高考数学全国卷选做题之不等式

2010——2016《不等式》高考真题
2010全国卷设函数f(x)=241
x-+
（Ⅰ)画出函数y=f(x)的图像；
（Ⅱ）若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围. 2011全国卷设函数()||3
=-+，其中0
f x x a x
a>．
（I）当a=1时，求不等式()32
≥+的解集．
f x x
（II）若不等式()0
x≤-，求a的值．
f x≤的解集为｛x|1}
2012全国卷已知函数f (x ) = |x + a | + |x －2|.
(Ⅰ)当a =－3时，求不等式f (x )≥3的解集；
(Ⅱ)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。

2013全国卷Ⅰ 已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +.
（Ⅰ）当a =-2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集；
（Ⅱ）设a ＞-1,且当x ∈[2a -，12
)时，()f x ≤()g x ,求a 的取值范围.
2013全国卷Ⅱ 设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：
(1)ab ＋bc ＋ac ≤13； (2)2221a b c b c a
++≥.
2014全国卷Ⅰ 若,0,0>>b a 且ab b
a =+11
（I ）求33b a +的最小值；
（II ）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由.
2014全国卷Ⅱ设函数()
f x=1(0)
++->
x x a a
a
（Ⅰ）证明：()
f<，求a的取值范围.
f x≥2 （Ⅱ）若()35
2015全国卷Ⅰ已知函数=|x+1|-2|x-a|，a>0.
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；
（Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围
2015全国卷Ⅱ设d
,均为正数，且d
a,,
c
b
a+
+.证明：
=
b
c
（1
2016全国卷Ⅰ已知函数f(x)= ∣x+1∣-∣2x-3∣.
（I）在答题卡第（24）题图中画出y= f(x)的图像；（II）求不等式∣f(x)∣﹥1的解集。

2016全国卷Ⅱ 已知函数f (x )= ∣x -21∣+∣x +2
1∣，M 为不等式f (x ) ＜2的解集.
（I ）求M ；
（II ）证明：当a ,b ∈M 时，∣a +b ∣＜∣1+ab ∣。

（Ⅰ）由于()x f ={25,23, 2.x x x x -+<2.-≥则函数()x y f =的图像如图所示。

……5分 （Ⅱ）由函数()x y f =与函数y ax =的图像可知，当且仅当2a <-时，函数()x y f =与函数y ax =的图像有交点。

故不等式()x f ax ≤的解集非空时，a 的取值范围为
()1,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭。

……10分 2011全国卷
（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥。

由此可得 3x ≥或1x ≤-。

故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-。

( Ⅱ) 由()0f x ≤ 得30x a x -+≤
此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩ 或30
x a a x x ≤⎧⎨-+≤⎩ 即 4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩ 或2
x a a x ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩ 因为0a >，所以不等式组的解集为{}|2a
x x ≤- 由题设可得2a
-= 1-，故2a =
2012全国卷
（1）当3a =-时，()3323f x x x ≥⇔-+-≥
2323x x x ≤⎧⇔⎨-+-≥⎩或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-≥⎩或3323x x x ≥⎧⇔⎨-+-≥⎩
1x ⇔≤或4x ≥ （2）原命题()4f x x ⇔≤-在[1,2]上恒成立24x a x x ⇔++-≤-在[1,2]上恒成立
22x a x ⇔--≤≤-在[1,2]上恒成立30a ⇔-≤≤
(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，
则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩
其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.
所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．
(2)当x ∈1
,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.
所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣
⎭都成立． 故2
a -≥a －2，即43a ≤. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦
. 2013全国卷Ⅱ
解：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，
得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .
由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.
所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13
.
(2)因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a
+≥， 故222()a b c a b c b c a
+++++≥2(a ＋b ＋c )， 即222a b c b c a
++≥a ＋b ＋c . 所以222a b c b c a ++≥1. 2014全国卷Ⅰ
(Ⅰ)
11a b =+≥
，得2ab ≥
，且当a b ==
故3342a b
+≥=，且当a b =
=时等号成立，∴33a b +的最小值为………5分
（Ⅱ）由(
Ⅰ)
知：23
a b +≥≥，由于＞6，从而不存在,a b ，使得236a b +=.…10分
2014全国卷Ⅱ
（Ⅰ）由a>0,有f （x ）=｜x+1/a ｜+｜x-a ｜≥｜x+1/a-(x-a)｜=1/a+a ≥2. 所以f （x ）≥2.
（Ⅱ）f （x ）=｜3+1/a ｜+｜3-a ｜.
当a ＞3时，f （3）=a+1/a ，由f （3）＜5得3＜a ＜ 当0<a ≤3时，f （3）=6-a+，f （3）<5
得
<a ≤3综上所诉，a 的取值范围为
（） 2015全国卷Ⅰ
（1）解析：（I ）当1a =时，不等式()1f x >可化为1211x x +-->，等价于
11221x x x ≤-⎧⎨--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221x x x ≥⎧⎨+-+>⎩，解得223x <<. （2）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩
， 所以函数()f x 的图像与x 轴围成
的三角形的三个顶点分别为21(
,0)3a A -，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22
(1)3a +.由题设得22(1)3a +＞6，解得2a >.所以a 的取值范围为（2，+∞）. 2015全国卷Ⅱ
【解析】（
Ⅰ）因
为2
a b b
=++
，2c d =++，由题设
a b c d
+=+，ab
cd >
，得22
>
>
（Ⅱ）（ⅰ）若a b c d -<-，则22()()a b c d -<-．即22()4()4a b ab c d cd +-<+-．因为a b c d +=+，所以ab cd >
> （ⅱ）
>
则22>，
即a b ++
>c d ++因为a b c d +=+，所以ab cd >，于是22()()4a b a b ab -=+-2()4c d cd <+-2()c d =-．因此a b c d -<-
>a b c d -<-的充要条件． 2016全国卷Ⅰ
⑴ 如图所示：
⑵
()4133212342
x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥ ()1f x > 当1x -≤，41x ->，解得5x >或3x <
1x -∴≤ 当312x -<<，321x ->，解得1x >或13x < 113x -<<∴或312
x << 当32
x ≥，41x ->，解得5x >或3x < 332
x <∴≤或5x >
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文案大全 综上，1
3x <或13x <<或5x >
()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫
-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，
2016全国卷Ⅱ ⑴当时，由得解得；
当时，
； 当时，由得解得. 所以的解集.
（II ）由（I
）知，当时，，从而
， 因此。