2015北京市昌平区高三二模文科数学试题带答案

昌平区2015年高三年级第二次统一练习 数学试卷(文科) 2015.4考生注意事项：1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟．2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔．3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,5M =，{}4,5N =，则集合()U C M N 中元素的个数是 A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2. 4||1i-等于A.1B.C. 2D.3．设1222114,log ,()43a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A. a c b >> B. a b c >>C. b a c >>D. c a b >>4. 已知ABC ∆是等腰直角三角形, D 是斜边BC 的中点，AB = 2 ,则()AB AC AD +⋅等于A ．2B ．C ．4 D侧（左）视图俯视图正视图5. 若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是6.水厂监控某一地区居民用水情况，该地区A,B,C,D四个小区在8:00—12:00时用水总量Q 与时间t的函数关系如图所示，在这四个小区中，单位时间内用水量逐步增加的是AB DCQQQ1QQQ1QQQ1QQQ17. 已知函数()y f x =（x ∈R ）是偶函数，其部分图象如图所示, 若，则在(2,0)-上与函数()f x 的单调性相同的是A.21y x =-+ B. cos y x =C. ,0,0x x e x y e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ D. 2log y x =8. . 已知四面体A BCD -满足下列条件：（1）有一个面是边长为1的等边三角形； （2）有两个面是等腰直角三角形. 那么符合上述条件的所有四面体的体积的不同值有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．9. 已知函数2,1(),,1x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩若()2f x =，则=x ． 10. 执行下面的程序框图，如果输入的5n =，那么输出 的S 的值为______．11. 某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克） 数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36， 则样本中[98,104)的产品的个数是_____________.12. 数列{}n a 中，如果132n n a a +=-*()n ∈N ，且112a =，那么数列{}n a 的前5项的和5S 的值为 .13. 已知圆()()22115x y ++-=经过椭圆:C 22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点F 和上顶点B ，则椭圆C 的离心率为_______.14. 点P 到曲线C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到曲线C 的距离. 已知点(2,0)P ，若点P 到曲线C在下列曲线中：① 2230x y -=， ②22(1)(3x y ++=， ③ 225945x y +=， ④ 22y x =. 符合题意的正确序号是 .（写出所有正确的序号）三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15.(本小题满分13分)在ABC ∆中，角C B A ,,所对的三边分别为c b a ,,， 3B π=，且 2.b a == （Ⅰ）求sin 2A ； （Ⅱ）求ABC ∆的面积.某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”的概率为2.（I ） 求,m n 的值；（II ）现从男同学中随机选取2名同学，进行社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同），求选出的这2名男同学中至少．．有一位同学是“数学专业”的概率.17.(本小题满分13分)已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且32n n a S p =-（其中p 是不为零的常数），*n ∈N . （I ）证明：数列}{n a 是等比数列；（II ）当p =1时，数列11,2n n n b b a b +=+=且，求数列{}n b 的通项公式.在如图所示的几何体中，ACDE BC A ⊥平面平面，//CD AE ，F 是BE 的中点，90ACB ∠=，22AE CD ==,1,AC BC BE ===（I ） 求证：//DF ABC 平面； （II ）求证：DF ABE ⊥平面;（III ）求三棱锥E D BC -的体积.19.（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)+=>>x y a b a b，右焦点F，点1)2A 在椭圆上.（I ）求椭圆C 的标准方程；(II)若直线(0)y kx m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ，且与圆2222:O x y a b +=+相交于,P B 两点，问-1OM PB k k =⋅是否成立？请说明理由.20.（本小题共13分）已知函数2()(2)2ln f x a x x =-+. ( I ) 若1a =,求函数()f x 的单调区间;( II ) 若()f x 在区间[1,4]上是增函数,求实数a 的取值范围; (III) 已知函数1()()44g x f x a a=-+(0)a ≠，当[2,)x ∈+∞时,函数()g x 图象上的点均在不等式2x y x ≥⎧⎨≥⎩所表示的平面区域内,求实数a 的取值范围.FEDC BA昌平区2015年高三年级第二次统一练习数学试卷(文科)参考答案一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．9. 1 10. 14 11. 9012. 252- 13. 14. ① ② ④三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15.(本小题满分13分)解：（I ） 由,sin sin B b A a =得31sin sin =⋅=b B a A .因为a b <，所以A B <，则cos A =sin 22sin cos 9A A A ==. ……………7分 (II)由B ac c a b cos 2222-+=,c c 24272-+=，解得,621+=c 舍）(621-=c ，1sin 2ABC S a c B ∆=⋅⋅⋅=故. ……………13分法二：因为a b <，所以A B <，则cos A =,sin 32cos cos 32sin )32sin()sin(sin A A A B A C ππππ-=-=--= 6162312132223sin +=⋅+⋅=C ， ,sin sin AaC c =由得,621+=c1sin 2ABC S a c B ∆=⋅⋅⋅=故.……………13分 16.