］nn -1个分点，将它分成 n 个小区间:l 2l［--,—］，,,，n n (i -1,2, n ) ［4n^）L,i ］，n把细棒在小段 [0, l ]， n[l , 2l]，,,， n nA —心[(n 2)l ,l ]上质量分别记作: n m 1, m 2 , , m n ，（2）近似代替（i -x很小时，在小区间［'1）1 , il ］上，可以认为线密度n n化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点当n 很大，即'(x) - x 2的值变值（-i ）s 卩［（F 1）l-』］处的函数n ni 2.于是，细棒在小段［,』］上质量 m^ （ i 厂x i 2」（i 「1,2, n ）.n nn(3)求和得细棒的质量m i 、2 _!_.i 1 i n(4)取极限n 细棒的质量m ^!im r.n_]* •i2 L，所以m l2x dx ..。
人教版 高中数学 选修2-2 1.7.2定积分在物理中的应用课后习题
人教版高中数学精品资料1.7.2 定积分在物理中的应用课时演练·促提升A组1.物体以速度v(t)=2-t做直线运动,则它在t=1到t=3这段时间的路程为()A.0B.1C.D.解析:当t∈[1,2]时v(t)≥0,t∈[2,3]时v(t)≤0,故路程为|2-t|d t=(2-t)d t+(t-2)d t=1.答案:B2.做直线运动的质点在任意位置x处,所受力F(x)=1+e x,则质点沿着与F(x)相同的方向,从点x1=0处运动到点x2=1处,力F(x)所做的功是()A.1+eB.eC. D.e-1解析:W=(1+e x)d x=(x+e x)=e.答案:B3.以40 m/s的初速度竖直向上抛一物体,t s时的速度v=40-10t2(m/s),则此物体达到最高时的高度为()A. mB. mC. mD. m解析:由v=40-10t2=0得t2=4,∴t=2.∴h=(40-10t2)d t==80-(m).故选A.答案:A4.一物体在力F(x)=15-3x2(力的单位:N,位移的单位:m)作用下沿与力F(x)成30°角的方向由x=1 m直线运动到x=2 m处,作用力F(x)所做的功W为()A. JB.2 JC.4 JD. J解析:W=F(x)cos 30°d x=(15-3x2)d x=(15x-x3)[(30-8)-(15-1)]=4(J).答案:C5.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是()A.1+25ln 5B.8+25lnC.4+25ln 5D.4+50ln 2解析:由v(t)=0得7-3t+=0,又t>0,所以t=4,所求距离s=v(t)d t=d t==7×4-×42+25ln 5=4+25ln 5.故选C.答案:C6.质点运动的速度是(18t-3t2)m/s,质点在[0,8]时间段内所通过的路程为m,位移为m.解析:v=18t-3t2>0时0<t<6,即在[0,8]内[6,8]时间段内v≤0.故路程s=(18t-3t2)d t-(18t-3t2)d t=(9t2-t3)-(9t2-t3)=108-(-44)=152(m),位移s'=(18t-3t2)d t=(9t2-t3)=64(m).答案:152647.已知作用于某一质点的力F(x)=(单位:N),力F从x=0处运动到x=2处(单位:m)所做的功是.解析:力F所做的功W=x d x+(x+1)d x=x2=3(J).答案:3 J8.物体A以速度v A=3t2+1(米/秒)在一直线上运动,同时物体B以速度v B=10t(米/秒)在同一直线上与物体A同方向运动,问多长时间物体A比B多运动5米?此时,物体A,B运动的路程各是多少? 解:依题意知,物体A,B分别做变速直线运动和匀速直线运动.A从开始到t秒后所走的路程为s A=v A d t=(3t2+1)d t=t3+t;B从开始到t秒后所走的路程为s B=v B d t=10t d t=5t2.由题意得s A=s B+5,即t3+t=5t2+5,得t=5(秒).此时,s A=53+5=130(米),s B=5×52=125(米).答:5秒后物体A比B多运动5米,此时,物体A,B运动的路程分别是130米和125米.9.物体按规律x=4t2(m)做直线运动,设介质的阻力与速度的大小成正比,且速度的大小为10 m/s时,阻力为2 N,求物体从x=0到x=4,阻力所做的功的大小.解:∵v=x't=8t=4(m/s),F(x)=kv=4k(N),当v=10时,F(x)=2,∴k=.∴F(x)=.故阻力所做的功为W=d x=(J).B组1.一物体从A处向B处运动,速度为1.4t m/s(t为运动的时间),到B处时的速度为35 m/s,则AB间的距离为()A.120 mB.437.5 mC.360 mD.480 m解析:从A处到B处所用时间为25 s.所以|AB|=1.4t d t=0.7t2=437.5(m).答案:B2.如图,弹簧一端固定,另一端与一质点相连.弹簧劲度系数为k,则质点由x0运动至x1时弹簧弹性力所做的功为()A. B.C. D.解析:∵弹簧弹性力F(x)=-kx,∴W=F(x)d x=(-kx)d x=-.答案:A3.有一质量非均匀分布的细棒,已知其线密度为ρ(x)=x2(取细棒所在的直线为x轴,细棒的一端为原点),棒长为l,则细棒的质量m=.解析:m=ρ(x)d x=x2d x=x3l3.