2020年高考数学复习题：基本不等式及其应用

基本不等式及其应用

[基础训练]

1．下列结论中正确的个数是( ) ①若a >0，则a 2

＋1

a 的最小值是2a ；

②函数f (x )＝sin 2x 3＋cos 2x 的最大值是2；

③函数f (x )＝x ＋1

x 的值域是[2，＋∞)；

④对任意的实数a ，b 均有a 2＋b 2≥－2ab ，其中等号成立的条件是a ＝－b .

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

答案：B 解析：①错误：设f (a )＝a 2

＋1

a ，其中a 是自变量，2a

也是变化的，不能说2a 是f (a )的最小值；

②错误：f (x )＝sin 2x

3＋cos 2

x ≤sin 2x ＋3＋cos 2x 2

＝2，当且仅当sin 2x ＝3＋cos 2x 时等号成立，此方程无解， ∴等号取不到，2不是f (x )的最大值； ③错误：当x >0时，x ＋1

x ≥2

x ·1x ＝2，

当且仅当x ＝1

x ，即x ＝1时等号成立；

当x <0时，－x >0，x ＋1

x ＝－? ??

??－x ＋1－x

≤－2

－x ·1

－x

＝－2，

￥

当且仅当－x ＝－1

x ，即x ＝－1时等号成立．

∴f (x )＝x ＋1

x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)； ④正确：利用作差法进行判断．

∵a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2≥0，∴a 2＋b 2≥－2ab ，其中等号成立的条件是a ＋b ＝0，即a ＝－b .

2．[2019河北张家口模拟]已知a ＋2b ＝2，且a >1，b >0，则

a －1＋1

b 的最小值为( )

A ．4

B ．5

C ．6

D ．8

答案：D 解析：因为a >1，b >0，且a ＋2b ＝2，

所以a －1>0，(a －1)＋2b ＝1，

所以2a －1＋1b ＝? ????2

a －1＋1

b ·[(a －1)＋2b ]

＝4＋4b a －1

＋a －1b ≥4＋2

4b a －1·a －1

＝8，当且仅当4b a －1＝a －1

b 时等号成立，

所以2a －1

＋1b 的最小值是8，故选D.

3．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2]

B ．[－2,0]

C ．[－2，＋∞)

D ．(－∞，－2]

！

答案：D 解析：∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)，

∴2

x ＋y

≤12，∴2x ＋y

≤14，

得x ＋y ≤－2.故选D.

4．已知x ＞0，y ＞0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) B ．2 2 D ．2

答案：D 解析：∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ， ∴4≤4xy －22xy ，

…

即(2xy －2)(2xy ＋1)≥0，

∴2xy ≥2，∴xy ≥2.

5．用一段长为L 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则菜园的

最大面积为( )

D ．L 2

答案：A 解析：设菜园平行于墙的一边长为x ，其邻边长为y ，

则x ＋2y ＝L ，面积S ＝xy ，

因为x ＋2y ≥22xy ，所以xy ≤x ＋2y 2

＝L 2

8，

》

当且仅当x ＝2y ＝L 2，即x ＝L 2，y ＝L 4时，S max ＝L 2

8，

故选A.

6．[2019云南玉溪一中月考]已知f (x )＝x 2－2x ＋1

x ，则f (x )在????

?12，3上的最小值为( )

C ．－1

D ．0

答案：D 解析：f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1

x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1

x ，即x ＝1时等号成立．

又1∈??????12，3，所以f (x )在????

12，3上的最小值是0.

7．[2019天津和平区期末]已知a >0，则a －1

4a －1

的最

小值为________．

(

答案：－1 解析：a －1

4a －1

＝4a 2－a －4a ＋1a

＝4a －5＋1a .

∵a >0，∴4a －5＋1

a ≥24a ·1a －5＝－1，

当且仅当4a ＝1a ，即a ＝1

2时等号成立， ∴

a －1

4a －1

a 的最小值为－1.

8．[2019江苏苏北四市联考]若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3? ??

则3x ＋1

y －3

的最小值为________．

答案：8 解析：∵实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3? ????

