【精编】高考数学不等式：基本不等式
(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
基本不等式 高考数学满分秘诀
高考数学秘诀-基本不等式【知识梳理】12a b +≤(1)基本不等式成立的条件：0,0a b ≥≥.(2)等号成立的条件：当且仅当a b =时取等号.(3)其中2a b+称为正数a ，b a ，b 的几何平均数.2、几个重要的不等式（1）222222a b a b ab ab ++≥⇒≤，当且仅当a ＝b 时取等号.（2）2()2a b a b ab ++≥≤，当且仅当a ＝b 时取等号.（3）222()22a b a b ++≤.（4）熟悉一个重要的不等式链：211a b+2a b+≤≤≤222b a +总结：基本不等式重点就是体现一个“定”的思想，所以在学习过程中要感悟配凑技巧。
拓展：若+∈R c b a ,,，3a b c ++≥c b a ==时等号成立；【技巧大全】技巧1：直接法技巧2：“添项”配凑法技巧3：“系数”配凑法技巧4：常数代换法技巧5：待定系数法技巧6：涉及a b +和ab 的处理方法技巧7：一次、二次问题处理方法技巧8：齐次化法技巧9：化为单变量法技巧10：整体配凑法【典例分析】--部分摘录技巧1：直接法例1、已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为________。
【答案】3【解析】因为x >0，y>0，所以34x y +≥(当且仅当34x y =，即x=6，y=8时取等号)，于1≤， 3.xy ∴≤，故xy 的最大值3.例2、已知+∈R y x ,若16=xy ，求11x y+的最小值.并求y x 、的值【答案】12【解析】1112x y +≥=，当且仅当4==y x 时等号成立例3、若实数,a b 满足221ab+=，则a b +的最大值是．【答案】-2当1a b ==-时取等号。
例4、若实数a ，b满足12a b+=，则ab 的最小值为__________．【答案】由题意可知可以利用基本不等式，12a b =+≥=，当且仅当122b a a b =⇒=时取等号，化简后可得：ab =145422a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩技巧2：“添项”配凑法例1、已知函数1(0)y x x x=+>，求y 的最小值.【答案】2例2、已知函数3(2)2y x x x =+>-，求y 的最小值.【答案】2+例3、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
2024年新高考版数学专题1_2.2 基本不等式及不等式的应用
x2
x
b
,则
x
2
x
b
≥1,由b>0得b≤x-x2,
即b≤
(
x
x
2
)
max
,∵x-x2=-
x
1 2
2
+
1 4
,x∈
1 4
,
3 4
,∴x=
1 2
时,(x-x2)max=
1 4
,则b≤
1 4
.
故0<b≤ 1 .
4
答案
0<b≤
1 4
例3
已知函数f(x)=x2,g(x)=
1 2
x
-m,若对任意x∈[1,2],都有f(x)≥g(x),则实
2.几个重要不等式
1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
2)a+b≥2 ab (a>0,b>0),当且仅当a=b时取等号.
3)ab≤
a
2
b
2
(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
4)a+ 1 ≥2(a>0),当且仅当a=1时取等号;a+ 1 ≤-2(a<0),当且仅当a=-1时取
4.双变量的恒成立与存在性问题 1)若∀x1∈I1、∀x2∈I2 ,f(x1)>(≥)g(x2)恒成立,则f(x)min>(≥)g(x)max. 2)若∀x1∈I1,∃x2∈I2,使得f(x1)>(≥)g(x2),则f(x)min>(≥)g(x)min. 3)若∃x1∈I1,∀x2∈I2,使得f(x1)>(≥)g(x2),则f(x)max>(≥)g(x)max. 4)若∃x1∈I1,∃x2∈I2,使得f(x1)>(≥)g(x2),则f(x)max>(≥)g(x)min. 5)已知f(x)在区间I1上的值域为A,g(x)在区间I2上的值域为B,若∀x1∈I1,∃x2 ∈I2,使得f(x1)=g(x2)成立,则A⊆B.