答案:l34.把一个带+q电量的点电荷放在r轴上坐标原点处,形成一个电场,已知在该电场中,距离坐标原点为r处的单位电荷受到的电场力由公式F=k(其中k为常数)确定.在该电场中,一个单位正电荷在电场力的作用下,沿着r轴的方向从r=a处移动到r=b(a<b)处,则电场力对它所做的功为.解析:W=d r=-k=k-k.答案:k5.A,B两站相距7.2 km,一辆电车从A站开往B站,电车开出t s后到达途中C点,这一段的速度为1.2t m/s,到C点的速度为24 m/s,从C点到B站前的D点以等速行驶,从D点开始刹车,经t s后,速度为(24-1.2t) m/s,在B站恰好停车,试求:(1)A,C间的距离;(2)B,D间的距离.解:(1)设A到C的时间为t1 s,则1.2t=24,解得t1=20,则AC=1.2t d t=0.6t2=240(m).即A,C间的距离为240 m.(2)设D到B的时间为t2 s,则24-1.2t2=0,解得t2=20,则DB=(24-1.2t)d t=(24t-0.6t2)=240(m).即B,D间的距离为240 m.6.如图,在某一温度下,直径为0.2 m,高为0.8 m上端为活塞的圆柱体内某气体的压强p(N/m2)与体积V(m3)的函数关系式为p=,而正压力F(N)与压强p(N/m2)的函数关系为F=pS,其中S(m2)为受力面积.设温度保持不变,要使气体的体积缩小为原来的一半,求活塞克服气体压力做多少功?解:设活塞运动的距离为x m,则活塞受到的压强为:p=,从而活塞受到的压力为:F=pS=×0.01π=,活塞克服气体压力所做的功为:W=d x=[-80ln(0.8-x)]=80ln 2.故活塞克服气体压力做功为80 ln 2 J.。
高中数学选修2-2第一章知识点及测试题
高中数学选修2-2知识点总结第一章 导数及其应用1. 平均变化率 xf x f x y x x ∆-∆+=∆∆)()(00 2. 导数（或瞬时变化率） x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(0000导函数(导数)： xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(03. 导数的几何意义：函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f '(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f '(x 0)．4. 导数的运算：(1)几种常见函数的导数：①(C )′＝0(C 为常数)； ②(x α)′＝1x αα-(x ＞0，Q α∈)； ③(sin x )′＝cos x ； ④(cos x )′＝－sin x ； ⑤(e x )′＝e x ； ⑥(a x )′＝a x ln a (a ＞0，且a ≠1)； ⑦xx 1)(ln =； ⑧1(log )ln a x x a =(a ＞0，且a ≠1)．(2)导数的运算法则：①[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )； ②[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )； ③)0)(()()()()()(])()([2=/'-'='⋅x v x v x v x u x v x u x v x u . 5. 设函数()u x ϕ=在点x 处有导数()x u x ϕ'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或(())()()x f x f u x ϕϕ'='⋅'。
人教版高中数学选修22第一章1.7.1定积分在几何中应用习题
高中数学学习资料金戈铁骑整理制作2014 年新田一中选修2-2 课后作业（十一）班级 ___________姓名___________学号___________ 11．由 y＝x， x＝ 1， x＝ 2，y＝0 所围成的平面图形的面积为()．A．ln 2B．ln 2－ 1C． 1＋ ln 2D． 2ln 22．在下面所给图形的面积S 及相应表达式中，正确的有()．A．①③B．②③C．①④D．③④3 ．由曲线 y ＝x 2 与直线 y ＝2x 所围成的平面图形的面积为 ()．168 4 2A. 3B. 3C.3D. 34 ．由曲线 ＝2x2，及 x ＝0，x ＝3， y ＝ 0 所围成图形的面积为 ________．y π 3π5．直线 x ＝2，x ＝ 2 ， y ＝0 及曲线 y ＝ cos x 所围成图形的面积 ________．6．抛物线 y ＝－ x 2＋4x － 3 及其在点 A(1,0)和点 B(3,0)处的切线所围成图形的面积为 ________．7．已知函数 f(x)＝3x 2＋2x ＋1，若f(x)dx ＝ 2f(a)成立，则 a 的值为 ________．8．直线 y ＝kx 分抛物线 y ＝x －x 2与 x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求 k 值及直线方程．．已知函数x 3，x ∈[0，1] ， f(x)＝ 求曲线 y ＝ f(x)与 x 轴、直线 x ＝0、x ＝29x ， x ∈ [1，2]，所围成的图形的面积．11．