2017-2018学年第一学期期末复习之不等式

2017-2018学年第一学期期末复习之四不等式一.知识梳理（一）、不等关系 1．不等式的概念（略） 2．两个实数大小的比较（1）作差法：设a ，b ∈R ，则0a b a b >⇔->，a <b ⇔a −b <0.（2）作商法：设a >0，b >0，则a >b ⇔1a b >，a <b ⇔1ab<.3．不等式的性质（1）实数的大小顺序与运算性质的关系①a >b ⇔0a b ->；②0a b a b =⇔-=；③a <b ⇔0a b -<. （2）不等式的性质①对称性：a b b a >⇔<；(双向性) ②传递性：a >b ，b >c ⇒a c >；(单向性) ③可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；(双向性) ④a >b ，c >d ⇒a c b d +>+；(单向性) ⑤可乘性：,0a b c ac bc >>⇒>；(单向性) a >b ，c <0⇒ac <bc ；(单向性)⑥a >b >0，c >d >0⇒ac bd >；(单向性)⑦乘方法则：()0,1nna b a b n n >>⇒>∈≥N ；(单向性)⑧开方法则：a >b >0n ∈N ，n ≥2)．(单向性) 4．必记结论（1）若a >b >0，m >0，则b b m a a m +<+；b b m a a m ->-(b −m >0)；a a m b b m +>+；a a mb b m-<-(b −m >0)．二、一元二次不等式及其解法 1．一元二次不等式的概念我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式称为一元二次不等式，有三种形式： （1）一般式：2(0)y ax bx c a =++≠； （2）顶点式：224()(0)24b ac b y a x a a a-=++≠； （3）两根式：12()()(0)y a x x x x a =--≠. 2．三个“二次”之间的关系3．一元二次不等式的解法由一元二次不等式与相应的方程、函数之间的关系可知,求一元二次不等式的解集的步骤如下：（1）变形：将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式，即20(0)a x b x c a ++>>或20(0)ax bx c a ++<>；（2）计算：求出相应的一元二次方程（20(0)ax bx c a ++=>）的根，有三种情况：0,0∆,∆∆=0<>； （3）画图：画出对应二次函数的图象的草图；（4）求解：利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集． （二）.二元一次不等式（组）与平面区域 1．二元一次不等式表示的平面区域（略） 4.简单的线性规划问题（略） （三）、基本不等式 12a b+≤（1）基本不等式成立的条件：0,0a b >>（2）等号成立的条件，当且仅当a b =时取等号． 2．算术平均数与几何平均数设0,0a b >>，则a 、b 的算术平均数为2a b+小于它们的几何平均数． 3．利用基本不等式求最值问题（1）如果积xy 是定值P ，那么当且仅当x y =时，x ＋y有最小值是简记：积定和最小)（2）如果和x ＋y 是定值P ，那么当且仅当x y =时，xy 有最大值是24P .(简记：和定积最大)4．常用结论（1）222(,)a b ab a b +≥∈R （2）2(,)b aa b a b+≥同号 （3）2()(,)2a b ab a b +≤∈R （4）222()(,)22a b a b a b ++≤∈R （5）2222()()(,)a b a b a b +≥+∈R （6）222()(,)24a b a b ab a b ++≥≥∈R （72(0,0)112a b a b a b+≥≥>>+ 考点一 比较大小典例1若0a b >>，0d c >>，则下列各式一定成立的是ABCD典例2已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是 （A ） ∧p q （B ）⌝∧p q （C ） ⌝∧p q （D ）⌝⌝∧p q典例3.若,0>>b a 则下列不等式成立的是（ ）A.ab b a b a >+>>2B.b ab b a a >>+>2C.ab b b a a >>+>2D.b ba ab a >+>>2 典例4给出下列四个命题：（1）若,a b c d >>，则a d b c ->-； （2）若22a x a y >，则x y >；（3）a b >，则11a b a >-； （4）若110a b<<，则2ab b <． 其中正确命题的是 ．（填所有正确命题的序号）考向二 一元二次不等式的解法典例5 解下列不等式：（1）2230x x --+≥. （2）210-54x x +≤.（3）2244-m 0x x -+≥. （4）312x -≤.典例6 设函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()()1f x f >的解集是A ．()()3,13,-+∞B ．(﹣3，1)(2，+)C ．(﹣1，1)(3，+)D ．(﹣，﹣3)(1，3) 典例7解关于的不等式()2110ax a x -++>.考向三 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间关系的应用典例8 已知不等式20x bx c ++>的解集为，（1）求和的值； （2）求不等式210cx bx ++≤的解集.典例9 已知关于的不等式2230kx x k -+<. （1）若不等式的解集为，求的值；（2）若不等式的解集为∅，求实数的取值范围.考向四 一元二次不等式的应用典例10 （1）不等式()()23310x x x --+>的解集为_________.（2）不等式(2)(1)(2)0x x x +-->的解集为________________；典例11不等式3112x x -≥-的解集是 A ．3{|2}4x x ≤≤ B ．3{|2}4x x ≤< C ．