2009级《微积分A》第一学期阶段练习二留空
大学一年级上学期-微积分课后练习及答案-4-1-定积分的概念和性质
《微积分 A》习题解答
解：根据定积分的几何意义，∫a f ( x)dx 表示由曲线 y = f ( x)( x ∈ [−a, a]) 与 x 轴所围成 −a
的图形面积的代数和。由于函数 y = f ( x) 是连续的奇函数，其图像关于原点对称，因此函
数在区间[0, a] 上图形与在区间[−a, 0] 上图形一个位于 x 轴上方，一个位于 x 轴下方，这
度 Δxi
=
1 n
，取
ξ
i
=
xi
=
i n
，则 ∫01 e
x dx
=
ni
lim ∑ e n
n→ ∞ i=1
⋅1 n
=
lim
1
n
∑
e
i n
n→ ∞ n i=1
1
1
1
1
1
求公比为e n的 数列的前项和
lim
n→∞
1 n
⋅
e n [1 −
(e n
1
)n ]
=
lim
n→∞
1 n
⋅
en
(1 − e)
1
=
lim
x→+∞
(2) ∫ 1 2 xdx 0
解：根据定积分的几何意义，定积分
1 ∫
2 xdx
表示由直线
y
=
2x
、
x
=
1
以及
x
轴围成的
0
1
三角形面积，因此 ∫ 2xdx = 1 0
(3) ∫ 2π sin xdx 0
解：根据定积分的几何意义，
2π ∫
sin
xdx
表示由曲线
y
=
微积分同步练习参考答案
《微积分》同步练习一及其参考答案（一）、选择题1．()()x g x f '>'是()()x g x f >的（D ）．A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 解：如取 ()x x f 2=，()4+=x x g ，()1,0∈x 则()()12='>='x g x f ，但()().x g x f < 反之，如取()2=x f ，()1=x g ，()+∞∞-∈,x 则()()x g x f >，但()()x g x f '='. 2．设()x x x f ln =，则()x f （A ）．A. 在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0内单调减少B. 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1e 内单调减少C. 在()+∞,0内单调减少D. 在()+∞,0内单调增加 解：（一）()+∞=,0D （二）()x x f ln 1+='； （三）令()ex x f 101=⇒='.定义域内无不可导点. （四）列表判断：x （)1,0e⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1e y ' — + y ↓ ↑ 根据上表知应选A.3．设()x f 在[]b a ,上连续，且()()b f a f =，但()x f 不恒为常数，则在()b a ,内（A ）． A. 必有最大值或最小值 B. 既有最大值又有最小值 C. 既有极大值又有极小值 D. 至少存在一点ξ，使().0='ξf 解：根据基本结论知：()x f 在[]b a ,上连续，则()x f 在[]b a ,上必可取到最大值和最小值.又因为()()b f a f =，故()x f 的最大值与最小值不可能都在端点处取到（否则，()x f 在[]b a ,上必恒为常数），即()x f 在()b a ,内必有最大值或最小值.4．设()x f 在[]b a ,上有()0<'x f ，()0>''x f ，则曲线()x f y =在[]b a ,上（A ）． A. 沿x 轴正向下降向上凹 B. 沿x 轴正向下降向下凹 C. 沿x 轴正向上升向上凹 D.沿x 轴正向上升向下凹 5．曲线1123+-=x x y 在()2,0内（B ）．A. 上凹且单调增加B. 上凹且单调减少C. 下凹且单调增加D. 上凹且单调减少 解：（一）()+∞∞-=,D（二）()()2231232-+=-='x x x y ，x y 6=''； （三）令2,2021=-=⇒='x x y .无不可导点.令003=⇒=''x y ； （四）列表判断：x （)2,-∞- （)0,2- （)2,0 ()+∞,2 y ' + — — +y '' — —+ +y ↑⋂ ↓⋂ ↓⋃ ↑⋃ 根据上表知应选B. （二）、填空题6．设()x f 在()b a ,内可导，则()0<'x f 是在()b a ,内单调_________减少的，在________充分条件.7．函数()x f 在0x 处可导，()x f 在0x 取得极值的________必要条件是()________0.0='x f8．当()x f 的二阶导数存在，()00=''x f 是曲线在()()00,x f x 为拐点的________必要条件.9．若在一个区间，曲线总在它的每一点的切线上方，则曲线在这个区间是上凹的． 10．函数()4011≤≤+-=x x x y 在________0=x 取得最小值；在________4=x 取得最大值.