平行线的判定和性质
平行线的判定与性质
第2节 平行线的判定与性质∙知识点聚焦1.三线八角（1）同位角：两条直线被第三条直线所截，截线的同旁，被截两直线的同一侧的角，我们把这 样的两个角称为同位角. 如图1∠和5∠，2∠和6∠3∠和7∠，4∠和8∠.（2）内错角：两条平行直线被第三条直线所截， 两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角.如图3∠和5∠，4∠和6∠ （3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角.如图4∠和5∠，3∠和6∠.2.平行线的判定方法（1）平行线的定义：在同一平面内不相交的两直线平行.（2）平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.（3）同位角相等，两直线平行. （4）内错角相等，两直线平行. （5）同旁内角互补，两直线平行. （6）垂直于同一条直线的两直线平行. 3.平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等. （2）两直线平行，内错角相等. （3）两直线平行，同旁内角互补.典型例题 41 2 3 5 876 ＤＣＢEＡF∙例1.如图，已知直线a ，b 被直线c ，d 所截，直线a ，c ，d 相交于点O ，按要求完成下列各小题．（1）在图中的∠1～∠9这9个角中，同位角共有多少对？请你全部写出来； （2）∠4和∠5是什么位置关系的角？∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同吗？分析：（1）直接利用两条直线被第三条直线所截成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线的同旁，则这样一对角叫做同位角，进而得出答案. 直接利用两条直线被第三条直线所截成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，进而得出答案.例2.如图，直线a ，b ，c 被直线l 所截，︒=∠︒=∠︒=∠723,1082,721，说明ba //的理由.分析：由条件可知31∠=∠，c a //；o 18032=∠+∠，c b //，从而有b a //.例3.（1）如图,CD 平分∠ACB,DE ∥BC,∠AED=80∘，求∠EDC 的度数.分析：由角平分线的定义，结合平行线的性质， 易求∠EDC 的度数．labc213（2）已知：如图,1∠=∠C ,2∠和D ∠互余,FD BE ⊥于点G .求证：CD AB //.分析：首先由FD BE ⊥，得1∠和D ∠互余， 再由已知，1∠=∠C ，2∠和D ∠互余， 所以得2∠=∠C ，从而证得CD AB //．例4.探究：(1)如图a ,若CD AB //，则E D B ∠=∠+∠，你能说明为什么吗? (2)反之，若E D B ∠=∠+∠，直线AB 与CD 有什么位置关系?请证明； (3)若将点E 移至图b 所示位置，此时B ∠、D ∠、E ∠之间有什么关系?请证明； (4)若将E 点移至图c 所示位置，情况又如何?(5)在图d 中,CD AB //，G E ∠+∠与D F B ∠+∠+∠又有何关系? (6)在图e 中,若CD AB //，又得到什么结论?分析：对于“折线”，“拐角”型问题，解决这类问题的办法是：经过拐点作平行线来沟通已知角和未知角的关系.例5.已知,如图,CD AB //，AE 平分BAC ∠，CE 平分ACD ∠，求证：CE AE ⊥分析：根据两直线平行，同旁内角互补可得o ACD BAC 180=∠+∠，在根据角平分线可知EAC ∠=21BAC ∠,ACD ACE ∠=∠21,然后求出o ACD BAC ACE EAC 90)(21=∠+∠=∠+∠，得o ACE 90=∠.例6.如图,在ABC ∆中,AB CE ⊥于E ,AB DF ⊥于F ,ED AC //，CE 是ACB ∠的角平分线。