基本不等式高中数学
基本不等式高中数学
基本不等式是高中数学中常见的一个重要概念。
不等式是比较两个数大小关系的数学表达式，而基本不等式则是一些常用的不等式模式，可以帮助我们简化和解决复杂的不等式问题。
以下是几个常见的基本不等式：
1. 加法不等式：对于任意实数a、b和c，有a < b，则a + c < b + c。
2. 减法不等式：对于任意实数a、b和c，有a < b，则a - c < b - c。
3. 乘法不等式：对于任意正实数a、b和c，有a < b，则ac < bc；对于任意负实数a、b和c，有a < b，则ac > bc。
需要注意的是，当a、b和c中存在0时，乘法不等式的性质会有所不同。
4. 平方不等式：对于任意实数a，有a² ≥ 0。
这个不等式告诉我们，任何实数的平方都大于等于0。
5. 绝对值不等式：对于任意实数a，有|a| ≥ 0。
绝对值不等式告诉我们，任何实数的绝对值都大于等于0。
这些基本不等式可以作为解决不等式问题的基础，可以通过运用它们来简化和推导更复杂的不等式，进而求解不等式方程。
在解决不等式问题时，还需要注意不等式的性质和特殊情况的处理，例如分段函数、绝对值函数等。
基本不等式完整版(非常全面)[整理]
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基本不等式完整版(非常全面)[整理]
基本不等式可以指几乎所有组成分析和数学的基础。
它可以使许多不同的数学问题变
得更容易理解，因此使用它们进行计算是极其重要的。
基本不等式包括了三类不等式：大
小不等式，加法不等式和乘法不等式。
以下是一些基本的不等式定义。
1、大小不等式：大小不等式表示一个数与另一个数之间的存在或缺失的关系。
例如，如果A > B，则表示A大于B，而A ≤ B表示A小于或等于B，A ≠ B表示A与B之间存
在某种不同。
2、加法不等式：加法不等式表示两个数相加时的结果。
例如，A + B > C的意思是A
与B的和大于C，A + B ≤ C的意思是A与B的和小于或等于C，A + B = C的意思是A
与B的和等于C。
一般地，一个数与另一个数之间的关系可以用不等式来表示，但也可以用不等式来表
示多个数之间的关系：
1、省略不等式：3x + 2y = 4z，这表示3x + 2y至少等于4z的意思。
基本不等式可以用来处理大量数学问题，比如解一元不等式、求函数的极值以及进行
多元函数分析等。
它们对于熟悉数学理论和解决数学问题都极其重要。
数学高考不等式知识点归纳
数学高考不等式知识点归纳数学是高考中不可或缺的一门科目，而数学的不等式是其中一个重要的知识点。
在高考中，会涉及到各种类型的不等式问题，考生需要对不等式的性质和解法有深刻的理解。
下面我将对数学高考中常见的不等式知识点进行归纳整理。
一、基本不等式基本不等式是解决不等式问题的基础，它是数学推理的起点。
基本不等式有两个方面的含义：其一是一个数平方一定大于等于零，即对任意实数x，x²≥0，即x²≥0；其二是有理数的平方的大小关系，即对任意实数x和y，如果x>y，则x²>y²。
二、一元一次不等式一元一次不等式是高考中最简单、最常见的不等式类型。
对于一元一次不等式，考生需要掌握解法的基本思路，如通过移项、乘除法等基本运算，确定不等式的解集。
三、一元二次不等式一元二次不等式是高考中较为复杂的不等式类型。
对于一元二次不等式，考生需要将其转化为二次函数的解析表达式，然后通过解二次方程来求解。
在解决一元二次不等式问题时，应注意借助二次函数的图像进行推理，从而获得正确的解集。
四、有理不等式有理不等式是由有理数构成的不等式。
对于有理不等式，考生需要掌握解法的一般步骤，如将不等式分母消去、确定分界点、绘制数轴图、判断各个区间的正负性等。
五、绝对值不等式绝对值不等式是高考中常见的不等式类型，而且解法相对简单。
对于绝对值不等式，考生需要掌握将其转化为两个简单的不等式，并分别求解的方法。
六、复合不等式复合不等式由多个不等式组合而成，对于复合不等式，考生需要掌握解法的一般步骤，如将多个不等式合并、确定解集的交集或并集等。
在解复合不等式问题时，需要特别注意各个不等式的对应关系。
七、几何不等式几何不等式是利用几何图形的性质来解决不等式问题。
对于几何不等式，考生需要通过合理的假设、推理以及几何图形的性质来求解。
在解决几何不等式问题时，应灵活运用几何知识和不等式知识，结合具体题目进行分析和推导。
高中数学：基本不等式(含答案)
高中数学：必修5 基本不等式一、基础知识1．重要不等式：a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )一般地，对于任意实数a ，b ，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当______________时，等号成立．2．基本不等式如果a ＞0，b ＞0，那么2a bab +≤，当且仅当______________时，等号成立． 其中，2a b+叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数． 因此基本不等式也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．基本不等式的证明（1）代数法：方法一 因为a ＞0，b ＞0，所以我们可以用a ，b 分别代替重要不等式中的a ，b ，得22()()2a b a b +≥⋅，当且仅当a b =时，等号成立．