给水2009秋第三章平面一般力系
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《工程力学》第三章 平面一般力系
• 运用解析法：在力系所在平面上取坐标系 O -xy(图3-3(a))，应用合力投影定理， 则由(3-2)式得
• 故主矢R′的模为
• 主矢R′的方向从图3-3(b)中可知
图3-3
• 2.对点O的主矩 • 从图3-3(b)中可知，MO应是该平面一般力偶
系m1，m2，…，mn的合力偶矩。由平面力偶 系的合成定理可知，
• 由于Fd也等于力F对B点的矩，mB(F)=Fd，于 是得
• §3-2 平面一般力系向一点的简化 • 一、平面一般力系向一点的简化 • 在力系的作用平面内，被任选的一点O称为简
化中心。将力系中诸力平移至简化中心，同时 附加一个力偶系的过程，称为力系向给定点的 简化。
图3-2
•经 简 化 后 的 平 面 共 点 力 系 合成为一个合力R′，该合力作用点在简化 中心上；把简化后的附加力偶系m1， m2，…，mn合成得一力偶MO(图32(c))。自然，依据力的平移定理，可将 力R′和MO合成为一个力R(图3-2(d))， 这个力R就是原力系F1，F2，…，Fn的合 力。
• 二、截面法求桁架内力
• 截面法一般采用如下步骤：
• (1)先求出桁架支承约束反力。
• (2)如需求某杆的内力，可通过该杆作一 假想截面，将桁架截为两段(只截杆件， 不能截在节点上)。注意被截杆件一般不 能多于三根。任选半边桁架考虑平衡，在 杆件被截处，画出杆件内力，其指向假定 沿杆件而背离杆件被截处。
图3-5
• 二、平面一般力系向一点简化结果分析
• 1.平面一般力系向一点的简化结果
• 平面一般力系向简化中心简化，其结果可能出现 四种情况：
• (1)R′=0，MO=0
• 主矢和主矩均等于零。它表明简化后的平面汇交 力
• 故主矢R′的模为
• 主矢R′的方向从图3-3(b)中可知
图3-3
• 2.对点O的主矩 • 从图3-3(b)中可知，MO应是该平面一般力偶
系m1，m2，…，mn的合力偶矩。由平面力偶 系的合成定理可知，
• 由于Fd也等于力F对B点的矩，mB(F)=Fd，于 是得
• §3-2 平面一般力系向一点的简化 • 一、平面一般力系向一点的简化 • 在力系的作用平面内，被任选的一点O称为简
化中心。将力系中诸力平移至简化中心，同时 附加一个力偶系的过程，称为力系向给定点的 简化。
图3-2
•经 简 化 后 的 平 面 共 点 力 系 合成为一个合力R′，该合力作用点在简化 中心上；把简化后的附加力偶系m1， m2，…，mn合成得一力偶MO(图32(c))。自然，依据力的平移定理，可将 力R′和MO合成为一个力R(图3-2(d))， 这个力R就是原力系F1，F2，…，Fn的合 力。
• 二、截面法求桁架内力
• 截面法一般采用如下步骤：
• (1)先求出桁架支承约束反力。
• (2)如需求某杆的内力，可通过该杆作一 假想截面，将桁架截为两段(只截杆件， 不能截在节点上)。注意被截杆件一般不 能多于三根。任选半边桁架考虑平衡，在 杆件被截处，画出杆件内力，其指向假定 沿杆件而背离杆件被截处。
图3-5
• 二、平面一般力系向一点简化结果分析
• 1.平面一般力系向一点的简化结果
• 平面一般力系向简化中心简化，其结果可能出现 四种情况：
• (1)R′=0，MO=0
• 主矢和主矩均等于零。它表明简化后的平面汇交 力
平面一般力系
工程力学与建筑结构
1.3 平面一般力系向平面内一点的简化 在不改变刚体作用效果的前提下，用简单力系代替复
杂力系的过程，称为力系的简化。 在力系所在平面内任选一点O为简化中心，并根据力
的平移定理将力系中各力平移到O点，同时附加相应的力 偶。
F1 F2
A
O
ห้องสมุดไป่ตู้
Fn
B
F' 2
F' 1
M1
Fn
M2
Mn O
FR
F'
F
F'
d
O
A
(a)
=
d
O
A
F'' ( b )
= O
Mo Ao
(c)
工程力学与建筑结构
应用力的平移定理时必须注意： （1）力线平移时所附加的力偶矩的大小、转向与平移点的
位置有关。 （2）力的平移定理只适用于刚体，对变形体不适用，并且
力的作用线只能在同一刚体内平移，不能平移到另一刚体 。 （3）力的平移定理的逆定理也成立。
= M0(F1)＋M0(F2)＋…＋MO(Fn) = ∑M0(Fi)
显然，其大小与简化中心的位置有关。
工程力学与建筑结构
1.3 平面一般力系平衡条件 平面一般力系平衡的必要和充分条件是力系的主矢和
主矩同时为零。即 FR′=0 MO′=0
一般形式： ∑Fx= F1x＋ F2x＋…＋ Fnx = 0 ∑Fy = F1y＋ F2y＋…＋ Fny = 0 ∑M0(F) = M0(F1)＋ M0(F2)＋…＋ M0(Fn) = 0
工程力学与建筑结构
工程力学与建筑结构
二矩式
∑Fx=0 ∑MA(F)=0 ∑MB(F)=0 应用二矩式的条件是A、B两点的连线不垂直于投影轴。 三矩式
电子课件-《工程力学(第六版)》 第三章 平面一般力系
2．当力在刚体上平移时，力的大小、方向都不变， 但附加力偶矩的大小与正负会因为指定点O的位置的不同 而不同。