平行线的判定定理和公理
平行线的判定定理和公理平行线的判定定理和公理平行线在几何学中非常重要，因为它对于正常的几何学、计算机图形学和其他相关领域都有重要的应用。
平行线的判定定理和公理是我们在几何学中学习平行线性质的基础知识。
本文将对平行线的判定定理和公理进行详细介绍，使读者对平行线的理解更加深入。
1.平行线的定义和性质在平面上给定一直线l和一点A，如果不过A的任意一条直线与l相交时，交点 angles 都等于90度，那么我们称直线l与A平行，并表示为l || A。
这是平行线的定义。
平行线的性质包括：(1) 平面上任意两条直线，要么相交成交角不为90度的两条直线，要么平行；(2) 如果一条直线与一组平行线相交，那么相交角相等；(3) 平面上有一条直线与平行于它的一组直线相交，那么两条直线被这组平行线所分成的对应角相等。
平行线的定义和性质是评估平行线的判定定理和公理的关键。
2. 平行线的判定定理平行线的判定定理有三种形式：点斜式判定、截距式判定和两线夹角判定。
点斜式判定：如果直线l与曲线y=mx+n平行，那么m 是l的斜率。
在平面上的一个点(x1, y1)，如果有一直线斜率为m，那么直线的点斜式的方程是：y-y1=m(x-x1)如果直线l与曲线y=mx+n平行，那么它们垂直的方向相同，即斜率m相同。
这意味着直线的点斜式方程中的m 值必须等于y = mx+n的方程中m的值。
因此，点斜式判定定理可以表示为：若直线l与曲线y=mx+n平行，则l的斜率m=n。
截距式判定：如果直线l与直线y=mx+b平行，那么b 是l的截距。
对于一个斜率为m的直线和一个截距为b的直线，它们可以表示为：y=mx+b当这两个直线平行时，它们将有相同的斜率，因此它们的截距也必须相等。
换句话说，如果直线l与直线y=mx+b平行，则l的截距b=mx0+ b,其中(x0, y0)是直线l 的一个点。
两线夹角判定：如果两条直线l1，l2与第三条直线l3垂直，那么l1，l2互相平行。
平行线性质知识点
平行线性质知识点在几何学中，平行线是一种特殊的线段关系，它们永远不会相交。
平行线性质是几何学的基本概念之一，对于解决与平行线相关的问题非常重要。
本文将介绍平行线的定义、判定方法以及与平行线性质相关的定理和公式。
一、平行线的定义平行线是指在同一个平面上，永远不相交的直线。
平行线的符号为"||"，可以通过符号表示两条直线平行。
二、平行线判定方法1. 垂直线判定法：如果两个直线之间的夹角为90°（或两直线的斜率乘积为-1），则这两条直线是平行的。
2. 普通角等于180°判定法：如果两个直线被一条第三条直线所切割，且这两个普通角之和等于180°，则这两条直线是平行的。
3. 铅垂判定法：如果两条直线上的两个铅垂线都平行，则这两条直线是平行的。
三、平行线性质定理1. 垂直平行线定理：如果一条直线与一对平行线相交，那么这条直线与另一条平行线也是垂直的。
2. 平行线的性质：两条平行线分别与第三条直线相交，那么对应角相等，内错角和外错角互补。
3. 平行线的平行线还是平行线定理：如果两条直线分别与一条平行线平行，那么这两条直线也是平行的。
4. 三角形内部的平行线定理：如果一条直线平行于一个三角形的一条边，且与另外两条边分别相交，那么这条直线把这两条边所对应的三角形划分成三个相似的三角形。
5. 平行线的黄金分割定理：如果一条直线经过另两条平行线，那么这两条直线将原直线划分成一段与整段的比例等于整段与原直线的比例。
四、平行线的应用1. 平行线在三角形的运用：通过平行线定理，可以推导出三角形内部、外部的诸多性质，例如内错角和外错角的性质、内、外接线之间的关系等。
2. 平行线在原等腰三角形中的应用：通过平行线的判定法，可以判断出等腰三角形的性质，例如底边与顶角之间的关系。
3. 平行线在平行四边形中的应用：通过平行线的特性，可以推导出平行四边形的各个边之间的关系，例如对边相等、对角线平分的性质等。
平行线的概念定义性质
平行线的概念定义性质平行线是指在同一个平面上，永远不相交的线段。
