2020中考数学《一元二次方程》提高测试
2020年人教版九年级数学上册 章节专项提高练习《一元二次方程》(含答案)
2020年人教版九年级数学上册章节专项提高练习《一元二次方程》1.已知关于x的一元二次方程x2+(2m﹣1)x+m2﹣3=0有实数根．(1)求实数m的取值范围；(2)当m=2时，方程的根为x1，x2，求代数式(x12+2x1)(x22+4x2+2)的值．2.关于x的方程有实根.(1)若方程只有一个实根，求出这个根；(2)若方程有两个不相等的实根x1，x2，且，求k的值.3.如图，九年级学生要设计一幅幅宽20cm、长30cm的图案，其中有宽度相等的一横两竖的彩条.如果要使彩条所占的面积是图案的一半.求彩条的宽度.4.某住宅小区在住宅建设时留下一块1798平方米的空地，准备建一个矩形的露天游泳池，设计如图所示，游泳池的长是宽的2倍，在游泳池的前侧留一块5米宽的空地，其它三侧各保留2米宽的道路及1米宽的绿化带(1)请你计算出游泳池的长和宽；(2)若游泳池深3米，现要把池底和池壁(共5个面)都贴上瓷砖，请你计算要贴瓷砖的总面积.5.某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y 关于x的函数关系式；（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．6.某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万，可变成本逐年增长.已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元.设可变成本平均每年增长的百分率为x.(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为万元；(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x.7.某体育用品商店销售一批运动鞋，零售价每双240元.如果一次购买超过10双，那么每多购1双，所购运动鞋的单价降低6元，但单价不能低于150元，一位顾客购买这种运动鞋付了3600元，这位顾客买了多少双？8.甲乙两件服装的进价共500元,商场决定将甲服装按30%的利润定价,乙服装按20%的利润定价,实际出售时,两件服装均按9折出售,商场卖出这两件服装共获利67元.(1)求甲乙两件服装的进价各是多少元.(2)由于乙服装畅销,制衣厂经过两次上调价格后,使乙服装每件的进价达到242元,求每件乙服装进价的平均增长率.(3)若每件乙服装进价按平均增长率再次上调,商场仍按9折出售,定价至少为多少元时,乙服装才可获得利润(定价取整数).9.某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．（1）若商场要求该服装部每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多．10.如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．（1）设通道的宽度为x米，则a= （用含x的代数式表示）；（2）若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米．请问通道的宽度为多少米？参考答案1.解：(1)由题意△≥0，∴(2m﹣1)2﹣4(m2﹣3)≥0，∴m≤．(2)当m=2时，方程为x2+3x+1=0，∴x1+x2=﹣3，x1x2=1，∵方程的根为x1，x2，∴x12+3x1+1=0，x22+3x2+1=0，∴(x12+2x1)(x22+4x2+2)=(x12+2x1+x1﹣x1)(x22+3x2+x2+2)=(﹣1﹣x1)(﹣1+x2+2)=(﹣1﹣x1)(x2+1)=﹣x2﹣x1x2﹣1﹣x1=﹣x2﹣x1﹣2=3﹣2=1．2.解：3.解：设彩条的宽为xcm，则有(30﹣2x)(20﹣x)=20×30÷2，解得x1=5，x2=30(舍去).答：彩条宽5cm.4.解：(1)设游泳池的宽为x米，依题意得，(x+6)(2x+8)=1798，整理得x2+10x﹣875=0，解得x1=25，x2=﹣35(负数不合题意，舍去)，所以x=25，2x=50.答：游泳池的长为50米，宽为25米.(2)(25+50)×2×3+25×50=1700(平方米).答：要贴瓷砖的总面积是1700平方米.5.解：（1）∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天生产量减少5件．∴第x档次，提高的档次是x﹣1档．∴y=[6+2（x﹣1）][95﹣5（x﹣1）]，即y=﹣10x2+180x+400（其中x是正整数，且1≤x≤10）；（2）由题意可得：﹣10 x2+180x+400=1120整理得：x2﹣18x+72=0解得：x1=6，x2=12（舍去）．答：该产品的质量档次为第6档．6.解：(1)2.6(1+x)2.(2)根据题意，得4+2.6(1+x)2=7.146.解得x1=0.1=10%，x2=-2.1(不合题意，舍去).答：可变成本平均每年增长的百分率为10%.7.解：设这位顾客买了x双运动鞋，由题意得：解得：∵单价不能低于150元，∴x≤25，∴x=20答：这位顾客买了20双运动鞋.8.解：(1)设甲服装进价为x元/件,乙服装进价为y元/件,根据题意得:x+y=500,(1.3x+1.2y)×0.9-500=67,解得x=300,y=200.答:甲服装进价为300元/件,乙服装进价为200元/件.(2)设每件乙服装进价的平均增长率为m,根据题意得200(1+m)2=242,解得m1=0.1,m2=-2.1(不符合题意,舍去),所以m=0.1=10%,答:每件乙服装进价的平均增长率为10%.(3)设定价为n元/件,根据题意得0.9n>242(1+10%),解得n>295,因为n取最小正整数,所以n取296.所以当定价至少为296元时,乙服装才可获得利润.9.解：（1）设每件应降价x元，由题意可列方程为（40－x）·（30+2x）=1200，解得x1=0，x2=25，当x=0时，能卖出30件；当x=25时，能卖出80件．根据题意，x=25时能卖出80件，符合题意．故每件衬衫应降价25元．（2）设商场每天盈利为W元．W=（40－x）（30+2x）=－2x2+50x+1200=－2（x2－25x）+1200=－2（x－12.5）2+1512.5当每件衬衫降价为12.5元时，商场服装部每天盈利最多，为1512.5元．10.解：（1）设通道的宽度为x米，则a=；故答案为：（2）根据题意得，（50﹣2x）（60﹣3x）﹣x•=2430，解得x1=2，x2=38（不合题意，舍去）．。
2020初中数学一元二次方程的解法能力提升练习题A(附答案)
2020初中数学一元二次方程的解法能力提升练习题A （附答案）1．2x 4x 10++=的一个解是（ ）A．2 B．2 C．D22．若关于x 的一元二次方程ax 2﹣bx －1=0的解是x=1，则2017+a ﹣b=（ ）A ．2016B ．2017C ．2018D ．20193．已知关于x 的方程x 2﹣（2k ﹣1）x+k 2=0有两个不相等的实数根，那么k 的最大整数值是（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．14．一元二次方程22990x x +-=变形正确的是（ ）A ．2(1)100x +=B ．2(1)100x -=C ．2(2)100x +=D ．2(2)100x -= 5．下列方程中以1，2-为根的一元二次方程是（ ）A ．()()120x x +-=B ．()()121x x -+=C ．()2x+2=1D ．219()24x += 6．如果k 是随机投掷一枚骰子所得的数字（1，2，3，4，5，6），则关于x 的一元二次方程2(1)410k x x -++=有两个不等实数根的概率P ＝ ( ) A ．12 B ．13 C ．23 D ．167．若关于x 的方程（m ﹣2）x 2+mx ﹣1=0是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m≠2 B ．m=2 C ．m≥2 D ．m≠08．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．221x y -=B ．112x x +=C ．()() 111x x x -+=-D ． 230x -=9．从{}3,2,1,0,1,2,3---这七个数中随机抽取一个数记为a ，则a 的值是不等式组352132x x x x ⎧+>⎪⎪⎨⎪<+⎪⎩的解，但不是方程2320x x -+=的实数解的概率为（ ）． A ．17 B ．27 C ．37 D ．4710．若m 是关于x 的方程250ax bx ++=的一个解，则27(am bm +-= )A ．-2B ．1C ．-12D ．1211．若一元二次方程ax 2-bx-2015=0有一根为x=-1，则a+b=________．12．定义2*2a b a b +=，则方程()()22**2x x x x -=的解为________． 13．关于 x 的方程（ m ﹣3）27mx -﹣x+9=0是一元二次方程，则m=_____． 14．关于x 的方程（m ﹣2）22m x -﹣x+3=0是一元二次方程，则m=_____．15．方程25x 2x 110--=的解为________．16．填写解方程3x(x+5)=5(x+5)的过程解：3x(x+5)__________=0(x+5)__________=0x+5=__________或__________=0∴x 1=__________,x 2=__________17．把方程3x 2－6x ＋1＝0化成(x ＋m)2＝n 的形式，则是___________．18．当2x 和4x --互为相反数时，x =________．19．已知250x y -=，则x+yy ＝______ ; 方程2x =2x 的解是_________。
中考数学复习专项提升练习：一元二次方程(含答案)
中考数学复习专项提升练习：一元二次方程一、选择题1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）A．2x2+x=1x−5B．x2−3x+2C．−5x2+3y−2=0D．y2=162．用配方法解一元二次方程式x2+4x-5=0，此方程可变形为（ ）A．（x+2）2=9B．（x-2）2=9C．（x+2）2=1D．（x-2）2=13．已知3x2=12，则x的值为（ ）A．4B．9C．2D．±24．关于x的一元二次方程(a−2)x2+x+a2−4=0的一个根是0，则a的值为（ ）A．2B．−2C．2或−2D．05．如果关于x的一元二次方程k2x2−(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）A．k>－14B．k>－14且k≠0C．k<－14D．k≥－14且k≠06．设一元二次方程x2−3x+2=0的两根为x1,x2，则x1+x2−x1x2的值为（ ）A．1B．−1C．0D．37．据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ）A．3.2(1−x)2=3.7B．3.2(1+x)2=3.7C．3.7(1−x)2=3.2D．3.7(1+x)2=3.28．已知α，β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足1α+1β=−1 ，则m的值是（ ）A．3B．1C．3或−1D．−3或1二、填空题9．m＝ 时，关于x的方程(m+1)x m2+1+mx+5=0是一元二次方程．10．已知一元二次方程x2+mx+1=0有两个相等的实数根，则m的值为 ．11．三角形的两边长分别为6和8，第二边长是方程x2−12x+20=0的一个实根，则第三边长为 ．12．已知α，β是一元二次方程x2−2023x−2024=0的两个根，则α2−2024α−β的值等于 . 13．