平面力系的合成与分解
2 建筑结构及受力分析平面力系
2.1.3 平面汇交力系合成与平衡的解析法
【例 2. 8】 托架 ABC 如图 2. 16a 所示，杆 AC 中点受集中力 F ＝ 60 kN 作用。 如不计杆自重，试求杆 BC 和铰 A 所受的力。
2.2 力矩和力偶
2.2.1 力矩
1. 力对点之矩
一个力对某点 O 的力矩等于该力的大小与 O 点到力作用线垂直距离的乘积。 以符号MO(F)表示，即： MO(F) ＝ ± Fd 式中 O 点称为力矩中心，简称矩心；d 称为臂(力和力臂是使物体发生转动的两个必不可少的因素)；其正 负号用以区别力使物体绕矩心转动的方向；通常规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩为正，反之 力矩为负。 力矩的单位决定于力和力臂的单位，在国际单位制中通常用 N· m 或 kN· m，有时工程中还采用工程单位 制 kgf· m。 在给定的平面内，力矩由两个因素决定：一是它的大小，二是它的转向。
2 平面力系
建筑结构及受力分析
2.1 平面汇交力系 2.2 力矩和力偶
2.3 平面一般力系 2.4 平面平行力系的平衡方程
目
录
2.1 平面汇交力系
2.1.1 力的合成与分解
1. 合力与分力的概念
作用于刚体上的力系，如果可以用一个力 R 代替而不改变原力系对刚体的作用效果，则这个力 R 称为原 力系的合力，而原力系的各力就是合力 R 的分力。
2.2.2 力偶
【例 2. 12】 如图所示结构，荷载 F1 ＝ F2 ＝ 20 kN，试求 A、B 两支座的约束反力(不计杆自重)。
2.2.2 力偶
【例 2. 13】求图 2. 23a 所示梁的支座反力。
2.3 平面一般力系
2.3.1 力的平移定理
力的平移定理：作用在刚体上的力，可以平行移动到刚体上的任意一点，但必须同时附加一个力偶，其 力偶矩等于原力对新作用点的矩。
解析法求解平面汇交力系
解析法求解平面汇交力系平面力系指的是由多个力组成的力系，这些力都在同一平面内作用。
求解平面力系的关键在于解析出各个力的作用方向、大小和作用点的坐标，然后根据力的平衡条件和力的合成、分解原理进行计算。
1. 画出力的几何示意图：根据题目中所给的力的作用点和方向，画出力的向量图，力的箭头表示力的方向，力的长度表示力的大小。
2. 分解力成分力：对于力的向量图，将其分解为x轴和y轴方向上的分力，分解后的力可以表示为：F = Fx + Fy。
Fx表示力F在x轴方向上的分力，Fy表示力F在y轴方向上的分力。
3. 定义力的作用点坐标：确定力的作用点在平面坐标系中的坐标，通常以力的作用点的横坐标和纵坐标表示。
4. 列出力的平衡条件：根据力的平衡条件，即合力为零的条件，列出力的平衡方程。
对于x轴方向的平衡方程，其形式为：ΣFx = 0；对于y轴方向的平衡方程，其形式为：ΣFy = 0。
5. 解力的平衡方程组：根据平衡方程组，利用代数方法解出未知数，即力的分量和作用点的坐标。
6. 检验结果：将得到的力的分量和作用点的坐标带入平衡方程组，验证方程是否成立。
如果方程成立，则说明求解正确；如果方程不成立，则说明求解有误，需要重新检查和修改。
需要注意的是，在使用解析法求解平面力系时，要注意以下几点：1. 力的分解应按照受力物体的几何形状和受力方向进行。
比如对于斜面上的力，可以将其分解为垂直于斜面和平行于斜面的两个分力。
2. 力的分解和合成要遵循力的平行四边形定则和三角形定则，即分力的矢量和等于合力的矢量，分力的矢量差等于合力的矢量。
3. 力的平衡条件适用于平面力系的任意一个物体或系统，当物体处于平衡状态时，所有受力物体的合力为零。
4. 解析法求解平面力系是一种数学方法，在具体应用时，要注意对力和作用点的坐标进行数值计算，并且要有良好的数学推导能力。
解析法是一种较为常用的求解平面力系的方法，适用于各类平面力系的求解。
通过分解力成分力，列出平衡方程组，并利用代数方法进行求解，可以得到力的作用方向、大小和作用点的坐标。
平面力系的概念
平面力系的概念平面力系是一个在平面内作用的力的集合。
在力学中，力是指物体与物体之间、物体与环境之间相互作用的效果。
平面力系是由多个力的向量合成而成的力的系统，它们都在一个平面内作用。
在平面力系中，每个力都有自己独特的方向和大小，同时也受到其他力的影响。