3{|2}4或x x x >≤ D ．3{|}4x x ≥考向五 含参不等式恒成立问题的求解策略典例12已知不等式()2211x m x ->-.若对于所有的实数不等式恒成立，求的取值范围；典例13已知函数()21f x mx mx =--.若对于x ∈R ，f (x )<0恒成立,求实数m 的取值范围;考向六 二元一次不等式（组）表示的平面区域典例14 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥+1060y y x y x 表示的平面区域的面积为 .典例14若不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为（ ）A ．3-B ．1C ．43D ．3 考向七 线性目标函数的最值问题典例15 已知点x ,y 满足约束条件2024020x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩,则z =3x +y 的最大值与最小值之差为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8典例16已知,x y 满足不等式组10040x x y x y -≥-≤+-≥⎧⎪⎨⎪⎩，则目标函数3z x y =+的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10考向八 含参线性规划问题典例17 （1）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝A ．14B ．12C ．1D ．2（2）若变量x ，y 满足约束条件4y x x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝______________；典例18已知变量x ，y 满足约束条件413021040x y y x x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝______________．考向九 非线性目标函数的最值问题典例19 已知实数x 、y 满足不等式组10302x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,若x 2+y 2的最大值为m ,最小值为n ,则m-n =A ．252B ．172 C ．8 D ．9典例20已知实数x ，y 满足约束条件43400,0x y x y +-≤⎧⎨≥≥⎩，则1y z x +=的最小值是A ．－2B ．2C ．－1D ．1考向十 利用线性规划解决实际问题典例21某家具厂有方木料390m ，五合板2600m ，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料30.1m 、五合板22m ；生产每个书橱需要方木料30.2m 、五合板21m .出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，怎样安排生产可使所得利润最大？最大利润为多少？典例22某企业生产A,B 两种产品,生产1吨A 种产品需要煤4吨、电18千瓦;生产1吨B 种产品需要煤1吨、电15千瓦.现因条件限制,该企业仅有煤10吨,并且供电局只能供电66千瓦,若生产1吨A 种产品的利润为10000元;生产1吨B 种产品的利润是5000元,试问该企业如何安排生产,才能获得最大利润?考向十一 利用基本不等式求最值典例22 （1）若函数2346()(0)x x f x x x-+=>，则()f x 的最小值为（2）若正数a ，b 满足111a b +=，则19a b+的最小值为 （3）若x ＞1，则函数y ＝11x x +-的最小值为_______________； （4）已知a ＞0，b ＞0，11a b+＝2，则a ＋b 的最小值为_______________； （5）若正实数x ，y 满足x ＋y ＋3＝xy ，则xy 的最小值是_______________；（6）已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值是_______________． （7）若不等式24(())x y m x y+⋅+>，对任意的正实数x y ,恒成立，则实数m 的取值范围是 （8）函数2()f x =的最小值为_______________．（9）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________________．专题复习四1．若,,,a b c d ∈R ,则下列结论正确的是A ．若a b >,则a 2＞b 2B ．若a ＞b ,c ＞d ,则ac ＞bdC ．若a ＜b ＜0,则11a b < D ．若a ＞b ＞0,c ＜d ＜0,则a d＜b c 2．已知x y >，则下列不等式一定成立的是 A ．11x y < B ．log 2(x ﹣y )＞0 C ．x 3＜y 3 D ．1122xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．如果0<<b a ，那么下列各式一定成立的是 A ．0>-b aB ．bc ac <C ．22b a >D ．ba 11< 4．已知,a b 为非零实数，且0a b <<，则下列命题成立的是 A ．22a b <B ．2211ab a b< C ．22a b ab < D ．b aa b< 5．不等式()()120x x +->的解集是 A ．{}1x x >-B ．{}1x x <C ．{}12x x -<<D ．{}12x x x <->或6．已知全集U =R ，集合3{|0}7x A x x -=≤-，{}27100B x x x =-+<，则()A B =R ð A ．()(),35,-∞+∞ B ．()[),35,-∞+∞ C ．(][),35,-∞+∞ D ．(](),35,-∞+∞ 7．不等式23520x x +-≤的解集是A ．1{|3}2x x x ><或B ．