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1640张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为 ．三、解答题14．解方程：（1）3x2−10x+6=0；（2）5(x+3)2=2(x+3)．15．已知关于x的一元二次方程x2−(m+3)x+3m=0．（1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；（2）若一元二次方程的两根为x1，x2，且满足x21+x22−x1x2=19，求m的值．16．方程14x2−kx+k2+2k−3=0是关于x的一元二次方程．（1）若这个方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若等腰三角形ABC的三边分别用a、b、c表示，其中一边a长为4，另外两边b、c长恰好是这方程的两个根，求△ABC的周长．17．如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．18．某租赁公司拥有80辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为300元时，可全部租出．每辆车的日租金每增加5元，未租出的车将增加1辆．租出的车每辆每天的维护费为15元，未租出的车每辆每天的维护费为5 元．（1）当每辆车的日租金定为300元时，公司的当日日收益（租金收入扣除维护费）是多少元？（2）当每辆车的日租金定为360元时，能租出多少辆？（3）当每辆车的日租金定为多少元时，租赁公司的日收益（租金收入扣除维护费）可达23360元？参考答案1．D2．A3．D4．B5．B6．A7．B8．A9．110．±211．1012．113．（x﹣1）x=164014．（1）解：3x2−10x+6=0，∵a=3，b=−10，c=6，∴b2−4ac=(−10)2−4×3×6=28>0，∴x=−b±b2−4ac2a =10±286=5±73，∴x1=5+73，x2=5−73；（2）解：5(x+3)2=2(x+3)，5(x+3)2−2(x+3)=0，(x+3)(5x+13)=0，x+3=0或5x+13=0，解得x1=−3，x2=−135．15．（1）证明：∵Δ=b2−4ac =[−(m+3)]2−12m=m2+6m+9−12m=m2−6m+9=(m−3)2；又∵(m−3)2≥0，∴b2−4ac≥0，∴无论m取任何实数，方程总有实数根；（2）解：∵x1+x2=m+3，x1⋅x2=3m，x21+x22−x1x2=19，∴(x1+x2)2−3x1x2=19，∴(m+3)2−3×3m=19，整理得m2−3m−10=0，解得m=5或m=−2，故m的值为5或−2．16．（1）解：∵方程14x2−kx+k2+2k−3=0有两个不相等的实数根∴Δ=b2−4ac=(−k)2−4×14(k2+2k−3)>0解得：k<32（2）解：①当b=c时，则Δ=b2−4ac=(−k)2−4×14(k2+2k−3)=0，解得k=32，把k=32代入原方程得：14x2−32x+94=0方程可化为x2−6x+9=0解方程得x1=x2=3，所以b=c=3，△ABC的周长=4+3+3=10；②当a=b=4或a=c=4时，把x=4代入方程14x2−kx+k2+2k−3=0，可解得k=1当k=1时，方程化为14x2−x=0，解得x1=0，x2=4．x1=0即为c=0或b=0，不符合题意，舍去。
2020初中数学一元二次方程的解法能力提升练习题(附答案)
2020初中数学一元二次方程的解法能力提升练习题（附答案）1．若分式22632x x x x ---+的值为0，则x 的值为（ ） A ．3或﹣2 B ．3 C ．﹣2 D ．﹣3或22．在解答“一元二次方程211022x x a -+=的根的判别式为 ”的过程中，某班同学的作业中出现了下面几种答案，其中正确的答案是 （ ） A ．1204a -≥； B ．124a -； C ．180a -≥； D ．18a -．3．已知2222(1)()6m n m n --+=-，则m 2+n 2的值是（ ）A ．3B ．3或-2C ．2或-3D ．24．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．x 2+2x=x 2﹣1B ．ax 2+bx+c=0C ．x （x ﹣1）=1D ．3x 2﹣2xy ﹣5y 2=05．下列给出的四个命题：①若a b = ，则a a b b =；②若a 2﹣5a+5=01a =- ；③(1a -=④若方程x 2+px+q=0的两个实根中有且只有一个根为0，那么p≠0，q=0．其中是真命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④6．用配方法解一元二次方程x 2﹣6x+5=0，此方程可化为（ ）A ．2x-3=4（）B ．2x-3=14（）C ．2x+3=4（）D ．2x+3=14（）7．若关于x 的方程x 2+2x+a=0不存在实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＜1B ．a ＞1C ．a≤1D ．a≥18．方程4x 2=5x+2化为一般形式后的二次项、一次项、常数项分别是（ ）A ．4x 2, 5x, 2B ．-4x 2, -5x, -2C ．4x 2 , -5x,, -2D ．4x 2, -5x, 29．用配方法解方程2410x x -+= 时，配方后所得的方程是( )A ．2(2)1x -=B ．2(2)1x -=-10．把方程 13x 2﹣x ﹣5=0，化成（x+m ）2=n 的形式得（ ） A ．（x ﹣ 32）2= 294 B ．（x ﹣ 32）2= 272 C ．（x ﹣ 32）2= 514 D ．（x ﹣ 32）2= 69411．x 的一元二次方程1(1)(2)30n n x n x n +++-+=中，一次项系数是______.12．一元二次方程2(2)63x x -=-的解为__________13．若一元二次方程ax 2=b （ab ＞0）的两个根分别是2m +与25m -，则b a=________. 14．根据下表得知，方程x 2+2x ﹣10=0的一个近似解为x≈_____（精确到0.1）15．若关于x 的方程260x mx -+=的一个根为12x =，则另一个根2x =__________． 16．若m 、2m ﹣1均为关于x 的一元二次方程x 2=a 的根，则常数a 的值为________． 17．关于m 22720--=nm n m 的一个根为2，则22=-+n n ____． 18．若方程2980kx x -+=的一个根为1，则k =________，另一个根为________。
2020-2021中考数学一元二次方程组提高练习题压轴题训练含详细答案
2020-2021中考数学一元二次方程组提高练习题压轴题训练含详细答案一、一元二次方程1．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点．己知函数222(3)y x mx m =--+(m m 为常数)． （1）当m =0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点；（3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且121114xx +=-，此时函数图象与x 轴的交点分 别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式． 【答案】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．（2）见解析,（3）AM 的解析式为112y x =--． 【解析】【分析】（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式【详解】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．（2）令y=0，得△=∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根． 即无论m 取何值，该函数总有两个零点．（3）依题意有，由解得．∴函数的解析式为． 令y=0，解得∴A()，B(4,0) 作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’，则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）．连结CB’，则∠BCD=45°∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°∴∠BCB’=90°即B’（106-，）设直线AB’的解析式为y kx b =+，则20{106k b k b -+=+=-，解得112k b =-=-， ∴直线AB’的解析式为112y x =--， 即AM 的解析式为112y x =--．2．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上．①当PA ⊥NA ，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标；②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 2﹣1，2）；②P （﹣32，154） 【解析】试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0{312a b c c b a ++==-=-，解得：1{23a b c =-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得x=21-（舍去）或x=21--，∴点P （21--，2）；②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形 =12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P （32-，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．3．如图，在△ABC 中，AB ＝6cm ，BC ＝7cm ，∠ABC ＝30°，点P 从A 点出发，以1cm/s 的速度向B 点移动，点Q 从B 点出发，以2cm/s 的速度向C 点移动．如果P 、Q 两点同时出发，经过几秒后△PBQ 的面积等于4cm 2？【答案】经过2秒后△PBQ 的面积等于4cm 2．【解析】【分析】作出辅助线，过点Q 作QE ⊥PB 于E ，即可得出S △PQB =12×PB×QE ，有P 、Q 点的移动速度，设时间为t 秒时，可以得出PB 、QE 关于t 的表达式，代入面积公式，即可得出答案．【详解】解：如图，过点Q 作QE ⊥PB 于E ，则∠QEB ＝90°．∵∠ABC ＝30°，∴2QE ＝QB ．∴S △PQB ＝12•PB•QE ． 设经过t 秒后△PBQ 的面积等于4cm 2，则PB ＝6﹣t ，QB ＝2t ，QE ＝t ．根据题意，12•（6﹣t ）•t ＝4． t 2﹣6t+8＝0．t 2＝2，t 2＝4． 当t ＝4时，2t ＝8，8＞7，不合题意舍去，取t ＝2．答：经过2秒后△PBQ 的面积等于4cm 2．【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去．4．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？【答案】存在，n=0.【解析】【分析】在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n，要注意n的值要使方程②的根是整数.【详解】若存在n满足题意.