高中北师大版数学必修2(45分钟课时作业)：第1章单元测试二 点、线、面之间的位置关系 Word版含解析

单元测试二点、线、面之间的位置关系
班级____姓名____考号____分数____
本试卷满分100分，考试时间90分钟．
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．若点M在直线a上，a在平面α内，则M、a、α间的关系可记为()
A．M∈a，a∈αB．M∈a，a⊂α
C．M⊂a，a⊂αD．M⊂a，a∈α
答案：B
2．下列说法正确的是()
A．经过空间三点有且只有一个平面
B．经过圆心和圆上两点有且只有一个平面
C．若三条直线两两相交，则这三条直线共面
D．经过两条平行直线有且只有一个平面
答案：D
3．a、b是异面直线，则()
A．存在α⊥a，α⊥b
B．一定存在a⊂α且b⊥α
C．一定存在a⊂α且α∥b
D．一定存在α∥a且α⊥b
答案：C
解析：A与线面垂直性质定理矛盾；B当a与b不垂直时不成立；D不一定成立．
4．若平面α外有一条直线l与α内的两条平行线都垂直，则()
A．l⊥αB．l∥α
C．l与α斜交D．以上都有可能
答案：D
解析：因为平面外的直线与α内的两条平行线垂直，所以不能确定l与α的具体位置关系，它们可能垂直，也可能斜交或平行．
5．下列说法不正确的是()
A．同一平面内没有公共点的两条直线平行
B．已知a，b，c，d是四条直线，若a∥b，b∥c，c∥d，则a∥d
C．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是CC1的中点，则直线AE，D1F异面
D．梯形一定是平面图形
答案：C
6．直线l不垂直于α，则α内与l垂直的直线有()
A．0条B．1条
C．无数条D．α内所有直线
答案：C
解析：不管l与平面α关系如何，过l一定可找到一平面β，在β内可做一直线l′⊥l，然后将l′平行平移到α内，再在α内作l′的平行线，由空间两直线垂直的定义可知，在α内有无数条直线与l垂直．故选C.
7．对于直线m、n和平面α、β，能得出α⊥β的一个条件是()
A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂α
C．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β
答案：C
解析：两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
8．如右图所示，A ∈α，B ∈l ，C ∈l ，D ∈β，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB ＝BC ＝1，CD ＝2，P 是棱l 上的一个动点，则AP ＋PD 的最小值为( )
A . 5
B ．2 2
C ．3
D .10 答案：D
解析：把α、β展开成一个平面，如图，作AE ∥BC ，延长DC 交AE 于E ，则AE ＝BC ＝1，EC ＝1，∴在Rt △AED 中有AD ＝32＋12＝10.
9．已知三平面α、β、γ互相平行，两条直线l ，m 分别与平面α，β，γ相交于点A ，B ，
C 和
D ，
E ，
F ，若AB ＝10，DE DF ＝1
2
，则AC 等于( )
A ．5
B ．10
C ．15
D ．20 答案：D
解析：连接AF 交β于G ，连接AD ，BG ，GE ，CF ，在△ACF 中，由β∥γ得BG ∥CF ，∴AB AC ＝AG AF ，在△AFD 中，由α∥β得AD ∥GE ，∴AG AF ＝DE DF ，∴AB AC ＝DE DF ＝1
2，又AB ＝10，∴AC ＝20.
10．在下列四个正方体中(如图所示)，能得出AB ⊥CD 的是( )
答案：A
解析：由线面垂直可判定异面直线是否垂直．
二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在题中横线上． 11．在棱长都相等的三棱锥P －ABC 中，相互垂直的棱的对数为__________． 答案：3
12．已知∠ABC ＝120°，∠ABC 与∠A 1B 1C 1的两边分别平行，则∠A 1B 1C 1＝________. 答案：60°或120°
13．已知三条相交于一点的线段PA 、PB 、PC 两两垂直，且A 、B 、C 在同一平面内，P 在平面ABC 外，PH ⊥平面ABC 于H ，则垂足H 是△ABC 的________．(填内心、外心、垂心、重心中的一个)
答案：垂心
解析：如图所示，
∵PA ⊥PB ，PA ⊥PC ，
∴PA ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， ∴BC ⊥PA.又∵BC ⊥PH
∴BC ⊥平面PAH ，AH ⊂平面PAH ∴AH ⊥BC ，同理BH ⊥AC ，CH ⊥AB. ∴H 是△ABC 的垂心．
三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14．如图所示，已知三角形ABC 中∠ACB ＝90°，SA ⊥面ABC ，AD ⊥SC ，求证：AD ⊥面SBC.