1{|3}2x x -≤≤C ．1{|3}2x x x ≥≤-或D ．R8．若不等式222424mx mx x x +-<+的解集为R ，则实数m 的取值范围是 A ．(2,2)-B ．(2,2]-C ．(,2)[2,)-∞-+∞D ．(,2)-∞-9．关于x 的不等式220ax bx ++>的解集为()1,2-，则关于x 的不等式220bx ax -->的解集为 A ．()2,1-B ．()(),21,-∞-+∞C ．()(),12,-∞-+∞D ．()1,2-10．已知集合2{|20}A x x x =--<，1{|1}1B x x =≤-，则A B = _______________． 11．若一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b +的值是A ．10B ．−10C ．14D ．−1412．若不等式28210ax ax ++<的解集是{|71}x x -<<-，那么实数a 的值是A ．1B ．2C ．3D ．413．若不等式20ax bx c ++≥的解集为20cx bx a ++<的解集为 AB 或2}x <- CD ．{|3x x <-或14．在平面直角坐标系中，不等式组000x y x y y ⎧+⎪⎪-⎨⎪≥⎪⎩表示的平面区域的面积为AB ．2 CD15．设z x y =+，其中实数,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若z 的最大值为6，则z 的最小值为A ．3-B ．2-C ．1-D ．016．若,x y 满足条件3560231500x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，当且仅当3x y ==时，z ax y =+取得最大值，则实数a 的取值范围是A ．23(,)35-B ．32(,)(,)53-∞-+∞C ．32()53-，D ．23(,)(,)35-∞-+∞17．设变量,x y 满足约束条件2022003x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩，则目标函数z x y =+的最大值为A ．23B ．1C ．32D ．318.若x ，y 满足约束条件0200x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则34z x y =-的最小值为_____________．19．若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的取值范围是( )A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，)+∞D ．[4，)+∞20．已知实数x ,y 满足()101210y y x x y m -≥⎧⎪-≤-⎨⎪+-≤⎩，若目标函数z =x -y 的最小值为-1,则实数m 的值为A ．6B ．5C ．4D ．321．某颜料公司生产A 、B 两种产品，其中生产每吨A 产品需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨；生产每吨B 产品需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨、200吨，如果A 产品的利润为300元/吨，B 产品的利润为200元/吨，则该颜料公司一天内可获得的最大利润为( ) A ．14000元 B ．16000元 C ．18000元 D ．20000元22.已知实数,x y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则22x y +的取值范围是 ．23．若实数,a b 满足323a b +=，则84a b +的最小值是 A．B ．4 C．D．24．若0,0,x y >>且22x y +=，则21x y+的最小值是 A ．3BC．3D ．9225．若1a >，则A ．2B ．4C ．1D ．326．若正数a ，b 满足3ab a b =++，则ab 的取值范围为________________． 27．已知a ，b 都是正实数，且满足2a b ab +=，则2a b +的最小值为A ．12B ．10C ．8D ．628．已知1,1a b >>，且，则4a b +的最小值为 A ．13 B ．14 C ．15 D ．1629．某校要建一个面积为450平方米的矩形球场，要求球场的一面利用旧墙，其他各面用钢筋网围成，且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个3米的进出口（如下图所示）．设矩形的长为x 米，钢筋网的总长度为y 米． （1）列出y 与x 的函数关系式，并写出其定义域；（2）问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？30．某公司计划2017年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟.假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问：该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？31.某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，试问该如何安排生产，可以使产品A 、产品B 的利润之和为最大？32.电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于分钟，广告的总播放时间不少于分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数． （1）用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （2）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？。