即2a bab +≥( a ＞0，b ＞0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 方法二 因为2222()()2()0a b ab a b ab a b +-=+-=-≥， 所以20a b ab +-≥，即2a b ab +≥，所以2a bab +≤． 方法三 要证2a bab +≥，只要证2a b ab +≥，即证20a b ab +-≥，即证2()0a b -≥，显然2()0a b -≥总是成立的，当且仅当a ＝b 时，等号成立．（2）几何法：如图，AB 是圆的直径，C 是AB 上一点，AC ＝a ，BC ＝b ，过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD ，BD ．易证Rt Rt ACD DCB △∽△，则CD 2＝CA ·CB ，即CD ＝______________．这个圆的半径为2a b +，显然它大于或等于CD ，即2a bab +≥，当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立．2a bab +≤的几何意义：半径不小于半弦．4．重要不等式和均值不等式的常用变形公式及推广公式（1）2b a a b +≥(a ，b 同号)；2b aa b +≤-(a ，b 异号)． （2）12a a +≥(a ＞0)；12a a+≤-(a ＜0)． （3）114a b a b +≥+(a ＞0，b ＞0)；22a a b b≥-(a ＞0，b ＞0)．（4）222a b ab +≤，2()2a b ab +≤，4ab ≤a 2＋b 2＋2ab ，2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(,)a b ∈R ． （5）12212(,,,,2)nn n a a a a a a a n n n+++≥∈≥∈R N ,．（6）2121212111()()(,,,n n na a a n a a a a a a ++++++≥为正实数，且2)n n ≥∈N ,．5．均值不等式链若a ＞0，b ＞0，则2112a b a b+≤≤≤+，当且仅当a ＝b 时，等号成立．其中211a b +分别叫做a ，b 的调和平均数和平方平均数．6．最值定理已知x ＞0，y ＞0，则若x＋y 为定值s ，则当且仅当x ＝y 时，积xy 有最大值24s (简记：和定积最大)； 若xy 为定值t ，则当且仅当x ＝y 时，和x ＋y有最小值简记：积定和最小)．参考答案：重难易错点：一、利用基本不等式判断不等式是否成立要判断不等式是否成立，关键是把握其运用基本不等式时能否严格遵循“一正、二定、三相等”这三个条件．例1.（1）设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f )，q ＝()2a b f +，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是 A ．q ＝r ＜pB ．p ＝r ＜qC ．q ＝r ＞pD ．p ＝r ＞q（2）给出下列不等式：①12x x +≥；②1||2x x+≥；③21(0)4x x x +>>；④1sin 2sin x x +≥；⑤若0＜a ＜1＜b ，则log a b ＋log b a ≤－2．其中正确的是______________． 【答案】（1）B ；（2）②⑤．【点析】基本不等式常用于有条件的不等关系的判断、比较代数式的大小等．一般地，结合所给代数式的特征，将所给条件进行转换（利用基本不等式可将整式和根式相互转化），使其中的不等关系明晰即可解决问题．二、利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式的一般思路：先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的形式；若题目中还有其他条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换．另外，解题时要时刻注意等号能否取到．例2.（1）已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：222a b c a b c b c a++≥++；（2）已知a ＞b ，ab ＝2，求证：224a b a b+≥-．观察a－b，a2＋b2，可联想到通过加减2ab的方法配凑出(a－b)2，从而化为可使用基本不等式的形式，结合ab ＝2可使问题得到解决．三、利用基本不等式求最值（1例3.（1）已知f(x)＝x＋1x＋2(x＜0)，则f(x)有A．最大值为4B．最小值为4 C．最小值为0 D．最大值为0（2）已知0＜x＜4，则x(4－x)取得最大值时x的值为A．0 B．2 C．4 D．16（3）已知函数f(x)＝2x(x＞0)，若f(a＋b)＝16，则f(ab)的最大值为_______________；（4）已知a，b∈R，且ab＝8，则|a＋2b|的最小值是_______________．【答案】（1）D；（2）C；（3）16；（4）8．【点析】利用基本不等式求最值要牢记三个关键词：一正、二定、三相等，即①一正：各项必须为正；②二定：各项之和或各项之积为定值；③三相等：必须验证取等号时条件是否具备．