设x1，x2是方程①的两个根，则x1+x2=2n，x1x2=324n+-，所以(x1-x2)2=4n2+3n+2，由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0，①若4n2+3n+2=-n+1，解得n=-12，但1-n=32不是整数，舍.②若4n2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14 (舍)，综上所述，n=0.5．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg时，用油的重复利用率为61.6%．①润滑用油量为80kg，用油量的重复利用率为多少？②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？【答案】（1）28（2）①76%②75，84%【解析】试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；（2）①利用润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案；②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，得出等式求出答案．试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg）；（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；②设润滑用油量是x千克，则x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x）]}=12，整理得：x2﹣65x﹣750=0，（x﹣75）（x+10）=0，解得：x1=75，x2=﹣10（舍去），60%+1.6%（90﹣x）=84%，答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．考点：一元二次方程的应用6． ∵1.7×35=59.5，1.7×80=136＜151∴这家酒店四月份用水量不超过m 吨（或水费是按y=1.7x 来计算的），五月份用水量超过m 吨（或水费是按来计算的） 则有151=1.7×80+（80－m ）×即m 2－80m+1500=0解得m 1=30，m 2=50．又∵四月份用水量为35吨，m 1=30＜35，∴m 1=30舍去．∴m=50【解析】7．已知两条线段长分别是一元二次方程28120x x -+=的两根，（1）解方程求两条线段的长。
华师大版2020九年级数学上册第22章一元二次方程单元综合能力提升训练题3(附答案详解)
华师大版2020九年级数学上册第22章一元二次方程单元综合能力提升训练题3（附答案详解）1．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．223x x y +-=B ．23123x x -=C ．2x x =D ．41x =2．下列一元二次方程有解的是（ ）A ．2(1)2x +=-B ．2(3)10x ++=C ．220x -+=D ．2350x x ++= 3．用配方法解一元二次方程22310x x --=，配方正确的是（ ）．A ．2317416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ B ．23142x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C ．231324x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ D ．231124x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 4．关于x 的一元二次方程﹣x 2+3x +2＝0，下列说法正确的是（ ）A ．有两个不等实数根B ．没有实数根C ．有一个实数根D ．有两个相等的实数根5．若关于x 的方程：2(2)210m x x -+-=有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m 1≥且2m ≠B ．m 1≥C ．1m 月2m ≠D ．12m <≤6．两年前生产1t 某种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1t 该种药品的成本是3000元，若设该药品成本的年平均下降率为x ，则可列方程为（ ） A ．5000(1)3000x +=B ．25000(1)3000x -=C ．25000(1)3000x -=D ．5000(1)3000x -=7．若mn 、是方程2201810x x +-=的两个根，则22m n mn mn +-=（ ） A ．－2018 B ．2018 C ．－2019 D ．20198．一元二次方程（x +1）（x ﹣3）＝x ﹣3根是（ ）A ．0B ．3或﹣1C ．3D ．3或09．若a ，β是一元二次方程x 2－3x －6＝0的两根，则a ＋β的值是（ ）A ．－6B ．－3C ．3D ．610．三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程216600x x -+=的一个实数根，则该三角形的面积是( )11．计算2222018-2018-1220192018-2018-122019 3-201812323⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭的结果等于（）A．-2017 B．-2018 C．-2019 D．201912．下列不是一元二次方程的是（）A．23x=B．2210x+=C．()223531x x+=-D．2331x x=+ 13．将一元二次方程x2-8x-1＝0配方得___________________．14．学校打算用长16m的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小动物，生物园的一面靠墙（如图），面积是30m2，求生物园的长和宽．设生物园的宽（与墙相邻的一边）为x m，则列出的方程为___________．15．已知方程27100x x-+=的一个根是2，这个方程的另一个根是____．16．m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，则式子2m2+3m+2019的值为_______．17．已知关于x的一元二次方程2210kx x+-=有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是______．18．设a为一元二次方程22320200x x+-=的一个实数根，则2462a a++=__________．19．关于x的一元二次方程ax2﹣bx+3＝0的一个根为x＝2，则代数式4b﹣8a+3的值为_____．20．若m是方程2x2﹣3x﹣12＝0的一个根，则4m2﹣6m+2018的值为_____．21．由于某型病毒的影响，某地区猪肉价格连续两个月大幅下降．由原来每斤20元下调到每斤13元，设平均每个月下调的百分率为x，则根据题意可列方程为________．22．解分式方程2xx1-+2x1x-=43时，设2xx1-=y，则原方程化为关于y的整式方程是______．23．若一元二次方程20x x m--=有两个不相等的实数根12,x x，且满足12112x x+=-，则m的值是__．24．某村有一人患了登革热，经过两轮传染后共有144人患了登革热，每轮传染中平均一个人传染了__________个人．25．问题提出：某校要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型：（1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把他们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成5×4条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排场比赛．（2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排__________场比赛；…………（3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排___________场比赛．实际应用：（4）9月1日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上42位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手________________次．拓展提高：（5）往返于青岛和济南的同一辆高速列车，中途经青岛北站、潍坊、青州、淄博4个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为__________种．26．梭梭树因其顽强的生命力和防风固沙的作用，被称为“沙漠植被之王”.新疆北部某沙漠2016年有16万亩梭梭树，经过两年的人工种植和自然繁殖，2018年达到25万亩.按这两年的平均增长率，请估计2019年该沙漠梭梭树的面积.27．已知关于x 的一元二次方程2640x x m -++=有两个实数根12,x x ．（1）求m 的取值范围；（2）若12,x x 满足1232x x -=，求m 的值．28．每年的3月15日是“国际消费者权益日”，许多家居商城都会利用这个契机进行打折促销活动.甲卖家的某款沙发每套成本为5000元，在标价8000元的基础上打9折销售. （1）现在甲卖家欲继续降价吸引买主，问最多降价多少元，才能使利润率不低于20%？ （2）据媒体爆料，有一些卖家先提高商品价格后再降价促销，存在欺诈行为.乙卖家也销售相同的沙发，其成本、标价与甲卖家一致，以前每周可售出8套，现乙卖家先将标价提高%m ，再大幅降价40m 元，使得这款沙发在3月15日那一天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加了1%2m ，这样一天的利润达到了50000元，求m 的值. 29．为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A 、B 两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A 、B 两个品种各种植了10亩．收获后A 、B 两个品种的售价均为2.4元/kg ，且B 品种的平均亩产量比A 品种高100千克，A 、B 两个品种全部售出后总收入为21600元．（1）求A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A 、B 两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a %和2a %．由于B 品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a %，而A 品种的售价保持不变，A 、B 两个品种全部售出后总收人将增加20%9a ，求a 的值． 30．解方程（1）2x 2﹣6x ﹣1＝0（2）（x +5）2＝6（x +5）31．解方程：x 2+4x ﹣7＝0．32． 关于x 的一元二次方程x 2-（k+3）x+2k+2=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根小于-3，求k 的取值范围．33．已知多项式()()2219A x x x =++--．（1）化简多项式A 时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程．在标出①②③④的几项中出现错误的是__________；请写出正确的解答过程．（2）小亮说：“只要给出221x x -+的合理的值，即可求出多项式A 的值．”小明给出221x x -+值为4，请你求出此时A 的值．