2012-2013学年江苏省东台市安丰中学高二上学期期中考试数学试卷

东台市安丰中学2012—2013学年度第一学期高二数学期中试卷考试时间：120分钟 满分：160分一、填空题（本题共14小题，每小题5分，合计70分。

请把答案直接填写在答题．．纸．相应．．的．位置上．．．.） 1．命题:,sin 2x R x ∀∈<的否定是 ▲ 。

2．2A {x (x-1)3x 7,x R},A Z =<+∈ 设集合则集合中有 ▲ 个元素。

3．等差数列{}n a 中，若3,993==a a ，则=12a ▲ 。

4. “1x >”是“11x<”的 ▲ 条件．（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要）5．等比数列}{n a 中，n S 表示前n 顶和，324321,21a S a S =+=+，则公比q 为 ▲ 。

6．已知:p 44x a -<-<，:q ()()230x x -->，若p ⌝是q ⌝的充分条件，则实数a 的取值范围是 ▲7．已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，≤≤，则2z x y =-的最大值为 ▲ .8．已知△ABC 中角A,B,C 所对的边分别为a ，b ，c ；若三边a ，b ，c 成等差数列，则∠B 的范围为 ▲ 。

9．公差不为零的等差数列}{n a 中，有02211273=+-a a a ，数列}{n b 是等比数列，且8677,b b a b 则== ▲ ．10．若二次函数c x ax x f +-=4)(2的值域为［0，+∞），则14a c+的最小值为 ▲ 。

11．已知等比数列{a n }中，a 2=1，则其前3项的和S 3的取值范围为 ▲ ．12．若命题“∃a ∈[1,3]，使02)2(2>--+x a ax ”为真命题，则实数x 的取值范围是 ▲ ．13. 22100122x y x y m m m x y>>+=+>+已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是___▲____.14．已知函数()()()56(4)462x a x f x ax x -⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩, 数列{}n a 满足()()+∈=N n n f a n ，且数列{}n a 是单调递增数列，则实数a 的取值范围是___▲ ___．二、解答题（本题共6小题，合计90分。

请在答题．．纸．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题14分）设三角形ABC 的内角,,,A B C 的对边分别为,,,a b c4,a c ==sin 4sin A B =．（1）求b 边的长； （2）求角C 的大小.16．（本小题14分）解关于x 不等式：0)1(2<+++a x a x .17．（本小题15分）已知命题:p x R $?，使得2222540;x ax a a -+-+=命题[]:0,1q x "?，都有()24330a a x -+-<。

若“p q 或”为真，“p q 且”为假，求实数a 的取值范围．18．（本小题15分）已知各项都不相等的等差数列}{n a 的前六项和为60，且2116a a a 和为的等比中项.（I ）求数列}{n a 的通项公式n n S n a 项和及前；（II ）若数列}1{,3),(}{11nn n n n b b N n a b b b 求数列且满足=∈=-*+的前n 项和T n .19．（本小题16分）围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45 元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙长度为x (单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元)． (1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．20．（本小题16分）已知数列{}n a 满足15a =, 25a =，116(2)n n n a a a n +-=+≥． （1）求证：{}12n n a a ++是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设3(3)n n n n b n a =-，12n b b b m +++<对n N *∈恒成立，求m 的取值范东台市安丰中学2012—2013学年度第一学期高二数学期中试卷答案一、填空题（本题共14小题，每小题5分，合计70分。

请把答案直接填写在答题．．纸．相应．．的．位置上．．．.） 1． ,sin 2∃∈≥x R x 2． 6 3． 0 4．充分不必要5．3； 6．－1≤a≤6 7． 7 8．]3,0(π9．16 10．2 11．（-∞，-1]∪［3，+∞〕12．213x x <->或13．(-4,2) 14．()4,8二、解答题（本题共6小题，合计90分。

请在答题．．纸．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题14分）解：（1）依正弦定理sin sin a bA B=有sin sin b A a B = 又4,a =sin 4sin A B =，∴1b = …………………………7分（2）依余弦定理有222161131cos 22412a b c C ab +-+-===⨯⨯又0︒＜C ＜180︒，∴60C ︒= ……………………14分16．(本小题14分) 解：不等式因式分解为0))(1(<++a x x ………………2分 所以 1、 当1-=-a ，即1=a时，不等式为0)1(2<+x ，此时不等式的解集为∅；……………6分2、当1->-a ，即1<a 时，不等式的解集为}1|{a x x -<<-；……………………………10分3、当1a -<-，即1>a 时，不等式的解集为}1|{-<<-x a x ………………………………14分17．（本小题15分）解：若命题p 为真命题，则有△=()22442540a a a --+?，解得14a＃ …………………………………………………………………………………4分 对于命题q ，令()()2433f x a a x =-+-，若命题q 为真命题，则有()00f <且()10f <，可得04a <<……………………………8分由题设有命题p 和q 中有且只有一个真命题，所以1404a a aì＃ïïíï３ïî或或1404a a a ì<>ïïíï<<ïî或解得014a a <<=或， 故所求a 的取值范围是014a a <<=或， (15)分18．（本小题15分）解：（I ）设等差数列}{n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧+=+=+21111)5()20(,60156d a d a a d a 解得⎩⎨⎧==.5,21a d ………………………………………………………………3分32+=∴n a n .………………………………………5分)4(2)325(+=++=n n n n S n ………………………………………7分（II ）由).,2(,111*--+∈≥=-∴=-N n n a b b a b b n n n n n n,3).2(3)41)(1()(()()(,211121112211也适合对时当=+=++--=++++=+-++-+-=≥-----b n n n n b a a a b b b b b b b b n n n n n n n n ))(2(*∈+=∴N n n n b n …………………………………………11分).211(21)2(11+-=+=∴n n n n b n)211123(21)2114121311(21+-+-=+-++-+-=n n n n T n )2)(1(4532+++=n n nn…………………………………………15分19．（本小题16分）解 (1)如图，设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a ＝225x ＋360a －360.由已知xa ＝360，得a ＝360x ，所以y ＝225x ＋3602x －360 (x >2)．………………………………………8分(2)∵x >0，∴225x ＋3602x≥2225×3602＝10 800.∴y ＝225x ＋3602x－360≥10 440.当且仅当225x ＝3602x时，等号成立．即当x ＝24 m ，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．………………………16分20．（本小题16分）解：（1）由a n ＋1＝a n ＋6a n －1，a n ＋1＋2a n ＝3(a n ＋2a n －1) (n≥2) ∵a 1＝5，a 2＝5 ∴a 2＋2a 1＝15故数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列 ……………………5分（2）由（1）得a n ＋1＋2a n ＝5·3n由待定系数法可得(a n ＋1－3n ＋1)＝－2(a n －3n)即a n －3n ＝2(－2)n －1 故a n ＝3n ＋2(－2)n －1＝3n－(－2)n …………………………………10分（3）由3n b n ＝n(3n －a n )＝n[3n －3n ＋(－2)n ]＝n(－2)n，∴b n ＝n(－23)n令S n ＝|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝23＋2(23)2＋3(23)3＋…＋n(23)n23S n ＝(23)2＋2(23)3＋…＋(n －1)(23)n ＋n(23)n ＋1得13S n ＝23＋(23)2＋(23)3＋…＋(23)n －n(23)n+1＝23[1－(23)n]1－23－n(23)n+1＝2[1－(23)n ]－n(23)n+1∴ S n ＝6[1－(23)n ]－3n(23)n+1＜6要使得|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＜m 对于n∈N ＊恒成立，只须m≥6 …………………………………16分。