解： （一）2)1(2+='x y ； （二）令0='y ，无解；在1-=x 处不可导（舍去）；比较()10-=y ，()534=y 得最小值为()10-=y ，最大值为()534=y . 11．若曲线()3b ax y -=在()()3,1b a -处为拐点，则b a ,应满足关系是.________b a =解：()23b ax a y -='；()b ax a y -=''26.根据题意知()01=''y 即 ()062=-b a a 所以.b a = 12．函数x x y 4+=的单调减少区间为()________0,2-，()________2,0. 解：（一）()()+∞⋃∞-=,00,D ； （二）()22)2(241xx x x y -+=-='； （三）令2,2021=-=⇒='x x y .在定义域内无不可导点. （四）列表判断：x （)2,-∞- （)0,2- （)2,0 ()+∞,2 y ' + — —+y ↑ ↓ ↓ ↑ （三）解答与证明题13．研究下列函数的单调性． （1）x x y arctan -=解：函数的定义域().,+∞∞-=D 因为当()+∞∞-∈,x 时，01112>+-='x y ， 所以x x y arctan -=在()+∞∞-,是单调增加的.（2）())0)11(>+=x xy x函数的定义域().,0+∞=D在x xy )11(+=两边取对数得)11l n (ln xx y +=，即 []x x x y ln )1ln(ln -+= ①① 两边关于x 求导得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++='x x x x y y 111)11l n (.1x x +-+=11)11l n ( 故 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⎪⎭⎫⎝⎛+='x x x y x11)11ln(11. ② 由不等式)0()1ln(11><+<+x x x x 知，当()+∞∈,0x 时，0>'y .所以x xy )11(+=在()+∞,0是单调增加的.（3）()21ln x x y ++=. 解：()'++++='22111xx xx y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+++++=)1(121111222x x x x 函数的定义域().,+∞∞-=D 因为当()+∞∞-∈,x 时，0112>+='xy ，所以()21ln x x y ++=在()+∞∞-,是单调增加的. （4）342x x y -=. 解：（一）()+∞∞-=,D（二）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-='23464223x x x x y（三）令()23,00321===⇒='x x x x f .无不可导点. （四）列表判断：x （)0,∞- ⎪⎭⎫⎝⎛23,0⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,23 y ' — — + y ↓ ↓ ↑所以342x x y -=在⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-23,上单调减少；在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,23上单调增加.（5）32)1(x x y -=.解：（一）()+∞∞-=,D ；（二）3313252.35.32)1(xx x x x y -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+='-； （三）5201=⇒='x y ，在02=x 处不可导； （四）列表判断：x （)0,∞- ⎪⎭⎫⎝⎛52,0⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,52 y ' + — + y ↑ ↓ ↑所以32)1(x x y -=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡52,0上单调减少；在)0,∞-和⎪⎭⎫⎝⎛+∞,52单调增加.（6） xx y ln =解：（一）()()+∞⋃=,11,0D ； （二）xx y 2ln 1ln -='； （三）e x y =⇒='0；定义域内无不可导点； （四）列表判断：x ()1,0 ()e ,1 ),(+∞e y ' — — + y ↓ ↓ ↑所以xxy ln =在()1,0和()e ,1上单调减少；在[)+∞,e 上单调增加. 14．证明下列不等式（1）当0>x 时，xxx +>+1)1ln(.证明：原命题等价于()()01ln 1>-++x x x . 令()()()[)+∞∈-++=,0,1ln 1x x x x x f ，则()()()+∞∈>+=-++++=',0,0)1ln(111).1(1ln x x xx x x f . 