平面力系可以通过一个力的合力和力的力矩来描述。
合力是所有力合成的力的向量，而力矩是指力对给定点产生的转动效应。
在平面力系中，力的合力和力矩能够帮助我们理解平面上物体的平衡和运动。
在平面力系中，可以通过分解力来研究系统中的力。
根据牛顿第三定律，力总是成对出现的，一个力的作用与另一个力的反作用相等且方向相反。
因此，在平面力系中，我们可以将每个力都分解为两个力，一个垂直于参考轴的力和一个平行于参考轴的力。
这样的分解可以使我们更容易地分析力系。
平面力系也可以通过力的分解来求解复杂的问题。
通过使用向量分解技术，我们可以将一个力分解为多个分力，以帮助我们更好地理解和计算力的影响。
这种分解技术非常有用，尤其是在平面力系中涉及到复杂几何形状和不同角度的力时。
通过使用平面力系的概念，我们可以研究和解决许多力学中的问题。
例如，我们可以用平面力系的概念来解释物体在平面上的平衡。
当一个物体处于平衡状态时，它受到的所有合力和力矩都为零。
这意味着物体不会有任何线性和旋转方面的变化，它将保持静止或以恒定的速度运动。
另一个例子是使用平面力系来计算物体的加速度。
通过分解所有作用在物体上的力，并将它们的合力与物体的质量相除，我们可以得到物体的加速度。
这样，我们可以更好地理解和计算物体受到的作用力对其运动的影响。
除了平衡和运动问题，平面力系还可以用于其他许多力学应用。
例如，我们可以使用平面力系来研究机械系统的静力学平衡和稳定性。
平面力系的概念还可以应用于流体力学中，用于分析流体内部和外部的压力分布和力的传递。
总而言之，平面力系是力学中一个重要的概念，用于描述在平面内作用的力的集合。
它通过分解力和计算合力和力矩来帮助我们理解和解决各种平面平衡和运动问题。
平面力系的合成与分解
M
B
0 2VC 201 0 VC 10kN
41
10kN/m
20kN B C 1m 1m 10kN
HA
MAAຫໍສະໝຸດ 4mVA解：整体分析
A
x 0 H
A
0kN
M
0 M A 10 4 2 20 5 10 6 0
M A 120kN m
17
e
P
P Pe
18
2．平面任意力系向作用面内一点简化
力的平移
M1
M2
M3
19
M1
M2
力的合成
M3
20
一般力系（任意力系） 向一点简化 汇交力系 Ro(主矢) 作用在简化中心 + 力偶系 MO(主矩) 作用在该平面上
移动效应
转动效应
21
讨论： （1）RO=0， MO=0，则力系平衡。 （2）RO=0，MO≠0，简化结果为一合力偶，M=MO。
由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。
3
(2) 任意个汇交力的合成
F1 A F4 F3 F2
平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和， 合力的作用线通过各力的汇交点。
4
F2 R1
F3 F1
F2
F3
F1 R
R2
F4
R
F4
力多边形
5
（3）平面汇交力系平衡的几何条件 平面汇交力系平衡的充要条件是： 力多边形自行封闭 力系中各力的矢量和等于零
Fy 0
x 0 y 0
投影轴常选择与未知力垂直，
使每个平衡方程中只有一个未知数。
13
例2：图示平衡力系。F1=4kN， F3=2kN，求F2和F4。 F4
理论力学平面力系的简化和平衡
原力偶系的合力偶矩
n
M Mi i 1
只受平面力偶系作用的刚体平衡充要条件：
n
M Mi 0 i 1
对BC物块对B点取矩，以逆时针为正列方程应为：
M 2 M B (FC ) M FCY a FCx b M FC (b a) cos45 0
[例] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为 m1m2 m3 m4 15Nm 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
两轴不平行即 条件：x 轴不 AB
可，矩心任意
连线
mA (Fi ) 0 mB (Fi ) 0 mC (Fi ) 0
③三矩式 条件：A,B,C不在
同一直线上
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
4. 平面一般力系的简化结果分析