由 y＝x， x＝ 1， x＝ 2，y＝0 所围成的平面图形的面积为()．A．ln 2B．ln 2－1C．1＋ln 2D．2ln2剖析画出曲线 y＝1及直线x ＝，＝，＝，x(x>0)1x 2 y0则所求面积 S 为以下列图阴影部分面积．＝ln 2－ln 1 ＝ln 2.应选 A.答案A2．在下面所给图形的面积S 及相应表达式中，正确的有()．A．①③B．②③C．①④D．③④答案D3．由曲线 y＝x2与直线 y＝2x 所围成的平面图形的面积为()．168A. 3B.342C.3D.3剖析画出曲线 y＝ x2和直线 y＝2x，则所求面积 S 为图中阴影部分的面积．y＝2x，x＝0，x＝2，解方程组y＝x2，得y＝0或y＝4.∴A(2,4)，O(0,0)．＝－8－ 0＝4433.应选 C.答案C ．由曲线＝2x 2，及 x＝0，x＝3， y＝ 0 所围成图形的面积为 ________．4y剖析由题意画草图：答案18π3π5．直线 x＝2，x＝2， y＝0 及曲线 y＝ cos x 所围成图形的面积 ________．剖析由题意画草图：由图形面积为答案26．求由曲线 y ＝ x 3及直线 y ＝2x 所围成的图形面积．解 由y ＝ x 3，解得 1＝0，x 2＝ 2，x 3＝－ 2.xy ＝ 2x ，交点为 (－ 2，－ 2 2)，(0,0)，( 2，2 2)．所求面积 S 为：综合提高 限时 25分钟7．若 y ＝ f(x)与 y ＝g(x)是 [a ，b]上的两条圆滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面地域的面积为( )．剖析当 f(x)＞g(x)时，所求面积为；当 f(x)≤g(x)时，所求面积为 .综上，所求面积为.答案C8．曲线 y ＝x 2＋2x 与直线 x ＝－ 1，x ＝1 及 x 轴所围图形的面积为()．8A ．2B.342 C.3D.32 4＝3＋3＝2.答案A9．抛物线 y ＝－ x 2＋4x － 3 及其在点 A(1,0)和点 B(3,0)处的切线所围成图形的面积为 ________．剖析 由 y ′ ＝－ 2x ＋4 得在点 A 、B 处切线的斜率分别为 2 和－ 2，则两直线方程分别为 y ＝2x － 2 和 y ＝－ 2x ＋6，y ＝2x － 2， 由得两直线交点坐标为 C(2,2)，y ＝－ 2x ＋6，∴ S ＝ S △ ABC －(－ x 2＋4x － 3)dx1 1 3234 2＝ 2×2×2－ －3x ＋2x －3x1 ＝2－3＝3.答案2310．已知函数 f(x)＝3x 2＋2x ＋1，若f(x)dx ＝2f(a)成立，则 a 的值为 ________．所以 2(3a 2＋2a ＋1)＝4，即 3a 2＋2a － 1＝ 0，1解得 a ＝－ 1 或 a ＝3.1答案－1 或3．直线 ＝kx 分抛物线2 与 x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求 k11 yy ＝ x － x值及直线方程．y ＝ kx ，x ＝ 0， x ＝1－k ， 解 由得或(0<k<1)y ＝ x － x 2，y ＝ 0，y ＝ k －k 2.1－k 21 3 1－ k1 1 1 123即2 x －3x＝2 2x－3x 0.31 ，∴1－k ＝6123134∴ (1－k) ＝ 2， k ＝ 1－ 2 .∴直线方程为 y ＝3 4 x.1－2． 创新拓展 已知函数x 3， x ∈ [0，1] ，) f(x)＝求曲线 y ＝f(x)与 x 轴、直线 x12 (x ，x ∈[1， 2]，＝ 0、 x ＝2 所围成的图形的面积．。
人教版a版高中数学选修2-2第一章1.7《定积分的简单应用》【练习】(学生版)
高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）1.7 定积分的简单应用一、选择题1．由直线0,e,2y x y x ===及曲线xy 2=所围成的封闭的图形的面积为（） A ．2ln 23+ B ．3 C ．22e 3- D ．e2.定积分的值是（）A ．B ．C ．2D ．3．如图，抛物线的方程是21y x =-，则阴影部分的面积是（ ）A.220()1x dx -⎰ B.|220()1x dx -⎰| 0|sin cos |x x dx π⎰-22+22-22C.220||1x dx ⎰－ D.122201)(11()x dx x dx ⎰⎰－＋－ 4．如图，阴影区域是由函数cos y x =的一段图象与x 轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（）A. 1B. 2C. π2D. π 5．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251t+(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是 ( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2 6．设，则的值为（） A. B. C. D. 二、填空题7．若，则的值是______． 8．如图阴影部分是由曲线21,y y x x ==与直线2,0x y ==围成，则其面积为________．()[)[]221,1,11,1,2x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩()21f x dx -⎰423π+32π+443π+34π+11(2)3ln 2(1)a x dx a x+=+>⎰a三、解答题9．一质点做直线运动，其瞬时加速度的变化规律为()2cos a t A t ω=-，在t =0时，v (0)=0，s (0)=A ，其中A 、ω为常数，求质点的位移方程.10．已知()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+（1）求()f x 的解析式．（2）求曲线()y f x =与曲线241y x x =--+所围成的图形的面积．。