（2使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、凑项、凑系数等．例4.（1）已知x＞0，则函数y＝231x xx++的最小值为_______________；（2）若x＞1，则函数y＝11xx+-的最小值为_______________；（3）若0＜x＜125，则函数y＝x(12－5x)的最大值为_______________．（31”的替换，或构造不等式求解．例5.（1）已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则11a b+的最小值为_______________；（2）已知a＞0，b＞0，11a b+＝2，则a＋b的最小值为_______________；（3）若正实数x，y满足x＋y＋3＝xy，则xy的最小值是_______________；（4）已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值是_______________． 【答案】（1）4；（2）2；（3）9；（4）2．【点析】在构造不等式求最值时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用．例如，当a ＞0，b ＞0时，a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤222a b +；2a b+≥ab 逆用就是ab ≤2()2a b +等．还要注意“添项、拆项、凑系数”的技巧和等号成立的条件等．四、基本不等式在实际中的应用利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的几何图形，通过相关的关系建立关系式．在解题过程中尽量向模型2bax ab x+≥(a ＞0，b ＞0，x ＞0)上靠拢． 例6.如图，要规划一个矩形休闲广场，该休闲广场含有大小相等的左右两个矩形草坪（如图中阴影部分所示），且草坪所占面积为18 000 m 2，四周道路的宽度为10 m ，两个草坪之间的道路的宽度为5 m ．试问，怎样确定该矩形休闲广场的长与宽的尺寸（单位：m ），能使矩形休闲广场所占面积最小？【答案】当矩形休闲广场的长为140 m ，宽为175 m 时，可使休闲广场的面积最小．【点析】本题容易出现的思维误区：①未能理清草坪边长与休闲广场边长之间的关系；②求出目标函数后不会运用基本不等式求最值，缺乏必要的配凑、转化变形能力，从而无法利用基本不等式求最值，或者不会利用基本不等式等号成立的条件求变量的取值．五、忽略等号成立的条件导致错误例7、函数22()2f x x =+的最小值为_______________．【错解】2222223211()22222x x f x x x x x +++===++≥+++，所以函数()f x 的最小值为2．【错因分析】错解中使用基本不等式时，等号成立的条件为22122x x +=+，即22x +＝1，显然x 2≠－1，即等号无法取到，函数()f x 的最小值为2是不正确的． 【正解】()21222+++=x x x f ，令()()t t t g t x t 1,2,22+=≥+=.易知函数()tt t g 1+=在[)∞+，2上六、忽略等号成立的一致性导致错误例8、若x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，则11x y+的最小值为_______________．基本不等式：基础习题强化1．已知01x <<，则(1)x x -取最大值时x 的值为A B C D 2．若实数,a b 满足323a b +=，则84a b +的最小值是A ．B ．4C ．D ．3．若0,0,x y >>且22x y +=，则21x y+的最小值是A ．3BC ．3D ．924．若1a >，则211a a a -+-的最小值是A ．2B ．4C ．1D ．35．已知2212,202b m a a n b a -=+>=≠-（）（），则m ，n 之间的大小关系是 A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ＝nD ．不能确定6．己知,a b 均为正实数，且直线60ax by +-=与直线()3250b x y --+=互相垂直，则23a b +的最小值为 A ．12B ．13C ．24D ．257．已知0a >，0b >，11a b a b +=+，则12a b+的最小值为A ．4B ．C ．8D ．168．若正数a ，b 满足3ab a b =++，则ab 的取值范围为________________． 9．已知,,a b c +∈R ，且3a b c ++=，则111a b c++的最小值是________________．10．若实数a ，b 满足12a b+=ab 的最小值为________________． 11．设230<<x ，则函数4(32)y x x =-的最大值为________________． 12．已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为________________时，22log log (2)a b ⋅取得最大值．能力提升13．已知a ，b 都是正实数，且满足2a b ab +=，则2a b +的最小值为A ．12B ．10C ．