3．力的平移定理是把作用在刚体上的平面一般力系 分解为一个平面汇交力系和一个平面力偶系的依据。
§3－1 平面一般力系的简化
力的平移定理揭示了力对刚体产生移动和转动 两种运动效应的实质。以乒乓球运动中的“削球” 为例，当球拍击球的作用力没有通过球心时，按照
第三章 平面一般力系
工程中经常遇到作用于物体上的力的作用线都在同一平 面内（或近似地在同一平面内），且呈任意分布的力系，这 样的力系称为平面一般力系。当物体所受的力均对称于某一 平面时，也可以视作平面一般力系问题。
§3－1 平面一般力系的简化
一、力的平移定理 二、力的平移性质 三、平面一般力系的简化
§3－1 平面一般力系的简化
三、平面一般力系的简化
设刚体上作用有平面一般力系（F1、F2、…Fn），在 平面内任取一点O，O点称为简化中心。根据力的平移定理， 将力系中各力分别平移到简化中心O，得到一个平面汇交 力系和一个附加力偶系。
§3－1 平面一般力系的简化
平面汇交力系：
FRˊ= F1ˊ+F2ˊ+ … + Fnˊ
物体在平面一般力系作用下，既不发生移动， 也不发生转动的静力平衡条件为：力系中的各力在 两个不同方向的x 轴、y 轴上投影的代数和均为零， 且力系中的各力对平面内任意点之矩的代数和也等 于零。
§3－2 平面一般力系的平衡和应用
§3－2 平面一般力系的平衡和应用
解题前须知：
求解平面一般力系平衡问题的主要步骤及注意点： （１）确定研究对象，画出受力图。 （２）选取坐标系和矩心，列平衡方程。 （３）求解未知量，讨论结果。 可以选择一个不独立的平衡方程对计算结果进行验算。
3．力的平移定理是把作用在刚体上的平面一般力系 分解为一个平面汇交力系和一个平面力偶系的依据。
§3－1 平面一般力系的简化
力的平移定理揭示了力对刚体产生移动和转动 两种运动效应的实质。以乒乓球运动中的“削球” 为例，当球拍击球的作用力没有通过球心时，按照
第三章 平面一般力系
工程中经常遇到作用于物体上的力的作用线都在同一平 面内（或近似地在同一平面内），且呈任意分布的力系，这 样的力系称为平面一般力系。当物体所受的力均对称于某一 平面时，也可以视作平面一般力系问题。
§3－1 平面一般力系的简化
一、力的平移定理 二、力的平移性质 三、平面一般力系的简化
§3－1 平面一般力系的简化
三、平面一般力系的简化
设刚体上作用有平面一般力系（F1、F2、…Fn），在 平面内任取一点O，O点称为简化中心。根据力的平移定理， 将力系中各力分别平移到简化中心O，得到一个平面汇交 力系和一个附加力偶系。
§3－1 平面一般力系的简化
平面汇交力系：
FRˊ= F1ˊ+F2ˊ+ … + Fnˊ
物体在平面一般力系作用下，既不发生移动， 也不发生转动的静力平衡条件为：力系中的各力在 两个不同方向的x 轴、y 轴上投影的代数和均为零， 且力系中的各力对平面内任意点之矩的代数和也等 于零。
§3－2 平面一般力系的平衡和应用
§3－2 平面一般力系的平衡和应用
解题前须知：
求解平面一般力系平衡问题的主要步骤及注意点： （１）确定研究对象，画出受力图。 （２）选取坐标系和矩心，列平衡方程。 （３）求解未知量，讨论结果。 可以选择一个不独立的平衡方程对计算结果进行验算。
平面一般力系
A C
50KN
B
30
习题课：求支反力
5KN 10KN/m
30KN· m
A 4
20KN
B 2
2 2
31
习题课：求支反力（1格2m）
c
5KN
2KN/m
D
3m 15KN· m 6KN/m
B
A
4m
2m
32
33
10
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
注意：不论采用哪种形式的平衡方程，其独立的平衡方程的 个数只有三个，对一个物体来讲, 只能解三个未知量,不得多 列！
总结
特殊力的平衡方程
平面汇交力系： 平面平行力系： 有力平行于x轴 平面力偶系:
F 0 F 0
ix
F
iy
0
i
M (F ) 0
F
M O mO ( Fi ) 0
9
4.2.2 平衡方程的其他形式
X 0
二矩式
m A ( Fi ) 0
条件：x 轴不 AB 连线
mB ( Fi ) 0
m A ( Fi ) 0
三矩式
mB ( Fi ) 0 mC ( Fi ) 0
条件：A,B,C 不在 同一直线上
平面一般力系简化结果的应用 固定端约束的反力
简图：
固定端约束反力有三个分量： 两个正交分力，一个反力偶
6
练习 已知F1=10kN,F2=25kN,F3=40kN,F4=16kN,F5=14kN, 求力系向0点简化的结果，图中每小格边长为1m。
参考答案：m=-13.5KN· m；F=50.02KN；Fx=3.54KN Fy=-49.9KN
需要说明的是，内力外力是相对的概念，铰C处两段梁的相互作 用力，对系统整体而言是内力，对杆CD则就是外力。
《建筑力学》第三章平面一般力系
VS
产生条件
摩擦力的产生需要满足三个条件，即接触 面粗糙、接触面间有正压力和物体间有相 对运动或相对运动趋势。
考虑摩擦时物体平衡问题解决方法
01
02
03
静力学方法
通过受力分析，列出平衡 方程，考虑摩擦力对物体 平衡的影响。
动力学方法