∴x ＝3

y ＋3∈? ??

??0，12，解得y >3，

则3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6

≥2

y －3·1y －3

＋6＝8，

当且仅当y ＝4? ??

x ＝37时等号成立．

9．[2019天津第一中学月考]对任意的θ∈?

????0，π2，不等式1

sin 2θ＋4

cos 2θ≥|2x －1|恒成立，则实数x 的取值范围是________．

答案：[－4,5] 解析：∵当θ∈? ??

??0，π2时，1sin 2θ＋4

cos 2θ＝

? ??

??1sin 2θ＋4cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝5＋cos 2θsin 2θ＋4sin 2θcos 2θ ≥5＋2

cos 2θsin 2θ·4sin 2θ

cos 2θ＝9，

当且仅当sin θ＝33，cos θ＝6

3时等号成立，

又1sin 2θ＋4

cos 2θ≥|2x －1|恒成立，

∴|2x －1|≤9，∴－4≤x ≤5，即x ∈[－4,5]．

10．[2019安徽黄山一模]已知函数f (x )＝k －|x －4|，x ∈R ，且f (x

＋4)≥0的解集为[－1,1]．

(1)求k 的值；

(2)若a ，b ，c 是正实数，且1ka ＋12kb ＋13kc ＝1，求证：19a ＋29b ＋3

9c ≥1. (1)解：因为f (x )＝k －|x －4|，所以f (x ＋4)≥0等价于|x |≤k .

由|x |≤k 有解得k ≥0，且其解集为{x |－k ≤x ≤k }．又f (x ＋4)≥0的解集为[－1,1]，故k ＝1. (2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋1

3c ＝1， !

又a ，b ，c 是正实数，由均值不等式得

a ＋2

b ＋3

c ＝(a ＋2b ＋3c )? ????1a ＋12b ＋13c ＝3＋? ????a 2b ＋2b a ＋? ????a 3c ＋3c a ＋? ??

2b 3c ＋3c 2b

≥3＋2＋2＋2＝9.

当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立，所以19a ＋29b ＋39c ≥1.

[强化训练]

(－6≤a ≤3)的最大值为( ) }

A ．9 C ．3

答案：B 解析：解法一：因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，则由基本(均值)不等式可知，

3－a

a ＋6≤

3－a ＋a ＋62

＝9

2，

当且仅当a ＝－3

2时等号成立．解法二：

3－a

a ＋6＝

－? ??

??a ＋322＋814≤92，当且仅当a ＝－3

2时等号成立．

2．[2018内蒙古包头二模]已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4

n 的最小值为( ) ￥

答案：A 解析：解法一(常数代换法)：

设数列{a n }的公比为q (q >0)，

由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，可得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，所以q 2－q －2＝0，所以q ＝2.

因为a m a n ＝4a 1，所以q m ＋n －2＝16，所以2m ＋n －2＝24，所以m ＋n ＝6，

所以1m ＋4n ＝1

6(m ＋n )? ??

?1m ＋4n

＝16? ????5＋n m ＋4m n ≥16×(5＋4)＝3

2，

当且仅当n m ＝4m

n 时，等号成立，所以1m ＋4n 的最小值为3

2，故选A. 解法二(拼凑法)：

由解法一可得m ＋n ＝6，所以n ＝6－m ，又m ，n ≥1，所以1≤m ≤5.

故1m ＋4n ＝1m ＋4

6－m ＝6－m ＋4m m 6－m ＝3m ＋2m 6－m

]

＝3

m 6－m m ＋2＝－3

[m ＋2－2][m ＋2－8]

m ＋2

＝

－3

m ＋2＋16

m ＋2

－10

. 由基本不等式，得(m ＋2)＋16

m ＋2－10

≥2

m ＋2×

m ＋2

－

＝

－

2? ??

??当且仅当m ＋2＝16m ＋2，即m ＝2时等号成立，易知(m ＋2)＋16m ＋2－10<0，

所以1m ＋4n ≥－3－2＝32

.故选A.

3．设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ? ??