简化结果： 主矢R ，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① R =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ② R =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚
解除约束，可把支反
力直接画在整体结构
的原图上）
解除约束
由
mA (Fi
)
0
P2a N B
3a0,
N B
2P 3
X 0 XA 0
Y 0 YB NB P0,
YA
P 3
2.5物体系统的平衡、静定与超静定问题
1、物体系统的平衡问题 物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫∼。 [例]
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
N2个物体受平面汇交力系（或平面平行力系）
X 0 Y 0
2*n2个独立平衡方程
N3个物体受平 X 0 面任意力系 Y 0
平面汇交力系合成与平衡的几何法
BA
BC
解得 F F 11.35kN
BA
BC
选压块C
F ix
0
FCB cosθ FCx 0
解得 F F cotθ Fl 11.25kN
2 Cx
2h
F iy
0
F CBsin FCy 0
解得 FCy 1.5kN
例2-6
已知: F=1400N, θ 20 , r 60mm
O
Oy
Ox
y
x
M
O
F R
M
O
F i
M F OR
x F
i
iy
y F
i
ix
例2-1 已知： P=20kN，R=0.6m, h=0.08m: 求：
1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？ 2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？
3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？
求：此力系的合力。
解：用解析法
FRx F ix F1 cos30 F2 cos60 F3 cos45 F4 cos45 129.3N
F Ry
F iy
F sin 30 1
F 2
sin 60
F sin 45 3
F 4
sin 45
112.3N
解： CD为二力杆，取踏板
由杠杆平衡条件
F cos yB F sin xB FCD l 0
解得
FCD
F
cos
yB
l
第二章 平面力系
平面力系
§2-1 一般概念
一.力系分类
平面力系（汇交力系、平行力系、一般力系） 空间力系
二.工程实例 在工程地质和工程建筑物中，常遇到
的一些平面力系问题，如：
铁路绗架、水坝、坝基 空间问题一般简化为平面问题处理
W1
W2
1m
§2-2 平面汇交力系的合成与分解
一、二力合成 1、几何法：已知作用在物体上的两个力，F1、F2 ，它们
5.力偶在任意坐标轴上的投影恒等于零.
§2-6 平面力系的合成
一、力的平移定理 作用在物体上的力可以平移到任意点，但必须附加上
一力偶，其矩大小等于此力对新作用点之矩。
M B M B (F ) F d （2 - 10）
二、平面任意力系向已知点简化（如下图）
1、简化方法：
2、简化结果：
主矢 FR Fi 主矩 M O M O (F i) （2 - 11）
P 2 10m
BT T
W1 R
N W2
T
P2
解：可以用解析法和图解法解此题 答案：Ｔ=7500KN，N=21500KN
§2-8 平面一般力系平衡条件和方程式
一、平面任意力系的平衡条件（充要条件）
R0， M00 二、平面任意力系平衡方程式 主矢
必有 主矩
R ( F x)2( F y)20
Fx 0
主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关
三、平面任意力系的合成
1、力和力偶合成一个力 2、合力矩定理：
平面力系的合力，对该平面任一点之矩，等于各分力 对同一点之矩的代数和。
n
M0 R m0(Fi) i1
3、简化结果分析，四种情况有三种结果
§2-7 重心
平面力系的名词解释
平面力系的名词解释平面力系是指作用于同一个物体的多个力构成的一个力的集合，这些力都在同一个平面上。