分析物体的运动状态，根 据牛顿第二定律列出动力 学方程，考虑摩擦力对物 体运动的影响。
静定结构特性分析
1 2 3
内力与外力关系
静定结构的内力与外力之间存在一一对应的关系， 即外力的变化会直接导致内力的变化。
变形与位移
在荷载作用下，静定结构会产生变形和位移，但 变形和位移的大小与材料的力学性质有关，与结 构的超静定性无关。
稳定性分析
静定结构在受到微小扰动后，能够自动恢复到原 来的平衡状态，具有良好的稳定性。
求解未知数
通过解平衡方程，求解出未知 的力或力矩。
确定研究对象
根据问题要求，确定需要研究 的物体或物体系统。
列平衡方程
根据平面任意力系的平衡条件， 列出物体系统的平衡方程。
校验结果
将求解结果代入原方程进行校 验，确保结果的正确性。
05 静定结构内力计算
静定结构基本概念和分类
静定结构定义
静定结构是指在外力作用下，其反力和内力都可以用静力学平衡方程求解，且解答唯一确定的结构。
02 平面汇交力系分析
汇交力系几何法求解合力
几何法概念
利用力的平行四边形法则或三角形法则求解汇交力系的合 力。
求解步骤
首先确定各分力的方向和大小，然后选择合适的几何图形 （如平行四边形或三角形）进行力的合成，最后根据图形 求解合力的大小和方向。
注意事项
工程力学静力学第三章平面一般力系
工程力学静力学第三章平面一 般力系
目
CONTENCT
录
• 平面一般力系的简化 • 平面一般力系的平衡 • 平面一般力系的平衡问题 • 平面一般力系的平衡问题实例分析 • 平面一般力系中的摩擦力
01
平面一般力系的简化
力的平移定理
总结词
力的平移定理指出，一个力可以等效地分解为一个在原作用点作 用的力和一个通过某一定点、大小和方向与原力相同的力。
实例三：建筑结构的受力分析
总结词
通过建筑结构受力分析，深入理解平面一般力系在建 筑领域的应用。
详细描述
建筑结构是建筑物的重要组成部分，其受力分析是确保 建筑物安全和稳定的关键环节。在建筑结构的受力分析 中，需要考虑各种力的作用，包括重力、风载荷、地震 作用等。通过建立平面一般力系，可以详细分析建筑结 构的受力情况，从而优化设计方案、提高建筑物的安全 性能和稳定性。同时，合理的建筑结构受力分析也有助 于降低工程造价、节约资源和提高经济效益。
利用平衡方程进行受力分析，可以减少试验次数， 提高设计效率，降低成本。
03
平面一般力系的平衡问题
单个刚体的平衡问题
80%
刚体平衡的概念
刚体在力的作用下，如果保持静 止或匀速直线运动，则称该刚体 处于平衡状态。
100%
平衡条件的推导
根据力的平移定理和力的平行四 边形法则，推导出平面一般力系 的平衡条件为力系的主矢等于零 ，力系的主矩也等于零。
详细描述
在平面平行力系中，所有力的作用线都在同一平面内 且相互平行。这种力系可以通过合力或合力矩定理进 行简化。合力定理指出，作用于刚体上的所有外力的 合力为零，即这些力的矢量和为零。合力矩定理则指 出，作用于刚体上的所有外力对某一定点的力矩的矢 量和为零。通过这两个定理，我们可以将复杂的平面 平行力系简化为一个或几个单一的力或力矩，便于分 析和计算。
目
CONTENCT
录
• 平面一般力系的简化 • 平面一般力系的平衡 • 平面一般力系的平衡问题 • 平面一般力系的平衡问题实例分析 • 平面一般力系中的摩擦力
01
平面一般力系的简化
力的平移定理
总结词
力的平移定理指出，一个力可以等效地分解为一个在原作用点作 用的力和一个通过某一定点、大小和方向与原力相同的力。
实例三：建筑结构的受力分析
总结词
通过建筑结构受力分析，深入理解平面一般力系在建 筑领域的应用。
详细描述
建筑结构是建筑物的重要组成部分，其受力分析是确保 建筑物安全和稳定的关键环节。在建筑结构的受力分析 中，需要考虑各种力的作用，包括重力、风载荷、地震 作用等。通过建立平面一般力系，可以详细分析建筑结 构的受力情况，从而优化设计方案、提高建筑物的安全 性能和稳定性。同时，合理的建筑结构受力分析也有助 于降低工程造价、节约资源和提高经济效益。
利用平衡方程进行受力分析，可以减少试验次数， 提高设计效率，降低成本。
03
平面一般力系的平衡问题
单个刚体的平衡问题
80%
刚体平衡的概念
刚体在力的作用下，如果保持静 止或匀速直线运动，则称该刚体 处于平衡状态。
100%
平衡条件的推导
根据力的平移定理和力的平行四 边形法则，推导出平面一般力系 的平衡条件为力系的主矢等于零 ，力系的主矩也等于零。
详细描述
在平面平行力系中，所有力的作用线都在同一平面内 且相互平行。这种力系可以通过合力或合力矩定理进 行简化。合力定理指出，作用于刚体上的所有外力的 合力为零，即这些力的矢量和为零。合力矩定理则指 出，作用于刚体上的所有外力对某一定点的力矩的矢 量和为零。通过这两个定理，我们可以将复杂的平面 平行力系简化为一个或几个单一的力或力矩，便于分 析和计算。
平面一般力系
12
建筑力学
[例] 如图，梁AB受一力偶的作用，此力偶之矩M=20kN· m，梁的跨度
l=5m，倾角α=30°，试求A、B处的支座反力（梁重不计）。
A M l B 30o A FA M B 30o FB