8D ．614．已知1,1a b >>，且11111a b +=--，则4a b +的最小值为 A ．13B ．14C ．15D ．1615．已知不等式1)()9ax y x y++≥（对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为 A ．8B ．6C ．4D ．216．若正实数,a b 满足1a b +=，则A ．11a b+有最大值4 B ．ab 有最小值14C ．a b +有最大值2D ．22a b +有最小值2217．已知0,0a b >>，若不等式3103m a b a b--≤+恒成立，则m 的最大值为 A ．4B ．16C ．9D ．318．设实数x ，y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值为A ．252B ．492C ．12D ．1419．已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则111a b c++的最小值为_________________． 20．在4×＋9×＝60的两个中，分别填入一个自然数，使它们的倒数之和最小，则中应分别填入____________和____________．21．若a ，b ，c ＞0且(a ＋c )(a ＋b )＝423-，则2a ＋b ＋c 的最小值为________________． 22．已知正实数a ，b 满足：1a b +=，则222a ba b a b +++的最大值是________________．其他23．某校要建一个面积为450平方米的矩形球场，要求球场的一面利用旧墙，各面用钢筋网围成，且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个3米的进出口（如图所示）．设矩形的长为x 米，钢筋网的总长度为y 米． （1）列出y 与x 的函数关系式，并写出其定义域；（2）问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？24．（1）求函数2710(1)1x x y x x ++=>-+的最小值；（2）已知正数a ，b 和正数x ，y ，若a ＋b ＝10，1a bx y+=，且x ＋y 的最小值是18，求a ，b 的值．25．已知函数2()21,f x x ax a a =--+∈R ．（1）若2a =，试求函数()(0)f x y x x=>的最小值； （2）对于任意的[0,2]x ∈，不等式()f x a ≤成立，试求a 的取值范围．26．（天津文理）已知a ，b ∈R ，且360a b -+=，则128ab+的最小值为_______________． 27．（江苏）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为_______________．28．（山东理）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是A ．()21log 2aba ab b +<<+ B ．()21log 2a b a b a b<+<+ C ．()21log 2a b a a b b +<+<D ．()21log 2a ba b a b +<+< 29．（天津文理）若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为________________．30．（江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________________． 31．（山东文）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点（1，2），则2a b +的最小值为________________．【参考答案】1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】D 5．【答案】A 6．【答案】D 7．【答案】B8．【答案】[)+∞,9 9．【答案】3 10．【答案】 11．【答案】9212．【答案】4 13．【答案】C 14．【答案】B 15．【答案】C 16．【答案】C 17．【答案】B 18．【答案】A19．【答案】9 20．【答案】6 4 21．【答案】2 22．23．【答案】（1）9003(0150)y x x x=+-<<；（2）长为30米，宽为15米时，所用的钢筋网的总长度最小． 24．【答案】（1）9；（2）28a b =⎧⎨=⎩或82a b =⎧⎨=⎩． 25．【答案】（1）2-；（2）3[,)4+∞．26．【答案】0.25 27．【答案】9 28．【答案】B 29．【答案】4 30．【答案】30 31．【答案】8。
高三不等式必背知识点
高三不等式必背知识点在高中数学课程中，不等式是一个重要且普遍存在的概念，而解不等式是解析几何、函数、导数等数学领域的基础。
在高三阶段，不等式也是重要的数学知识点之一。
本文将介绍高三阶段必背的不等式知识点，包括基本不等式、三角不等式、均值不等式等。
一、基本不等式基本不等式是指数学中最基础、最常用的两个不等式：算术平均-几何平均不等式和柯西-斯瓦茨不等式。