所以，()()()[)+∞∈-++=,0,1ln 1x x x x x f 单增.故当0>x 时()()()()00arctan 1ln 1=>-++=f x x x x f ，即：当0>x 时，()xx x +>+11ln . （2）当0>x 时，21arctan π>+x x .证明：令()21arctan π-+=x x x f ，[)+∞∈,0x .则 ()().,0,011122+∞∈<-+='x x x x f 所以，()21arctan π--=x x x f 在[)+∞,0上单增.故当0>x 时()()0lim 21arctan =>--=+∞→x f x x x f x π，即：21arctan π>+x x .（3）当0>x 时，x x <arctan ；当0<x 时，x x >arctan .（或x x <arctan ）； 证明：令()x x x f -=arctan ，. 则 ()().,,01112+∞∞-∈<-+='x xx f 所以，()x x x f -=arctan 在()+∞∞-,上单增. 故（i ）当0>x 时，()()00=<f x f ，即：x x <arctan . （ii ）当0<x 时，()()00=>f x f ，即：x x >arctan .（4）当0>x 时，221)1ln(1x x x x +>+++.证明：令()221)1ln(1x x x x x f +-+++=，[)+∞∈,0x . 则 ()()01ln 1ln 2=>++='x x x f ，[)+∞∈,0x .所以，()221)1ln(1x x x x x f +-+++=在[)+∞,0上单增. 故当0>x 时()()001)1ln(122=>+-+++=f x x x x x f ，即221)1ln(1x x x x +>+++.（5）当20π<<x 时，x x x 2tan sin >+.证明：令()x x x x f 2tan sin -+=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx .则 ()2s e c c o s 2-+='x x x f ，.2,0⎪⎭⎫ ⎝⎛∈πx .()xxx x x x x f 32c o s s i n 2s i n t a n .s e c 2s i n+-=+-='' ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1c o s 2s i n 3x x 0>，.2,0⎪⎭⎫⎝⎛∈πx 所以()x f '在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π单增，故当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx 时，()()00='>'f x f ，从而()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π单增.所以当20π<<x 时，()()00=>f x f ，即x x x 2tan sin >+.15．求下列函数的极值（1）21x xy +=解法一：（一）()+∞∞-=,D ； （二）()()()()2222211111x x x x x y +-+=+-='；（三）1,1021=-=⇒='x x y ；无不可导点； （四）列表判断：x ()1,-∞- 1- ()1,1- 1 ),1(+∞y ' — 0 + 0 —y ↓ 极小21-↑ 极大21↓从上表可见，极小值为()211-=-y ；极大值为()211=y .解法二：第（一）、（二）、（三）步同解法一.（四）()()4253222124611x x x x x x y ++--='⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-=''.因为 ()0211>=-''y ，所以()211-=-y 为极小值. 因为 ()0211<-=''y ，所以()211=y 为极大值.（2）2332x x y -= 解：（一）()+∞∞-=,D ；（二）()16662-=-='x x x x y ；（三）1,0021==⇒='x x y ；无不可导点； （四）列表判断：x ()0,∞- 0 ()1,0 1 ),1(+∞y ' + 0 — 0 + y ↑ 极大0 ↓ 极小1- ↑从上表可见，极小值为()11-=y ；极大值为()00=y . 解法二：第（一）、（二）、（三）步同解法一. （四）612-=''x y 。
微积分第二章详细答案