最新人教版高中数学选修2-2第一章《定积分在几何中的应用》示范教案
1．7 定积分的简单应用 1．7.1 定积分在几何中的应用教材分析这一节的教学要求就是让学生在充分认识导数与积分的概念、计算、几何意义的基础上，掌握用积分解决实际问题的基本思想和方法．在学习过程中，了解导数与积分的工具性作用，从而进一步认识到数学知识的实用价值以及数学在实际应用中的强大作用．在整个高中数学体系中，这部分内容也是学生在高等学校进一步学习数学的基础．课时分配 1课时．教学目标 知识与技能目标应用定积分解决平面图形的面积问题． 过程与方法目标1．能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法； 2．强化数形结合和化归思想的思维意识． 情感、态度与价值观1．激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；2．培养学生严谨的科学思维习惯和方法；培养学生勇于探索和实践的精神； 3．培养将数学知识应用于生活的意识． 重点难点 重点：应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值． 难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数．教学过程引入新课提出问题1：(1)求曲边梯形的方法；(2)定积分的几何意义；(3)微积分基本定理． 活动设计：以教师提问学生回答的形式回顾前面的知识． 设计意图这些知识是本节课定积分应用的理论基础．提出问题2：通过学习前面的知识，我们知道了定积分的哪些应用？ 活动设计：让学生观察国家大剧院的图片，使其明确大剧院边缘的玻璃形状属于曲边梯形，要计算其面积可以通过计算曲边梯形的面积实现．设计意图通过具体的实例，将定积分与现实生活相联系，激发学生的学习兴趣． 探究新知提出问题1：计算由抛物线y ＝x 2在[0,1]上与x 轴在第一象限围成图形的面积S 1；计算由抛物线y 2＝x 在[0,1]上与x 轴在第一象限围成图形的面积S 2.活动设计：让学生自己动手画图，找出所围图形，思考解决问题的方法．活动成果：通过画出图象，根据定积分的几何意义，可知面积S 1＝∫10x 2dx ＝x 33|10＝13，面积S 2＝∫10xdx ＝2x 323|10＝23. 设计意图这个问题把课本例1所求面积进行适当的分割，降低难度的同时，突出应用定积分解决平面图形面积问题的重要性，突破如何把平面图形的面积问题化归为定积分问题．提出问题2：计算由两条抛物线y 2＝x 和y ＝x 2所围成图形的面积S.活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流． 活动成果：两条抛物线所围成图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到．先由方程组⎩⎨⎧y ＝xy ＝x 2⇒ x ＝0或x ＝1，得到两曲线的交点为(0,0)、(1,1)，再由定积分的几何意义可知，面积S ＝∫10xdx －∫10x 2dx ，所以S ＝∫10(x －x 2)dx ＝23x 32|10－x 33|10＝13.提出问题3：求两曲线围成的平面图形面积的一般步骤是什么？活动设计：学生独立思考，自由发言．活动结果：1.作出示意图(找到所求平面图形)； 2．求交点坐标(确定积分上、下限)； 3．确定被积函数； 4．列式求解． 设计意图让学生明确求两曲线围成的平面图形面积的方法和步骤． 理解新知提出问题1：计算由直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 以及x 轴所围图形的面积S.先画出图象，你发现此题与例1有什么不同？活动设计：学生独立思考．活动成果：此题需把所求图形的面积分成两部分来求． 设计意图此题是例1的深入和扩展，让学生独立思考，培养他们解决问题的能力． 提出问题2：你能仿照例1，自己完成这个问题的解答吗？活动设计：学生独立完成，再将一学生的做题步骤进行投影，然后共同分析．活动成果：作出直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎨⎧y ＝2x ，y ＝x －4，得直线y ＝x －4与曲线y ＝2x 的交点的坐标为(8,4)．直线y ＝x －4与x 轴的交点坐标为(4,0)．因此，所求图形的面积为S 1＋S 2＝∫402xdx ＋[∫842xdx －∫84(x －4)dx]＝223 32x |40＋223 32x |84－12(x －4)2|84＝403. 