1. 算术平均-几何平均不等式（AM-GM不等式）对于非负实数 $a_1、a_2、\ldots、a_n$，AM-GM 不等式定义为：$$\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}\geq \sqrt[n]{a_1\cdot a_2\ldots a_n}$$其中，等号成立的条件是$a_1=a_2=\ldots=a_n$。
2. 柯西-斯瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）对于实数 $a_1、a_2、\ldots、a_n$ 和实数 $b_1、b_2、\ldots、b_n$，柯西-斯瓦茨不等式定义为：$$(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\ldots+b_n^2)\geq (a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n)^2$$其中，等号成立的条件是$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\ldots=\frac{a_n}{b_n}$。
二、三角不等式三角不等式是指与三角函数相关的一系列不等式，在解析几何和三角学中有重要的应用。
1. 直角三角形的三角不等式对于直角三角形，设斜边为 $c$，两个直角边分别为 $a$ 和$b$，那么三角不等式定义为：$$a+b>c$$2. 一般三角形的三角不等式对于一般的三角形，设边长分别为 $a、b、c$，则有三种不等式：$$a+b>c, a+c>b, b+c>a$$其中，任意两边之和大于第三边。
三、均值不等式均值不等式是指反映一组数的平均值和什么程度相差的不等式。
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基本不等式
【考点梳理】
1．基本不等式ab ≤
a ＋b
2
(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式 (1)a 2
＋b 2
≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b
≥2(a ，b 同号且不为零)； (3)ab ≤⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；
(4)⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22≤a 2
＋b 2
2(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数
设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为
a ＋b
2
，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则
(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2
4(简记：和定积最大)．
【考点突破】
考点一、配凑法求最值
【例1】(1)若x ＜
54，则f (x )＝4x －2＋145
x -的最大值为________． (2)函数y ＝
x －1
x ＋3＋x －1
的最大值为________.
[答案] (1) 1 (2) 1
5
[解析] (1)因为x ＜5
4
，所以5－4x ＞0，
＝－2＋3＝1.
当且仅当5－4x ＝1
5－4x ，即x ＝1时，等号成立.
故f (x )＝4x －2＋1
4x －5的最大值为1.
(2)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2
＋1， 所以y ＝
t
t 2
＋1＋3＋t ＝
t
t 2
＋t ＋4
.
当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 当t ＞0，即x ＞1时，y ＝
1
t ＋4t
＋1
， 因为t ＋4
t
≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，
所以y ＝
1t ＋4t
＋1
≤1
5， 即y 的最大值为1
5(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值). 【类题通法】
1.应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.
2.在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. 【对点训练】 1．若函数f (x )＝x ＋
1
x －2
(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋2 B ．1＋3 C ．3 D ．4 [答案] C
[解析] 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋
1
x －2
＋2≥2（x －2）×
1
x －2
＋2＝4，当
且仅当x －2＝
1
x －2
(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，即a ＝3，选C. 2．函数y ＝x 2＋2
x －1
(x >1)的最小值为________.