第二章习题2-11. 证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有n x a ε-<取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有n k x a ε+-<由数列极限的定义得 l i m n k x x a +→∞=.2. 证明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：lim 0,,.使当时，有n x n x aN n N x a εε→∞=∴∀>∃>-<而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 l i m n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。
3. 证明：lim n →∞x n =0的充要条件是lim n →∞∣x n ∣=0.证：必要性由2题已证，下面证明充分性。
即证若lim 0n n x →∞=，则lim 0n n x →∞=，由lim 0n n x →∞=知，0ε∀>，N ∃，设当n N >时，有0 0n n n x x x εεε-<<-<即即由数列极限的定义可得 l i m 0n n x →∞=4. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)nn n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭ =0； (2) lim n →∞2!n =0. 证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n nnn n n nn++≤+++≤≤=+而且 21lim0n n→∞=，2lim0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n nn n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭ . （2）因为22222240!1231nn n n n<=<- ，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得2lim0!nn n →∞=5. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x 1＞0,x n +1=13()2n nx x +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…；(3) 设x n 单调递增，y n 单调递减，且lim n →∞(x n -y n )=0,证明x n 和y n 的极限均存在.证：（1）由10x >及13()2n n nx x x =+知，有0n x >（1,2,n = ）即数列{}n x 有下界。
微积分A第一学期期末试卷A及答案
《微积分A 》期末试卷(A 卷)班级 学号 姓名 成绩一、求解下列各题（每小题7分，共35分） 1设,1arctan 122---=x x x x y 求.y '2 求不定积分.)ln cos 1sin (2dx x x xx⎰++ 3求极限.)(tanlim ln 110x x x ++→ 4 计算定积分,)(202322⎰-=a x a dxI 其中.0>a 5 求微分方程.142+='-''x y y 的通解. 二、完成下列各题（每小题7分，共28分）1 设当0→x 时，c bx ax e x---2是比2x 高阶的无穷小，求c b a ,,的值. 2求函数)4()(3-=x x x f 在),(+∞-∞内的单调区间和极值.3 设)(x y y =是由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=⎰01cos sin )cos(20t t y du t u x t所确定的隐函数，求.dx dy 4 求证：.sin sin42222⎰⎰ππππ=dx xxdx xx.三、（8分）设)(x y 在),0[+∞内单调递增且可导，又知对任意的,0>x 曲线)(x y y =，上点)1,0(到点),(y x 之间的弧长为,12-=y s 试导出函数)(x y y =所满足的微分方程及初始条件，并求)(x y 的表达式. 四、(8分)过点)0,1(-作曲线x y =的切线，记此切线与曲线x y =、x 轴所围成的图形为D ，（1） 求图形D 的面积；（2） 求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.五、（7分）求证：方程010cos 042=++⎰⎰-xt xdt e dt t 有并且只有一个实根.六、（8分）一圆柱形桶内有500升含盐溶液，其浓度为每升溶液中含盐10克。
现用浓度为每升含盐20克的盐溶液以每分钟5升的速率由A 管注入桶内(假设瞬间即可均匀混合)，同时桶内的混合溶液也以每分钟5升的速率从B 管流出。
2009秋讨论课(2a)参考答案