解：取梁AB为研究对象，梁在力矩偶M和A、B两处支座反力FA、FB 的作用下处于平衡。因为力偶只能由力偶平衡，可知FA与FB应等值、 反向、平行而构成力偶。又FB必垂直于支座B的支承面。由力偶系 的平衡方程可得：
3
建筑力学
力F对O点之矩也可以用三角形OAB的面积的两倍表示， 即: Mo（F ）＝±2△ABO面积 在国际单位制中，力矩的单位是N· m或kN· m。 由上述分析可得力矩的性质： （1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位臵有 关。力矩随矩心的位臵变化而变化。 （2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而 改变，再次说明力是滑移矢量。 （3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。
对于平面一般力系，讨论两个问题： 1、力系的合成； 2、力系的平衡。
2
建筑力学
3.2 力对点之矩 合力矩定理
力对点之矩 力矩：力使物体绕某点转动的力学效应，称为力对该点之矩。 例如扳手旋转螺母。 A
d L
B
力F对O点之矩定义为：力的大小F与力臂d的乘积。 记为 : Mo（F ）＝±F· d
A
FB sin 45 2 3P 0
FAy 10kN
所以得：
FAx 30kN
FB 42.43kN
20
建筑力学
3.6
y
平面平行力系的平衡方程
设F1、F2、F3、F4为四个平行于y轴的平 行力系，则各力在x轴上的投影均为零， 故平面平行力系的平衡方程为：
平面一般力系
各个力旳作用线全部平行移到作用面内某一点O 。从
而这力系被分解为平面汇交力系和平面力偶系。这种
变换旳措施称为力系向一点O 旳简化。点O 称为简化
中心。
F1
F2
A1 O
A2
A3
F1
= F2
l1
l2
O
l3
=
F3
F3
R
O
§3–2 平面一般力系旳简化
汇交力系F1、 F2、 F3旳合成成果为一作用 点在点O 旳力R。这个力矢R 称为原力系旳主矢。
§4–1
§3–1力向一点平移
由上述成果能够推广位一般结论： 作用在刚体上旳力能够向任意点平移， 平移后除了这个力之外，还产生了一种 力偶，其力偶矩等于原来旳力对平移点 旳力矩。换句话说，平移前旳一种力， 与平移后旳一种力和一种力偶等效。
§3–2 平面一般力系旳简化
一、力系向简化中心O 简化
应用力旳平移定理，可将刚体上平面任意力系中
阐明如下： R
MO
O
=
R R
Mo
OR A
=
Mo R
O
R
A
AO M 0 R
m0 F
R
R
§3–2 平面一般力系旳简化
4、 R=0，而MO=0，原力系平衡。
综上所述，可见： ⑴、平面任意力系若不平衡，则当主矢主矩均不
为零时，则该力系能够合成为一种力。
⑵、平面任意力系若不平衡，则当主矢为零而主 矩不为零时，则该力系能够合成为一种力偶。
由n个刚体构成旳刚体系统，总共有不多于3n个独
立旳平衡方程。P50 例3-9
§3–3 刚体系统旳平衡问题
4、静定问题 —— 当系统中未知量数目等于或少 于独立平衡方程数目时旳问题。
工程力学第三章 平面一般力系-PPT说课稿
平衡条件——各力在坐标轴上 投影的代数和为零，且力系中各力 对平面内任意点的力矩的代数和也 等于零。
§3－2 平面一般力系的平衡和应用
形式
基本形式
二力矩式
方 程
FiY m0 (
Fi
0 )
0
mA(Fi ) 0 mB (Fi ) 0
使用条件：A、B连线不能与各力作 用线平行
§3－2 平面一般力系的平衡和应用
§3－1 平面一般力系的简化
力的平移定理揭示了力 对刚体产生移动和转动两种 运动效应的实质。以削乒乓 球为例，当球拍击球的作用 力没有通过球心时，按照力 的平移定理，将力Ｆ平移至 球心，力Ｆ′使球产生移动， 附加力偶矩Ｍ使球产生绕球 心的转动，于是形成旋转球。
§3－1 平面一般力系的简化
力的平移定理在机械中的应用
§3－2 平面一般力系的平衡和应用
【补充例题】悬臂梁如图所示，梁上作用有均布载荷，载 荷集度为q，在梁的自由端受集中力F和力偶矩为M的力偶作 用，梁的长度为L。试求固定端A处的约束反力。
解题过程
§3－2 平面一般力系的平衡和应用
二、平面平行力系的平衡方程
平面平行力系——力系中的各力作用线在同一 平面内且相互平行。
§3－1 平面一般力系的简化
平面汇交力系：
FRˊ= F1ˊ+F2ˊ+ … + Fnˊ
平面附加力偶系：
MO= M1+M2+…+ M n
平面一般力系向已知中心点简化后得到一力和一力偶。
§3－1 平面一般力系的简化
机床床鞍的导轨运动
在卧式车床中，传动丝杠曳引床鞍的作用力Ｆ（图a）。 由力的平移定理，力对床鞍的作用就相当于一个中心力Ｆ 和一个附加力偶Ｍ的同时作用（图b）。中心力Ｆ推动床鞍
§3－2 平面一般力系的平衡和应用
形式
基本形式
二力矩式
方 程
FiY m0 (
Fi
0 )
0
mA(Fi ) 0 mB (Fi ) 0
使用条件：A、B连线不能与各力作 用线平行
§3－2 平面一般力系的平衡和应用
§3－1 平面一般力系的简化
力的平移定理揭示了力 对刚体产生移动和转动两种 运动效应的实质。以削乒乓 球为例，当球拍击球的作用 力没有通过球心时，按照力 的平移定理，将力Ｆ平移至 球心，力Ｆ′使球产生移动， 附加力偶矩Ｍ使球产生绕球 心的转动，于是形成旋转球。