平行线的概念在几何学中具有重要的地位，它有着以下的定义和性质。
一、平行线的定义：定义一：如果两条直线在同一个平面上，且它们没有公共点，并且在平面内没有任何一条直线与这两条直线同时相交，那么这两条直线就是平行线。
定义二：如果两条直线在同一个平面内，它们互相垂直于第三条直线，那么这两条直线是平行线。
二、平行线的性质：性质一：平行线上的任意一对直线之间的所有夹角都相等。
也就是说，如果有两条直线与一条平行线相交，它们的夹角都相等。
性质二：如果一条直线与平行线相交，那么与这条直线垂直的平行线也与平行线相交，并且它们的交点在同一直线上。
性质三：如果一条直线与两条平行线相交，那么与这条直线垂直的直线也与这两条平行线相交，并且它们的交点分别在同一直线上。
性质四：如果两条直线分别与平行线相交，那么它们的交点所在的两条直线互相平行。
性质五：平行线的外一侧的点到直线的距离等于平行线上的任意一点到直线的距离。
三、平行线的判定方法：方法一：任意两条互相平行线上，都只需取其中的一对夹角，如果夹角相等，则这两条直线是平行线。
方法二：如果两条直线上的任意一对相应的内角或外角互相相等，那么这两条直线是平行线。
方法三：如果两条直线与第三条直线的对应角互相相等，那么这两条直线是平行线。
方法四：如果直线与平行线的任意一条直线垂直，并且与平行线的另一条直线不垂直，则这两条直线是平行线。
以上是关于平行线的定义和性质，平行线作为几何学中非常基础且重要的概念，广泛应用于证明和解决直线和平面的几何问题中。
在实际生活和工程中，平行线的概念也有着广泛的应用，如在设计建筑和道路时，平行线的概念能够保证结构的牢固和施工的准确性。
同时，在数学和物理学等学科中，平行线的概念也是处理问题的基础，对于理解和应用其他几何学知识起到了重要的作用。
因此，理解和掌握平行线的定义和性质对于学习和应用几何学具有重要的意义。
平行线的判定和性质
平行线的判定和性质
1、平行线的判定方法：
同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；
另：平行于同一条直线的两条直线相互平行；垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
2、平行线的性质：
两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。
3、注意区别平行线的性质和判定方法：
（1）叙述方式不同：尽管叙述平行线的性质与判定方法的文字相同，个数相同，但条件和结论的顺序是不同的；
（2）意义不同：平行线的判定方法是根据三种角(同位角、内错角、同旁内角)的数量关系，来识别两直线是否平行；而平行线的性质，是已知两直线平行，得到三种角的数量关系。
（3）作用不同：一个是作为平行线的识别，一个是平行线的特征。
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平行线的基本概念与性质
平行线的基本概念与性质平行线作为几何学的基础概念之一，在数学中扮演着重要的角色。
本文将深入探讨平行线的基本概念和性质，使读者对平行线有更深入的理解。
一、平行线的基本概念平行线是指在同一个平面上，永远不相交的两条直线。
简单来说，这意味着无论如何延长或缩短这两条线，它们也不会相交。
平行线可以用符号“∥”来表示，比如AB ∥ CD，表示直线AB与直线CD是平行的。
二、平行线的判定方法在几何学中，我们有多种方法来判定两条直线是否平行。
1. 直线与直线之间的角度：如果两条直线之间的内角、外角或对顶角相等，那么这两条直线是平行的。
这个原理被称为“同位角定理”。
2. 轴线的夹角：如果两条直线被同一条直线所切割，而且这两个切割线所形成的内角或外角相等，那么被切割的两条直线是平行的。
3. 平行线的垂直线：如果两条直线都与同一条直线垂直相交，那么这两条直线是平行的。
三、平行线的性质平行线有一些重要的性质，下面将介绍其中的一些。
1. 任意一条直线与平行线的交点所形成的对应角相等。