第二次讨论课参考答案（微分法与微分应用）1．证明二元函数的拉格朗日中值定理：设有两点),(000y x P 和),(y x P ，二元函数),(y x f 在线段P P 0上处处存在连续偏导数．求证在线段P P 0上存在一点),(ηξ，使得),(00)(),(),(ηξx f kx f hy x f y x f ∂∂+∂∂+=．解：令0x x h -=，0y y k -=，则线段P P 0上的点可以表示为)10(),(00≤≤++t tk y ht x ．且1,0=t 分别对应点),(000y x P 和),(y x P ．在这条线段上，),(y x f 可以表示成参数t 的一元函数：)10(),()(00≤≤++=t tk y ht x f t g ．其中),()0(00y x f g =，),()1(y x f g =．注意到),(y x f 具有连续偏导数，利用二元函数的复合函数微分法可以推出：一元函数)(t g 在]1,0[连续、在)1,0(可导．并且对于任意的)1,0(∈t ，有),(00)()(kt y ht x y f kxf ht g ++∂∂+∂∂='．对于一元函数)(t g 在]1,0[运用拉格朗日中值定理，得到)()0()1(θg g g '+=（)10<<θ）．由此立即得到)10()(),(),()(0000<<∂∂+∂∂+=+++θθθk y h x y f kx f hy x f y x f ．这就是二元函数的微分中值定理．2．设),(y x f z =处处可微．b a ,不全等于零．求证满足方程y x z a z b '='的充要条件是存在一元函数)(u g ，使得)(),(by ax g y x f z +==． 提示：必要性：直接求偏导数验证． 充分性：考察直线C by ax =+的方向向量22),(ba ab v T +-=．方向导数0),(=⋅''=∂∂v z z vf y x．于是在直线C by ax =+上),(y x f 恒等于常数．即)(by ax g z +=．3． 设方程⎪⎩⎪⎨⎧==--0),(0),(y z xy G z y x y F 可以确定隐函数)(),(y z z y x x ==，求y z y x d d ,d d ． 解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-'++'=-'+-'0)d d 1()d d (0)d d 1()d d 1(22121y zy y z G y x y x G y z F y x F ．1'222212211)1(1d d G yF G F yG F yz yG F x G F yyx '-''''-+''+''=．G F y G F yG F yz G F y G F y x yz ''-'''-''+''+-=221'21222111)(d d ．4．设)),(,()(22x x x f x g ϕ=，其中函数f 与ϕ 的二阶偏导数连续，求22d )(d xx g 。
高数必不挂-2008–2009年第1学期A解答 (2)
2008–2009年第1学期《高等数学A 》课程期末考试试卷解答 2009.1一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分3小题, 每小题3分, 共9分) 1、D 2、C 3、C 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分) 1、21e 2、0=+ex y 3、3 4、21π+ 5、)1,1( 三 计算题(本大题分9小题，每小题7分，共63分)1、 解： xxxe x y e x y e x y ----='''-=''-=')3(,)2(,)1( 4分x n n e n x y ---=)()1()( 7分3、解：y xe e y yy'--=' 3分1+-='y yxe e y 6分e y y x -='==,1,0 7分4、解：内可导在上连续在)65,6(,]65,6[sin ln )(ππππx x f = 21ln )65()6(==ππf f 3分xx f x f cot )(]65,6[)(='上满足罗尔定理的条件在即 ππ 5分 0)(2)65,6(22,0)(='=+=='ξπξππππf k x x f 使内存在以上即在得令 7分7、解：t at dt dy t at dtdxsin ,cos ==，t dx dy t dx dy 22sec 1tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛+= ，，2分d y dxt at t tat 2223==sec cos sec ， 4分 k d y dx dy dx =+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥222321 ==sec sec 231tat tat， 6分ππa kt 1==。