设计意图学生运用新知识解决问题，可以获得极大的成就感，既激发了学习兴趣，又加强了学生应用数学知识的意识．提出问题3：还有其他解法吗？活动设计：分小组讨论，让学生交流自己的想法．活动成果：方法一：将所求平面图形面积看成一个曲边梯形与一个三角形的面积之差．S ＝∫802xdx －12×4×4. 方法二：将所求平面图形的面积看成位于y 轴右边的一个梯形与一个曲边梯形的面积之差，因此取y 为积分变量，还需把函数y ＝x －4变形为x ＝y ＋4，函数y ＝2x 变形为x ＝y 22.S＝12×(4＋8)×4－∫40y 22dy. 设计意图考虑到学生思维方式的不同，所以对问题解决的方法可能会有所不同．有可能直接面积相减，也有可能把所求面积分两部分相加．学生通过体会不同方法的区别及联系，加强对重难点的理解．提出问题4：根据对以上问题的分析，你能再详细叙述求曲边梯形的面积的步骤，以及解决此类问题应注意什么吗？活动设计：让学生独立思考，再找几个学生叙述，然后教师补充总结． 活动成果：具体步骤：(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其范围，从而确定积分的上、下限； (3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．①由一条曲线y ＝f(x)(其中f(x)>0)与直线x ＝a ，x ＝b(a<b)以及x 轴所围成的曲边梯形的面积：S ＝∫b a f(x)dx ；②由一条曲线y ＝f(x)(其中f(x)<0)与直线x ＝a ，x ＝b(a<b)以及x 轴所围成的曲边梯形的面积：S ＝|∫b a f(x)dx|＝－∫ba f(x)dx ；③由两条曲线y ＝f(x)，y ＝g(x)(f(x)≥g(x))与直线x ＝a ，x ＝b(a<b)所围成的曲边梯形的面积：S ＝∫b a |f(x)－g(x)|dx.注意的问题：选择最优化的积分变量；根据图形特点选择最优化的解题方法． 设计意图让学生进一步理解定积分的几何意义，同时体会如何用定积分解决同类问题． 运用新知例1计算由y ＝x －4与y 2＝2x 所围图形的面积． 解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4，y 2＝2x 得到交点坐标为(2，－2)及(8,4)．∴S ＝12×(2＋8)×6－∫4－2(12y 2)dy ＝18. 例2计算由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 围成的图形面积．解：由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x ，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ， 得交点坐标为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．∴S ＝∫10[x －(－13x)]dx ＋∫31[(2－x)－(－13x)]dx ＝∫10(x ＋13x)dx ＋∫31[(2－x)＋13x]dx ＝(23x 23＋16x 2)|10＋(2x －12x 2＋16x 2)|31 ＝23＋16＋(2x －13x 2)|31＝56＋(6－13×9－2＋13)＝136. 巩固练习计算由曲线y ＝sinx ，y ＝cosx 及x ＝0，x ＝π2所围平面图形的面积．解：法一：S ＝S 1＋S 2，其中S 1＝∫π40(cosx －sinx)dx ＝∫π40cosxdx －∫π40sinxdx ＝sinx|π40＋cosx|π4＝sin π4－sin0＋cosπ4－cos0＝2－1，S 2＝∫π2π4(sinx －cosx)dx ＝∫π2π4sinxdx －∫π2π4cosxdx ＝－cosx|π2π4－sinx|π2π4＝－cos π2＋cosπ4－sin π2＋sin π4＝2－1，所以S ＝S 1＋S 2＝2(2－1)．法二：根据图形的对称性，S ＝2(S 1－S 2)，其中 S 1＝∫π20sinxdx ＝－cosx|π20＝－cos π2＋cos0＝1，S 2＝2∫π40sinxdx ＝－2cosx|π40＝－2cos π4＋2cos0＝2－2，所以S ＝2(S 1－S 2)＝2[1－(2－2)]＝2(2－1)．变练演编有一直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．解：设抛物线y ＝x 2上的两点为A(a ，a 2)，B(b ，b 2)，不妨设b>a ，直线AB 与抛物线所围成图形的面积为S ，则S ＝∫b a [(a ＋b)x －ab －x 2]dx ＝(a ＋b 2x 2－abx －13x 3)|b a ＝16(b －a)3. 当S ＝43，即16(b －a)3＝43时，有b －a ＝2.(*)设AB 的中点P(x ，y)，则x ＝a ＋b 2，y ＝a 2＋b 22.由(*)得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋1，y ＝a 2＋2a ＋2，消去a 得y ＝x 2＋1.这就是所求的P 点的轨迹方程． 达标检测1．由y ＝sinx ，y ＝cosx ，x ＝0，x ＝π所围成的图形面积可表示为( )A ．∫π0(sinx －cosx)dx B ．