如果一个交点A将直线l和m相交，那么角A对应的角分别位于直线l和m上，并且这两个角相等。
2. 夹在平行线之间的直线是平行线。
如果一条直线与另外两条平行线相交，那么这两条平行线之间的夹角与该直线所夹的两条直线的夹角相等。
3. 平行线的平行线仍然是平行线。
也就是说，如果AB ∥ CD，那么在AB上取一点E，在CD上取一点F，连接EF，则EF与AB、CD 都平行。
四、平行线的应用平行线在实际生活中有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，建筑师需要保证墙面平行，以确保建筑的稳定性和美观性。
此外，在航空、航海等领域，准确判定平行线也是十分重要的。
五、总结平行线作为几何学中的基本概念，具有重要的理论和应用价值。
通过本文的介绍，我们了解了平行线的基本概念、判定方法和性质，并了解了平行线在实际生活中的应用。
深入理解和掌握平行线的相关知识，对于学习和应用几何学都非常重要。
平行线与垂直线的性质与判定
平行线与垂直线的性质与判定平行线和垂直线是几何学中的基本概念，在平面几何的研究中起着重要的作用。
本文将从性质和判定两个方面介绍平行线和垂直线的特点和判断方法。
一、平行线的性质平行线是指在同一个平面上两条直线永远不会相交的直线。
它们具有以下性质：1. 同向性质：平行线在同一平面上，方向相同且不会相交。
2. 等距离性质：平行线之间的任意两条线段均相等。
3. 夹角性质：平行线与横截线之间的夹角相等。
二、平行线的判定方法1. 公理法：根据几何公理，若两条直线与另一直线的夹角相等，那么这两条直线就是平行的。
2. 反证法：假设两条直线不平行，可以通过找到一个与这两条直线交汇的第三条直线形成一个三角形，利用角的性质证明两条直线是平行的。
3. 斜率法：两条直线平行时，它们的斜率相等。
根据这个性质，可以通过计算两条直线的斜率来判断它们是否平行。
三、垂直线的性质垂直线是指在平面几何中与另一直线的夹角为90度的直线。
垂直线具有以下性质：1. 相交性质：垂直线与另一条直线相交，形成直角。
2. 互逆性质：两条垂直线互为对方的垂直线。
3. 斜率性质：两条直线垂直时，它们的斜率之乘积为-1。
四、垂直线的判定方法1. 公理法：根据几何公理，如果两个夹角的乘积为-1，则这两条直线垂直。
2. 互逆法：如果两条直线互为对方的斜率的倒数，则这两条直线垂直。
3. 斜率法：若两条直线的斜率之积为-1，则这两条直线垂直。
结论通过对平行线和垂直线的性质和判定方法的介绍，我们可以更好地理解平面几何中的基本概念和关系。
掌握这些知识，可以帮助我们在解题过程中更加准确和便捷地判断线之间的关系，进而解决相关问题。
在实际生活中，平行线和垂直线的性质也广泛应用于建筑、工程等领域。
因此，对于平行线和垂直线的性质和判定方法的学习具有重要的意义。
平行线的性质与判定
A
G
D
例题赏析 例2、如图，已知AB∥CD, ∠BAE=45°， ∠D=∠C,你能求出∠D 、∠C 、 ∠B的度数吗？
E
解： ∵AB∥CD (已知）
A
B
∴∠BAE=∠D
(两直线平行
同位角相等）
同旁内角互补） D
C
∴∠B+ ∠C =180°(两直线平行 ∵∠BAE=45°（已知） ∴ ∠D = 45° ∵ ∠D=∠C （等量代换） （已知）
一、平行线的判定方法：
•同位角相等，两直线平行； •内错角相等，两直线平行； •同旁内角互补，两直线平行； 平行于同一条直线的两条直线平 行 同一平面内，垂直于同一条直线 的两条直线互相平行。
4 3 8 5 7 6 2
1
a
b
二、平行线的性质：
两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补。
证明：∵ ∠1=∠ACB（已知）
B 3
A 1 E
2
F平行） ∴ ∠2 =∠DCF（两直线平行，内错角相等）
又∵ ∠2=∠3（已知）
∴ ∠3 =∠DCF（等量代换） ∴ CD∥FH（同位角相等，两直线平行）
6.如图已知AD∥BC,且DC⊥AD于D.