??a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )

A ．q ＝r ＜p

B ．p ＝r ＜q

C ．q ＝r ＞p

D ．p ＝r ＞q

答案：B 解析：因为b ＞a ＞0，故a ＋b

2＞ab .

又f (x )＝ln x (x ＞0)为增函数，

所以f ? ??

a ＋

b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝1

2(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p .

4．[2019西安模拟]设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →

＝(－b,0)(a >0，b >0，O 为坐标原点)，若A ，B ，C 三点共线，则2a ＋1

b 的最小值是( )

A ．4 C ．8 D ．9

答案：D 解析：因为AB →＝OB →－OA →

＝(a －1,1)， AC →＝OC →－OA →

＝(－b －1,2)，

若A ，B ，C 三点共线，则有AB →∥AC →

，

所以(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，所以2a ＋b ＝1，又a >0，b >0，所以2a ＋1b ＝? ????2a ＋1b ·(2a ＋b )

＝5＋2b a ＋2a

b ≥5＋2

2b a ×2a

b ＝9，

当且仅当???

2b a ＝2a b

，

2a ＋b ＝1，

即a ＝b ＝1

3时等号成立．

5．[2018河南信阳二模]如图，将一半径为2的半圆形纸板裁剪成等腰梯形ABCD 的形状，下底AB 是半圆的直径，上底CD 的端点在圆周上，则所得梯形面积的最大值为( )

—

A ．3 3

B ．3 2

C ．5 3

D ．52

答案：A 解析：如图，设半圆圆心为O ，

连接OD ，过C ，D 分别作DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，

垂足分别为E ，F .

设∠AOD ＝θ，θ∈? ??

0，π2，OE ＝2cos θ，DE ＝2sin θ.

可得CD ＝2OE ＝4cos θ，

∴梯形ABCD 的面积为S ＝1

2(4＋4cos θ)·2sin θ＝4sin θ(1＋cos θ)， \

S ′＝4(cos θ＋cos 2θ－sin 2θ)＝4(2cos 2θ＋cos θ－1)

＝4(2cos θ－1)(cos θ＋1)．

∵θ∈? ????0，π2，∴当θ∈? ????

0，π3时，S ′>0；

当θ∈? ??

π3，π2时，S ′<0.

∴当θ＝π

3，S 取得最大值，S ＝3 3.

6．[2019广东广州质检]设a ＝x 2－xy ＋y 2，b ＝p xy ，c ＝x ＋y ，若对任意的正实数x ，y ，都存在以a ，b ，c 为三边长的三角形，则实数p 的取值范围是( )

A ．(1,3)

B ．(1,2]

、

答案：A 解析：对任意的正实数x ，y ，a ＝x 2－xy ＋y 2≥2xy －xy ＝xy ，

当且仅当x ＝y 时等号成立， b ＝p xy ，c ＝x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y 时等号成立．

又三角形的任意两边之和大于第三边，所以xy ＋2xy >p xy ，p xy ＋xy >2xy ， p xy ＋2xy >xy ，解得1

;

7．[2019广东揭阳期末]当0

2时，函数f (x )＝1＋cos 2x ＋8sin 2x sin 2x

的最小值为( )

A ．2

B ．2 3

C ．4

D ．43 答案：C 解析：∵0

2，∴tan x >0， ∴f (x )＝1＋cos 2x ＋8sin 2x sin 2x ＝2cos 2x ＋8sin 2x

2sin x cos x ＝1＋4tan 2x tan x ＝1

tan x ＋4tan x ≥2

tan x ·

4tan x ＝4，当且仅当tan x ＝1

2时等号成立，

∴函数f (x )＝1＋cos 2x ＋8sin 2x

sin 2x 的最小值为4， [

故选C.