§3－1 平面一般力系的简化
力的平移定理在机械中的应用
§3－2 平面一般力系的平衡和应用
【补充例题】悬臂梁如图所示，梁上作用有均布载荷，载 荷集度为q，在梁的自由端受集中力F和力偶矩为M的力偶作 用，梁的长度为L。试求固定端A处的约束反力。
解题过程
§3－2 平面一般力系的平衡和应用
二、平面平行力系的平衡方程
平面平行力系——力系中的各力作用线在同一 平面内且相互平行。
§3－1 平面一般力系的简化
平面汇交力系：
FRˊ= F1ˊ+F2ˊ+ … + Fnˊ
平面附加力偶系：
MO= M1+M2+…+ M n
平面一般力系向已知中心点简化后得到一力和一力偶。
§3－1 平面一般力系的简化
机床床鞍的导轨运动
在卧式车床中，传动丝杠曳引床鞍的作用力Ｆ（图a）。 由力的平移定理，力对床鞍的作用就相当于一个中心力Ｆ 和一个附加力偶Ｍ的同时作用（图b）。中心力Ｆ推动床鞍
工程力学第3节 平面一般力系
• 2）力偶 M 对平面上任意一点的矩为常量。
• 3）应尽量选择各未知力作用线的交点为力矩方 程的矩心，使力矩方程中未知量的个数尽量少。
例2-10 如图所示一可 沿轨道移动的塔式起重 机，机身重G=200kN， 作用线通过塔架中心。 最大起重量FP=80kN。 为防止起重机在满载时 向右倾倒，在离中心线 x 处附加一平衡重FQ， 但又必须防止起重机在 空载时向左边倾倒。试 确定平衡重FQ以及离左 边轨道的距离 x 的值。
i 1 i 1 n i 1 n
n
• 二力矩式：A、B 两点的联线 AB 不能与 x 轴垂直。 • 三力矩式：A、B﹑C 三点不能共线。 • 选用基本式﹑二力矩式还是三力矩式，完全决定于 计算是否方便。不论何种形式，独立的平衡方程只 有三个。
四
平面平行力系的平衡方程
平面平行力系平衡的充分 必要条件是：力系中各力的代 数和等于零，以及各力对任一 点的矩的代数和等于零。 平衡方程 的解析式 （基本式） 注意
Fiy 0 M O ( Fi ) 0
i 1 M A ( Fi ) 0 M B ( Fi ) 0
i 1 i 1 n
n
二力矩式中A、B 两点的联线不能与 x 轴垂直。
例2-7 如图所示，数控车床一齿轮转动轴自重 G = 900N，水平安装在向心轴承A和向心推力轴承B 之间。齿轮受一水平推力F 的作用。已知 a = 0.4m， b = 0.6m，c = 0.25m，F = 160N。当不计轴承的宽度 和摩擦时，试求轴上A、B处所受的约束反力。
Fiy 0 M O ( Fi ) 0
i 1 i 1 n
i 1 n
二 力 矩 式 注意
Fix 0 M A ( Fi ) 0 M B ( Fi ) 0
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/
FRy Y P .1kN 1P 2 F2 sin 670
/
16
主矢的大小为
/ FR ( X ) 2 (Y ) 2 709 .4 kN
主矢的方向余弦为
X cos(FR , i ) 0.3283 FR
/
Y cos(FR , j ) 0.9446 FR
20
[例1] 已知：P, a , 求：A、B两点的支座反力？ 解：①选AB梁研究
②画受力图（以后注明
解除约束，可把支反 力直接画在整体结构 的原图上）
A
B
解除约束
由 m A ( Fi ) 0
X 0 Y 0
2P P2a N B 3a 0, N B 3
XA 0
YB N B P 0,
FAy A FAx
M A ( F ) 0, FB 5 P 1 1.5 P 2 3.5 0
24
[习题2] 求A、C反力
FC FAy
FAx
X 0, FAx FC cos 450 0 Y 0, FAy FC sin 45 P 0
0
P
M A ( F ) 0, FC cos 450 0.8 P 1.2 0
7kN
FAy G 6kN
B
M A ( F ) 0, FC cos300 60 t an300 G1 30 G2 60 0 FC G1 G2 26kN
A
600
D
C 三矩式：
Fx 0, FAx FC cos300 0 FAx 22.5kN
向一点简化 一般力系（任意力系） 汇交力系+力偶系 （未知力系） （已知力系） 汇交力系 力 ， R'(主矢) ， (作用在简化中心) 力偶系 力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
5
主矢R ' F1 F2 F3 Fi 主矩 M O m1 m2 m3
/
[例2]已知平面力系各力作用线位置，求该力系 合成结果。 解：1、以O点为简化中心建立直角 坐标系 F1 2、F / Rx F F 12 F cos 450 F x 1 2 3 （2,1） 5 13 12 1 12 130 100 2 50 70N O 13 2
mO ( F1 ) mO ( F2 ) mO ( Fi )
2 2 R ' R ' R ' ( X ) ( Y ) 大小： x y 2 2
主矢 R
方向：
tgY 1 tg Rx X
(与简化中心位置无关)
[因主矢等于各力的矢量和]