∫π40(cosx －sinx)dx ＋∫ππ4(sinx －cosx)dxC ．∫π0(cosx －sinx)dxD ．∫π20(cosx －sinx)dx ＋∫ππ2(sinx －cosx)dx2．求直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x 2所围成的图形面积． 3．求曲线y ＝e x 与直线x ＝0，y ＝e 所围成的图形面积．4．求曲线y ＝sinx(x ∈[0，2π3])与直线x ＝0，x ＝2π3，x 轴所围成的图形面积．答案：1.B 2.323；3.1；4.32.课堂小结1．知识收获：用定积分求曲边梯形面积问题：(1)画图确定图形范围；(2)确定被积函数和积分区间；(3)写出平面图形面积的积分表达式，计算定积分，求出面积．2．方法收获：归纳方法、数形结合方法． 3．思维收获：数形结合的思想． 布置作业课本习题1.7A 组第1题，B 组第1题． 补充练习 基础练习1．曲线y ＝x 2与直线y ＝x ＋2所围成的图形的面积等于__________．2．由y ＝sinx ，y ＝cosx ，x ＝0，x ＝π4所围成的图形面积等于__________．3．求由抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点M(0，－3)和N(3,0)处的两条切线所围成的图形的面积．拓展练习 4．在曲线y ＝x 2(x ≥0)上的某点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成图形的面积为112，试求：切点A 的坐标以及切线方程． 5．一桥拱的形状为抛物线，已知该抛物线拱的高为3，宽为10，求抛物线拱的面积S. 答案：1.922.2－13.9.4．如图，由题意，可设切点坐标为A(x 0，x 20)，则切线方程为y ＝2x 0x －x 20，且切线与x轴的交点坐标为B(x 02，0)．则由题意可知有S ＝∫x 020x 2dx ＋∫x 0x 02(x 2－2x 0x ＋x 20)dx ＝x 3012＝112，则x 0＝1，所以所求切点坐标与切线方程分别为A(1,1)，y ＝2x －1.5．20.设计说明通过具体实例创设问题情境，让学生体验到数学在现实生活中无处不在，从而激发他们的学习热情，引导他们积极主动地参与到学习中来；通过问题探究的形式，形成教师与学生的互动，同时提高学生分析问题、解决问题的能力；教师对学生主要出现的不同解法进行投影分析，并进行比较，学生体会这些方法的区别及联系，突破本节课的重难点．巩固练习，目的在于巩固解题方法，由一题多解锻炼学生的发散思维．备课资料 平地上有一条小沟，沟沿是两条长100 m 的平行线段，沟宽AB 为2 m ，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为O ，对称轴与地面垂直，沟深1.5 m ，沟中水深1 m.(1)求水面宽．(2)如图所示形状的几何体称为柱体，已知柱体的体积为底面积乘以高，则沟中的水有多少立方米？解：(1)如图建立直角坐标系xOy ，设抛物线方程为y ＝ax 2(a>0)，则由抛物线过点B(1，32)，可得a ＝32.于是抛物线方程为y ＝32x 2. 当y ＝1时，x ＝±63，由此知水面宽为263m.(2)柱体的底面积 S ＝2∫630(1－32x 2)dx ＝2(∫630dx －32∫630x 2dx) ＝2(x|630－32·13x 3|630)＝469(m 2)． ∴柱体体积为100×469＝40069(m 3)，即沟中的水有40069m 3.(设计者：孙娜)。
人教版高中数学选修2-2习题第一章导数及其应用1.7.2定积分在物理中的应用
第一章 导数及其应用1.7 定积分的简单应用定积分在物理中的应用A 级 基础稳固一、选择题1．一物体在力 F (x)＝ 4x －1( 单位： N) 的作用下，沿着与力F 同样的方向，从 x ＝ 1 处运动到 x ＝ 3 处 (单位： m)，则力 F 所做的功是 ()A ．8 JB ．10 JC ．12 JD ．14 J分析： W ＝ ∫ 13(4x － 1)dx ＝ (2x 2－ x)|13＝ 14(J)． 答案： D2．以初速 40 m/s 竖直向上抛一物体，t s 时辰的速度2，则此物体达到最高时v ＝ 40－ 10t 的高度为 ()16080 A. 3mB. 3 m4020 C. 3mD. 3 m分析：由 v ＝ 40－ 10t 2＝ 0 得 t 2＝ 4， t ＝ 2.所以 h ＝ ∫ 02 －2＝ 40t －10t 3 |02＝ 80－80＝160．(4010t )dt333 (m)答案： A3．一物体沿直线以v ＝1＋ t m/s 的速度运动，该物体运动开始后10 s 内所经过的行程是 ()2 233A. 1(11 － 1)(m)B.1(10 － 1)(m)333 3 121 2C.(11 － 1)(m)D. (10 － 1)(m)33331022 1012∫3(11 － 1)(m) ．分析： s ＝ 0 1＋ tdt ＝ 3(1＋ t) |0 ＝ 答案： C4．质点做直线运动，其速度v(t)＝ t 2－ 2t ＋ 1(单位： m/s)，则它在第 2 秒内所走的行程为()21A.3(m)B.3(m)1 C.4(m)1 D. 2(m)分析：因为v(t)＝ t2－ 2t＋ 1≥0，所以它在第 2 秒内所走的行程为s＝∫21v( t)dt＝∫21(t2－ 2t＋1)dt＝13t3－ t2＋ t |12＝13(m)．