一、什么是平面力系？在物理学中，力是指导致物体产生运动、形变或其他物理效应的物理量。
平面力系是指在一个平面上所受到的多个力的集合，这些力不仅可以是同向或相反方向的，也可以是夹角形成的。
二、平面力系的特点1. 平面内的力：平面力系中的所有力都在同一个平面内，这是平面力系的一个重要特点。
2. 作用点：平面力系中的力的作用点可以在物体的任何位置，但必须在同一平面内。
3. 力的大小和方向：平面力系中的力可以是同向、相反或夹角形成的，它们的大小和方向会对物体产生不同的效果。
4. 平衡状态：平面力系中的力可以使物体保持静止或产生运动。
如果物体处于静止状态，那么力系中的力必须满足力的合力为零的条件；如果物体处于运动状态，那么力系中的力必须使物体产生加速度。
三、平面力系的分解与合力对于平面力系，我们可以使用矢量分解和合力的概念来研究力的效果。
矢量分解是将平面力系中的力分解为两个或多个分力，使得这些分力的合力等于原力系。
这使我们能够更好地理解和计算力的效果。
四、例子解析以下是一个例子，用于更好地理解平面力系的概念：假设有一辆汽车被两个力作用，一个向前的推力和一个向左的侧向力。
这两个力都在同一个平面内，即汽车的水平面上。
如果推力和侧向力的合力为零，那么汽车将保持在静止状态。
如果推力和侧向力的合力不为零，那么汽车将产生加速度，并朝合力的方向运动。
在这个例子中，我们可以通过将推力和侧向力进行矢量分解，计算出它们各自的效果，并最终得出整个力系对汽车的影响。
五、应用领域平面力系的概念在物理学和工程学中具有广泛的应用。
在机械、土木、航空等工程领域，研究平面力系可以帮助我们更好地理解和分析物体的运动和变形。
例如，在建筑结构的设计中，平面力系的分析可以用于确定材料的强度和结构的稳定性。
此外，在运动学和静力学中，平面力系的概念也被广泛应用。
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9
? ? 合力的大小： F ?
Fix2 ? Fiy2
方向：
? ? ? arctg Fiy ? Fix
作用点： 该力系的汇交点
10
例1：求图示平面汇交力系的合力。
F 1=200kN ， F 2=300kN ， F 3=100kN ， F 4=250kN F 2 30° y F1
26
平面任意力系的平衡方程
?? x? 0
? ?
?
y? 0
??? M ? 0
一矩式
? ? x? 0 ??? M A ? 0 ??? M B ? 0
二矩式
?? ???
MA ? 0 MB ? 0
??? MC ? 0
三矩式
求解时，尽量使方程中的未知量只有一个
27
4. 应用实例
例：求下列结构的支座反力。
(1)简支梁 A
Fy ? 0
? y?0
投影轴常选择与未知力垂直，
使每个平衡方程中只有一个未知数。
13
例2：图示平衡力系。 F 1=4kN ， F 3=2kN ，求F 2和F 4。
F4
y
45°
O
F1
30°
F3
F2
x
? 分析：
x ? 0 两个未知数
? y ? 0 一个未知数 先求
14
解：
F4
y
45°
O
F1
30°
F3
O
30°
解：
F 3 45°
45° x F4
Fx ? F1 cos30?? F2 sin 30?? F3 sin 45?? F4 cos 45?
? 129.3kN
11
F 2 30° F1
O
30°
45° x F 3 45°
F4
Fy ? F1 sin 30?? F2 cos 30?? F3 cos 45?? F4 sin 45?
R?? F ?0
6
2. 数值解 （1）力在坐标轴上的投影与力的解析表达式
F x= F cosa F y= F sin a
F ? Fx2 ? Fy2
? ? arctg Fy
Fx
7
力的分解是不唯一的：
y
Fy
F
y Fy
Fx
x
F Fx x
8
（2）平面汇交力系合成的解析法
合矢量投影定理： 合矢量在某一轴上的投影， 等于各分矢量在同一 轴上 投影的代数和。
? 112.3kN
R ? FX 2 ? FY2 ? 171.3kN
? ? arctg Fy ? arctg 112.3 ? 40.990
Fx
129.3
12
(3) 平面汇交力系的平衡方程 平面汇交力系平衡的必要与充分条件是
该力系的 合力为零，即 R=0
R?
Fx2 ?
F
2 y
?