F2
[习题1] 重力坝受力,设P1＝450 kN，P2=200kN，F1＝300 kN， F2 ＝ 70kN。求力系向O点简化 的结果以及合力与基线OA的交 点到点O的距离x。
3m
x
AB ACB arctan 16.7 0 CB
主矢FR在x、y轴上的投影为：
FRx X F1 F2 cos 232.9kN
YA
P 3
21
[例2]如图管道支架，求支座A和C处的约束反力。
30cm
30cm
12kN 7kN
12kN
7kN
FAx B
A
600
FAy A
600
B D
D
FC C C M ( F ) 0, F cos300 60 tan300 G 30 G 60 0 A C 1 2
130N
5
580Nm
5、主矢主矩都不为零，该力系 最后简化为一个合力FR。 FR的 大小和方向与主矢量F/R相同， 而合力FR与x轴交点坐标为：
/ Ry
12
500Nm
（0,-4）
50N
x MO / F
580/ 150 3.87
15
y
3m
C
1.5m
9mF 1
P1 3.9m P2 O θ B 5.7m A
cos( F R , i ) F
/ /
/
Rx 0
/F
/
R
70 / 165.53 0.423
14
( F R , i ) 65
100 2 N
（-3,2） （2,1）
12 5 4、M O M O ( F ) F1 1 F1 2 13 13 F2 cos 450 2 F2 sin 450 3 F3 4 M
合力R 的大小等于原力系的主矢 合力R 的作用线位置
MO d R
10
结论： 平面任意力系的简化结果 ：①合力偶MO ； ②合力 ③平衡 合力矩定理：由于主矩 而合力对O点的矩
n
R；
M O mO ( Fi )
i 1
mO ( R ) Rd M O (主矩)
M O ( R ) mO ( Fi ) ———合力矩定理
FC G1 G2 26kN
Fx 0, FAx FC cos300 0 FAx 22.5kN
Fy 0, FAy FC sin 300 G1 G2 0 FAy 6kN
22
30cm
30cm
12kN
二矩式： M D ( F ) 0, FAy 60 G1 30 0
/
根据主矢投影确定主矢所在象限：-70.840 力系对点O的主矩为
M O M O ( F ) 3F1 1.5P kN m 1 3.9P 2 2355
17
(2)合力FR的大小和方向与主矢FR/相同。其作用线位置的 x值可根据合力矩定理求得
M O M O ( FR ) M O ( FRx ) M O ( FRy ) 而M（ 0 O FRx） 所以M O M（ FRy x O FRy） MO x 3.514m FRy
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平
面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。
9
③ R ≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）,
R R 。
④R ≠0,MO ≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简 化为一个合力 R 。
G2 1 g l d1 1
2、列平衡方程 H q
G1
MAFAx
G2
l
d2
FAy
1 FAx 0, FAx qh 0 2 1 1 FAx qh 2 gh2 2 2
26
H
q
G1
Fy 0, FAy G1 G2 ql 0
MAFAx FAy G1 G2 ql
解方程FC 28.28N FAx 20kN FAx 10kN
25
[例3]求某钢筋混凝土水池支座反力。 钢筋混凝土和水的密度分别是ρ1和ρ2
H 解：1、受力分析 A l
d2
池壁所受水压力最大集度：
q 2 g h 1 2 gh G1 1 g ( H d1 ) d 2 1
m A ( Fi ) 0
m A ( Fi ) 0 mB ( Fi ) 0 mC ( Fi ) 0
③三矩式 条件：A,B,C不在 同一直线上
Y 0
mO ( Fi ) 0
①一矩式
mB ( Fi ) 0
②二矩式 条件：x 轴不 AB 连线
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
i 1
n
由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。 即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之 矩等于力系中各力对于同一点之矩的代数和。
11
[例1] 水平梁AB受按三角形分布的载荷作用。载荷 的最大值为q，梁长l，求合力作用 线的位置。 P 解：在梁上距A端为x的微段dx上， 作用力的大小为q/dx，其中q/ 为该 q/ q处的载荷强度。 A B x / x q q dx l x 因此分布载荷的合力的大小为 a l 1 l /
18
§3-5
由于 =0 R
平面一般力系的平衡条件与平衡方程
为汇交力系平衡 MO=0 为力偶系也平衡