小明的作业解：()()2219A x x x =++--22 2 4 9x x x x =+++--①② ③④35x =-34．用适当方法解方程：-x(x -3)=2(x -3)35．解方程:(1)x 2+x-3=0(2)x 2-6x=16(3)2(x-3)=3x(x-3)36．解下列方程：（1）23510x x -+=（配方法） （2）()()315x x +-=（公式法）参考答案1．C【解析】【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．【详解】A. 223x x y +-=含有两个未知数，不是一元二次方程B. 23123x x -=是分式方程， C. 2x x =是一元二次方程，D. 41x =是一元四次方程；故选：C ．【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2．C【解析】【分析】根据直接开平方法的条件以及根的判别式可得结果.【详解】解：A 、2(1)2x +=-，方程左边为非负数，右边为负数，故无解，本选项不符合题意；B 、2(3)10x ++=化为2(3)=1x +-，方程左边为非负数，右边为负数，故无解，本选项不符合题意；C 、220x -+=化为22x =，方程左边为非负数，右边为2，故有解，本选项符合题意；D 、2350x x ++=，判别式32-4×1×5=-11＜0，故方程无解，本选项不符合题意； 故选C.【点睛】本题考查了一元一次方程根的情况，根据方程的形式以及判别式判断方程解的情况是解题的关键.3．A【解析】【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案.【详解】解：22310x x --=移项得2231x x -=，二次项系数化1的23122x x -=， 配方得22233132424x x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即2317416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 故选：A【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．4．A【解析】【分析】根据判别式与0的关系判断方程的实数根.【详解】∆=24b ac -=234(1)217-⨯-⨯=∵17>0∴关于x 的一元二次方程﹣x 2+3x +2＝0有两个不等实数根，故选A.【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，根据判别式与0的关系判断方程根的情况.5．B【分析】当m−2＝0，关于x 的方程2(2)210m x x -+-=有一个实数根，当m−2≠0时，列不等式即可得到结论．【详解】当m−2＝0，即m ＝2时，关于x 的方程2(2)210m x x -+-=有一个实数根，当m−2≠0时，∵关于x 的方程2(2)210m x x -+-=有实数根，∴△＝22+4（m−2）×1≥0，解得：m ≥1，∴m 的取值范围是m ≥1，故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据根的判别式和已知得出不等式是解此题的关键．6．C【解析】【分析】若这种药品的年平均下降率为x ，则现在的成本为25000(1)-x ，又现在成本为3000元，故由此即可列出方程．【详解】解：设这种药品的年平均下降率为x ，5000(1-x )2=3000．故选：C ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，考查一元二次方程的增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键7．D【分析】根据根与系数的关系得到m ＋n ＝−2018，mn ＝−1，把22m n mn mn +-=分解因式得到mn （m ＋n−1），然后利用整体代入的方法计算．【详解】∵m 、n 是方程2201810x x +-=的两个根，∴m ＋n ＝−2018，mn ＝−1，则原式＝mn （m ＋n−1）＝−1×（−2018−1）＝−1×（−2019）＝2019，故选D ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为x 1与x 2，则x 1＋x 2＝−b a ，x 1•x 2＝c a ．解题时要注意这两个关系的合理应用． 8．D【解析】【分析】先移项得到（x +1）（x ﹣3）﹣（x ﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程．【详解】∵（x +1）（x ﹣3）﹣（x ﹣3）＝0，∴x （x ﹣3）＝0，则x ＝0或x ﹣3＝0，解得：x 1＝0，x 2＝3，故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程－因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键. 9．C【解析】【分析】根据已知，直接利用根与系数的关系12b x x a+=-求解即可. 【详解】∵a ，β是一元二次方程x 2－3x －6＝0的两根，∴由根与系数的关系，得：3αβ+=， 故选：C .【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解答的关键. 10．D【解析】【分析】先利用因式分解法解方程得到所以16x =，210x =，再分类讨论：当第三边长为6时，如图，在ABC ∆中，6AB AC ==，8BC =，作AD BC ⊥，则4BD CD ==，利用勾股定理计算出25AD =，接着计算三角形面积公式；当第三边长为10时，利用勾股定理的逆定理可判断此三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式计算三角形面积．【详解】解：216600x x -+= (6)(10)0x x --=，60x -=或100x -=，所以16x =，210x =，I ．当第三边长为6时，如图，在ABC ∆中，6AB AC ==，8BC =，作AD BC ⊥，则4BD CD ==，22226425AD AB BD =-=-所以该三角形的面积182=⨯⨯= II ．当第三边长为10时，由于2226810+=，此三角形为直角三角形， 所以该三角形的面积186242=⨯⨯=， 综上所述：该三角形的面积为24或．故选：D ．【点睛】本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．11．B【解析】【分析】是23201820190x x -+=的一个根，据此可求解．【详解】是23201820190x x -+=的一个根，∴201823x =⨯是2320182019x x -=-的一个根，则23-201812323⎛⎛⨯⨯+ ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭2320181x x =-+ 20191=-+2018=-．故选：B ．【点睛】本题考查了方程的解以及一元二次方程的求根公式，求得x =是23201820190x x -+=的一个根是解题的关键．12．C【解析】【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）是整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2；（4）二次项系数不为0．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】解：A 、正确，符合一元二次方程的定义；B 、正确，符合一元二次方程的定义；C 、错误，整理后不含未知数，不是方程；D 、正确，符合一元二次方程的定义．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．13．（x -4）2 =17【解析】【分析】先移项，然后根据完全平方公式配方即可【详解】解：x 2-8x -1＝0x 2-8x ＝1x 2-8x +16＝1+16（x -4）2 =17故答案为：（x -4）2 =17．【点睛】此题考查的是配方法，掌握完全平方公式是解决此题的关键．14．x （16-2x ）=30【解析】【分析】先根据篱笆的总长求出生物园的长，再根据长方形的面积公式即可得．【详解】由题意得：生物园的长为(162)x m -则由长方形的面积公式得：(162)30x x -=故答案为：(162)30x x -=．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意，正确求出生物园的长是解题关键． 15．5【解析】【分析】设方程的另一个根为x ，根据根与系数的关系得到2•x =10，然后解x 的一次方程即可．【详解】设方程的另一个根为x ，根据题意得2•x =10，解得x =5，即方程的另一个根为5．故答案是：5．【点睛】考查了根与系数的关系：若12,x x 是一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两根时，1212,b c x x x x a a+=-=． 16．2020【解析】【分析】先根据一元二次方程根的定义得到22310m m +-=，则2231m m +=，然后利用整体代入得方法计算即可．【详解】∵m 是方程2x 2+3x ﹣1＝0的根，∴22310m m +-=，∴2231m m +=，∴2m 2+3m+2019=2232019120192020m m ++=+=.故答案为：2020.【点睛】此题考查一元二次方程的解，解题关键在于利用整体代入得方法计算即可．17．1k >-且0k ≠【解析】【分析】根据判别式对一元二次方程根的影响情况进行列式解答即可.【详解】∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根∴k≠0且22=4240b ac k -=+>解得k≠0，1k >-∴答案为k≠0且k>-1.【点睛】本题考查的是判别式对一元二次方程根的影响，知道关于x 的方程是一元二次方程的前提是k≠，且一元二次方程有两个根的条件是判别式大于0是解题的关键.18．4042【解析】【分析】由题意，得到2232020a a +=，然后整体代入，即可得到答案．【详解】解：∵a 为一元二次方程22320200x x +-=的一个实数根，∴2232020a a +=，∴224622(23)22202024042a a a a ++=++=⨯+=；故答案为：4042．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，以及整体代入法求代数式的值，解题的关键是正确得到2232020a a+=．19．9．【解析】【分析】由已知可得4a﹣2b+3＝0，再将所求式子化为﹣2（4a﹣2b）+3，最后整体代入即可．【详解】解：∵x＝2是方程ax2﹣bx+3＝0的根，∴4a﹣2b+3＝0，423a b∴-=-．∵4b﹣8a+3＝﹣8a+4b+3＝﹣2（4a﹣2b）+3，∴4b﹣8a+3＝﹣2×（﹣3）+3＝9，故答案为：9．【点睛】本题主要考查一元二次方程的根和代数式求值，掌握一元二次方程的根的概念和整体代入法是解题的关键．20．2019【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．【详解】由题意可知：2m2-3m-12=0，∴2m2-3m=12，∴原式=2（2m2-3m）+2018=2019．故答案为：2019．【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．21．220(1x)13-=【解析】【分析】设平均每次下调的百分率为x ，根据“由原来每斤20元下调到每斤13元”，即可得出方程．