7分6、解：tdt t dx t x tan sec 2sec 2⋅== 令 2分C t tdt dt t t t t +==⋅⋅=⎰⎰sin 41cos 41tan 2sec 4tan sec 22 原式 6分.442C xx +-=7分 7、l 参数方程为x t y t z t =+=+=+⎧⎨⎪⎩⎪75454代入π方程，解得t =-1，故l ，π交点M 0为(,,)2313分过M 0与l 垂直的平面方程为54170x y z ++-=6分 所求直线为 325054170x y z x y z -+-=++-=⎧⎨⎩7分2、)2(u sin cos cos 20x duuu u-=+=⎰ππ原式⎰+=20cos sin cos πdx xx x4分所以原式=4cos sin cos sin 2120ππ=++⎰dx x x x x 7分 9、⎰⎰'+=ππ)(sin sin )(x f xd dx x x f 左边 3分=⎰⎰'-'⋅+πππ00cos )(|)(sin sin )(xdx x f x f x xdx x f 4分=⎰⎰--πππ00sin )(|cos )(sin )(xdx x f x x f xdx x f 6分=.2)0(,3)0()(=∴=+f f f π7分8、解：设},,{z y x d =，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+-=-+14322032032zy x z y x z y x ， 5分解答：x=-42，y=z=42，即}42,42,42{-=d。
A2009-2010学年第二学期《微积分》期末试题A
四川外语学院 2009－2010学年第二学期 《微积分》期末考试试卷（A ） 考试时间：120分钟 系部： 年级： 2009级 班级： 一.单项选择题 (共5小题，每小题4分，共20分) 1.已知x x f x f ，f x )3()(lim 1)0(0-='→则 A. 3 B. -3 C. 6 D. -2 2.过曲线x x y -+=44上一点(2,3)的切线斜率为（ ） A. -2 B. 2 C. -1 D. 1 3.下列导函数错误的是( ) x x x D x x x C x x B x x A 22sin 1 )sin cos (.cos 1 )cos sin (.csc 1 )(cos .sec 1 )(sin .-='-='-='=' 4. ．20sin cos 1lim x x x -→= ( ) A. 1 B. -1 C. 1/2 D. -1/25.dx xe x x ⎰-）（23= ( ) A.242141x x - B.C e x x +-2441 C.C e x x +-221414 D.C e x x ++421 二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分）6．y=sin(x+y)的微分_____7．_______1lim 2=++∞→xx x 8．函数29323=--=x x x y 在处取得极_______值9．dx x x )sec (2-⎰=_______ 10．设⎪⎩⎪⎨⎧+=-=322t t y t x 确定)(x y y =, 则22dx y d =_______.三．解下列各题（每小题7分，共5小题，共35分）11. xx e e xx x --→sin lim sin 0 12. 1,ln ==x dy x x y 求13． dx x x⎰cos14．当b a 、为何值时，函数0002)21()(<=>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=x x x ，，，x b e x x f x a 在0=x 处连续15．已知2sin 2x y x +=，求22dx y d ．四．证明题（6分）16．证明不等式x e x x +<-1)1(2 )0(>x五. 应用题（8分）17.将一长为a 的铁丝切成两段，并将其中一段围成正方形，另一段围成圆形。
09-10本微积分I(A)参考答案及评分标准(修改)
广东金融学院期末考试试题标准答案及评分标准 学期：2009—2010学年第一学期 考试科目：微积分I （A 卷） 出卷老师：李芳使用班级：09级本科班（除数学和计算机专业）标准答案和评分标准：一、填空题(每小题3分，共15分)：1. 3；2. 1y x =+；3. ;1y =4. x (2ln x +1)；5.评分标准：填对1题得3分，填错得0分。
二、单项选择题(每小题3分，共15分)：6. A7. B8.B9. B 10. D评分标准：填对1题得3分，填错得0分。
三、计算题(每小题5分，共40分)：11.原式=xx x x x x ln )1(1ln lim 1-+-→ …………1分 x xx x x x x x x x x ln 11ln lim 1ln 1ln 1lim 11+-=-+-+=→-→ …………3分 .21111lim 21=+=-→xx x x …………5分 12. 131sin lim 220-+→x x x =220321lim x x x ⋅→=.32= ……4分 ……5分13. 