所以平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢 R 和主矩 MO 都等于零，即：
R' ( X ) ( Y ) 0 M O mO ( Fi ) 0
2 2
19
X
0
X 0
1
第三章
平面一般力系
平面一般力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点
又不相互平行的力系叫平面一般力系∼。
[例]
力系向一点简化：把未知力系（平面任意力系）变成已知 力系（平面汇交力系和平面力偶系）
2
第三章
平面一般力系
§3–3 力的平移定理 §3–4 平面一般力系向一点简化 §3–5 平面一般力系的平衡条件和平衡方程 §3–6 物体系统的平衡•静定与静不定问题
q
FAx A FAy C
M
B FB
28
P
1m F 3m q B
1m
M D
[习题5] 自重为P=100kN的T字形刚 架置于铅垂面内。其中M=20kNm， F＝400 kN，q＝20kN，试求固定端 A的约束反力，
P
F
B
A y
解：线性分布荷载可用一集中力F1等效替 代 1 M F1 q 3 30 kN 2
P q dx ql 0 2
12
根据合力矩定理
P q/ q
Pa q / xdx, 带入q / 和P A
0
l
B
dx x
FRy Y P .1kN 1P 2 F2 sin 670
/
16
主矢的大小为
/ FR ( X ) 2 (Y ) 2 709 .4 kN
主矢的方向余弦为
X cos(FR , i ) 0.3283 FR
/
Y cos(FR , j ) 0.9446 FR
20
[例1] 已知：P, a , 求：A、B两点的支座反力？ 解：①选AB梁研究
②画受力图（以后注明
解除约束，可把支反 力直接画在整体结构 的原图上）
A
B
解除约束
由 m A ( Fi ) 0
X 0 Y 0
2P P2a N B 3a 0, N B 3
XA 0
YB N B P 0,
FAy A FAx
M A ( F ) 0, FB 5 P 1 1.5 P 2 3.5 0
24
[习题2] 求A、C反力
FC FAy
FAx
X 0, FAx FC cos 450 0 Y 0, FAy FC sin 45 P 0
0
P
M A ( F ) 0, FC cos 450 0.8 P 1.2 0
7kN
FAy G 6kN
B
M A ( F ) 0, FC cos300 60 t an300 G1 30 G2 60 0 FC G1 G2 26kN
A
600
D
C 三矩式：
Fx 0, FAx FC cos300 0 FAx 22.5kN
向一点简化 一般力系（任意力系） 汇交力系+力偶系 （未知力系） （已知力系） 汇交力系 力 ， R'(主矢) ， (作用在简化中心) 力偶系 力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
5
主矢R ' F1 F2 F3 Fi 主矩 M O m1 m2 m3
/
[例2]已知平面力系各力作用线位置，求该力系 合成结果。 解：1、以O点为简化中心建立直角 坐标系 F1 2、F / Rx F F 12 F cos 450 F x 1 2 3 （2,1） 5 13 12 1 12 130 100 2 50 70N O 13 2
mO ( F1 ) mO ( F2 ) mO ( Fi )
2 2 R ' R ' R ' ( X ) ( Y ) 大小： x y 2 2
主矢 R
方向：
tgY 1 tg Rx X
(与简化中心位置无关)
[因主矢等于各力的矢量和]
F2
[习题1] 重力坝受力,设P1＝450 kN，P2=200kN，F1＝300 kN， F2 ＝ 70kN。求力系向O点简化 的结果以及合力与基线OA的交 点到点O的距离x。
3m
x
AB ACB arctan 16.7 0 CB
主矢FR在x、y轴上的投影为：
FRx X F1 F2 cos 232.9kN
YA
P 3
21
[例2]如图管道支架，求支座A和C处的约束反力。
30cm
30cm
12kN 7kN
12kN
7kN
FAx B
A
600
FAy A
600
B D
D
FC C C M ( F ) 0, F cos300 60 tan300 G 30 G 60 0 A C 1 2
130N
5
580Nm
5、主矢主矩都不为零，该力系 最后简化为一个合力FR。 FR的 大小和方向与主矢量F/R相同， 而合力FR与x轴交点坐标为：
/ Ry
12
500Nm
（0,-4）
50N
x MO / F
580/ 150 3.87
15
y
3m
C
1.5m
9mF 1
P1 3.9m P2 O θ B 5.7m A
cos( F R , i ) F
/ /
/
Rx 0
/F
/
R
70 / 165.53 0.423
14
( F R , i ) 65
100 2 N
（-3,2） （2,1）
12 5 4、M O M O ( F ) F1 1 F1 2 13 13 F2 cos 450 2 F2 sin 450 3 F3 4 M
合力R 的大小等于原力系的主矢 合力R 的作用线位置