答案： B25 5．一辆汽车在高速公路上行驶，因为碰到紧迫状况而刹车，以速度v( t)＝ 7－ 3t＋1＋t(t的单位： s， v 的单位： m/s)行驶至停止，在此时期汽车持续行驶的距离(单位： m) 是 ()11A． 1＋ 25ln 5B． 8＋ 25ln 3C． 4＋ 25ln 5D． 4＋ 50ln 2分析：令 7－3t＋25＝ 0，解得 t＝－8＋(舍去 )或 t＝ 4.t31则∫ 42532＋25ln（＋）|47－3t＋1＋t dt＝7t－2t1t0＝4＋ 25ln 5.答案： C二、填空题6．将一弹簧压缩 2 厘米，需要8 牛顿的力，将它从自然长度压缩10 厘米，做的功为________．分析：设力 F (x)＝ kx，由题意： 8＝ k·0.02，所以 k＝ 400，所以 F (x)＝ 400 x.所以 W＝∫00.1400xdx＝200x2|00.1＝ 2(J)．答案： 2J7．已知质点的速度v＝ 10t，则从 t＝ t1到 t＝ t2质点的均匀速度为________．－s＝5(t2＋ t1)．分析：由 s＝10tdt＝ 5t2＝ 5(t22－ t12)，得均匀速度为 v ＝t2－ t1答案： 5(t2＋ t1)8．有一动点 P 沿 x 轴运动，在时间t 时的速度为 v(t)＝ 8t－ 2t2(速度的正方向与x 轴正方向一致 )．则点 P从原点出发，当t＝ 6时，点 P 走开原点的行程和位移分别是________，________．分析：由 v(t)＝ 8t－ 2t2≥ 0，得 0≤t≤4，即当 0≤t≤4时， P 点向 x 轴正方向运动，当 t＞ 4时，P 点向 x 轴负方向运动．故t＝ 6时，点 P 走开原点的行程为s＝∫04(8t－ 2t2)dt－∫46(8t－ 2t2)dt ＝ 4t－ t|0－ 4t－ t |4＝128当＝时，点的位移为＝∫0－＝ 4t － t|0＝ 0.2234223662223633 3 .t 6P s(8t2t )dt3128答案：0三、解答题9．在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有必定量的气体，在等温条件下，因为气体的膨胀，把容器中的一个活塞 (面积为 S)从点 a 处推到 b 处，计算在挪动过程中，气体压力所做的功．解：力 F 对物体所做的功为W＝ F ·s，由物理学知识易得压强 p 与体积 V 的乘积是常数 k，即 PV＝ k，又因为 V＝ x·s(x 指活塞与底的距离 )，所以 p＝k＝k. V xS所以作用在活塞上的力所以气体压力所做的功为F ＝ p·S＝k· s＝k.x· s xb k b＝klnW＝∫a dx＝ kln x|axb.a10．一物体做变速直线运动，其v－ t 曲线以下图，求该物体在t＝1s 到 t＝ 6 s 之间的2运动行程．解：由题意，得v(t)＝2t， 0≤ t≤1，2， 1≤ t≤ 3，13t＋ 1， 3≤ t≤ 6，所以该物体在t＝12s 到 t＝ 6 s 之间的运动行程为＝v(t)dt ＝2tdt＋∫ 13＋∫361t＋1＝s2dt3dt2312649(m)．t＋ 2t|1＋t ＋ t|3＝46B 级能力提高1．若力 F 和物体挪动方向同样，并且与物体地点 x 有以下关系： F (x)＝|x|， x≤ 0，那x2＋ 1， x＞ 0，么力 F 使物体从 x＝－ 1 点运动到 x＝ 1 点所做的功为 ()1311A．2J B.6 J C.6 J D．3J1012＋ 1)dx＝分析：∫1F (x)dx＝∫－ 1|x|dx＋∫ 0(x－∫－01(－x)dx＋∫12＋－12 －0＋1 3＋x |1＝110(x1)dx x |1x0236答案： C2．一物体在变力 F(x)＝ 5－ x2 (力单位： N ，位移单位： m) 作用下，沿与 F(x)成 30°方向做直线运动，则由x＝ 1 运动到 x＝ 2 时 F (x)做的功为 ()23A. 3 JB. 3J43C.3J D．2 3J分析： W＝∫23∫221F (x)cos 30°dx＝21(5－x )dx＝313237432 5x－3x|1＝25－3＝3(J)．答案： C3．物体 A 以速度 v＝ 3t2＋1 在向来线上运动，在此直线上与物体 A 出发的同时，物体B 在物体 A 是正前面 5m 以 v＝ 10t 的速度与 A 同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体A 所走过的行程是多少(时间单位： s 速度单位： m/s)?解：设 A 追上 B 时，所用的时间为t0，依题意有 s A＝ s B＋ 5，即(3t2＋ 1)dt＝10tdt＋ 5，3222，所以 t0＋ t0＝ 5t0＋ 5，即 t0(t0＋ 1)＝ 5(t0＋ 1)得 t0＝ 5，所以 s A＝ 53＋ 5＝ 130.所以，两物体 5 s 时相遇，相遇时物体 A 所走过的行程是130 m.。
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1．7.1 定积分在几何中的应用练习
1．由曲线y ＝f (x )(f (x )≤0)，x ∈[a ，b ]，x ＝a ，x ＝b (a ＜b )和x 轴围成的曲边梯形的面积S 等于( )
A.