原式= )11ln(lim x x x e +∞→ …………2分= )11ln(lim 2x x x e +∞→=x x x e 1)11ln(lim 2+∞→ ）e x xx 11lim 2(∞→或 …………3分 12lim 2+∞→=x xx e e （x x 1lim∞→或 ………4分 10==e ………5分 方法二：原式= x x x x x 1lim 22)11(lim ∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∞→ …………3分10==e ………5分14. )()(arcsin arcsin'-+'+'='2422x x x x x y …………1分 )()(arcsin x x x x x 242121211222--+-+= ……4分 2x arcsin = ……5分15.y y '''=== ………2分 ……3分…………5分 …………5分16. 方程两边求微分22(ln )(sin )()()y y d y d x e d x x d e +=+ …………1分21cos 2y y dy xdx xe dx x e dy y+=+ …………3分 21()(2cos )y y x e dy xe x dx y -=- …………4分 所以 .1cos 2)1(cos 222dx ye x x y xye dx e x yx xe dy y y y y --=--= …………5分 17. 原式=⎰-x d xln ln 112 …………3分C x +=ln arcsin …………5分18. 原式=dx x sin 2202⎰π…………2分dx x sin 220⎰=π…………3分π0)x cos (22-= …………4分 .24= …………5分四、综合应用题(每小题8分，共24分)：19. 函数定义域为),(+∞-∞， …………1分 求导得 ),2(363)(2-=-='x x x x x f …………2分 令0=')(x f ，得驻点x 1 =0, x 2 = 2. …………3分所以函数的单调增区间为(-∞,0)和 (2,+∞)；单调减区间为(0,2) 。
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2009级《微积分A 》第一学期阶段练习二 2009.12
一、 填空
1 不定积分⎰=+++-dx x x
x x )]1ln(cos sin 1[2 . 2 不定积分⎰=-24x x dx
.
3 不定积分⎰=++))(1(22x x x dx .
4 不定积分=⎰dx x x |}|,min{2
. 5 已知,)(x
e x
f x
=则⎰=''dx x f x )( . 6 极限=-++⎰→1
1)1ln(lim 4sin 0
2x dt t x x . 7 定积分=-++⎰-dx x x x x 332293cos 2 . 8 利用定积分的定义计算极限=++++++∞→)12111(lim n
n n n n . 9 计算广义积分
⎰+∞∞--+dx e x x x ||)|(|= . 10 计算广义积分⎰-e x x dx 12)(ln 1= .
11 设有由参数方程⎪⎩
⎪⎨⎧-==⎰2122cos 21cos cos t udu u t t y t x 表示的曲线C ，则C 在参数1=t 对应点处的曲率半径为 .
12 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<<--≥=-01110)(22x x
x xe x f x ，则=-⎰525)3(dx x f . 13 设)(u f 连续，⎰=x dt xt f x F 0)()(，则x
x F x )(lim 0→= .
14 曲线22,y x y x -==，及0=y 围成一平面图形 D ，则D 的面积= ；D 绕直线1-=x 轴旋转而成的立体的体积= .
二、 设()x F 是()x f 的一个原函数，且当0≥x 时，有()(),21-=
x e x F x f 已知,0)(,0)0(>=x F F 试求().x f
三、 设函数()x f 在],[b a 上连续且单调增加，证明：
()()().2⎰⎰≤+b
a b a dx x xf dx x f b a
四、圆周122=+y x 被极坐标方程为θ+=ρcos 1的心形线分割成两部分，求
这两部分的面积.
五、 设)(x f 在),(+∞-∞上连续，且⎰-=x
dt t f t x x F 0)()2()(. 证明: (1) 若)(x f 是偶函数，则)(x F 也是偶函数；
(2) 若)(x f 在),0(+∞是单调递减函数，则)(x F 是单调递增函数.
六、 设)(x f 在]1,0[上可导，且满足,)(5)1(51
0⎰=dx x xf f 证明：至少存在一点
),1,0(∈ξ使.)()(ξ
ξ-
=ξ'f f
七、 设2
0π<<t ,记由直线t x t x 2,==及0=y 与曲线)2(sin t x t x y ≤≤=所围成的曲边梯形为D ，且记由D 绕y 轴旋转而成的旋转体的体积为)(t V ，问t 为何值时)(t V 最大.
八、 有一半径为R ，长度为L 的圆柱体平放在深度为R 2的水池中（圆柱体的
侧面与水面相切），设圆柱体的比重为)1(>ρρ，现将圆柱体从水中移出水面，问需做多少功？。