（本小题满分13分）解：（I ）设事件A ：从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”． 由题意可知，“数学专业”的学生共有(1)m +人． 则12()105m P A +==．解得 3m =． 所以1n =． ……………6分（II ）由题意可知，男生共有6人，分别记为123456,,,,,a a a a a a ．其中数学专业的男生为456,,a a a .从中任意抽取2位，可表示为1213141516,,,,a a a a a a a a a a ，23242526,,,a a a a a a a a ，343536,,a a a a a a ，4546,a a a a ，56a a ，共15种可能．设事件B ：选出的这2名男同学中至少有一位同学是“数学专业”．事件B 包括：141516,,a a a a a a ，242526,,a a a a a a ，343536,,a a a a a a ，4546,a a a a ，56a a ，共12种可能．所以至少有一位同学是“数学专业”的概率是124()155P B ==． ……………13分17. (本小题满分13分) 解：（I ）在数列}{n a 中，32nn a S p =- 当1n =时，12a p =当2n ≥时，1133()()2222n n n n n p p a S S a a --=-=--- 11322n n a a -=所以，13n n aa -=故所以数列}{n a 是以2p 为首项，以3为公比的等比数列. ……………7分 （II ）当p =1时，12a =，123n n a -=⋅所以1,n n n b b a +=+因为1123,n n n b b -+-=⋅所以02123b b -=⋅所以 13223b b -=⋅24323b b -=⋅2123,n n n b b ---=⋅以上各式叠加得： 0122123232323,n n b b --=⋅+⋅+⋅++⋅所以所以112(13)231,13n n n b ---=+=--12b =. 又因为 当1n =时，12b =符合上式.所以113n n b -=+,*n ∈N . ……………13分18. (本小题满分14分)证明：（Ⅰ）设M 为AB 中点，连结,FM CM .在ABE ∆中，F 为BE 中点，1//,2FM AE FM AE =.又因为//CD AE ,且12CD AE =, 所以//,CD FM CD FM =.所以 四边形CDFM 为平行四边形.故//DF CM ，DF ABC ⊄平面，CM ABC ⊂平面, 所以//DF ABC 平面. ……………5分（Ⅱ）在Rt ABC ∆中，1AC BC ==,∴AB =.在ABE ∆中，2AE =,BE =AB .因为222BE AE AB =+. 所以ABE ∆为直角三角形. 所以AE AB ⊥.又ACDE BC A ⊥因为平面平面，ACDEBC AC A =平面平面.又90ACB ∠=因为，所以AC BC ⊥. 故BC ACDE ⊥平面. 即BC AE ⊥.BC AB B =,所以AE ABC ⊥平面，CM ⊂平面ABC . 故AE CM ⊥.在ABC ∆中，因为AC BC =,M 为AB 中点, 所以 CM AB ⊥ .AE AB A =,所以 C M A B E ⊥平面. 由（Ⅰ）知 //DF CM ,所以 DF AB E ⊥平面. ……………11分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知BC ACDE ⊥平面所以BC 为三棱锥E B CD -的高,所以11111113326D BCE B CDE CDE V V S BC --∆===⨯⨯⨯⨯=. ……………14分 19.(本小题满分14分)解：（I ）因为椭圆C的右焦点F，经过点1)2A222223114a b c a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎪⎩， 解得24a =，21b =.所以椭圆C 的方程是 2214x y += . .…………………5分 （II ）不成立 .…………………6分 由（I ）知，圆221:5C x y +=因为直线与椭圆C 有且只有一个公共点M . 所以方程组22(*)14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩有且只有一组解.由(*)得222(41)8440k x kmx m +++-=.从而2216(41)0k m ∆=-+=化简得2214m k =+ ① 24,41M km x k =-+ 214M M m y kx m k=+=+. ② 所以点M 的坐标为224(,)1414km m k k -++. 由于0PB k k =≠，由①可知0m ≠， 所以221141414OM PB m k k k k k+⨯=⨯=-≠--+， -1OM PB k k =⋅不成立.……………14分20.（本小题共13分）解：（I ）当1a =时，2()(2)2ln ,f x x x =-+定义域()0,+∞.2'22(1)()24,x f x x x x -=-+= 因为0x >，所以'()0f x ≥.所以函数()f x 的单调递增区间是()0,+∞,无单调递减区间. ……………3分（II ）[]2'2242()24(0),1,4ax ax f x ax a a x x x -+=-+=≠∈. 因为()f x 在区间[1,4]上是增函数,所以'()0f x ≥在区间[1,4]上恒成立，即22420ax ax -+≥在[1,4]上恒成立. （i ）当0a =满足题意（ii ）令2()242,h x ax ax =-+则2()2(1)22,h x a x a =--+对称轴1x =. ① 当0a >时，只需(1)0,h ≥即220,a -+≥解得0 1.a <≤② 当0a <时，只需(4)0,h ≥即1620,a +≥解得10.8a -≤< 综上，实数a 的取值范围是118a -≤≤ ……………7分（III ）依题意，()g x x ≥在[2,)+∞上恒成立. 令21()()(2)2ln 4,4p x g x x a x x a x a=-=-+-+-则min ()0p x ≥在[2,)+∞上成立即可. '2(2)(21)()241,x ax p x ax a x x--=-+-= ① 当0a <时， 因为2x >，所以20,210,x ax ->-<则'()0,p x <()p x 在[2,)+∞上是单调递减， 且1(4)2ln 4404p a =-+<，所以不满足min ()0p x ≥，则0a <不成立. ② 当104a <<时，122a<. 令'()0,p x >则递增区间是1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，令'()0,p x <则递减区间是12,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以2min 11111()()(2)2ln 422ln 2.22242p x p a a a a a a a a==-+-+-=-- 22ln 20a --≥，解得12a e≤， 所以102a e<≤. ③当14a ≥时，122a≥. 令'()0,p x >则递增区间是[)2,+∞.所以min 1()(2)2ln 24 2.4p x p a a==-+- 因为14a ≥，所以11,41,4a a ≤-≤-则140,4a a-+≤2ln 220-<， 所以min ()(2)0,p x p =<不满足min ()0p x ≥，则14a ≥不成立, 综上，实数a 的取值范围是102a e <≤. ……………13分。