(1)DC与BC有怎样的位置关系？说说你的理由。 (2)你能说明∠1+∠2=180°吗？ A 1 解：（1）∵ DC⊥AD于D(已知)
E
F B ∴ AB∥DC (同位角相等，两直线平行)
C
达标检测
1、如图，能判定DE∥BC的条件是（ D） A、∠C=∠DAB B、∠C=∠FAE
C、∠C+∠FAD=180° D、∠C=∠EAC
D
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平行线的判定和性质
1、如图1，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′的度数为 。
2、如图2，直线AB CD 、相交于点E ，DF AB ∥．若100AEC ∠=°，则D ∠等于 。
3、如图3，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250∠=∠=°
，°，则3∠的度数等于 。
4、如图4，已知A B ∥CD,若∠A=20°，∠E=35°，则∠C 等于 。
.
5、如图5，12//l l ，∠1=120°，∠2=100°，则∠3= 。
6、如图6，已知AC ∥ED ，∠C =26°，∠CBE =37°，则∠BED 的度数是 。
图4 图5 图6
7.如图,已知:∠1=110°,∠2=110°,∠3=70°,求∠4的度数.
4321
D C
B
A
8、如图，已知：AE 平分∠BAC ，CE 平分∠ACD ，且AB ∥CD 。
求证：∠1＋∠2=90°
E D B C′
F C D ′ A
图1
C A E
B F D
图2 E 1A B C D 21 2 3 图
3
l 1 l 2
1 2 3
9、如图，EF ⊥AB ，CD ⊥AB ，∠EFB=∠GDC ，求证：∠AGD=∠ACB 。
思考提升：
1、如图，某人从A 点出发，每前进10米，就向右转18°，再前进10米，又向右转18°，这样下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走了多少米？
2、如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角∠A 是120°，第二次拐的角∠B 是150°，第三次拐的角是∠C ，这时恰好和第一次拐弯之前的道路平行，求∠C 。
3、如图，将纸片△ABC 沿DE 折叠，点A 落在点A ′处，已知∠1+∠2=100°，求 ∠A 的度数。
4、如图, 已知：∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6。
求证: AD∥BC。
5、如图2—95，已知CD ⊥AB 于D ，EF ⊥AB 于F ，∠DGC=105°，∠BCG=75°，求∠1+∠2的度数．
A B C
D F G
E A B C D B
C 1 2 A
E A B
C A
D
E
F
G 2 1
6、如图 ①，已知长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF 折叠成图案②，再沿BF 折叠成图案③，求③中的∠CFE
的度数。
7、如图，AD ⊥BC 于点D ，EF ⊥BC 于点F ，EF 交AB 于点G ，交CA 的延长线于点E ，且∠1=∠2．AD 平分∠BAC 吗？说说你的理由。
8、如图，DE ∥CB ，试证明：∠AED ＝∠A ＋∠B 。
9、如图，在长方形ABCD 中，
AE=BG=BF=1
2
AD=
13AB=2，E 、H 、G 在同一条直线上，求阴影部分的面积。
10、如图，直线AC ∥BD ，连结AB ，直线AC ，BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分，当动点P 落在某个部分时，连结P A ，PB ，构成∠P AC ，∠APB ，∠PBD 三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°．）
（1）当动点P 落在第①部分时，试说明：∠APB =∠P AC +∠PBD ．
B G A E ② F
C
D ① A B C D
E
F B
G F A E D ③ C
（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠P AC+∠PBD是否成立？
（3）当动点P落在第③部分时，请全面探究∠P AC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论，选择其中一种结论加以说明。