1.2充分条件与必要条件

二、概念理解
注意下列说法：
举例说明！
1.若p是q的充分条件，那么q是p的必要条件; 这时pq成立（是真命题）
q p也成立
2.若p是q的必要条件，那么q是p的充分条件; 这时q p成立（是真命题）
p q条件； 这时pq成立 2 p成立的一个充分条件是q. q p 3 p是q的必要条件； q p 4 q成立的一个必要条件是p. q p 5 p是q的充要条件； p 6 q成立的充要条件是p.
数学运用
例题4：指出下列各组命题中，p是q的什么 条件： （1） p：x-1=0；q：(x-1)(x+2)=0. （1）充分不必要条件 （2） p：两条直线平行；q：内错角相等. （2）充要条件 （3） p：a>b；q：a2>b2 （3）既不充分又不必要条件 （4） p：四边形的四条边相等； q：四边形是正四边形. （4）必要不充分条件
一、充分条件与必要条件 •一般地， “若p，则q” 为真命题， •是指由p经过推理能推出q，
•也就是说，如果p成立，那么q一定成立． 如何理解充分条件
•即：只要有p就能充分地保证q的成立， 和必要条件？ •这时我们说p可推出q，
记作：p q
我们就说p是q的充分条件；q是p必要条件．
上述定义知“ p q ”表示有p必有q， 所以p是q的充分条件，但同时说q是p的必要 条件是为什么呢？
q
判断p是q的什么条件的步骤
① 认清条件和结论。
② 考察p q和q p的真假。
判断的常用技巧
① 可先简化命题。 ② 否定一个命题只要举出一个反例即可。 ③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。
三、问题再现
1.x>2是“x>3”的（ B ）条件？提示:x>3 x>2
A.充分非必要条件；B.必要非充分条件；
课堂小结
1.充分条件
p是q的充分条件
这时q p
p q
这时q是p的必要条件！
2.必要条件
p是q的必要条件
q p
这时 q是p的充分条件！
选修2－1 第一章常用逻辑用语
1.2充分条件与必要条件
（第二课时）
一、复习回顾 1.充分条件 命题“若p,则q”为真.
若pq , 则称p是q的充分条件；
(3) x2-3x+2=0的一个充分条件是x=2；
(4) x2-3x+2≠0的一个充分条件是x≠2.
三、问题再现
3.p是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的 必要条件，那么q是p成立的（B ） A.充分条件； B.必要条件； C.充要条件； D.既非充分也非必要条件. 提示1：p r 提示2：r s 提示3：s q pq
例题2.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命 题 q是p的必要条件？
(1)若x=y,则x2=y2; (2)若两三角形全等,则这两个三角形的面积相等; (3)若a>b，则ac>bc. 点拨：还是判断“p q”是否为真命题。
例题3.填空题，试用适当的词语填空 充分不必要 （1）x＝y是x2＝y2的_____________ 条件 必要不充分 （2）ab = 0是a = 0 的________________条件 既不充分又不必要 （3）x2>1是x<1的__________________条件 充要 （4）x＝1或x＝2是x2－3x＋2＝0的_____条件
这时逆否命题：￢q，则￢P． 是真命题！ 即：“有p就有q”，那么“无q必定无p”，q 对p而言是必不可少的！ q是p的必要条件说明没有q就没有p了， q是 p成立的必不可少条件，当然有q 未必一定有p.
理解概念
理解概念
充分性：条件是充分的，也就是说条件是 充足的，条件是足够的，条件是足以保证结论 成立的。 “有之必成立，无之未必不成立” 你能举例说明吗？生活中有吗？
(3)如果A B，则p是q的
充要
(4)如果A是B的真子集，则p是q的 充分不必要
(5)如果A与B没有包含关系，则p是q的
既充分也不必要
条件
比较下列说法：
(1)下列哪个条件是x>5成立的必要条件？( A )
A.x>1;
C.x<5;
B.x>8;
谁是条件？谁是结论? D.x<6.
(2)下列哪个条件是x>5成立的充分条件？( B )
若张三是高中生，则张三是中学生。
必要性：必要就是必须，必不可少。 “有之未必成立，无之必不成立” 你能举例说明吗？生活中有吗？
从集合角度理解：
•P足以导致q,也就 是说条件p充分了； •q是p成立所 必须 具备的前提。
p
q，相当于p
q ，即
p
q 或 p、q
例如：集合P＝ x x 3 , Q x x 0，P Q， 若x P , 则x Q
课内活动 运用本节课所讲的知识填空
①“a和b都是偶数”是“a+b为偶数”的＿＿条件； ②“x＞5”是“x＞3”的 条件； ③“x≠3”是“|x|≠3”的 条件； ④“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被 5整除”的 条件； ⑤“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全 等”的 条件； （1）充分非必要 （2）充分非必要 答案： （3）必要非充分 （4）充分非必要
练习：在△ABC中，三个角A、B、C所对 的三边分别为a、b、c，求证：a>b>c的充要 条件是A>B>C. 注意：充分性是用哪个作条件？ 比较：
相同吗？
“a>b>c的充要条件是A>B>C.”
“a>b>c是A>B>C充要条件.”
五、充要条件的应用
例3、已知：p：x2－8x－20≤0，q： x2－2x＋1 －m2≤0（m>0）. ￢p是 ￢q的充分非必要条件， 求实数m的取值范围. 关键1.解出 关键2. ￢p ￢q,即qp
选修2－1第一章 常用逻辑用语
1.2充分条件与必要条件
（第一课时）
知 识 回 顾
原命题 若p则q 互 否 命 题 真 假 无 关 否命题 若﹁ p则﹁ q 逆命题 若q则p 互 否 命 题 真 假 无 关 逆否命题 若﹁ q则﹁p
学生活动 判断下列命题的真假. （1）若x＝y，则 x2=y2 （2）若ab = 0，则a = 0 （3）若x2 >1，则x<1 （4）若x＝1或x＝2,则 x2 －3x＋2＝0 问题1:条件和结论有什么关系? 真 假 假 真
m9
几种解法？ p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m；
关键3.设p、q的解集分别为A、B，则A、 B的关系是 B A