【详解】解：设平均每次下调的百分率为x ，则第一次每斤的价格为：20（1-x ），第二次每斤的价格为20（1-x ）2=13；所以，可列方程：20（1-x ）2=13．故答案为：20（1-x ）2=13．【点睛】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b.22．y 2-43y+1=0 【解析】【分析】根据换元法，可得答案．【详解】 解：设2x x 1-=y ，则原方程化为y+1y -43=0 两边都乘以y ，得y 2-43y+1=0， 故答案为：y 2-43y+1=0． 【点睛】本题考查了解分式方程，利用换元法是解题关键．23．12【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到x 1+x 2＝1，x 1x 2＝﹣m ，根据“1211+x x ＝﹣2”，整理代入，得到关于m 的分式方程，解之即可．【详解】解：根据题意得：x 1+x 2＝1，x 1x 2＝﹣m ，1211+x x ＝1212x x x x + ＝﹣1m＝﹣2， 则1m＝2， 解得：m ＝12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 24．11【解析】【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意列方程求解即可．【详解】设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，由题意得()21+144x =解得1211,13x x ==-∵0x >∴11x =故答案为：11．【点睛】本题考查了一元二次方程的传播问题，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．25．（1）10，10；（2）15；（3）()21n n -；（4）861；（5）30【解析】【分析】 （1）根据图①线段数量进行作答．（2）根据图②线段数量进行作答．（3）根据每个点存在n-1条与其他点的连线，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，提出假设，当56n =， 时均成立，假设成立．（4）根据题意，代入()21n n -求解即可．（5）根据题意，代入()1n n ⨯-求解即可．【详解】（1）由图①可知，图中共有10条线段，所以该校一共要安排10场比赛．（2）由图②可知，图中共有15条线段，所以该校一共要安排15场比赛．（3）根据图①和图②可知，若学校有n 支足球队进行单循环比赛，则每个点存在n-1条与其他点的连线，而每两个点之间的线段都重复计算了一次∴若学校有n 支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排()21n n -场比赛．当56n =， 时均成立，所以假设成立．（4）将n=42代入关系式中()()42421861221n n ⨯-=-= ∴全班同学总共握手861次．（5）因为行车往返存在方向性，所以不需要除去每两个点之间的线段都重复计算了一次的情况将n=6代入()1n n ⨯- 中解得()()166130n n ⨯-=⨯-=∴要准备车票的种数为30种．【点睛】本题考查了归纳总结和配对问题，求出关于n 的关系式，再根据实际情况讨论是解题的关键．26．31.25万亩【解析】【分析】根据题意可得等量关系: 2016年的梭梭树面积⨯ (1+增长率) 2=2018年的亩梭梭数面积，根据等量关系列出方程即可算出增长率，即可算出2019年该沙漠梭梭树的面积.【详解】解：设这两年的年平均增长率为x ，依题意得：()216125x += 解方程，得194x =- （不合题意，舍去），214x = 所以估计2019年该沙漠梭梭树的面积为125131.254⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭（万亩） 答:估计2019年该沙漠梭梭树的面积约为31.25万亩【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为2(1).a x b ±= 27．（1）5m ≤；（2）4【解析】【分析】（1）根据题意原方程有两个实数根，即其根的判别式大于或等于零，由此进一步列出关于m 的不等式求解即可； （2）根据根与系数的关系得出126x x +=，124x x m ⋅=+，据此结合1232x x -=先求出1x ，2x 的值，然后进一步代入124x x m ⋅=+求出m 的值即可.【详解】（1）∵原方程有两个实数根，∴()()26440m =--+≥，解得：5m ≤；（2）∵1x ，2x 是原方程的根，∴126x x +=，124x x m ⋅=+又∵1232x x -=，∴12x =，24x =，∴424m +=⨯，∴4m =.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.28．（1）1200；（2）50【解析】【分析】（1）设降价x 元，才能使利润率不低于20%，根据售价-成本=利润，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，取其最大值即可得出结论；（2）根据总利润=单套利润×销售数量，即可得出关于m 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：（1）设降价x 元，才能使利润率不低于20%，根据题意得：80000.95000500020%x ⨯--≥⨯，解得：1200x ≤．答：最多降价1200元，才能使利润率不低于20%．（2）根据题意得：[]18000(1%)40500081%500002m m m ⎛⎫+--⨯+= ⎪⎝⎭整理得：2275162500m m +-=，解得：150m =，2325m =-（不合题意，舍去）．答：m 的值为50．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．29．（1）A 品种去年平均亩产量是400、B 品种去年平均亩产量是500千克；（2）10．【解析】【分析】（1）设A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是x 、y 千克，根据题意列出方程组，解方程组即可得到答案；（2）根据题意分别表示A 品种、B 品种今年的收入，利用总收入等于A 品种、B 品种今年的收入之和，列出一元二次方程求解即可得到答案．【详解】（1）设A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是x 、y 千克，由题意得1002.410 2.41021600y x x y =+⎧⎨⨯+⨯=⎩， 解得400500x y =⎧⎨=⎩． 答：A ．B 两个品种去年平均亩产量分别是400、500千克（2）根据题意得：()()()20244001%241%50012%216001%9a a a a ⎛⎫⨯+++⨯+=+ ⎪⎝⎭． 令a %=m ，则方程化为：()()()20244001241500122160019m m m m ⎛⎫⨯+++⨯+=+⎪⎝⎭． 整理得10m 2-m =0，解得：m 1=0（不合题意，舍去），m 2=0.1所以a %=0.1，所以a =10，答：a 的值为10．【点睛】 本题考查的是二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，掌握列方程或方程组解应用题的方法与步骤是解题的关键．30．（1）32x ±=；（2）x ＝﹣5或x ＝1． 【解析】【分析】（1）利用公式法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【详解】（1）∵a =2，b =﹣6，c =﹣1，∴△=(﹣6)2﹣4×2×(﹣1)=44＞0，则x 6342±==； （2）∵(x +5)2﹣6(x +5)=0，∴(x +5)(x ﹣1)=0，则x +5=0或x ﹣1=0，解得：x =﹣5或x =1．【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解答本题的关键．31．12x =﹣22x =﹣【解析】【分析】首先把方程移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．【详解】2470x x +=﹣，移项得：247x x +=，配方得：24474x x ++=+，即：2(2)11x +=，解得2x +=：即12x =﹣22x =﹣【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成2()x m n +=的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．32．（1）详见解析；（2）k ＜-4．【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△=（k-1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x 1=2、x 2=k+1，根据方程有一根小于-3，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围．【详解】（1）证明：∵在方程x 2-（k+3）x+2k+2=0中，△=[-（k+3）]2-4×1×（2k+2）=k 2-2k+1=（k-1）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x 2-（k+3）x+2k+2=0，∴（x-2）（x-k-1）=0，∴x 1=2，x 2=k+1．∵方程有一根小于-3，∴k+1＜-3，解得：k ＜-4，∴k 的取值范围为k ＜-4．【点睛】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于-3，找出关于k 的一元一次不等式．33．（1）①，见解析；（2）此时A 的值为10或10-．【解析】【分析】（1）根据整式的乘法、加减法即可得；（2）先利用直接开方法解一元二次方程求出x 的值，再代入（1）中的化简结果即可得．【详解】（1）出现错误的是①，正确的解答过程如下：22449A x x x x =+++--55x =-；（2）2214x x -+=()214x -=12x -=或12x -=-3x ∴=或1x =-方法一：当3x =时，53510A =⨯-=当1x =-时，()51510A =⨯--=-方法二：当12x -=时，()515210A x =-=⨯=当12x -=-时，()()515210A x =-=⨯-=-综上，此时A 的值为10或10-．【点睛】本题考查了整式的乘法、加减法、解一元二次方程等知识点，掌握各运算法则和方程解法是解题关键．34．1223x x =-=，【解析】【分析】先将方程化简【详解】解：2326x x x -+=-化简得260x x --=(2)(3)0x x +-=解得1223x x =-=，.【点睛】本题考查了一元二次方程，其解法有直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，根据方程的特点选择合适的方法是解题的关键.35．(1) x 1=12-，x 2=12+- (2) x 1=8，x 2=-2(3) x 1=3，x 2=23 【解析】【分析】（1）根据公式法即可求解；（2）根据因式分解法即可求解；（3）根据因式分解法即可求解；【详解】(1)x 2+x-3=0a=1,b=1,c=-3∴△=1+12=13＞0∴x=12-±∴x 1x 2=； (2)x 2-6x=16x 2-6x-16=0（x-8）（x+2）=0∴x-8=0或x+2=0解得x 1=8，x 2=-2；(3)2(x-3)=3x(x-3)2(x-3)-3x(x-3)=0(x-3) (2-3x)=0∴x-3=0或2-3x=0解得x 1=3，x 2=23． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知方程的解法．36．（1）156x +=，256x = （2）14x =-，22x =【解析】【分析】（1）根据配方法即可求解；（2）先化为一般式，再利用公式法即可求解．【详解】（1）23510x x -+= 251033x x -+= 25133x x -=- 2525125336336x x -+=-+ 2513()636x -=56x -=∴1x =2x = （2）()()315x x +-=2235x x +-=2280x x +-=故a=1，b=2，c=-8∴△=4+32=36∴x ==262-± ∴x 1=-4，22x =．【点睛】 此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知其解法的运用．。