()d b
a
f x x ⎰
B ．()d b
a
f x x -⎰
C.
[()]d b
a f x a x -⎰
D ．
[()]d b
a
f x b x -⎰
2．y ＝x 2＋1与两坐标轴及x ＝1所围成的图形的面积为( ) A ．
13
B ．
43
C ．
53
D ．2
3．求由y ＝e x ，x ＝2，y ＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为( )
A ．[0，e 2]
B ．[0,2]
C ．[1,2]
D ．[0,1]
4．由曲线y ＝x 和y ＝x 3所围成图形的面积可用定积分表示为( )
A.1
300
d x x x +⎰⎰
B.
1
30
d x x x -⎰
⎰
C.
1
30
d x x x -⎰
⎰
D ．以上都不正确
5．(2010山东高考)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.
1
12
B.
1
4
C.
1
3
D.
712
6．若
d 1a
x x =⎰
，则实数a 的值是________．
7．曲线y ＝x 2与x ＝y 2所围成的平面图形的面积为________．
8．图中阴影部分的面积S ＝________.
9．在曲线y ＝x 2(x ≥0)上的某点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围图形的面积为
1
12
.试求：切点A 的坐标以及切线方程．
10．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．
参考答案
1. 答案：B 由定积分的几何意义，易知S ＝()d b
a
f x x -⎰
.
2. 答案：B S ＝
1
2
3100
114(+1)d 1333x x x x ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭
⎰. 3. 答案：B 如图，作出y ＝e x ，x ＝2，y ＝1三个函数的图象，由三者围成的曲边梯形
如图中阴影部分，若选择x 为积分变量，则积分区间应为[0,2]．故选
B.
4. 答案：C
解方程组3
,
y y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得0,
0,x y =⎧⎨=⎩1,
1,
x y =⎧⎨
=⎩而当0≤x ≤1
x 3， ∴曲线y
y ＝x 3
所围成图形的面积可用定积分表示为
1
3
)d x x =
⎰0
x ⎰
1
30
d x x -⎰，故选C.
5. 答案：A 作出曲线y ＝x 2，y ＝x 3的草图，所求面积即为图中阴影部分的面积．
解方程组2
3
,,
y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得曲线y ＝x 2，y ＝x 3
交点的横坐标为x ＝0及x ＝1. 因此，所求图形的面积为S ＝
123
34100
11111()d 3
43412x x x x x ⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭⎰. 6.
22
11d 2
2
a
a
x x x a =
=
⎰
， ∴
2
112
a =，即a 2＝2.
又a ＞0，∴a
7. 答案：
1
3
画出曲线y ＝x 2和y 2＝x ，则图中阴影部分的面积即为所求．
解方程组2
2,
y x y x
⎧=⎪⎨=⎪⎩得交点为O (0,0)，A (1,1)．
∴S
＝
31
2
31200
021211d 33333x x x x x ⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭
⎰
⎰. 8. 答案：163 由图知S ＝322
200816[(5)1]d 480333x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎰. 9. 分析：先设出切点坐标，求出切线方程，再利用定积分求所围图形的面积，列式求出参数．
解：由题意可设切点A 的坐标为(x 0，x 02)，则切线方程为y －x 02＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 02，可得切线与x 轴的交点坐标为0,02x ⎛⎫
⎪⎝⎭
.画出草图，得曲线y ＝x 2，直线y ＝2x 0x －x 02与x 轴所围图形如图中阴影所示，故S ＝S 1＋S 2＝
000002222000
22d d (2)d x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤
+--⎢⎥
⎣⎦
⎰
⎰⎰＝0000033
322
02000
2
2
1
11()
3
3
1212
x x x x x x x x x x x x +--==，解得x 0＝1，所以切点A 坐标为(1,1)，所求切线方程为y ＝2x －
1.
10．分析：所围图形的面积可用定积分表示，从而确定出要求的参数．
解：抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积
S ＝231
2
100111
()d 23236x x x x x ⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭
⎰.
由2
,,
y kx y x x =⎧⎨
=-⎩可得抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x ′1＝0，x ′2＝1－k ，
所以
120()d 2
k S
x x kx x -=--⎰ ＝32130
11
(1)236
k
k x x k -⎛⎫
--=- ⎪
⎝
⎭. 又S ＝
16，所以(1－k )3＝12
.
于是k ＝112
=-.
所以k 的值为12
-
.。