8．[2019四川成都月考]实数x ，y 满足2cos 2(x ＋y －1)＝

x ＋1

＋y －1

－2xy

x －y ＋1

，则xy 的最小值为( )

A ．2

B ．1

答案：D 解析：因为2cos 2(x ＋y －1)∈[0,2]， x ＋1

＋y －12

－2xy x －y ＋1

＝x 2＋y 2＋1－2xy ＋2x －2y ＋1

x －y ＋1

＝

x －y ＋12＋1

x －y ＋1

＝x －y ＋1＋1

x －y ＋1∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，

又2cos 2

(x ＋y －1)＝

x ＋1

＋y －12

－2xy

x －y ＋1

，

—

所以2cos 2(x ＋y －1)＝2，

所以x －y ＋1＝1，x ＋y －1＝k π(k ∈Z )，

所以x ＝y ＝k π＋1

2(k ∈Z )，所以xy ＝?

????k π＋122≥14

，当且仅当k ＝0时等号成立，故选D.

9．[2019江苏如皋质量调研]已知x ，y ，z 均为正数，2x ＋1

y ＝2，x ＋2y ＋2z ＝xyz ，则xyz 的最小值为________．

答案：16 解析：∵2x ＋1y ＝2y ＋x

xy ＝2， ∴2y ＋x ＝2xy ，

∴x ＋2y ＋2z ＝2xy ＋2z ＝xyz .

∵x ，y ，z 均为正数，z ＝2xy

xy －2>0，xy －2>0，

∴xyz ＝2xy 2xy －2＝2(xy －2)＋8

xy －2＋8

≥2

2xy －2×8xy －2

＋8＝16，

当且仅当2(xy －2)＝8

xy －2，即xy ＝4时等号成立，

∴xyz 的最小值为16.

10．[2017江苏卷]某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．

答案：30 解析：一年的总运费为6×600x ＝3 600

x (万元)．一年的总存储费用为4x 万元．

总运费与总存储费用的和为? ??

3 600x ＋4x 万元．

因为3 600

x ＋4x ≥2 3 600

x ·

4x ＝240，当且仅当3 600

x ＝4x ，即x ＝30时等号成立，

所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．

11．若正实数x ，y 满足不等式(x ＋y )(1＋xy )＝5xy ，则x ＋y 的最大值是________．

答案：4 解析：∵x ，y >0， ∴由xy ≤x ＋y

可得x ＋y xy ≥4

x ＋y

，

又∵(x ＋y )(1＋xy )＝5xy ， ∴5＝x ＋y xy ＋(x ＋y )≥4x ＋y ＋x ＋y ，

整理得(x ＋y )2－5(x ＋y )＋4≤0，解得1≤x ＋y ≤4.

当且仅当x ＝y ＝1

2时，x ＋y 取得最小值1；当且仅当x ＝y ＝2时，x ＋y 取得最大值4.

高考数学全国卷选做题之不等式

2010——2016《不等式》高考真题 2010全国卷设函数f(x)=241 x-+ （Ⅰ)画出函数y=f(x)的图像；（Ⅱ）若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围. 2011全国卷设函数()||3 =-+，其中0 f x x a x a>．（I）当a=1时，求不等式()32 ≥+的解集． f x x （II）若不等式()0 x≤-，求a的值． f x≤的解集为｛x|1}

2012全国卷已知函数f (x ) = |x + a | + |x －2|. (Ⅰ)当a =－3时，求不等式f (x )≥3的解集； (Ⅱ)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。 2013全国卷Ⅰ 已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +. （Ⅰ）当a =-2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集；（Ⅱ）设a ＞-1,且当x ∈[2a -，12 )时，()f x ≤()g x ,求a 的取值范围.

2013全国卷Ⅱ 设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13； (2)2221a b c b c a ++≥. 2014全国卷Ⅰ 若,0,0>>b a 且ab b a =+11 （I ）求33b a +的最小值；（II ）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由.