2020-2021中考数学提高题专题复习一元二次方程组练习题附详细答案
2020-2021中考数学提高题专题复习一元二次方程组练习题附详细答案一、一元二次方程1．解方程：（2x+1）2=2x+1．【答案】x=0或x=1 2 .【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0，∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x（2x+1）=0，则x=0或2x+1=0，解得：x=0或x=﹣12．2．解方程：（3x+1）2=9x+3．【答案】x1=﹣13，x2=23．【解析】试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，可得3x+1=0或3x﹣2=0，解得：x1=﹣13，x2=23．点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.3．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC和△DEF，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF 的斜边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：①∠FCD的最大度数为；②当FC∥AB时，AD= ；③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;④△FCD的面积s的取值范围是 .【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.∵CD=10，∴AD=2.（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.∵AC=12，∴AD=.③如图，过点F作FH⊥AC于点H，设AD=x，由②知DH=3，FH=，则HC=.在Rt△CFH中，根据勾股定理，得.∵以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边，∴，即，解得.④设AD=x ，易知，即. 而，当时，；当时，.∴△FCD 的面积s 的取值范围是.考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.4．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ?【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m 【解析】 【分析】根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答. 【详解】解:设绿化区宽为y ，则由题意得502302x y -=-.即10y x =-列方程: 50304(10)1344x x ⨯--= 解得13x =- (舍)，213x =.∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m 【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．5．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x 元（40≤x ≤60），每星期的销售量为y 箱． （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？ （3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元? 【答案】(1)y =-10x +780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元 【解析】 【分析】（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x 元,则多销售的数量为60-x, （2）解一元二次方程即可求解,（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解. 【详解】解：（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设该苹果每箱售价x 元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x ）=-10x+780,(40≤x≤60), (2)依题意得：（x-40）(-10x+780)=3570, 解得：x=57,∴当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元. （3）设每星期的利润为w ，W=（x-40）(-10x+780)=-10（x-59）2+3610, ∵-10<0,二次函数向下,函数有最大值, 当x=59时, 利润最大，为3610元. 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键.6．设m 是不小于﹣1的实数，关于x 的方程x 2+2（m ﹣2）x+m 2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x 1、x 2，（1）若x 12+x 22=6，求m 值；（2）令T=121211mx mx x x +--，求T 的取值范围．【答案】（1）m=52；（2）0＜T≤4且T≠2． 【解析】 【分析】由方程方程由两个不相等的实数根求得﹣1≤m ＜1，根据根与系数的关系可得x 1+x 2=4﹣2m ，x 1•x 2=m 2﹣3m+3；（1）把x 12+x 22=6化为（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=6，代入解方程求得m 的值，根据﹣1≤m ＜1对方程的解进行取舍；（2）把T 化简为2﹣2m ，结合﹣1≤m ＜1且m≠0即可求T 得取值范围.∵方程由两个不相等的实数根，所以△=[2（m﹣2）]2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，所以m＜1，又∵m是不小于﹣1的实数，∴﹣1≤m＜1∴x1+x2=﹣2（m﹣2）=4﹣2m，x1•x2=m2﹣3m+3；（1）∵x12+x22=6，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=6，即（4﹣2m）2﹣2（m2﹣3m+3）=6整理，得m2﹣5m+2=0解得m=；∵﹣1≤m＜1所以m=．（2）T=+=====2﹣2m．∵﹣1≤m＜1且m≠0所以0＜2﹣2m≤4且m≠0即0＜T≤4且T≠2．【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．7．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣(n﹣1)＝0有两个不相等的实数根．(1)求n的取值范围；(2)若n为取值范围内的最小整数，求此方程的根．【答案】(1)n＞0；(2)x1＝0，x2＝2．【解析】(1)根据方程有两个不相等的实数根可知240b ac ∆=-> ，即可求出n 的取值范围； （2）根据题意得出n 的值，将其代入方程，即可求得答案. 【详解】(1)根据题意知，[]224(2)41(1)0b ac n ∆=-=--⨯⨯--> 解之得：0n >；(2)∵0n > 且n 为取值范围内的最小整数， ∴1n =，则方程为220x x -=， 即(2)0x x -=， 解得120,2x x ==． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，明确和掌握一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与24b ac ∆=-的关系（①当>0∆ 时，方程有两个不相等的实数根；②当0∆= 时方程有两个相等的实数根；③当∆<0 时，方程无实数根）是解题关键.8．已知关于x 的方程（a ﹣1）x 2+2x +a ﹣1＝0． （1）若该方程有一根为2，求a 的值及方程的另一根；（2）当a 为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a 的值及方程的根． 【答案】（1）a=15，方程的另一根为12；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）把x=2代入方程，求出a 的值，再把a 代入原方程，进一步解方程即可；（2）分两种情况探讨：①当a=1时，为一元一次方程；②当a≠1时，利用b 2－4ac ＝0求出a 的值，再代入解方程即可． 【详解】（1）将x ＝2代入方程2(a 1)x 2x a 10-++-=，得4(a 1)4a 10-++-=，解得：a ＝15． 将a ＝15代入原方程得24x 2054x 5-+-=，解得：x 1＝12，x 2＝2． ∴a ＝15，方程的另一根为12； （2）①当a ＝1时，方程为2x ＝0，解得：x ＝0.②当a≠1时，由b 2－4ac ＝0得4－4(a －1)2＝0，解得：a ＝2或0． 当a ＝2时， 原方程为：x 2＋2x ＋1＝0，解得：x 1＝x 2＝－1；当a＝0时，原方程为：－x2＋2x－1＝0，解得：x1＝x2＝1．综上所述，当a＝1，0，2时，方程仅有一个根，分别为0，1，－1.考点：1.一元二次方程根的判别式；2.解一元二次方程；3.分类思想的应用.9．重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫，每件成本价为20元，每天销售150件：（1）若要每天的利润不低于2250元，则销售单价至少为多少元？（2）为了回馈广大游客，同时也为了提高这种文化衫的认知度，商店决定在“五一”节当天开展促销活动，若销售单价在（1）中的最低销售价的基础上再降低m%，则日销售量可以在150件基础上增加m件，结果当天的销售额达到5670元；要使销售量尽可能大，求出m的值．【答案】（1）销售单价至少为35元；（2）m=16．【解析】试题分析：（1）根据利润的公式列出方程，再求解即可；（2）销售价为原销售价×（1﹣m%），销售量为（150+m），列出方程求解即可．试题解析：（1）设销售单价至少为x元，根据题意列方程得，150（x﹣20）=2250，解得x=35，答：销售单价至少为35元；（2）由题意得：35×（1﹣m%）（150+m）=5670，150+m﹣150×m%﹣m%×m=162，m﹣m2=12，60m﹣3m2=192，m2﹣20m+64=0，m1=4，m2=16，∵要使销售量尽可能大，∴m=16．【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．10．若两个一次函数的图象与x轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x牵手函数”，这个交点为“x牵手点”．