MO d R
10
结论： 平面任意力系的简化结果 ：①合力偶MO ； ②合力 ③平衡 合力矩定理：由于主矩 而合力对O点的矩
n
R；
M O mO ( Fi )
i 1
mO ( R ) Rd M O (主矩)
M O ( R ) mO ( Fi ) ———合力矩定理
FC G1 G2 26kN
Fx 0, FAx FC cos300 0 FAx 22.5kN
Fy 0, FAy FC sin 300 G1 G2 0 FAy 6kN
22
30cm
30cm
12kN
二矩式： M D ( F ) 0, FAy 60 G1 30 0
/
根据主矢投影确定主矢所在象限：-70.840 力系对点O的主矩为
M O M O ( F ) 3F1 1.5P kN m 1 3.9P 2 2355
17
(2)合力FR的大小和方向与主矢FR/相同。其作用线位置的 x值可根据合力矩定理求得
M O M O ( FR ) M O ( FRx ) M O ( FRy ) 而M（ 0 O FRx） 所以M O M（ FRy x O FRy） MO x 3.514m FRy
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平
面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。
9
③ R ≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）,
R R 。
④R ≠0,MO ≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简 化为一个合力 R 。
G2 1 g l d1 1
2、列平衡方程 H q
G1
MAFAx
G2
l
d2
FAy
1 FAx 0, FAx qh 0 2 1 1 FAx qh 2 gh2 2 2
26
H
q
G1
Fy 0, FAy G1 G2 ql 0
MAFAx FAy G1 G2 ql
解方程FC 28.28N FAx 20kN FAx 10kN
25
[例3]求某钢筋混凝土水池支座反力。 钢筋混凝土和水的密度分别是ρ1和ρ2
H 解：1、受力分析 A l
d2
池壁所受水压力最大集度：
q 2 g h 1 2 gh G1 1 g ( H d1 ) d 2 1
m A ( Fi ) 0
m A ( Fi ) 0 mB ( Fi ) 0 mC ( Fi ) 0
③三矩式 条件：A,B,C不在 同一直线上
Y 0
mO ( Fi ) 0
①一矩式
mB ( Fi ) 0
②二矩式 条件：x 轴不 AB 连线
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
i 1
n
由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。 即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之 矩等于力系中各力对于同一点之矩的代数和。
11
[例1] 水平梁AB受按三角形分布的载荷作用。载荷 的最大值为q，梁长l，求合力作用 线的位置。 P 解：在梁上距A端为x的微段dx上， 作用力的大小为q/dx，其中q/ 为该 q/ q处的载荷强度。 A B x / x q q dx l x 因此分布载荷的合力的大小为 a l 1 l /
18
§3-5
由于 =0 R
平面一般力系的平衡条件与平衡方程
为汇交力系平衡 MO=0 为力偶系也平衡
所以平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢 R 和主矩 MO 都等于零，即：
R' ( X ) ( Y ) 0 M O mO ( Fi ) 0
2 2
19
X
0
X 0
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第三章
平面一般力系
平面一般力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点
又不相互平行的力系叫平面一般力系∼。
[例]
力系向一点简化：把未知力系（平面任意力系）变成已知 力系（平面汇交力系和平面力偶系）
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第三章
平面一般力系
§3–3 力的平移定理 §3–4 平面一般力系向一点简化 §3–5 平面一般力系的平衡条件和平衡方程 §3–6 物体系统的平衡•静定与静不定问题
q
FAx A FAy C
M
B FB
28
P
1m F 3m q B
1m
M D
[习题5] 自重为P=100kN的T字形刚 架置于铅垂面内。其中M=20kNm， F＝400 kN，q＝20kN，试求固定端 A的约束反力，
P
F
B
A y
解：线性分布荷载可用一集中力F1等效替 代 1 M F1 q 3 30 kN 2
P q dx ql 0 2
12
根据合力矩定理
P q/ q
Pa q / xdx, 带入q / 和P A
0
l
B
dx x