六、课内练习
教材P12－1、2
七、小结
1.理解充分非必要条件和必要非充分条件； 2.理解两种说法： “p是q的××条件”与“p成立的××条件是q” 3.初步掌握如何证明“充分性”、“必要性”
问题1:说明条件和结论有什么关系？

（1）x＝y
• （2）ab = 0 •
a = 0； （3）x2>1 x<1 ；
2 2

x2＝y2 ； x2＝y2

x＝ y
a=0
x<1
ab = 0

x2>1
• （4）x＝1或x＝2
x －3x＋2＝0 ； x －3x＋2＝0 x＝1或x＝2
新课概念 :定义
若pq，且q p，则称p是q的既不充分也 不必要条件．
数学运用 例题1.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命 题p是q的充分条件？ (1)若x=1,则x2-4x+3=0;
(2)若f(x)=x,则f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；
(3)若x为无理数，则x2为无理数. 点拨：事实上就是判断“p q”是否为真命题。 如(1)中“x＝1” “x2-4x+3=0”，所以“x＝1” 是 “x2-4x+3=0”的充分条件，但不可反推， 故“x＝1” 是 “x2-4x+3=0”的充分非必要条件.
四、问题探讨
例题1.下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p: b=0, q: f(x)=ax2+bx+c是偶函数；
(2)p: x>0,y>0, q: xy>0;
(3)p: a>b, q: a+c>b+c.
例2：已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l 的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的 充要条件． 分析：设p: d=r, q: l与⊙O相切. 先证明充分性： p q 再证明必要性： q p 点拨：此类问题应注意充分性和必要性的条件 （见书上过程）
2.必要条件
若pq , 则称q是 p的必要条件；
3.充要条件 若p q，则称p是q的充要条件.
命题“若p,则q”为真， 一般说法： 命题 “若q,则p” 为假
1.若pq ,但q p，则称p是q的充分但不必 要条件； 2.若pq，但q p，则称p是q的必要但不 充分条件； 3.若pq，且q p，则称p是q的既不充分 也不必要条件．
（5）必要非充分
图 示
：灯泡L ：开 关 ：电 源
现规定电路中，记“开关K 闭合”为p，“灯泡L 点亮”为q，指出下列各电路图中p是q的什么条件？
K K Ａ
A
K
K
A
L L
L
L
(A) p 是q 的 充要条件
(B) p 是q 的 必要而不 充分条件
(C) p 是q 的 充分而不 必要条件
(D) p 是q 的既 不充分也不 必要条件
C.充要条件；D.既非充分也非必要条件.
2.下列哪个条件是x>5成立的必要条件？( A)