（1）一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为；一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，则a＝；（2）已知一对“x牵手函数”：y＝ax+1与y＝bx﹣1，其中a，b为一元二次方程x2﹣kx+k﹣4＝0的两根，求它们的“x牵手点”．【答案】（1）（1，0），a＝﹣2；（2）“x牵手点”为（12-，0）或（12，0）.【解析】【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-1与x轴的交点坐标；把一次函数y=x-1与x轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a的值；（2）根据“x牵手函数”的定义得到a+b=0，根据根与系数的关系求得k=0，可得方程x2-4=0，解得x1=2，x2=-2，再分两种情况：①若a=2，b=-2，②若a=-2，b=2，进行讨论可求它们的“x牵手点”．【详解】解：（1）当y＝0时，即x﹣1＝0，所以x＝1，即一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），由于一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，所以0＝a+2，解得a＝﹣2；（2）∵y＝ax+1与y＝bx﹣1为一对“x牵手函数”∴11a b -=，∴a+b＝0．∵a，b为x2﹣kx+k﹣4＝0的两根∴a+b＝k＝0，∴x2﹣4＝0，∴x1＝2，x2＝﹣2．①若a＝2，b＝﹣2则y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1的“x牵手点”为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭；②若a＝﹣2，b＝2则y＝﹣2x+1与y＝2x﹣1的“x牵手点”为（12，0 ）∴综上所述，“x牵手点”为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭或（12，0）【点睛】本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用．11．已知关于x的方程x2﹣(k+3)x+3k＝0．(1)若该方程的一个根为1，求k的值；(2)求证：不论k取何实数，该方程总有两个实数根．【答案】(1)k＝1；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）把x＝1代入方程，即可求得k的值；（2）求出根的判别式是非负数即可.【详解】(1)把x＝1代入方程x2﹣(k+3)x+3k＝0得1﹣(k﹣3)+3k＝0，1﹣k﹣3+3k＝0解得k＝1；(2)证明：==-+=a b k c k1,(3),324∆=-b ac∴△＝(k+3)2﹣4•3k ＝(k﹣3)2≥0，所以不论k取何实数，该方程总有两个实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键.12．如图，一艘轮船以30km/h的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以10km/h的速度由东向西移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离AB=300km．（1）如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？（2）如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？（3）假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？【答案】（1）如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区．（2）经过15就会进入台风影响区；（3）【解析】【分析】（1）作出肯定回答：这艘轮船不改变航向，那么它能进入台风影响区．（2）首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可．（3）将轮船刚好进入台风影响区和刚好离开台风影响的两个时间节点相减，即能得出受影响的时间长.【详解】解：（1）如图易知AB′=300﹣10t，AC′=400﹣30t，当B′C′=200时，将受到台风影响，根据勾股定理可得：(300﹣10t)2+(400﹣30t)2=2002，整理得到：t2﹣30t+210=0，解得t由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区．（2）由（1）可知经过(15h就会进入台风影响区；（3）由（1）可知受到台风影响的时间为15h．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x的等式是解题关键．13．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a＞0，b＞0时：）2=a﹣b≥0∴a+b a=b时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）请直接写出答案：当x＞0时，x+1x的最小值为．当x＜0时，x+1x的最大值为；（2）若y=27101x xx+++，（x＞﹣1），求y的最小值；（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．【答案】（1）2；﹣2．（2）y的最小值为9；（3）四边形ABCD面积的最小值为25．【解析】【分析】（1）当x ＞0时，按照公式a +b a =b 时取等号）来计算即可；当x ＜0时，﹣x ＞0，1x-＞0，则也可以按公式a +b a =b 时取等号）来计算； （2）将y 27101x x x ++=+的分子变形，分别除以分母，展开，将含x 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，由三角形面积公式可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，用含x 的式子表示出S △AOD ，再表示出四边形的面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可．【详解】（1）当x ＞0时，x 1x +≥=2； 当x ＜0时，﹣x ＞0，1x -＞0．∵﹣x 1x -≥=2，∴则x 1x +=-（﹣x 1x -）≤﹣2，∴当x ＞0时，x 1x +的最小值为 2．当x ＜0时，x 1x +的最大值为﹣2． 故答案为：2，﹣2．（2）∵x ＞﹣1，∴x +1＞0，∴y 27101x x x ++=+()2(1)5141x x x ++++=+=（x +1）41x +++5=4+5=9，∴y 的最小值为9． （3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9 则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，∴x ：9=4：S △AOD ，∴S △AOD 36x =，∴四边形ABCD 面积=4+9+x 36x +≥=25． 当且仅当x =6时，取等号，∴四边形ABCD 面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用．14．如图，在四边形 ABCD 中， AD //BC ， C 90∠=︒ ， BC 16=， DC 12= ， AD 21= ，动点P 从点D 出发，沿线段 DA 的方向以每秒2个单位长的速度运动；动点Q 从点 C 出发，在线段 CB 上以每秒1个单位长的速度向点 B 运动；点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点 P 运动到点 A 时，点Q 随之停止运动，设运动的时间为t 秒）.（1）当 t 2=时，求 BPQ 的面积；（2）若四边形ABQP 为平行四边形，求运动时间 t . （3）当 t 为何值时，以 B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？【答案】（1）S 84=；（2）t 5= ；（3）7t 2=或163. 【解析】【分析】（1）过点P 作PM BC ⊥于M ，则PM=DC ，当t=2时，算出BQ ，求出面积即可；（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，AP BQ =，即212t 16t -=-，解出即可；（3）以 B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况，①PQ BQ =，②BP BQ =，③PB PQ =分别求出t 即可.【详解】解 ：（1）过点P 作PM BC ⊥于M ，则四边形PDCM 为矩形.∴PM DC 12==，∵QB 16t =-，当t=2时，则BQ=14， 则1S QB PM 2=⨯=12×14×12=84； （2）当四边形ABQP 是平行四边形时，AP BQ =,即212t 16t -=-：解得：t 5=∴当t 5=时，四边形ABQP 是平行四边形.（3）由图可知，CM=PD=2t ，CQ=t ，若以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，可以分为以下三种情况：①若PQ BQ =，在Rt PMQ 中，222PQ 12t =+，由22PQ BQ =得()2221216t t +=- 解得：7t 2= ；②若BP BQ =，在Rt PMB 中，()222PB 16212t =-+，由22PB BQ ?=得()()222 1621216t t -+=- ，即2332t 1440t -+=，此时，()232431447040=--⨯⨯=-<△ ,所以此方程无解，所以BP BQ ≠ ；③若PB PQ =，由22PB PQ ?=得()2222 12162t 12t +=-+ ,得 1163t =，216t =（不合题意，舍去）； 综上所述，当7t 2=或163时，以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形. 【点睛】本题是对四边形即可中动点问题的考查，熟练掌握动点中线段的表示、平行四边形和等腰三角形的性质及判断是解决本题的关键，难度适中.15．阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a 的形式。
中考数学《一元二次方程》专题复习检测试卷