2014全国卷Ⅱ设函数() f x=1(0) ++-> x x a a a （Ⅰ）证明：() f<，求a的取值范围. f x≥2 （Ⅱ）若()35 2015全国卷Ⅰ已知函数=|x+1|-2|x-a|，a>0. （Ⅰ）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；（Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围

(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)

高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

高考数学不等式知识点总结及解题思路方法

高考数学不等式知识点总结及解题思路方法考试内容：不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明．（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．（4）掌握简单不等式的解法．（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ §06. 不等式知识要点 1.不等式的基本概念（1）不等（等）号的定义：. - = < ? a< ? b ? > > - = - b ; 0b ; a a a b b a b a （2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3）同向不等式与异向不等式. （4）同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质（1）a >（对称性） ? a< b b （2）c ? > >,（传递性） a> c a b b （3）c + ? > >（加法单调性） c a+ a b b （4）d + > >,（同向不等式相加） a+ > ? d b c a c b

（5）d b c a d c b a ->-?<>,（异向不等式相减）（6）bc ac c b a >?>>0,. （7）bc ac c b a 0,（乘法单调性）（8）bd ac d c b a >?>>>>0,0（同向不等式相乘） (9)0,0a b a b c d c d >><（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>?<（倒数关系）（11）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（平方法则）（12）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号）（3）如果a ,b 都是正数，那么 .2a b +（当仅当a=b 时取等号）极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○ 2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等 . ,3a b c a b c R +++∈≥(4)若、、则a=b=c 时取等号） 0,2b a ab a b >+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号） 2222(6)0||; ||a x a x a x a x a x a x a a x a >>?>?<->

2020年高考数学复习题：基本不等式及其应用

基本不等式及其应用 [基础训练] 1．下列结论中正确的个数是( ) ①若a >0，则a 2 ＋1 a 的最小值是2a ； ②函数f (x )＝sin 2x 3＋cos 2x 的最大值是2； ③函数f (x )＝x ＋1 x 的值域是[2，＋∞)； ④对任意的实数a ，b 均有a 2＋b 2≥－2ab ，其中等号成立的条件是a ＝－b . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 : 答案：B 解析：①错误：设f (a )＝a 2 ＋1 a ，其中a 是自变量，2a 也是变化的，不能说2a 是f (a )的最小值； ②错误：f (x )＝sin 2x 3＋cos 2 x ≤sin 2x ＋3＋cos 2x 2 ＝2，当且仅当sin 2x ＝3＋cos 2x 时等号成立，此方程无解， ∴等号取不到，2不是f (x )的最大值； ③错误：当x >0时，x ＋1 x ≥2 x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1 x ，即x ＝1时等号成立；当x <0时，－x >0，x ＋1 x ＝－? ?? ??－x ＋1－x ≤－2 －x ·1 －x ＝－2，￥当且仅当－x ＝－1 x ，即x ＝－1时等号成立． ∴f (x )＝x ＋1 x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)； ④正确：利用作差法进行判断．

∵a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2≥0，∴a 2＋b 2≥－2ab ，其中等号成立的条件是a ＋b ＝0，即a ＝－b . 2．[2019河北张家口模拟]已知a ＋2b ＝2，且a >1，b >0，则 2 a －1＋1 b 的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 答案：D 解析：因为a >1，b >0，且a ＋2b ＝2， \ 所以a －1>0，(a －1)＋2b ＝1，所以2a －1＋1b ＝? ????2 a －1＋1 b ·[(a －1)＋2b ] ＝4＋4b a －1 ＋a －1b ≥4＋2 4b a －1·a －1 b ＝8，当且仅当4b a －1＝a －1 b 时等号成立，所以2a －1 ＋1b 的最小值是8，故选D. 3．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] ！答案：D 解析：∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)， ∴2 x ＋y ≤12，∴2x ＋y ≤14，得x ＋y ≤－2.故选D. 4．已知x ＞0，y ＞0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) B ．2 2 D ．2 答案：D 解析：∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ， ∴4≤4xy －22xy ，

【高中数学】公式总结(均值不等式)

均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥ +2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则1 1122-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』

例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例已知5 4 x <，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

2020高考理科数学不等式问题的题型与方法

专题三：高考数学不等式问题的题型与方法（理科）一、考点回顾 1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． 4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络

其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求. 二、经典例题剖析 1．有关不等式的性质此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起例1．（xx 年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1 x 1b D.x <1b －或x >1a 解析：－b <1x 1 a 答案：D 点评：注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.（xx 年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（）Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2 ( )2 c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A 点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。例3．(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x ＜0时，