[答案] 23＋2
[解析] y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3
x －1
＝（x －1）2
＋2（x －1）＋3
x －1
＝(x －1)＋
3
x －1
＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3
x －1，即x ＝3＋1时，等号成立.
考点二、常数代换或消元法求最值
【例2】(1)已知x ，y 均为正实数，且
1x ＋2＋1y ＋2＝16
，则x ＋y 的最小值为( ) A ．24 B ．32 C ．20 D ．28 (2)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. [答案] (1) C (2) 6
[解析] (1)∵x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16
， 则x ＋y ＝(x ＋2＋y ＋2)－4 ＝6⎝
⎛⎭⎪
⎫1x ＋2＋1y ＋2(x ＋2＋y ＋2)－4
＝6⎝
⎛⎭
⎪⎫
2＋
x ＋2y ＋2＋y ＋2x ＋2－4 ≥6×⎝
⎛⎭
⎪⎫
2＋2
x ＋2y ＋2·y ＋2x ＋2－4＝20， 当且仅当x ＝y ＝10时取等号. ∴x ＋y 的最小值为20. (2)由已知得x ＝9－3y
1＋y .
法一 (消元法)
因为x ＞0，y ＞0，所以0＜y ＜3，
所以x ＋3y ＝9－3y
1＋y ＋3y
＝
12
1＋y
＋3(y ＋1)－6≥212
1＋y
·3（y ＋1）－6＝6， 当且仅当12
1＋y ＝3(y ＋1)，
即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6. 法二 ∵x ＞0，y ＞0，
9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22
，
当且仅当x ＝3y 时等号成立.
设x ＋3y ＝t ＞0，则t 2
＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0，又∵t ＞0，∴t ≥6. 故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6. 【类题通法】
条件最值的求解通常有三种方法：
一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；
二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；
三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解. 【对点训练】
1．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________. [答案] 5
[解析] 法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋3
5x ＝1，
∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝
⎛⎭
⎪⎫15y ＋35x
＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝1
2时，等号成立)， ∴3x ＋4y 的最小值是5.
法二 由x ＋3y ＝5xy ，得x ＝3y
5y －1，
∵x >0，y >0，∴y >1
5
，
∴3x ＋4y ＝9y 5y －1＋4y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15＋95＋4
5－4y 5⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15＋4y ＝135＋95·15y －15＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15≥13
5＋2
3625
＝5，
当且仅当y ＝1
2
时等号成立，∴(3x ＋4y )min ＝5.
2．已知直线l ：ax ＋by －ab ＝0(a >0，b >0)经过点(2，3)，则a ＋b 的最小值为________. [答案] 5＋2 6
[解析] 因为直线l 经过点(2，3)，所以2a ＋3b －ab ＝0，所以b ＝2a
a －3
>0，所以a －3>0，所以a ＋b ＝a ＋
2a a －3＝a －3＋6a －3
＋5≥5＋2（a －3）·
6
a －3
＝5＋26，当且仅当a －3＝6
a －3
，即a ＝3＋6，b ＝2＋6时等号成立. 考点三、基本不等式的实际应用
【例3】某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元.
[答案] 2 20
[解析] 设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝
k 1x (k 1≠0)，y 2＝k 2
x
(k 2≠0)，
∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元， ∴k 1＝5，k 2＝20，∴运费与仓储费之和为⎝ ⎛⎭
⎪⎫5x ＋20x 万元，
∵5x ＋20
x
≥2
5x ×20x ＝20，当且仅当5x ＝20
x
，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为
20万元. 【类题通法】
1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.
3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)求解. 【对点训练】
一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为______m ，宽为________m 时菜园面积最大.
[答案] 15
15
2
[解析] 设矩形的长为x m ，宽为y m ，则x ＋2y ＝30．
所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号.。