中考数学《一元二次方程》专题复习检测试卷一．单项选择题（共15小题，每小题3分，共45分）1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A ．3（1+x ）2＝3x 2+7B ．3（1+x ）2＝x （3x +7）C ．px 2+x ﹣4＝x （px ﹣1）D ．2x 2＝02．若关于x 的方程mx m ﹣1+（m ﹣3）x +5＝0是一元二次方程，那么m 的值为（ ）A ．m ＝3B ．m ＝2C ．m ＝1D ．m ≠03．一元二次方程2x 2﹣2x ＝1的一次项系数和常数项依次是（ ）A ．﹣2和﹣1B ．﹣2和1C ．2和﹣1D ．2和14．如果关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2+3x +|a |﹣2＝0的常数项为0，那么a 的值一定是（ ）A ．2B ．﹣2C ．2或﹣2D ．05．已知m 是方程x 2﹣x ﹣2＝0的一个根，则代数式m 2﹣m +2022的值等于（ ）A ．2024B ．2022C ．2023D ．20216．已知x ＝﹣1是一元二次方程x 2+mx ＝3的一个解，则m 的值是（ ）A ．0或2B ．2C ．0D ．﹣27．方程x 2＝4的解是（ ）A ．±√2B ．√2C ．±2D ．28．一元二次方程x 2﹣3＝0的根是（ ）A ．x =±√3B ．x =√3C ．x ＝3D ．x ＝09．用配方法解方程x 2+7x ﹣5＝0，变形后的结果正确的是（ ）A ．(x +72)2=694 B ．(x +72)2=294 C ．(x −72)2=694 D ．(x −72)2=29410．用配方法解方程x 2+4x ﹣1＝0，配方后的方程是（ ）A ．（x +2）2＝5B ．（x ﹣2）2＝3C ．（x ﹣2）2＝5D ．（x +2）2＝311．对于实数a ，b ，定义运算“※”：a ※b ＝a 2﹣2b ，例如：5※1＝52﹣2×1＝23．若x ※x ＝﹣1，则x 的值为（ ）A ．1B ．0C ．0或1D ．1或﹣112．如果a是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的较小的根，那么下面对a的估值一定正确的是（）A．﹣1.5＜a＜﹣1B．2＜a＜3C．﹣4＜a＜﹣3D．4＜a＜513．方程（x+2）（x﹣3）＝0的解是（）A．x＝2B．x＝﹣3C．x1＝﹣2，x2＝3D．x1＝2，x2＝﹣314．一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）＝0的一个解是x＝2，则另一个解是（）A．x＝3B．x＝2C．x＝1D．无法判断15．如果y为实数，且满足等式（y2+m2）2﹣2（y2+m2）＝24，那么5（y2+m2）的值一定是（）A．6B．30C．36D．12二．填空题（共10小题，每小题3分，共30分）16．若关于x的方程（m+1）x m2+1−3x+2＝0是一元二次方程，则m的值是________．17．将一元二次方程2x2＝5x﹣3化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为________．18．关于x的方程x2+kx+2＝0的一个根是1，则k＝________．19．方程x2﹣5＝0的根是．20．下面是某同学解方程x2+6x﹣16＝0的部分运算过程：解：移项，得x2+6x＝16，…第一步配方，得x2+6x+9＝16+9，…第二步即（x+3）2＝25，…第三步两边开平方，得x+3＝5，…第四步①该同学的解答从第________步开始出错．②请写出正确的解答过程．21．如果用公式法解关于x的一元二次方程，得到x=−9±√92−4×3×1，那么该一元二次方2×3程是________．22．方程x2＝x的解是________．23．实数x、y满足（x2+y2）（x2+y2﹣1）＝12，则x2+y2的值为________．24．一元二次方程x2+5x+1＝0的根的判别式的值是________．25．写出一个一元二次方程的一般式，使它同时满足以下两个要求：①二次项系数为2，②两根分别为3和−1：________．2三．解答题（共4小题，共75分）26．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，求m的值．27．已知m是方程2x2﹣7x+1＝0的一个根，求代数式m（2m﹣7）+5的值．28．（1）用适当的方法解方程：81（1﹣x）2＝64．（2）请你结合生活经验，设计一个问题，使它能利用建立方程模型“100（1﹣x）2＝81”来解决．你设计的问题是：．29．阅读材料，并回答问题．小明在学习一元二次方程时，解方程2x2﹣8x+5＝0的过程如下：解：2x2﹣8x+5＝0．2x2﹣8x＝﹣5．①．②x2−4x=−52+4．③x2−4x+4=−52．④(x−2)2=32．⑤x−2=√62．⑥x=2+√62问题：（1）上述过程中，从________步开始出现了错误（填序号）．（2）发生错误的原因是：__________．（3）写出这个方程的解：__________．。
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《一元二次方程》提高测试
姓名 班级 学号
一 填空题（本题20分，每小题4分）：
1．方程4x 2
＋（k ＋1）x ＋1＝0的一个根是2，那么k ＝ ，另一根是 ；
2．方程 kx 2＋1 ＝ x －x 2
无实数根，则k ；
3．如果 x 2 －2（m ＋1）x ＋m 2
＋5 是一个完全平方式，则m ＝ ；
4．若方程 x 2
＋mx －15 ＝ 0 的两根之差的绝对值是8，则m ＝ ；
5．若方程 x 2
－x ＋p ＝ 0 的两根之比为3，则 p ＝ . 二 选择题（本题24分，每小题4分）：
1．若一元二次方程 2x （kx －4）－x 2
＋6 ＝ 0 无实数根，则k 的最小整数值是……（ ）
（A ）－1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
2．若c 为实数，方程x 2－3x ＋c ＝0的一个根的相反数是方程x 2
＋3x －3＝0的一个根，
那么方程x 2
－3x ＋c ＝0的根是……………………………………………………（ ）
（A ）1，2 （B ）－1，－2 （C ）0，3 （D ）0，－3
3．方程x 2
－3|x |－2＝0的最小一根的负倒数是……………………………………（ ） （A ）－1 （B ）)173(41--
（C ）21（3－17） （D ）2
1
4．对于任意的实数x ，代数式x 2
－5x ＋10的值是一个………………………………（ ）
（A ）非负数 （B ）正数 （C ）整数 （D ）不能确定的数
5．若一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝ 0 （a ≠0） 的两根之比为2：3，那么a 、b 、c 间的关系应当是…………………………………………………………………………… （ ）
（A ）3b 2
＝8ac （B ）a c a
b 232592
2= （C ）6b 2
＝25ac （D ）不能确定 6．已知方程3x 2
＋2x －6 ＝ 0 ，以它的两根的负倒数为根的新方程应是……………
（ ）
（A ）6x 2－2x ＋1＝0 （B ）6x 2＋2x ＋3＝0 （C ）6x 2＋2x ＋1＝0 （D ）6x 2
＋2x －3＝0 三 解下列方程（本题24分，每小题6分）： 1．0223422
=-+x x ； 2．1
4
15112
-=--+-x x x x ；
3．4x 2
＋19x －5＝0； 4．06)1
(5)1(
2=+---x x x x .
四（本题10分）
若方程2x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，不解方程求x 41＋x 4
2的值；
五（本题10分）
两列火车分别从A 、B 两站同时发出，相向而行，第一列车的速度比第二列车每小时快10 km ，两车在距A 、B 中点28 km 处相遇，若第一列车比原来晚发出45分，则两车恰在A 、B 中点相遇，求A 、B 距离及两车的速度．
六（本题12分）
挖土机原计划在若干小时挖土220m 3，最初3小时按计划进行，以后每小时多挖10m 3
，
因此提前2小时超额20m 3完成任务，问原计划每小时应挖土多少m 3
？
《一元二次方程》提高测试 答案
一 填空题（本题20分，每小题4分）：
1．方程4x 2
＋（k ＋1）x ＋1＝0的一个根是2，那么k ＝ ，另一根是 ；
2．方程 kx 2＋1 ＝ x －x 2
无实数根，则k ；
3．如果 x 2 －2（m ＋1）x ＋m 2
＋5 是一个完全平方式，则m ＝ ；
4．若方程 x 2
＋mx －15 ＝ 0 的两根之差的绝对值是8，则m ＝ ；
5．若方程 x 2
－x ＋p ＝ 0 的两根之比为3，则 p ＝ . 答案： 1．219-
，81； 2．＞43-； 3．２； 4．2±； 5．16
3． 二 选择题（本题24分，每小题4分）：
1．若一元二次方程 2x （kx －4）－x 2
＋6 ＝ 0 无实数根，则k 的最小整数值是……（ ）
（A ）－1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
2．若c 为实数，方程x 2－3x ＋c ＝0的一个根的相反数是方程x 2
＋3x －3＝0的一个根，
那么方程x 2
－3x ＋c ＝0的根是……………………………………………………（ ）
（A ）1，2 （B ）－1，－2 （C ）0，3 （D ）0，－3
3．方程x 2
－3|x |－2＝0的最小一根的负倒数是………………………………………（ ）
（A ）－1 （B ）)173(41-- （C ）21（3－17） （D ）2
1
4．对于任意的实数x ，代数式x 2
－5x ＋10的值是一个…………………………………
（ ）
（A ）非负数 （B ）正数 （C ）整数 （D ）不能确定的数
5．若一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝ 0 （a ≠0） 的两根之比为2：3，那么a 、b 、c 间的关系应当是…………………………………………………………………… （ ）
（A ）3b 2
＝8ac （B ）a c a
b 232592
2= （C ）6b 2
＝25ac （D ）不能确定 6．已知方程3x 2
＋2x －6 ＝ 0 ，以它的两根的负倒数为根的新方程应是……………
（ ）
（A ）6x 2－2x ＋1＝0 （B ）6x 2＋2x ＋3＝0 （C ）6x 2＋2x ＋1＝0 （D ）6x 2
＋2x －3＝0 答案：１．Ｂ；２．Ｃ；３．Ｂ；４．Ｂ；５．Ｃ；６．Ｄ． 三 解下列方程（本题24分，每小题6分）： 1．0223422
=-+x x ；
2．1
4
15112-=--+-x x x x ； 3．4x 2
＋19x －5＝0；
4．06)1
(5)1(
2=+---x x x x . 答案：
（1）x 1＝622-，x 2＝－622-；
（2）x ＝－２；
（3）x 1＝41，x 2＝415
-； （4）x 1＝32，x 2＝4
3
．
四（本题10分）
若方程2x 2
－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，不解方程求x 4
1＋x 4
2的值；答案：16
161
． 解：因为方程2x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2， 由根与系数的关系知
2321=
+x x ，2
1
21-=x x ．所以
16
161)21(2)]21(2)23[()(2]2)[(2)(2
222212212212
2
21222214
2
41=----=--+=-+=+x x x x x x x x x x x x
五（本题10分）
两列火车分别从A 、B 两站同时发出，相向而行，第一列车的速度比第二列车每小时快10 km ，两车在距A 、B 中点28 km 处相遇，若第一列车比原来晚发出45分，则两车恰在A 、B 中点相遇，求A 、B 距离及两车的速度．
答案：A 、B 距离为840km ，第一列车速度为80km ／h ，第二列车速度为70km ／h . 解：设A 、B 两站相距为2S km ，第一列车速度为（x ＋10）km /h ，第二列车速度为x km /h ．
依题意，得
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++x
S x S x
S x S 60451028
1028 解得 ⎩⎨⎧==42070S x
所以 A 、B 两站相距为840km ，第一列车速度为80km ／h ，第二列车速度为70km ／h .
六（本题12分）
挖土机原计划在若干小时挖土220m 3，最初3小时按计划进行，以后每小时多挖10m 3
，
因此提前2小时超额20m 3完成任务，问原计划每小时应挖土多少m 3
？
答案：原计划每小时挖土20m 3
．
解：设原计划每小时挖土x m 3
．
依题意，得
20220)10)(23220
(
3+=+--+x x
x 解得 20=x ．
所以原计划每小时挖土20m 3
．。