证明：∵∠ACB ＝90°，∴BC ⊥AC. 又SA ⊥面ABC ，∴SA ⊥BC. ∴BC ⊥面SAC ， ∴BC ⊥AD.
又SC ⊥AD ，SC ∩BC ＝C ， ∴AD ⊥面SBC.
15．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN.求证：MN ∥平面BB 1C 1C.
证明：如图所示
作NE ∥AB 交BC 于E ，作MF ∥AB 交B 1B 于F ，连结EF ，则NE ∥MF.
∵NE ∥AB ，∴NE AB ＝CN
CA
又MF ∥AB ∥A 1B 1， ∴MF A 1B 1＝BM BA 1
∵CA ＝BA 1，AN ＝A 1M ， ∴CN ＝BM. ∴NE AB ＝MF A 1B 1
. 又AB ＝A 1B 1，∴NE ＝MF.
∴四边形MNEF 是平行四边形，∴MN 綊EF. 又MN ⊄平面B 1BCC 1，EF ⊂平面B 1BCC 1， ∴MN ∥平面B 1BCC 1. 16.
如图所示，AD ⊥平面ABC ，CE ⊥平面ABC ，AC ＝AD ＝AB ＝1，BC ＝2，CE ＝2，G 、F 分别为BE 、BC 的中点．求证：
(1)AB ⊥平面ACED ； (2)平面BDE ⊥平面BCE.
解：(1)∵AD ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ACED ，∴平面ABC ⊥平面ACED ， ∵BC 2＝AC 2＋AB 2，∴AB ⊥AC ，
∵平面ABC ∩平面ACED ＝AC ，AB ⊂平面ABC ，∴AB ⊥平面ACED. (2)∵AB ＝AC ，F 为BC 的中点，∴AF ⊥BC.
∵CE ⊥平面ABC ，∴CE ⊥AF ，又∵BC ∩CE ＝C ，∴AF ⊥平面BCE ，
又GF 是△BCE 的中位线，∴GF 綊1
2
CE.
∵AD ⊥平面ABC ，CE ⊥平面ABC ，AD ＝1，CE ＝2，∴AD 綊1
2
CE ，
∴AD 綊GF ，∴四边形GFAD 为平行四边形，∴AF ∥GD ， ∴GD ⊥平面BCE ，又GD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面BCE. 17.
如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，每个侧面均为正方形，D 为底边AB 的中点，E 为侧棱CC 1的中点．
(1)求证：CD ∥平面A 1EB ； (2)求证：AB 1⊥平面A 1EB.
解：(1)设AB 1和A 1B 的交点为O ，连结EO 、OD ，
∵O 为AB 1的中点，D 为AB 的中点，∴OD ∥BB 1，且OD ＝1
2
BB 1.
又E 是CC 1中点，
∴EC ∥BB 1，且EC ＝1
2
BB 1，∴EC ∥OD 且EC ＝OD.
∴四边形ECDO 为平行四边形，∴EO ∥CD.
又CD ⊄平面A 1BE ，EO ⊂平面A 1BE ，则CD ∥平面A 1BE. (2)∵三棱柱各侧面都是正方形，∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC. ∴BB 1⊥平面ABC.
∵CD ⊂平面ABC ，∴BB 1⊥CD.
由已知得AB ＝BC ＝AC ，∴CD ⊥AB ，∴CD ⊥平面A 1ABB 1. 由(1)可知EO ∥CD ，∴EO ⊥平面A 1ABB 1，∴EO ⊥AB 1. ∵侧面是正方形，所以AB 1⊥A 1B.
又EO ∩A 1B ＝O ，EO ⊂平面A 1EB ，A 1B ⊂平面A 1EB ， ∴AB 1⊥平面A 1BE.
18．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH，下半部分是长方体ABCD－EFGH.图2、图3分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图．
(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图；
(2)证明：直线BD⊥平面PEG.
解：(1)该安全标识墩左视图，如图所示．
(2)证明：由题设知四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形，
∴FH⊥EG，
又ABCD－EFGH为长方体，
∴BD∥FH，
设点O是EFGH的对称中心，
∵P－EFGH是正四棱锥，
∴PO⊥平面EFGH，而FH⊂平面EFGH，
∴PO⊥FH.
∵FH⊥PO，FH⊥EG，PO∩EG＝O，
PO⊂平面PEG，EG⊂平面PEG，
∴FH⊥平面PEG.
而BD∥FH，故BD⊥平面PEG.。