0
Fx ? 0
? x? 0
F2
x
? y ? 0 ? F1 sin 300 ? F4 cos 450 ? 0 ? F4 ? ?2.83kN
? x ? 0 ? F1 cos 300 ? F4 sin 450 ? F2 ? F3 ? 0
? F2 ? 4 cos 300 ? 2.83sin 450 ? 2 ? 3.46kN
15
3.2 任意力系
17
eP
P Pe
18
2．平面任意力系向作用面内一点简化
力的平移
M2 M1
M3
19
M2 M1
M3
力的合成
20
一般力系（任意力系）
Hale Waihona Puke 向一点简化汇交力系 + 力偶系
Ro(主矢 ) 作用在简化中心
移动效应
MO (主矩 ) 作用在该平面上
转动效应
21
讨论：
（1）RO=0， MO=0，则力系平衡。 （2）RO=0，MO≠0，简化结果为一合力偶， M=MO。 主矩与简化中心 O无关。
10kN B
1m
1m
28
解：
A
HA
10kN B
1m
1m
VA
VB
? x? 0 ? HA ? 0
? MA ? 0 ? 2VB ? 10 ? 1 ? 0 ? VB ? 5kN
? y ? 0 ? VA ? VB ? 10 ? 0 ? VA ? 5kN
29
扩展： HA
A
10kN 300 B
1m
1m
VA
VB
? 力的平移定理 ? 平面任意力系向作用面内一点简化 ? 平面任意力系的平衡条件与平衡方程
16
1．力的平移定理：
作用在刚体上点A的力F 平行移到任一点B，但必 须同时附加一个力偶。这个附加力偶的矩等于原来的 力F 对新作用点B的矩。
F
F
A B F
F
A B M
力F 等效力F +力偶m = F ? d
第三章 平面力系的合成与分解
学习要求： ? 了解平面力系的定义及其分类； ? 掌握平面力系平衡方程的求解； ? 理解力线平移原理，平面力系的简化。
1
第三章 平面力系的合成与分解
主要内容： 3.1 汇交力系 3.2 任意力系 (特例:平行力系 )
2
1. 图解法
3.1 汇交力系
图解法、数值解
(1)两个汇交力的合成
23
平面任意力系的平衡方程
?? x? 0
? ?
?
y? 0
??? M ? 0
一矩式
A
B
HA
a
VA
VB
? ? x? 0
? ?
?
y? 0
HA VA VB
??
?
MA ? 0
VB
24
平面任意力系的平衡方程
? ? x? 0 ??? M A ? 0
HA
??? MB ? 0
A a
VA
二矩式 AB连线不垂直 x轴
（3）RO≠0，MO=0，简化结果为一个作用于简化
中心的合力。与简化中心有关。简化中心变化， 主矩不为零。
22
3. 平面任意力系的平衡条件与平衡方程 平面任意力系平衡的充要条件为：
力系的主矢 R 和主矩 MO 都等于零。
? ? Ro ? ( X)2 ? ( Y)2 ? 0 ? MO ? MO (Fi ) ? 0
由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。
3
(2) 任意个汇交力的合成
F1 F2
A F3
F4
平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和， 合力的作用线通过各力的汇交点。
4
F2
F3
R1
F1 R2 F 4
R
F2
F3
F1 F4
R
力多边形
5
（3）平面汇交力系平衡的几何条件 平面汇交力系平衡的充要条件是： 力多边形自行封闭 力系中各力的矢量和等于零
? x ? 0 ? H A ? 10 cos 300 ? 0 ? H A ? 8.66kN ? MA ? 0 ? 2VB ? 10 ? sin 300 ? 1 ? 0 ? VB ? 2.5kN ? y ? 0 ? VA ? VB ? 10 sin 300 ? 0 ? VA ? 2.5kN
? ? x? 0 ??? M A ? 0 ??? M B ? 0
HA VB VA
B VB
25
平面任意力系的平衡方程
?? ???
MA ? 0 MB ? 0
HA
??? MC ? 0
三矩式 A、B、C三点不共线
A
C
a VA
B VB
?? ???
MA ? 0 MB ? 0
??? MC ? 0
VB VA VA VB